r 1 kr. - PCSI-PSI AUX ULIS

DEVOIR MAISON n˚14
Pour le 04/05/15
AVERTISSEMENT
La pr´
esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´
edaction, la clart´
e et la pr´
ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´
eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
`
PROBLEME
: AU CŒUR DES ENDOMORPHISMES NILPOTENTS
´ EE
´
Partie A - NOYAUX ET IMAGE D’UNE ITER
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E.
Pour tout entier naturel p, on notera Ip Im up et Kp Ker up .
1. On suppose dans cette question seulement u injectif. D´eterminer alors : @p P N, Ip et Kp .
2. On revient au cas g´en´eral. Montrer que : @p P N, Kp
3. On pose, pour tout p P N, ip
(a) Calculer, @p P N, ip
€ Kp
dim Ip et kp dim Kp.
1
et Ip
1
€ Ip.
kp .
(b) D´eterminer le sens de variation des suites pip qp et pkp qp .
(c) Montrer que pip qp et pkp qp sont born´ees.
(d) En d´eduire qu’il existe un plus petit entier naturel r
Kr mais aussi Ir 1 Ir .
Plus g´en´eralement, prouver que @p P N, Kr p Kr et Ir p Ir .
Montrer enfin que E Kr ` Ir .
(e) Conclure que Kr
4.
5.
¤ n tel que kr 1 kr .
1
Partie B - L’INDICE DE NILPOTENCE
On rappelle que l’on note dim E n. Dans cette partie, on consid`ere u un endomorphisme de E nilpotent,
c’est `a dire qu’il existe un entier m P N tel que um 0. Il existe donc un plus petit entier p non nul tel que
up 0 mais up1 0. p est appel´e l’indice de nilpotence.
6. Montrer que l’entier p est ´egal `
a l’entier r d´efini `a la Partie A. (On consid´era x P E tel que up1 pxq 0)
7. En d´eduire que p ¤ n.
8. On se propose de red´emontrer le r´esultat du 7. d’une autre fa¸con : soit x P E tel que up1 pxq 0.
(a) Montrer que la famille px, upxq, u2 pxq, . . . , up1 pxqq est libre.
(On pourra d´ej`
a prouver que λ0 x λ1 upxq λp1 up1 pxq 0E
(b) En d´eduire p ¤ n.
"
ñ λ0 0)
Partie C - UNE APPLICATION
R3 Ñ R3
px, y, zq ÞÑ py, z, 0q
On se propose de r´esoudre l’´equation fonctionnelle pE q : f 2
On note u :
u d’inconnue f .
9. Soit f une solution de pE q. Montrer que u est nilpotent, en d´eduire que f l’est aussi.
10. Justifier qu’il existe un entier r
¤ 3 tel que f r 0.
11. Calculer f 4 et aboutir `
a une contradiction.
12. Conclure.
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1
PCSI
DEVOIR MAISON n˚14
Pour le 04/05/15
´
EXERCICE : INTRODUCTION AUX SERIES
Soit pun qnPN une suite de nombres r´eels, on d´efinit alors la suite pSn qnPN par Sn
¸
La suite pSn qnPN est appel´ee s´erie associ´ee `
a la suite pun qnPN que l’on note
¥
n
¸
un .
n 1
On s’int´eresse `a la nature (convergence ou divergence) de la suite pun qnPN et de la s´erie
1. Dans cette question on pose un
n
1
2
n pn
¸
¥
un .
n 1
. Quelle est la nature de la suite pun qnPN et de la s´erie
¸
¥
un ?
n 1
1
.
1q
(a) D´ecomposer en ´el´ements simples un .
1
(b) En d´eduire que @n P N ,, Sn 1 .
n 1
2. Dans cette question on pose un
uk .
k 1
¸
(c) Conclure quand `
a la nature de la suite pun qnPN et de la s´erie
¥
un .
n 1
n1 .
Montrer que, si une suite pxn qnPN est convergente, la suite px2n xn qnPN converge vers 0.
1
Montrer que @n P N , S2n Sn ¥ .
2
En d´eduire que pSn qnPN diverge vers 8.
3. Dans cette question on pose un
(a)
(b)
(c)
4. Exprimer Sn 1 en fonction de Sn et un 1 .
On suppose que pSn qnPN converge, quelle est la limite de pun qnPN ?
5. D’apr`es tout ce qui pr´ec`ede que pensez-vous de l’affirmation :
« La suite pun qnPN et de la s´erie
¸
¥
un sont de mˆeme nature. »
n 1
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