UE Méthodes Quantitatives 2 Partie 1 : Analyse Syllabus et

UE M´
ethodes Quantitatives 2
Partie 1 : Analyse
Syllabus et fascicule de travaux dirig´es
Chim`ene Fischler
http://famille.fischler.free.fr/
L1 Economie-Gestion, 2014-2015
Universit´e Paris 8, Vincennes - Saint-Denis
Contenu du module :
Le cours de M´ethodes Quantitatives 2 comporte deux parties : Analyse et Statistiques.
La partie d’Analyse est la suite de celle du cours de M´ethodes Quantitatives 1. Le plan du
cours est le suivant :
– Chapitre 1 : Optimisation des fonctions d’une variable.
– Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables.
– Chapitre 3 : Comportements asymptotiques.
– Chapitre 4 : Int´egrales.
Evaluation :
– Contrˆ
ole continu (40% de la note finale) : un partiel fin mars 2015.
– Contrˆ
ole terminal (60% de la note finale) : un examen en mai 2015.
Remarques importantes :
1. Les documents, notes de cours et mat´
eriels ´
electroniques (t´
el´
ephones portables, . . . ) sont INTERDITS aux examens ;
2. Les calculatrices sont interdites sauf aux ´
epreuves comportant des statistiques ;
3. L’assiduit´
e aux cours-TD est obligatoire, sauf dispense pour raisons professionnelles ´
etablie aupr`
es du secr´
etariat ;
4. Les changements de groupe ne sont pas autoris´
es.
Bibliographie indicative :
– Analyse 1, exercices corrig´es avec rappels de cours, Jean-Pierre Lecoutre et Philippe
Pilibossian, Dunod.
– Analyse math´
ematique pour ´
economistes, Gabriel Archinard et Bernard
Guerrien, Economica.
– Math´ematiques pour ´economistes, Carl P. Simon et Lawrence Blume, De Boeck.
1
Feuille no 1 : Optimisation des fonctions d’une variable
Exercice 1 - Trouver les extrema ´eventuels des fonctions suivantes, et d´eterminer la nature
de chacun d’entre eux :
(a) f (x) = x −
x2
4
(b) g(x) = 0.5x4 − x2 + 1
(d) i(x) = xex
(c) h(x) = (x − 1)2 (x + 1)3
(e) j(x) = x ln(x)
Exercice 2 - D´emontrer que la fonction f : x 7→ |x| est convexe sur R. La fonction g : x 7→
est-elle convexe sur ]0, +∞[ ?
1
x
Exercice 3 - Consid´erons la fonction f d´efinie par
x
f (x) = (x + 1)e 1+x .
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f ; ´etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e de f
sur cet ensemble.
2. D´eterminer le comportement de f (x) quand x tend vers +∞, vers −∞, vers −1.
3. Tracer le tableau de variations de f .
4. Etudier la concavit´e ou la convexit´e de f .
5. Calculer l’´elasticit´e de f par rapport `a x, et sa valeur en x = 1. On rappelle que
x
l’´elasticit´e d’une fonction f (d´erivable et qui ne s’annule pas) est donn´ee par f (x)
f 0 (x).
2
Feuille no 2 : Fonctions de plusieurs variables
Exercice 1 - D´emontrer que la fonction f d´efinie par
f (x1 , x2 , x3 ) =
x21
1
+ x22 + x23
tend vers +∞ quand (x1 , x2 , x3 ) → (0, 0, 0).
Exercice 2 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles
∂2
∂y 2
et
∂2
∂x∂y
∂
∂
∂2
∂x , ∂y , ∂x2 ,
des fonctions suivantes :
1. f (x, y) = xy ln(x).
2
2. g(x, y) = ex y .
3. h(x, y) =
x2 +y 2
xy .
Exercice 3 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre au
plus 2 de la fonction
2
ex3
f (x1 , x2 , x3 ) = 2
.
x1 + x22
Exercice 4 - Calculer le gradient des fonctions suivantes :
1. f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x22 + x33 .
2. g(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x22 x33 x44 .
2
3. h(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x2 ex1 +
x3 ln(x4 )
.
x5
Exercice 5 - Calculer la jacobienne de la fonction
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (ex1 x2 , x21 x23 , ln(x3 + x4 )).
Exercice 6 - D´eterminer et discuter les points critiques de la fonction f (x, y) = x3 +y 3 −3xy.
Exercice 7 - D´eterminer les extrema de la fonction
f (x1 , x2 , x3 ) = x31 x3 + x32 − 3x1 x2 − 2x23 .
3
Feuille no 3 : Comportements asymptotiques
Exercice 1 - D´emontrer que, lorsque x tend vers 0 :
(a) x2 ln(x) = o(x);
(b) sin(x) = O(x).
Exercice 2 - Donner un ´equivalent simple de chacune des fonctions suivantes :
(a) f (x) =
2x3 − 4x + 2
, x → +∞;
x2 + 1
(b) g(x) =
(c) h(x) = ex − 1, x → 0;
p
x2 − x + 1, x → +∞;
(d) j(x) = x ln(1 + x), x → 0.
Exercice 3 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Young en 0 de chacune des fonctions
suivantes :
(b) g(x) = cos(x2 ) `a l’ordre 3 ;
(a) f (x) = sin(2x) `
a l’ordre 2 ;
(c) h(x) =
p
x2 + 1 `
a l’ordre 2 ;
(d) j(x) =
1
`a l’ordre 3.
2+x
Exercice 4 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange de chacune des fonctions suivantes :
(b) g(x) = e3x en 0, `a l’ordre 4 ;
(a) f (x) = ln(x) en 1, `
a l’ordre 3 ;
(c) h(x) =
3x + 2
en 0, `a l’ordre 2.
2x + 1
Exercice 5 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange de la fonction ex en 0 `a l’ordre 4,
et en d´eduire une valeur approch´ee de e0,1 .
4
´grales
Feuille no 4 : Inte
x
x2 +5
Exercice 1 - D´eterminer des primitives des fonctions suivantes :
2
; xex ;
2
√x
.
x3 +2
Exercice 2 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant (une ou plusieurs fois) la formule
d’int´egration par parties :
b
Z
Z
n
ln(x)x dx avec a, b > 0 et n entier, n ≥ 0;
(a)
e
(b)
a
1
Z
4
Z
2 x
x e dx;
(d)
π/2
Z
x sin(x)dx;
(e)
(c)
5
xex dx;
2
1
(f )
−π/2
−3
Z
ln(x)
dx;
x2
ex sin(2x)dx.
0
Exercice 3 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant un changement de variables :
8
Z
(a)
2
(ln(t))4
dt;
t
√
Z
(d)
0
2/2
Z
π/4
(b)
Z
tan(x)dx (on posera u = cos(x));
−π/6
(c)
2
t3 ln(t)dt;
1
Z
x
√
dx (on posera x = sin(t));
1 − x2
(e)
0
1
dx
(on posera x = tan(t)).
1 + x2
Exercice 4 - Soient x0 un nombre r´eel et n un entier. Calculer une primitive de la fonction
1
egal `a 1 ou pas, et si n´ecessaire selon le signe de x − x0 .
(x−x0 )n , en distinguant selon que n est ´
R 1/2
1
1
1
1
En ´ecrivant que x2 −1 = 2 ( x−1 − x+1 ), en d´eduire la valeur de l’int´egrale suivante : 0 x2dx
.
−1
x
efinie par
Exercice 5 - Notons f la fonction d´efinie sur R par f (x) = 1+x
2 , et g celle d´
R
R
3
1
1
x
g(x) = 1+x2 . On pose I1 = 0 f (x)dx et I2 = 0 g(x)dx. Calculer I1 et I1 + I2 ; en d´eduire la
valeur de I2 .
Exercice 6 - Soit a un nombre r´eel tel que a < 3.
1. D´eterminer deux nombres r´eels p et q tels que
t
q
=p+
.
3−t
3−t
Ra t
2. En d´eduire la valeur de l’int´egrale 0 3−t
dt.
Ra
3. Calculer 0 ln(1 − 3t )dt en utilisant une int´egration par parties.
Exercice 7 - Calculer l’int´egrale suivante :
R1
−1 (2
5
+ x)e−x dx.
Exercice 8 - Etudier si les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes convergent ou non, et quand
elles convergent donner leur valeur.
Z +∞
x dx
(a)
2+4
x
0
Z +∞
x sin(2x)dx
(b)
0
+∞
Z
(c)
2
te−t dt
0
Z
+∞
(d)
x2 e−x dx.
0
Exercice 9 - Etudier la convergence de chacune des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes, en
pr´ecisant o`
u se situe(nt) le(s) point(s) `a probl`eme. Mˆeme en cas de convergence, on ne demande pas de calculer la valeur de l’int´egrale.
Z +∞
dt
√
(a)
t t2 + 2
1
Z +∞
sin2 t
(b)
dt
t3 + 1
0
Z 1
sin t
√
(c)
dt
t3 − t5
0
Z +∞
t3
(d)
dt
et − 1
0
Z +∞ √
t+1
√ dt
(e)
√
t + t5
0
6