Document - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard
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Ann´ ee scolaire 2014/2015 PCSI dm15 Pour le 4 mai En alg` ebre: Au choix trois exercices sur cinq Il est conseill´e de faire les exercices d’analyse `a titre de pr´eparation au concours blanc. Exercice 1∗ E d´esigne l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, Soit f l’application d´efinie sur E par f (P ) = Q o` u Q est le polynˆome d´efini par Q(X) = (X 2 − 1)P 0 (X) − 2XP (X) 1. Montrer que f est un endomorphisme de E 2. Donner la matrice de f dans la base 1, X, X 2 , X 3 ) de E. 3. D´eterminer Kerf et Imf , donner des bases de ces sous-espaces vectoriels. Quelle est la forme des polynˆ omes de Kerf et celle des polynˆomes de Imf ? 4. On consid`ere le polynˆ ome Q = X 2 + X + 1. (a) En se servant de f (1), f (X), f (X 2 ) et f (X 3 ), trouver un ant´ec´edent de Q. (b) Trouver tous les polynˆ omes P de E tels que f (P ) = Q. 5. Pr´eciser l’endomorphisme g = f ◦ f . Donner sa matrice dans la base canonique de E, son noyau, son image. Pour P = aX 2 + bX + c, pr´eciser g(P ). Exercice 2∗ Soit E = Rn [X] et Φ l’application d´efinie sur E par ∀P ∈ E, Φ(P ) = P 0 + XP 00 . 1. Montrer que Φ est un endomorphisme de E. Donner sa matrice dans la base canonique de E. D´eterminer Im(Φ) et Ker(Φ) 2. Montrer que Φn+1 = 0. 3. On pose e1 = X n , (a) Calculer Φ(e1 ) (b) En d´eduire que (e1 , Φ(e1 ), . . . , Φn (e1 ) est une base de E. (c) Quelle est la matrice de Φ dans cette base. 4. Montrer que IE + Φ est inversible. 5. Rappel: on sait que 1 + (−1)n+1 xn+1 = (1 + x) n X ! (−1)k xk k=0 Montrer que IE + Φ est inversible et trouver son inverse. 6. R´esoudre P + P 0 + XP 00 = X n + n2 X n−1 + 1 Exercice 3 O` u on m´elange de l’analyse et de l’alg`ebre Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. On consid`ere l’application Φ qui `a toute fonction de E associe la fonction g = Φ(f ) d´efinie par: f (0) si x = 0 Z x g : x 7→ 1 f (t)dt si x 6= 0 2x −x 1. Exemples (a) On pose f1 : t 7→ t, d´efinir Φ(f1 ) (b) On pose f2 : t 7→ et , d´efinir Φ(f2 ) (c) On pose f3 : t 7→ cos t, d´efinir Φ(f3 ) (d) On pose f4 : t 7→ sin t, d´efinir Φ(f4 ) 2. Soit f un ´el´ement de E, justifier l’existence de Φ(f ) et montrer que Φ(f ) ∈ E. Indication: Pour montrer que Φ(f ) est continue en 0, on utilisera le fait que f admet une primitive que l’on notera F et on ´ecrira, pour x 6= 0, g(x) sous forme d’un taux d’accroissement puis de la somme de deux taux d’accroissement faisant intervenir 0. 1 Ann´ ee scolaire 2014/2015 PCSI dm15 Pour le 4 mai 3. Montrer que Φ est un endomorphisme de E. 4. On cherche ` a d´efinir Ker(Φ). (a) Si f appartient ` a Ker(Φ), montrer que f est impaire. (b) Montrer que les ´el´ements du noyau sont les fonctions impaires de E. (c) L’endomorphisme Φ est-il injectif? 5. Montrer que, si f ∈ E, Φ(f ) est d´erivable sur R∗ . En d´eduire que l’endomorphisme Φ n’est pas surjectif. Exercice 4: Endomorphismes v´ erifiant Ker(f ) = Im(f ). Partie I Propri´ et´ es) E d´esigne un espace vectoriel de dimension n et f d´esigne un endomorphisme de E. 1. On suppose que f v´erifie Ker(f ) = Im(f ). (a) Montrer que n´ecessairement n est pair et d´eterminer le rang de f en fonction de n. (b) En d´eduire que f ◦ f = 0. 2. R´eciproquement si f est tel que f ◦ f = 0 et que n = 2rang(f ) Montrer que Im(f ) ⊂ Ker(f ) et en d´eduire que Ker(f ) = Im(f ) Partie II) Cas g´ en´ eral Soit n un entier pair n = 2p et soit f un endomorphisme de E de rang p tel que Ker(f ) = Im(f ) 1. Soit (e01 , e02 , . . . , e0p ) une base de Ker(f ), justifier l’existence d’un suppl´ementaire F de Ker(f ), donner sa dimension q. On note (e1 , e2 , . . . , eq ) une base de F ; 2. Que peut-on dire de la famille (e1 , . . . , eq , e01 , . . . , e0p )? 3. Montrer que la famille (f (e1 ), . . . , f (eq )) est une base de Im(f ). 4. Pour i ∈ [[1, q]], on note eq+i = f (ei); Montrer que la famille (e1 , . . . , eq , eq+1 , . . . , e2q ) est une base de E. D´eterminer la matrice de f dans cette base. Partie III) Application Soit E de dimension 4 rapport´e 0 −1 −1 0 de E dont la matrice relativement ` a B est: A = 1 0 0 1 a` la baseB = (e1 , e2 , e3 , e4 ) et f l’endomorphisme −1 0 0 −1 . 0 1 1 0 1. D´eterminer, en fonction des vecteurs de la base B, une base de Ker(f ) et une base de Im(f ). Puis, sans aucun calcul, d´eterminer l’endomorphisme f 2 . 2. Montrer qu’il existe une base B 0 dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Trouver une telle base et ´ecrire la matrie de f dans cette base. Exercice 5∗ ∗ ∗ Soit a 6= 1 et p un entier naturel, on note Rp [X] l’ensemble des polynˆomes sur R de degr´e inf´erieur ou ´egal ` a p. On pose Sa,p = {u = (un )n∈N tels que ∃P ∈ Rp [X] tel que ∀n ∈ N un+1 = aun + P (n)} 1. Soit u ∈ Sa,p , montrer l’unicit´e du polynˆome P tel que ∀n ∈ N, un+1 = aun + P (n) On notera Pu le polynˆ ome ainsi d´efini. 2. Montrer que Sa,p est un R−espace vectoriel. 3. Soit θ l’application de Sa,p dans Rp [X] d´efinie par θ(u) = Pu . (a) Montrer que θ est lin´eaire. (b) D´eterminer Ker(θ) ainsi qu’une base de cet espace. 4. Pour k ∈ N, on pose Rk (X) = (X + 1)k − aX k 2 Ann´ ee scolaire 2014/2015 PCSI dm15 Pour le 4 mai (a) Montrer que la famille (R0 , R1 , . . . , Rp ) est une base de Rp [X]. (b) Montrer que, ∀k ∈ {0, 1, . . . , p}, Rk ∈ Im(θ). En d´eduire Im(θ). (c) Quelle est la dimension de Sa,p ? (d) D´eterminer une base de Sa,p 5. D´eterminer la suite (un )n∈N v´erifiant u0 = −2 et ∀n ∈ N un+1 = 2un − 2n + 7. Pour r´eviser l’analyse: Exercice 6 La constante d’Euler 1 1 1 1 On pose vn = 1 + + · · · + − ln n et wn = 1 + + · · · + − ln (n + 1) 2 n 2 n 1. Question pr´ eliminaire Soit p ∈ N∗ , montrer en encadrant la fonction f : x 7→ 1 sur le segment [p, p + 1] que x 1 1 ≤ ln (p + 1) − ln p ≤ p+1 p 2. Etude des suites (vn ) et (wn ). (a) Montrer que les suites (vn ) et (wn ) sont convergentes et ont la mˆeme limite. s’appelle le constante d’Euler, est not´ee γ n X 1 (b) On pose pour n ∈ N∗ , Sn = k k=1 Montrer que Sn = ln(n) + γ + o(1), en d´eduire que Sn ∼ ln n. n→+∞ la limite commune n→+∞ 3. Encadrement de γ. (a) Justifier que ∀n ∈ N∗ , vn ≤ γ ≤ wn (b) En d´eduire que 1 − ln 2 ≤ γ ≤ 1. (c) Quelle valeur suffit-il de donner `a n pour que vn soit une valeur approch´ee de γ `a 10−6 pr`es. (d) A l’aide d’un programme Python trouver une valeur approch´ee de γ `a 10−6 pr`es. (e) Recherche: Que sait-on de la constante γ? 2n X 1 4. Etude d’une autre suite On pose un = k k=n (a) Ecrire un ` a l’aide de v2n et vn . (b) En d´eduire la limite de la suite (un ). Et un probl`eme de concours en analyse pour ceux que cela int´eresse. 3