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´deutiques
Statistiques Prope
Cours : Prof. Dr. Christian Mazza
Exercices : Matthieu Jacquemet
Lundi 23 mars 2015
´rie 5
Se
Probabilit´
es I
Cette s´erie a ´et´e r´esolue en cours.
Elle n’est pas `
a rendre mais fait partie du corpus enseign´e.
Exercice 1 (Ev´
enements et axiomatique)
Seien A1 und A2 zwei Ereignisse.
(a) Zeige die folgenden Behauptungen :
(i) Falls A1 ⊂ A2 , dann gilt P (A2 \A1 ) = P (A2 ) − P (A1 ).
(ii) P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
(b) Es sei
P (A1 ∪ A2 ) =
5
,
8
P (A1 ∩ A2 ) =
1
4
und P (A1 ) =
1
.
5
Bestimme P (A1 ), P (A2 ) und P (A1 ∩ A2 ).
Exercice 2 (Une famille et un chevalier)(a) Une famille a 6 enfants. D´eterminer le nombre
total de configurations possibles, puis d´enombrer le nombre d’issues r´ealisant les ´ev´enements
suivants :
(i) Les gar¸cons et les filles alternent.
(ii) Le premier et le dernier enfant sont des gar¸cons.
(iii) Il y a autant de filles que de gar¸cons.
(b) Question pos´ee par le chevalier de M´er´e : Est-il plus probable d’obtenir au moins un 6
avec 4 d´es, ou au moins un double 6 en 24 jets de 2 d´es ?
Exercice 3 (Conjonction d’´
ev´
enements et probabilit´
e conditionnelle)(a) Montrer par
r´ecurrence la formule
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · ... · P (An |A1 ∩ ... ∩ An−1 ).
(b) Une urne contient 12 boules rouges et 4 boules noires. On tire trois boules au hasard
l’une apr`es l’autre. Calculer la probabilit´e que les trois boules tir´ees soient rouges.
Exercice 4 (Probabilit´
e totale et formule de Bayes)
Deux maladies M1 et M2 sont pr´esentes respectivement chez 10% et 20% des personnes (une
personne ne peut pas avoir les deux maladie en mˆeme temps). On entreprend un d´epistage
des deux maladies. Le test r´eagit positivement sur 90% des malades de M1 , 70% des malades
de M2 et 10% des personnes qui n’ont aucune des deux affections.
(a) Calculer la probabilit´e pour que le test r´eagisse positivement sur une personne choisie au
hasard dans cette population.
(b) Sachant que le test a r´eagi positivement sur la personne choisie au hasard, calculer la
probabilit´e que ce soit `
a cause de M2 .