Révisions 5 : Probabilités (1)

Révisions 5 : Probabilités (1)
Exercice 1 (Oral Sujet zéro CCP, MP) ? . Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points
d’eau A, B et C . À l’instant t = 0, il se trouve au point A. Quand il a épuisé l’eau du point où il se
trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux autres points d’eau. L’eau du point qu’il
vient de quitter se régénère alors. Soit n ∈ N. On note A n l’événement « l’animal est en A après
son n-ième trajet. » On note B n l’événement « l’animal est en B après son n-ième trajet. » On note
C n l’événement « l’animal est en C après son n-ième trajet. » On pose P(A n ) = a n , P(B n ) = b n et
P(C n ) = c n .
(1) (a) Exprimer, en le justifiant, a n+1 en fonction de a n , b n et c n .
(b) Exprimer, de même, b n+1
³ et c n+1 en
´ fonction de a n , b n et c n .
(2) On considère la matrice A =
0 1/2 1/2
1/2 0 1/2
1/2 1/2 0
.
(a) Justifier, sans calculs, que la matrice A est diagonalisable.
(b) Prouver que −1/2 est valeur propre de A et déterminer le sous-espace propre associé.
(c) Déterminer une matrice P inversible et une matrice D diagonale de M3 (R) telles que
D = P −1 AP . Remarque : le calcul de P −1 n’est pas demandé.
(3) Montrer comment les résultats de la question 2 peuvent être utilisés pour calculer a n , b n et c n
en fonction de n. Remarque : aucune expression finalisée de a n , b n et c n n’est demandée.
Exercice 2 (Oral Sujet zéro CCP, MP) ? . Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même
espace probabilisé (Ω, A , P) et à valeurs dans N dont la loi est donnée par :
∀(i , j ) ∈ N2 , P((X = i ) ∩ (Y = j )) =
1
e2i +1 j !
(1) Déterminer les lois de X et de Y .
(2) (a) Prouver que 1 + X suit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X .
(b) Déterminer l’espérance et la variance de Y .
(3) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
(4) Calculer P(X = Y ).
Exercice 3 (Oral Sujet zéro CCP, MP)
??
. Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n
correspondants distincts. On admet que les n appels constituent n expériences indépendantes et
que pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est p (p ∈ ]0, 1[). Soit X
la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.
(1) Donner la loi de X . Justifier.
(2) La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des n − X correspondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On note Y la
variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série
d’appels.
(a) Soit i ∈ ‚0, nƒ. Déterminer, pour k ∈ N, P(Y = k|X = i ).
(b) Prouver que Z = X + Y suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de Z .
Exercice P YTHON. Réaliser une simulation P YTHON permettant de vérifier numériquement les résultats de l’exercice précédent. On pourra prendre p = 0.2 et n = 25.
http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/rev_probabilites_1.pdf
Exercice 4 (Oral Sujet zéro CCP, MP) ?? . Soit N ∈ N∗ . Soit p ∈ ]0, 1[. On pose q = 1− p. On considère
N variables aléatoires X 1 , X 2 , · · · , X N définies sur un même espace probabilisé (Ω, T , P), mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p.
(1) Soit i ∈ ‚1, N ƒ. Soit n ∈ N∗ . Déterminer P(X i É n), puis P(X i > n).
(2) On considère la variable aléatoire Y définie par Y = min (X i ) c’est à dire
1Éi ÉN
∀ω ∈ Ω, Y (ω) = min (X 1 (ω), · · · , X n (ω))
min désignant « le plus petit élément de ».
(a) Soit n ∈ N∗ . Calculer P(Y > n). En déduire P(Y É n), puis P(Y = n).
(b) Prouver que Y admet une espérance et la calculer.