Devoir surveillé 9 Problème : étude d`une famille de matrices

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Devoir surveillé 9 Problème : étude d`une famille de matrices
MPSI 832,
2014-2015
Devoir surveillé 9
L.PETION
On soignera la rédaction et on sera rigoureux et précis dans les raisonnements.Bien lire le sujet il y a des questions
indépendantes. Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1ère page.( pas plus de 5) Je ne lis pas
le crayon à papier les résultats doivent être soulignés La machine est interdite.
+1 si cette consigne est respectée, -1 dans le cas contraire
Problème : étude d’une famille de matrices carrées d’ordre 3
Dans l’algèbre M3 (R) des matrices carrées d’ordre
 3 à coefficients réels,

a+b+c b+c
b+c
 avec (a, b, c) ∈ R3
b
a+b
b
on note E l’ensemble des matrices M (a, b, c) = 
b−c
b−c a+b−c
On note I = M (1, 0, 0) J = M (0, 1, 0) K = M (0, 0, 1).
On note e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) les vecteurs de la base canonique de R3 .
Partie I
Généralités sur l’ensemble E et étude de certains éléments de E
1. Montrer que E est un sev de M3 (R) dont on donnera la dimension et une base.
2. Montrer que E est un sous anneau de M3 (R). L’anneau est-il commutatif ?
3. Déterminer les matrices M de E qui vérifient l’égalité M 2 = I
2
4. Dans cette question, on pose S = M 1, − , c Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice est S dans
3
la base canonique. Préciser la nature de f .Calculer tr(f ), que pouvez vous en déduire quant à la nature des
éléments caractéristiques ?
Partie II
Calcul de la puissance n-ième d’une matrice de E.
On fixe a, b, c. Pour simplifier on note M plutôt que M (a, b, c). On note L = bJ + cK.
1. Pour tout n ∈ N∗ , calculer Ln en fonction de b, n, L.
2. En déduire, sib 6= 0, une expression de M n (avec n > 0) en fonction de n, a, b, I, L
3. Dans cette question, on suppose ab(a + 3b) 6= 0. Montrer que M est inversible et donner M −1 .
4. Dans cette question, on suppose b = 0. Calculer M n pour tout n de N.
Partie III
Changement de base :inversibilité des éléments de E.
On fixe a, b, c. Pour simplifier on note M plutôt que M (a, b, c).Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice est M
dans la base canonique. On définit les vecteurs u1 = (1, −1, 0), u2 = (1, 0, −1) et u3 = (b + c, b, b − c).
1. Montrer que (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 ssi b 6= 0.
2. On suppose b 6= 0. Déterminer la matrice D de f dans la base (u1 , u2 , u3 ). Quel est le lien entre M et D ? On
donnera les deux matrices liant M et D lorsque b = c = 1
3. On suppose b = 0. Montrer que les vecteurs (u1 , u2 , e1 ) forment une base de R3 , et calculer la matrice T de f
dans cette base.
4. En déduire que M (a, b, c) est inversible ssi a(a + 3b) 6= 0
Exercice : Matrice de trace nulle
Soit E un Kev de dimension n > 1.
1. Soit u ∈ L(E) Montrer que : si ∀x ∈ E, (x, u(x)) est liée alors u est une homothétie (on pourra introduire une
base de E)
Dans toute la suite u désigne un endomorphisme de E non nul de trace nulle
2. (a) Montrer que : ∃x ∈ E tel que (x, u(x)) soit libre.
1
(b) Montrer qu’il existe un supplémentaire F de vect(x) contenant u(x). On note p la projection sur F
parallèlement à vect(x).
(c) Montrer que la restriction à F de p ◦ u est un endomorphisme de F de trace nulle.
(d) Montrer qu’il existe un base de E dans laquelle la matrice de u a tous ces éléments diagonaux nuls (on
pourra procéder par récurrence sur n).
3. Soit D une matrice diagonale de Mn (R) ,D = diag(a1 , a2 , . . . , an ) telle que ∀i 6= j
ai 6= aj
(a) Montrer que l’application f : M −→ DM − M D est un endomorphisme de Mn (R) et en déterminer le
noyau. Calculer dimKerf
(b) Calculer rgf
(c) Montrer que Imf est l’ensemble des matrices dont les coefficients diagonaux sont nuls
2
(d) Montrer que : A ∈ KerT r ssi ∃(B, C) ∈ Mn (R) telles que A = BC − CB
Problème :Décomposition LU
Soit A ∈ Mn (K).
Une décomposition ”LU ” de A est une égalité A = LU où L est une matrice triangulaire inférieure (L pour Low)à
diagonale unité
sont égaux à1)
 et U est une matrice
 triangulaire supérieure (U pour Up).
 (dont tous les coefficients
 
2 −3 1 −1
2 −3 1 −1
1
0 0 0
−2 2 −3 2  −1 1 0 0 0 −1 −2 1 

 

Exemple : 
 4 −9 −2 3  =  2
2
2
3 1 0 0 0
0 0
0 −5
−2 5
5 −4
−1 −2 1 1
Pour tout entier k ∈ [[1, n]], on appelle sous-matrice principale d’ordre k de A, la sous matrice Ak les k premières
lignes et k premières colonnes de A. Par exemple,avec la matrice
A dans l’exemple
 précédent :



2
−3
1
−1
2 −3 1
−2 2 −3 2 
2 −3

A1 = (2), A2 =
, A3 = −2 2 −3 , A4 = 
 4 −9 −2 3 
−2 2
4 −9 −2
−2 5
5 −4
Dans tout le sujet A est supposée inversible.
Partie I
Dans cette partie, on voit une condition nécessaire et suffisante portant sur la matrice A pour qu’elle admette une
décomposition LU
1. Soit (M, M 0 ) ∈ Tn + (R)2 . On pose M = (mi,j )(i,j)∈[[1,n]]2
Calculer ∀i ∈ [[1, n]] βi,i en fonction de mi,i et αi,i .
M 0 = (αi,j )(i,j)∈[[1,n]]2
M M 0 = (βi,j )(i,j)∈[[1,n]]2
2. Montrer que la décomposition LU de A, si elle existe, est unique.
1 2
3. Montrer que la matrice A =
possède une décomposition LU .
0 3
0 3
4. Montrer en revanche que la matrice B =
n’en possède pas.
1 2
5. . On suppose que la matrice A possède une décomposition LU Montrer que toutes ses sous matrices principales
sont inversibles.
Pour cela on utilisera une décompostion pas blocs de A,L,U sous la forme :
Lk
0
Ak A0k
Uk Uk0
A=
,
L
=
,
U
=
L00k L000
A00k A000
0 Uk000
k
k
6. Montrer que la réciproque de la propriété précédente est vraie : si toutes les sous-matrices principale de A
sont inversibles, alors A possède une décomposition LU
parrécurrence sur l’ordre n
Pourcela on raisonnera
Ln 0
Un Cn
de A : dans le passage de n à n + 1 on écrira Ln+1 =
et Un+1 =
où Rn est une matrice
Rn 1
0 λn
ligne de largeur n et Cn est une matrice colonne de hauteur n et λn est un scalaire.
7. Conclusion ?
Partie II
Dans cette partie on suppose que la matrice A possède une décomposition LU et on voit comment mettre en oeuvre
une méthode de calcul des matrices L et U .
On note A = (ai,j )(i,j)∈[[1,n]]2 , L = (li,j )(i,j)∈[[1,n]]2 , U = (ui,j )(i,j)∈[[1,n]]2 .
2

2 −3
1. A titre d’exemple, trouver la décomposition de A = −2 2
4 −9

1
−3
−2
2. On revient maintenant au cas général. Ecrire les égalités donnant ai,k en fonction de li,j (avec j 6 i) et uj,k
(avec j 6 k).
3. En déduire les expressions :
(a) De ui,k pour i 6 k, en fonction de ai,k , de li,j (j < i), de uj,k (j < i).
(b) De li,k pour i > k, en fonction de ai,k , de li,j (j < k), de uj,k (j 6 k).
4. Montrer comment les égalités obtenues permettent de calculer de proche en proche (et on précisera dans quel
ordre) tous les coefficients de L et U .
Partie III
ATTENTION CETTE PARTIE NE DOIT ETRE TRAITEE QUE SI LE RESTE A ETE FAIT ! SI
CE N’EST PAS LE CAS VOUS NE SEREZ PAS NOTE
On sait qu’il existe des matrices A qui n’ont pas de décomposition LU . Dans cette partie,on va voir que pour que une
telle matrice, il est possible de trouver une matrice inversible "simple" P telle que P A admette une décomposition LU .
On appelle matrice de permutation toute matrice Pσ d’ordre n dont le terme général pi,j peut s’écrire pi,j = δσ(i),j
(notation de Kronecker), où σ est une permutation
de [[1, n]].



0 0 1 0
σ(1)
=
3



0 1 0 0
σ(2) = 2

Si par exemple n = 4 et σ est définie par
Alors Pσ = 
0 0 0 1
σ(3) = 4



1 0 0 0
σ(4) = 1
1. Dans cette question, on étudie quelques propriétés des matrices de permutation.
(a) Que représente Pσ si σ est la permutation "identité" de [[1, n]] ?
(b) Soient σ et s deux permutations de [[1, n]]. Montrer que Pσ Ps = Ps◦σ
(c) Montrer que toute matrice Pσ est inversible. Quel est son inverse ?
2. On va étudier l’influence du produit par une matrice de permutation.
(a) Avec la matrice A du préambule et la matrice Pσ de l’exemple ci-dessus, calculer les produits Pσ A et
APσ−1 . Que remarque-t-on ?
(b) Plus généralement, pour toute matrice A d’odre n, et toute matrice de permutation P = Pσ , comment
passe-t-on de A à P A et de A à AP −1 ?
(c) On va montrer que pour toute matrice carrée A inversible et d’ordre n, il existe une matrice de permutation
P telle que la matrice P A possède une décomposition LU . Pour cela, on raisonne par récurrence sur n.
i. . Montrer que c’est évident si n = 1. On suppose donc que la propriété est vraie pour un certain n > 1
et on se donne une matrice carrée A inversible et d’ordre n + 1.
ii. Montrer qu’il existe une matrice de permutation S telle que la sous-matrice principale Bn d’ordre n de
B = SA soit inversible.
iii. En appliquant l’hypothèse de récurrence à Bn , montrer qu’il existe une matrice de permutation Q telle
que QB admette une décomposition LU .
iv. Conclure.
(d) Montrer très simplement que la décomposition P A = LU n’est en général pas unique. Combien peut-il
exister de triplets (P, L, U ) au maximum ?
3