Contrôle

DST
Intégrales et équations différentielles
STI2D
27 Mars 2015
Exercice 1
(Bac 2013)
Un architecte veut établir les plans d’un hangar pour ballon dirigeable.
La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés
sur le schéma ci-dessous.
y
70
60
S
50
40
K
30
20
10
H
O
−60B−50 −40 −30 −20 −10
10
20
30
40
50 A
x
Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30 m.
Ø de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique
L’arc SA
d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 60], dans un repère orthonormal direct
d’origine O du plan, l’unité étant le mètre.
Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :
• OS = 60 ;
• HK > 35 ;
• la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 60] ;
• OA É 60.
Partie A - Étude d’une fonction numérique
1. Vérifier que la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 60] par
f (x) = 80 − 20e 0,025x
vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à 10−1
près par excès du réel a qui vérifie f (a) = 0.
Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.
N. Berthet
LLG 2014/2015
STI2D
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27 Mars 2015
Partie B - Calcul d’intégrale et application
1. (a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale
J=
Z55,5
0
f (x) dx
(b) Donner la valeur approchée, arrondie à 10−2 près de J .
2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
(a) Déterminer à 10−2 près l’aire de cette surface exprimée en m2 .
(b) La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant
est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0, 2 mètre carré par litre, combien de bidons
sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?
Exercice 2
(D’après sujet bac France Métropolitaine 2014)
Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (˚C) et le temps t
est exprimé en heures.
Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant
de les conditionner en sachets. À l’instant t = 0, les ailerons, à une température de
5 ˚C, sont placés dans le tunnel.
Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à −24 ˚C.
Partie A
La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction
du temps t par la fonction f définie sur l’intervalle [0, +∞[ par
f (t ) = 35e−1,6t − 30.
1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes,
soit 0,5 h.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f .
3. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de
congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des
charges ?
4. Résoudre par le calcul l’équation f (t ) = −24 et interpréter le résultat trouvé.
Partie B
Pour moderniser son matériel, l’entreprise a investi dans un nouveau tunnel de
congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du
temps, par une fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [0, +∞[, qui est solution de l’équation différentielle y ′ + 1, 5y = −52, 5
N. Berthet
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1. Résoudre l’équation différentielle y ′ + 1, 5y = −52, 5.
2. (a) Justifier que g (0) = 5.
(b) Vérifier que la fonction g est définie par g (t ) = 40e−1,5t − 35.
3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
Exercice 3
Partie A
Soit l’équation différentielle (E ) : 16y ′′ + 9y = 0
1. Résoudre l’équation (E )
2. La représentation d’une fonction f vérifiant l’équation (E ) est représentée cidessous ainsi que sa tangente T M au point M.
T M 2.
M
1.
−2.
−1.
0
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Cf
−2.
3
Justifiez que f (0) = 1 et que f ′ (0) = − .
4
3. Déterminer la fonction f .
Partie B
Soit la fonction g définie par g (x) = A cos(ωx +
π
)
4
1. Calculer g ′ x) et g ′′ (x).
2. Calculer ω pour que g vérifie l’équation (E ).
3. Calculer A pour que g (0) = 1
4. Calculer g ′ (0)
5. Montrer que f = g .
N. Berthet
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