Bac Blanc (avec correction)

BAC BLANC
Épreuve de Mathématiques
Terminales ES
Durée: 3h
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants, numérotés de 1 à 5.
Les candidats n’ayant pas fait la spécialité mathématique traiteront les exercices 1,2,3 et 4.
Les candidats ayant fait la spécialité mathématique traiteront les exercices 1,2,3 et 5. Dans ce cas,
l’exercice 5 sera rédigé sur une copie séparée.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour
aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur sa copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises
en compte dans l’appréciation des copies.
1
Exercice 1. Commun à tous les candidats — (5 points)
Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est constitué
de 70% des abonnés de l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés.
Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600.
1. Calculer le nombre d’abonnés en 2011 et en 2012.
2. On définit la suite (un ) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 7un + 210.
On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (un ).
A
n
0
1
2
3
1
2
3
4
5
B
un
600
Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer u1 ; cette formule «tirée vers le bas» dans la
colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (un ).
3. On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 700.
(a) Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0, 7.
Préciser son premier terme.
(b) Justifier que, pour tout entier naturel n, un = 700 − 100 × 0, 7n
4. (a) Soit n un entier naturel. Démontrer que un ≥ 697 est équivalent à 0, 7n ≤ 0, 03.
(b) Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
N est un nombre entier naturel
Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur 1
Tant que U > 0, 03
Affecter à N la valeur N + 1
Affecter à U la valeur 0, 7 × U
Fin du Tant que
Afficher N .
Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera «tourner» l’algorithme en s’aidant éventuellement d’un tableau d’évolution des variables)
(c) Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation 0, 7n ≤ 0, 03.
(d) En utilisant l’étude précédente de la suite (un ), déterminer à partir de quelle année le
nombre d’abonnés atteindra au moins 697.
2
Exercice 2. Commun à tous les candidats — (5 points)
Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 50xe−0,5x+1
Un dessin de sa courbe représentative notée Cf est donné ci-dessous dans un repère dont les unités
ont été effacées.
Le point A est le point de Cf d’abscisse 4. Le point B est le point de Cf d’ordonnée maximale.
1. (a) Calculer les valeurs exactes puis éventuellement arrondies à 10−2 près de : f (0),f (2),f (4),f (7),f (10).
(b) Montrer que, pour tout nombre réel x : f 0 (x) = (50 − 25x)e−0,5x+1
(c) Dresser le tableau de variation de f sur [0; 10]
2. Expliquer comment l’étude de la fonction f permet de retrouver les unités utilisées sur chacun
des axes.
3. Un laboratoire teste la qualité d’un composant d’une nouvelle crème solaire. Il agit comme un
réservoir d’hydratation pour la peau exposée au soleil. Pour cela, on mesure le taux d’hydratation de la peau, x heures après application de la crème.
La fonction f correspond au taux mesuré, exprimé en pourcentage, pendant 7 heures.
(a) Sur quel intervalle doit-on considérer f pour tester la qualité de cette crème ?
(b) Quelle information le calcul de f (4) effectué à la question 1.(a) donne-t-il au laboratoire ?
(c) Indiquer le moment où le taux est maximal.
4. On peut commercialiser cette crème si le taux d’hydratation dépasse 50% pendant une durée
d’au moins 6 heures.
Le laboratoire peut-il commercialiser cette crème ?
3
Exercice 3. Commun à tous les candidats — (5 points)
Partie A
On considère la fonction g définie sur [1; +∞[ par : g(x) = ln x − 21 .
1. Étudier le sens de variation de g sur [1; +∞[.
2. Résoudre l’équation g(x) = 0 dans [1; +∞[.
3. En déduire que g(x) > 0 si et seulement si x >
√
e.
Partie B
On considère la fonction f définie sur [1; +∞[ par : f (x) = 2x2 (ln x − 1) + 2
1. On appelle f 0 la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1; +∞[
(a) Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [1; +∞[, f 0 (x) = 4xg(x)
(b) Étudier le signe de f 0 (x) sur [1; +∞[ et en déduire le sens de variation de f sur [1; +∞[.
2. (a) Montrer que, dans l’intervalle [2; 3], l’équation f (x) = 0 admet une solution unique que l’on
notera α.
(b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer un encadrement de la solution α.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
a,b,p sont des réels
Affecter à a la valeur 2
Affecter à b la valeur 3
Affecter à p la valeur 0,1
Tant que f (a) × f (a + p) > 0 et a + p ≤ b
Affecter à a la valeur a + p
Fin du Tant que
Afficher «La solution est dans l’intervalle [a; a + p]»
(a) Préciser le rôle des variables a,b, et p.
(b) Expliquer l’instruction «Tant que f (a) × f (a + p) > 0»
(c) Faire tourner l’algorithme, en reproduisant et remplissant le tableau suivant sur autant de
lignes que nécessaire :
a
2
b
3
p
0,1
f (a) × f (a + p) > 0
Vrai
a+p≤b
Vrai
(d) Que faudrait-il changer dans l’algorithme pour qu’il retourne l’encadrement trouvé à la
question 2(b) ?
4
Exercice 4. Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité — (5 points)
Soit h une fonction définie et deux fois dérivable sur R, dont on donne ci-dessous la courbe représentative C .
T1 est la tangente à C au point d’abscisse 1 et T2 est ma tangente à C au point d’abscisse 0.
Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique :
1. Lire h(0), h(−1), h(1) et h(2).
2. Donner le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner un encadrement à 0,5 près de
chaque solution.
3. Déterminer h0 (0) et h0 (1).
4. Déterminer une équation de T1 et une équation de T2 .
5. Résoudre h(x) ≥ −1.
6. Résoudre h0 (x) ≤ 0.
7. Résoudre h00 (x) = 0.
8. Résoudre h00 (x) ≥ 0.
5
Exercice 5. Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité — (5 points)
Le graphe Γ ci-dessous représente le plan d’un zoo. Le sommet A représente son accès, les sommets
B,C,D,E,F et G désignent les différents secteurs animaliers de ce zoo.
Une arête représente l’allée reliant deux secteurs et est pondérée par la distance de parcours,
exprimée en mètres, entre ces deux secteurs.
Partie A
Pour mieux visualiser les différents secteurs sur le plan du zoo, on veut les colorier de telle sorte
que deux secteurs adjacents ne soient pas de la même couleur.
1. Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires à la réalisation de ce plan ? (On justifiera
la réponse)
2. Proposer une coloration de ce graphe à l’aide d’un algorithme à préciser. Que peut-on en déduire
pour le nombre chromatique de ce graphe ?
3. Déterminer le nombre chromatique de ce graphe et proposer une coloration optimale des différents secteurs du zoo.
Partie B
1. Pour nettoyer les allées, les services techniques du zoo utilisent une balayeuse automobile. Est-il
possible que cette balayeuse n’emprunte chaque allée qu’une fois et une seule ? Si oui, proposer
un tel chemin, sinon justifier votre réponse.
2. Les services de sécurité basés au point A doivent intervenir dans le secteur G. Déterminer, à
l’aide d’un algorithme à préciser, l’itinéraire le plus court.
6
Correction
Exercice 1. Commun à tous les candidats — (5 points)
1. En 2011, le nombre d’abonnés est : 600 · 0, 7 + 210 = 630.
En 2012, il est de : 630 · 0, 7 + 210 = 651.
0,5
2. On définit la suite (un ) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 7un + 210.
La formule allant en B3 et qui, tirée vers le bas, permettra de calculer les termes consécutifs
de la suite est : = 0, 7 ∗ B2 + 210.
0,5
3. On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 700.
(a) Pour tout entier naturel n, nous avons :
vn+1 = un+1 − 700 = 0, 7un + 210 − 700 = 0, 7un − 490
= 0, 7(un − 700) = 0, 7vn
La suite (vn ) est donc une suite géométrique, de raison 0, 7.
Son premier terme est v0 = u0 − 700 = 600 − 700 = −100.
1
(b) De la question précédente, nous déduisons que, pour tout n entier naturel : vn = −100·0, 7n .
Il vient alors : un = vn + 700 soit un = 700 − 100 · 0, 7n .
0,5
4. (a) Pour n un entier naturel, nous avons :
un ≥ 697 ⇐⇒ 700 − 100 · 0, 7n ≥ 697
⇐⇒ 700 − 697 ≥ 100 · 0, 7n
⇐⇒ 0, 7n ≤ 0, 03
0,5
(b) En faisant tourner cet algorithme, nous obtenons : N = 10
0,5
(c) Reprenons l’inégalité de la question 4.a :
car x 7→ ln x est strictement croissante sur R∗+
0, 7n ≤ 0, 03 ⇐⇒ ln 0, 7n ≤ ln 0, 03
⇐⇒ n ln 0, 7 ≤ ln 0, 03
ln 0, 03
⇐⇒ n ≥
car 0 < 0, 7 < 1 donc ln 0, 7 < 0
ln 0, 7
⇐⇒ n ≥ 10
Nous retrouvons donc bien la réponse de la question précédente.
0,75
(d) D’après les questions 4.a et 4.c, nous avons, pour tout entier naturel n,
un ≥ 697 ⇐⇒ 0, 7n ≤ 0, 03 ⇐⇒ n ≥ 10
Ainsi, le nombre d’abonnés dépasse les 697 à partir de 2020.
1
0,75
Exercice 2. Commun à tous les candidats — (5 points)
Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 50xe−0,5x+1
1. (a) Nous obtenons les valeurs suivantes (arrondies à 10−2 :
f (2) = 100
f (4) = 200e−1 ≈ 73, 58
f (7) = 350e−2,5 ≈ 28, 73
f (10) = 500e−4 ≈ 9, 16
f (0) = 0
0,5
(b) La fonction f est dérivable sur R comme produit et composée de fonctions toutes dérivables
sur R. On obtient alors, pour tout x dans R :
f 0 (x) = 50e−0,5x+1 + 50x(−0, 5)e−0,5x+1
= 50e−0,5x+1 − 25xe−0,5x+1 = (50 − 25x)e−0,5x+1
0,75
(c) Notons tout d’abord que pour tout x ∈ [0; 10], nous avons e−0,5x+1 > 0. La dérivée est donc
du signe de 50 − 25x. Or, il vient :
50 − 25x > 0 ⇐⇒ 25x < 50 ⇐⇒ x < 2
Nous obtenons alors le tableau de variations suivant :
x
0
f 0 (x)
2
0
100
+
f
10
−
@
@
R
@
0
500e−4
0,75
2. D’après l’étude précédente, et sachant que le point B correspond au maximum, nous obtenons
que son abscisse est 2 et son ordonnée est 100.
Nous en déduisons :
— que l’unité sur l’axe des abscisses est donc de 2, ce qui est confirmé par le fait que le point
A a pour abscisse 4,
— l’unité sur l’axe des ordonnées est de 20.
0,5
3. La variable x est en heures, à compter de l’application de la crème.
La fonction f est un pourcentage.
(a) Seules les 7 premières heures nous intéressent, nous considérerons donc la fonction f sur
l’intervalle [0; 7]
0,5
(b) f (4) correspond au taux d’hydratation au bout de 4h
0,5
(c) D’après l’étude menée précédemment, le taux est maximal en B, soit au bout de 2h.
0,5
4. Par lecture graphique sur la courbe fournie (appuyée par la fonction "table" de la calculatrice),
nous constatons que f (x) > 50 sur un intervalle d’environ [0, 5; 5, 5], soit pendant 5h heures
environ : le laboratoire n’a donc pas le droit de commercialiser cette crème.
1
2
Exercice 3. Commun à tous les candidats — (5 points)
Partie A
On considère la fonction g définie sur [1; +∞[ par : g(x) = ln x − 21 .
1. La fonction g est dérivable sur [1; +∞[ comme somme de fonctions dérivables sur [1; +∞[.
On obtient alors : g 0 (x) = x1 > 0 sur [1; +∞[ donc la fonction g est strictement croissante sur
[1; +∞[.
0,5
2. Pour tout x ∈ [1; +∞[ nous avons :
1
1
g(x) = 0 ⇐⇒ g(x) = ln x − = 0 ⇐⇒ ln x =
2
2
√
1
⇐⇒ x = e 2 = e
0,5
√
3. Ainsi, g est strictement croissante et g( e) = 0 nous avons :
√
√
x > e ⇐⇒ g(x) > g( e) ⇐⇒ g(x) > 0
0,5
Partie B
Considérons la fonction f définie sur [1; +∞[ par : f (x) = 2x2 (ln x − 1) + 2
1. (a) La fonction f est dérivable sur [1; +∞[ comme produit et somme de fonctions toutes dérivables sur [1; +∞[.
Nous avons alors, pour tout x ∈ [1; +∞[ :
0
f (x) = 4x(ln x − 1) + 2x
1
= 4x ln x − 1 +
2
= 4xg(x)
2
1
x
= 4x(ln x − 1) + 2x
1
= 4x ln x −
2
0,5
(b) Ainsi, sur [1; +∞[, x > 0 donc f 0 (x) est du signe de g(x) étudié dans la question précédente.
Il vient alors :
√
— sur [1; e[, g(x) < 0 donc f 0 (x) < 0 et f strictement décroissante,
— sur ]e; +∞[, g(x) > 0 donc f 0 (x) > 0 et f strictement croissante,
√
√
√
— g( e) = 0 donc f 0 ( e) et f y atteint un minimum valant f ( e).
0,5
√
2. (a) Plaçons nous sur l’intervalle [2; 3], avec 2 > e :
— nous avons vu que f est dérivable, donc f est continue,
— nous avons vu que f est strictement croissante,
— f (2) ≈ −0, 45 < 0 et f (3) ≈ 3, 78 > 0
Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet
une unique solution dans [2; 3], notée α.
0,75
(b) Grâce à la fonction "Table" de la calculatrice, nous obtenons un encadrement d’amplitude
10−2 de α :
2, 21 < α < 2, 22
0,25
3. (a) Les variables a et b sont respectivement les bornes gauche et droite de l’intervalle sur lequel
nous cherchons une solution, tandis que p est la précision recherchée.
0,25
(b) Tant que le produit f (a) × f (a + p) est positif, cela signifie que les images des bornes
sont de même signe, donc que l’intervalle en question ne contient pas la solution cherchée.
L’algorithme s’arrête lorsque f (a) × f (a + p) ≤ 0, et l’on obtient alors un encadrement de
la solution α d’amplitude p.
0,5
3
(c) Faire tourner l’algorithme, en reproduisant et remplissant le tableau suivant sur autant de
lignes que nécessaire :
a
2
2,1
2,2
b
3
3
3
p
0,1
0,1
0,1
f (a) × f (a + p) > 0
Vrai
Vrai
Faux
a+p≤b
Vrai
Vrai
Vrai
L’algorithme s’arrête alors et affiche "La solution est dans l’intervalle [2, 2; 2, 3].
10−2 .
0,5
(d) La question 2.(b) nous avait fourni un encadrement d’amplitude
Pour que cet algorithme nous fournisse une précision équivalente, il faudrait alors intervenir dans la partie
Initialisation de façon à ce que p soit égal à 0,01.
0,25
4
Exercice 4. Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité — (5 points)
1. Sur la courbe fournie, nous lisons :
h(0) = 1
h(−1) = 3
h(1) = −1
h(2) = 3.
0,5
2. L’équation h(x) = 0 a autant de solutions qu’il y a d’intersections entre la courbe de la fonction
h et l’axe de abscisses, à savoir ici : 3 solutions, que nous noterons α1 , α2 et α3 .
0,25
Par lecture graphique, nous obtenons des intervalles d’amplitude 0,5 :
−2 ≤ α1 ≤ −1, 5
0 ≤ α2 ≤ 0, 5
1, 5 ≤ α3 ≤ 2
0,75
3. Le nombre dérivé h0 (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de h au point
d’abscisse 0. Graphiquement, nous obtenons h0 (0) = −3.
De même, h0 (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de h au point d’abscisse
1 : elle y est horizontale, donc h0 (1) = 0.
0,5
4. La droite T1 est la tangente à la courbe de h en a = 1, son équation est donc :
y = h0 (1)(x − 1) + h(1)
D’après les questions précédente nous avons donc : y = −1
0,5
De la même manière, T2 est la tangente à la courbe de h en a = 0, son équation est donc :
y = h0 (0)(x − 0) + h(0)
D’après les questions précédente nous avons donc : y = −3x + 1
0,5
5. Résoudre h(x) ≥ −1 revient à trouver l’intervalle sur lequel la courbe de h est située au-dessus
de la droite d’équation y = −1.
Graphiquement, nous obtenons : x ∈ [−2; +∞[
0,5
6. Résoudre h0 (x) ≤ 0 revient à trouver l’intervalle sur lequel la courbe de h est décroissante.
Graphiquement, nous obtenons : x ∈ [−1; 1]
0,5
7. Résoudre h00 (x) = 0 revient à trouver d’éventuels points où la courbe de h traverse sa tangente
en ce point.
Graphiquement, nous remarquons que cela n’arrive qu’une fois : en x = 0.
0,5
8. Résoudre h00 (x) ≥ 0 revient à trouver l’intervalle sur lequel la courbe de h est convexe.
Graphiquement, nous obtenons : x ∈ [−1; +∞[
5
0,5
Exercice 5. Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité — (5 points)
Partie A
1. Le nombre chromatique χ d’un graphe est minoré par l’ordre du plus grand sous-graphe complet que l’on peut extraire de ce graphe.
Ici, nous constatons que (A, B, D, E) est complet, et qu’il n’y a pas de sous-graphe complet
d’ordre supérieur. Donc 4 ≤ χ.
0,5
2. Par ailleurs, le sommet de plus haut degré de ce graphe est D, de degré 5. Le nombre chromatique
est donc majoré par : χ ≤ 5 + 1
Appliquons l’algorithme de Welsh-Powell :
Sommet
Degré
D
5
A
4
B
4
C
4
E
4
F
3
G
2
Nous appliquons la couleur C1 au sommet D, puis au sommet G.
Nous appliquons la couleur C2 au sommet A, puis au sommet F.
Nous appliquons la couleur C3 au sommet B.
Et enfin nous appliquons la couleur C4 au sommet C puis au sommet E.
1
3. Nous avons réussi à colorier ce graphe avec 4 couleurs, il est impossible de faire mieux, donc
nous avons : χ = 4. La répartition de la question précédente est alors : D-G, puis A-F, puis
E-C, et B reste seul.
0,75
Partie B
1. Notons d’abord que le graphe fourni est connexe : tout couple de sommets est relié par une
chaine.
Le tableau des degrés a déjà été réalisé dans la question précédente, nous y constatons que ce
graphe possède deux sommets de degrés impairs. Donc d’après le Théorème d’Euler, ce graphe
admet une chaîne eulerienne entre les sommets D et F.
Il est donc possible pour la balayeuse d’emprunter une seule fois chaque allée, par exemple
grâce au trajet : D-A-B-C-A-E-B-D-E-F-D-C-G-F.
1,25
2. Pour déterminer le plus court trajet de A à G, nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra :
A
X
X
B
90,A
90,A
C
290,A
275,B
D
175,A
175,A
E
150,A
150,A
F
∞
∞
G
∞
∞
X
X
275,B
175,A
150,A
285,E
∞
X
X
275,B
175,A
X
280,D
∞
X
X
275,B
X
X
280,D
535,C
X
X
X
X
X
280,D
510,F
Le plus court chemin est donc : A-D-F-G, pour une distance de 510 m.
6
1,5