TS. Évaluation 7 -Correction 1 ( 3 points ) Déterminer une primitive

TS. Évaluation 7 -Correction
1 ( 3 points )
♣
Déterminer une primitive des fonctions f suivantes sur l’intervalle I indiqué.
On indiquera clairement la forme utilisée pour trouver cette primitive.
ln x
I = ]0 ; +∞[
x
1
1
1
donc f = × (2.U × U 0 )
f (x) = × 2 × ln x ×
2
x
2
a) f (x) =
D’où une primitive F de f :
avec
U (x) = ln x
1
1
× U 2 ⇐⇒ F (x) = × (ln x)2
2
2
F =
R
1
π
+ 3
I=
b) f (x) = sin 2x +
2
x
1
−1 π
−1
1
f (x) =
× − sin 2x +
× 2 − × −2 × x−3 donc f =
× (− sin U × U 0 ) − × V 0
2
2
2
2
2
1
π
−2
et V (x) = x = 2
avec U (x) = 2x +
2
x
−1
π
1
−1
1
D’où une primitive F de f : F =
cos 2x +
× cos U − × V ⇐⇒ F (x) =
+ 2
2
2
2
2
x
3√
5
c) f (x) =
3x − 5
I=
; +∞
2
3
1
1
3
3
1
1
0
2
2
× (3x − 5) × 3
×U ×U
donc f = ×
avec U (x) = 3x − 5
f (x) = ×
3
2
3
2
D’où une primitive F de f :
d) f (x) =
3e−x
(e−x + 1)2
f (x) = 3 ×
f (x) =
√
√
3
1
1
1
1
1
× U 2 = × U × U 2 = × U U ⇐⇒ F (x) = × (3x − 5) 3x − 5
3
3
3
3
I=
R
−V 0
− (−e−x )
donc
f
=
3
×
V2
(e−x + 1)2
D’où une primitive F de f :
e) f (x) =
F =
ln(1 + 2x)
1
3
⇐⇒ F (x) = −x
V
e +1
−1
I=
; +∞
2
donc f =
D’où une primitive F de f :
V (x) = e−x + 1
F =3×
2
(1 + 2x) ln(1 + 2x)
2
(1+2x)
avec
U0
U
avec
U (x) = ln(1 + 2x)
F = ln U ⇐⇒ F (x) = ln ln(1 + 2x)
−1
pour x ∈
; +∞
2
Z ln 7
n
n
4enx
2 ( 2 points ) Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul, par un =
dx.
ln 7 0
enx + 7
Montrer que la suite un est constante.
4enx
4
nenx
4 U 0 (x)
4
une primitive de fn (x) = nx
= × nx
= ×
est Fn (x) = ln (enx + 7) avec U (x) = enx + 7
e +7
n e +7
n U (x)
n
ainsi :
i ln 7
h4
ln 7
n
4 4
n
un =
ln(enx + 7)
=
× × ln en× n + 7 − ln(8) =
× ln(eln 7 + 7) − ln(8)
n
ln 7 n
ln 7
0
14
7
4
4
4
un =
× (ln(14) − ln(8)) =
× ln
=
× ln
qui ne dépend pas de n.
ln 7
ln 7
8
ln 7
4
La suite (un ) est constante.
3 ( 5 points ) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On note fn la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par fn (x) =
Pour tout entier n > 1, on définit le nombre In par
Z
In =
1
1
Z
fn (x) dx =
0
0
1
.
1 + xn
1
dx.
1 + xn
1° Les représentations graphiques de certaines fonctions fn obtenues à l’aide d’un logiciel sont en Annexe 1.
En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite (In ) l’existence et la valeur éventuelle de la
limite, lorsque n tend vers +∞.
Annexe 1 - Ex 3.
y
1
f50
0,8
f2
f200
f3
f1
0,6
0,4
0,2
O
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x
N
Pour tout n de ∗ et tout x de [0 ; 1], 1 + xn > 0 donc fn (x) > 0
Z 1
Donc In =
fn (x) dx est égale à l’aire du domaine délimité par la courbe représentant la fonction fn , l’axe
0
des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1.
D’après l’Annexe 1, cette aire tend à se rapprocher de 1 quand n tend vers +∞.
2° Calculer la valeur exacte de I1 .
Z 1
h
i1
1
I1 =
dx = ln(1 + x) = ln 2 − ln 1 = ln 2 u.a
0
0 1+x
3° a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n > 1, on a :
Pour tout n de
N∗ et tout x de [0 ; 1] :
0 6 xn 6 1 ⇐⇒ 1 6 1 + xn 6 2 ⇐⇒
1
1
1
>
>
n
1
1+x
2
donc
1
61
1 + xn
1
6 1.
1 + xn
b) En déduire que, pour tout entier naturel n > 1, on a : In 6 1.
1
Pour tout x de [0 ; 1],
61
donc, en intégrant cette inégalité entre 0 et 1 :
1 + xn
Z 1
Z 1
1
1 dx
dx 6
n
0 1+x
0
h i1
In 6 x
0
In 6 1
4° Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n > 1, on a : 1 − xn 6
Pour tout n de
N et pour tout x,
1
.
1 + xn
(xn )2 > 0
donc 1 − (xn )2 6 1 ce qui équivaut à (1 − xn ) (1 + xn ) 6 1 et comme 1 + xn > 0 pour x ∈ [0 ; 1] :
1 − xn 6
5° Calculer l’intégrale
Z
1
1 + xn
1
(1 − xn ) dx.
0
1
Z
xn+1 i1
(1 − x ) dx = x −
=
n+1 0
n
0
h
1−
1
n+1
−0=
n
n+1
6° À l’aide des questions précédentes, démontrer que la suite (In ) est convergente et déterminer sa limite.
1
On a vu que, pour tout n de
et tout réel x de [0 ; 1],
1 − xn 6
.
1 + xn
Z 1
Z 1
1
n
En intégrant cette inégalité entre 0 et 1, on peut en déduire que
(1 − x ) dx 6
dx
n
0
0 1+x
n
c’est-à-dire
6 In .
n+1
n
On a vu aussi que pour tout n, In 6 1
donc, pour tout n,
6 In 6 1
n+1
N
1
n
1
= 0 donc lim 1 −
= 1 ce qui équivaut à lim
=1
n→+∞
n→+∞ n + 1
n+1
n+1
d’après le théorème des gendarmes, la suite (In ) est convergente et a pour limite 1.
On sait que lim
n→+∞
7° On considère l’algorithme de l’Annexe 2.
a) Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l’on entre les valeurs n = 2 et p = 5 ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau de l’Annexe 3 avec les différentes valeurs
prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme. Les valeurs de I seront arrondies au millième.
On fait tourner l’algorithme proposé avec n = 2 et p = 5 :
Annexe 2 - Ex 3.
Variables
n, p et k sont des entiers naturels
x et I sont des réels
Initialisation
I prend la valeur 0
Traitement
Demander un entier n > 1
Demander un entier p > 1
Pour
k allant de 0 à p − 1 faire :
k
x prend la valeur
p
I prend la valeur I + 1 × 1
1 + xn p
Fin Pour
Afficher I
Annexe 3 - Ex 3.
k
0
1
2
3
4
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
I
0,2
0,392
0,565
0,712
0,834
La valeur de I arrondie au centième qui sera affichée est 0, 83.
b) Expliquer pourquoi cet algorithme permet d’approcher l’intégrale In .
Il faut reconnaitre dans l’algorithme proposé la méthode des rectangles permettant de calculer des valeurs
approchées d’aire sous une courbe ; plus précisément, comme la fonction fn est décroissante sur [0 ; 1], on
obtient la somme de rectangles majorant l’intégrale In cherchée.
y
1
' 0.962
0,8
' 0.862
f2
' 0.735
0,6
' 0.610
0,4
0,2
O|
{z
1
5
0,2
}|
{z
1
5
0,4
}|
{z
1
5
0,6
}|
{z
1
5
0,8
}|
{z
1
5
}1
x
1
1
1
1
1
×1+
× 0,962 +
× 0,862 +
× 0,735 +
× 0,610 ' 0,83 u.a
5
5
5
5
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
|5 {z }