Mathematiques Inform.. - MPSI-1

I NFORMATIQUE ET MATHÉMATIQUES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Quelques exemples de suites récurrentes de la forme un+1 = f (un )
A.1 généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1
Exposé de la méthode (cadre général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2
Le lien avec les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
A.3.3
Mise en application de la méthode de Newton pour une valeur approchée de 2
.
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1
1
2
2
2
2
3
B Quelques exercices autour de la notion d’algorithme
B.1 Algorithmes et mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Premier contact avec l’intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
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A Quelques exemples de suites récurrentes de la forme un+1 = f (un )
A.1
généralités
Nous nous intéressons au comportement de telles suites : on s’intéresse essentiellement à la convergence avec des
précisions éventeulles sur la monotonie.
Le comportement de ces suites peut être visualisé dans le plan muni d’un repère orthonormal en visualisant les
points (un ,f (un )) : apparaissent alors de beaux escaliers, escargots ou autres (cf TD MAPLE).
Il n’y a aucune méthode systématique, nous agirons au cas par cas en se laissant guider par l’énoncé (s’il y a lieu).
L’objet de la présente section est de donner des exemples de résolution guidée.
Lors de nos exemples d’étude d’une suite donnée par
½
u0 ∈ R
∀n ∈ N,un+1 = f (un )
où f : I → R ( I intervalle réel ) , nous nous contenterons (c’est déjà pas mal) de nous poser les questions
suivantes :
1. La suite (un )n∈N est-elle bien définie ? Si ce n’est pas toujours le cas, pour quelles valeurs de u 0 est-elle
définie? Notons que cette question n’est pas anodine et la réponse peut être très délicate dans certains cas.
On suppose pour la suite que I est stable par f i.e f (I) ⊂ I
2. Quelles sont les limites finies possibles, en supposant qu’elles existent, de la suite (u n )n∈N ?
3. (un ) est elle monotone? Croissante? Décroissante? Cela peut dépendre de u 0 si ce dernier n’est pas donné :
(a) Chercher un lien entre la monotonie de la suite et le signe de f (x) − x .
(b) Chercher un lien entre la monotonie de la suite et la monotonie de f
4.
On suppose pour cette question que f est k − contractante 1
(a) Montrer que f possède au plus un point fixe .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ : |un+1 − un | ≤ k |un − un−1 |
(c) On suppose ici que f possède effectivement un point fixe α . Montrer que pour tout n ∈ N :
(d) Conclure dans ce cas.
|un − α| ≤ k n |u0 − α|
1. ce qui signifie que k est un réel de ]0,1[ tel que ∀ x,y ∈ I : |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|.
Mathématiques
A.2
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2
Exemples
L’objectif de la première partie de séance est d’écrire une procédure permettant d’obtenir la construction graphique
des premiers termes d’une suite récurrente définie par une relation du type : u 0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 =
f (un ) (cette construction graphique est connue ; si elle n’est pas claire dans votre esprit, il faut l’éclaircir avant de
commencer ce TD).
– Il vous est demandé ici d’écrire un programme (sous forme de procédure) où :
– on donne :
• une fonction f
• un réel u0
• un entier naturel niter (nombre d’itérations) ;
– et il doit sortir : la construction graphique de la courbe représentative de f , de la première bissectrice,
et des termes u0 ,...,uniter de la suite récurrente définie par u0 ∈ R et pour tout n ∈ N, un+1 = f (un )
dans une même fenêtre, avec un cadrage adapté à la situation.
– On testera ensuite cette procédure sur les exemples suivants, en essayant de conjecturer graphiquement la
limite éventuelle de la suite suivant la valeur de u0 :
Exemple 1
(
v0 ∈ R
Exemple 2
½
w0 ∈ [0; 1]
√
∀n ∈ N,wn+1 = 1 − wn
x0 ∈ [0; 1]
∀n ∈ N,xn+1 = 1 − x2n
u0 ∈ R
1
un+1 = e−un
2
u0 ∈ R
2u3
un+1 = 2 n
3un − 1
u0 ∈ R
1
un+1 = sin ◦ sin(un )
2
Exemple 3
Exemple 4
(
Exemple 5


Exemple 6
A.3
A.3.1
½

(
∀n ∈ N,vn+1 = vn − 1 +
1
|vn − 1|
2
Méthode de Newton
Exposé de la méthode (cadre général)
Présentation au tableau .
A.3.2
Le lien avec les suites récurrentes
Ainsi la tangente à Γf au point d’abscisse un coupe l’axe des ordonnées au point d’abscisse x vérifiant 0 =
f 0 (un ) (x − un ) + f (un ), c’est-à-dire (puisque f 0 (un ) 6= 0 : f 0 n’a pas l’air de s’annuler au voisinage de α) x =
f (un )
= un+1 .
un − 0
f (un )
A.3.3
Mise en application de la méthode de Newton pour une valeur approchée de
√
2
1. Soit f : R∗+ → R , x 7→ x2 − 2 . On applique la méthode de Newton avec u0 = 2. La calculette est
interdite .
2. Donner pour tout entier n , l’expression de un+1 en fonction de un .
3. En déduire que pour tout n ∈ N :
¯
√ ´2
√ ¯¯
1 ³
¯
¯un+1 − 2¯ ≤ √ un − 2
2 2
Mathématiques
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3
100
80
60
40
20
0
–20
2
4
6
8
10
–40
–60
–80
F IG . 1 – La méthode appliquée à x → x2 − 2
puis que pour tout n ∈ N
puis que pour tout n ∈ N
¯
√ ¯¯
√
¯
¯un − 2¯ ≤ 2 2
Ã
√ !(2n )
u0 − 2
√
2 2
¯
√ ¯¯
n
¯
¯un − 2¯ ≤ 41−2
√
4. Déterminer alors une fraction qui approche 2 à 10−4 près.
B Quelques exercices autour de la notion d’algorithme
B.1
Algorithmes et mathématiques
1. L’ ALGORITHME DE H ORNER : L’objectif est ici de donner un algorithme permettant d’évaluer rapidement
une expression du type P (α) où P représente un polynôme et α un réel quelconque . On considère donc
x → a0 + . . . + an xn une fonction polynomiale de degré n ( on a donc an 6= 0 ) et on définit une suite
(αk )0≤k≤n par récurrence de la façon suivante :
α0 = an ; ∀k ∈ [[1,n]] : αk = ααk−1 + an−k
(a)
(b)
(c)
(d)
Exprimer les αk en fonction de α et des coefficients de P
Combien d’opérations nécessite le calcul de P (α) par cette méthode .
Comparer avec la méthode classique .
√
Ecrire un programme permettant de calculer P ( 2) par la méthode de Horner .
2. A UTOUR DE LA NOTION DE DICHOTOMIE On considère une fonction f : [0,1] → R continue et telle que
f (0)f (1) < 0 .
(a) Description de l’algorithme On pose a0 = 0 et b0 = 1 . On définit ensuite deux suites (an ) et (bn ) par
récurrence de la façon suivante:
an + b n
n
.
i. Si f (an )f ( an +b
) ≤ 0 alors an+1 = an et bn+1 =
2
2
an + b n
ii. Sinon bn+1 = bn et an+1 =
.
2
Montrer que les suites ainsi définies sont adjacentes et que leur limite commune l vérifie f (l) = 0 .
(b) Soit ² > 0 Quel est le nombre théorique minimal d’opérations à effectuer pour obtenir une approximation de l à ² près .
Mathématiques
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4
(c) Ecrire une procédure permettant de calculer l à 10−20 près.
√
(d) Calculer 2 à 10−20 près par cette méthode et comparer le nombre d’itérations nécessaires avec celui
de la méthode de newton pour arriver au même résultat .
3. A LGORITHMES DE TRI ET LISTES
(a) Comparer deux listes de nombres à l’aide d’une procédure Ordre relativement à l’ordre lexicographique.
(b) Extraire , à l’aide d’une procédure PG , le plus grand élément d’une liste de nombres 2 à 2 distincts en
précisant sa place et en envoyant un message d’erreur si les nombres ne sont pas distincts .
(c) Quelques complexités à étudier :
i. Calculer la complexité du tri par selection 2 .
ii. On souhaite maintenant calculer la complexité moyenne du tri par insertion 3 . L’objectif est de
classer une liste de n entiers deux à deux distincts et compris dans [[1,n]] . Cela revient donc à
classer une liste [s(1), . . . ,s(n)] ( dans l’ordre croissant ) , s désignant une permutation de [[1,n]].
Pour cela on introduit la notion de complexité moyenne :
Cn =
1 X
c(s)
n!
s∈Sn
où c(s) désigne le coût 4 de l’application de l’algorithme à [s(1), . . . ,s(n)] .
• Quelques détails et notations :
i. On écrira 5 , pour s ∈ Sn , s = (s(1), . . . ,s(n)). Par exemple avec n = 3 on a
A. Id = (1,2,3)
B. (1,3,2) est la permutation définie par s(1) = 1 , s(2) = 3, s(3) = 2.
ii. Pour s = (s(1), . . . ,s(n)) on appelera permutation miroir la permutation τ = (s(n), . . . ,s(1)).
iii. Pour s = (s(1), . . . ,s(n)) et i < j des entiers de [[1,n]] on dira que (i,j) est une inversion de s lorsque
s(i) > s(j) . On notera I(s) le nombre d’inversions de s.
iv. Pour l’algorithme , on commencera le classement par la fin de la liste puis pour chaque élément à
insérer on réalisera les comparaisons du début à la fin de la liste en phase de construction.
• On attaque :
i. Calculer le nombre moyen d’inversions d’une permutation de S n , celui-ci étant défini par
m=
1 X
I(s)
n!
s∈Sn
Hint : On pourra regrouper les permutations par deux : (permut ; permut miroir )
ii. Montrer que pour insérer s(i − 1) dans la liste réorganisée issue de [s(i), . . . ,s(n)] il faut I i + ei
comparaisons , Ii désignant le nombre d’inversions de la forme (i − 1,k) avec i ≤ k ≤ n et e i un
nombre entier valant −1,0 ou 1.
n2
iii. Prouver que la complexité moyenne Cn est équivalente 6 à
4
B.2
Premier contact avec l’intégration numérique
1. Ecrire une procédure méthode des rectangles ( à droite ) et une procédure méthode des trapèzes à n+1 points
entre a et b (a<b).
On note Rn la suite construite par la méthode des rectangles .
2. c’est sans doute la méthode la plus élémentaire
3. la méthode du jou eur de carte
4. ici c’est le nombre de comparaisons à réaliser
5. c’est la notation classique et officielle
Mn
6. i.e que limn→∞ 2 = 1
n
4
Mathématiques
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2. On suppose que f est k-Lip . Donner une majoration de
∆n =
Z
Hint : On notera pour tout k ∈ {0,...,n} xk = a + k
Z
b
a
b−a
et on remarquera que
n
b
f (t) dt =
a
f (t)dt − Rn
n−1
X Z xk+1
k=0
xk
f (t) dt
page
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