CHAPITRE II : Nombres entiers et rationnels

CHAPITRE II : Nombres entiers et rationnels
Multiples et diviseurs :
a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a = b × k (ou a ÷ b = k) où k est un entier naturel.
On dit que : a est un multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a ou b divise a.
Remarque : L'entier naturel k est aussi un diviseur de a (k divise aussi a, a est aussi un multiple de k et a
est aussi divisible par k).
Exemple :
91 ÷ 7 = 13 donc 91 = 7 × 13.
91 est donc un multiple de 7 (et de 13). On dit également que 91 est divisible par 7 (et par 13), que 7 est
un diviseur de 91 (13 l'est aussi) ou que 7 divise 91 (13 divise aussi 91).
Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; …
Division euclidienne :
Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels que :
a = b × q  r et r  b.
a b
q est le quotient (entier) et r le reste de cette division euclidienne.
r q
Exemple :
183 12
63 15
3
183 = 12 × 15  3 avec 3  12.
Le PGCD
Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Diviseur Commun.
Exemple : Trouve les diviseurs communs à 30 et 105 puis détermine leur PGCD.
On liste les diviseurs de 30 :
On liste les diviseurs de 105 :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15; 30.
1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 15 ; 21 ; 35;105.
Les diviseurs communs à 30 et 105 sont : 1 ; 3 ; 5 ;15.
Le PGCD de 30 et 105 est donc 15, car c'est le plus grand des diviseurs communs.
On note PGCD (30 ; 105) = PGCD (105 ; 30) = 15.
Propriété : a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD (a ; b) = b.
Exemple : PGCD (143 ; 11 ) = 11 puisque 143 est divisible par 11
Propriété : a et b sont des entiers naturels et a  b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
Propriété : Soit a et b deux entiers naturels avec a  b.
Le PGCD de a et b est égal au PGCD de b et de r où r est le reste de la division euclidienne de a par b
Deux nombres dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux.
Exemple : 9 et 25 sont premiers entre eux
Les algorithmes :
Lorsqu'on répète les mêmes actions à chaque étape pour résoudre un problème, on dit que l'on met en
place un algorithme.
L'algorithme 1
( méthode des soustractions successives)
L'algorithme 2 ou algorithme d'Euclide
( méthode des divisions successives)
Exemples:
a) Utilisation de l’algorithme n°1 pour calculer le PGCD de 936 et 624
Présentation 1:
Présentation 2 :
936 – 624 = 312
PGCD (936 ; 624)
624 – 312 = 312
= PGCD (624 ; 312)
312 – 312 = 0
= PGCD (312 ; 312)
PGCD (936 ; 624) = 312
PGCD (936 ; 624)= 312
b) Utilisation de l’algorithme n°2 pour calculer le PGCD de 456 et 132
Présentation 1:
Présentation 2 :
PGCD (456 ; 132)
Dividende Diviseur
Reste
= PGCD (132 ; 60) car 456 = 132 × 3  60
456
132
60
= PGCD (60 ; 12)
car 132 = 60 × 2  12
132
60
12
=
12
car 60 = 12 × 5  0
60
12
0
PGCD (456 ; 132) = 12
PGCD (456 ; 132) = 12
Fraction irréductible:
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Si on simplifie la fraction
a
par PGCD (a ; b) alors on obtient une fraction irréductible
b
Exemple :
PGCD( 75 ; 105) = 15
75
105
=
75 ÷ 15
105 ÷ 15
5
= 7.
5 et 7 sont premiers entre eux donc la fraction est irréductible.
Le point sur les nombres
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
entiers relatifs et b≠0
Exemples :
Les entiers relatifs, les décimaux,
1 −2 21
, 7 ,
, ..
11
3
Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
Exemples :
π , √2
a
avec a et b nombres
b