TEST BTS IRIS 2 avril 2015 Dans tout le test, la plan complexe est

TEST BTS IRIS 2
avril 2015
 
Dans tout le test, la plan complexe est muni du repère orthonormé (O ; u , v ).
NOM Prénom :
N°1 : a. Tracer le lieu L1 des nombres complexes z vérifiant z = 3 + ix avec x   .
b. Tracer le lieu L2 des nombres complexes z vérifiant z = α + i avec α réel ≥ 0.
π
c. Tracer le lieu L3 des nombres complexes z vérifiant arg(z) = – .
4
N°1 : 3 points
N°2 : 2 points
N°3 : 2 points
N°4 : 2 points

N°2 : a. Donner l'écriture complexe de la translation de vecteur w d'affixe 1 + 5i.
b. Donner l'image du point A par cette translation sachant que l'affixe de A est
zA = – 7i + 3.
N°3 : a. Donner l'écriture complexe de l'homothétie de rapport 1,5 et de centre O.
b. Donner l'image du point B par cette homothétie sachant que l'affixe de B est
zB = 6 – 4i.
N°4 : a. On considère la transformation complexe d'écriture : z' = ei π/3 z.
Quelle est la nature de cette transformation ?
b. Donner sous forme algébrique l'image de i par cette transformation.
N°5 : On effectue la transformation de l'exercice 3 suivie de la transformation de
l'exercice 4. Quel est le nom de la transformation obtenue ?
N°6 : Soit Z =
4
où x  
3 + ix
x
a. On note φ(x ) un argument de Z. Démontrer que φ(x ) = – Arctan( ).
3
b. Etudier les variations de la fonction φ sur  ainsi que ses limites.
N°5 : 1 points
N°6 : attention la rédaction doit être très soignée !!
a. 4 points
b. 4 + 2 = 6 points
TOTAL : 20 points
TEST BTS IRIS 2
avril 2015
COMPLEXES
 
Dans tout le test, la plan complexe est muni du repère orthonormé (O ; u , v ).
N°1 :
●
x
car
●
x
car
N°2 : a. z' = z + 1 + 5i.
b.zA' = zA + 1 + 5i = – 7i + 3 + 1 + 5i = 4 – 2i.
N°3 : a. z' = 1,5z.
b. zB' = 1,5zB = 9 – 6i
N°4 : a. z' = ei π/3 z est l'écriture complexe d'une rotation de centre O et d'angle π/3.
1
1
1
b. z' = ei π/3 i = ( + i 3 )i = i – 3 = – 3 + i
2
2
2
2
2
2
N°5 :On obtient une similitude de centre O, de rapport 1,5 et d'angle π/3.
4
où x  
3 + ix
4
a. φ(x ) = arg Z = arg
= arg (4) – arg( 3 + i x )
3 + ix
= 0 – arg( 3 + i x ) l'argument d'un réel positif est 0
x
= – Arctan( )
la partie réelle 3>0
3
x
Donc φ(x ) = – Arctan( ).
3
1/3
×9
3
b. φ'(x ) = –
φ'(x ) = –
strictement négatif
1 + x2/32 ×9
9 + x2
N°6 : Soit Z =
donc φ strictement décroissante sur  .
lim
 −
x
lim
 −
lim
 +
x
lim
 +
φ(x ) =
x
lim
 −
x
= – ∞ et
3
π
x
– Arctan( ) =
3
2
lim
X  −
Arctan X = –
π
puis multiplication par – 1.
2
π
x
– Arctan( ) = –
3
2
π
x
= + ∞ et lim Arctan X =
X  +
3
2
φ(x ) =
x
lim
 +
puis multiplication par – 1.