Graphes - oveep.com

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Prof : Mr EZZOUIDI
Chap 5 : INITIATION AUX GRAPHES
I ) NOTION DE GRAPHE
1) Representation d’une situation a l’aide d’un graphe
Activité1
Une personne souhaiterait inviter six amis que nous désignons par 1, 2, 3, 4, 5, 6. Malheureusement, certains de
ces six amis ont des relations difficiles ; ce sont celle recensées dans le tableau suivant.
Les amis
1
2
3 4
5
6
Relation Difficiles avec
2 1,5,6
5 5 2,3,4,6
2,5
On veut résoudre le problème P suivant :Combien de personne au maximum peuvent être invitées ensemble sans
risque d’ambiance difficile ?
1) Représenter chaque amis par un point.
2) Relier chaque deux points représentant deux personnes ayant une relation difficile.
3) Expliquer pour quoi la résolution du problème P revient à la résolution du problème P’ où
P’ : Parmi
les six points 1, 2, 3, 4, 5, 6 trouver un sous ensemble contenant le plus possible de ces points et telle que
deux éléments quelconques de ce sous ensemble ne soit pas relier par un segment
4) Résoudre le problème
Définitions






Le schéma (1) ci-dessus représente un graphe.
Les points 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont les sommet de ce graphe
Les ligne lorsqu’il y en a reliant deux sommets sont appelés des arêtes
L’ordre d’un graphe est égal au nombre de ses sommets.
On dit que deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.
Activité2
1) Dessiner un graphe G1 d’ordre 4 tel que chaque sommet est adjacent à tous les autres
2) Dessiner un graphe A,B,C,D,E et F tel que :
A est adjacent à C, D et E , B adjacent à D et C adjacent à A et E
3) Déterminer le nombre d’arêtes ayant pour extrémité D
4) Que peut-on remarquer
Définitions
 Un graphe est complet si chaque sommet est adjacent à tous les autres.
 Un sommet est isolé s’il n’est adjacent à aucun autre sommet.
Exercice1
Parmi les graphes ci-dessous dire s’il y a un graphe complet ou un sommet isolé.
A
A
D
D
A
D
H
C
B
C
B
G1
H
C
B
G2
G3
2) Lemme de poignées de main
Activité3
Ecrire pour chaque graphe la somme des degrés de tous les sommet S en foction du nombre des arêtes N
A
D
A
D
A
D
H
C
B
G1
C
B
G2
H
C
B
G3
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Théorème admis (Lemme de poignées de main)
La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à deux fois le nombre des arêtes de ce graphe
Exercice2
Combien faut-il prévoir de match à jouer si l’on veut organiser un championnat de 14 équipes
Activité4
Dire dans chacun des cas si le nombre des de sommets de degrés impaires est pair ou impair
A
D
A
D
A
D
K
H
H
C
B
G1
C
B
C
B
G2
G3
Théorème admis
le nombre de sommets de degré impaire d’un graphe est pair
Exercice3 (act 6 page 88)
Sept personnes se retrouvent pour un diner. Certaines d’entre elles, qui se sont déjà vues dans la journée, ne se
serrent pas la main. Quatre personnes ont serré trois main, deux en ont serré une.
La septième personne peut elle n’avoir serré qu’une seule main ?
3) Circulation sur un graphe :
Activité5
Des touristes sont logés dans une villa A. ils veulent visiter les cites B, C, D, E, F et G. les tronçons (parties) de route
qu’ils peuvent emprunter sont représentés sur le graphe ci_dessous
A
B
D
1) Donner un parcours qui permet d’aller de A à E
2) Donner un parcours qui permet d’aller de C à F
3) A partir de A, les touristes peuvent-ils emprunter tous les
C
Tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d’eux
4) Même question s’ils doivent obligatoirement terminer leur circuit à la ville A
G
G1
F
E
Définitions
- Une chaine dans un graphe G est une suite finie : s0 , a1 , s1 , a2 , s2 ,……………, an , sn débutant et finissant
par un sommet, alternant sommet et arêtes de telle manière que chaque arête soit encadrée par ses
sommets extrémités.
- La longeur d’une chaine est le nombre d’arêtes qui la décomposent.
- Une chaine est dite fermée si son origine et sont extrémité sont confondus.
- Un cycle est une chaine fermée composée d’arêtes toutes distinctes.
Notation
Une chaine s0 , a1 , s1 , a2 , s2 ,……………, an , sn sera notée s1 - s2 -……………- sn
Activité6
Soit le graphe G1 suivant
y-a-t-il deux sommets qui ne peuvent pas être relier par une chaine
A
B
D
G
C
G1
F
E
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Définitions
Un graphe est dit connexe si on peut relier deux quelconques de ses sommet par une chaine.
A
Exercice4
Soit le graphe G suivant :
1) G est-il connexe.
2) Si non compléter le pour qu’il le soit.
D
H
C
B
G
Activité7
Soient les graphes G1 et G2 ci-dessous :
Dans quel cas peut-on dessiner sans lever le crayon et en ne passant qu’une seule fois sur chaque arête.
Ecrire la chaine.
E
E
A
A
D
D
H
B
C
B
G1
C
G2
Remarque
Une chaine eulérienne ne peut pas contenir plusieurs fois la même arête, mais elle peut passer plusieurs fois
par le même sommet.
Activité8
Cinq pays sont représentés ci-dessous avec leurs frontières.
P1
P1
f3
P4
f1
f2
P2
f4
f7
P3
P2
P3
f6
f5
P5
P4
P5
1) De quel pays doit-on partir pour visiter tous les autres pays en franchissant chaque frontière une seule
fois. ?
2) Est-il possible de partir d’un pays et d’y revenir en franchissant chaque frontière une fois et une seule. ?
Théorème admis 1(EULER)
Un graphe connexe G admet une chaine eulérienne, ssi, tous ses sommets sont de degré pair ou deux
uniquement de ses sommets sont de degrés impairs (ce sont les extrémités de la chaine)
Théorème admis 2(EULER)
Un graphe connexe G admet un cycle eulérien, ssi, tous ses sommets sont de degrés pairs
Exercice5
Soit le graphe G suivant :
1) G admet-il une chaine eulérienne ?
2) G admet-il un cycle eulérien ?
A
D
G
B
C
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I I) COLORIAGE D’UN GRAPHE
Activité9
Le tableau suivant présente les poissons parmi ceux A,B,C,D,E,F,G,H qui ne se cohabitent pas dans un
même aquarium. On se propose de résoudre le problème P suivant :
Quel est le nombre d’aquariums nécessaire ?
A B C D E F G H
A
× × ×
× ×
B ×
× × ×
C ×
×
× × ×
D ×
×
×
×
E
×
×
× ×
F
× ×
×
G × × ×
×
H ×
× ×
1) Représenter cette situation par un graphe
2) Le problème revient à trouver le nombre minimal de couleurs nécessaires pour colorer les huit
sommets de sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.Expliquer
3) Les 4 sommets A,C,D et H sont deux à deux adjacents, deduire qu’il faux au moins 4 couleurs.
4) Verifier que 4 couleurs siffusent.
5) Resoudre le problème.
A retenir
Colorer un graphe consiste à effectuer une couleur à chacun des sommets de façon que deux sommets
adjacents ne portent pas la même couleur.
1) Algorithme de WELLSH ET POWELL
Pour colorer un graphe on procède de la façon suivante :
Etape 1
Ordonner les sommets dans l’ordre décroissante de leurs degrés
Etape 2
Attribuer la couleur C1 au premier sommet puis Attribuer C1 aux sommets qui ne lui sont pas
adjacents et qui ne sont pas adjacents entre eux.
Etape 3
Attribuer la couleur C2 au premier sommet non colorer et en recommence comme dans l’étape 2,
jusqu’à ce qu’il ne reste aucun sommet non coloré.
Exercice6
Soit le graphe suivant :
C
A
D
G
B
1) Colorer le graphe en utilisant l’algoritme précédent.
2) Quel est le nombre de couleurs utilisés ?
3) Peut-on colorer ce graphe uniquement par deux couleurs ?
E
F
H
G1
Remarque
L’algorithme de Welsh et Powell ne donne pas le nombre minimal de couleurs nécessaires pour la coloration
d’un graphe.
Définition
Le nombre chromatique d’un graphe G est le nombre minimal de couleurs nécessaires pour sa coloration ; on
le note (G)
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Activité10
1) Déterminer le nombre chromatique d’un graphe complet d’ordre n, pour n=3 puis n=4 puis n=5
2) Généraliser.
Théorème
Le nombre chromatique d’un graphe G complet d’ordre n est égal à n ((G) = n )
B
Exercice7
Soit le graphe G ci-contre
1) Déterminer tous les sous graphes complets d’ordre 4
2) Verifier que 4 couleurs suffisent pour colorer le graphe G
E
A
C
Activité11
G
G
Revenons sur l’exercice7
F
D
1) Determiner (G)
2) On pose G1 un sous graphe complet de G. comparer (G) et l’ordre de G1
Théorème
Le nombre chromatique d’un graphe G est supérieur ou égal à l’ordre de de tout sous graphe complet de G
Exercice8
1) Verifier que trois couleurs suffisent
Pour colorer les graphes G et G’
2) Déterminer le plus haut degré des
Sommets chacun des graphe G et G’
1
2
8
7
G
6
3
5
1
2
G’
4
5
4
3
Théorème
Soit G un graphe et k le plus hat degré de ses sommet alors (G)  k +1
Exercice9
On désire implanter 7 stations radio dans 7 villes dont les distances mutuelles (en Km) sont données dans le
tableau ci-dessous. Sachant que deux stations interfèrent si elles se trouvent à moins de 100 km l’une de l’autre.
1) Représenter cette situation à l’aide d’un graphe G
B
C
D
E
F
H
( deux sommet sont adjacent si la distance séparant deux
A
55
110 108 60
150 88
ville est inférieur à 100)
B
87
142 133 98
139
2) Vérifier que  (G) ≥ 3
C
77
91
85
93
3) Trois couleurs suffisent-elles pour le coloriage de G
D
75
114 82
4) Déduire le nombre minimum de longueur d’ondes qu’il faut
E
107 141
prévoir pour éviter toute interférence.
F
123
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Activité12
Verifier que 4 couleurs suffisent pour colorier la carte
de TUNISIE sachant que deux gouvernorats voisins
sont coloriés de couleurs différentes.
Théorème admis (des 4 couleurs)
Quatre couleurs suffisent pour colorier n’importe quelle carte
Géographique de façon à ce que deux pays voisins ne soient pas coloriés
par la même couleur.
III) RECHERCHE D’UNE PLUS COURTE CHAINE
BIZERTE
Activité13
Le graphe G suivant représente un réseau routier.
Sur ses arêtes on a marqué les distances séparent deux ville.
Trouver le plus court chemin entre Bizerte et Le Kef.
TABARKA
140
65
70
166
JENDOUBA
TUNIS
175
63
LE KEF
Remarques
Les arêtes du graphe G sont affectées de coefficients positifs, on dit que G est un graphe pondéré
Définitions
 Un graphe pondéré est un graphe dont ses arêtes sont affectées de coefficients positifs
 Le poids d’une chaine est la somme des coefficients des ar^tes qui la composent
 Une plus courte chaine entre deux sommet est, parmi les chaines qui les relient une chaine de poids
minimum
A
B
6
Exercice
Soit le graphe G suivant
Trouver la chaine la plus courte reliant A et D
2
C
3
2
3
D
Graphe : G
ALGORITHME DE DIJKSTRA
Rechercher la plus courte chaine dans un graphe pondéré de grand ordre et de nombreuses arêtes, est
trop pénible et prend du temps vue qu’on doit examiner et comparer un grand nombres de possibilités.
Par son algorithme,DIJKSTRA propose une méthode qui facilite les taches, et rend le problème
programmable en informatique par ordinateur.
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A
3
C
Illustration
3
3
Exemple
3
E
S
1
1
Soit le graphe g suivant on se propose de déterminer
1
1
la plus courte chaine reliant E à nimporte quel autre sommet.
5
1) On affecte 0 à l’origine (ici E) et ∞ à tous les autres sommets
B
D
2) Sélectionner ( on garde) le sommet de plus petit coefficient et on raye toutes les autres cases du
colonne du sommet sélectionné.
3) On s’intéresse qu’au sommet adjacents au sommet sélectionné, on affecte le coefficient 3 au sommet
A et on écrit (0+3) pour indiquer le poids de la chaine E-A et on not 3(E) pour dire que ça provient de E.
on fait la même chose pour B et on aura (0 + 1) et 1(E) et on affecte ∞ à tous les autres sommets.
4) On continue de la même manière comme dans l’étape 2) puis 3)
On obtient le tableau suivant :
E
0
A
∞
0+3
3(E)
1+1
2(B)
B
∞
0+1
1(E)
C
∞
D
∞
S
∞
On garde
E
∞
∞
∞
B
1+3
4(B)
2+3 = 5(A)
4(B)
1+5
6(B)
∞
6(B)
4+1
5(C)
∞
A
∞
C
4+3
7(C)
5+1
6(D)
D
S
5) On repère le point inscrit le plus bas, on aura : par exemple :
la chaine la plus courte reliant E et D est E-B-C-D de poids 5.
On verifie le tableau suivant :
La plus courte chaine
E-B
E-B-A
E-B-C
E-B-C-D
E-B-C-D-S
Poids
1
2
4
5
6
Remarque
dans la colonne de C en bas normalement on aura 2+3 et 5(A)
mais comme 2+5 > 4 qui est le poids de la plus courte chaine reliant E et C on remplace par 4(B) qui se
trouve juste au dessus
autrement si le poids dans la case juste au dessus est inférieur à celui en cours, on le garde.
Exercices (Act5 p 103)