La correction du chapitre - Dellac

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Ch 2 : Les graphes
Correction
Vocabulaire des graphes
Exercice 1 : Une chaîne de 5 magasins A, B, C, D et E décide d'ouvrir ses magasins en nocturne avec les contraintes
suivantes :
* le magasin A peut être ouvert en même temps que le magasin E,
* le magasin B peut être ouvert en même temps que les magasins C, D et E,
* le magasin C peut être ouvert en même temps que le magasin E.
* Les autres combinaisons sont interdites.
1. Compléter le graphe ci-contre pour qu'il représente la situation données :
chaque point ( sommet du graphe ) correspond à un magasin; chaque
segment ( arête du graphe ) signifie que les deux magasins qu'il relie
peuvent être ouverts simultanément.
2. Ce graphe possède 5 sommets .
On dit que ce graphe est d'ordre 5
3. Combien d'arêtes partent du sommet A ? 1
On dit que le sommet A est de degré 1
Compléter le tableau suivant :
Sommet
A
B
C
Degré
1
3
2
D
1
E
3
4. Les sommets A et E sont reliés par une arête. On dit qu'ils sont adjacents.
a. Cite deux autres sommets adjacents B et D
b. Un graphe est dit complet lorsque tous ses sommets sont adjacents. Le graphe précédent est-il complet ? Pourquoi
? Ce graphe n'est pas complet car par exemple, A et B ne sont pas adjacents.
5. a. Quel est le nombre d'arêtes de ce graphe ? 5
b. Quelle est la somme des degrés de tous les sommets de ce graphe ? 10
c. Quelle conjecture pouvez-vous faire entre ces deux résultats ? Expliquer pourquoi on aurait pu prévoir ce résultat.
La somme des degrés de tous les sommets vaut le double du nombre d'arêtes.
Ce résultat était prévisible car en faisant la somme de tous les degrés, on comptabilise deux fois chaque arête (
car une arête relie deux sommets )
6. On décide de représenter le graphe suivant par un tableau comme ci-dessous : si deux sommets sont reliés par une arête,
on code "1"; sinon, on code "0".
Compléter le tableau :
A
B
C
D
E
A
0
0
0
0
1
B
0
0
1
1
1
C
0
1
0
0
1
D
0
1
0
0
1
E
1
1
1
0
0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
Ce tableau peut être résumé par la matrice M =
0 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 0 0 0 1
.
Cette matrice est appelée la matrice d'adjacence du graphe précédent
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Exercice 2 : le cavalier sur l'échiquier
La figure ci-contre montre le déplacement possible pour un cavalier sur un échiquier
( on se limitera dans cette situation à un échiquier "3 × 3" )
On a commencé à schématiser les déplacements sur le graphe ci-dessous :
1 ) Recopier et compléter ce graphe.
2 ) Quel est l'ordre de ce graphe ? Ce graphe est d'ordre 9
3 ) Citer un sommet adjacent à c1. Qu'est que cela signifie pour la
situation initiale ? c1 est adjacent à b3. Cela signifie que si le
cavalier est sur c1, il peut se déplacer en un coup sur b3.
4 ) Un des sommets n'est adjacent à aucun autre. Lequel ? Ce sommet est
dit isolé. Qu'est que cela signifie pour la situation initiale ?
Le sommet isolé est b2. Cela signifie que dans un tel échiquier on en
peut pas accéder à la case b2.
5 ) Tous les sommets ont-ils le même degré ?
La conjecture vue à la question 5.c. de l'exercice 1est-elle encore vraie ?
A l'exception de b2, tous les sommets sont de degré 2 ( b2 est de degré 0 )
Il y a 8 arêtes. La somme des degrés de tous les sommets vaut 8 × 2 = 16.
La conjecture de la question 5 c de l'exercice précédent est donc vraie.
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Exercice 3 : Différentes situations
1 ) On considère le graphe G ci-contre :
Recopier et compléter le tableau suivant pour ce graphe
Ordre du graphe
Nom du sommet
Degré du sommet
6
A
4
B
3
C
3
D
3
E
3
2 ) Pour chacune des situations suivantes :
a ) schématiser par un graphe en précisant la signification des arêtes.
b ) Dresser un tableau comme celui de la question 1.
3 ) Que pouvez-vous en conclure ?
On remarque que tous les tableaux des différentes situations correspondent au tableau du graphe G. Cela
signifie que l'on peut schématiser des situations différents à l'aide d'un même graphe.
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Définition 1 :
Un graphe ( non orienté ) est constitué de sommets dont certains sont reliés par des arêtes.
* Deux sommets sont dits adjacents s'ils sont reliés par une arête,
* L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets,
* Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité,
* Un graphe est dit complet lorsque tous les sommets sont adjacents.
Propriété 2 :
La somme des degrés des sommets d'un graphe non orienté est égale au double du nombre d'arêtes.
Exercice 4 :
1 ) Quel est l'ordre du graphe ci-contre ? 4
2 ) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
Sommet
A
B
C
D
Degré
2
3
3
2
3 ) Ce graphe est-il complet ( c'est-à-dire 2 sommets quelconques sont-ils toujours adjacents ) ?
Les points A et D ne sont pas adjacents.
Exercice 5 :
Parmi les graphes ci-dessous, quels sont ceux qui décrivent une même situation ?
Graphe 1
Sommet
Degré
Graphe 2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
2
2
2
2
Graphe 3
Sommet
Degré
Degré
Degré
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
3
3
3
4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
3
3
3
4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
3
3
3
4
Graphe 4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
2
2
4
4
Graphe 5
Sommet
Sommet
Sommet
Degré
Graphe 6
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
2
2
2
2
Sommet
Degré
Les graphes 1 et 5 décrivent la même situation de même que les graphes 2,4 et 6
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Exercice 6 :
Voici un tableau qui donne les degrés des sommets
d'un graphe G d'ordre 6.
1 ) Calculer le nombre d'arêtes de ce graphe.
N=
2+3+5+4+3+3
= 10
2
2 ) Construisez un graphe G possible.
Exercice 7 :
On considère un groupe d'élèves appelés A, B, ...., G. Pour un
exposé, les élèves doivent se mettre en groupe mais il faut
respecter certaines incompatibilités entre élèves.
Dans le tableau ci-contre, chaque "croix" représente une
incompatibilité entre les élèves correspondants.
Représenter ces incompatibilités par un graphe.
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Exercice 8 :
On donne ci-contre un aperçu de la région Ile de France avec les
départements qui la composent.
1 ) Représenter à l'aide d'un graphe les frontières communes entre les
départements de cette région.
2 ) Décrire le graphe ( c'est-à-dire indiquer la signification des arêtes
et des sommets )
* Chaque sommet représente un département
* Chaque arête représente une frontière commune entre deux
départements
Exercice 9 :
Pour chacun des graphes ci-dessous, déterminer l'ordre du graphe, le degré de chacun des sommets, puis par le calcul le
nombre d'arêtes.
Graphe 1
Graphe 2
Sommet
A
B
C
D
E
F
Sommet
A
B
C
D
E
F
G
H
Degré
1
3
3
2
2
3
Degré
6
2
5
5
2
4
3
3
1+3+3+2+2+3
=7
2
Arêtes :
6+2+5+5+2+4+3+3
= 15
2
Arêtes :
Nombre d'arêtes =
Graphe 3
Sommet
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Degré
2
4
2
4
3
2
3
2
4
4
2 + 4 + ..... + 4 + 4
= 15
2
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Exercice 10 :
Construire un graphe G dont les sommets correspondent aux entiers naturels de 1 à 10. Deux sommets sont reliés par une
arête si la somme des nombres qu'ils représentent est paire.
1 ) Quel est l'ordre de ce graphe ?
10
2 ) Quel est le degré d'un sommet portant un entier pair ? un entier impair ?
Tous les sommets sont de degré 4.
3 ) Quel est le nombre d'arêtes ?
10 × 4
= 20
2
4 ) Ce graphe est-il complet ( c'est-à-dire 2 sommets quelconques sont-ils toujours adjacents ) ?
Le graphe n'est pas complet (A1 et A2 ne sont pas adjacents )
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Matrice d'adjacence d'un graphe
Exercice 11 : Facebook, les graphes et les matrices ......
Six élèves, numérotés de 1 à 6 se retrouvent par hasard à la plage. En
discutant, ils constatent qu'ils sont tous les 6 inscrits sur le même
réseau social ( quel hasard !!!!! ). Le graphe G ci-contre schématise
les liens d'amitié qui les unissent sur ce réseau.
Le but de l'activité est de trouver une méthode mathématique pour
compter de combien de façons peut contacter en passant par
un nombre fixé d'amis.
Partie A : la matrice d'adjacence et ses propriétés
Définition 3 :
Considérons un graphe non orienté d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n.
La matrice d'adjacence de ce graphe est la matrice carrée ( a i j ) d'ordre n telle que a i j correspond au nombre d'arêtes
reliant les sommets i et j.
1 ) Ecrire la matrice d'adjacence du graphe précédent ( voir exercice 1 pour plus de détails )
0 1 1 0 0 0
 1 0 0 1 0 0
 1 0 0 1 1 1
M=
0 1 1 0 0 0
 0 0 1 0 0 1
 0 0 1 0 1 0
2 ) Observer la symétrie de la matrice M. Que signifie cette symétrie pour la situation initiale ?
Cette matrice est symétrique par rapport à sa 1ère diagonale. Cela signifie que si un élève A est ami avec B, alors B
est ami avec A.
3 ) Comment peut-on trouver le nombre d'arêtes du graphe G à partir de la matrice M ?
Il suffit d'ajouter tous les coefficient s de M et de diviser par 2.
Partie B : Nombre de chaînes de longueur donnée.
Définitions 4 : Dans un graphe :
* Une chaîne est une liste ordonnée de sommets reliés deux à deux par une arête.
* La longueur d'une chaîne est le nombre d'arêtes qui la composent.
* Une chaîne est dite fermée lorsque l'origine et l'extrémité sont confondues
* Un cycle est une chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes
4 ) Recopier et compléter :
a. " la chaîne
est une chaîne de longueur 2 reliant à . "
b. "
est un cycle de longueur 4 "
5 ) a. Ecrire toutes les chaînes de longueur 2 reliant à . 1-2-4 ; 1-3-4
b. Même question pour les chaînes de longueur 2 reliant à . Il n'y en a pas
c. Ecrire toutes les chaînes de longueur 3 reliant à . 1-3-5-6 ;
d. Même question pour les chaînes de longueur 3 reliant à . 2-4-3-5 ; 2-1-3-5 ;
6 ) Calculer la matrice M².
a. Vérifier que le terme a14 de cette matrice correspond à la réponse à la question 2 a ) a14 = 2
b. Vérifier que le terme a34 de cette matrice correspond à la réponse à la question 2 b ) a34 = 0
7 ) Calculer la matrice M3
a. Quels sont les termes de cette matrice qui permettent de retrouver les réponses aux questions 2 c )
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et 2 d ) ?
Pour la question 2 c, il faut chercher le terme a16 ; on obtient a16 = 1
Pour la question 2 d, il faut chercher le terme a16 ; on obtient a25 = 2
b. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 reliant à ?
On cherche le terme a53 de la matrice M3. On obtient a53 = 5 . Il y a donc 5 chaînes de longueur 3 reliant
8 ) On admet le résultat suivant :
à
Propriété 5 :
Soit M la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Soit n un réel.
Le terme ( a i j ) de la matrice Mn donne le nombre de chaînes de longueur n reliant les sommets i et j.
En utilisant la calculatrice, déterminer de combien de façons l'élève peut contacter l'élève
des "amis".
On cherche le terme a16 de la matrice M4. On obtient a16 = 7 .
L'élève peut contacter l'élève en 4 étapes de 7 manières différentes.
en 4 étapes en passant par
Exercice 12 :
Le tableau ci-contre correspond à un graphe
d'ordre 6.
1 ) Construire un tel graphe.
2 ) Donner sa matrice d'adjacence.
1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 
M=
1 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 
0 0 1 0 1 0 
0 1 0 1 0 0
Exercice 13 :
Construire un graphe dont la matrice d'adjacence est donnée
ci-contre :
0 1 1 0
1 0 0 1
M=
1 0 0 1
0 1 1 0
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Exercice 14 :
1 ) Citer deux chaînes de longueur 3 reliant les sommets A et D du graphe cicontre. ABCD et ADCD
2 ) Indiquer les longueurs de chacune des chaînes suivantes :
a ) ADCBED
b ) BEDCEB
c ) ABCDEBA
a ) Longueur 5
b ) Longueur 5
c ) Longueur 6
Exercice 15 :
Quel est le nombre de chaînes de
longueur 4 reliant les sommets
à dans le graphe ci-contre.
1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 
La matrice d'adjacence de ce graphe vaut M =
0 1 1 0 1 
0 1 1 1 0 
4 6 8 8 8
 6 28 22 22 22 
Le terme a vaut 8. Il y a donc 8 chaînes de longueur 4
 8 22 22 21 21 
On calcule M =
reliant les sommets à
 8 22 21 22 21 
 8 22 21 21 22 
0 1 0 0 0
14
4
Exercice 16 :
Un parcours de santé est aménagé pour les sportifs dans un
parc de la ville. Il est constitué de cinq points tous distants
de 500 m.
1 ) Combien existe-t-il de parcours différents de 1,5 km ?
2 ) Combien existe-t-il de parcours différents de 2,5 km ?
La matrice d'adjacence de ce graphe vaut
1 ) Les parcours de 1,5 km correspondent à des chaînes de 3 arêtes. Il suffit donc de calculer M3 et ajouter tous ses
coefficients.
5 4 7 7 3


M = 6 7 6 7 6
3 7 7 4 5 
3 3 6 5 2 
2 5 6 3 3
3
La somme des coefficients vaut 122. Il y a donc 122 parcours
différents de 1,5 km.
2 ) Même raisonnement pour 2,5 km avec M5. On trouve 1054 parcours de 2,5 km
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Exercice 17 ( d'après sujet Bac )
Un orchestre doit effectuer une tournée en passant par les villes A, B, C, D,
E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier.
Le graphe ci-contre représente les différentes villes de la tournée ainsi que
les autoroutes reliant ces villes.
1 ) Déterminer la matrice M d'adjacence de ce graphe ( on prendra les
sommets par ordre alphabétique )



M=



0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0







2 ) Combien existe-t-il de chemins de longueur 3 reliant B à H ? Justifier la réponse. Préciser ces chemins.
Pour calculer le nombre de chemins de longueur 3 reliant B à H, il faut trouver le terme a28 de la matrice M3



M =



2
5
6
2
1
2
1
3
5
4
6
6
2
1
1
3
6
6
4
8
5
2
1
2
2
6
7
2
1
3
1
4
1
3
6
3
1
3
3
5
2
1
1
3
1
0
0
1
3
4
4
7
4
4
3
5
0
0
0
0
0
0
0
0
3







Donc a28 = 3.
Il y a 3 chemins de longueur 3 qui relient B à
H; ce sont :
BCDH - BCEH et BDFH
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Graphes connexes - Théorème d'Euler
Exercice 18
G2
G3
G1
G5
G7
G4
G6
G8
Définitions 6 :
* Un graphe est dit connexe s'il existe toujours une chaîne qui relie deux sommets quelconques.
* Une chaîne eulérienne est une chaîne qui passe par chaque arête une et une seule fois.
* Un cycle eulérien est une chaîne eulérienne fermée.
1. Remplir le tableau suivant avec OUI ou NON
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
Graphe connexe
NON
OUI
OUI
OUI
OUI
NON
OUI
OUI
Possède une chaîne eulérienne
NON
OUI
OUI
OUI
OUI
NON
OUI
NON
Possède un cycle eulérien
NON
OUI
NON
OUI
NON
NON
NON
NON
2. On s'intéresse aux sommets de degré impair des différents graphes.
Nombre de sommets de degré
impairs
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
4
0
2
0
0
6
2
4
3. En observant le nombre de sommets de degré impair de chacun des graphes ci-dessus, trouver une conjecture pour
qu'un graphe connexe :
* possède une chaîne eulérienne : un graphe connexe possède une chaîne eulérienne si son nombre de sommets de
degré impair est 0 ou 2
* possède un cycle eulérien : un graphe connexe admet un cycle eulérien si aucun de ces sommets n'est de degré
impair.
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Propriété 7 : Le théorème d'Euler
* Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.
* Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement tous ses sommets sont de degré pair.
Remarque : pour prouver qu'un graphe est connexe, il suffit de trouver une chaîne reliant tous ses sommets.
Exercice 19 : Le défilé des champions ....
De retour dans sa ville après avoir remporté la médaille d'or aux JO, une
championne est invitée à défiler dans les rues principales afin de montrer
sa médaille aux habitants. Le graphe ci-contre représente les principales
rues où elle doit défiler.
On se propose de trouver un trajet qui permettra de défiler dans la ville en
passant dans chaque rue principale une seule fois.
1. Ce graphe est-il connexe ? Justifier.
2. Combien y a-t-il de sommets de degré impair ?
Est-il possible de répondre au problème posé ?
3. Pour trouver un trajet possible, on utilise l'algorithme d'Euler suivant :
Etape 1 :
* s'il y a deux sommets de degré impair, on construit une chaîne eulérienne quelconque joignant ces
deux sommets.
* Si tous les sommets sont de degré pair, on construit un cycle eulérien à partir d'un sommet
quelconque.
* Dans les 2 cas, si toutes les arêtes sont marquées, la chaîne est eulérienne ( le problème est donc
résolu ); sinon passer à l'étape 2
Etape 2 :
On choisit un sommet X de la chaîne précédente et on insère un cycle eulérien X .... X ne contenant
aucune des arêtes déjà marquées.
Etape 3 :
Si toutes les arêtes sont marquées, la chaîne est eulérienne ( le problème est donc résolu ); sinon on
recommence l'étape 2
Utiliser l'algorithme précédent pour trouver un trajet possible ( il y en a plusieurs ); pour cela compléter le tableau suivant :
Cycle
Chaîne
ABC
...
...
...
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Exercice 20 :
Un site Internet comporte 8 pages, notées A, B, C ... H reliées entre elles suivant
le graphe ci-contre.
Ainsi, par exemple, à partir de la page A, on peut directement accéder aux pages
B, Cet D mais on ne peut pas directement accéder à la page F.
1. Ce graphe est-il connexe ? Justifier.
Ce graphe est connexe car on peut trouver une chaîne reliant tous les
sommets ( par exemple : A - B - C - E - G - H - F - E - C - D )
2. Le technicien souhaite tester les liens entre les pages. En partant de la page A,
est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les
liens entre les pages ? Justifier.
Si un tel parcours existe, citez le ( on pourra utiliser l'algorithme d'Euler )
Points
A
B
C
D
E
F
G
H
Degré
3
3
4
3
4
4
3
2
Ce graphe est connexe et il y a 4 sommets de degré impair donc on ne peut pas trouver un parcours passant
une seule fois par toutes les pages ( pas de chaîne eulérienne ).
A terminer
Exercice 21 :
Pour développer sa communication, une entreprise a commandé l'installation
de 9 panneaux publicitaires le long de 9 routes symbolisées par les
arêtes du graphe ci-contre.
Est-il possible pour le directeur de vérifier si tous les panneaux sont bien
installés sans passer deux fois devant le même panneau ?
Et en revenant au point de départ ?
Ce graphe est connexe ( A - B - C - D - E - F - D )
Tous les sommets sont de degré pair ( degré 2 pour A, C et F; degré 4 pour B, D et E ), donc d'après le
théorème d'Euler, ce graphe admet un cycle eulérien.
Le directeur peut donc vérifier si tous les panneaux sont installés sans passer deux fois par le même panneau et
en revenant au point de départ.
En utilisant l'algorithme d'Euler, en partant de A, on a par exemple :
Cycle
ABCDEA
BDEFB
ABDEFBCDEA
Chaîne
.
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Exercice 22 ( d'après sujet Bac )
Le graphe ci-contre représente le plan d'une ville. Les arêtes représentent
les avenues commerçantes et les sommets représentent les
carrefours de ces avenues.
1 ) Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun des
sommets.
Ce graphe connexe est d'ordre 6.
Points
A
B
C
D
E
F
Degré
4
4
4
4
3
3
2 ) Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue?
Justifier la réponse.
Si un tel parcours existe, citez le ( on pourra utiliser l'algorithme d'Euler )
Ce graphe est connexe et il y a 2 sommets de degré impair donc d'après le théorème d'Euler, il existe une
chaîne eulérienne. Un piéton peut parcourir toutes les avenues sans passer deux fois par la même. Par
exemple :
Cycle
ACBFEDA
Chaîne
EABDCF
EACBFEDABDCF
Exercice 23 :
Aurélien a fait son footing au parcours de santé de son village.
Le graphe ci-contre schématise les chemins qu'il a
empruntés. Il se rend compte qu'au cours de son footing,
il a perdu son téléphone. Aurélien peut-il passer par tous
ces chemins une fois et une seule à partir :
1 ) du départ ?
2 ) d'un autre point ?
Ce graphe est connexe et possède :
* 2 sommets de degré impair ( E et B sont de degré 3)
* 4 sommets de degré pair ( A, C, D et le départ sont de degré 2 )
D'après le théorème d'Euler, ce graphe possède donc une chaîne eulérienne mais pas de cycle eulérien.
1 ) Pour trouver une chaîne eulérienne, il faut démarrer d'un sommet de degré impair
( en utilisant l'algorithme d'Euler ). C'est donc impossible à partir du départ.
2 ) On peut par contre démarrer du sommet B ( ou du sommet E )
Par exemple :
Cycle
BAdépartE
Chaîne
BCDE
BADépartEBCDE
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Graphes orientés, graphes pondérés, graphes étiqueté
Exercice 24 : Liens Internet
Six amis notés A1, A2, ... , A6 ont chacun crée un blog pour parler de leur
passion. Chaque arête du graphe orienté G ci-contre indique la présence d'un
lien pour mener d'un blog à un autre.
Partie A : Compréhension du graphe.
1 ) Est-il possible de passer directement du blog de A1 au blog de A6 ? du blog
de A6 au blog de A1 ?
2 ) Est-il possible de passer directement bu blog de A4 au blog de A5 ? du blog
de A5 au blog de A4 ?
3 ) Combien y a-t-il de possibilités pour passer du blog de A1 à chacun des
autres blogs :
G
a ) en 2 clics ( donner les différentes possibilités ) ?
b ) en 3 clics ?
Partie B : on se propose de déterminer le nombre de possibilités pour passer d'un blog à un autre en un nombre donné de
clics.
4 ) Soit M la matrice d'adjacence du graphe orienté G.
a ) Ecrire M
b ) Expliquer pourquoi la matrice M n'est pas symétrique à sa première diagonale .
5 ) a ) En utilisant la calculatrice, calculer M² et M3. Comment peut-on retrouver les résultats de la question 3 de la
partie A ?
b ) On admet ( comme dans le cas des graphes non orientés ) que le terme a i j de la matrice Mn donne le nombre de
chaînes de longueur n reliant Ai à Aj
De combien de façons un internaute peut-il passer en 4 clics :
* du blog de A1 au blog de A3 ?
* du blog de A3 au blog de A1 ?
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Définition 8 :
* Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont orientées. Chaque arête ne peut être parcourue que dans le sens de la
flèche.
* Une boucle est une arête orientée dont l'origine et l'extrémité sont les mêmes.
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Exercice 25 : Le plus court chemin .....
Le graphe ci-contre représente le réseau routier reliant 6 villes
A, B, .... , F.
On a affecté à chaque arête la distance entre les villes ( on parle alors
de graphe pondéré ).
1 ) Quelle est la longueur de la chaîne ABCDF ?
La chaîne ABCDF a une "longueur " de 1 + 2 + 3 + 2,5 = 8,5
2 ) Existe-t-il une chaîne plus "courte" reliant A à F ?
La chaîne ABDF a une longueur de 1 + 4 + 2,5 = 7,5. C'est donc
une chaîne plus "courte" que la chaîne ABCDF.
Remarque : dans cet exercice il faut comprendre les mots "longueur" et "courte" comme la somme des poids figurant
sur chaque arête ( et non pas comme le nombre d'arêtes ).
On privilégiera par la suite les mots "poids" ( plutôt que longueur ) ou " légère ( plutôt que "courte" )
pour ne pas risquer de confusion.
Exercice 26 : Créations de codes d'accès
Le réseau informatique du lycée doit être accessible à un grand nombre de personnes qui ne doivent cependant pas avoir
le même code d'accès.
Partie A : Acceptation ou refus de codes.
L'accès au réseau est régi par l'un des graphes étiquetés ci-dessous. Ce sont des graphes orientés où une lettre est inscrite
sur chaque arête.
Un mot est reconnu comme code d'accès si c'est une liste de lettres commençant par d et terminant par f, associé à une
chaîne du graphe.
Pour chacun des graphes étiquetés G1 et G2 ci-dessus :
1 ) le mot " decif" est-il un code accepté ?
"decif" est accepté pour chacun des deux graphes G1 et G2
2 ) le mot "daaeebiif" est-il un code accepté ?
"daaeebiif" est accepté pour le graphe G1 mais pas pour le graphe G2 ( on ne peut pas aller de "e" à "i" en
prenant le chemin "b" )
3 ) Donne la liste des codes à 5 lettres acceptés par le graphe G1.
14 codes possibles :
dacif ; dabif ; decif ; debif ; daacf ; daabf ; deebf ; dciif ; dbiif ; deecf ; daecf ; deacf ; daebf ; deabf
4 ) Donne la liste des codes à 5 lettres acceptés par le graphe G2.
8 codes possibles :
dacif ; decif ; daacf ; dciif ; deecf ; daecf ; deacf ; dcbcf
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Partie B : Construction d'un graphe étiqueté
On veut construire un graphe étiqueté pour réaliser des codes d'accès pour 10 personnes, avec les lettres a, b, c, d, e, f et i.
On impose les contraintes suivantes :
* chaque code comporte 5 lettres dans l'ordre alphabétique;
* chaque code commence par la lettre a et finit par la lettre i;
* seules les lettres b et f peuvent être répétées.
Réaliser un graphe étiqueté pour faire ce travail et donner une liste de 10 codes possibles.
Voici un graphe possible :
Voici 10 codes possibles pour ce graphe :
abbci ; abbei ; aeffi ; abbdi ; abefi ; abcfi ; acffi ; abdfi ; adffi
Définitions 9 :
* Un graphe étiqueté est un graphe orienté où chacune des arêtes est affectée d'une lettre, d'un mot ... . Ces symboles sont
les étiquettes du graphe.
* Un graphe pondéré est un graphe étiqueté dont toutes les étiquettes sont des nombres positifs.
* Dans un graphe pondéré, le poids d'une chaîne est la somme des poids des arêtes qui la composent.
Exercice 27 :
1 ) Les graphes ci-dessous sont des graphes orientés ( les arêtes ne peuvent être parcourus que dans le sens indiqué par la
flèche )
a ) Ecrire la matrice d'adjacence de chacun de ces
graphes.


1 0 0 
0 1 0 
1 1 0
Ma =
Mb
0 1 0 0
1 0 0 0
=
0 1 0 1 
1 0 1 0 
b ) Quelle remarque pouvez-vous faire par rapport aux matrices des graphes non orientés ?
* Elles ne sont pas symétriques par rapport à la 1ère diagonale
* Dans Ma, la 1ère diagonale n'est pas uniquement composée de 0.
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2 ) a ) Ecrire la matrice d'adjacence du graphe orienté ci-dessous ( les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique ).

M=

1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0



b ) A l'aide de la calculatrice déterminer M5 et M6
5
M =




3
4
2
2
2
1
2
0
2
4
1
2
2
2
2
1




M
6


=


5
5
4
2
2
4
1
2
4
3
4
1
3
4
2
2




c ) En déduire le nombre de chaînes :
* de longueur 5 reliant A à C
Le coefficient a13 de la matrice M5 vaut a13 = 2.
Il y a donc 2 chaînes de longueur 5 reliant le sommet A au sommet C.
* de longueur 6 reliant D à A.
Le coefficient a41 de la matrice M6 vaut a41 = 2.
Il y a donc 2 chaînes de longueur 6 reliant le sommet D au sommet A.
Exercice 28 :
Les données ci-dessous décrivent les interactions entre 4 espèces animales notées A, B, C et D. Deux espèces qui vivent en
symbiose profitent l'une de l'autre.
* A profite de B;
* B vit en symbiose avec C;
* C profite de A et de D;
* D vit en symbiose avec A.
1 ) Représenter cette situation par un graphe orienté
dans lequel les arêtes signifient
" .... profite .... ".
2 ) Ecrire la matrice d'adjacence M de ce graphe.
0 1 0 1


0 0 1 0

M=
1 1 0 1 
1 0 0 0 
3 ) A l'aide de la calculatrice, calculer M4 .
2 1 2 1
M
4


2 2 1 2

=
3 3 2 3 
1 2 0 2 
4 ) Quel est le coefficient a43 de cette matrice ? Que signifie-t-il ?
a43 = 0 ; cela signifie qu'il n'y a pas de chemin de longueur 4 reliant D à C.
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Exercice 29 :
Un réseau informatique est régi par le graphe
étiqueté ci-dessus. Un code d'accès est reconnu
lorsque le mot saisi commence par a, se termine
par g et est associé à une chaîne de ce graphe.
1 ) " abdeg " et " acdbbcfeg " sont-ils des codes d'accès ?
" abdeg " n'est pas un code d'accès reconnu ( on ne peut pas passer de "b" à "e" en passant par "d" )
" acdbbcfeg " est un code d'accès reconnu.
2 ) Donner la liste des codes d'accès de 5 lettres.
"abbcg" ; "abceg" ; "abcfg" ; "acdcg" ; "aceeg" ; acffg" ; "acefg" ; "acfeg"
Exercice 30 :
1 ) Construire un graphe étiqueté contenant une boucle " l ", qui reconnaît le mot "balle".
Voici un graphe possible :
2 ) Construire un graphe étiqueté contenant une boucle " n ", qui reconnaît le mot "bonbonne".
Voici un graphe possible :
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