sujet - La physique-chimie en BCPST 1A au lycée Hoche

A. Guillerand – BCPST 1 A
Feuille d’exercices
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
TD P13 – Mécanique – Energie du point matériel
Exercices d’application
1
Mouvement de glissement sans frottement
Savoir-faire mis en œuvre :
Savoir calculer le travail d’une force (force conservative
ou force de frottement)
Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour trouver
une inconnue
3
Pendule simple
Savoir-faire mis en œuvre :
Savoir calculer le travail d’une force (force conservative
ou force de frottement)
Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour
l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur
Un pendule est constitué d’un objet de masse
au bout
d’un fil de longueur . Il est lâché sans vitesse initiale
On considère un objet ponctuel de masse glissant sans depuis un angle mesuré à partir de la verticale.
frottement à l’intérieur d’une portion circulaire (cf. figure 1) 1. Déterminer la vitesse de la masse lorsque le fil est
incliné d’un angle quelconque. Est-il nécessaire de
faire l’approximation des petits angles pour déterminer
cette vitesse ? Faire l’application numérique pour
.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement à l’aide
du théorème de l’énergie cinétique.
4
Figure 1
Déterminer la vitesse minimale
qu’il faut communiquer
à la masse en
pour qu’elle puisse atteindre .
2
Mouvement de glissement avec frottement
Savoir-faire mis en œuvre :
Savoir calculer le travail d’une force (force conservative
ou force de frottement)
Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour trouver
une inconnue
Chute libre
Savoir-faire mis en œuvre :
Distinguer force conservative et force non conservative.
Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour trouver
une inconnue
On lance un objet de masse
à la vitesse
à
, on
choisit l’origine du repère
au niveau de la position de
départ de l’objet. Le vecteur unitaire
est orienté
verticalement vers le haut.
Déterminer la norme de vitesse en fonction de l’altitude .
En déduire l’altitude
atteint par l’objet.
On considère une masse glissant avec frottement sur un
plan incliné d’angle
(cf. figure 2). Le coefficient de
frottement dynamique noté vérifie la condition suivante :
.
Figure 2
Déterminer la vitesse minimale
qu’il faut communiquer
à la masse en
pour qu’elle puisse atteindre .
TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel
1
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Feuille d’exercices
Distance d’arrêt
5
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On considère (figure suivante) un tunnel rectiligne
,
d’axe
ne passant pas par et traversant la Terre. On
note la distance
du tunnel au centre de la Terre.
Savoir-faire mis en œuvre :
Distinguer force conservative et force non conservative.
Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour trouver
une inconnue
Un objet de masse
lâchée en
, sans vitesse initiale,
glisse sans frottement sur un plan incliné puis avec
frottement sur un plan horizontal (cf. figure 3). Le
coefficient de frottement dynamique noté
vérifie la
condition suivante :
.
Figure 4
Un véhicule, assimilé à un point matériel
(masse ),
glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du
point de la surface terrestre, sans vitesse initiale.
Figure 3
Calculer la distance d’arrêt
6
.
Ressort vertical
Savoir-faire mis en œuvre :
Distinguer force conservative et force non conservative.
Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour
l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur
Un objet ponctuel de masse , lié à un ressort vertical de
constante de raideur et de longueur à vide , est lâché
sans vitesse initiale, le ressort étant étiré initialement :
longueur .
A l’aide du théorème de l’énergie mécanique, déterminer
l’équation différentielle du mouvement.
7
Calcul d’une énergie potentielle
On définit
l’énergie potentielle de gravitation.
1. Quelle est l’expression de
sachant que
au point ? (On prendra l’origine des au
point )
2. Quelle est sa vitesse maximale
au cours de son
mouvement ? Calculer
sachant que
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Graphe d’énergie potentielle et régions
accessibles
Savoir-faire mis en œuvre :
Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la nature de la
trajectoire possible
Déduire d’un graphe la position et la nature stable ou
instable des positions d’équilibre
Soit le graphe de l’énergie potentielle de la figure 5.
Savoir-faire mis en œuvre :
Etablir l’expression de l’énergie potentielle connaissant
la force (dans le cas unidimensionnel).
On démontre que, pour tout point
de masse , situé à
l’intérieur de la Terre, à la distance du centre
de la
Terre, l’attraction terrestre est une force agissant sur ce
point, dirigée vers le centre de la Terre et de valeur :
Figure 5 : graphe de l’énergie potentielle
: rayon de la Terre,
Données numériques :
1. En déduire l’allure du graphe donnant la variation de la
force en fonction de .
,
,
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2. Quelle est la position d’équilibre ? Est-elle stable ?
Quelles sont les régions accessibles si
et
si
?
Exercices d’entraînement
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Jeu de foire
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Amortissement
Un objet de masse
est lâché sans vitesse initiale depuis
une altitude dans le champ de pesanteur.
Dans une foire, un jeu de force consiste à taper avec une
masse sur un levier qui transmet une force verticale à un
objet de masse . Le joueur gagne si l’objet fait tinter
(grâce au choc) une cloche située à la hauteur au dessus
du levier.
1. Quelle doit être la vitesse initiale minimale transmise à
l’objet pour gagner, en l’absence de frottement entre
l’objet et son guide vertical ?
2. Le forain est un peu tricheur : il a placé sur le guide un
Figure 7
matériau qui introduit une force de frottement opposée
Afin
d’amortir
sa
chute,
on place dessous un ressort de
au mouvement et de norme constante . Calculer la
nouvelle vitesse initiale à communiquer à la masse constante de raideur et de longueur à vide . Déterminer
de quelle longueur est au maximum comprimé le ressort.
pour gagner
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Cube
On abandonne sans vitesse initiale un cube de masse sur
un plan matériel incliné d’un angle avec l’horizontale. Le
cube glisse sans frottement sur la ligne de plus grande pente
sur une distance
avant de butter sur un ressort de
constante de raideur et de longueur à vide .
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Modèle de Drude
Le modèle de Drude (du nom du physicien Paul Drude) est
une adaptation effectuée en 1900 de la théorie cinétique des
gaz aux électrons des métaux (découverts 3 ans plus tôt, en
1897 par J.J. Thomson).
Bien que se fondant sur des hypothèses démenties depuis
1. Déterminer par une analyse énergétique de combien se (description purement classique du mouvement des
électrons), la modèle permet de rendre compte de plusieurs
retrouve comprimé le ressort au maximum.
propriétés des métaux, notamment leurs conductivités
2. Quelle est la longueur du ressort quand la vitesse du électrique et thermique.
cube est maximale ?
Les électrons libres du métal, qui contribuent à la
conduction, sont uniformément répartis et sont animés d’un
mouvement d’ensemble par des champs électriques ou
magnétiques et freinés dans ce mouvement par des
collisions. On note la masse d’un électron,
sa charge
et
la densité volumique, c’est-à-dire le nombre
d’électrons par
.
Figure 6
Les électrons sont ici soumis à l’action d’un champ
électrique uniforme
et à une force de frottement
traduisant les chocs dans le réseau cristallin
où est la durée moyenne entre deux chocs et
la
vitesse d’un électron dans le référentiel lié au métal,
supposé galiléen et rapporté au repère (
).
1. Etablir l’équation différentielle suivie par
2. Montrer que la vitesse de l’électron tend, en régime
permanent, vers une constante notée
, que l’on
précisera.
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3. Exprimer en régime permanent, la puissance de la
force électrique, ainsi que celle de la force de
frottement. Conclure.
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Barrière de potentiel
Voiture réduite à un point matériel
On s’intéresse au dispositif suivant dans lequel un ressort de
raideur , de longeueur au repos
et de masse
On considère un véhicule, assimilé à un point matériel de négligeable, est relié par l’une des extrémités au point fixe
masse , en mouvement rectiligne horizontal. Sa position
et ’autre à un anneau
de masse , coulissant
est repérée par son abscisse et on ne considérera que les sans frottement sur un axe
horizontal.
composantes des forces colinéaires au vecteur
base de
l’axe
. Dans tout le problème, on se place dans un
référentiel terrestre supposé galiléen.
1. L’automobile n’est soumise qu’à l’action de son
moteur qui développe une puissance constante . Elle
part du repos en
. Les frottements sont négligés.
Déterminer, en fonction du temps, les expressions de :
1.1. La vitesse
1.2. L’accélération
1.3. L’abscisse
2. Déterminer l’expression de en fonction de la vitesse
.
3. Au bout de quelle distance le véhicule aura-t-il atteint
la vitesse de
?
On donne :
g et
4. La voiture est maintenant soumise, en plus de l’action
du moteur, à une force de résistance de l’air, de norme
, où est une constante positive.
4.1. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, pendant
une durée infinitésimale
, établir l’équation
différentielle :
Figure 8 : Système étudié
1. Montrer que l’énergie mécanique du système se
conserve.
2. Exprimer l’énergie potentielle
du système.
3. Déterminer la (les) position(s) d’équilibre du point
matériel . Montrer que le comportement du système
est différent pour
et pour
.
4. Identifier alors les profils d’énergie potentielle
proposés sur la figure suivante.
1.1. En intégrant cette équation différentielle, exprimer
en fonction de , sachant que
et
.
1.2. Montrer qu’il existe une vitesse limite .
1.3. Donner en fonction de et de .
2. On donne
2.1. Calculer la valeur de
2.2. Au bout de quelle distance
atteint la vitesse de
, le véhicule aura-t-il
Figure 9 : Courbes d’énergie
potentielle
5. Dans le cas du profil
, on lance l’anneau à partir
d’une position d’équilibre stable avec une vitesse .
Déterminer les différents mouvements possibles en
fonction de .
TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel
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4. Donner le développement limité au deuxième ordre de
cette énergie potentielle, qu’on notera
.
Comment s’appelle un potentiel ayant cette forme ?
et
Un objet ponctuel , de masse , fixé à un ressort (raidur 5. Tracer sur un même graphe les courbes
pour
.
, longueur à vide ) peut coulisser sans frottement,, le
long d’une tige inclinée d’un angle
par rapport à la 6. Quel est l’écart relatif
entre ces deux
verticale. L’axe
est choisi dans la direction de cette
potentiels ? Faire l’application numérique pour
tige.
. Visualiser l’écart sur le dessin précédent.
Calculer
en degrés. Commenter la pertinence de
l’approximation faite.
7. Donner l’expression de l’énergie mécanique approchée
de l’objet en fonction du seul paramètre variable .
8. Dériver l’énergie mécanique approchée par rapport au
temps. En déduire la période des oscillations.
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Oscillateur harmonique
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Modélisation de la vibration moléculaire
Une molécule diatomique
est en permanente
vibration : la distance interatomique oscille dans le temps.
L’interaction entre les atomes est modélisée par le potentiel
de Morse :
Figure 10 : Système étudié
où ,
et
sont des constantes positives. On néglige
l’attraction gravitationnelle entre atomes face aux autres
forces du système.
1. Déterminer la position d’équilibre du système
1. Exprimer l’énergie potentielle de en fonction de .
2. En déduire la position d’équilibre.
2. Déterminer le caractère stable ou instable de cette
3. On déplace légèrement la masse de sa position
position d’équilibre
d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Etablir
l’équation différentielle du mouvement et la période 3. Tracer l’allure de la courbe d’énergie potentielle,
appelée courbe de Morse.
des oscillations.
4. Déterminer l’équation de la parabole passant au plus
près de la courbe de Morse au voisinage de l’équilibre.
Oscillateur harmonique approché
Tracer l’allure de cette courbe sur le graphe précédent.
Qu’appelle-t-on constante de raideur k de ce potentiel
On analyse un pendule simple constitué d’un fil
harmonique ?
inextensible de longueur et d’un objet de masse . Le fil
5. On admet que la deuxième loi de Newton peut
fait un angle par rapport à la verticale.
s’appliquer à l’atome dans le référentiel lié à l’atome
1. Rappeler sans démonstration l’expression de la période
à condition de remplacer la masse de par la masse
du pendule déterminée par la deuxième loi de Newton
réduite
. Déterminer la fréquence angulaire
et dans l’approximation des petits angles.
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des petites oscillations ainsi que sa fréquence .
On se propose par la suite de retrouver ce résultat par une
analyse de type oscillateur des petits angles.
6. Application numérique : Déterminer le paramètre
empirique
permettant de modéliser la fréquence
2. La masse constitue-t-elle un système conservatif ?
mesurée
expérimentalement
à
Justifier.
3. Donner l’expression
de l’énergie potentielle de Données :
la masse en fonction de l’angle . On choisira une
- Energie de la liaison
énergie potentielle nulle lorsque la masse passe par sa
- Masses molaires
position d’équilibre.
-
,
,
Constante d’Avogadro
TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel
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