Mécanique - La physique-chimie en BCPST 1A au lycée Hoche

A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
Mécanique – Chapitre 3 : Energies d’un point matériel
Plan du chapitre :
I. Travail et puissance d’une force
1. Définitions
2. Travail sur une trajectoire
3. Cas d’une force uniforme
4. Cas d’une force de frottement
II. Théorème de l’énergie cinétique
1. Energie cinétique d’un point matériel
2. Théorème de l’énergie cinétique
3. Exemples d’application
III. Forces conservatives et énergie potentielle
1. Définitions
2. Exemples de forces conservatives et énergies potentielles associées
IV. Energie mécanique
1. Définition
2. Théorème de l’énergie mécanique
3. Exemples d’application
4. Etat lié ou de diffusion pour un système conservatif
V. Equilibre d’un point matériel dans un champ de force
1. Condition d’équilibre – problème à un degré de liberté
2. Stabilité de l’équilibre
3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique
Notions
Capacités exigibles
Extrait du programme de 1ère S
Energie d’un point matériel en
mouvement dans le champ de pesanteur
uniforme : énergie cinétique, énergie
potentielle de pesanteur, conservation ou
non conservation de l’énergie mécanique.
Frottements ; transferts thermiques ;
dissipation d’énergie.
Principe de conservation de l’énergie
Extrait du programme de TS
Travail d’une force
Force conservative ; énergie potentielle
Forces non conservatives : exemple des
frottements
Energie mécanique
Etude énergétique des oscillations libres
d’un système mécanique
Dissipation d’énergie
Etablir et exploiter les expressions du travail
d’une force constante (force de pesanteur,
force électrique dans le cas d’un champ
uniforme)
Etablir l’expression du travail d’une force de
frottement d’intensité constante dans le cas
d’une trajectoire rectiligne
Analyser les transferts énergétiques au cours
d’un mouvement d’un point matériel
Extrait du programme de BCPST1
Puissance et travail d’une force.
Théorème de l’énergie cinétique.
Energie potentielle et énergie
mécanique dans un cas
unidimensionnel.
Théorème de l’énergie mécanique.
Mouvement conservatif à une
dimension.
Position d’équilibre ; stabilité.
Petits mouvements au voisinage
d’une position d’équilibre stable ;
approximation locale par un puits
de potentiel harmonique.
Connaître et utiliser l’expression de l’énergie
cinétique d’un solide en translation et de
l’énergie potentielle de pesanteur d’un solide
au voisinage de la Terre.
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
Distinguer force conservative et force non
conservative.
Démontrer et utiliser le théorème de l’énergie
cinétique.
Etablir l’expression de l’énergie potentielle
connaissant la force (dans le cas unidimensionnel).
Distinguer le caractère attractif ou répulsif d’une
force.
Utiliser les expressions de l’énergie potentielle de
pesanteur (dans un champ de pesanteur uniforme)
et de l’énergie potentielle élastique.
Démontrer le théorème de l’énergie mécanique.
Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la nature
de la trajectoire possible : non bornée, bornée,
périodique.
Déduire d’un graphe la position et la nature stable
ou instable des positions d’équilibre
Etablir l’équation du mouvement à partir de
l’énergie mécanique.
Reconnaître l’équation d’un oscillateur harmonique
non amorti.
Relier la période et la dérivée seconde de l’énergie
potentielle à l’équilibre.
1
A. Guillerand – BCPST 1 A
Document de cours
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Ce qu’il faut en retenir
Savoir
Savoir-faire
Travail élémentaire d’une force et
travail le long d’une courbe
Puissance d’une force
Energie cinétique
Théorème de l’énergie cinétique et de
la puissance cinétique
Energie potentielle et forces
conservatives
Définition de l’Ep des forces
conservatives classiques (de
pesanteur, élastiques, d’interaction
Newtonienne)
Théorème de l’énergie mécanique
Condition d’équilibre et stabilité d’un
équilibre
Approximation harmonique
Savoir calculer le travail d’une force (force
conservative ou force de frottement)
Utiliser le théorème de l’énergie cinétique
pour trouver une inconnue ou l’équation
différentielle du mouvement d’un oscillateur
Distinguer force conservative et force non
conservative.
Etablir l’expression de l’énergie potentielle
connaissant la force (dans le cas
unidimensionnel).
Distinguer le caractère attractif ou répulsif
d’une force.
Utiliser le théorème de l’énergie mécanique
pour trouver une inconnue ou l’équation
différentielle du mouvement d’un oscillateur
Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la
nature de la trajectoire possible
Déduire d’un graphe la position et la nature
stable ou instable des positions d’équilibre
Reconnaître l’équation d’un oscillateur
harmonique non amorti.
Relier la période et la dérivée seconde de
l’énergie potentielle à l’équilibre.
Savoir utiliser l’approximation harmonique.
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
2
A. Guillerand – BCPST 1 A
I.
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
 Calcul du travail élémentaire d’une force :
Travail et puissance d’une force
1. Définitions
en coordonnées cartésiennes :
a. Travail élémentaire
Soit un point matériel soumis à une force
le vecteur déplacement élémentaire, entre et
, on note le vecteur position
,
et
en coordonnées polaires :
Figure 1 : trajectoire du point M
Définition :
On appelle travail élémentaire de
au cours du déplacement élémentaire :
b. Puissance mécanique d’une force
Soit un point matériel
dans le référentiel .
Remarques :
soumis à une force
 Autre manière de le définir :
, on note
la vitesse du point
Définition :
On appelle puissance mécanique de la force
 Le travail est une grandeur extensive (additive) : on peut définir le travail
élémentaire de la somme des forces qui s’exerce sur le point :
à un instant :
On peut donc écrire :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
3
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
3. Cas d’une force uniforme
2. Travail sur une trajectoire
Propriété :
Figure 2 : trajectoire du point M
Le travail effectué par la force
la manière suivante :
le long de la trajectoire de
jusqu’à
Démonstration :
se calcule de
Soit
une force uniforme dans l’espace
A partir de la puissance mécanique :
Propriétés :
 On somme sur toute la trajectoire les travaux élémentaires : le travail de la force
dépend donc a priori du chemin parcouru par le point .
Exemple : cas de la force de pesanteur uniforme
 A retenir : le travail d’une force perpendiculaire au mouvement à chaque instant
est nul.
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
4
A. Guillerand – BCPST 1 A
Document de cours
4. Cas d’une force de frottement
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Travail des forces :
Propriété :
Exemple d’application :
Un point matériel glisse avec frottement sur l’axe
frottement dynamique tel que
.
. On définit
le coefficient de
Schéma :
Bilan des forces :
Principe fondamental de la dynamique :
Projection sur la base cartésienne :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
5
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
II. Théorème de l’énergie cinétique et de la puissance cinétique
c. Remarques
1. Energie cinétique d’un point matériel
Soit un point matériel
sa masse.
Analyse du signe du travail :
en mouvement dans le référentiel
, on note
sa vitesse et
Définition :
On appelle énergie cinétique de
dans
En considérant une seule force on a :
-
Si
:
-
Si
:
:
2. Théorème de l’énergie cinétique
a. Enoncé
Théorème de l’énergie cinétique
On étudie le mouvement d’un point matériel de masse , de vitesse dans un
référentiel galiléen , soumis à la somme des forces extérieures
, se déplaçant
de vers . La variation d’énergie cinétique entre et vérifie la loi suivante :
Théorème de la puissance cinétique :
Ce théorème peut aussi s’écrire en terme différentiel, on l’appelle dans ce cas le
théorème de la puissance cinétique :
En divisant par
:
b. Démonstration
Avec
3. Exemples d’application
Le principe fondamental de la dynamique permet de déterminer les équations horaires
et l’équation de la trajectoire.
Avec le théorème de l’énergie cinétique, nous n’avons qu’une équation, donc nous ne
pourrons déterminer qu’une inconnue à un instant donné mais sans passer par la
détermination des équations horaires. Ce qui sera souvent moins fastidieux.
a. Exemples de mouvement de glissement
Sans frottement : ex. 1 du TD P12
Avec frottement : ex.2 du TD P12
b. Exemple du pendule simple
Ex. 3 du TD P12
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
6
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
Remarque :
III. Forces conservatives et énergie potentielle
1. Définitions
Définition d’une force conservative :
-
L’énergie potentielle est définie à une constante près, puisqu’elle est définie en
termes de variation.
-
On dit que la force « dérive » de l’énergie potentielle.
Propriété :
Une force conservative est une force qui ne dépend que de la position du point sur
lequel elle s’exerce : on dit alors que le point se trouve dans un champ de force.
2. Exemples de forces conservatives et énergie potentielle associée
a. Energie potentielle de pesanteur (champ de pesanteur uniforme)
Attention une force conservative n’est pas forcément constante
Remarques :
On emploie le terme « conservative » car ce sont des forces qui lorsqu’elles sont
seules à s’exercer sur le système permet une conservation de l’énergie mécanique que
l’on définira plus loin.
Définition :
On considère le champ de pesanteur terrestre, l’axe étant orienté vers le haut.
L’énergie potentielle associée est appelée énergie potentielle de pesanteur et
s’exprime :
Définition d’une énergie potentielle :
Démonstration :
Cette définition respecte bien le fait que le travail ne dépende que de la position des
points et .
On utilisera aussi par la suite la définition élémentaire de l’énergie potentielle :
Soit :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
7
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
c. Energie des forces d’interaction newtoniennes : en
b. Energie potentielle élastique
Formule générale des forces d’interaction newtoniennes :
Définition :
La
force de rappel élastique
définie de la façon suivante :
Remarque : on introduit souvent
qui donne :
dérive
de
l’énergie
potentielle
élastique
Si
:
Si
:
(changement d’origine du repère), ce
Exemples :
force universelle gravitationnelle
force électrostatique de Coulomb
Démonstration :
Energie potentielle associée :
Démonstration :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
8
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
b. Cas général : théorème de l’énergie mécanique
IV. Energie mécanique
1. Définition
Théorème de l’énergie mécanique :
Définition :
On appelle énergie mécanique d’un système la somme de son énergie cinétique et des
énergies potentielles des forces conservatives.
Démonstration :
2. Théorème de l’énergie mécanique
a. Cas particulier d’un système soumis uniquement à des forces
conservatives
On étudie le mouvement d’un point matériel
de masse , de vitesse dans un
référentiel galiléen , soumis forces conservatives, se déplaçant de vers :
Conservation de l’énergie mécanique pour les systèmes soumis
uniquement à des forces conservatives :
Remarque : en général les forces non conservatives sont des forces de frottement dont
le travail est résistant (
). Ainsi l’énergie mécanique en est plus faible que
celle en : il y a une perte d’énergie mécanique.
Démonstration :
3. Exemples d’application
Ce théorème est une alternative au théorème de l’énergie cinétique, on peut donc
l’utiliser pour les mêmes applications.
a. Chute libre sans frottement
Ex. 4 du TD P12
b. Exemple avec frottements de glissement
Ex. 5 du TD P12
c. Exemple du ressort vertical
Ex. 6 du TD P12
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
9
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
4. Etat lié ou de diffusion pour un système conservatif
La connaissance de l’énergie mécanique d’un système conservatif, qui restera
constante, et de la valeur de l’énergie potentielle en chaque point de l’espace,
permettra de déterminer les positions possibles pour le système.
Il existe deux cas selon l’énergie mécanique du système que l’on fournit au départ :

et
initial
compris entre
et
a. Définitions sur l’exemple du mouvement d’un point matériel le long
d’un axe
sous l’action d’une force conservative.
Soit un point matériel de masse en mouvement le long d’un axe
soumis à une
force
, conservative. On peut donc définir son énergie potentielle :
Ci-dessous on représente une allure quelconque de l’énergie potentielle en fonction de
:
Figure 4
Figure 3 : Allure de l’énergie potentielle
Analyse :
Condition pour déterminer le domaine spatial du mouvement :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
10
A. Guillerand – BCPST 1 A

ou
extremum par la suite)
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
(en admettant qu’il n’y ait pas d’autre
b. Exemple : cas de l’interaction gravitationnelle
Système : satellite de masse
Référentiel : géocentrique supposé galiléen
Bilan des forces extérieures :
Energie potentielle :
Système conservatif :
 Cas lié : satellite en orbite circulaire
Figure 6
Figure 5
Analyse :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
11
A. Guillerand – BCPST 1 A
Document de cours
 Cas de diffusion
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Remarque :
On se place dans le cas où un satellite lancé du sol terrestre avec une vitesse initiale
est susceptible d’atteindre un point infiniment éloigné
avec une vitesse
: il
échappe à l’attraction terrestre.
Pour les champs newtoniens avec
alors :
Figure 7
Calculer la vitesse de libération, c’est-à-dire la vitesse minimale d’impulsion initiale
permettant au satellite d’échapper à l’attraction terrestre.
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
12
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
V. Equilibre d’un point matériel dans un champ de force
Exemple d’application : pendule simple
1. Conditions d’équilibre – problème à un degré de liberté
a. Exemple d’un mouvement rectiligne dans un champ de force
Soit un point
de force :
en mouvement rectiligne selon l’axe
soumis à l’action d’un champ
,
étant une grandeur algébrique.
Figure 9
Figure 8
dérive d’une énergie potentielle
telle que :
Déterminons la condition sur l’énergie potentielle à l’équilibre :
b. Généralisation
On étudiera dans la suite des situations où seule une variable de position suffit ( ou
par exemple).
Pour les systèmes décrits à l’aide d’une seule variable de position
(distance ou angle) que l’on notera ici, alors :
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
13
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
2. Stabilité de l’équilibre
b. Etude de la stabilité
a. Déplacement autour de l’équilibre
Soit un petit déplacement algébrique
autour de la position d’équilibre
.
Figure 10
On peut approximer la force au voisinage de l’équilibre par son développement limité
au premier ordre à l’aide de la formule de Taylor.
Formule de Taylor donnant une approximation de la fonction
de
:
au voisinage
Figure 11
Définitions : équilibre stable ou instable
DL au premier ordre de la force
au voisinage de
:
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
14
A. Guillerand – BCPST 1 A
Il faut donc étudier le signe de
Document de cours
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
:
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
15
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
a. Exemple d’oscillateur harmonique : le ressort horizontal
b. Généralisation
Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position , d’énergie potentielle
et la position d’équilibre stable du système.
Définition : oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique est un oscillateur unidimensionnel dont le mouvement
vérifie l’équation différentielle harmonique suivante :
et possède une énergie potentielle de type :
Figure 13
Allure de l’énergie potentielle et nature de l’équilibre
L’énergie potentielle du système d’étude (la masse
au bout du ressort), s’écrit :
avec
Si on pose l’origine de l’énergie potentielle en
Elle fait donc apparaître un puits de potentiel avec comme position d’équilibre stable
:
Allure : courbe parabolique (avec origine de l’
en
:
c. Technique pour retrouver l’équation différentielle du mouvement à
partir de l’énergie potentielle
)
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
16
A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique
a. Exemple d’oscillateur harmonique linéarisé : le pendule simple
Il faut effectuer un DL au premier ordre pour obtenir une équation harmonique. De la
même façon à l’aide d’un DL l’énergie potentielle pourra se mettre sous la forme
d’une fonction parabolique :
Développement limité au 1er ordre de
Développement limité au 2ème ordre de
au voisinage de
:
au voisinage de
Figure 14
L’énergie potentielle du système d’étude (la masse
s’écrit (en prenant pour origine
):
au bout du pendule),
L’équation différentielle vérifiée par le système s’écrit :
Allure : courbe parabolique (avec origine de l’
Equilibres stables pour
en
)
Equilibre instables pour
Allure de la courbe d’énergie potentielle :
L’équation différentielle n’est pas harmonique, l’énergie potentielle n’est pas un puits
parabolique.
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
17
A. Guillerand – BCPST 1 A
Document de cours
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
d. Généralisation
Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position , d’énergie potentielle
et
la position d’équilibre stable du système.
Approximation harmonique :
Si un oscillateur n’est pas rigoureusement harmonique, on peut effectuer
l’approximation harmonique au voisinage de la position d’équilibre stable :
Si on pose l’origine de l’énergie potentielle en
:
Remarque :
Pour déterminer l’équation différentielle à partir de l’énergie potentielle approchée on
peut comme précédemment utilise le théorème de l’énergie mécanique :
Mais attention l’énergie cinétique ne s’écrira pas toujours
dans le cas du pendule simple
. En particulier
.
Mécanique – Chapitre 3 : Energie du point matériel – document de cours
18