TP – Résolution d`équations différentielles

TP – Résolution d’équations différentielles
But de ce TP : Etudier une situation physique où la résolution numérique d’équations différentielles
est nécessaire. Les solutions numériques seront analysées à partir de leur représentation graphique
(cf TP Tracé de courbes pour générer un graphique, nommer les axes, intituler le graphique…).
1. Tests de l’algorithme d’Euler : équations de solution analytique connue
a) Equation différentielle du 1er ordre : Chute du grêlon avec des frottements linéaires
Situation physique étudiée (cf Ch.P13) :
On s’intéresse à la chute d’un grêlon que l’on considère sphérique de rayon R = 10 mm et de masse
m = 3,9 g. Son mouvement par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, est repéré par la
position de son centre M. On choisit (Oz) la verticale ascendante et (Oxy) le plan horizontal.
On étudie l’influence des frottements exercés par l’air sur son mouvement dans le champ de
pesanteur, supposé uniforme et noté 𝑔⃗.
On modélise ici les frottements par une force de frottements linéaire : 𝑓⃗ = −𝛼𝑣⃗, avec 𝛼 le coefficient
de frottement. Ici, 𝛼 = 6𝜋𝜂𝑅 avec R le rayon du grêlon et 𝜂 la viscosité de l’air : 𝜂𝑎𝑖𝑟 = 1,7. 10−5 𝑈𝑆𝐼.
A t = 0, le grêlon a une vitesse nulle et il se trouve au-dessus de O à une altitude h = 1,0 km.
 Donner l’équation différentielle vérifiée par 𝑣𝑧 = 𝑧̇ la composante du vecteur vitesse 𝑣⃗ selon (Oz).
Quelle est la condition initiale sur 𝑣𝑧 ?
On rappelle que dans l’algorithme d’Euler, on utilise la fonction F telle que y’ = F(y,t).
 Quelle est la fonction F(y,t) dans ce cas ?
 Sur quel intervalle de temps est-il pertinent de résoudre de cette équation ?
 Résoudre numériquement l’équation différentielle vérifiée par 𝑣𝑧 (𝑡).
 Tracer la courbe représentant la solution obtenue 𝑣𝑧 = 𝑓(𝑡).
 Commenter en superposant la courbe correspondant à la solution exacte et en notant l’influence
de n (sachant que (n+1) est le nombre de points pris sur l’intervalle de temps choisi).
 Analyse physique : relever la valeur de la vitesse limite et la durée nécessaire pour que le grêlon
l’atteigne.
Rq : on aurait aussi pu résoudre l’équation de la (dé)charge d’un condensateur ; la loi de décroissance
radioactive ; la loi de (dé)croissance de la concentration d’un produit (réactif) d’une réaction chimique
d’ordre 1…
b) Equation différentielle du 2e ordre : l’oscillateur harmonique
Situation physique étudiée (cf Ch.P5) :
On s’intéresse au déplacement sans frottement d’un point matériel M de masse m = 10 g accroché à
l’extrémité d’un ressort horizontal de constante de raideur k = 10 N.m-1, de longueur à vide l0 = 10
cm, et dont l’autre extrémité est fixe. On note O l’extrémité fixe du ressort et x(t) l’abscisse du point
M à la date t. A t = 0, on lâche, sans vitesse initiale, le point M depuis une abscisse a = 12 cm.
 Rappeler l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse x(t) du point M. Préciser les conditions
initiales.
 Quelle est la fonction F(y,t) de l’algorithme d’Euler dans ce cas ?
 Sur quel intervalle de temps est-il pertinent de résoudre de cette équation ?
 Résoudre numériquement l’équation différentielle vérifiée par x(t).
 Tracer la courbe représentant la solution obtenue x = f(t).
 Commenter en superposant la courbe correspondant à la solution exacte et noter l’influence de n.
 Rappeler les coordonnées d’une trajectoire de phase et tracer la trajectoire de phase sous Python.
 Analyse physique : commenter l’allure de la trajectoire de phase.
Rq : on aurait aussi pu étudier les oscillations de faible amplitude du pendule simple, l’évolution de la
tension d’un condensateur dans un circuit RLC…
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2. Intérêt de l’algorithme d’Euler : équations non linéaires
a) Equation différentielle du 1er ordre : Chute du grêlon avec des frottements quadratiques
Situation physique étudiée (cf Ch.P13) :
On reprend l’étude de la chute d’un grêlon mais on modélise ici les frottements par une force de
frottements quadratique : 𝑓⃗ = −𝛽‖𝑣⃗‖𝑣⃗. Il existe une expression empirique du coefficient de
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frottements 𝛽 : 𝛽 = 2 𝜌𝐶𝑥 𝜋𝑅² avec R le rayon du grêlon, Cx un coefficient adimensionné proche de
0,45 pour une sphère et 𝜌 la masse volumique du fluide dans lequel se produit le mouvement, on a
𝜌𝑎𝑖𝑟 = 1,3 kg.m-3.
On choisit (Oz) la verticale ascendante et (Oxy) le plan horizontal.
A t = 0, le grêlon a une vitesse nulle et il se trouve au-dessus de O à une altitude h = 1,0 km.
 Donner l’équation différentielle vérifiée par 𝑣𝑧 = 𝑧̇ la composante du vecteur vitesse 𝑣⃗ selon (Oz).
 Quelle est la fonction F(y,t) de l’algorithme d’Euler dans ce cas ?
 Résoudre numériquement l’équation différentielle vérifiée par 𝑣𝑧 (𝑡).
 Tracer la courbe représentant la solution obtenue 𝑣𝑧 = 𝑓(𝑡).
 Analyse physique : relever la valeur de la vitesse limite et la durée nécessaire pour que le grêlon
l’atteigne.
Sur le site de Météo France, il est indiqué qu’un tel grêlon atteint le sol avec une vitesse de 75 km.h -1
soit environ 21 m.s-1.
 A l’aide de la question précédente, du § 1.a) de ce TP et du TP résolution f(x) = 0, conclure sur le
choix de la modélisation des frottements exercées par l’air sur le grêlon.
Rq : on aurait aussi pu étudier l’évolution de la concentration d’un réactif d’une réaction chimique
d’ordre 2.
b) Equation différentielle du 2e ordre : Oscillations quelconques d’un pendule
Situation physique étudiée (cf Ch.P13 et ex 6 TD14) :
On s’intéresse au déplacement sans frottement d’un point matériel M de masse m = 10 g accroché à
l’extrémité d’un fil de longueur L = 1 m et dont l’autre extrémité est fixe. On note O l’extrémité fixe
du fil et θ(t) l’angle entre la verticale et le fil à la date t. A t = 0, on lance le point M depuis un angle θ0
avec une vitesse angulaire 𝜃0̇ .
 Rappeler l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ(t) du point M.
 Quelle est la fonction F(y,t) de l’algorithme d’Euler dans ce cas ?
On étudie le mouvement du point M pour différentes conditions initiales :
(θ0 , θ0̇ ) = (0,3 rad , 0) ; (θ0 , θ0̇ ) = (2 rad , 0) ; (θ0 , θ0̇ ) = (0 , 4 rad.s-1) et (θ0 , θ0̇ ) = (0 , 7 rad.s-1)
 Résoudre numériquement l’équation différentielle vérifiée par θ(t) pour chaque couple de
conditions initiales (penser à faire une boucle for !).
 Superposer les courbes représentant les solutions obtenues sans oublier la légende !
 Analyse physique : commenter les courbes obtenues.
 Superposer les 4 trajectoires de phase dans le plan de phase : on obtient alors le portrait de phase.
 Tester pour un angle initial proche de 𝜋 rad et une vitesse initiale nulle. Commenter.
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3. Utilisation des fonctions disponibles dans les modules de Python
On peut utiliser la méthode de résolution d’équations différentielles contenue dans le module
scipy.integrate de la bibliothèque scipy : odeint().
Les arguments de odeint sont :
- la fonction F (dont les arguments sont y et t à donner dans cet ordre lors de sa définition !),
- la ou les conditions initiales (scalaire ou tableau),
- t un tableau de p valeurs de la variable (on cherche à résoudre l’équation différentielle en
ces points).
Selon l’ordre n de l’équation, la fonction odeint renvoie un tableau contenant p tableaux à n
éléments (avec p le nombre d’éléments du tableau t).
Pour plus de détails, il est bien sûr conseillé de se référer à la documentation !
 Imports de bibliothèques nécessaires :
Pour utiliser odeint(), il est nécessaire d’importer scipy.integrate :
import scipy.integrate as scin
Mais pas seulement :
- Le plus facile pour construire t le tableau de valeurs de la variable est d’utiliser la fonction
linspace() disponible dans les bibliothèques numpy ou pylab qu’il faudra donc importer au
préalable.
- De plus, si l’équation différentielle est d’ordre n > 1 alors il faut nécessairement importer la
bibliothèque numpy pour construire des tableaux : array.
- Enfin, on trace généralement la solution et il faut alors importer la bibliothèque pylab.
 Tester la fonction odeint() sur l’exemple du pendule et tester notamment avec un angle initial
proche de 𝜋 rad et une vitesse initiale nulle. Commenter.
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