Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statique des fluides

A. Guillerand – BCPST 1 A
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Document de cours
Thermodynamique – Chapitre 2 : Eléments de statique des fluides
Plan du chapitre :
Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le
champ de pesanteur
1. Propriétés de la pression au sein d’un fluide
2. Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le
champ de pesanteur
II. Application aux fluides incompressibles
1. Equation de la statique des fluides incompressibles
2. Applications : mesures de pression
3. Application en géologie : principe de l’isostasie
III. Application aux fluides compressibles
1. Résolution de l’équation différentielle dans le cadre des fluides
compressibles – Cas de l’atmosphère isotherme
2. Dans quelle cadre peut-on négliger la variation de la pression d’un système
gazeux en fonction de l’altitude ?
Ce qu’il faut en retenir
I.
Notions
Capacités exigibles
Extrait du programme de seconde
Pression dans un liquide au repos, Savoir que la différence de pression entre
influence de la profondeur
deux points d’un liquide dépend de la
différence de profondeur
Savoir
Savoir-faire
Lien entre pression et force pressante
s’exerçant sur une surface plane pour
laquelle la pression est uniforme
Appliquer l’équation fondamentale
de la statique des fluides dans le cas
des fluides incompressibles
Equation différentielle fondamentale de la
statique des fluides
Appliquer l’équation fondamentale
de la statique des fluides dans le cas
des fluides compressibles
Equation de la statique des fluides
incompressibles
Liens internet intéressants :
L’expérience de crève-tonneau de Pascal :
Dans l’émission « on n’est pas que des cobayes » :
http://www.france5.fr/emissions/on-n-est-pas-que-descobayes/experiences/eperience-3-defi-faire-exploser-le-tonneau-depascal_228679
A plus petite échelle : https://www.youtube.com/watch?v=Xbqd30vRJUI
Fonctionnement des châteaux d’eau :
https://www.youtube.com/watch?v=xx7BetY2hNk
Principe du siphon : http://phymain.unisciel.fr/le-siphon/
Extrait du programme de BCPST1
Pression dans un fluide en équilibre
Utiliser la relation
pour un
fluide incompressible ou compressible
dans une atmosphère isotherme, dans un
champ de pesanteur uniforme.
Principe des vases communicants : https://www.youtube.com/watch?v=_4keJXSo5ko
Principe du baromètre de Torricelli :
https://www.youtube.com/watch?v=i4oTwkS3EXM
Ordres de grandeurs :
Dans l’eau la pression augmente d’un bar tous les
bar de pression)
Dans l’atmosphère : on perd
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m (ex. à
de la valeur de la pression tous les
1
m:
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On parle souvent de la pression d’un gaz comme étant une grandeur caractérisant
l’ensemble du système, alors que c’est une grandeur locale. En effet si un système
gazeux est en équilibre, dans le champ de pesanteur, dans un récipient de petite taille
alors la pression est quasi uniforme, mais si nous montons plus en altitude la pression
diminue.
2. Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le
champ de pesanteur
Considérons maintenant une petite portion de ce fluide infinitésimale (échelle
mésoscopique) de forme cubique, de hauteur élémentaire notée , appelée particule
de fluide :
En revanche la pression au sein d’un liquide ou d’un solide évolue très rapidement
avec la profondeur de manière linéaire.
L’objectif de ce chapitre est de caractériser ces variations de pression en fonction de
l’altitude de manière quantitative dans les fluides (liquides et gaz) en équilibre (pas de
mouvement d’ensemble) dans le champ de pesanteur terrestre.
I.
Equation différentielle fondamentale de la statique des fluides dans le champ
de pesanteur
1. Propriétés de la pression au sein d’un fluide
Considérons un fluide (liquide ou gaz) dans le champ de pesanteur et notons
la
pression en un point
du fluide. Cette pression, a priori, dépend du point
considéré.
Propriétés :
-
La pression au sein d’un fluide dans le champ de pesanteur ne dépend que de
l’altitude du point considéré. (démonstration en 2ème année)
-
Dans le fluide on peut définir des surfaces isobares (de même pression) : ce sont
des surfaces de même altitude (dans une première approximation : horizontales
si elles sont de petite taille par rapport à la surface de la terre).
-
La pression ne présente pas de discontinuité au passage d’un milieu à un autre :
à l’interface de deux fluides la pression est la même de part et d’autre.
-
La surface de séparation entre deux fluides non miscibles à l’équilibre est
horizontale
Figure 1 : Système d’étude
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Equation fondamentale de la statique des fluides :
On note :
la pression en tout point de la surface inférieure de la particule de fluide
Système 2 : surface inférieure de la particule en
Bilan des forces : le poids de la colonne de fluide au dessus
Par définition de la pression :
la pression en tout point de la surface supérieure de la particule de fluide
la différence de pression entre ces deux surfaces
Expression de
:
la masse volumique de la particule de fluide (uniforme car taille infinitésimale
accélération du champ de pesanteur
La particule de fluide a une masse volumique uniforme notée
infinitésimale)
(valable car taille
Démonstration :
Attention ceci n’est pas une démonstration rigoureuse, mais elle permet de vous faire
comprendre ce que signifie l’équation fondamentale précédente. La démonstration
rigoureuse sera vue l’année prochaine.
Remarques :
-
-
-
Par définition de la pression :
La variation de pression en valeur absolue est égale au poids de la colonne de
fluide comprise entre l’altitude et
divisé par la surface de base de la
colonne
Analyse du signe dans l’équation fondamentale : si
alors
Si
Si
Système 1 : surface supérieure de la particule en
Bilan des forces : le poids de la colonne de fluide au dessus
-
L’équation précédente est une équation différentielle
alors
alors
Si on oriente vers le bas alors
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Exemple d’application 1: évolution de la pression en plongée
II. Application aux fluides incompressibles
1. Equation de la statique des fluides incompressibles
Cette équation différentielle donne la variation élémentaire de la pression en fonction
Résolvons l’équation différentielle dans le cadre des fluides incompressibles (liquides)
Propriété :
Justifiez l’habitude des plongeurs de dire que « la pression augmente d’un bar
tous les
m ».
Fluide étudié : l’eau
Ordre de grandeur :
et
Un fluide incompressible possède une masse volumique est uniforme.
Résolution et équation de la statique des fluides incompressibles :
intégrons cette équation entre des altitudes
appartenant au même fluide incompressible.
et
,
et
étant deux points
Que vaut la pression à
de profondeur ?
Avec
(à la surface de l’eau)
,
par continuité
Autrement dit :
Remarque :
Pensez toujours à vérifier la logique de ce que vous écrivez. Au
sein d’un fluide un point un plus bas qu’un autre sa pression doit
être plus importante.
La pression en vaut la pression en
colonne de fluide entre et
plus la pression due à la
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Exemple d’application 2 : principe des vases communicants
Exemple d’application 3 : principe du siphon
La technique du siphon s’utilise pour vider un récipient par le haut
lorsqu’il est impossible de le renverser.
Principe :
Les différentes surfaces libres d’un même fluide soumis à la même pression sont dans
un même plan horizontal quelque soit l’aire et la forme de la surface.
Expérience de cours :
Il faut remplir un tuyau d’eau entièrement et plonger une extrémité dans le récipient à
vider. L’autre extrémité est placée dans le récipient vide servant à récupérer l’eau. Ce
récipient doit être plus bas.
Expérience de cours :
Situation 1 :
et
sont soumis à la même pression :
sont dans le même fluide compressible, à l’équilibre :
. Donc on devrait avoir à
l’équilibre
et
Mais
, donc le fluide n’est pas à l’équilibre : le
fluide se déplace dans le but d’atteindre l’équilibre :
diminue jusqu’à
Situation 2 :
, le fluide n’est pas à l’équilibre : le fluide se
déplace dans le but d’atteindre l’équilibre :
augmente
jusqu’à
Démonstration :
et
et
Donc le tuyau se vide.
sont dans le même fluide compressible, à l’équilibre :
sont soumis à la même pression :
Donc
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2. Applications : mesures de pression
Déterminer la hauteur maximale atteinte par le fluide dans le tube.
a. Mesure intrinsèque de pression : barométrie
Définition :
En appliquant l’équation de la statique des
fluides incompressibles pour et :
La barométrie permet de mesurer la pression atmosphérique.
Expérience :
Un tube à essai est rempli d’eau et plongé à
l’envers dans un récipient d’eau. On soulève
le tube de manière à le sortir de l’eau. Tant
que le bas du tube n’est pas hors de l’eau il
reste rempli.
Comment la mesure de
Question : en imaginant le bécher et le tube à essai aussi grand qu’on le souhaite,
le liquide peut-il monter infiniment dans le tube ?
permet-elle de déterminer la pression atmosphérique ?
Quelle serait la taille d’un baromètre de ce type à eau ?
est toujours soumis à la pression atmosphérique :
est toujours en contact avec le verre, il n’est donc pas soumis à la pression
atmosphérique
et
Quel liquide utilisait-on ?
Le mercure, car sa masse volumique est très importante
sont ds le même fluide compressible, à l’équilibre :
En montant le tube :
, donc
La valeur limite de la pression du point
le tube quand
est donc : . Le liquide ne monte plus avec
(baromètre de Torricelli 1643)
Nouvelle unité de mesure de pression : le millimètre de mercure
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b. Mesure de différence de pression : manométrie
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Application numérique : eau et
Définition :
La manométrie permet de mesure une différence de pression entre une enceinte
fermée contenant un gaz et la pression atmosphérique.
Que faut-il faire pour mesurer des surpressions plus importantes sans que le
système ne soit trop grand ?
Il faut utiliser des liquides plus denses
Exemple de manomètre à liquide :
Montrer comment la mesure de
entre le gaz et l’atmosphère.
permet de déterminer la différence de pression
est soumis à la pression du gaz :
est soumis à la pression atmosphérique :
et
appartiennent au même fluide :
On a donc :
Représenter le système dans le cas d’un gaz en sous-pression par rapport à
l’atmosphère.
Remarque :
Il existe maintenant des systèmes plus performants : des capteurs de pression utilisant
des ressorts ou des membranes se déformant plus ou moins selon la différence de
pression.
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3. Application en géologie : principe de l’isostasie
Notion de solide ductile :
En géologie les roches sont considérées comme des solides ductiles, c’est-à-dire des
solides qui peuvent se déformer et donc se comporter comme des liquides si on leur
applique une force modéré mais continue dans le temps.
Démonstration :
D’après la loi de la statique des fluides incompressibles, on peut écrire (en supposant
constante) :
On pourra donc utiliser l’équation de la statique des fluides incompressibles.
Isostasie de la croûte terrestre :
Or
,
et
appartiennent à la surface de compensation :
L’isostasie traduit l’état d’équilibre des roches de la croûte terrestre.
En négligeant les variations de
Cet équilibre implique qu’il existe en profondeur une surface de compensation en
dessous de laquelle le globe est homogène. A cette profondeur, appelée profondeur
de compensation la pression est uniforme, quelque soit les remaniements des
couches en surface.
Ainsi :
avec l’altitude :
Conséquence :
Cela a pour conséquence, en première approximation, que la masse d’une colonne de
roche (et d’eau si elle est présente en surface) de la surface de la Terre jusqu’à la
surface de compensation est toujours la même, quelque soit l’altitude des reliefs.
On a donc : (avec
l’épaisseur de chaque couche à la verticale considérée)
En multipliant par une surface correspondant à la section d’une colonne de roche,
on fait apparaître la masse de la colonne :
En négligeant les variations de
:
Conséquence : ajustement isostasique en cas d’érosion
Modélisation géologique de la croûte terrestre
En cas d’érosion superficielle, pour assurer l’isostasie de la croûte terrestre, les roches
plus profondes se déplacent afin de compenser la perte de masse en surface.
On parle d’ajustement isostasique.
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b. Application au cas de l’atmosphère supposée isotherme
III. Application aux fluides compressibles
1. Résolution de l’équation différentielle dans le cadre des fluides
compressibles – Cas de l’atmosphère isotherme
Modèle de l’atmosphère isotherme :
-
Nous allons reprendre l’équation différentielle de la statique des fluides et cette fois-ci
la résoudre dans le cadre des fluides compressibles (gaz).
On suppose l’atmosphère constitué d’un gaz parfait de masse molaire noté
:
-
Propriété :
-
est indépendante de
(modèle acceptable puisque l’épaisseur de
l’atmosphère est très faible devant le rayon de la Terre)
La température est supposée uniforme (ne dépend pas de l’altitude)
a. Généralités
Un fluide compressible possède une masse volumique non uniforme.
Remarques : limites du modèle
Nous ne pourrons pas déterminer d’équation générale pour les fluides compressibles
car tout dépend de l’expression de la masse volumique en fonction de l’altitude.
-
Méthode générale :
-
Gaz parfait : pression de 0 à 1 bar donc modèle cohérent
: hypothèse acceptable puisque l’épaisseur de l’atmosphère est très
faible devant le rayon de la Terre
: plus que discutable
Appliquons la méthode précédente :
On veut résoudre l’équation :
-
, mais
n’est plus une constante :
Déterminer l’expression de en fonction des variables, c’est-à-dire
Remplacer dans l’équation différentielle
Séparer les variables pour obtenir une équation de ce type :
Résolution de l’équation différentielle pour connaitre l’évolution de
la pression en fonction de l’altitude
et/ou
-
Expression de
en fonction des variables
et/ou
Par définition :
Avec
une fonction de uniquement (qui ne dépend pas de ) et
fonction de uniquement (qui ne dépend pas de ).
-
une
Intégrer de part et d’autre de l’équation (en choisissant des variables
d’intégration cohérente en fonction du problème)*
Remarque : a priori l’accélération de la pesanteur
pourrait aussi dépendre de
l’altitude, mais dans la plupart des cas on négligera ses variations.
D’après la loi des gaz parfaits :
Donc :
On a bien l’expression en fonction de , les autres grandeurs étant des constantes.
-
Equation différentielle :
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-
-
Séparation des variables
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et
2. Dans quelle cadre peut-on négliger la variation de la pression d’un
système gazeux en fonction de l’altitude ?
:
Nous venons de montrer que la pression au sein d’un gaz évolue avec l’altitude,
pourtant lorsqu’on étudie des systèmes gazeux dans une enceinte fermée on parle de la
pression du gaz, supposant qu’elle est donc uniforme. Dans quel cadre a-t-on le droit
d’effectuer cette approximation ?
Intégration de part et d’autre :
Calculons la variation d’altitude qui implique une variation de pression de
:
On prendra
On veut :
On peut souhaiter expression la pression à une altitude quelconque
origine fixée :
par rapport à une
Conclusion : la pression et la masse volumique décroissent avec l’altitude de manière
exponentielle
Remarques :
Conclusion :
Cette formule est appelée formule du nivellement barométrique
Le facteur exponentiel :
est appelé facteur de Boltzmann
Les enceintes gazeuses fermées que l’on étudie dépassent rarement des hauteurs de
quelques mètres. On pourra donc supposer la pression uniforme sans crainte.
Pour améliorer le modèle on peut affiner en analysant l’évolution de la température en
fonction de l’altitude (cf. TD)
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