Bilans dynamiques macroscopiques pour un fluide en écoulement 1D

BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR UN FLUIDE EN
ÉCOULEMENT UNIDIMENSIONNEL.
I. Modélisation de l’étude et lois générales.
1°) Notations et définitions.
 Systèmes fermés, systèmes ouverts :
Un système matériel est dit fermé si et seulement si sa masse reste constante
au cours du temps. Sinon, le système est dit ouvert.
 Surface et volume de contrôle.
Un système ouvert est délimité par une surface fermée SC dite « surface de
contrôle » qui a la propriété d’être immobile dans le référentiel d’étude. Cette surface SC délimite un volume VC (fixe aussi dans Rétude) appelé volume de contrôle.
 Surface et volume particulaire.
Un système fermé noté Sf est délimité par une surface fermée f, dite « surface
particulaire », mobile dans le référentiel d‘étude. Les points de Sf se déplacent à la
vitesse locale du fluide. f délimite un volume V, lui aussi mobile dans Rétude) appelé volume particulaire.
Par définition du système fermé Sf, on a : MSf (t) = MSf (t + dt)
me
SC (en pointillés serrés
C(t)
instant t
MSf (t) = MC(t) + me
Sf(t) (en pointillés larges
SC (en pointillés serrés
ms
C(t+dt)
instant t+dt
MSf (t+dt) = MC(t+dt) + ms
Sf(t + dt) (en
pointillés larges
 Grandeurs intensives et extensives.
Une grandeur extensive G (scalaire ou vectorielle) d’un système est par définition proportionnelle à la quantité de matière du système ou à son volume.
 gV d
, avec gV   gm , où  est la masse volumique du fluide, gm et
On peut noter ainsi dG  
 gmdm
gV étant les grandeurs intensives (respectivement massique ou volumique) associées à la grandeur extensive G.
Exemples :
grandeur extensive G
énergie cinétique EC
Quantité de mouvement 
P
moment cinétique 
L
grandeur massique gm
1 2
v en J.kg-3.
2
v en m.s-1.
ecm
pm
m
r
v en m2.s-1
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grandeur volumique gV
1 2
v en J.m-3.
2
v en kg.m-2.s-1
ecV
pV
V
r
v en kg.m-1.s-1
BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
2°) Les outils mathématiques.
 Formule du gradient :

PdSext 
 fermée

grad ( P ).d .
V limité
par 
Cette relation montre que la résultante des forces pressantes dues à un champ
de pression uniforme (l’air par exemple) sur une surface fermée quelconque est
nulle.
Conséquence :
On aura intérêt à choisir si possible pour système fermé Sf un système entièrement
soumis sur sa surface extérieure f à la pression atmosphérique, supposée constante P0 , la résultante vectorielle des forces de pression extérieure étant alors
nulle.
3°) Modélisation physique.
On cherchera dans ce chapitre à effectuer des bilans dynamiques (de quantité de mouvement ou de
forces, de moment cinétique, d’énergie cinétique) qu’on ne sait exprimer que relativement à un système fermé Sf., comme par exemple :
dPf
Théorème du centre de masse au système Sf :
dt
  Fi ,ext S f .
i
Théorème du moment cinétique pour Sf en projection sur l’axe de rotation 
dL f 
dt
  M t ( Fi ,ext S f ) .

P ( Finternes à Sf ) 
i
Théorème de la puissance cinétique au système Sf :
d  EC  f
dt

Finternes à S f

P( Fext Sf ) .
FexternesS f
Il convient de bien définir le système fermé étudié entre les instants t et t + t, en suivant
l’évolution d’une masse de fluide au cours du temps à travers une surface de contrôle SC donnée.
Cas des régimes stationnaires :
En régime stationnaire, toutes les grandeurs eulériennes, donc celles relatives à
un volume de contrôle fixe dans le référentiel d’étude, sont indépendantes du
temps. On aura donc, pour toute grandeur physique scalaire ou vectorielle XS déC
finie à l’intérieur de la surface de contrôle SC : XS (t
C
dt )
XS (t ) . Ce n’est
C
pas forcément vrai pour les grandeurs relatives au système fermé S f compte tenu
de l’écoulement du fluide à travers S f .
II. Bilans de quantité de mouvement.
1°) Principe de la propulsion par réaction : la fusée.
Soit une fusée en mouvement dans le référentiel terrestre Rt supposé galiléen, soumise au champ
gez . Les gaz sont éjectés par la fusée avec le débit masse Dm et la vide pesanteur uniforme g
tesse relative u (par rapport à la fusée) constante, dirigée vers l’arrière de la fusée.
La fusée et son contenu constituent un système ouvert S puisque des gaz sont éjectés.
Raisonnons sur le système fermé Sf constitué de :
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BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
à l’instant t + t :
la fusée et son contenu, de masse m(t+t) de vitesse v (t
t ) et les gaz éjectés pendant t à la
vitesse u v (t ) dans Rt
à l’instant t :
la fusée et son contenu, de masse m(t), animée
par rapport au référentiel d’étude Rt, supposé galiléen, de la vitesse v (t ) .
v (t
v (t )
t)
m(t+t)
m(t)
u
v (t )
Dm.t
Le bilan de quantité de mouvement, appliqué à Sf entre les instants t et t + t dans Rt en mécanique classique donne : Pf (t )
m(t )v (t ) et Pf (t
t)
D’où la variation de quantité de mouvement : Pf
m(t
Pf (t
t )v (t
t)
t)
Dm t[u
v (t )] .
Pf (t ) .
En négligeant les infiniment petits en t d’ordre supérieur strict à 1, il reste :
d[m(t )v (t )]
dv (t )
Pf
t Dm t[u v (t )] m(t )
t Dm tu
dt
dt
Le théorème du centre de masse appliqué au système Sf dans Rt s’écrit :
dPf
dt
lim
t
Pf
t
0
Fext
Sf
Sf
m(t )g
pression atm
Ffusée
. Or, la pression atmosphérique étant
pression atm
supposée uniforme sur l’ensemble de la surface de la fusée, on aura Ffusée
Il vient m(t )
dv
dt
m(t )g
0.
Dmu .
Cette équation montre que le problème de la fusée est équivalent à l’étude d’un
système solide de masse m(t ) soumis au champ de pesanteur m(t )g ainsi qu’à une
force supplémentaire
Dmu , appelée poussée de la fusée.
2°) Débit de quantité de mouvement en régime stationnaire.
Abordons ce type d’étude sur l’exemple de la perte de charge singulière dans une conduite, due à
un brusque élargissement de la section de la conduite.
Un fluide incompressible s'écoule, en régime stationnaire, dans une conduite horizontale présentant un évasement brusque : la section vaut S1 en amont et brusquement S2 S1 en aval.
Au niveau de l'évasement, on observe un décollement des lignes de courant, laissant entre
elles et la paroi une zone "d'eau morte", dans laquelle il se forme des tourbillons, et où la vitesse
est quasi nulle.
Sur la section droite (1), la pression du fluide
est P1, la vitesse v1 . Sur la section (2), la pression
est P2 et la vitesse v2 . On négligera les effets de la pesanteur.
On notera Ox l’axe de la conduite.
P1.
On admet que la pression dans la zone d’eau morte, près de l’évasement, vaut pratiquement
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BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
 Considérons alors le système fermé Sf englobant l’évasement, constitué aux instants :
t : du fluide contenu dans la surface de contrôle Sc située de part et d’autre de l’élargissement de la
conduite + la masse m1 qui entre à la vitesse v1 au niveau de la section 1 dans Sc.
t
dt : du fluide contenu dans la surface de contrôle Sc + la masse m2 qui sort de Sc à la vi-
tesse v2 au niveau de la section
2
Le bilan de quantité de mouvement donne :
Pf (t )
m1v1
Pf (t
dt )
PC (t )
m2v2
PC (t
dt )
.
Or, en régime stationnaire, les grandeurs relatives au système ouvert contenu dans Sc sont indépendantes du temps, d’où PC (t )
PC (t
dt ) , et la conservation de la masse impose m1
Le bilan de quantité de mouvement de Sf conduit alors à
dPf
Dm v2
dt
m2 .
v1 . Ce résultat se gé-
néral, en régime stationnaire, pour tout système à plusieurs entrées et plusieurs sorties sous la
forme :
dPf
Dmj vSj
Dmivei .
dt
sorties j
entrées i
 Effectuons maintenant le bilan des actions extérieures exercées sur le système fermé Sf.
- poids de la masse de fluide dans Sf : négligé.
- résultante des forces de pression sur Sf avec une pression P1 sur 1 , P2 sur 2 et P1 sur la surface du fluide au contact de la zone d’eau morte. On ne connaît pas la forme de cette surface latérale,
P1dSext
mais on utilise pour le calcul de ces forces de pression le résultat général suivant :
0
fermée
Fpression
P1dS1ex
Ainsi
lat
P1dSext
à
P2dS2ex
1
P1dSext à
f
lat
2
P1dS2ex
f
f
P2dS2ex
2
, soit Fpression
(P1
P2 )S2ex .
2
 Le théorème de la résultante cinétique appliqué au système fermé Sf s’écrit, en projection sur Ox :
Dm (v2
v1)
P2 )S2 . Or Dm
(P1
µS1v1
µS2v2 , d’où µv2(v2
v1)
P1
P2 .
 En appliquant le théorème de Bernoulli au fluide sur l’axe de la conduite pour l’écoulement stationnaire et incompressible qui serait de plus supposé parfait, on obtiendrait, en notant P2parfait la
pression en aval : P1
1 2
µv
2 1
P2parfait
1 2
µv2 , soit P2parfait
2
 On en déduit la « perte de charge », P  P2parfait  P2 , où
soit encore
P
µ 2
(v
2 2
2v1v2
v12 )
P
µ
(v
2 2
S1
S2
v1 )2 . Or v2
1
2
P1
P
µ 2
(v
2 2
µv2 (v2
v1
v12 ) .
v1 )
µ 2
(v
2 2
v12 ) ,
S1
, d’où :
S2
µv12
.
2
L’élargissement brusque a provoqué une perte de charge dite « singulière » (en opposition à la
perte de charge « régulière » induite par l’écoulement d’un fluide visqueux dans une conduite).
La formule de Bernoulli n’est ici pas applicable à cause de la zone d’eau morte, qui provoque une dissipation d’énergie du fait de la présence des tourbillons. L’expression obtenue pour
P est connue sous le nom de théorème de Bélanger (ou formule de Borda-Carnot).
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3°) Onde de choc droite dans une conduite.
De petits ébranlements, des ondes sonores par exemple, se propagent dans les fluides avec une vitesse constante dite célérité du son, donnée par a
 constant a
rT , où r
P
S
, soit pour un gaz parfait de rapport
R
est sa constante massique (qui dépend du gaz considéré).
M
Un fluide compressible peut aussi transmettre des ondes d’amplitude finie (donc pas nécessairement petites). Ces ondes peuvent propager des détentes ou des compressions. Les ondes de détente se
propagent à une vitesse inférieure à la célérité du son et tendent à s’étaler au cours de leur déplacement. Au contraire, les ondes de compression se propagent à une vitesse qui dépasse la célérité du
son : les ondes de tête sont rattrapées par les ondes de queue qui se déplacent dans un milieu déjà en
mouvement. Il en résulte un raidissement progressif du front de l’onde avec déformation du
profil des vitesses jusqu’au moment où apparaît une véritable discontinuité, l’onde de choc.
Modélisation :
On considère l’onde de choc comme une véritable discontinuité sé

parant deux milieux de caractéristiques physiques différentes. L’indice
V1 - 
U
V2 - 
U
 caractérise le fluide avant l’onde de choc et l’indice  après celle-ci :
P1 1
P2 2
On suppose le fluide en écoulement unidimensionnel et stationnaire
dans une conduite de section constante S, subissant une onde de choc
onde de choc
normale à la direction d’écoulement (onde de choc droite).
Si la surface de discontinuité est immobile, on dit que l’onde est stationnaire. S’il n’en est pas ainsi,
on la supposera en translation uniforme avec la vitesse U et il suffira de rapporter l’écoulement à un
système de référence animé de la même vitesse U, pour immobiliser la surface de discontinuité.
La formule de Barré de Saint Venant n’est pas nécessairement applicable, car il n’est pas certain que
le choc se fasse sans dissipation d’énergie.
La mise en équation (on raisonne sur une section S unitaire) :
- Notons u1 et u2 les vitesses relatives de l’écoulement vues par un observateur accompagnant
l’onde de choc : u1
-
V1
U
u2
V2
U.
Conservation du débit masse en régime stationnaire : 1(V1 U )
U) .
2 (V2
Bilan de quantité de mouvement appliqué à un cylindre de section droite S, de génératrices parallèles à la direction de l’écoulement et en projection sur celle-ci, conduisant à :
2
2
P1 P2
U V2 V1 , qui s’écrit aussi P1
U
P2
U .
1 V1
1 V1
2 V2
- Le choc étant bref, on peut admettre qu’il est adiabatique (mais pas forcément réversible !). La
conduite ne comportant pas de parties mobiles, wi = 0 et le bilan enthalpique s’écrit :
2
2
1
1
V1 U
h2
V2 U .
2
2
gaz
parfait,
l’enthalpie
massique
P
, à une constante additive près.
1
h1
-
En
par h
supposant
cPT
le
rT
1
h
est
donnée
Variation de la masse volumique :
P2
1
P1
2
Des relations précédentes, on tire
. Cette relation est connue sous le
P
1
2
1
1
P1
nom d’équation de l’adiabatique d’Hugoniot. Elle remplace la loi de Laplace dans le cas d’une
onde de choc, le phénomène n’étant pas isentropique (le rapport P2/P1 croît plus vite que pour une
compression isentropique de même rapport 2/1).
1
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BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
Variation de la vitesse :
En raisonnant avec les nombres de Mach en amont ( M1
M1 2
1 P2
2
P1
1 P1
2
P2
1
choc, on obtient :
M2
2
1
Comme à la traversée de l’onde de choc,
v1
) et en aval ( M2
c
v2
) de l’onde de
c
1
(relations connues sous le nom de formules de Rayleih).
1
P2
P1
1 , on obtient M1
1 et M2
1 . Il apparaît donc
que la vitesse est supersonique en amont de l’onde et subsonique en aval de celle-ci.
III. Bilans divers.
1°) Bilan de masse : Évolution d’une goutte d’eau à l’intérieur d’un nuage.
Une goutte d’eau sphérique de masse volumique 0 chute verticalement à l’intérieur d’un nuage saturé en vapeur d’eau formé de très fines gouttelettes. On note  la masse volumique moyenne du
nuage (schématisation continue). Les fines gouttelettes sont immobiles dans le référentiel d‘étude supposé galiléen lié au nuage, et sont « absorbées » par la goutte lorsqu’elles rencontrent celle-ci (phénomène de croissance par « coalescence »).
La seule force prise en compte dans le mouvement de la goutte est son poids et on suppose que la
goutte conserve une forme sphérique. La goutte a initialement un rayon r0 et une vitesse nulle (
v0
0 ). On prendra r0
0,1 µm . On donne
0
103 kg.m
3
et
1, 75 kg.m
3
.
1°) Expliquer pourquoi il est légitime de négliger la poussée d’Archimède due à l’air devant le poids de
la goutte d’eau.
2°) Montrer à partir d’un bilan de masse que le rayon r (t ) de la goutte est relié à sa hauteur instantanée
de chute z (t ) ( Oz est l’axe vertical descendant) selon la loi : r (t )
r0
4
z (t ) , avec
.
0
3°) À partir d’un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé que l’on précisera, établir
l’équation différentielle en z du mouvement de la goutte.
4r0
3z 2
g , où a
On montrera, en utilisant le résultat du 2°), que l’on obtient : z
.
z a
4°) On admet que la goutte tend vers un état cinématique limite caractérisé par une accélération constante . Donner l’expression de .
f (z ) . Déterminer, sans approximation, l’équation différentielle dont f est solution.
5°) On pose z 2
On montre (on ne demande pas de le démontrer) que la solution de cette équation pour le problème posé est :
2 [(z a )7 a 7 ]
f (z )
g
.
7
(z a )6
Retrouver le résultat de la question précédente. Caractériser également le mouvement de la goutte
aux temps « courts ».
6°) Approche qualitative de la vitesse limite :
La goutte d’eau ayant finalement quitté le nuage où elle s’est formée, tombe dans l’air sec de masse
volumique
' ( '
1, 3 kg.m
3
) et de viscosité dynamique
'
1, 5 .10
5
Pl .
En choisissant le meilleur modèle pour la traînée subie par la goutte dans l’air, calculer un ordre de
grandeur de la vitesse limite v de chute d’une goutte de rayon r 1 mm .
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Réponses :
1°) air / mg
air
/
1.
eau
2°) Pendant la durée dt , la goutte, initialement de rayon r (t ) chute de dz , en absorbant toutes les
gouttelettes présentes dans un cylindre de volume r 2dz .
r 2dz
La masse de la goutte a donc augmenté de dm
Ainsi dr
4
dz , qui s’intègre en r (t )
r0
0
4
4 3
r
3
d
z (t ) , avec
4
0
/
0r
2
dr .
0.
3°) Soit le système fermé constitué à l’instant t par la goutte de rayon r (t ) et la masse des gouttelettes
du nuage contenues dans le cylindre balayé par la goutte pendant dt et à l’instant t
de rayon r (t dt ) .
On a PS (t )
f
m(t )v (t )
dt par la goutte
0 car les gouttelettes dans le nuage sont immobiles.
dPS
PS (t
dt )
PS (t )
d(mv )
.
dt
dt
dt
Le théorème de la résultante cinétique s’écrit ici en projection sur Oz descendant (le poids étant la
d(mv )
z dm
d[ln(m(t ))]
seule force agissant sur la goutte) :
mg , soit z
g z z
g.
dt
dt
m dt
3z 2
3zr
4
3
z
g (éqn 2).
Avec m(t )
;
il
vient
,
qui
conduit
à
z
g
r
(
t
)
z (t ) a
3 0
r (t )
PS (t
f
dt )
m(t
dt )v (t
dt ) .
Ainsi
f
f
f
1 2
t . Comme il s’agit d’une limite aux
2
temps longs, les termes en t 2 dominent ceux en t , qui eux-mêmes dominent les termes constants. Il
g
3 2t 2
reste
.
g , soit
7
1 2
t
2
df
5°) Avec z 2
z . L’équation 2 s’écrit ainsi :
f (z ) , on a en dérivant par rapport au temps 2zz
dz
1 df
3f
g.
2 dz z a
4°) On écrit z
Pour z
 z varie comme t et z (t ) comme
a (aux temps longs), l’expression donnée de f (z ) donne z 2
2 gz 7
7
6
à
2zz
2g
z , soit z
7
z
g
2 z , qui conduit
7
g
: on retrouve le résultat de la question précédente.
7
2
2 ga 7
7
1
z
a
7
1
2gz  z
g , ce qui correspond à
a6
un mouvement de chute libre (logique puisque les effets des gouttelettes absorbées sont alors négligeables).
Aux temps courts ( z
a ), on a z
6°) La force de traînée est donnée par la loi de Stokes lorsque le nombre de Reynolds de l’écoulement
' v(2r )
1 , soit pour des vitesses inférieures à quelques micromètres par seest inférieur à 1, soit
'
conde pour des gouttes de taille millimétrique.
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BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
L’expérience montre que les gouttes de taille millimétrique ont une vitesse limite bien supérieure.
Lorsque le nombre de Reynolds est supérieur à 103 , la force de traînée est de la forme
1C (
2 x
r 2 ) ' v 2 avec un coefficient C x de l’ordre de 1. Dans ce cas, lorsque la vitesse limite est at-
teinte, les forces appliquées sur la goutte se compensent et on a :
v
8r 0g
'
Re
103 (limite de validité).
4
3
r 3 0g
10 m / s . Pour valider ce résultat, il faut vérifier que Re
1(
2
r 2 ) ' v 2 , soit
103 . On trouve ici
2°) Puissance d’une pompe.
Une pompe aspire l’eau d’un puits et la transvase dans un
réservoir pressurisé avec un débit-masse Dm constant.
Le niveau supérieur de l’eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits. On note P2 la surpression
par rapport à la pression atmosphérique dans le réservoir et
P1 la surpression au niveau de l’aspiration.
P2
pompe
h
La conduite d’aspiration de la pompe est de section S1 et la
conduite de refoulement est de section S 2 .
L’eau est un fluide incompressible de masse volumique
et l’écoulement est supposé parfait et
stationnaire.
80% ?
Quelle puissance mécanique Pm faut-il fournir à la pompe, en supposant son rendement
Définition du système fermé Sf :
On prend pour système fermé la pompe, plus l’eau contenue dans un volume de contrôle englobant la pompe et les canalisations allant du puits au réservoir, ainsi que :
- À l’instant t : la masse m1 d’eau qui est pompée dans le puits entre t et t dt .
- À l’instant t
dt : la masse m2 d’eau qui est injectée dans le réservoir entre t et t
dt .
Bilan d’énergie cinétique et d’énergie potentielle :
Remarquons qu’en régime stationnaire, les énergies cinétique et potentielle du volume de contrôle
sont constantes. Il reste, pour le système fermé S f , en notant v1 la vitesse de l’eau à l’admission et v2
celle au refoulement, où v1
Dm
et v2
S1
Dm
(écoulements 1D dans les canalisations)
S2
1
m1v12 .
2
Dm3 1
S
S
Or m1
D’où EC f (t dt ) EC f (t )
m2
Dmdt .
2 S22
En prenant l’origine des énergies potentielles au niveau du puits, on obtient
S
EC f (t
dt )
S
EC f (t )
S
EPf (t
S
ECC (t
dt )
S
dt )
EPf (t )
S
ECC (t )
m2gh
1
m2v22
2
1
S12
dt .
Dmghdt
Bilans des travaux des actions mécaniques non conservatives.
-
Efforts de pression : seuls sont à prendre en compte les travaux des forces de surpression à
Dm
P1Sv1dt P2S2v2dt
(P1 P2 )dt .
l’admission et au refoulement. Soit WP
-
Forces intérieures au fluide, de puissance nulle pour un écoulement parfait et incompressible.
Pm .
Actions de la pompe sur le fluide : puissance Ppompe eau
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BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
Formulation du théorème de l’énergie cinétique :
S
S
d EC f
S
dE f
Il vient pour le système fermé S f : m
dt
3
Dm 1
1
Dm gh
2 S22 S12
EP f
Pnon conservatives , soit ici :
dt
Dm
(P1
P2 )
Pm , qui donne Pm .
3°) Rendement d’une hélice (ou fonctionnement d’une éolienne).
Une hélice, supposée plane, d’axe x’x, est immergée dans un fluide parfait incompressible, de
masse volumique . On négligera dans cette étude l’action de la pesanteur. On suppose que, dans le
référentiel d’étude R, lié à l’hélice et supposé galiléen, l’écoulement est stationnaire.
Pour modéliser le fonctionnement de cette hélice, on suppose que l’écoulement se fait dans un tube
de courant, de symétrie circulaire autour de l’axe x’x de l’hélice, de section droite d’aire variable S(x), la
zone extérieure à ce tube n’étant pas affectée par le mouvement de l’hélice. On admet que dans le tube
de courant, l’écoulement est unidimensionnel : la vitesse et la pression seront donc supposées être uniformes sur une section droite du tube.
hélice
S1
S S
S2
P0
P0
x
P P
amont
P0
aval
On fera également les hypothèses suivantes :
 L’écoulement est irrotationnel en amont comme en aval de l’hélice ;
 À l’extérieur du tube de courant, la pression est uniforme et égale à P0.
 En amont de l’hélice, et suffisamment loin d’elle, la pression vaut également P0, la vitesse du fluide
valant V1

0 ) et la section droite ayant une aire S1.
En aval de l’hélice, et suffisamment loin d’elle, la pression vaut encore P0, la vitesse du fluide valant V2

V1ex (V1
V2ex (V2
0 ) et la section droite ayant une aire S2.
Dans le plan de l’hélice la vitesse du fluide vaut VH VH ex (VH
0 ) et la section droite a une
aire S ; pour ne pas entrer dans le détail de l’écoulement au niveau de l’hélice, on admettra qu’au
voisinage immédiat de l’hélice, de part et d’autre de son plan, les pressions ne sont pas égales et
sont désignées par P en amont et P en aval.
1°) Déduire de la conservation du débit-masse Dm les deux relations liant les trois aires et les trois vitesses introduites. Justifier l’applicabilité de la relation de Bernoulli aux deux parties du fluide situées
en amont puis en aval de l’hélice, mais pas de part et d’autre de l’hélice. Montrer que
1
P
P
(V12 V22 ) .
2
2°) En effectuant un bilan de quantité de mouvement appliqué au volume de fluide délimité par le
tube de courant et les sections droites S1 et S2, montrer que la force exercée par le fluide sur l’hélice est
Ffl
hél
Dm (V1
V2 )ex .
3°) En effectuant un bilan de quantité de mouvement au volume de fluide extra-plat (et donc de
masse nulle !) entourant l’hélice de section droite S, montrer que la force exercée par le fluide sur l’hélice
(P
P )S .
s’écrit : F
Ffl helex , avec Ffl hél
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BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
Établir que VH
1
(V
2 1
V2 ) et F
2 SVH (V1
VH )ex .
4°) Déduire de l’étude précédente la puissance P, mesurée dans (R), reçue par l’hélice.
V1 ,  étant une variable sans dimension. Déterminer la valeur f de  qui rend F
On pose VH
maximum et les expressions Fmax et Pf correspondantes de la force et de la puissance.
Déterminer la valeur P de  qui rend P maximum et les expressions FP et Pmax correspondantes
de la force et de la puissance. Tracer les courbes F ( ) , P( ) et P(F ) , pour 0
1 et commenter.
5°) Le rendement de l’hélice, supposée être une éolienne ici, est défini comme le rapport de la puissance qu’elle reçoit à la puissance que recevrait l’aire S, sous forme cinétique, en l’absence de l’hélice.
4 2(1
Monter que le rendement de l’hélice s’écrit
) . Calculer le rendement maximal
max
.
Réponses :
1°) S1V1 SVH
S2V2 . L’écoulement est stationnaire et incompressible, également irrotationnel
dans la partie amont ou aval de l’hélice. Le fluide est supposé non visqueux : la relation de Bernoulli
est donc applicable aux deux parties du fluide situées en amont puis en aval de l’hélice.
En revanche, il est difficile de modéliser l’écoulement dans l’espace situé au niveau de l’hélice :
même si l’on peut toujours considérer que l’écoulement est stationnaire, il existe un transfert d’énergie
entre le fluide et l’hélice générant des « pertes de charge » (se faisant grâce aux tourbillons qui entourent la surface des pales à l’intérieur de la couche limite) et la relation de Bernoulli n’est donc pas applicable dans cette zone.
La continuité de la vitesse dans l’écoulement impose l’égalité du vecteur vitesse de part et d’autre de
l’hélice.
1 2
1 2
En amont de l’hélice P0
V1
P
V .
2
2 H
1 2
1 2
En aval de l’hélice P
VH
P0
V .
2
2 2
1
P
(V12 V22 ) (1).
On en déduit P
2
2°) Les forces extérieures appliquées au fluide compris entre les deux plans éloignés de l’hélice sont :
Fhél fluide : force exercée par l’hélice sur le fluide,
FP : résultante des forces de pression exercées sur la surface du système en contact avec
l’extérieur. La pression y étant supposée constante égale à P0, la résultante FP est nulle.
dPS
f
Fhél fluide
Ffluide hél .
dt
Par ailleurs, en régime stationnaire, le bilan de quantité de mouvement conduit à
Il reste
dPs
dt
f
Dm (V2
V1 ) . D’où Ffl
hél
Dm (V1
V2 )ex (2).
dPS
f
0 . Ce système
dt
est soumis d’une part à la force exercée par l’hélice sur le fluide et d’autre part aux forces de pression
Fext S
0.
sur
les
faces
amont
et
aval
de
l’hélice.
Il
vient
3°) Pour le volume extra-plat entourant l’hélice, système de masse nulle, on a
Soit Fhélice
fluide
P Sex
P Sex
0.
D’où Ffl
hél
(P
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P )S (3).
BILANS DYNAMIQUES MACROSCOPIQUES POUR LES SYSTÈMES OUVERTS.
Les deux expressions (2) et (3) obtenues pour Ffluide
(P
P )S
Or Dm
hélice
conduisent à :
V2 ) . Avec la relation (1), il vient Dm (V1
Dm (V1
1
(V
2 1
µSVH . D’où VH
V2 ) et donc F
V2 )
2 SVH (V1
1
µS (V12
2
VH )ex .
4°) La puissance P, mesurée dans (R), reçue par l’hélice est la puissance de Ffluide
FV
. H . Il vient P
P
Avec VH
2SVH2 (V1
V1 , on obtient F
F est maximale pour
1
2
Fmax
Pf
V22 ) .
hélice
, soit
VH ) .
2 SV12 (1
) ; P
1
SV12
2
.
1
3
SV1
4
2 SV13 2(1
).
2
3
P est maximale pour
Ff
Pmax
4
SV12
9
8
SV13
27
.
5°) La puissance que recevrait S sans hélice est la puissance cinétique P
C
P
P
C
Le rendement de l’hélice est défini par
max
obtenu pour P
Pmax , soit
16
27
4 SV13 2 (1
SV13
59% .
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)
1
Dm V12
2
4 2 (1
).
1
SV13 .
2