Skript zur Vorlesung am 9.4.2015 (Seiten 119–120)

© R. Plato
Kapitel 52 Funktionen mehrerer Veränderlicher
52
y.
Funktionen mehrerer Veränderlicher
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4
r D4
r D2
Definition 52.1. Es sei D Rn mit n 1.
r D1
a) Eine Funktion f W D ! R nennt man skalare Funktion oder Skalarfeld.
b) Eine Funktion fE W D ! Rm mit m 2 nennt
man vektorwertige Funktion. Im Fall n D m spricht man
auch von einem Vektorfeld.
Skalarfelder auf D R2 lassen sich in Form von
Flächen grafisch darstellen. Ein Beispiel ist in Abbildung 80 zu sehen.
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f .x; y/
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y
D
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r D5
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r D3
52.1 Einführung und Darstellung
z
119
Abb. 80: Darstellung des Graphen der Funktion
f .x; y/ D 4 C sin y x3 für 1 x 3; 2 y 6
2
Alternativ lassen sich Skalarfelder auf D R mit Hilfe von Niveaulinien grafisch darstellen.
4
................
4
x
4
Abb. 81: Niveaulinien des Skalarfelds f .x; y/ D x 2 C
y 2 D r 2 für die Werte r D 1; 2; 3; 4 und 5
Vektorfelder fE W D ! R2 mit D R2 kann man grafisch darstellen, indem man den Definitionsbereich D
mit einem Gitter überdeckt und für jeden Gitterpunkt
.x; y/ 2 D den Vektor fE.x; y/ 2 R2 in .x; y/ 2 D beginnend abträgt.
Beispiel. Das Vektorfeld fE.x; y/ D .cos.x Cy/; sin.x C
y//> ist in Abbildung 82 dargestellt.
M
52.2 Stetigkeit
Definition 52.3. Es heißt x
E 2 Rn Häufungspunkt der
Menge D Rn , falls es eine Folge von Vektoren
xE0 ; xE1 ; : : : in Dnf xE g gibt, die gegen xE konvergiert.
M
Definition 52.2. Für eine Funktion f W D ! R mit
Man beachte, dass ein Häufungspunkt von D nicht unbedingt ein Element von D sein muss.
Nf .c/ D f xE 2 D j f .x/
E D cg
Beispiel. Wir betrachten zunächst die Menge D D
f xE 2 Rn j 0 < j xE j < 1 g. Es ist jedes xE 2 Rn mit j xE j 1
Häufungspunkt von D , jedes x
E 2 Rn mit j xE j > 1 hin-
D Rn mit n 1 nennt man
die Niveaumenge zum Level c .
Niveaumengen sind im Fall D R2 zumeist Linien;
man spricht in diesem Fall von Niveaulinien. Skalarfelder f W D ! R mit D R2 lassen sich durch ihre
Niveaulinien grafisch veranschaulichen.
Beispiel. Das Skalarfeld f .x; y/ D x 2 C y 2 ist in Abbildung 81 mit Hilfe von Niveaulinien dargestellt.
M
gegen nicht.
M
Definition 52.4. Sei fE W D ! Rm mit m 1 eine Funktion mit Definitionsbereich D Rn ; n 1, und es seien xE 2 Rn ein Häufungspunkt von D und yE 2 Rm . Man
schreibt
E ! yE für E ! xE ;
fE./
(52.1)
120
© R. Plato
Teil I Mehrdimensionale Differenzialrechnung
b) Polynome in mehreren Veränderlichen sind stetig
auf Rn .
c) Summen, skalare Vielfache, Kompositionen und Skalarprodukte stetiger Funktionen sind stetige Funktionen.
d) Die Betragsfunktion ist stetig auf Rn .
2
0
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Beweis. Ist einfach, wird hier aber nicht geführt.
Beispiel 52.7. Die skalarwertige Funktion
f .x; y/ D
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f .x; x/ D
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Abb. 82: Grafische Darstellung des Vektorfelds
fE.x; y/ D .cos.x C y/; sin.x C y//>
0;
falls .x; y/ ¤ .0; 0/;
falls x D y D 0;
(52.2)
y 0:0 0:1
0:2
...
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4
M
Definition 52.5. Sei fE W D ! Rm (mit m 1) eine
Funktion mit Definitionsbereich D Rn .
1
2
für x ¤ 0:
0:3
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0:5
0:4
0:3
a) Man nennt die Funktion fE in x
E 2 D stetig, falls
E D fE.x/
lim fE./
E
E xE
!
Satz 52.6. a) Eine vektorwertige Funktion ist genau
dann stetig in einem Häufungspunkt des Definitionsbereichs, wenn die Komponentenfunktionen dort stetig
sind.
D
0:4
E D y:
lim fE./
E
erfüllt ist. Dabei wird vorausgesetzt, dass x
E ein Häufungspunkt von D ist.
b) Man nennt die Funktion fE auf einer Menge M D
stetig, falls sie in jedem Häufungspunkt xE 2 M stetig
ist.
c) Man nennt die Funktion fE stetig, falls sie auf ihrem
Definitionsbereich D stetig ist.
x2
x2 C x2
Es gilt also insbesondere f .x; x/ 6! 0 für x ! 0.
Einige Niveaulinien der Funktion f sind in Abbildung 83 dargestellt. In Abbildung 84 finden Sie eine
Flächendarstellung der Funktion f .
M
falls für jede Folge von Vektoren E0; E1; : : : 2 Dnf x
E g mit
Er ! xE für r ! 1 die Konvergenz fE.Er / ! yE gilt
Eine alternative Schreibweise für (52.1) ist
E xE
!
xy
;
x2 C y 2
mit x; y 0 ist nicht stetig in .0; 0/. Zwar gilt auf der
positiven x -Achse f .x; 0/ D 0 ! 0 für x ! 0, und auf
der positiven y -Achse gilt analog f .0; y/ D 0 ! 0 für
y ! 0. Auf der Diagonalen .x; x/ mit x 0 gilt jedoch
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0:2
0:1
0:0
..............
0
x
4
Abb. 83: Eine Niveaulinien der Funktion f aus (52.2)
53
Partielle Ableitungen
Im Folgenden werden Ableitungen von Funktionen
mehrerer Veränderlicher eingeführt.