EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 1. Se lanza una moneda hasta que

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C URSO: 2º BACHILLERATO
MATERÍA: MATEMÁTICAS. AP.CC.SS.II
HOJA Nº 8
TÍTULO: PROBABILIDAD
FECHA DE ENTREGA: 23/04/2015
EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
1. Se lanza una moneda hasta que sale cara. Sea el experimento resultante de contar el número de
lanzamientos hasta que sale cara.
a) Escribir el espacio muestral  del experimento.
b) Dados los sucesos A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 4}, C = {2, 3, 4}, calcula los sucesos ABc,
A  C y Ac  Bc.
2. Sean dos sucesos A y B de un determinado experimento aleatorio del que se sabe que
P(A) = 0´7, P(B) = 0´5 y P(A  B) = 0´9. Calcula P(Ac), P(A  B), P(Ac Bc), P(A/B) y
P(A/Bc). Los sucesos A y B, ¿son incompatibles?, ¿son independientes? Razona tus respuestas.
3. Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su
participación en distintos tipos de carreras. Conocemos que el 70% suele participar en carreras
de maratón (42 km hasta 195 m); el 75% suele participar en carreras de media maratón (21 km
hasta 97,5 m); y el 13% no suele participar en estos tipos de carreras. Se elige al azar uno de
estos atletas. Calcula la probabilidad de que:
a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón.
b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón.
c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras de media
maratón.
4. En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las Matemáticas las
aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un
alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, calcula la probabilidad de que:
a) Suspenda esas tres asignaturas.
b) Suspenda sólo una de ellas.
5. Para la señalización de emergencia de una fábrica se han instalado dos indicadores que funcionan
independientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione en una avería es 0,99,
mientras que la de que se accione el indicador B es de 0,95. Si se produce una avería:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se accione un solo indicador?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se accione ningún indicador?
6. En un experimento de detección de estímulos, se presentan la mitad de las veces el estímulo A y
la otra mitad el estímulo B. El estímulo A es detectado el 80% de las veces y el estímulo B, en el
70% de las ocasiones.
a) En un ensayo determinado se ha presentado el estímulo A, ¿cuál es la probabilidad de que no
sea detectado?
b) Cuando un estímulo no es detectado, ¿cuál es la probabilidad de que sea el estímulo B?
7. Se sortea un viaje entre los 120 empleados de una empresa. De ellos, 65 son mujeres, 80 están
casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a una mujer soltera?
b) Si el premio recae en una persona casada, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
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HOJA Nº 8
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA HOJA DE TRABAJO Nº 8
1. Se lanza una moneda hasta que sale cara. Sea el experimento resultante de contar el
número de lanzamientos hasta que sale cara.
Solución.
El espacio muestral será  = {1, 2, 3, …} = N
Tendremos los siguientes resultados:
ABc = {1, 2, 4}  {1, 3, 4}c = {1, 2, 4}  {2, 5, 6, 7, … } = {2}
A  C = {1, 2, 4}  {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
Ac  Bc = {1, 2, 4}c  {1, 3, 4}c = {3, 5, 6, 7, …}  {2, 5, 6, 7, …} = {2, 3, 5, 6, 7, …}
2. Sean dos sucesos A y B de un determinado experimento aleatorio del que se sabe que
P(A) = 0´7, P(B) = 0´5 y P(A  B) = 0´9. Calcula P(Ac), P(A  B), P(Ac Bc), P(A/B) y
P(A/Bc). Los sucesos A y B, ¿son incompatibles?, ¿son independientes? Razona tus
respuestas.
Solución.
 Por la fórmula del suceso complementario podemos calcular la probabilidad de P(Ac)
P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0´7 = 0´3
 Para calcular P(A  B) tendremos que, por un lado,
P(A  B) = 0´9
Por la fórmula del la unión de sucesos podemos calcular la probabilidad de P(A  B)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 0´7 + 0´5 – P(A  B)
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HOJA Nº 8
De donde,
0´9 = 0´7 + 0´5 – P(A  B)  P(A  B) = 0´7 + 0´5 – 0´9 = 1´2 – 0´9 = 0´3
 Para calcular P(Ac  Bc) tendremos que,
P(Ac  Bc) = 1 – P(A  B) = 1 – 0´9 = 0´1
 Para calcular P(B/A) tendremos que, por la definición de probabilidad condicionada,
 Para calcular P(A/Bc) tendremos que, por la definición de probabilidad condicionada, y
aplicando convenientemente el diagrama de Venn obtenido a partir de los resultados dados y
los calculados,
Tendremos que:
Los sucesos A y B no son incompatibles puesto que P(A  B) ≠ 0.
Los sucesos A y B no son independientes puesto que
P(A) · P(B) = 0´7·0´5 = 0´35 ≠ 0´3 = P(A  B)
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HOJA Nº 8
3. Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su
participación en distintos tipos de carreras. Conocemos que el 70% suele participar en
carreras de maratón (42 km hasta 195 m); el 75% suele participar en carreras de media
maratón (21 km hasta 97,5 m); y el 13% no suele participar en estos tipos de carreras. Se
elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que:
c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras de
media maratón.
Solución.
Sean los siguientes sucesos:
A= “Prefiere carreras de maratón”
B= “”Prefiere carreras medias maratón”
C = “ No prefiere ninguna carrera”.
Se observa que C = (A B)c
Debemos calcular, por tanto, P(A  B). Por el suceso complementario tendremos que:
P(A  B) = 1 – P((A B)c) = 1 – 0´13 = 0´87
Debemos calcular, por tanto, P(A  B). Aplicando la probabilidad de la unión tendremos
que:
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 0´7 + 0´75 – P(A  B)
Puesto que P(A  B) = 0´87,
0´87 = 0´7 + 0´75 – P(A  B)
 P(A  B) = 0´7 + 0´75 – 0´87 = 0´58.
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HOJA Nº 8
c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras de
media maratón.
Debemos calcular, por tanto, P(A  Bc) + P(Ac  B) cuya suma está compuesta por la
suma de probabilidades de sucesos incompatibles. Ayudándonos del siguiente Diagrama de
Venn:
Tendremos:
P(A  Bc) + P(Ac  B) = 0´12 + 0´17 = 0´29.
4. En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las Matemáticas las
aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar
un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, calcula la probabilidad de que:
Solución.
Sean los siguientes sucesos B = “Aprueba Biología”, M = “Aprueba matemáticas” y
L = “Aprueba lengua”. La probabilidad pedida es P(Bc  Mc  Lc). En tal caso, como los
sucesos son todos independientes entonces las probabilidades de las intersecciones son los
productos de las probabilidades. Por ello,
P(Bc  Mc  Lc) = P(Bc) · P(Mc) · P(Lc) =
= (1 – 4/5) · (1 – 2/3) · (1 – 3/5) = 1/5 · 1/3 · 2/5 = 2/75  0´027
Sean los siguientes sucesos B = “Aprueba Biología”, M = “Aprueba matemáticas” y
L = “Aprueba lengua”. La probabilidad pedida es
P(Bc  M  L) + P(B  Mc  L) + P(B  M  Lc)
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HOJA Nº 8
En tal caso, como los sucesos son todos independientes entonces las probabilidades de las
intersecciones son los productos de las probabilidades. Por ello,
P(Bc  M  L) + P(B  Mc  L) + P(B  M  Lc) =
= P(Bc) · P(M) · P(L) + P(B) · P(Mc) · P(L) + P(B) · P(M) · P(Lc) =
5. Para la señalización de emergencia de una fábrica se han instalado dos indicadores que
funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione en una
avería es 0,99, mientras que la de que se accione el indicador B es de 0,95. Si se produce
una avería:
Solución.
Sean los sucesos A = “Se acciona el primer indicador” y B = “Se acciona el segundo
indicador”. Nos preguntan por la probabilidad P(A  Bc) + P(Ac  B).
Observamos que P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0´99 = 0´01 y P(Bc) = 1 – P(B) = 0´05
Puesto que dijeron que los indicadores funcionan independientemente entonces:
P(A  Bc) + P(Ac  B) = P(A)·P(Bc) + P(Ac) ·P(B) = 0´99 · 0´05 + 0´01 · 0´95 = 0´059
Sean los sucesos A = “Se acciona el primer indicador” y B = “Se acciona el segundo
indicador”. Nos preguntan por la probabilidad P(Ac  Bc).
Puesto que dijeron que los indicadores funcionan independientemente entonces:
P(Ac  Bc) = P(Ac) · P(Bc) = 0´01 · 0´05 = 0´0005
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HOJA Nº 8
6. En un experimento de detección de estímulos, se presentan la mitad de las veces el estímulo
A y la otra mitad el estímulo B. El estímulo A es detectado el 80% de las veces y el estímulo
B, en el 70% de las ocasiones.
a) En un ensayo determinado se ha presentado el estímulo A, ¿cuál es la probabilidad de
que no sea detectado?
Solución. El problema responde al siguiente diagrama de árbol:
Consideramos los sucesos:
A = “Se presenta el estímulo A”
B = “Se presenta el estímulo B”
Dc = “No se detecta”
D = “Se detecta”
a) En un ensayo determinado se ha presentado el estímulo A, ¿cuál es la probabilidad de
que no sea detectado?
Mediante la probabilidad condicionada en:

P(Dc/A) =
Aplicamos la probabilidad condicionada según:
Por el teorema de la probabilidad total tendremos que:
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HOJA Nº 8
Por otra parte,
Por lo tanto, la probabilidad pedida será:
7. Se sortea un viaje entre los 120 empleados de una empresa. De ellos, 65 son mujeres, 80
están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
b) Si el premio recae en una persona casada, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
hombre?
Solución. El problema responde al siguiente diagrama de árbol:
Llamamos M = “Ser mujer”, H = “Ser hombre”, C = “Estar casado”, S = “Estar soltero”.

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HOJA Nº 8
b) Si el premio recae en una persona casada, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
hombre?
Aplicamos la probabilidad condicionada según:
Por otra parte,

Por lo tanto, la probabilidad pedida será:
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 1. Se lanza una moneda hasta que

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