Exercice hall avec correction

Exercice 3 : Sonorisation d’un hall d’attente
Cette sonorisation sert à diffuser des annonces ainsi que de la musique d’ambiance.
Le plan du hall est donné page suivante.
On cherche à déterminer :
- le type de haut-parleur à utiliser,
- leur emplacement
- leur nombre.
A] Caractéristique d’un haut-parleur
On assimile le HP à un piston plat vibrant dans un plan encastré pour déterminer son rayon actif. Pour
toutes les questions on utilisera une fréquence de 2000 Hz.
1) Déterminer le rayon du piston pour que son angle de directivité soit de 44° à 2000Hz
(l’atténuation aux limites de l’ouverture étant de –3 dB).
2) Pour quel angle, la fonction de directivité s’annule ?
3) Calculer l’impédance de rayonnement R1.
4) Calculer le facteur de directivité Q.
On a le choix entre trois HP rentrant dans les critères économiques du cahier des charges. Les
caractéristiques sont les suivantes :
1
2
3
Type HP
Rm (m)
Bande passante
(dans l’axe)
Efficacité
(dB/1W/1m)
Médium
Boomer
Médium
0,12
0,116
0,11
100 – 11000 Hz
50 – 4000 Hz
100 – 11000 Hz
86
91
95
5) Expliquer les avantages et les inconvénients de chaque HP par rapport aux critères retenus. Faites
votre choix.
B] Emplacement des HP et nombre de haut-parleurs.
L’architecte a réservé un emplacement pour les HP indiqué sur le plan. Les axes des HP sont dirigés
vers les sièges. On ne tient compte que du champ direct.
1) Déterminer l’écart d entre deux HP consécutifs, pour que la personne B installée au milieu des
axes des deux HP reçoive le message avec uniquement une atténuation de - 3 dB, par rapport à une
personne A installée dans l’axe d’un HP (on fera le calcul uniquement avec 2 HP) à 2000 Hz.
2) Déterminer le nombre de HP nécessaire pour le confort d’écoute de la salle.
3) Sur la troisième figure de la page suivante, tracer les courbes de rayonnement de l’ensemble de
sonorisation dans le plan médian du hall pour la distance indiquée pour 2000 Hz.
En complément de l’annexe 2 du
chapitre 5, on trouvera quelques
valeurs de la fonction BESSEL
supplémentaires :
X
J1( X )
5
3.2
6
3.4
7
3.6
8
3.8
94
10
0.328
0.261
0.277
0.179
0.005
0.095
0.235
0.013
0.245
0.066
0.043
Plan du Hall d’attente
3m
Axe
HP
Axe
sièges
A
20 m
B
d
4m
Axe
HP
4m
3m
Rayonnement à tracer pour les fréquences 200 Hz et 2000 Hz
Annexe : Fonction de BESSEL
Il s'agit d'une fonction mathématique construite pour les besoins de la physique (au même titre que le
fonction sin(x), exp(x)...). Ci-dessous sont données les tables de cette fonction ainsi qu'une
représentation graphique :
1
J 1 (x)
0,75
Premier zéro de la
fonction de Bessel,
pour x =3,83 :
0,5
J1(3,83) = 0
0,25
x
0
-0,25
-0,5
0
1
2
3
4
5
X
J1(X)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0
0,050
0,100
0,148
0,196
0,242
0,287
0,329
0,369
0,406
0,440
0,471
0,498
0,522
0,542
0,558
0,570
0,578
0,582
0,581
6
7
8
2.J1(x)
x
1
0,999
0,995
0,989
0,98
0,969
0,956
0,94
0,922
0,902
0,88
0,856
0,83
0,803
0,774
0,744
0,712
0,68
0,646
0,612
9
10
X
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
2.J1(x)
Une propriété intéressante est à connaître : lim
=1
x
x →0
J1(X)
0,577
0,568
0,556
0,540
0,520
0,497
0,471
0,442
0,410
0,375
0,339
0,301
0,261
0,221
0,179
0,137
0,095
0,054
0,013
-0,027
-0,066
2.J1(x)
x
0,577
0,541
0,505
0,469
0,433
0,398
0,362
0,327
0,293
0,259
0,226
0,194
0,163
0,134
0,105
0,079
0,053
0,029
0,007
-0,014
-0,033
CORRECTION
Exercice 3 : Sonorisation d’un Hall d’attente
A] Choix du haut-parleur
1) Rayon du haut-parleur
La pression acoustique dans une direction orientée à 44° par rapport à l’axe du haut-parleur est définie
par :
p-3dB = paxe.h(44°)
(où h() représente la fonction de directivité du haut-parleur)
Ce qui signifie que 20.log
 p−3dB 
 paxe 
= -3 et donc 20.log[h(44°)] = -3
 J1 2.π .R m.sin(44)  

  λ
 =0,708
La fonction de directivité à 44° est égale à h(44°) = 2.
 2.π

  λ .R m.sin(44)  


Les tables de l’annexe nous permettent d’obtenir le résultat suivant :
2.π .R m.sin(44)
λ
= 1,6
Ce qui nous permet d’en déduire le rayon du haut-parleur : Rm = 11,6 cm
(λ
)
2) il existe un angle d’annulation si J1 2.π .R m.sin(βann) = 0 et 2.π .R m.sin(βann) > 0
Il s’agit de la valeur particulière 2.π .R m.sin(βann) = 3,83
λ
λ
A 2000 Hz, on trouve sin(β
βann) = 0,893 ce qui donne un angle d’annulation à βann = 63°
3) Impédance de rayonnement
 J1(2.k.R m) 
R1 = 1−

Avec 2.k.R m = 6,28
Et
R1 = 1,063
k.R m

J1[6,28] ≈ -0,2 (par interpolation linéaire sur la courbe de Bessel)
4) Facteur de directivité Q
2
2
Q = R m.k = 9,28
R1
5) L’inconvénient de la taille des haut-parleurs par rapport à la valeur calculée est que plus le rayon
est important, plus la directivité est prononcée.
Le HP2 a de plus une bande passante étroite.
Le HP1 a une faible efficacité.
On choisira le HP3 :
- Large bande passante
- Rayon le plus faible
- Efficacité la plus grande
Pour la suite on prendra Rm = 11 cm
B] Emplacement des haut-parleur
1) Paramétrage du problème
HP2
θ1
Plan
d’étude
3m
B
d
R’
θ1
A
R=5m
HP1
4m
La distance R’ (distance HP- auditeur B) est égale à : R’ =
R 2 +  d 
 2
2
2
La pression acoustique due aux deux haut-parleurs en B est : pB2 = 2.pA2.  R  .h [θ1]
2
R'
Avec θ1 = Atan( d )
2.R
2
Comme on doit avoir 10.log( pB2 ) = - 3 dB
pA
pB2 = 0,5
pA2
2

2  J1
2
 2.π .R m.sin(θ1)  
 = 0,5
Le rapport des pressions au carré est donc : pB2 = 2.  R  . 2.  λ
R'   2.π
pA

  λ .R m.sin(θ1)  


Il faut pouvoir sortir d de cette équation. Comme θ1 dépend aussi de la distance d, il est assez difficile
de résoudre cette équation.
La façon la plus simple de résoudre est de travailler par itération, en partant par exemple des valeurs
de d, la première valeur peut être celle correspondant à l’angle de directivité 44° (donnant l’orientation
à – 3dB à 2000 Hz, pour un haut-parleur seul).
Exemple :
θ1
31°
28,8°
29,25°
29,68°
6m
5,5 m
5,6 m
5,7 m
2
pB2
pA2
h(θ1)
d
0,545
0,592
0,582
0,573
10.log( pB2 )
pA
0,437
0,538
0,517
0,496
- 3,59 dB
- 2,69 dB
-2,87 dB
- 3 dB
Choix : d = 5,7 m
2) Nombre de haut-parleurs
il suffit de diviser la longueur du hall (20 m) par la distance d.
Nombre de HP :
l’homogénéité).
n=
4 HP
(il faut évidemment prendre une valeur entière qui améliore
63°
4m
Axe
HP
3m
3) Rayonnement du haut-parleur à 2000Hz