CalculoIntegral2015I - Portal de ExpresaUACM
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C´alculo Integral Carlos E Mart´ınez Rodr´ıguez Semestre I de 2013 1 ´Indice 1. Parte II 1.1. Aplicaci´on de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2. Primer Evaluaci´ on Parcial 6 3. Segunda Evaluaci´ on Parcial 7 4. Segunda Evaluaci´ on Parcial (versi´ on corregida) 9 5. Segunda Evaluaci´ on Parcial (Resposici´ on) 2 11 1. 1.1. Parte II Aplicaci´ on de Integrales 1. Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) Para los primeros 10 d´ıas de diciembre una c´elula vegetal creci´o de forma que t d´ıas despu´es del 1 de diciembre el volumen de la c´elula estuvo creciendo a una tasa de (12 − t)2 micras c´ ubicas por d´ıa. Si el 3 de diciembre el volumen 3 de la c´elula fue de3µm . Cu´al fue el volumen el 8 de diciembre?. √ = b) El volumen de un globo crece de acuerdo a la f´ormula dV t + 1+ 25 t, donde dt V metros c´ ubicos es el volumen de un globo a los t segundos. Si V = 33 cuando t = 3, determine una ecuaci´on para el volumen y diga cual es el volumen del globo a los 8 segundos. 2. Movimiento de part´ıculas a) Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ecuaci´on v = 10 cos 2πt, donde v cent´ımetros por segundo es la velocidad a los t segundos. Si el sentido positivo es hacia la derecha del origen y la part´ıcula est´a a 5 cm a la derecha del origen al inicio del movimiento, determine su posici´on cuando t es igual a {0,3, 1, 4, 2,9, 3,6}. b) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/s considere que la u ´nica fuerza que act´ ua sobre la piedra es la aceleraci´on debida a la gravedad. Determine que tan alto va a llegar la piedra, qu´e tiempo le tomar´a a la piedra llegar al suelo y la rapidez al momento de llegar al suelo. 3. Determine la soluci´on completa de la ecuaci´on diferencial a) dy dx = 6 − 3x2 c) du dv = √ x+x √ y−y √ 3v 1+v 2 u d) dy dx = sec2 x tan2 y e) du dv = cos 2v sin 3u f) d2 y dx2 b) dy dx = 2 = 5x + 1 3 √ g) d2 y dx2 = h) d2 s dt2 = sin 3t + cos 3t i) d2 u = tan v sec2 v j) dy dx = (x + 1) (x + 2); y = − 23 cuando x = −3, k) d2 y dx2 dv 2 2x − 3 = − x34 ; y = do x = 1. 1 2 y dy dx = −1 cuan- 4. En la siguiente lista de ejercicios una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta, a los t segundos, s pies es la distancia dirigida de la part´ıcula desde el or´ıgen, v pies por segundo es la velocidad de la part´ıcula y a pies por segundo por segundo es la ds aceleraci´on de la part´ıcula. Sugerencia: a = dv = dv = v dv . dt ds dt ds √ a) v = 2t + 4; s = 0, cuando t = 0. Expresar s en t´erminos de t. b) a = 5 − 2t; v = 2 y s = 0 cuando t = 0. Exprese v y s en t´erminos de t. c) a = t2 + 2t; s = 1 cuando t = 0 y s = −3 cuando t = 2. Exprese v y s en t´erminos de t. d ) a = 800; v = 20 cuando s = 1. Obtenga una ecuaci´on que contenga a v y s. 5. Plantea y resuelve los siguiente problemas a) Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta de modo que si v cent´ımetros por segundo es la velocidad de la part´ıcula a los t segundos, entonces v = 9 sin 3πt, donde el sentido positivo es a la derecha del origen. Si la particula se encuentra en el origen al iniciar su movimiento determine su posici´on cuando t = {0,6, 2,5, 4,8, 7,2}. b) Se deja caer una piedra desde lo alto del monumento a Washington, de 555 pies de altura. cu´anto tiempo le toma a la piedra llegar al suelo y con qu´e rapidez lo hace. c) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 20pie/s. Cu´anto tiempo ascender´a la pelota, qu´e tan alto llegar´a la pelota y cuanto tiempo lo tomar´a llegar al piso. d ) si una pelota se rueda a nivel de suelo con una velocidad inicial de 20pie/s y si la rapidez de la pelota se disminuye a la tasa de 6pie/s debido a la fricci´on. Qu´e distancia recorrer´a la pelota?. e) Si los frenos de un automovil pueden darle una aceleraci´on negativa y constante de 8m/s2 , cu´al es la m´axima rapidez a la que puede viajar si es necesario detener el autom´ovil en un intervalo de 25m despu´es de de que se apliquen los frenos? ´ 6. Area entre curvas.reglamento de consejos de plantel uacm 4 a) Determine el a´rea de la regi´on limitada por y = x3 − 2x2 − 5x + 6, y ejes x = −1 y x = 2. c) Calcule el ´area de la regi´on limitada por la par´abola y 2 = 2x − 2 y la recta y = x − 5. b) Determine el ´area de la regi´on limitada por las curvas y = x2 y y = −x2 + 4. d ) Calcule el ´area de la regi´on limitada por las curvas y = x3 − 6x2 + 8x y y = x2 − 4x. 7. Calcule el ´area de la regi´on acotada por las curvas a) y = cos x; eje x, eje y, x = π6 . e) y = 2 − x2 ; y = −x, x = 3. b) y = sin x; eje x, x = 31 π, x = 23 π. c) y = sec2 x; eje x, eje y, x = 14 π. f ) y 2 = x − 1; x = 3. √ g) y = x; y = x3 . d ) y 2 = −x; x = −2 y x = −4. h) y 3 = x2 ; x − 3y + 4 = 0. 5 2. Primer Evaluaci´ on Parcial Responde las siguientes preguntas, indicando todos los pasos que realizaste para obtener la respuesta: Nombre: Matr´ıcula: 1. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/s considere que la u ´nica fuerza que act´ ua sobre la piedra es la aceleraci´on debida a la gravedad. Determine que tan alto va a llegar la piedra, qu´e tiempo le tomar´a a la piedra llegar al suelo y la rapidez al momento de llegar al suelo. 2. Determine la soluci´on completa de la ecuaci´on diferencial una soluci´on particular. dy dx = √ x+x √ y−y y encuentre √ 3. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de una curva es 3 x, si el punto (9, 4) est´a en la curva, obtenga una ecuaci´on de la misma. 4. Utilice el Teorema Fundamental del C´alculo para calcular las siguientes derivadas Rx√ a) 1 2t2 + 1dx R2 b) 0 2x3/4 − 5x2/3 dx 5. Calcule las siguientes antiderivadas a) f (x) = √ sin x √ x b) f (x) = 2 cot x−3 sin2 x sin x c) f (x) = 3 sec x tan x − 5csc2 x √ d ) f (x) = x x + x1 6 3. Segunda Evaluaci´ on Parcial Nombre: Matr´ıcula: 1. Resuelve a lo m´as dos de las siguientes integrales indicando todos los pasos que realizaste para obtener la respuesta: a) R b) R √ x2 x − 4dx (7.5 puntos) (4 csc x cot x + 2 sec2 x) dx puntos) c) R 6x2 sen x3 dx (5 puntos) d) R 2 √ x +2x dx x3 +3x2 +1 (7.5 (8.5 puntos) 2. Calcule una de las siguientes derivadas y simplifique a) f (x) = ln (ln (x)) (7.5 puntos) 3. Calcular dy dx √ b) f (x) = ln tan x (10 puntos) para una de las siguientes expresiones c) y = ln | tan 4x + sec 4x| b) x ln y + y ln x = xy d) y = x3 +2x √ 5 7 x +1 (12.5 puntos) 4. Evaluar una de las siguientes derivadas mediante derivaci´on logar´ıtmica x2 (x−1)2 (x+2)2 (x−4)5 b) y = x3 +x √ 5 7 x +1 (12.5 puntos) 5. Evalue a lo m´as dos de las siguientes integrales a) R 2+ln2 x dx x(1−ln x() c) R tan ln x dx x b) R cos 3x+3 dx sin 3x d) R 3x5 −2x3 +5x2 −2 dx x3 +1 (15 puntos) 6. Calcule dy dx para una de las siguientes expresiones 7 4 c) f (x) = ln (12.5 puntos) a) x ln x2 y + 3y 2 = 2x2 − 1 a) y = q x2 −1 x2 +1 a) y = ee x c) y 2 e2x + xy 3 = 1 b) y = ln (ex + e−x ) d ) ye2x + xe2y = 1 (15 puntos) 7. Calcule una de las siguientes integrales a) R e3x e2x dx b) R 1 dx 1+ex c) R e2x dx ex +3 (20 puntos) 8. Calcule una de las siguientes derivadas a) y = 25x 34x 2 √ b) y = x x c) y = xe x (20 puntos) 9. Calcule una de las siguientes integrales a) R 5x 4 +2x (2x3 + 1) dx b) R 3 x2 10x dx c) R x x ex 2e 3e dx (20 puntos) En matem´aticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas: John Von Neumann Suerte! 8 4. Segunda Evaluaci´ on Parcial (versi´ on corregida) Nombre: Matr´ıcula: 1. Resuelve a lo m´as dos de las siguientes integrales indicando todos los pasos que realizaste para obtener la respuesta: a) R b) R √ x2 x − 4dx (10 puntos) (4 csc x cot x + 2 sec2 x) dx (12.5 puntos) c) R 6x2 sen x3 dx (10 puntos) d) R 2 √ x +2x dx x3 +3x2 +1 (10 puntos) 2. Calcule a los m´as dos de las siguientes derivadas y simplifique a) f (x) = ln (ln (x)) (7.5 puntos) 3. Calcular dy dx √ b) f (x) = ln tan x (10 puntos) q 2 c) f (x) = ln 4 xx2 −1 +1 (12.5 puntos) para a los m´as dos de las siguientes expresiones a) x ln x2 y + 3y 2 = 2x2 − 1 (20 ptos) c) y = ln | tan 4x + sec 4x| (15 ptos) b) x ln y + y ln x = xy (20 ptos) d) y = x3 +2x √ 5 7 x +1 (15 ptos) 4. Evaluar una de las siguientes derivadas mediante derivaci´on logar´ıtmica a) y = x2 (x−1)2 (x+2)2 (x−4)5 b) y = x3 +x √ 5 7 x +1 (15 puntos) 5. Evalue a lo m´as dos de las siguientes integrales a) R 2+ln2 x dx x(1−ln x() c) R tan ln x dx x b) R cos 3x+3 dx sin 3x d) R 3x5 −2x3 +5x2 −2 dx x3 +1 (20 puntos) 6. Calcule dy dx para a los m´as dos de las siguientes expresiones 9 x a) y = ee (15 puntos) c) y 2 e2x + xy 3 = 1 (20 puntos) b) y = ln (ex + e−x )(15 puntos) d ) ye2x + xe2y = 1 (20 puntos) (15 puntos) En matem´aticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas: John Von Neumann Suerte! 10 5. Segunda Evaluaci´ on Parcial (Resposici´ on) Nombre: Matr´ıcula: 1. Resuelve a lo m´as dos de las siguientes integrales indicando todos los pasos que realizaste para obtener la respuesta: a) R cos2 x sin xdx (10 puntos) b) R x3 +1 dx x+1 (10 puntos) 2. Calcule las siguientes derivadas y simplifique a) f (x) = ln 3. Calcular dy dx q 3 x+1 x2 +1 b) f (x) = x ln x (10 ptos) (10 ptos) para a los m´as dos de las siguientes expresiones a) x ln x2 y + 3y 2 = 2x2 − 1 (20 ptos) b) y = x3 +2x √ 5 7 x +1 (15 ptos) 4. Evaluar una de las siguientes derivadas mediante derivaci´on logar´ıtmica a) y = x2 (x−1)2 (x+2)2 (x−4)5 b) y = x5 (x+2) x−3 (15 puntos) 5. Evalue a lo m´as dos de las siguientes integrales a) R 2+ln2 x dx x(1−ln x) b) R √ cot x √ dx x (20 puntos) 6. Calcule dy dx para a los m´as dos de las siguientes expresiones a) y 2 e2x + xy 3 = 1 (20 puntos) b) ye2x + xe2y = 1 (20 puntos) En matem´aticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas: John Von Neumann Suerte! 11