2014/15 II Übergangsmatrizen März 2015

2014/15 II Übergangsmatrizen März 2015

2014/15 II
Übergangsmatrizen
März 2015
Nr. 1: Tannenwachstum NRW Zentral 2013
Von einem Forstbetrieb werden auf verschiedenen Waldflächen Tannen gezogen. Entsprechend ihrer Höhe werden die
Tannen in drei Größenklassen eingeteilt: Tannen, die weniger als einen Meter groß sind, gehören zur Größenklasse K
(klein); Tannen, die mindestens einen Meter, aber weniger als zwei Meter groß sind, gehören zur Größenklasse M
(mittel);
Tannen, die mindestens zwei Meter groß sind, gehören zur Größenklasse G (groß).
Jeweils zu Beginn eines festen Zeitraums (Wachstumsperiode), auf den sich im Folgenden die Übergänge zwischen
den drei Größenklassen beziehen,wird eine Bestandsaufnahme durchgeführt. Die Übergangsquoten berücksichtigen,
dass abgestorbene, kranke oder beschädigte Bäume im Laufe jeder Wachstumsperiode aus dem Bestand entfernt werden.
a) Auf einer der Waldflächen erreichen von den Tannen. der Größenklasse K innerhalb einer Wachstumsperiode 50 % die
Großenklasse M und 10 % die Größenklasse G, während 30 % in der Größenklasse K verbleiben. Von den Tannen der
Größenklasse M erreichen innerhalb einer Wachstumsperiode 55 % die Größenklasse G, während 40 % in der
Größenklasse M verbleiben. Von den Tannen der Größenklasse G sind am Ende einer Wachstumsperiode noch 98 % in
der Größeriklasse G.
Stellen Sie dieses Wachstumsverhalten durch ein Übergangsdiagramm dar und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix,
die dieses Wachstumsverhalten beschreibt.
(10 Punkte)
Input
0.4
G
M=
0.55
M
0.98
0.3
0
0
0.5 0.4
0
0.1 0.55 0.98
0.1
0.5
K
0.3
Auf einer anderen Waldfläche wird eine andere Art von Tannen gezogen. Eine Zählung ergab die folgende
Übergangsmatrix A für das Übergangsverhalten zwischen den oben genannten Größenklassen innerhalb einer
von K
von M
von G
0.25
0
0
0.7 0.55 0
Wachstumsperiode:A =
In Teilaufgabe b) wird angenommen, dass diese Übergangsquoten auch
0
0.4 0.95
für die vorangegangenen und folgenden Wachstumsperioden gelten.
b) Die Bestandsaufnahme zu Beginn einer bestimmten Wachstumsperiode ergibt 450 Tannen der Größenklasse K, 4230
Tannen der Größenklasse M und 5320 Tannen der Größenklasse G.
(1) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende dieser Wachkstumsperiode.
(2) Bestimmen Sie dieAnzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen eine Wachstumsperiode vor dem Zeitpunkt
der Bestandsaufnahme .
(3) Zeigen Sie, dass der Gesamtbestand an Tannen am Ende einer beliebigen Wachstumsperiode 95 % des Bestandes
zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
(4) Berechnen Sie, nach.wievielen Wachstumsperioden erstmals weniger als 60 % des ursprünglichen
Gesamtbestandes an Tannen vorhanden sind.
(20 Punkte)
(1)
0.25
0
0
450
0.7 0.55 0 . 4230
0
0.4 0.95
5320
=
(2)
x
0.25
0
0
0.7 0.55 0 . y
z
0
0.4 0.95
450
4230
5320
=
112.5
2641.5 Diese Werte ergeben sich nach 1 Periode.
6746.
0.25 x
⟹ 0.7 x + 0.55 y
0.4 y + 0.95 z
(II) 0.7*1800 + 0.55 y = 4230 ⟹ 0.55 y = 2970 ⟹ y =
=
450
4230
5320
2970
(III) 0.4*5400 + 0.95*z = 5320 ⟹ 0.95 z = 3160 ⟹ z =
0.55
3160
0.95
⟹x=
450
0.25
= 1800
= 5400 ⟹
= 3326.32
Eine Periode vor der Bestandsaufnahme gab es 1800 kleine, 5400 mittlere und 3326 große Bäume.
2
GK13.15.U8.nb
(3)
zu zeigen: Aus dem Ausgangsbestand x1 , x2 und x3 mit dem Gesamtbestand: x1 + x2 + x3 muss
sich der neue Gesamtbestand mit 95 % vom alten also (x1 + x2 + x3 )* 0.95 ergeben.
x
0.25
0
0
0.25 x
Neuer Gesamtbestand:
0.7 0.55 0 . y = 0.7 x + 0.55 y
z
0
0.4 0.95
0.4 y + 0.95 z
0.25 x + 0.7 x + 0.55 y + 0.4 y + 0.95 z = 0.95 x + 0.95 y + 0.95 z = 0.95 (x + y + z)
Also wie gefordert 95 % vom Ausgangsbestand.
Andere Lösung: alle Spaltensummen betragen 0.95 = 95 % .
(4)
Exponentieller Zerfall mit: q = 0.95 Formel: kn = k0 ·q n Hier:
0.6 = 1*0.95n ⟹ ln 0.6 = n *ln 0.95 ⟹ n =
ln(0.6)
ln(0.95)
= 9.9589 Also ab n = 10 weniger.
Nach 10 Wachstumsperioden sind erstmals weniger als 60 % der Ausgangsmenge vorhanden.
Nun wird davon ausgegangen: dass jeweils am Ende einer Wachstumsperiode, innerhalb derer sich der Bestand
zunächst gemäß der Übergangsmatrix A entwickelt hat, 56 % des dann vorhandenen Bestandes der Größenklasse G
gefällt und danach genau so viele Tannen in der Größenklasse K neu gesetzt werden, wie zuvor in der Größenklasse G
gefällt wurden.
c)
(1)
(2)
(3)
(4)
x1
Bestimmen Sie ausgehend von einem beliebigen Bestandsvektor x = x2 zu Beginn einer Wachstumsperiode,
x3
wie viele Tannen in den einzelnen Größenklassen am Ende der Wachstumsperiode nach dem Fällen und vor dem
0.25 x
0.7 x + 0.55 y
Wiederaufforsten vorhanden sind. [Kontrollergebnis:
]
0.176 y + 0.418 z
Gesucht ist eine Übergangsmatrix C, die den Übergang zwischen den Größenklassen K, M und G innerhalb einer
Wachstumsperiode unter Berücksichtigung der abschließenden Fäll-und-Wiederaufforsrungsarbeiten beschreibt.
0.25 0.224 0.532
0
Zeigen Sie, dass C = 0.7 0.55
gilt.
0 0.176 0.418
Begründen Sie, dass nach der Wiederaufforstung am Ende einer Wachstumsperiode der Gesamtbestand an
Tannen 95 % des Bestandes zu Beginn dieser Wachstumsperiode beträgt.
x1
Bestimmen Sie bezogen auf einen beliebigen Bestandsvektor x2 zu Beginn einer Wachstumsperiode, wie viele
x3
Tannen der Größenklasse K nach den Fällarbeiten am Ende der Wachstumsperiode insgesamt neu gesetzt werden
müssten, damit die Gesamtzahl der Tannen am Ende der Wachstumsperiode gleich der Anzahl der Tannen zu
Beginn dieser Wachstumsperiode ist.
(20 Punkte)
(1)
(2)
x
0.25
0
0
Menge nach der Periode, vor dem Abholzen: 0.7 0.55 0 . y =
z
0
0.4 0.95
Nun werden 56 % der großen gefällt. Es bleiben also noch 44 % = 0.44
0.44*(0.4 y + 0.95 z) = 0.176 y + 0.418 z
0.25 x
Damit ergibt sich die neue Matrix:
0.7 x + 0.55 y
0.176 y + 0.418 z
0.25 x
0.7 x + 0.55 y
0.4 y + 0.95 z
Insgesamt wurden nach (1) 0.56*(0.4 y + 0.95 z) = 0.224 y + 0.532 z Bäume gefällt.
Bäume gefällt. Diese kommen also zu K hinzu. Damit ergibt sich der neue Bestandsvektor:
0.25 x + 0.224 y + 0.532 z
0.7 x + 0.55 y + 0 z
0 x + 0.4 y + 0.95 z
x
Ausklammern des alten Bestandvektors y
z
führt zur neuen Übergangsmatrix:
x
0.25 0.224 0.532
. y
0.7 0.55
0
z
0
0.4
0.95
(3)
Da genausoviele Bäume gefällt wie neu gepflanzt wurden, ändert sich die Gesamtzahl gegenüber
der Untersuchung in b)(3) nicht. Immer noch verringert sich die Gesamtzahl pro Periode um 5 %
auf
95 %.
(4)
Damit der Bestand zahlenmäßig erhalten bleibt, müssten zusätzlich zu den 0.224 y + 0.532 z
Tannen aus (2) weitere 5% von (x + y + z) Tannen gesetzt werden.
Insgesamt also: 0.224 y + 0.532 z + 0.05 (x + y + z) = 0.05 x + 0.274 y + 0.582 z Tannen.
4
GK13.15.U8.nb
Nr. 2: Entwicklung von Nagetieren
Die Entwicklung einer Population von Nagetieren wird zu Forschungszwecken unter Laborbedingungen untersucht.
Die Tiere werden im Alter von einem Monat geschlechtsreif und vermehren sich danach einmal pro Monat. Der erste
Wurf umfasst im Mittel weniger Jungtiere als die späteren Würfe. Deshalb werden folgende Altersgruppen
unterschieden:
J: Jungtiere bis zum Alter von einem Monat, die noch nicht geschlechtsreif sind G: geschlechtsreife Tiere nach
Vollendung des 1. und bis zur Vollendung des 2. Lebensmonats und A: Alttiere nach Vollendung des 2.
Lebensmonats.
Die Entwicklung der Population innerhalb eines Monats wird durch die folgende Übergangsmatrix M dargestellt
J
J
M=G
A
a) (1)
(2)
G
A
0 2
3
0.8 0
0
0 0.6 0.4
Beschreiben Sie die Entwicklung der Population.
Berechnen Sie den Anteil der Tiere, die mindestens ein halbes Jahr alt werden.
(1)
(2)
(9 Punkte)
Nach einem Monat sind noch 80 % der Jungtiere am Leben und zu geschlechtsreifen Tieren
herangewachsen. Diese bekommen nach einem weiteren Monat durchschnittlich 2 Junge (pro
Elterntier). 60 % der geschlechtsreifen Tiere überleben ihren zweiten Lebensmonat und werden zu
Alttieren.
Pro Alttier und Monat kommen durchschnittlich 3 Junge zur Welt. Jeden Monat überleben 40 %
der Alttiere.
Das Produkt der Überlebensraten der ersten 6 Monate stellt den gesuchten Anteil dar:
0.8*0.6* 0.44 = 0.012288
Etwa 1,2 % der Tiere werden mindestens ein halbes Jahr alt.
Anfang Mai werden 85 Jungtiere, 20 geschlechtsreife Tiere und 15 Alttiere gezählt.
b) (1) Berechnen Sie die Verteilung der Population, die für Anfang Juni und Anfang Juli zu erwarten ist.
(2) Bestimmen Sie die Verteilung der Population für Anfang April.
(3) Beschreiben Sie die langfristige Entwicklung der Population und begründen Sie Ihre Aussage. (16 Punkte)
(1)
(2)
85
0
2
3
85
85.
0
2
3
85.
190.
v0 = 20 ; v1 = 0.8 0
0 . 20 = 68. ;v2 = 0.8 0
0 . 68. = 68.
18.
48.
15
0 0.6 0.4
15
0 0.6 0.4 18.
Anfang Juni ist eine Population aus 85 Jungtieren, 68 geschlechtsreifen Tieren und 18 Alttieren
zu erwarten.
Anfang Juli ist eine Population aus 190 Jungtieren, 68 geschlechtsreifen Tieren und 48 Alttieren
zu erwarten.
Gesucht ist v-1 ⟹ Rückwärts rechnen:
2 x2 + 3 x3 = 85
x1
0
2
3
85
x
.
=
⟹
0.8 x1 = 20
0.8 0
0
20
2
x3
0 0.6 0.4
15
0.6 x2 + 0.4 x3 = 15
3*(I)
10*(III)
6 x2 + 9 x3 = 255
6 x2 + 4 x3 = 150
(I) 2 x2 + 3 *21 = 85 ⟹ x2 =
⟹ 5 x3 = 105 ⟹ x3 = 21
85-63
2
⟹ x1 =
20
0.8
= 25.
⟹
= 11
Anfang April müsste die Population nach dem hier verwendeten Modell aus 25 Jungtieren,
11 geschlechtsreifen Tieren und 21 Alttieren bestanden haben.
(3)
die
Da sich nach 2 Monaten die Anzahl der Tiere in jeder Altersklasse mehr als verdoppelt hat, wird
Population langfristig unbegrenzt anwachsen.
[Hier sind detailliertere Begründungen möglich, aber nicht erforderlich.]
c) Durch eine bestimmte Substanz, die dem Futter beigemischt wird, sollen die Vermehrungsraten der Tiere gesenkt
werden. Gehen Sie davon aus, dass diese Substanz beide Vermehrungsraten um denselben Faktor k, 0 < k < 1
verringert und von Anfang Mai an den Tieren in einer solchen Dosierung verabreicht wird, dass die Population nach
einem Monat immer noch die Gesamtzahl von 120 Tieren umfasst.
0 2k 3k
Die zugehörige Übergangsmatrix lautet 0.8 0 0
0 0.6 0.4
Ermitteln Sie den Faktor k und berechnen Sie die geänderten Vermehrungsraten sowie die resultierende Verteilung der
Population für Anfang Juni.
(11 Punkte)
0 2k 3k
85
Neue Verteilung für Juni: 0.8 0
0 . 20
0 0.6 0.4
15
Also: 120 = 85 k + 68 + 18 ⟹ k =
120-68-18
85
=
Neue Vermehrungsraten: Jungtiere: 2 k = 0.8
nicht vergessen!)
34.
Einsetzen ergibt den Vektor für Juni: 68.
18.
85 k
68.
18.
=
2
5
Gesamtzahl soll immer noch 120 sein.
= 0.4
und Alttiere 3 k = 1.2 (Angabe verlangt, also
d) Einer zweiten Population derselben Nagetiere, die Anfang Mai aus 70 Jungtieren, 40 geschlechtsreifen Tieren und 10
Alttieren bestand, wird seit Anfang Mai eine andere, die Vermehrungsraten senkende Substanz ins Futter gemischt.
Diese erweist sich allerdings für die jüngeren Tiere als gesundheitsschädlich. Die Zählung Anfang Juni ergibt, dass die
Anzahl der Tiere in allen drei Altersgruppen jeweils dieselbe ist wie Anfang Mai.
0 a 2
*
Zur Darstellung der Entwicklung dieser Population wird eine Übergangsmatrix der Form M = b 0 0 als
0 c 0.4
geeignet angesehen. Bestimmen Sie die Werte der Parameter a, b und c.
(7 Punkte)
Aus dem Text ergibt sich (die Anzahl bleibt überall konstant)
0 a 2
70
b 0 0 . 40
0 c 0.4
10
=
70
40
10
40 a + 20
⟹
=
70 b
40 c + 4.
a
⟹ b
c
70
40
10
=
50
5
40
40
4
4
70
6
=
7
3
40
Die gesuchten Werte sind a = 1.25 ; b =
4
1.25
= 0.571
0.15
20
; c = 0.15
7
e) Bei einer dritten Population soll pro Monat aus jeder der drei Altersgruppen eine konstante Anzahl s von Tieren
entnommen werden. Gesucht ist für diese Population eine solche Anfangsverteilung, bei der sich nach einem Monat
und der anschließenden Entnahme der Tiere wieder dieselbe Verteilung ergibt. Die Entwicklung der Population
während eines
Monats werde durch die anfangs verwendete Übergangsmatrix M beschrieben.
Ermitteln Sie die entsprechende Anfangsverteilung, wenn aus jeder Altersgruppe nach jedem Monat s = 15 Tiere
entnommen werden sollen.
(7 Punkte)
Verkappte Fixvektoraufgabe, von den Werten nach der Multiplikation jeweils noch 15 Tiere abziehen.
x1
0
2
3
0.8 0
0 . x2
x3
0 0.6 0.4
15
- 15 =
15
2 x2 + 3 x3 - 15
0.8 x1 - 15
=
0.6 x2 + 0.4 x3 - 15
x1
x2
x3
-2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 30
0.8 x1 - 1 x2 + 0 x3 = 15
-2 x1 + 10 x2 - 0 x3 = 180
x1 =
330
6
= 55 ;
x1
x2
x3
⟹
⟹
2 x2 + 3 x3
⟹
0.8 x1
0.6 x2 + 0.4 x3
-1 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15
0.8 x1 - 1 x2 + 0 x3 = 15
0 x1 + 0.6 x2 - 0.6 x3 = 15
8 x1 - 10 x2 = 150
-2 x1 + 10 x2 = 180
-2* 55 + 10 x2 = 180 ⟹ x2 =
⟹
15
- 15 =
15
290
10
⟹
x1
x2
x3
⟹
-2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 30
0.8 x1 - 1 x2 + 0 x3 = 15
0 x1 + 6 x2 - 6 x3 = 150
⟹ 6 x1 = 330 ⟹
= 29 ;
⟹
6
GK13.15.U8.nb
-1*55 + 2*29 + 3 x3 = 15 ⟹ x3 =
15+55-2*29
3
=4
55
Der gesuchte Verteilungsvektor ist 29 .
4
Nr. 3: Sozialer Auf-und Abstieg
Übergangsmatrizen
Die Bevölkerung eines Landes kann man grob in die drei Klassen Oberschicht (OS), Mittelschicht (MS) und
Unterschicht (US) einteilen. In statistischen Erhebungen hat man festgestellt, dass die Kinder von Angehörigen einer
bestimmten Schicht als zukünftige Eltern nicht unbedingt auch dieser Schicht angehören.
Für eine Modellrechnung nimmt man an, dass sich in einem bestimmten Land derzeit 10 % der Bevölkerung in der
Oberschicht, 60 % in der Mittelschicht und 30 % in der Unterschicht befinden. Weiterhin nimmt man an, dass 55 %
der Oberschichtkinder später auch wieder der Oberschicht angehören. 70 % der Mittelschichtkinder bleiben später in
der Mittelschicht, während 80 % der Unterschichtangehörenden auch in der nächsten Generation darin verbleiben.
5 % der Oberschichtkinder werden - nach diesem Modell - in die Unterschicht zurückfallen. Ebenso sollen 5 % der
Unterschichtkinder in die Oberschicht aufsteigen. Diesen Aufstieg in die Oberschicht schaffen auch 10 % der
Mittelschichkinder.
a) Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Übergangsmatrix M (Reihenfolge:OS, MS, US ) und zeichnen Sie einen
geeigneten Übergangsgraphen ?
Eltern
OS
MS
US
0.55 0.10 0.05
0.40 0.70 0.15
0.05 0.20 0.80
OS
M = MS
US
0.55 0.10 0.05
m = 0.40 0.70 0.15
0.05 0.20 0.80
0.7
0.8 US
0.15
0.2
0.05
makeDiagramm[{"OS", "MS", "US"}, m] =
0.05
MS
0.1
0.4
OS
0.55
b) Bei den Berechnungen geht man von insgesamt 4200 Familien aus.
(1) Bestimmen Sie die Bevölkerungsverteilung in der nächsten Generation.
(2) Bestimmen Sie die Verteilung in der übernächsten Generation.
(1)
(2)
c)
0.1
420.
Startvektor: v0 = 4200* 0.6 = 2520.
0.3
1260.
420.
Nach einer Generation: v1 = M. 2520.
1260.
0.55 0.1 0.05
420.
= 0.4 0.7 0.15 . 2520.
0.05 0.2 0.8
1260.
546.
Nach 2. Generationen:v2 = M. 2121.
1533.
0.55 0.1 0.05
546.
0.4 0.7 0.15 . 2121.
0.05 0.2 0.8
1533.
=
=
=
546.
2121.
1533.
589.05
1933.05
1677.9
Berechnen Sie die Matrix N = M 2 und geben Sie die Bedeutung des Matrixelements: n2,3 im Sachzusammenhang an.
N = M2 =
0.55 0.1 0.05
0.55 0.1 0.05
0.4 0.7 0.15 . 0.4 0.7 0.15 =
0.05 0.2 0.8
0.05 0.2 0.8
0.345 0.135 0.0825
0.5075 0.56 0.245
0.1475 0.305 0.6725
n2,3 = 0.245 besagt, dass in der 2. Generation 24.5 % der ursprünglich Unterschichten-Familien in die
Mittelschicht aufgestiegen sind.
d) Wie war unter diesen Modellannahmen die Bevölkerungsverteilung der Eltern dieser 4200 Familien?
"Rückwärtsrechnen" Ansatz:
x
0.55 0.1 0.05
420.
0.40 0.7 0.15 . y = 2520.
0.05 0.2 0.80
z
1260.
⟹
0.55 x + 0.1 y + 0.05 z = 420
0.40 x + 0.7 y + 0.15 z = 2520
0.05 x + 0.2 y + 0.80 z = 1260
· 14
· (-2)
·7
7.7 x + 1.4 y + 0.70 z = 5880
⌉
-0.80 x - 1.4 y - 0.30 z = -5040 +⌋
0.35 x + 1.4 y + 5.6 z = 8820
7.7 x + 1.4 y + 0.7 z = 5880
6.9 x - 0 y + 0.4 z = 840
-0.45 x + 0 y + 5.3 z = 3780
⟹
⟹
· 5.3
· (- 0.4)
7.7 x + 1.4 y + 0.7 z = 5880
36.57 x - 0 y + 2.12 z = 4452.
⌉
0.18 x + 0 y - 2.12 z = - 1512. +⌋
⟹
⟹
36.75 x = 2940 ⟹ x = 80
(2) 36.57 *80 + 2.12 z = 4452. ⟹ 2.12 z = 1526.4
(13) 0.55*80 + 0.1 y + 0.05 *720 = 420
⟹ z = 720.
⟹ 44. + 0.1 y + 36. = 420
⟹
0.1 y = 340 ⟹ y = 3400
80
3400
720
Also: Verteilung der Elterngeneration:
e) Die sich nach den Berechnungen in b) (1) ergebende Zahl von 1533 Familien in der Unterschicht nach einer
Generation erscheint den Planern zu hoch. Sie überlegen, die Übergangsquoten der Unterschichtfamilien so
abzuändern, dass sich nach dem 1.Generationswechsel nur 1470 Familien in der Unterschicht befinden. Dabei soll die
Quote für den Übergang von der Unter- zur Oberschicht aber konstant bleiben. Bestimmen Sie die neuen
Übergansquoten (Unter- → Mittelschicht und Unter-→ Unterschicht) und bestimmen Sie die neue
Bevölkerungsverteilung in der nächsten Generation.
a
Neuer v1 : v1 = 4200 - 1470 - a
1470
a
= 2730 - a
1470
mit a Personen in OS und der Rest von den 4200
Personen in MS.
0.55 0.1 0.05
x
neue Übergangsmatrix: N = 0.4 0.7
0.05 0.2 0.95 - x
x sei der Anteil, der von US nach MS wechselt, dann
bleiben nur 1 - 0.05 - x = 0.95 - x in der Unterschicht. Also Ansatz:
a
420.
N. 2520. = 2730 - a ⟹
1260.
1470
0.55 0.1 0.05
420.
0.4 0.7
x
. 2520.
0.05 0.2 0.95 - x
1260.
a
= 2730 - a ⟹
1470
(I)
0.55*420 + 0.1*2520 + 0.05*1260 = a ⟹
(III)
0.05*420 + 0.2*2520 + (0.95 - x)*1260 = 1470 ⟹ 1722. - 1260 x = 1470 ⟹
-1260 x = -252 ⟹ x =
-252
-1260
=
1
5
= 0.2
546 = a
8
⟹
GK13.15.U8.nb
(II)
=
-1260
=
5
=
2730 - 546 = 2184
20% wechseln von US nach MS, während 75 % in der US verbleiben.
Dann befinden sich nach einer Generation 546 Familien in der OS, 2184 in MS und 1470 in US.
Viel Erfolg!!!