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Procesos Estoc´
asticos 1. Tarea 2
Dra. Bego˜
na Fern´
andez Fern´
andez
Fecha de entrega: 13 de abril 2015
Resuelva los siguientes problemas justificando sus respuestas y entregue sus resultados, por equipos de 4 a
5 integrantes, en un formato limpio y ordenado.
1. Sea Nt , t ≥ 0 un Proceso Poisson con par´ametro λ y s > 0 fijo. Definimos:
Nt1 = Ns+t − Ns
Demuestre que Nt1 es un Proceso Poisson.
2. Sea Nt , t ≥ 0 un Proceso Poisson homog´eneo de intensidad λ. Demuestre que para s y t tales que 0 ≤ s < t:
a) P [Ns = 0, Nt = 1] = λ(t − s)e−λt .
b) P [Ns = Nt ] = e−λ(t−s) .
c) Cov(Nt , Ns ) = λ m´ın{s, t}.
d ) P [Nt sea impar] = e−λt sinh(λt).
e) P [Nt sea par] = e−λt cosh(λt).
3. Sea Nt , t ≥ 0 un Proceso Poisson homog´eneo de intensidad λ y T una variable aleatoria con distribuci´
on
exponencial de par´
ametro θ e independiente del proceso de Poisson. Encuentre la funci´on de densidad de
la variable NT .
4. En un punto en la carreterea los coches pasan de acuerdo a un Proceso Poisson homog´eneo con intensidad
λ = 2 por minuto. Un turista ingl´es cruza la carretera y olvida que debe mirar a la derecha (y no a
´ tarda s segundos en cruzar. Calcular la probabilidad de que
la izquierda como lo hace en su pais). El
sea insultado al cruzar (suponemos que ser´a insultado si al cruzar la carretera pasa un coche), para
s = 2, 5, 10, 20.
5. Considere un aparato el´ectrico que sufre desperfectos a lo largo del tiempo de acuerdo a un Proceso de
Poisson homog´eneo con par´
ametro λ. Si el aparato sufre un desperfecto es enviado a reparaci´on y despu´es
es puesto en funcionamiento nuevamente, pero si el tiempo entre dos descomposturas sucesivas es mayor
o igual a una constante a > 0 el aparato se reemplaza completamente por uno nuevo. Calcule la funci´
on
de densidad de:
a) Tiempo de vida u
´til del equipo antes de ser reemplazado.
b) N´
umero de reparaciones antes de realizar el reemplazo.
6. Sean {Xt , t ≥ 0} y {Yt , t ≥ 0} dos procesos de Poisson independientes con par´ametros λ1 y λ2 ,
respectivamente. Calcule la probabilidad de que:
a) El primer proceso alcance el estado 1 antes de que el segundo proceso lo haga.
b) El primer proceso alcance el estado 2 antes de que el segundo proceso alcance el estado 1.
7. Sea λt > 0 para toda t ≥ una funci´
on real y (Nt )≥0 un Proceso de contar que satisface:
N0 = 0.
{Nt , t ≥ 0} tiene incrementos independientes.
P [Nt+h − Nt ≥ 2] = o(h).
P [Nt+h − Nt = 1] = λt h + o(h).
Demuestre que Nt+h − Nt es una variable aleatoria Poisson con par´ametro mt+h − mt donde:
Z t
λs ds
mt =
0
8. Las reclamaciones a una Compa˜
n´ıa Aseguradora de sus p´olizas de accidente llegan de acuerdo a un Proceso
Poisson homog´eneo con intensidad λ = 5 por semana. Supongamos que la cantidad que paga la empresa
por cada reclamaci´
on es una variable aleatoria exponencial con media µ = 2000 pesos. ¿Cu´al es la media
y la varianza de la cantidad que paga la compa˜
n´ıa en un per´ıodo de cuatro semanas?
9. Se ha realizado un estudio de la demanda que cierta tienda tiene de sus productos. Se obtuvieron los
siguientes resultados: Para cualquier per´ıodo de venta el n´
umero de clientes potenciales se distribuye
Poisson con media igual al n´
umero de clientes que compr´o el producto el per´ıodo anterior.
Para el per´ıodo k, cualquiera, la fracci´
on de los clientes potenciales que compra el producto es e−pk donde
pk es el precio fijado para el producto en el per´ıodo k.
El n´
umero de clientes en el primer per´ıodo se distribuye Poisson con media λ.
a) Calcule el precio ´
optimo y el beneficio esperado m´aximo para un solo per´ıodo de venta y para 2
per´ıodos de venta.
b) Ahora resuelva el problema para un horizonte de T per´ıodos. Defina: sk las ventas del per´ıodo k y
Uk de la siguiente forma: U0 = 0 y Uk = eUk−1 −1 . Demuestre que la soluci´on, p∗T cumple:
p∗T = 1 − UT −1
Y el beneficio m´
aximo acumulado es:
Vk∗ (sk+1 ) = sk+1 Uk
10. Supongamos que llega gente a una ventanilla, que abre a las 12:00 horas, de acuerdo a un Proceso Poisson
no homog´eneo {Nt , t ≥ 0} (t se mide en horas) con intensidad λ(t), t ≥ 0 dada por:

si 0 ≤ t < 4,
 2,
2t, si 4 ≤ t < 7,
λ(t) =
 2
3t , si t ≥ 7.
a) Calcular la probabilidad de que no llegue ninguna persona entre las 2:00 pm y las 5:00 pm.
b) Calcular la probabilidad de que lleguen dos personas entre las 3:00 pm y las 6:00 pm.
c) Calcular la probabilidad de que lleguen 5 personas entre las 8:00 pm y las 10:00 pm.
11. Sean T1 , T2 , . . . los intervalos entre llegadas de un Proceso Poisson no homog´eneo Nt , t ≥ 0 de intensidad
λ(t).
a) ¿Son independientes las variables Ti ?
b) ¿Son id´enticamente distribuidas?
c) Calcule la distribuci´
on de T1 .
d ) Calcule la distribuci´
on de T2 .
e) Calcule Cov(Ns , Nt ).
f ) Sea Yt = N (m−1 (t)). Demuestre que {Yt , t ≥ 0} es un Proceso Poisson homog´eneo de par´
ametro
λ = 1.
12. El n´
umero de veh´ıculos que pasan frente a un restaurante sigue un proceso Poisson con media de 60
veh´ıculos por hora. En promedio 10 por ciento de los veh´ıculos que pasan se paran en el restaurante. Los
pasajeros en un coche son 1, 2, 3, 4 ´
o 5 con probabilidades 0.30, 0.30, 0.20, 0.10, 0.10, respectivamente.
Calcule lo siguiente:
a) La media y varianza del n´
umero de clientes que entran al restaurante en un periodo de 8 horas.
b) La probabilidad de que el n´
umero de personas que entran al restaurante en un periodo de 8 horas
sea mayor que 100.
13. Sea Nt , t ≥ 0 un Proceso Poisson no homog´eneo de intensidad λ(t), sean T1 , T2 , ... los tiempos de interarribo y sean W1 , W2 , ... los tiempos reales de ocurrencia. Demuestre que para cualquier t > 0:
−mt
fWn (t) = e
(mt )n−1
(n − 1)!
Z
λt
y
FTk (t) = 1 −
Z
mt =
−(mt+s )
e
0
Donde:
∞
(ms )k−2
(k − 2)!
λs ds, k ≥ 2
t
λs ds
0
14. (Opcional) Simulaci´
on:
a) Dise˜
ne un algoritmo para generar un Proceso Poisson homog´eneo con intensidad λ, usando que
condicionado a que Nt = n los tiempos de llegada tienen la misma distribuci´on que las estad´ısticas
de orden de variables aleatorias Uniformes en (0, t).
Nt
b) Elija tres valores distintos de λ, genere el Proceso Poisson correspondiente y calcule
. Compare
t
con el resultado asint´
otico que conoce.
c) Dise˜
ne un algoritmo para generar un Proceso Poisson homog´eneo con intensidad λ, usando que
los tiempos entre los saltos son variables aleatorias independientes con distribuci´on exponencial de
par´ametro λ.
d ) Dise˜
ne un algoritmo para generar un Proceso Poisson no homog´eneo con funci´on de intensidad λt , t ≥
0 y d´e tres funciones de intensidad distintas y para ellas genere el Proceso Poisson no homog´eneo
correspondiente.