קומבינטוריקה של קבוצות קמורות ־ תרגילים

קומבינטוריקה של קבוצות קמורות ־ תרגילים

‫קומבינטוריקה של קבוצות קמורות ־ תרגילים‬
‫‪ .1‬תהא ‪ .A ⊂ Rd‬הוכח או הפרך את הטענות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ A‬סגורה אזי גם )‪ conv(A‬סגורה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ A‬קומפקטית אזי גם )‪ conv(A‬קומפקטית‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא באופן מפורש ‪ d + 1‬נקודות ‪v1 , . . . , vd+1 ∈ Rd‬‬
‫המקיימות ‪ |vi − vj | = 1‬לכל ‪.1 ≤ i < j ≤ d + 1‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ K1 , . . . , Kn‬תיבות מקבילות לצירים ב־ ‪.Rd‬‬
‫הוכח כי אם כל שתיים מביניהן נחתכות‪ ,‬אזי כולן נחתכות‪.‬‬
‫‪ .4‬יהיו ‪ K, K1 , . . . , Kn‬קבוצות קמורות ב־ ‪ .Rd‬נתון כי לכל ]‪ I ⊂ [n‬המקיימת ‪,|I| ≤ d + 1‬‬
‫קיימת הזזה ‪ x + K‬של ‪ K‬החותכת את ‪ Ki‬לכל ‪.i ∈ I‬‬
‫הוכח כי קיימת הזזה ‪ y + K‬החותכת את ‪ Ki‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪ .5‬תהא ‪ K‬קמורה ב־ ‪ ,Rd‬ויהיו ‪ D1 , . . . , Dm‬חצאי־מרחב סגורים ב־ ‪ Rd‬המקיימים‬
‫‪S‬‬
‫‪ .∪m‬הוכח כי קיימת ]‪ I ⊂ [m‬המקימת ‪ |I| ≤ d + 1‬כך ש־ ‪. i∈I Di ⊃ K‬‬
‫‪i=1 Di ⊃ K‬‬
‫‪ .6‬תהא ‪ A ⊂ Rd‬קומפקטית‪ .‬נאמר כי הנקודה ‪ a ∈ A‬רואה את הנקודה ‪ b ∈ A‬אם הקטע‬
‫הסגור ]‪ [a, b‬מוכל ב־ ‪.A‬‬
‫נתון כי לכל ‪ d + 1‬נקודות ‪ b1 , . . . , bd+1 ∈ A‬קיימת ‪ a ∈ A‬הרואה את כולן‪.‬‬
‫הוכח כי ‪ A‬קבוצה כוכבית‪ ,‬כלומר קיימת ‪ x ∈ A‬הרואה את כל נקודות ‪.A‬‬
‫‪ .7‬תהא ‪ F‬משפחה סופית של קבוצות‪ ,‬כך ש־ ‪ |F | ≤ d‬לכל ‪.F ∈ F‬‬
‫‪ ∩d+1‬לכל ‪ ,F1 , . . . , Fd+1 ∈ F‬אזי ∅ =‪.∩F ∈F F 6‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אם ∅ =‪i=1 Fi 6‬‬
‫‪d−1‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ∅ =‪ ∩ki=1 Fi 6‬לכל ‪ ,F1 , . . . , Fk ∈ F‬אזי ‪.τ (F) ≤ k−1 + 1‬‬
‫‪ .8‬יהא )‪ T = (V, E‬עץ‪ ,‬ויהיו ) ‪ T1 = (V1 , E1 ), . . . , Tn = (Vn , En‬תתי־עצים של ‪ T‬המקיימים‬
‫∅ =‪ Vi ∩ Vj 6‬לכל ‪ .1 ≤ i < j ≤ n‬הוכח כי ∅ =‪.∩ni=1 Vi 6‬‬
‫‪ .9‬תהא ‪ K‬קבוצה קמורה סגורה שאינה חסומה‪ .‬הוכח כי ‪ K‬מכילה קרן‪ ,‬כלומר קבוצה‬
‫מהצורה }‪ {a + tb : t ≥ 0‬כאשר ‪.a, 0 6= b ∈ Rn‬‬
‫‪ .10‬יהיו ‪ K1 , . . . , Km‬קטעים סגורים במישור שכולם מקבילים לציר ה־ ‪ .y‬נניח שלכל ]‪I ⊂ [m‬‬
‫המקיימת ‪ ,|I| ≤ d + 2‬קיים פולינום )‪ p(x‬ממעלה לכל היותר ‪ d‬שהגרף שלו חותך את ‪Ki‬‬
‫לכל ‪ .i ∈ I‬הוכח כי קיים פולינום )‪ p(x‬ממעלה לכל היותר ‪ d‬שהגרף שלו חותך את ‪Ki‬‬
‫לכל ‪.1 ≤ i ≤ m‬‬
‫‪ .11‬תהיינה ‪ A1 , . . . , A(m−1)n+1‬תת־קבוצות לא ריקות של ]‪.[n‬‬
‫הוכח כי קיימות ‪ m‬קבוצות זרות לא־ריקות ]‪ I1 , . . . , Im ⊂ [(m − 1)n + 1‬כך שמתקיים‬
‫[‬
‫[‬
‫= · · · = ‪Ai‬‬
‫‪Ai .‬‬
‫‪i∈Im‬‬
‫‪i∈I1‬‬
‫תן דוגמא למשפחה של ‪ (m − 1)n‬קבוצות כנ״ל שעבורן אין חלוקה כנ״ל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .12‬תהא ‪ A ⊂ Rn‬קבוצה פתוחה קמורה‪ .‬פונקציה ‪ f : A → R‬נקראית קמורה אם‬
‫)‪f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y‬‬
‫לכל ‪ x, y ∈ A‬ו־ ‪.0 ≤ λ ≤ 1‬‬
‫נסמן ב־ ‪ Ef‬את קבוצת הנקודות ב־ ‪ A‬אשר בהן ‪ f‬אינה גזירה‪.‬‬
‫א‪ .‬תהא ‪ f : (a, b) → R‬קמורה‪ .‬הוכח כי ‪ Ef‬היא בת־מנייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬תהא ‪ A ⊂ Rn‬קבוצה פתוחה קמורה ותהא ‪ f : A → R‬קמורה‪.‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪ ∂x‬קיים לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ n‬אזי ‪ f‬גזירה ב־ ‪.a‬‬
‫הוכח כי אם )‪(a‬‬
‫‪i‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי אם ‪ f‬קמורה על ‪ Rn‬אזי ‪ Ef‬היא קבוצה בעלת מידה אפס‪.‬‬
‫‪ .13‬תהא ‪ K‬קבוצה קמורה קומפקטית ב־ ‪ .Rd‬פונקצית התומך של ‪K‬‬
‫‪hK : Rd → R‬‬
‫מוגדרת ע״י‪:‬‬
‫‪hK (u) = max{x · u : x ∈ K} .‬‬
‫לכל ‪ u ∈ Rd‬נסמן‬
‫‪TK (u) = {x ∈ K : x · u = hK (u)} .‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ‪ hK‬היא פונקציה קמורה‪.‬‬
‫ב‪ .‬יהא ‪ .0 6= u ∈ Rd‬הראה כי ‪ |TK (u)| > 1‬אםם ‪ hK‬אינה גזירה ב־ ‪.u‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי המידה של הקבוצה }‪ {u : |TK (u)| > 1‬הינה אפס‪.‬‬
‫‪ .14‬תהא } ‪ K = {K1 , . . . , Kn‬משפחה של קבוצות קמורות ב־ ‪ .Rd‬הוכח כי קיימת משפחה‬
‫} ‪ K0 = {K10 , . . . , Kn0‬של קבוצות קמורות קומפקטיות ב־ ‪ Rd‬כך ש־ ) ‪.N (K) = N (K0‬‬
‫‪ .15‬היפרגרף ‪ F‬נקרא אנטי־שרשרת אם ‪ F 6⊂ F 0‬לכל ‪ F 6= F 0‬ב־ ‪.F‬‬
‫יהא ]‪ F ⊂ 2[n‬אנטי־שרשרת‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪P‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪≤ 1‬‬
‫| ‪. F ∈F |Fn‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪ .|F| ≤ bn/2c‬מהם מקרי השויון?‬
‫ב‪ .‬הסק כי‬
‫‬
‫‪ .16‬יהא ‪ F‬היפרגרף ‪r‬־אחיד )כלומר ‪ (F ⊂ Vr‬המקיים לכל ‪F ∈ F‬‬
‫‪τ (F − {F }) < τ (F) = s .‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪r+s−1‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫≤ |‪.|F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .17‬הוכח את הגרסא החרוטית של משפט קרתיאודורי הססגוני‪:‬‬
‫אם ‪ A1 , . . . , Ad‬קבוצות סופיות ב־ ‪ Rd‬כך ש־ ) ‪, p ∈ ∩di=1 pos(Ai‬‬
‫אזי קיימות ‪ a1 ∈ A1 , . . . , ad ∈ Ad‬כך ש־ } ‪.p ∈ pos{a1 , . . . , ad‬‬
‫‪ .18‬יהא ‪ X‬קומפלקס סימפליציאלי‪ .‬הוכח כי ‪ X‬הינו ‪d‬־מטיט אם ורק אם קיימת סדרת‬
‫‪d‬־מטוטים אלמנטריים‬
‫] ‪[σ1 ,τ1‬‬
‫] ‪[σt−1 ,τt−1‬‬
‫] ‪[σ0 ,τ0‬‬
‫‪X = X0 −−−→ X1 −−−→ X2 → · · · → Xt−1 −−−−−−→ Xt‬‬
‫כך ש־ ‪ |σi | = d‬לכל ‪ , 0 ≤ i ≤ t − 1‬וכך ש־ ‪.dim Xt ≤ d − 2‬‬
‫‪ .19‬יהיו ‪ K1 , . . . , Kd+1‬משפחות של קבוצות קמורות ב־ ‪ Rd‬ונניח כי‬
‫‪|Ki |.‬‬
‫‪d+1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Ki 6= ∅}| ≥ α‬‬
‫‪d+1‬‬
‫\‬
‫‪|{(K1 , . . . , Kd+1 ) ∈ K1 × · · · × Kd+1 :‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Ki0‬‬
‫הוכח כי קיים ‪ 1 ≤ i ≤ d + 1‬ותת־משפחה ‪⊂ Ki‬‬
‫המקיימת ∅ =‪.∩K∈Ki0 K 6‬‬
‫‪.∪d+1‬‬
‫הדרכה‪ :‬השתמש ב ‪d‬־מטיטות של העצב של ‪i=1 Ki‬‬
‫שגודלה‬
‫‪α‬‬
‫| ‪|Ki‬‬
‫‪d+1‬‬
‫≥‬
‫| ‪|Ki0‬‬
‫)‪(k‬‬
‫‪ .20‬חשב את )‪ Hi (∆n−1 ; F‬לכל ‪.0 ≤ i ≤ k ≤ n − 1‬‬
‫‪ .21‬יהא ‪ F‬שדה קבוע‪ .‬לקומפלקס סימפליציאלי ‪ X‬נסמן )‪.βk (X) = βk (X; F) = dim Hk (X; F‬‬
‫)‪(k−1‬‬
‫)‪(k‬‬
‫א‪ .‬יהא ‪ k ≥ 2‬ויהא ‪ ∆n−1 ⊂ X ⊂ ∆n−1 X‬קומפלקס סיפליציאלי‪ .‬הוכח כי‬
‫‬
‫‬
‫‪n−1‬‬
‫‪βk (X) − βk−1 (X) = fk (X) −‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(k‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪k‬‬
‫‬
‫≤ )‪.fk (X‬‬
‫ב‪ .‬הסק כי אם ‪ X ⊂ ∆n−1‬קומפלקס סיפליציאלי המקיים ‪ ,βk (X) = 0‬אזי‬
‫‬
‫‪ .22‬היפרגרף‬
‫]‪ F ⊂ [n‬נקרא ‪k‬־יער אם לכל ‪ F ∈ F‬קיימת חלוקה ) ‪ [n] = ∪ki=1 Vi (F‬כך‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫ש‪ |F ∩ Vi (F )| = 1 :‬לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ k‬אך לכל ‪ F 6= F ∈ F‬קיים ‪ 1 ≤ i ≤ k‬כך ש־‬
‫= |) ‪) .|F 0 ∩ Vi (F‬שים לב כי ‪2‬־יער הוא יער במובן הגרפי הרגיל(‪.‬‬
‫‪6 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n−1‬‬
‫]‪[n‬‬
‫הוכח כי אם ‪ F ⊂ k‬הוא ‪k‬־יער אזי ‪.|F| ≤ k−1‬‬
‫הדרכה‪ :‬יהא ‪ X‬הקומפלקס ה־ )‪(k − 1‬־מימדי שקבוצת הסימפלקסים המקסימליים שלו‬
‫היא ‪ .F‬הראה כי ‪.Hk−1 (X) = 0‬‬
‫‪ .23‬יהא ‪ p‬מספר ראשוני ויהא ‪ Fp‬השדה עם ‪ p‬איברים‪.‬‬
‫א‪ .‬תהא )‪ A ∈ Mk×` (Z‬מטריצה של מספרים שלמים מסדר ` × ‪ .k‬לכל שדה ‪ F‬נעיין‬
‫בההעתקה הלינארית ‪ TF : F` → Fk‬הנתונה ע״י ‪ .TF v = Av‬הוכח כי‬
‫‪dimQ ker TQ ≤ dimFp ker TFp .‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי לכל קומפלקס סימפליציאלי ‪ X‬ולכל ‪:k‬‬
‫‪βk (X; Q) ≤ βk (X; Fp ).‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .24‬קומפלקס הדגלים של גרף )‪ G = (V, E‬הוא הקומפלקס הסימפליציאלי )‪ X(G‬שקבוצת‬
‫קודקדיו היא ‪ V‬ושהסימפלקסים שלו הם ‪ σ ⊂ V‬כך ש־ ‪ σ‬הוא תת־גרף שלם של ‪.G‬‬
‫א‪ .‬יהא ‪ .v ∈ V‬נסמן ב־ )‪ ΓG (v‬את שכני ‪ v‬ב־ ‪ .G‬הראה שקיימת סדרה מדוייקת‬
‫· · · → ))‪· · · → Hk (X(G − v) → Hk (X(G)) → Hk−1 (X(ΓG (v‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ Hk (X(G)) 6= 0‬אזי ‪.f0 (X(G)) = |V | ≥ 2k + 2‬‬
‫ג‪ .‬מצא גרף ‪ G‬על ‪ 2k + 2‬קדקדים המקיים ‪.Hk (X(G)) 6= 0‬‬
‫‪ .25‬קומפלקס הקבוצות הבלתי־תלויות של גרף )‪ G = (V, E‬הוא הקומפלקס הסימפליציאלי‬
‫)‪ I(G‬שקבוצת קודקדיו היא ‪ V‬ושהסימפלקסים שלו הם ‪ σ ⊂ V‬כך ש־ ‪ σ‬קבוצה בלתי‬
‫‬
‫תלויה ב־ ‪ ,G‬כלומר ∅ = ‪ . σ2 ∩ E‬במילים אחרות‪.I(G) = X(G) :‬‬
‫א‪ .‬תהא ‪ Pn‬המסילה על ‪ n‬קדקדים‪ .‬חשב את )) ‪.H∗ (I(Pn‬‬
‫ב‪ .‬יהא ‪ Cn‬המעגל על ‪ n‬קדקדים‪ .‬חשב את )) ‪.H∗ (I(Cn‬‬
‫הדרכה‪ :‬העזר בסדרה המדוייקת שבתרגיל הקודם‪.‬‬
‫‪ .26‬תהא )≤ ‪ (P,‬קבוצה סדורה חלקית‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי קיימת פונקציה יחידה ‪ µ : P × P → Z‬המקיימת‪:‬‬
‫‪µ(x, y) = 0‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪µ(x, x) = 1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪x≤y≤z µ(x, y) = 0 x ≤ z.‬‬
‫‪ µ‬זו נקראית פונקצית ‪¨ BIUS‬‬
‫‪ MO‬של ‪.P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ µ‬עבור שריג תת הקבוצות של }‪.{1, . . . , n‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ µ‬עבור שריג המחלקים של מספר טבעי ‪ n‬עם יחס הסדר ‪ x ≺ y‬אםם ‪x‬‬
‫מחלק את ‪.y‬‬
‫ד‪ .‬תהא ‪ .f : P → R‬נגדיר ‪ g : P → R‬ע״י‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫‪f (y).‬‬
‫‪y≤x‬‬
‫הוכח את נוסחת ההיפוך של ‪¨ BIUS‬‬
‫‪:MO‬‬
‫‪µ(y, x)g(y).‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪y≤x‬‬
‫‪ .27‬קומפלקס השרשרות ) ‪ ∆(P‬של קבוצה סדורה חלקית )≤ ‪ (P,‬הוא הקומפלקס הסימפליציאלי‬
‫על קבוצת הקודקדים ‪ ,P‬שהסימפלקסים שלו הם שרשרות } ‪.σ = {x0 < · · · < xp‬‬
‫ל־ ‪ x < y ∈ P‬נסמן }‪.P (x, y) = {z ∈ P : x < z < y‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪˜ k (∆(P (x, y))).‬‬
‫‪µ(x, y) = χ(∆(P‬‬
‫˜‬
‫= )))‪(x, y‬‬
‫‪(−1) dim H‬‬
‫‪k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .28‬א‪ .‬הוכח את הגרסא הבאה של משפט בורסוק‪ :‬לכל העתקה רציפה ‪ f : S d → Rd‬קיימת‬
‫‪ x ∈ S d‬עבורה )‪.f (x) = f (−x‬‬
‫ב‪ .‬יהיו ‪.A = {a1 , . . . , ad+1 }, B = {b1 , . . . , bd+1 } ⊂ Rd‬‬
‫הוכח כי קיימת חלוקה ‪ [d + 1] = I ∪ J‬עבורה‪:‬‬
‫∅ =‪conv({ai }i∈I ∪ {bj }j∈J ) ∩ conv({aj }j∈J ∪ {bi }i∈I ) 6‬‬
‫הדרכה‪ :‬הגדר העתקה מתאימה מ־ ‪ S d‬ל־ ‪ Rd‬והעזר בסעיף א‪.‬‬
‫‪5‬‬