מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 7

‫מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ ‪ 104276‬־ תרגול ‪7‬‬
‫שלומי גובר‪ ,‬אביב התשע"ה‬
‫‪ 12‬במאי ‪2015‬‬
‫התכנסות חלשה ואופרטוריים הפיכים‬
‫תזכורת מההרצאה‪:‬‬
‫יהיו ‪ X, Y‬מרחבים נורמים‪.‬‬
‫‪w‬‬
‫• ‪ {xn } ⊂ X‬מתכנסת חלש ל־ ‪ x ∈ X‬אם )‪ x∗ (xn ) −→ x∗ (x‬לכל ∗ ‪ .x∗ ∈ X‬סימון ‪ xn * x‬או ‪.xn → x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫• במרחב הילברט זה אומר כי )‪ (xn , y) → (x, y‬לכל ‪) y ∈ H‬משפט ההצגה של ריס ∗ ‪.(H = H‬‬
‫• משפט‪ :‬כל סדרה שמתכנסת חלש במרחב הילברט היא חסומה‪.‬‬
‫• משפט )בנך־זקס(‪ :‬לכל סדרה מתכנסת חלש במרחב הילברט יש תת סדרה שסדרת הממוצעים החשבוניים שלה‬
‫מתכנסת חזק לאותו הגבול‪.‬‬
‫• אופרטור ) ‪ A ∈ B (X, Y‬יקרא הפיך אם קיים )‪ B ∈ B (Y, X‬כך ש־ ‪ AB = IY‬ו־ ‪.BA = IX‬‬
‫• משפט ההעתקה ההפוכה )או משפט ההופכי החסום(‪ :‬יהי )‪ H) A ∈ B (H‬מרחב הילברט( חח"ע ועל אז קיים‬
‫ל־ ‪ A‬הפיך חסום‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫הוכיחו כי הגבול החלש במרחב הילברט הוא יחיד‪.‬‬
‫פתרון‬
‫יהיו ‪ xn , y, z ∈ H‬המקיימים ‪ xn * y, xn * z‬אז לכל ‪ x ∈ H‬מתקיים )‪(x, y) = limn→∞ (x, xn ) = (x, z‬‬
‫ולכן ‪.y = z ⇐ ∀x ∈ H (x, y − z) = 0‬‬
‫נקודה למחשבה‪ :‬מה אנו צריכים בשביל להכליל את ההוכחה למרחבי בנך?‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫במרחב הילברט סוף מימדי התכנסות חלשה שקולה להתכנסות חזקה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫כיוון ראשון ־ התכנסות חזקה גוררת התכנסות חלשה נכון תמיד )לא רק כשהמימד סופי( מכיוון ש־‬
‫‪||xn − x|| → 0 ⇒ ∀x∗ ∈ X ∗ |x∗ (xn − x)| ≤ ||x∗ || · ||x − xn || → 0‬‬
‫‪N‬‬
‫כיוון שני ־ נניח כי ‪ xn * x‬במרחב הילברט עם בסיס א"נ ‪ ,{ei }i=1‬אז‬
‫‪(x, ei ) ei = x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫→‪(xn , ei ) ei −‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪xn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה‪ :‬טענה זו נכונה גם למרחבי בנך‪ .‬בהוכחת הכיוון הראשון אנו רואים כי היא תקפה גם למרחבי‬
‫בנך‪ .‬ניתן להכליל את הוכחת הכיוון השני‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫תהי ‪ xn * x‬במרחב הילברט‪ .‬הוכיחו כי‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪) ||x|| ≤ lim inf n→∞ ||xn || .1‬הנורמה רציפה למחצה מלמטה חלש(‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ||‪ ||xn || −→ ||x‬אז ‪xn −→ x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪ .3‬אם ||‪ lim supn→∞ ||xn || ≤ ||x‬אז ‪.xn −→ x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬מהגדרת ההתכנסות החלשה ומאי שוויון קושי שוורץ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫|| ‪||x|| = |(x, x)| = lim |(xn , x)| ≤ lim inf ||x|| · ||xn‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪ .2‬מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪||xn − x|| = ||xn || − 2< (x, xn ) + ||x|| −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬מתקיים ||‪ ||x|| ≤ lim inf n→∞ ||xn || ≤ lim supn→∞ ||xn || ≤ ||x‬ולכן ||‪ ||xn || −→ ||x‬ולכן ‪.xn −→ x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להכליל את הוכחה של סעיף ‪ 1‬למרחבי בנך )באמצעות משפט האן־בנך אותו לא למדנו(‪.‬‬
‫סעיפים ‪ 2,3‬כבר אינם נכונים במרחבי בנך‪ .‬כדוגמא נגדית נשתמש בכך שהצמוד של תת המרחב ∞` ⊂ ‪c0‬‬
‫)הסדרות המתכנסות ל־‪ (0‬איזומטרי ל־ ‪) `1‬לא ראינו לכך הוכחה(‪ .‬ניקח את הסדרה ‪.xn = e1 +en ∈ c0‬‬
‫∗‬
‫∼ ‪ .x∗ = (ai ) ∈ `1‬מתקיים‬
‫יהי ) ‪= (c0‬‬
‫) ‪x∗ (xn ) = a1 + an −→ a1 = x∗ (e1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ולכן ‪ .xn * e1‬בנוסף ∞|| ‪ ,||xn ||∞ = 1 = ||e1‬אבל ‪ ||xn − e1 ||∞ = 1‬ולכן אין התכנסות חזקה‪.‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫יהיו ‪ H, K‬מרחבי הילברט ו־ ‪ T : H → K‬הוכיחו כי העתקה לינארית "רציפה חלש" )כלומר ⇒ ‪x‬‬
‫*‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪ (T xn * T x‬אם"ם )‪.T ∈ B (H, K‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫פתרון‬
‫• נניח בשלילה כי ‪ T‬אינה חסומה‪ ,‬אז קיימת סדרה ‪ {xn } ∈ H‬המקיימת ‪ ||xn || = 1‬ו־ ∞ → || ‪ ,||T xn‬נניח‬
‫‪ ,yn = √ xn‬מתקיים ‪ ||yn || → 0‬ו־ ∞ → || ‪ yn .||T yn‬מתכנסת בנורמה לאפס‬
‫בה"כ ‪ .||T xn || > 0‬נגדיר‬
‫|| ‪||T xn‬‬
‫ולכן מתכנסת לאפס ולכן מתכנסת חלש לאפס‪ ,‬מרציפות חלשה ‪ T yn‬מתכנסת חלש אבל היא אינה חסומה‬
‫בסתירה לכך שסדרה מתכנסת חלש חסומה‪.‬‬
‫• יהי )‪ T ∈ B (H, K‬ותהי ‪ xn‬סדרה מתכנסת חלש‪ .‬לכל ‪ y ∈ K‬מתקיים כי ‪ T ∗ y ∈ H‬ומהתכנסות חלשה‬
‫‪(y, T xn )K = (T ∗ y, xn )H −→ (T ∗ y, x)H = (y, T x)K‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ולכן ‪.T xn * T x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫הוכיחו כי קבוצה קמורה במרחב הילברט היא סגורה אם"ם היא סגורה חלש‪ .‬האם הטענה נכונה עבור תתי־קבוצות‬
‫כלליות?‬
‫פתרון‬
‫• תהי תת־קבוצה ‪ C ⊆ H‬סגורה חלש )אין צורך להניח קמירות בכיוון זה(‪ ,‬ותהי סדרה ‪ ,C 3 xn → x‬נרצה‬
‫∞→‪n‬‬
‫להוכיח ‪ .x ∈ C‬התכנסות חזקה גוררת התכנסות חלשה )תרגיל ‪ (1‬ולכן ‪ ,xn * x‬מכיוון ש־‪ C‬סגורה חלש‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪.x ∈ C‬‬
‫• תהי תת־קבוצה ‪ C ⊆ H‬קמורה וסגורה‪ ,‬ותהי סדרה ‪ ,C 3 xn * x‬נרצה להוכיח ‪ .x ∈ C‬לפי משפט‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪Pk‬‬
‫בנך־זקס קיימת תת סדרה ‪ xnk‬כך ש־ ‪ . k1 i=1 xni → x‬מכיוון ש־‪ C‬קמורה ‪ k1 i=1 xni ∈ C‬ומכיוון‬
‫ש־ ‪ C‬סגורה ‪.x ∈ C‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫• דוגמה לקבוצה סגורה שאינה סגורה חלש )ואינה קמורה( היא ‪ .{en } ⊂ `2‬הקבוצה סגורה מכיוון שאין בה‬
‫סדרות קושי )המרחק בין כל שני איברים שונים הוא ‪ (2‬אך הקבוצה אינה סגורה חלש מכיוון שכל תת סדרה‬
‫שלה )ובפרט הסדרה עצמה( מתכנסת חלש לאפס אך אפס אינו מוכל בקבוצה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫יהי )‪ T ∈ B (H, K‬אופרטור הפיך‪ .‬הראו כי ‪ T‬חסום מלמטה‪ ,‬כלומר ‪inf||x||=1 ||T x|| > 0‬‬
‫פתרון ‪ T‬הפיך ולכן לפי משפט ההעתקה ההפוכה )או משפט ההופכי החסום( ‪ T −1‬חסום‪ .‬לכן לכל ‪ y ∈ K‬מתקיים‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫||‪ .T −1 k ≤ T −1 ||k‬ולכן לכל ‪ x = T −1 k ∈ H‬עם נורמה ‪ 1‬מתקיים ||‪ 1 = ||x|| ≤ T −1 ||T x‬ולכן‬
‫‬
‫‬
‫‪ T −1 ) ||T x|| ≥ 1−1 > 0‬הפיך ולכן ‪.(T −1 6= 0‬‬
‫||‬
‫‪||T‬‬
‫‪4‬‬