חדו א להנדסת מכונות 201–1–9711) 1) – פתרון למבחן מועד א בהצלחה!

‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה – סמסטר א׳ תשע״ה‬
‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬פתרון למבחן מועד א׳‬
‫המרצים‪:‬‬
‫ד״ר דניאל מרקייביץ‪ ,‬ד״ר נעה איידלשטין‪ ,‬ד״ר יוסף שטראוס‪ ,‬ד״ר אהובה שקופ‪.‬‬
‫תאריך‪ 2 :‬בפברואר ‪2015‬‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‬
‫חומר עזר‪ :‬דף נוסחאות בגודל ‪ ,A4‬דו־צדדי )מודפס או בכתב יד(‪ .‬אין להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫מספר הנקודות הכולל במבחן הוא ‪ .100‬יש לענות על כל השאלות‪ .‬עליכם לענות בפירוט‬
‫על השאלות במקום המוקצה לתשובה‪ .‬בכל סעיף עליכם לנמק היטב ולפרט את כל שלבי‬
‫הפתרון‪ .‬יינתן ניקוד חלקי במקרים מתאימים‪.‬‬
‫אין לכתוב בעט אדום‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬דפי הטיוטא ישלחו למגרסה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪ .1‬חשבו את הגבולות הבאים‪.‬‬
‫)א( )‪ 9‬נק׳(‬
‫√‬
‫‪n2 + n − n2 + 1‬‬
‫=‬
‫)) ‪cos(ln(1 + n1‬‬
‫√‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫√‬
‫פתרון‪ :‬נובע ממשפט האלגברה של גבולות וגם מהרציפות של הפונקציות ‪, x‬‬
‫)‪ cos(x) ,ln(x‬כי‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪n2 + n − n2 + 1‬‬
‫‪n2 + n + n2 + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√·‬
‫‪= lim‬‬
‫√·‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)) ‪cos(ln(1 + n‬‬
‫)) ‪n2 + n + n2 + 1 n→∞ cos(ln(1 + n‬‬
‫‪n2 + n + n2 + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ·‪· =1‬‬
‫‪cos(ln(1)) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪n2‬‬
‫√‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪1 − n1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫·‬
‫‪lim‬‬
‫‪limn→∞ cos(ln(1 + n1 )) n→∞ 1 + 1 + 1 +‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)ב( )‪ 9‬נק׳(‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‪n2 + k 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞‪n→+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f (x) = 1+x‬ביחס לחלוקה של הקטע‬
‫פתרון‪ :‬מדובר בסכום רימן של הפונקציה ‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫]‪ [0, 1‬ל־ ‪ n‬חלקים שווים‪ ,‬כלומר }‪ {0 = x0 < x1 < . . . xn = 1‬כאשר ‪,xk = n‬‬
‫‪:k = 0, 1, . . . n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim‬‬
‫= ‪f (xk )∆xk‬‬
‫∞→‪n n‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫=‪−0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫=‬
‫= )‪= arctan(1) − arctan(0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n2 + k 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪) .2‬א( )‪ 9‬נק׳(‬
‫‪5−x‬‬
‫חשבו את משוואת הישר המשיק לפונקציה‬
‫‪x2 + 3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪ f (x‬בנקודה‬
‫‪.x = −2‬‬
‫פתרון‪ :‬המשוואה של הישר המשיק לפונקציה )‪ f (x‬בנקודה ‪ x = −2‬נתונה ע״י‬
‫)‪ .y = f (−2) + f 0 (−2)(x + 2‬מההצבה אנו מקבלים ש־ ‪ .f (−2) = 1‬בנוסף‪,‬‬
‫ ‪− 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 − x 0 1 5 − x − 3 x2 − 10x − 3‬‬
‫·‬
‫=‬
‫·‬
‫‪x2 + 3‬‬
‫‪3 x2 + 3‬‬
‫‪(x2 + 3)2‬‬
‫אזי‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5−x‬‬
‫‪x2 + 3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 9‬‬
‫‪y = 1 + (x + 2) = +‬‬
‫= )‪ f 0 (2‬ולכן אנו מקבלים‬
‫‪7‬‬
‫‪7 7‬‬
‫)ב( )‪ 9‬נק׳( מצאו את כל נקודות האי־רציפות של הפונקציה הבאה ומיינו אותן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ e x−2 , x 6= 1, 2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪(x−1)2‬‬
‫‬
‫‪arctan‬‬
‫‪x = 1, 2‬‬
‫(‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−1 , x−2‬‬
‫פתרון‪ :‬הפונקציות ‪ arctan(x), ex , x2‬רציפות לכל ‪ ,x ∈ R‬והפונקציות‬
‫רציפות לכל ‪ .x 6= 1, 2‬לכן אנו מקבלים ש־ ‪ f‬רציפה בכל ‪ ,x 6= 1, 2‬כי היא‬
‫‪1‬‬
‫)‪,limx→1 (x−1‬‬
‫הרכבה וחיבור של פונקציות רציפות בתחום זה‪.‬‬
‫בנוסף‪2 = ∞ ,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,limx→2+ x−2‬לכן‬
‫‪= +∞ ,limx→2− x−2‬‬
‫∞‪= −‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪lim f (x) = lim arctan‬‬
‫)‪+ e x−2 = + e−1 6= 1 = f (1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x→1‬‬
‫‪x→1‬‬
‫)‪(x − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪lim f (x) = lim arctan‬‬
‫= ‪+ e x−2 = arctan(1) + 0‬‬
‫‪x→2−‬‬
‫‪x→2−‬‬
‫‪(x − 1)2‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ = ‪+ e x−2‬‬
‫‪lim f (x) = lim arctan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x→2+‬‬
‫‪x→2+‬‬
‫)‪(x − 1‬‬
‫אזי ‪ x = 1‬היא נקודת אי־רציפות סליקה‪ ,‬ו־ ‪ x = 2‬היא נקודת אי־רציפות‬
‫עיקרית‪/‬מסוג שני‪.‬‬
‫)ג( )‪√9‬נק׳( הוכיחו או הפריכו את הטענה‪ :‬הפונקציה |) ‪ f (x) = | sin(x2‬גזירה בנקודה‬
‫‪.x = π‬‬
‫פתרון‪ :‬נשים לב כי‬
‫√‬
‫‪<x< π‬‬
‫√‬
‫‪x= π‬‬
‫‪q‬‬
‫√‬
‫‪π < x < 3π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪pπ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin(x ),‬‬
‫‪f (x) = | sin(x2 )| = 0,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪− sin(x2 ),‬‬
‫אזי‬
‫√‬
‫√‬
‫)‪f (x) − f ( π‬‬
‫‪sin(x2 ) − 0 L0 Hopital‬‬
‫‪cos(x2 )2x‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪= −2 π‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪x→ π−‬‬
‫‪x→ π−‬‬
‫‪x→ π−‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫√‬
‫)‪f (x) − f ( π‬‬
‫‪− sin(x ) − 0 L Hopital‬‬
‫‪− cos(x2 )2x‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪=2 π‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪x− π‬‬
‫‪x− π‬‬
‫‪x→ π+‬‬
‫‪x→ π+‬‬
‫‪x→ π+‬‬
‫√‬
‫אנו מקבלים שהגבולות החד־צדדיים שונים‪ ,‬ולכן ‪ f‬אינה גזירה בנקודה ‪.x = π‬‬
‫‪2‬‬
.‫ חשבו את האינטגרלים הבאים‬.3
(‫ נק׳‬9) (‫)א‬
π
Z
x2 sin(x) dx =
0
:‫ נשתמש באיטגרציה בחלקים‬:‫פתרון‬
Z
π
2
x sin(x) dx =
2
−x cos(x)
0
−x2 cos(x)
x=π
x=0
x=π
π
Z
−
2x(− cos x) dx
Z0 π
2x cos(x) dx
Z π
x=π
2 sin(x) dx
= −x2 cos(x) + 2x sin(x) x=0 −
0
x=π
= −x2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) x=0
=
x=0
+
0
= (−π 2 cos(π) + 0 + 2) − (0 + 0 + 2) = π 2 − 4
(‫ נק׳‬10) (‫)ב‬
Z
12x3 + 11x2 + 8x + 12
dx =
x4 + 4x2
‫ כלומר יש למצוא‬,‫ קודם כל יש לחשב את הפירוק לשברים חלקיים‬:‫פתרון‬
‫ המקיימים‬A, B, C, D ∈ R
12x3 + 11x2 + 8x + 12
12x3 + 11x2 + 8x + 12
A
B
Cx + D
=
= + 2+ 2
x4 + 4x2
x2 (x2 + 4)
x
x
x +4
‫ אנו מקבלים‬,x2 (x2 + 4) ‫אחרי הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף‬
12x3 +11x2 +8x+12 = Ax(x2 +4)+B(x2 +4)+(Cx+D)x2 = (A+C)x3 +(B+D)x2 +4Ax+4B
‫לכן יש לפתור את המשוואות‬
A + C = 12,
B + D = 11,
4A = 8,
4B = 12
‫ נשאר לנו לחשב‬,‫ כלומר‬.A = 2, B = 3, C = 10, D = 8 ‫אזי‬
Z 2
3
10x + 8
+
+ 2
x x2
x +4
=
3
+5
x
Z
3
2x
dx + 8
x2 + 4
Z
1
dx
x2 + 4
x
3
2 ln |x| − + 5 ln(x2 + 4) + 4 arctan
+C
x
2
dx = 2 ln |x| −
‫‪ .4‬תהי‬
‫)‪ln(x‬‬
‫‪x2‬‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫)א( )‪ 9‬נק׳( חשבו את כל האסימפטוטות של ‪.f‬‬
‫פתרון‪ :‬הפונקציה )‪ ln(x‬מוגדרת כאשר ‪ x > 0‬בלבד‪ ,‬ולכן תחום ההגדרה של ‪f‬‬
‫הוא הקטע )∞ ‪ .(0,‬יתר על כן‪ x ,ln(x) ,‬רציפות בקטע )∞ ‪ (0,‬והפונקציה ‪ x‬אינה‬
‫מתאפסת בו‪ ,‬לכן נובע ממשפט האלגברה של הפונקציות הרציפות כי ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫אזי יש לברר האם יש ל־ ‪ f‬אסימפטוטות כאשר ∞ → ‪ x‬ו־ ‪ x → 0+‬בלבד‪.‬‬
‫נשים לב כי ∞‪ limx→0+ x12 = ∞ ,limx→0+ ln(x) = −‬לכן‬
‫)‪ln(x‬‬
‫∞‪= −‬‬
‫‪x→0+ x2‬‬
‫‪lim‬‬
‫לכן יש לפונקציה ‪ f‬אסימפטוטה אנכית ‪ x = 0‬כאשר ‪.x → 0+‬‬
‫∞‬
‫∞ ״ ( כי‬
‫בנוסף‪ ,‬נובע מכלל לופיטל )מקרה ״‬
‫‪1‬‬
‫)‪ln(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪x→∞ 2x‬‬
‫‪x→∞ x2‬‬
‫‪x→∞ 2x2‬‬
‫‪lim‬‬
‫לכן יש לפונקציה ‪ f‬אסימפטוטה אופקית ‪ y = 0‬כאשר ∞ → ‪.x‬‬
‫)ב( )‪ 9‬נק׳( האם יש לפונקציה ‪ f‬נקודות מקסימום ומינימום גלובאלי? אם כן‪ ,‬מצאו‬
‫אותם ואם לא‪ ,‬נמקו‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נשים לב כי ‪ f‬גזירה ובנוסף‬
‫‪· x2 − ln(x) · 2x‬‬
‫)‪1 − 2 ln(x‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫יתר על כן המכנה חיובי כאשר ‪ .x > 0‬לכן סימן המונה קובע את הסימן של‬
‫המנה‪ .‬הפונקציה )‪ g(x) = 1 − 2 ln(x‬יורדת ממש משום ש־ ‪ g0 (x) = − x2 < 0‬לכל‬
‫‪ .x > 0‬יתר על כן‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪⇐⇒ x = e‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪1 − 2 ln(x) = 0 ⇐⇒ ln(x‬‬
‫√‬
‫√‬
‫לכן אנו מקבלים ש־ ‪ f 0 (x) >√0‬כאשר ‪ ,x < e‬ו־ ‪ f 0 (x)√< 0‬כאשר ‪ .x > e‬כלומר‪,‬‬
‫‪ f‬עולה ממש בקטע )‪ (0, e‬ויורדת ממש בקטע )∞ ‪.( e,‬‬
‫√‬
‫לכן ‪ f‬מקבלת מקסימום גלובאלי בנקודה ‪ .x = e‬בנוסף‪ ,‬מכיוון ש־‬
‫∞‪ ,limx→0+ f (x) = −‬אין לפונקציה ‪ f‬מינימום גלובאלי‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 9) .5‬נק׳( קופסת מתכת ללא מכסה נבנית מלוח מתכת ריבועי בעל אורך צלע ‪ L‬על־ידי‬
‫חיתוך רבועי מתכת בעלי אורך צלע ‪ x‬מארבע הפינות של לוח המתכת וקיפול הדפנות‬
‫המתקבלות בדרך זו‪ .‬מהו הנפח המקסימלי האפשרי של קופסאות המתכת המתקבלות‬
‫בדרך זו‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נפח הקופסה נתון ע״י הפונקציה‬
‫‪f (x) = x(L − 2x)2 ,‬‬
‫כאשר ] ‪ .x ∈ [0, L2‬הפונקציה ‪ f‬רציפה בקטע סגור וחסום ] ‪ [0, L2‬ולכן נובע ממשפט‬
‫ויירשטראס שישנה נקודות מקסימום מוחלט בקטע זה‪ .‬נשים לב כי הפונקציה חיובית‬
‫כאשר ‪ 0 < x < L2‬ובנוסף ‪ .f (0) = f ( L2 ) = 0‬לכן נקודת המקסימום המוחלט נמצאת‬
‫בקטע ) ‪ ,(0, L2‬והפונקציה גזירה בו‪ ,‬לכן נובע ממשפט פרמה שבנקודה הזו הנגזרת‬
‫מתאפסת‪.‬‬
‫‪f 0 (x) = (L − 2x)2 + x2(L − 2x) · (−2) = 4x2 − 4Lx + L2 − 4Lx + 8x2 = 12x2 − 8LX + L2‬‬
‫‪L L‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 6‬‬
‫= ‪f 0 (x) = 0 ⇐⇒ 12x2 − 8LX + L2 = 0 ⇐⇒ x‬‬
‫לכן אנו מקבלים הנפח המקסימלי כאשר‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2L3‬‬
‫= ) ( ‪=⇒ f‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪27‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪ 9) .6‬נק׳( תהי ‪ f : R → R‬פונקציה גזירה המקיימת ‪ f (n) = (−π)n‬כאשר ‪ .n ∈ Z‬הוכיחו‬
‫כי ‪ f 0‬אינה חסומה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נובע ממשפט הערך הממוצע של לגרנג׳ שלכל ‪ 1 ≤ n ∈ N‬קיים )‪cn ∈ (0, 2n‬‬
‫המקיים‬
‫)‪f (2n) − f (0‬‬
‫‪(−π)2n − 1‬‬
‫‪π 2n − 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2n − 0‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2n‬‬
‫נשים לב שנובע למשל ממשפט לופיטל )מקרה ״‬
‫∞‬
‫∞‬
‫= ) ‪f 0 (cn‬‬
‫״( כי‬
‫‪π 2x − 1‬‬
‫‪2 ln(π)π 2x‬‬
‫‪= lim‬‬
‫∞=‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫אזי אנו מקבלים כי‬
‫‪π 2n − 1‬‬
‫‪lim f 0 (cn ) = lim‬‬
‫‪= ∞.‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪2n‬‬
‫לכן ‪ f 0‬אינה חסומה‪.‬‬
‫‪5‬‬