.( כולל הצגה טריגונמטרית של מספרים מרוכבים ומישור גאוס ) תרגיל בנושאים

‫תרגיל בנושאים בטריגונומטריה )כולל הצגה טריגונמטרית של מספרים מרוכבים ומישור גאוס(‪.‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬בקורסים של אנליזה מתמטית לומדים שעבור ערכים "קטנים" של ‪. sin x ≈ x ,x‬‬
‫א‪ .‬מלאו את הטבלה הבאה בעזרת מחשבון‪:‬‬
‫‪0.01‬‬
‫‪x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.2‬‬
‫ב‪ .‬בדקו בעזרת מחשבון‪ ,‬כמה "קטנים" צריכים להיות הערכים של ‪ x‬על מנת שההפרש בין ערך של ‪sin‬‬
‫‪ x‬לבין הערך של ‪ x‬יהיה קטן מ – ‪ ?0.0002‬קטן מ – ‪ ?0.0001‬מ – ‪ ?0.01‬מ – ‪?0.1‬‬
‫ג‪ .‬מה ניתן לטעון לגבי ערכי ‪ cos x‬עבור ערכים "קטנים" של ‪ ?x‬מהו הפירוש‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬של הביטוי‬
‫"ערכים קטנים"?‬
‫ד‪ .‬הסבירו מה פירוש שני השוויונים המקורבים עליהם מדובר בסעיפים א'‪ ,‬ב' לגבי הגרפים של ‪sin x‬‬
‫ושל ‪.cos x‬‬
‫ה‪ .‬האם השוויון ‪ sin x ≈ x‬מתקיים אם מביעים את ‪ x‬במעלות? האם יש משמעות להשוואה בין שני‬
‫ערכים אלה במקרה זה?‬
‫‪.2‬השתמשו במחשבון ו ‪ /‬או במעגל הטריגונומטרי ו ‪ /‬או בזהויות הידועות לכם ו ‪ /‬או בערכים הידועים‬
‫לכם של הפונקציות הטריגונומטריות‪ ,‬ו ‪ /‬או בגרפים של שתי הפונקציות אותם תשרטטו באותה‬
‫מערכת צירים‪ ,‬כדי למצוא את הפתרונות הכלליים של המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪ ; cos x = -0.5 .‬ב‪ ; cos x = -1 .‬ג‪ ; sin x = cos x .‬ד‪;|sin x| = - cos x .‬‬
‫‪ .3‬שערו ללא שימוש במחשבון‪ ,‬אילו מהאי שוויונים הבאים נכונים‪:‬‬
‫‪ ; cos 0.5 > 0.5 .4‬ב‪ ; cos 1 >1 .‬ג‪ ; sin 2 <0 .‬ד‪ ;sin 3 < cos 3 .‬ה‪cos 8 >0 .‬‬
‫כדי לשער השערות מבוססות‪ ,‬השתמשו בגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות או במעגל‬
‫הטריגונומטרי‪.‬‬
‫בדקו את השערותיכם בעזרת מחשבון‪ ,‬ונסו להבין איפה טעיתם )אם טעיתם!(‬
‫‪.5‬ענו ללא שימוש במחשבון‪ ,‬אלא באמצעות המעגל הטריגונומטרי בלבד‪:‬‬
‫א‪ .‬מה גדול יותר‪ sin 4 :‬או ‪ sin 14 ?sin 40‬או ‪?sin 140‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים מספר רציונלי ‪ a‬השונה מ‪ 0-‬אשר מקיים את השוויון ‪ ? sin a = sin a‬הנחיה‪ :‬על מנת‬
‫לענות לשאלה זו‪ ,‬עליכם להסתמך על תכונות של מספר ‪ π‬ועל הפתרון הכללי של משאווה‬
‫טריגונומטרית בסיסית‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪ .‬האם קיים מספר אי‪-‬רציונלי ‪ a‬השונה מ‪ 0-‬אשר מקיים את השוויון ‪ ?sin a0 = sin a‬אם לא – הסבירו‬
‫מדוע‪ .‬אם כן – כמה מספרים כאלה קיימים? תנו תשובה ממצה‪.‬‬
‫‪ .6‬רשמו את הפתרונות הכלליים של האי שוויונים האלה‪:‬‬
‫‪; cos x > - sin x‬‬
‫‪. |sin x| ≤ cos x ;| tan x| + |cot x| ≤ 2‬‬
‫‪ .7‬הוכיחו את הזהויות הבאות‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫; ‪a cos x ± b cos x = a 2 + b 2 sin( x ± ϕ) , ϕ = tan −1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫; ‪a cos x ± b cos x = a 2 + b 2 cos( x ∓ ϕ) , ϕ = tan −1‬‬
‫‪a‬‬
‫בעבודה על השאלות ‪ 9 ,8‬כדאי להתבסס על הזהויות ‪:7‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬גרף הפונקציה ‪ y=sinx‬נקרא גם "סינוסואידה" )‪ .(sinusoid‬מדוע גם לגרף של פונקציה ‪ y=cosx‬גם‬
‫ניתן לקרוא באותו שם?‬
‫‪ .9‬בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅sinx, y=b⋅cosx‬וגם גרף הפונקציה ‪y=a⋅sinx + b⋅cosx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-8‬‬
‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬
‫ב‪ .‬מצאו את משרעת פונקצית הסכום )ערך מקורב( ואת שיעור נקודת החיתוך שלה עם ציר ‪.y‬‬
‫‪ .10‬בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅sinx, y=a⋅cos2x,‬וגם גרף הפונקציה‬
‫‪.y=a⋅sinx + a⋅cos2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪10‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬
‫ב‪ .‬האם פונקצית הסכום היא פונקציה מחזורית? אם כן – מהו המחזור שלה? אם לא – מדוע?‬
‫בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅sinx, y=b⋅cos(rx),‬וגם גרף הפונקציה‬
‫‪.11‬‬
‫)‪.y=a⋅sinx + b⋅cos(rx‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬
‫ב‪ .‬האם פונקצית הסכום היא פונקציה מחזורית? אם כן – מהו המחזור שלה? אם לא – מדוע?‬
‫‪1‬‬
‫‪ .12‬האם פונקציה ‪ y = tan x‬היא פונקציה מחזורית? אם לא – מדוע? אם כן – מהו המחזור שלה?‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .13‬א‪ .‬הראו כי אם‬
‫‪s‬‬
‫ב‪ .‬מהו המחזור של פונקציה זו?‬
‫ג‪ .‬האם הטענה ההפוכה לטענה א' נכונה גם היא?‬
‫הוא מספר רציונלי אז הפונקציה )‪ y=a⋅sin(sx) + b⋅cos(rx‬מחזורית‪.‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪3‬‬
‫‪ .14‬בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅tanx, y=b⋅tan(rx),‬וגם גרף הפונקציה‬
‫)‪.y=a⋅tanx + b⋅tan(rx‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-4‬‬
‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬
‫ב‪ .‬האם פונקצית הסכום היא פונקציה מחזורית? אם כן – מהו המחזור שלה? אם לא – מדוע?‬
‫‪.15‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי לכל שני מספרים מרוכבים ‪ z1, z2‬מתקיים‬
‫) ‪. | z1 + z 2 | 2 + | z 1 − z 2 | 2 = 2(| z1 | 2 + | z 2 | 2‬‬
‫ב‪ .‬איזה משפט בגיאומטריה של מישור מבטא שוויון זה?‬
‫‪ .16‬מהו התנאי לכך שערך מוחלט של סכום שני מספרים מרוכבים יהיה שווה לסכום הערכים המוחלטים‬
‫של המחוברים? ענו לשאלה דומה לגבי הפרש שני מספרים מרוכבים‪.‬‬
‫‪πn‬‬
‫‪πn‬‬
‫‪ .17‬הראו כי א‪+ i sin ) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(1 + i) = 2 (cos‬‬
‫‪πn‬‬
‫‪πn‬‬
‫‪( 3 − i) = 2 (cos‬‬
‫ב‪− i sin ) .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2πn‬‬
‫‪2πn‬‬
‫‪+ i sin‬‬
‫‪ .18‬חשבו ‪ − n ) (1 + w ) n‬טבעי( ‪ ,‬כאשר )‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . w = (cos‬הנחיה‪ :‬חשבו קודם ‪.w2‬‬
‫‪.19‬‬
‫א‪ .‬על ידי שימוש חוזר בנוסחאות ‪ sin‬של סכום או ‪ cos‬של סכום ניתן להביע ‪ sin 3α‬באמצעות צירוף‬
‫ליניארי של חזקות של ‪ sin α‬בלבד )במילים אחרות‪ ,‬כפולינום ב – ‪ ,(sin α‬ואת ‪ - cos 3α‬כפולינום ב‪-‬‬
‫‪cos α‬בלבד )עשו זאת!(‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי ניתן להביע ‪ sin 5α‬כפולינום ב‪ ,sin α -‬ו‪ - cos 3α -‬בפולינום ב‪) cos α-‬הנחיה השתמשו‬
‫בנוסחת ‪.(De Moivre‬‬
‫ג‪ .‬הוכיחו כי לכל ‪ n‬אי זוגי‪ ,‬ניתן להביע את ‪ sin nα‬כפולינום ב‪ ,sin α -‬ואת ‪ - cos nα‬כפולינום ב‪-‬‬
‫‪.cos α‬‬
‫‪ .20‬הראו כי סכום ‪ n‬וקטורים שראשיתם – בראשית הצירים וקצותיהם ‪ -‬בקדקודי מצולע משוכלל בעל ‪n‬‬
‫צלעות החסום במעגל שמרכזו בראשית‪ ,‬שווה ל‪ . 0 -‬הנחיה הראו קודם כי מספיק להראות זאת עבור‬
‫מצולע החסום במעגל היחידה‪.‬‬
‫‪ .21‬מצאו את שיעורי הקדקודים של מחומש משוכלל שאחד הקדקודים שלו נמצא בנקודה נתונה ‪.z0‬‬
‫‪ .22‬יהיו ‪ – w1, w2‬שני שורשים שונים ממעלה ‪ n‬של ‪ – n) 1‬טבעי כלשהו(‪ .‬הראו כי מכפלתם ומנתם גם הם‬
‫שורשים ממעלה ‪ n‬של ‪.1‬‬
‫‪ .23‬הראו כי שני שורשי ‪ 1‬ממעלה ‪ 3‬שאינם ממשיים מקיימים את המשוואה ‪.z2+z+1=0‬‬
‫‪ .24‬טרנספורמציית מישור נקראת אפינית אם היא שומרת על קוליניאריות של נקודות )כלומר‪ ,‬הימצאות‬
‫של נקודות על ישר אחד(‪ ,‬ועל היחסים בין אורכים על ישר אחד‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫אם ‪ C ,B,A‬הן שלוש נקודות כלשהן במישור‪ ,‬ו‪ – TC ,TB ,TA -‬תמונות של נקודות אלה תחת‬
‫טרנספורמציה אפינית ‪ ,T‬אז ‪ TC ,TB ,TA‬נמצאות על ישר אחד אם ‪ C ,B ,A‬היו על ישר אחד‪ ,‬וכן‬
‫)‪ r(A,B) ) ,r(TA,TB):r(TB,TC):r(TA,TC) = r(A,B):r(B,C):r(A,C‬מסמן את המרחק בין‬
‫הנקודות ‪.(B ,A‬‬
‫א‪ .‬נסחו את ההגדרה במונחים של אינווריאנטיות‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬הראו כי כפל במספר מרוכב נתון )כלומר‪ ,‬הטרנספורמציה ‪→ cz‬‬
‫‪ − c) z‬קבוע מרוכב( (‪,‬‬
‫הוא טרנספורמציה אפינית‪ .‬הנחיה התבססו על ההצגה הטריגונומטרית של מספר מרוכב‬
‫ג‪ .‬הראו כי כפל במספר מרוכב ניתן להציג כהרכבה של שתי טרנספורמציות במישור‪ :‬סיבוב מזווית‬
‫נתונה סביב הראשית ושינוי המרחק מהראשית‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם כל אחת משתי הטרנספורמציות לעיל היא טרנספורמציה אפינית?‬
‫ד‪ .‬תנו דוגמה למספר מרוכב שהכפל בו הוא סיבוב ללא שינוי המרחק מהראשית‪.‬‬
‫ה‪ .‬באוגדן תרגילי רקע )תרגיל ‪ 9‬עמוד ‪ (4‬סיבוב של מישור ביחס לראשית הוגדר על ידי‬
‫סיבוב בזווית ‪α‬‬
‫) '‪A ' ( x ' , y‬‬
‫→‬
‫)‪A ( x , y‬‬
‫)'‪ .A'(x⋅cosα + y⋅sinα, -x⋅sinα + y⋅cosα) = A'(x', y‬הראו‬
‫כי כפל במספר ‪ c = cosα + isin α‬שקול להגדרה זו של סיבוב‪.‬‬
‫ו‪ .‬הציעו פעולה במספרים מרוכבים שמשמעותה הגיאומטרית היא טרנספורמציית ההזזה )תרגיל ‪6h‬‬
‫עמוד ‪ ,3‬אוגדן תרגילי רקע(‪.‬‬
‫ז‪ .‬האם הטרנספורמציה שהגדרתם בסעיף ו' היא טרנספורמציה אפינית?‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪5‬‬
‫ח‪ .‬אינוורסיה ביחס למעגל )‪) S(O,R‬כלומר מעגל בעל רדיוס ‪ R‬שמרכזו – בראשית הצירים( היא‬
‫‪R2‬‬
‫= '‪: z‬‬
‫טרנספורמציה המוגדרת על ידי‬
‫'‪. z → z‬‬
‫‪z‬‬
‫הסבירו את המשמעות הגיאומטרית של אינוורסיה ביחס למעגל‪.‬‬
‫ט‪ .‬האם אינוורסיה היא טרנספורמציה אפינית?‬
‫י‪ .‬תנו דוגמה לקבוצות במישור אשר אינווריאנטיות תחת אינוורסיה ביחס למעגל‪.‬‬
‫יא‪ .‬הכלילו את הגדרת האינוורסיה למקרה שהמרכז המעגל אינו בראשית הצירים אלא בנקודה כלשהי‬
‫‪ z0‬של המישור המרוכב‪.‬‬
‫‪ .25‬כתבו אלגוריתם לשרטוט מספר שלבי היווצרות של "פתית השלג של קוך" ‪Koch Snowflake‬‬
‫‪ http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html‬המבוסס על הצגה הגיאומטרית של‬
‫מספרים במישור המרוכב‪.‬‬
‫סמ' א תשס"ט‬
‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬
‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬
‫‪6‬‬