docמשרד החינוך - Cast-TV
download 
Report Transcription
משרד החינוך - Cast-TV
סוג הבחינה: מועד הבחינה: מספר השאלון: מדינת ישראל משרד החינוך א .בגרות לבתי ספר על־יסודיים ב .בגרות לנבחנים אקסטרניים קיץ תשע"ד ,מועד ב 316 ,035806 הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות מתמטיקה 5יחידות לימוד — שאלון ראשון הוראות לנבחן א. משך הבחינה :שלוש שעות וחצי. ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה :בשאלון זה שלושה פרקים. פרק ראשון — אלגברה והסתברות פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה — פרק שלישי במישור — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — ג. 2 0#1 20#2 סה"כ — 20נקודות — 40נקודות — 100נקודות חומר עזר מותר בשימוש: ()1 מחשבון לא גרפי .אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה. ()2 ד. — 20#2 — 40נקודות דפי נוסחאות (מצורפים). הוראות מיוחדות: ()1 אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד. ()2 התחל כל שאלה בעמוד חדש .רשום במחברת את שלבי הפתרון ,גם כאשר החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון. הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. ()3 לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה. ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד. בהצלחה! /המשך מעבר לדף/ חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון — אלגברה והסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 3-1לכל שאלה — 20 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 נקודות)- 2. שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. שאלה 1 רץ Iורץ IIיצאו באותו רגע מאותו מקום .הם רצו במהירות קבועה ובאותו כיוון. .1 המהירות של רץ Iהייתה 6קמ"ש ,והמהירות של רץ IIהייתה 7.5קמ"ש. כעבור 20דקות מרגע היציאה של שני הרצים, יצא רץ IIIמאותו מקום ובאותו כיוון ,והוא רץ במהירות קבועה. רץ IIIפגש בדרך את רץ , Iושעה אחר כך הוא פגש את רץ . II מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ IIIעד לפגישתו עם רץ . II .2 תשובה לשאלה 1 נתונה סדרה חשבוניתa1 , a2 , a3 , ... : היציאה, a שעברוa n + 2 מקיימים: בסדרה, עוקבים לפגישתו עם רץ II רץ III, aעד השעות איבריםמספר שלושה— t נסמן: של n מרגע n + 1 , a2n + 2 - a2n = 216 — vהמהירות של רץ III א. ב. a n + a n + 1 + a n + 2 = 54 מצא את האיבר . a n זמן מהירות (שעות) (קמ"ש) לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה: רץ Iעד הפגישה עם רץ III 6 20 20 a9, 1a)13 , ...t +, 60 a 4k-+11 6a(t5 +, 60 סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא . 450 20 t + 60 7.5 עם רץ הפגישה רץ IIעד בסדרה הראשון האיבר IIIהנתונה בפתיח הוא . a1 = - 21 מצא את הערך של . k 1 v רץ IIIבין הפגישה עם רץ Iלרץ II הזמן של רץ IIIעד הפגישה עם רץ IIמקיים: הזמן של רץ IIIבין הפגישה עם רץ Iלרץ IIמקיים: נציב v = 1.5t + 6.5במשוואה , Iונקבל: , t 2 0לכן: דרך (ק"מ) 20 ) 7.5 (t + 60 v $1 המשך בעמוד 3 20 ) 7.5 (t + 60 = I. t v 20 20 )7.5 (t + 60 ) - 6 (t + 60 - 1 =1 v 0 v = 1.5t + 6.5 1.5t2 - t - 2.5 = 0 0 5 3שעות = t /המשך בעמוד /3 יצא רץ IIIמאותו מקום ובאותו כיוון ,והוא רץ במהירות קבועה. רץ IIIפגש בדרך את רץ , Iושעה אחר כך הוא פגש את רץ . II מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ IIIעד לפגישתו עם רץ . II -3- מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 שאלה 2 נתונה סדרה חשבוניתa1 , a2 , a3 , ... : שלושה איברים עוקבים בסדרה , a n , a n + 1 , a n + 2 ,מקיימים: .2 a2n + 2 - a2n = 216 a n + a n + 1 + a n + 2 = 54 א. מצא את האיבר . a n ב. לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה: a5 , a9 , a13 , ... , a 4k + 1 סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא . 450 האיבר הראשון בסדרה הנתונה בפתיח הוא . a1 = - 21 מצא את הערך של . k א. תשובה לשאלה 2 המשך בעמוד 3 a2n + 2 - a2n = 216 לפי הנתון: 0 (a n + 2 - a n) $ (a n + 2 + a n) = 216 0 נציב a n + 2 - a n = 2dו־ , a n + 2 = a n + 2dונקבל: 0 I. d (a n + d) = 54 2d (2a n + 2d) = 216 a n + a n + 1 + a n + 2 = 54 לפי הנתון: 0 a n + a n + d + a n + 2d = 54 0 II. a n + d = 18 מ־ Iו־ IIמקבלים: a n = 15 , d = 3 /המשך בעמוד /4 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 -4המשך תשובה לשאלה .2 ב. הפרש הסדרה החדשה הוא: מצאנו כי , d = 3לכן הפרש הסדרה החדשה הוא: kמציין את מספר האיברים Nבסדרה החדשה ,כי: לכן סכום kהאיברים בסדרה החדשה מקיים: האיבר החמישי בסדרה הנתונה הוא: מכאן: a9 - a5 = a1 + 8d - (a1 + 4d) = 4d 12 k=N & )4k + 1 = 5 + 4 (N - 1 k ))450 = 2 (2 $ a5 + 12 (k - 1 a5 = - 21 + 3 (5 - 1) = - 9 k ))450 = 2 (- 2 $ 9 + 12 (k - 1 0 k = 10 /המשך בעמוד /5 -3.3 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 -5מתמטיקה ,תשע"ד ,מועד ב ,מס' + 316 ,035806נספח שאלה 3 בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד משני המסלולים לטיול שנתי: מסלול א' או מסלול ב'. נמצא 75% :מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות. 10%מן הבנות בחרו במסלול ב'. 40%מן התלמידים הם בנות. בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן/בת). א. מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א' ? כאשר בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן/בת) ,האם המאורע "התלמיד הוא בת" ב. והמאורע "התלמיד (בן/בת) בחר במסלול א' " הם מאורעות בלתי תלויים? נמק. בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים. ג. נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא . 0.99 (הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות). כמה בנות נבחרו? תשובה לשאלה 3 א. נסמן — A :קבוצת הבנות — Bקבוצת הבוחרים במסלול א' לפי הנתון: P (B/A) = 0.1 P (A) = 0.4 0 P (A + B) = 0.1$ 0.4 = 0.04 P (A/B) = 0.75 , 40 המשך בעמוד )P (A + B) = 0.75 P (B )P (A) = P (A + B) + P (A + B 0 0.4 = 0.75P (B) + 0.04 0 P (B) = 0.48 ב. מכפלת הסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד הוא בת" בסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד בחר במסלול א' " היא: הסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד הוא בת וגם בחר במסלול א' " הוא: מכאן: P (A) $ P (B) = 0.4 # 0.48 P (A + B) = 0.75 P (B) = 0.75# 0.48 )P (A + B) ! P (A) $ P (B 0 המאורעות תלויים /המשך בעמוד /6 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 -6המשך תשובה לשאלה .3 ג .ההסתברות שבת תבחר במסלול א' היא: ההסתברות שמבין nבנות לפחות אחת בחרה במסלול א' היא: ) m = 1 - Pn (0לפחות P c אחת 0 P (B+ A) 0.75# 0.48 = 0.9 0.4 = )P (A = )P (B/A נציב , Pn (0) = (1 - 0.9) nונקבל: 0.99 = 1 - 0.1 n 0 0.1 n = 0.01 0 n=2 /המשך בעמוד /7 -4- מתמטיקה ,תשע"ד ,מועד ב ,מס' + 316 ,035806נספח פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מהשאלות . 5-4 ( 20נקודות) מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 -7- שבמחברתך. שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שאלה 4 .4 ACהוא קוטר במעגל שמרכזו . O1 A D BDהוא קוטר במעגל שמרכזו . O2 ישר משיק למעגלים O1ו־ O2 E O2 בנקודות Aו־ Bבהתאמה. O1 B המשיק חותך את קטע המרכזים O1 O2 C בנקודה ( Eראה ציור). נתון :רדיוס המעגל O1הוא 30ס"מ רדיוס המעגל O2הוא 20ס"מ אורך קטע המרכזים O1 O2הוא 90ס"מ א. O E ( )1מצא את היחס . O1 Cנמק. 1 ( )2הוכח כי . 3EO1 C +3EO2 D ב. הוכח כי הנקודה Eנמצאת על הישר . CD תשובה לשאלה 4 במשולש ישר־זווית )B ACB = 90o ( ACB .5 o נקודה( G)1היא אמצע B הניצב= 90 O1 AE =BO2 BE. AC א. A משיק למעגל מאונך לרדיוס נקודה Pנמצאת על GBכך ש־ ( BG = 4 $ PGראה ציור). Bזוויות קדקודיות הן שוות O1 EA =BO2 EB R הוא CGB המשולש את החוסם המעגל רדיוס . G נתון: = BC . GC מכאן: O1 AE +3O2 BE 3 א. הבע באמצעות Rאת רדיוס המעגל 0 O E O E O O2 - O המשולש החוסם את 1E O1A = O2 B = .1ACB O B 1 ב .הבע באמצעות Rאת 2מרחק הנקודהP 2 0 ACB המשולש את החוסם המעגל ממרכז . O1 E 90 - O1 E = 30 20 על פי ז.ז. P 0 B C המשך בעמוד 5 O1 E = 54 O1 E 54 O1 C = 30 = 1.8 /המשך בעמוד /8 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 -8המשך תשובה לשאלה .4 O2 E O1 O2 - O1 E = O2 D O2 D ()2 0 O2 E 90 - 54 O2 D = 20 = 1.8 מכאן: מצאנו , BO1 AE =BO2 BEלכן: 1 2 AC z DB מכאן: B CO1 E =BDO2 E זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו EO1 C +3EO2 D 3 על פי צ.ז.צ מהדמיון מקבלים: B O1 EC =BO2 ED = b מצאנו בתת־סעיף א(:)1 BO1 EA =BO2 EB = a נקודה Eעל הישר , O1 O2לכן: ב. )BAED = 180 o - (b + a BCED = b + a +BAED BCED = b + a + 180 o - (b + a) = 180 o זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים 0 O E O E O 2 D = O1 C 0 הנקודה Eעל הישר CD /המשך בעמוד /9 ( )1מצא את היחס . O1 Cנמק. 1 א. ( )2הוכח כי . 3EO1 C +3EO2 D הוכח כי הנקודה Eנמצאת על הישר - 9 - . CD ב. שאלה 5 במשולש ישר־זווית )B ACB = 90o ( ACB .5 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 A נקודה Gהיא אמצע הניצב . AC נקודה Pנמצאת על GBכך ש־ ( BG = 4 $ PGראה ציור). רדיוס המעגל החוסם את המשולש CGBהוא . R P נתון. GC = BC : הבע באמצעות Rאת רדיוס המעגל א. החוסם את המשולש . ACB B הבע באמצעות Rאת מרחק הנקודה P ב. ממרכז המעגל החוסם את המשולש . ACB מכאן במשולש BCGישר־הזווית לפי משפט פיתגורס מתקיים: לפי הנתון , GC = BCלכן: (2R) 2 = BC2 + GC2 GC = 2 R 0 Gאמצע , CAלכן: זווית היקפית של 90oנשענת על קוטר 0 C המשך בעמוד 5 תשובה לשאלה 5 BG = 2R א. G CA = 2 2 R במשולש ישר־הזווית ACB לפי משפט פיתגורס מתקיים: AB2 = BC2 + CA2 0 AB2 = ( 2 R) 2 + (2 2 R) 2 0 AB = 10 R ABהוא קוטר במעגל החוסם את ACB 3 10 2 R זווית היקפית של 90oנשענת על קוטר 0 AB = = 2רדיוס המעגל החוסם את 3ACB /המשך בעמוד /10 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 - 10המשך תשובה לשאלה .5 ב. במשולש ישר־הזווית ACBמתקיים: CA )CB = tg (BABC 0 )2 = tg (BABC 0 BABC = 63.435 o 0 , BCGB =BCBG = 45 oלכןBPBA = 63.435 o - 45 o = 18.435 o : מהנתון BG = 4PGנקבל: 3 3 3 BP = 4 BG = 4 $ 2R = 2 R נסמן ב־ Oאת מרכז המעגל החוסם את המשולש , ACB ונקבל כי לפי משפט הקוסינוסים במשולש POBמתקיים: 2 0 10 3 2 10 3 PO2 = c 2 R m + b 2 R l - 2 $ 2 R $ 2 R $ cos 18.435 o 0 PO2 = BO2 + BP2 - 2 $ BO $ BP $ cos BPBA , PO 2 0לכן: PO = 0.5R /המשך בעמוד /11 פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 8-6לכל שאלה — 20 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 נקודות)- 11. שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. שאלה 6 .6 נתונות שתי פונקציות: f (x) = x 8 - x2 g (x) = 8x2 - x 4 ( )1לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה. א. מצא את תחום ההגדרה. ( )2מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות ) f(xו־ ) g(xעם הצירים. ב. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת מהפונקציות ,וקבע את סוגן. ג. על פי הסעיפים א ו־ ב ,סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ), f(x וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). g(x לפניך ארבעה גרפים. IV-I , ד. איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת ) ? g'(xנמק. y y x x IV y y x x III I II תשובה לשאלה 6 א. המשך בעמוד 6 8- x $0 2 ( )1צריך להתקיים: 0 תחום ההגדרה של ) f(xושל ): g(x -2 2 # x#2 2 ()2 x = 0 , x =! 2 2 & f (x) = 0 x = 0 , x =! 2 2 & g (x) = 0 נקודות חיתוך עם הצירים של ) f(xושל ): g(x )(0 , 0) , (2 2 , 0) , (- 2 2 , 0 /המשך בעמוד /12 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 - 12המשך תשובה לשאלה .6 - 2x 8 - 2x2 = 2 8 - x2 8 - x2 ב. 16x - 4x3 8x - 2x3 = 2 8x2 - x 4 8x 2 - x 4 עבור ) f(xנקודות "חשודות" לקיצון: עבור ) g(xנקודות "חשודות" לקיצון: & 2 2 0 2 4 0 -4 )f(x 0 4 0 4 0 )g(x מקסימום מוחלט של ): g(x מינימום מוחלט של ): g(x x )(2 , 4 )(- 2 , - 4 )(2 , 4) (- 2 , 4 )(- 2 2 , 0) (0 , 0) (2 2 , 0 y )f(x 0 y )g(x -2 -2 2 x 2 2 2 0 -2 2 -2 ) g'(xאינה מוגדרת עבור x = 0 ד. 0 גרף IIIוגרף IVאינם מתאימים ) g(xעולה עבור 0 1 x 1 2 , - 2 2 1 x 1- 2 ) g(xיורדת עבור 2 1 x 1 2 2 , - 2 1 x 1 0 לכן g'(x) :חיובית עבור 0 1 x 1 2 , - 2 2 1 x 1- 2 ) g'(xשלילית עבור 0 1 x 1 2 2 , - 2 1 x 1 0 8 x - 2x3 = 0 0 מינימום מוחלט של ): f(x 2 x =! 2 , x = 0 8 - 2x2 = 0 -2 ג. x =! 2 & = )g'(x -2 2 0 מקסימום מוחלט של ): f(x 2 2 x 8 - x2 + x = )f'(x מכאן: גרף Iהוא הנכון /המשך בעמוד /13 תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 מתמטיקה, מתמטיקה- 13, קיץנספח + 316 תשע"ד ,מועד ב ,מס' ,035806 -6(x - 2) 2 נתונה הפונקציה x2 - 1 .7 א. שאלה 7 = ). f (x ( )1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ). f(x ( )2מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ) f(xהמקבילות לצירים. ( )3מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם הצירים. ( )4מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ) , f(xוקבע את סוגן. ב. רק על פי סעיף א ,סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ).f(x ג. רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה ) f(xשסרטטת ,מצא את התחום שבו מתקיים: פונקציית הנגזרת ) f'(xשלילית ופונקציית הנגזרת השנייה ) f''(xחיובית. נמק. תשובה לשאלה 7 x2 - 1 ! 0 מוגדרת עבור: מלבן )f(x נתון ()1 .8א. . ABCD 0 הצלע DCמונחת על הקוטר של חצי מעגל xB!! 1 תחום ההגדרה של ): f(x שהרדיוס שלו Rומרכזו Mכך ש־ . DC $ R המעגל)f(x אסימפטוטות של הצלע()2 בנקודה , D ADמשיקה לחצי המקבילות לצירים: C y = 1 , x =! 1 והקדקוד Bנמצא על המעגל (ראה ציור). חיתוך עם ציר ה־ : y נסמן= x)3(:נקודת BBMC המלבןציר ה־ : x חיתוך עם ABCD נקודתשטח )— S (x A D M x=0 )(2 , 0 )& f (0) = - 4 & (0 , - 4 & f (x) = 0 & (x - 2) = 0 & x = 2 המלבן ) S(xיהיה מקסימלי. א .מצא מה צריך להיות , xכדי ששטח )2 (x - 2) (x2 - 1) - (x - 2) 2 (2x = )f'(x ()4 באמצעות Rאת השטח2 - 1) 2 המוגבל(xעל ידי גרף הפונקציה ) S(xועל ידי ציר ה־ x ב .הבע 0 r . בתחום 0 # x # 2 )2 (x - 2) (2x - 1 = )f'(x 2 2 )(x - 1 שיעורי ה־ xשל הנקודות "החשודות" לקיצון: הנגזרת של המונה בפונקציית הנגזרת ) f'(xהיא: בהצלחה! 1 1 = 2 (4 $ 2 - 5) 1 0הסימן של ) f''( 2 0 )2 (4x - 5 פי למדינתעל שמורהנקבע )f''(x השנייה ישראל היוצרים הסימן של הנגזרת זכות 0 אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך הסימן של נגזרת המונה של )f'(x = 2 (4 $ 2 - 5) 2 0הסימן של )f''(2 כי המכנה של ) f'(xחיובי לכל , xלכן: 1 x=2 , x= 2 & f'(x) = 0 1 ל־ ) f(xמינימום ב־ x = 2ומקסימום ב־ x = 2 0 נקודות הקיצון של ) f(xהן: 1 מינימום ב־ ) , (2 , 0מקסימום ב־ b 2 , - 3l /המשך בעמוד /14 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 - 14המשך תשובה לשאלה .7 ב. y )f(x 1 x 2 1 1 2 -1 -3 -4 f'(x) 1 0עבור: ג. 1 2 1 x 11 , 11 x 1 2 1 1 x 1 2 , בתחום 1 1 x 1 2 2 ) f(xקעורה כלפי מעלה ,עבור: 0 11 x 1 2 1 בתחום 2 1 x 11 , 11 x 1 2 f''(x) 2 0עבור: 11 x 1 2 מכאן f'(x) 1 0ו־ f''(x) 2 0עבור: 11 x 1 2 כי בתחום זה ) f(xיורדת 0 /המשך בעמוד /15 רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה ) f(xשסרטטת ,מצא את התחום שבו מתקיים: ג. פונקציית הנגזרת ) f'(xשלילית ופונקציית הנגזרת השנייה ) f''(xחיובית. מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 - 15 - נמק. שאלה 8 נתון מלבן . ABCD .8 הצלע DCמונחת על הקוטר של חצי מעגל B שהרדיוס שלו Rומרכזו Mכך ש־ . DC $ R הצלע ADמשיקה לחצי המעגל בנקודה , D C והקדקוד Bנמצא על המעגל (ראה ציור). נסמן: A D M BBMC = x ) — S (xשטח המלבן ABCD א. מצא מה צריך להיות , xכדי ששטח המלבן ) S(xיהיה מקסימלי. ב. הבע באמצעות Rאת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) S(xועל ידי ציר ה־ x r בתחום . 0 # x # 2 תשובה לשאלה 8 א. במשולש ישר־הזווית MBCמתקיים: שטח המלבן ABCDהוא: MC = R cos x , )S (x) = BC $ (R + MC בהצלחה! זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך 0 )S (x) = R sin x (R + R cos x BC = R sin x R2 0 )S (x) = R2 sin x + 2 sin (2x נשתמש בזהות , sin (2x) = 2 sin x cos xונקבל: R2 0 ))S'(x) = R2 cos x + 2 $ 2 cos (2x) = R2 (cos x + cos (2x S'(x) = 0 cos x + cos 2x = 0 0 נשתמש בזהות , cos (2x) = cos2 x - sin2 xונקבלcos x + cos2 x - sin2 x = 0 : נשתמש בזהות , sin2 x = 1 - cos2 xונקבל: 0 2 cos2 x + cos x - 1 = 0 0 & xזווית חדה במשולש ,לכן , cos x !- 1ולכן: r x= 3 & 1 cos x = 2 /המשך בעמוד /16 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 316 ,035806 - 16המשך תשובה לשאלה .8 )S''(x) = R2 (- 2 sin (2x) - sin x בדיקת מקסימום: 0 2r 3 3 r r S'' a 3 k = R2 b- 2 sin 3 - sin 3 l = R2 c- 2 $ 2 - 2 m 0 r S'' a 3 k 1 0 0 r ל־ ) S(xמקסימום ב־ x = 3 r הערכים של ) S(xאינם שליליים בתחום 0 # x # 2 ב. 0 r 1 1 R2 (sin x + 2 sin (2x)) dx = R2 [- cos x - 4 cos (2x)] 2 0 r 2 # 0 0 = השטח המבוקש 1 1 ) = R2 (- cos 2 - 4 cos (2 $ 2 ) + cos 0 + 4 cos 0השטח המבוקש r r 0 3 = 2 R2השטח המבוקש זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך
