פתרון שאלון 806 חורף תשע"ה 2015

‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬נסמן ב‪ x -‬את הזמן )בשעות( הדרוש לצבע מתלמד לסיים את העבודה לבדו‪,‬‬
‫ו ב‪ y -‬את הזמן )בשעות( הדרוש לצבע ותיק לסיים את העבודה לבדו‪.‬‬
‫נסמן ב‪) t -‬שעות( את הזמן הנדרש לצבע מתלמד אחד ולשני צבעים ותיקים לסיים את הצביעה‪,‬‬
‫ולכן ‪ 1.25t‬הוא זמן העבודה של שני צבעים מתלמדים וצבע אחד ותיק – הגדול ב‪ 25% -‬מ‪. t -‬‬
‫‪x‬‬
‫יש למצוא את היחס‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫צבע‬
‫זמן )שעות(‬
‫מתלמד‬
‫‪x‬‬
‫ותיק‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫מתלמדים‬
‫‪1.25t‬‬
‫‪ 1‬ותיק‬
‫‪1.25t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ 1‬מתלמד‬
‫‪t‬‬
‫‪ 1‬ותיקים‬
‫חלק עבודה בשעה‬
‫)הספק(‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫חלק עבודה כולל‬
‫)עבודה(‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2.5t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.25t‬‬
‫‪y‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪y‬‬
‫נפתור את המשוואה המתאימה ‪ ,‬לסיום כל העבודה – בשתי החלופות שהוצגו‪.‬‬
‫‪/ :t  0‬‬
‫‪2.5t 1.25t t 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪2.5 1.25 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪1.5 0.75‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫תשובה‪ :‬היחס הוא ‪. 2 :1‬‬
‫ב‪ .‬קצב עבודה של צבע ותיק גדול פי ‪ 2‬מזה של צבע מתלמד‪.‬‬
‫כאשר שני צבעים ותיקים עובדים‪ ,‬עם צבע מתלמד אחד – הקצב זהה לזה של חמישה צבעים מתלמדים‪.‬‬
‫כאשר צבע ותיק אחד עובד‪ ,‬הקצב זהה לזה של שני צבעים מתלמדים –‬
‫לכן נדרש להוסיף עוד שלושה צבעים מתלמדים‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬שלושה צבעים מתלמדים‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪2‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬נתונה סדרה המוגדרת על ידי כלל נסיגה‪:‬‬
‫‪a1  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪an  an 1  4 n  2‬‬
‫אם בסדרה יש ‪ 100‬איברים‪ ,‬הרי ששני האיברים האמצעים הם ‪ a50‬ו‪, a51 -‬‬
‫המקיימים ‪. (n  50) a50  a51  4  50  2  202‬‬
‫תשובה‪ :‬הסכום הוא ‪. 202‬‬
‫ב‪ .‬נראה כי איברי הסדרה העומדים במקומות אי‪-‬זוגיים )או זוגיים( מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬
‫כלומר ההפרש ‪ an  2  an‬הוא קבוע )והוא יהיה הפרש הסדרות החשבוניות(‪.‬‬
‫‪(n  n  1) an  2  an 1  4  (n  1)  2  4n  6‬‬
‫‪an  2  4n  2  an  4n  6‬‬
‫‪an  2  an  4‬‬
‫תשובה‪ :‬הוּכַח‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם בסדרה יש ‪ 101‬איברים‪ ,‬הרי שהאיבר האמצעי הוא ‪, a51‬‬
‫הנמצא במקום ה‪ 26 -‬בסדרת האיברים שבמקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬
‫‪b26  b1  25d‬‬
‫‪b26  4  25  4‬‬
‫‪b26  104  a51  104‬‬
‫תשובה‪. a51  104 :‬‬
‫ד‪ .‬נחשב את סכום כל ‪ 101‬האיברים‪ ,‬באמצעות סכום האיברים שבמקומות האי‪ -‬זוגיים‪,‬‬
‫ובנפרד את אלו שבמקומות הזוגיים‪.‬‬
‫‪51 2  4  4(51  1) ‬‬
‫‪ 5304‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(n  1) a1  a2  4 1  2  6‬‬
‫‪S51ODD‬‬
‫‪4  a2  6‬‬
‫‪a2  2‬‬
‫‪50  2  2  4(50  1) ‬‬
‫‪ 5000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S101  5304  5000  10,304‬‬
‫‪S50 EVEN‬‬
‫תשובה‪ :‬סכום כל איברי הסדרה הוא ‪. 10,304‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪3‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬בישוב גדול ‪ , p ( woman) ‬ובהתאם‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. p (man) ‬‬
‫בוחרים )פעמיים( ארבעה תושבים‪ ,‬מישוב גדול זה‪ ,‬ונמצא את ההסתברות ששנים מתוכם הם גברים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫זו התפלגות בינומית‪ ,‬כאשר נתון כי ‪, n  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. k 2 ,p‬‬
‫נחשב באמצעות נוסחת ברנולי את ההסתברות המתאימה‪:‬‬
‫‪ 4 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P4 (2)     ( ) 2  ( ) 4 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 3‬‬
‫!‪4‬‬
‫‪P4 (2) ‬‬
‫‪ ( 2 )2  ( 1 )2‬‬
‫‪2!(4  2)! 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P4 (2)  6  ( ) 2  ( ) 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪P4 (2) ‬‬
‫‪27‬‬
‫כיוון שאין תלות בין שתי הקבוצות שנבחרו באקראי‪,‬‬
‫‪8 2 64‬‬
‫הרי שההסתברות שבכול אחת מהן יהיו בדיוק שני גברים‪ ,‬היא‬
‫‪) ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪729‬‬
‫‪64‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬
‫‪729‬‬
‫(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שבקבוצה שנבחרה לראיון ברדיו היו לכל היותר שני גברים‪,‬‬
‫ויש למצוא את ההסתברות שהיו בקבוצה זו בדיוק שני גברים‪.‬‬
‫)‪P4 (2‬‬
‫)‪P ( Exectly 2 men  At most 2 men‬‬
‫‪‬‬
‫)‪P ( At most 2 men‬‬
‫)‪P4 (0)  P4 (1)  P4 (2‬‬
‫‪p ( Exectly 2 men / At most 2 men) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P4 (0)  ( ) 4 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪81‬‬
‫‪ 4 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P4 (1)     ( )1  (1  ) 41‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 3‬‬
‫!‪4‬‬
‫‪P4 (1) ‬‬
‫‪ ( 2 )  ( 1 )3‬‬
‫‪1!(4  1)! 3 3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪P4 (1)  4  ( )  ( )3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪P4 (1) ‬‬
‫‪81‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪27‬‬
‫‪p ( Exectl 2 men / At most 2 men) ‬‬
‫‪ 27 ‬‬
‫‪1 8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪11 11‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪81 81 27 27‬‬
‫‪8‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא‬
‫‪11‬‬
‫‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪4‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫נתונים‬
‫‪ ABCD .1‬מקבילית ‪ 27 .2‬סמ"ר ‪ 48 .3 SABE ‬סמ"ר ‪SDFE ‬‬
‫עבור ב‪ BCDE .4 .‬בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫‪AB‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ SBED .‬ב‪.‬‬
‫‪EF‬‬
‫הסבר‬
‫נימוק‬
‫טענה‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ABCD‬מקבילית‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪BC  AD‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪AB AE BE‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪FD ED EF‬‬
‫משפט תאלס הרחבה ‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ABE  DFE‬‬
‫משפט דמיון צלע צלע צלע‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 27‬סמ"ר ‪SABE ‬‬
‫נתון‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 48‬סמ"ר ‪SDFE ‬‬
‫נתון‬
‫‪10 ,9‬‬
‫‪11‬‬
‫‪SABE 9‬‬
‫‪‬‬
‫‪SDFE 16‬‬
‫‪11 ,8 ,7‬‬
‫‪12‬‬
‫‪AB AE BE 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪FD ED EF 4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪SABE AE  h  0.5 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪SBED ED  h  0.5 4‬‬
‫‪13 ,9‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ 36‬סמ"ר ‪SBED ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪15‬‬
‫‪EDF = C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ BCDE‬בר חסימה במעגל‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪BED  C = 180‬‬
‫‪18‬‬
‫‪FED  BED = 180‬‬
‫‪18 ,17‬‬
‫‪19‬‬
‫‪FED = C‬‬
‫כלל המעבר‬
‫‪19 ,15‬‬
‫‪20‬‬
‫‪FED = EDF‬‬
‫כלל המעבר‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪EF = FD‬‬
‫ב‪ EFD -‬מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות‬
‫‪21 ,12‬‬
‫‪22‬‬
‫‪AB 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪EF 4‬‬
‫הצבה‬
‫נתון‬
‫צלעות המקבילית מקבילות זו לזו‬
‫חישוב‬
‫יחס שטחים של משולשים דומים‬
‫שווה לריבוע יחס הדמיון‬
‫לשני המשולשים גובה משותף‬
‫לצלעות שהיחס ביניהם הוא יחס הדמיון‬
‫חישוב‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬א‬
‫זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים‬
‫נתון‬
‫סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל‬
‫הוא ‪180‬‬
‫סכום זוויות צמודות הוא ‪180‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ב‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
5
35806 ‫ מועד חורף שאלון‬15 ‫בגרות עה ינואר‬
. BC ‫ אמצע‬E , (BMC  90) ‫ הוא ישר זווית‬BMC .‫א‬
. ME  BE  EC :‫ ובהתאם‬,‫התיכון ליתר שווה למחצית היתר‬
DMC
cos  
MC
DC
a cos   MC
MBC
cos  
. ME 
.(‫ )זוויות מתחלפות שוות בין בסיסי הטרפז המקבילים‬BAC  ACD   , a  ‫ ס"מ‬6 ,
MC
BC
BC 
a cos 
cos 
ME 
a cos 
2 cos 
a cos 
:‫תשובה‬
2 cos 
tan  1
 :‫ נתון‬.‫ב‬
tan  3
‫ לפי משפט הסינוסים‬ABC
AB
BC

sin  sin
a cos  sin 
AB 
cos  sin
6.6 tan 
AB 
tan
6.6
AB 
3
AB  2.2
. AB  ‫ ס"מ‬2.2 :‫תשובה‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
. BM  ‫ ס"מ‬1.3 :‫ נתון‬.‫ג‬
2 ‫לפי משפט תאלס הרחבה‬
AB BM

DC MD
2.2 1.3
MD 
6.6
MD  3.9cm
DMC
DC 3.9

DC 6.6
  36.22 

tan 
1
  DCB  36.22  13.72  49.94
tan 36.22 3 
  13.72 
sin  
. DCB  49.94 :‫תשובה‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪6‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא אורך הקטע ‪ , MN‬בתחום ‪. xA  x  xB‬‬
‫נמצא את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה‪ x -‬של שתי הפונקציות‪ ,‬בתחום הסרטוט ‪) 0  x  2‬גם לזיהוי(‪.‬‬
‫‪g ( x)  sin 2 x‬‬
‫‪sin 2 x  0‬‬
‫‪2x   k‬‬
‫‪‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  0, ,  , , 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x)  0.5sin 2 x  cos x‬‬
‫‪0.5sin 2 x  cos x  0‬‬
‫‪sin x cos x  cosx  0‬‬
‫‪cos x(sin x  1)  0‬‬
‫‪cos x  0 sin x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x  k k x  x ‬‬
‫‪k  2 k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪x ,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪.( A( , 0), B( , 0) ) x  ,‬‬
‫ובהתאם שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקצה של פונקציית הקטע ‪ MN‬הן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ניתן לראות כי התקבלה נקודת חיתוך נוספת‪ ,‬עם ציר ה‪ , x -‬בין שתי הנקודות והיא )‪, ( , 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫וכך ניתן לזהות את הגרפים ולהראות כי בתחום‬
‫‪ x  xB ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xA ‬מתקיים )‪. g ( x)  f ( x‬‬
‫נסמן‪ xN  xM  t . M(t ,sin 2t ) :‬ולכן‪. N(t , 0.5sin 2t  cos t ) :‬‬
‫‪MN  yM  yN‬‬
‫‪MN  0.5sin 2t  cos t‬‬
‫‪(MN)'  cos 2t  sin t‬‬
‫‪1  2sin 2 t  sin t  0‬‬
‫‪2sin 2 t  sin t  1  0‬‬
‫‪(sin t )1  0.5 (sin t ) 2  1‬‬
‫‪sin x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x   2 k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin t  0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪x    2 k‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 2 k‬‬
‫‪6‬‬
‫נשים לב כי בתחום ‪) 0  x  2‬תחום הסרטוט‪ ,‬וגם חשוב לסעיף ב(‪,‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , x ‬כאשר‬
‫‪)  0.5sin(2  )  cos( ) ‬‬
‫הפתרונות היחידים שמתקבלים הם‪ x  :‬ו‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫(‪. MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫נבנה טבלת עלייה ירידה‪ ,‬תוך שימוש בערכי הפונקציה ‪ , MN‬בתחום‬
‫‪ x  xB ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, xA ‬‬
‫כאשר ערכם בקצוות הוא אפס‪ ,‬כי שם שתי הפונקציות הנתונות נחתכות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪MN(t‬‬
‫‪0‬‬
‫מסקנה‬
‫‪Min‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Max‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Min‬‬
‫‪3 3‬‬
‫תשובה האורך המקסימלי של הקטע ‪ MN‬הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא אורך הקטע ‪ , KL‬בתחום ‪ xA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.0  x ‬‬
‫בתחום זה מתקיים )‪ , f ( x)  g ( x‬כלומר ) ‪. KL(t )   MN(t‬‬
‫‪‬‬
‫ראינו בסעיף א‪ ,‬כי בתחום ‪ xA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0  x ‬נגזרת הפונקציה ) ‪ MN(t‬אינה מתאפסת‪,‬‬
‫ולכן גם נגזרת הפונקציה ) ‪ KL(t‬לא מתאפסת‪ ,‬ונקודות הקיצון הן בקצוות‪.‬‬
‫‪KL(0)  cos 0  0.5sin(2  0)  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪KL( )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן הערך המקסימלי מתקבל בקצה השמאלי‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬האורך המקסימלי של הקטע ‪ KL‬הוא ‪. 1‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪7‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪ f ( x) ‬והפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪3x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫)‪ (1‬נמצא את תחום ההגדרה של )‪ , f ( x‬כאשר הביטוי בתוך מכנה השורש חיובי והמונה תלוי בסימן של ‪. x‬‬
‫כיוון שנדרש שהביטוי שבתוך השורש יהיה אי שלילי‪ ,‬הרי שתחום ההגדרה הוא ‪. x  0‬‬
‫עבור )‪ g ( x‬הביטוי שבתוך השורש שבמכנה הוא חיובי לכל ‪ x‬ולכן הפונקציה מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫תשובה‪ :‬תחום ההגדרה‪ - g ( x) , x  0 - f ( x) :‬כל ‪. x‬‬
‫)‪ (2‬נמצא אסימפטוטות המאונכות לציר ה‪) y -‬אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה‪.( x -‬‬
‫)ניתן למצוא גם על ידי הצבות‪ ,‬או נימוקים‪ .‬אין חובה לרשום בעזרת גבולות !(‬
‫‪x‬‬
‫‪1/ x 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  y0‬‬
‫‪x  1  x 2‬‬
‫‪x  1/ x 2  1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  y0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪3 x 2  2 ‬‬
‫תשובה‪ :‬אסימפטוטות המאונכות לציר ה‪. ( x  ) y  0 , g ( x) , ( x  ) y  0 f ( x) : y -‬‬
‫)‪ (3‬נמצא את שיעורי נקודות הקיצון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪1  x2  2x2‬‬
‫‪(1  x 2 ) 2‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪3x  2‬‬
‫‪6 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g '( x)  2 32x  2‬‬
‫‪3x  2‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪g '( x) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(3 x  2)1.5‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫מכנה הנגזרת חיובי‪.‬‬
‫‪2(1  x 2 ) 2‬‬
‫מונה הנגזרת הוא של קו ישר יורד‪,‬‬
‫מכנה הנגזרת חיובי‪.‬‬
‫אשר מתאפס עבור ‪, x  0‬‬
‫מונה הנגזרת הוא של פרבולה הפוכה‪,‬‬
‫ובו עובר מחיוביות לשליליות – לכן מקסימום‪.‬‬
‫אשר מתאפסת בתחום ההגדרה עבור ‪, x  1‬‬
‫ובו עוברת מחיוביות לשליליות – לכן מקסימום‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪ (0, 0) :‬מינימום )קצה( ‪) ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (1,‬מקסימום‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (0,‬מקסימום‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬כיוון שהמקסימום המוחלט של שתי הפונקציות שווה )‬
‫‪2‬‬
‫(‪ ,‬והגרפים‪ ,‬על פי הנתון‪ ,‬נחתכים פעם אחת בלבד‪,‬‬
‫הרי ששיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך יהיה בין ‪ 0‬ל‪. 1 -‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪. (k  0) h( x)  g ( x)  k‬‬
‫זוהי תזוזה אנכית כלפי מטה של )‪ , g ( x‬ב‪ k -‬יחידות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור‬
‫‪2‬‬
‫‪ k ‬גרף הפונקציה )‪h( x‬‬
‫יהיה מתחת לציר ה‪ x -‬ולא יחתוך את גרף )‪ f ( x‬שהוא אי‪ -‬שלילי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.k ‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪8‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35806‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫א‪ .‬נתון כי ‪) dx  3‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (2‬‬
‫ונתון גם‪ k ) f (0)  1 , f '( x)  kx  2 :‬הוא פרמטר(‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫נחשב את האינטגרל המסוים‪ ,‬על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית‪.‬‬
‫)‪f '( x‬‬
‫‪) dx  3‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f '( x)) dx  3‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f ( x) ]  3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (0)  3‬‬
‫‪f (3) ‬‬
‫‪f (3)  1  3  f (0)  1‬‬
‫‪f (3)  1  3‬‬
‫‪f (3)  4‬‬
‫‪f (3)  16‬‬
‫נמצא את הפונקציה ‪ , f '( x)  kx  2‬על ידי חישוב הפונקציה הקדומה של )‪f '( x‬‬
‫והצבת שתי נקודות‪ ,‬למציאת קבוע האינטגרציה וערך הפרמטר‪.‬‬
‫‪f ( x)   f '( x) dx‬‬
‫‪f ( x)   (kx  2) dx‬‬
‫‪kx 2‬‬
‫‪ 2x  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪k  02‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2  0  c  f (0)  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c 1‬‬
‫‪k  32‬‬
‫‪ 2  3  1  f (3)  16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪16 ‬‬
‫‪f ( x)  x 2  2 x  1  ( x  1) 2‬‬
‫תשובה‪. f ( x)  x 2  2 x  1  ( x  1) 2 , f (3)  16 :‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ב‪ .‬נתון כי )‪f ( x‬‬
‫‪ g ( x) ‬כלומר )‪ g ( x‬היא פונקציה אי‪ -‬שלילית‪.‬‬
‫)‪ (1‬לפונקציה )‪ g ( x‬יש נקודת אפס‪ ,‬זהה לזו של )‪ , f ( x‬והיא )‪. (1, 0‬‬
‫‪ g ( x)  ( x  1) 2‬ומכאן ש‪ g ( x)  x  1 -‬במטרה להבטיח את אי‪ -‬השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫ניתן לרשום את )‪ g ( x‬גם בתחום מפוצל‪:‬‬
‫‪ x  1 x  1‬‬
‫‪ g ( x)  ‬ועל ידי כך להבין שהיא מורכבת משני ישרים‪ ,‬אחד יורד ואחד עולה‪.‬‬
‫‪  x  1 x  1‬‬
‫תשובה‪ :‬הוּ ַכח כי ‪. g ( x)  x  1‬‬
‫)‪ (2‬שתי הפונקציות תחתכנה‪ ,‬כאשר ‪ g ( x)  f ( x)  1‬בנקודות )‪, (2,1) , (0,1‬‬
‫כי במקרה זה ‪f ( x)  f ( x)  1‬‬
‫וכאמור‪ ,‬בנקודה )‪ (1, 0‬כי ‪f ( x)  f ( x)  0‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪.‬‬