Document

‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה‬
‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬סמסטר א׳ תשע״ה‬
‫פתרון תרגיל ‪7‬‬
‫‪ .1‬מיינו את נקודות אי הרציפות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫)א( ראשית נשים לב שהפונקציה מוגדרת ב־ )∞ ‪.[−2,‬‬
‫יהי ‪ .x 6= ±2‬בתחום ההגדרה‪ .‬אז‬
‫‪√1‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪(x+2)( x+2+2‬‬
‫=‬
‫√‪x−2‬‬
‫)‪(x+2)(x−2)( x+2+2‬‬
‫=‬
‫√‬
‫‪√x+2+2‬‬
‫‪x+2+2‬‬
‫√‬
‫√‬
‫·‬
‫‪x+2−2‬‬
‫‪x2 −4‬‬
‫=‬
‫‪x+2−2‬‬
‫‪x2 −4‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫לכן קיים הגבול של ‪ f‬ב־‪ ,2‬אך אינו שווה ל־ )‪ ,f (2‬ולכן ‪ 2‬היא נקודת אי רציפות סליקה‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬הגבולות החד־צדדי הימני של ‪ f‬ב־ )‪ (−2‬אינו סופי ולכן זו נקודת אי רציפות ממין‬
‫שני‬
‫הערה‪ :‬אנו מתייחסים רק לגבול החד־צדדי הימני כי הפונקציה מוגדרת רק בסביבה ימנית של‬
‫)‪.(−2‬‬
‫בכל נקודה ‪ x 6= ±2‬בתחום ההגדרה הפונקציה כמובן רציפה‪ ,‬כפונקציה אלמנטרית המוגדרת‬
‫בנקודה‪.‬‬
‫)ב( יהי ‪ x 6= ±1, 0‬אזי‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x+1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− x+1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫לכן קיים הגבול )‪ limx→1 f (x) = 0 = f (1‬ולכן הפונקציה רציפה ב־‪.1‬‬
‫בנוסף‪ ,‬קיים הגבול )‪ limx→0 f (x) = −1 6= f (0‬ולכן לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה ב־‪.0‬‬
‫לבסוף‪ ,‬הגבולות החד־צדדיים ב־ )‪ (−1‬אינם סופיים ולכן זו נקודת אי רציפות ממין שני‪.‬‬
‫בכל נקודה אחרת הפונקציה כמובן רציפה‪ ,‬כפונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה‪.‬‬
‫)ג(‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫בנקודה ‪ 0‬יש לפונקציה נקודת אי רציפות ממין שני‪ ,‬שכן הגבול החד צדדי הימני אינו סופי‪.‬‬
‫בכל נקודה ‪ x 6= 0‬הפונקציה כמובן רציפה ‪ ,‬כפונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה‪.‬‬
‫)ד(‬
‫‪x>0‬‬
‫‪x≤0‬‬
‫‪b x1 c‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪< x ≤ n−1‬‬
‫הקבוצה }‪ { n1 : n ∈ N‬היא קבוצת נקודות אי הרציפות ממין ראשון‪ ,‬שכן לכל‬
‫מתקיים ‪ .n − 1 ≤ x1 < n‬ולכן ‪ b x1 c = n − 1‬מכאן נובע שהגבולות החד צדדיים של ‪ f‬ב־‬
‫קיימים וסופיים אך שונים זה מזה‪ :‬מימין ‪ n − 1‬ומשמאל ‪.n‬‬
‫הנקודה ‪ 0‬היא נקודת אי־רציפות ממין שני‪ ,‬כי הגבול החד־צדדי הימני אינו סופי‪.‬‬
‫בכל נקודה ‪ x‬אחרת הפונקציה רציפה‪ ,‬שכן היא קבועה בסביבה קטנה של ‪. x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .2‬בכל אחד מהסעיפים הבאים‪ ,‬חשבו את הערך ‪ a‬שעבורו הפונקציה הנתונה תהיה רציפה בכל תחום‬
‫הגדרתה‬
‫)א(‬
‫‪x<3‬‬
‫‪x≥3‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‪2ax‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫כדי שהגבול החד־צדדי הימני ב־‪ 3‬יהיה שווה לגבול החד צדדי השמאלי שם‪ ,‬צריך להתקיים‬
‫בכל נקודה אחרת הפונקציה רציפה בכל מקרה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪.a‬‬
‫)ב(‬
‫‪x3 −8‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x 6= 2‬‬
‫‪x=2‬‬
‫(‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪ f (x) = xx−2‬ולכן ‪.limx→2 f (x) = limx→2 x2 + 2x + 4 = 12‬‬
‫יהי ‪ .x 6= 2‬אזי ‪= x2 + 2x + 4‬‬
‫לכן‪ ,‬עבור ‪ a = 12‬הפונקציה תהיה רציפה‪.‬‬
‫)ג(‬
‫‪x>0‬‬
‫‪x≤0‬‬
‫יהי ‪ .x > 0‬אזי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫) ‪2 sin2 ( x2‬‬
‫‪4·( x2 )2‬‬
‫) ‪2 sin2 ( x2‬‬
‫‪4·( x2 )2‬‬
‫=‬
‫‪1−cos x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1−cos x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪x+a‬‬
‫= )‪ f (x‬ולכן קיים הגבול החד־צדדי הימני של ‪ f‬ב־‪ 0‬והוא‬
‫‪.limx→0+ f (x) = limx→0+‬‬
‫מצד שני‪ ,‬הגבול החד צדדי השמאלי של ‪ f‬ב־‪ 0‬הוא כמובן ‪ ,a‬ולכן כדי שהפונקציה תהיה רציפה‬
‫נגדיר ‪.a = 21‬‬
‫)ד(‬
‫‪x>a‬‬
‫‪x≤a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪e‬‬
‫‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫הגבול החד צדדי הימני ב־‪ a‬הוא ‪ e a‬ואילו הגבול החד צדדי השמאלי שם הוא ‪ .e‬כדי שהפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫תהיה רציפה ב־‪ a‬צריך להתקיים ‪ ,e a = e‬כלומר ‪ .a = 1‬נשים לב שהיות ש ‪ a > 0‬הפונקציה‬
‫מוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫‪ .3‬הראו כי לפונקציה ‪ f (x) = 2x + 2x − 3‬יש שורש בקטע ]‪ ,[0, 1‬ומצאו אותו עד כדי קירוב של ‪.0.1‬‬
‫קל לראות ש־ )‪ ,f (0) < 0 < f (1‬ולכן ע׳׳פ משפט ערך הביניים יש לפונקציה שורש בקטע‪ .‬נמצא אותו‬
‫בקירוב הדרוש בעזרת שיטת החצייה‪.‬‬
‫שלב א‪ :‬נסתכל על ‪ : 12‬מתקיים )‪ f ( 12 ) < 0 < f (1‬ולכן השורש ‪ c‬נמצא בקטע ]‪.[ 12 , 1‬‬
‫שלב ב‪ :‬נסתכל על ‪ : 43‬מתקיים ) ‪ f ( 12 ) < 0 < f ( 34‬ולכן השורש ‪ c‬נמצא בקטע ] ‪.[ 12 , 34‬‬
‫שלב ג‪ :‬נסתכל על ‪ : 58‬מתקיים ) ‪ f ( 58 ) < 0 < f ( 34‬ולכן השורש ‪ c‬נמצא בקטע ] ‪.[ 58 , 43‬‬
‫‪ . 11‬ערך זה נמצא במרחק הקטן מ־ ‪ 0.1‬מקצות הקטע‪ .‬לכן הוא קירוב מספיק טוב‬
‫שלב ד׳‪ :‬נסתכל על ‪16‬‬
‫לשורש של הפונקציה הנתונה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בשאלה זו השימוש במחשבון כמובן מותר‪ .‬שאלה שדורשת שימוש במחשבון אינה לבוחן‪.‬‬
‫‪ .4‬הראו כי למשוואה ‪ x3 − 15x + 1 = 0‬יש שלושה פתרונות בקטע ]‪.[−4, 4‬‬
‫נסמן ‪ .p(x) = x3 − 15x + 1‬נשים לב כי ‪ .p(−4) < 0, p(−2) > 0, p(2) < 0, p(4) > 0‬לכן‪ ,‬ע׳׳פ‬
‫משפט ערך הביניים‪ ,‬יש לפולינום שורש בכל אחד מהקטעים הבאים‪.[−4, −2], [−2, 2], [2, 4] :‬‬
‫‪ .5‬הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות‪:‬‬
‫)א( אם המכפלה )‪ h(x) = f (x) · g(x‬רציפה ב־‪ ,0‬אז כל אחת מהפונקציות )‪ f (x), g(x‬רציפה ב־‪.0‬‬
‫לא נכון‪ .‬למשל‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‪1 x 6= 0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪0 x=0‬‬
‫‬
‫‪0 x 6= 0‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫‪1 x=0‬‬
‫פונקציות אלו אינן רציפות ב־‪ ,0‬אך מכפלתן רציפה ב־‪ 0‬כי זו פונקציה השווה זהותית לאפס‪.‬‬
‫)ב( אם הפונקציה )‪ f (x‬רציפה בקטע ]‪ [a, b‬ואינה מתאפסת באף נקודה בקטע‪ ,‬אזי היא בעלת סימן‬
‫קבוע בקטע זה‪.‬‬
‫נכון‪ .‬נניח בשלילה שהפונקציה אינה בעלת סימן קבוע בקטע‪ .‬אז יש ]‪ c, d ∈ [a, b‬כך ש‬
‫)‪ .f (c) < 0 < f (d‬ואז‪ ,‬ע׳׳פ משפט ערך הביניים‪ ,‬יש נקודה בין ‪ c‬ל־‪ d‬שבה הפונקציה מתאפסת‪.‬‬
‫וזה בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)ג( אם הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת בקטע ]‪ [a, b‬ומתקיים ‪ ,f (a) · f (b) < 0‬אזי יש נקודה בקטע שבה ‪f‬‬
‫מתאפסת‪.‬‬
‫‬
‫‪−1 − 1 ≤ x < 0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫לא נכון‪ .‬למשל נגדיר פונקציה ‪ f‬על הקטע ]‪ [−1, 1‬ע׳׳י‬
‫‪1‬‬
‫‪0≤x≤1‬‬
‫הפונקציה מחליפה סימן בקטע‪ ,‬אך אין אף נקודה בקטע שבה ערך הפונקציה שווה ‪ .0‬הסיבה לכך‬
‫היא כמובן שהפונקציה שהגדרנו אינה רציפה ־ אין בנתוני השאלה דרישה לרציפות‪.‬‬
‫)ד( אם הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת בקטע ]‪ [a, b‬אזי ‪ f‬חסומה בקטע‪.‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫לא נכון‪ .‬למשל נגדיר פונקציה ‪ f‬על הקטע ]‪ [−1, 1‬ע׳׳י‬
‫‪x=0‬‬
‫חסומה מלעיל בקטע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫= )‪ f (x‬הפונקציה אינה‬
‫)ה( אם הפונקציה )‪ f (x‬רציפה בקטע ]‪ [a, b‬אזי תמונת ‪ f‬היא קטע סגור‪.‬‬
‫נכון‪ .‬ע׳׳פ משפט ווירשטרס השני‪ ,‬פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום שלה ‪M‬‬
‫ואת המינימום שלה ‪ .m‬ע׳׳פ משפט ערך הביניים ‪ f‬מקבלת בקטע כל ערך בין ‪ m‬ו־ ‪ .M‬לכן‪,‬‬
‫תמונת ‪ f‬חייבת להיות הקטע הסגור ] ‪.[m, M‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט נקודת השבת‪:‬‬
‫‪.f (c) = c‬‬
‫תהי ]‪ f : [0, 1] → [0, 1‬פונקציה רציפה‪ .‬אזי יש נקודה ‪ 0 ≤ c ≤ 1‬כך ש־‬
‫נגדיר פונקציה ‪ g(x) = f (x) − x‬על הקטע ]‪ .[0, 1‬פונקציה זו כמובן רציפה‪ .‬אם במקרה ‪ g(0) = 0‬או‬
‫‪ g(1) = 0‬אז סיימנו‪ ,‬כי אז נובע בהתאמה ש ‪ f (0) = 0‬או ‪ f (1) = 1‬ולכן מצאנו נקודת שבת‪ .‬אחרת‬
‫מתקיים ‪ ,g(0) = f (0) − 0 = f (0) > 0, g(1) = f (1) − 1 < 0‬כי תמונת ‪ f‬מוכלת ב־ ]‪ ,[0, 1‬ולכן לכל‬
‫‪ x‬בקטע‪ .0 ≤ f (x) ≤ 1 ,‬ע׳׳פ משפט ערך הביניים‪ ,‬יש ]‪ c ∈ [0, 1‬כך ש ‪ g(c) = 0‬ואז ‪ f (c) = c‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ .7‬חשבו את הנגזרות של הפונקציות הבאות בנקודות הנתונות תוך שימוש בהגדרת הנגזרת‪:‬‬
‫)א( ‪ f (x) = x3 + 3x2 − 7x + 1‬בנקודה ‪.a = 2‬‬
‫=‬
‫)‪(2+h)3 +3(2+h)2 −7(2+h)+1−(23 +3·22 −7·2+1‬‬
‫‪h‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪= limh→0‬‬
‫‪f 0 (2) = limh→0 f (2+h)−f‬‬
‫‪h‬‬
‫‪= limh→0 (17 + 9h + h2 ) = 17.‬‬
‫)ב( ‪ f (x) = cos x‬בנקודה ‪.a = π‬‬
‫=‬
‫‪= −sin(π) · 1 = 0‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ .8‬הוכיחו כי הפונקציה |‪|x‬‬
‫‪sin( h‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)sin( h‬‬
‫)‬
‫‪−2 sin(x+ h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪= limh→0‬‬
‫)‪cos(π+h)−cos(π‬‬
‫‪h‬‬
‫‪f 0 (π) = limh→0‬‬
‫‪.= − limh→0 sin(x + h2 ) · limh→0‬‬
‫= )‪ f (x‬רציפה ב־‪ 0‬אך לא גזירה שם‪.‬‬
‫הפונקציה רציפה ב־‪ 0‬כי הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים שניהם ל־‪.0‬‬
‫אולם‪= ∞ ,‬‬
‫‪√1‬‬
‫‪h‬‬
‫√‬
‫‪= limh→0+‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪= limh→0+‬‬
‫)‪f (h)−f (0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ,limh→0+‬ולכן הפונקציה לא גזירה ב־‪.0‬‬