20152-2 חשבון אינפי `7. דף תרגילים מס באילוץ ומוחלט אקסטרמום פתרונות

‫חשבון אינפי ‪20152-2‬‬
‫דף תרגילים מס' ‪.7‬‬
‫אקסטרמום באילוץ ומוחלט‬
‫פתרונות ותשובות‬
‫‪ .1‬מצא את מקסימום ומינימום מוחלטים )הערך המקסימאלי והערך המינימאלי( של ) ‪ f ( x, y‬בתחום הסגור‬
‫‪.D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)א( ‪ D , f ( x, y )  4 x  2 x y  y‬מוגבל על ידי הגרפים ‪ y  x‬ו‪. y  9 -‬‬
‫מכיוון שהפונקציה רציפה ב ‪ D‬כולו וגם ‪ D‬הוא תחום סגור‪ ,‬לכן לפי משפט ווארשטרס‬
‫יש מינימום ומקסימום מוחלטים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f x  12 x  4 xy  0 12 x  4 x  0  x  0  x  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  x2‬‬
‫‪ f y  2 x  2 y  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  0 y  9‬‬
‫נציב את הנקודות האלה בפונקציה‪f (0,0)  0, f 3,9   27 :‬‬
‫נחשב עכשיו לפי שפות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x, y   4 x  18 x  81‬‬
‫‪L1 : y  9,3  x  3‬‬
‫‪f   12 x 2  36 x  12 x x  3  x  0, x  3‬‬
‫‪f 3,9   27‬‬
‫‪f 0,9   81, f  3,9   189,‬‬
‫עכשיו לפי השפה שניה‬
‫‪L2 : y  x 2 ,3  x  3 f  x, y   4 x 3  2 x 4  x 4  4 x 3  x 4‬‬
‫‪f   12 x 2  4 x 3  4 x 2 3  x   0  x  0, x  3‬‬
‫לכן המסקנה‪f max  f 0,9   81 :‬‬
‫‪f 0,0   0‬‬
‫‪f min  f (3,9)  189‬‬
‫‪f 3,9   27‬‬
‫‪f  3,9   189,‬‬
‫)ב( ‪ D , f ( x, y )  x 2  y 2‬הוא משולש שצלעותיו ‪. y  0 , x  0 ,2 x  y  2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נמצא נקודות קיצון בתוך התחום‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ f y  2y  0 y  0‬‬
‫נציב את הנקודה בפונקציה‪f (0,0)  0 :‬‬
‫נחשב לפי השפות‪:‬‬
‫‪f  x, y   x 2‬‬
‫‪L1 : y  0, 0  x  1‬‬
‫‪f 1,0  1‬‬
‫‪f 0,0   0,‬‬
f  x, y   y 2
L2 : x  0, 0  y  2
f 0,0   0, f 0,2  4
L3 : y  2  2 x, 0  x  1
f 1,0  1,
f 0,2   4
f  x, y   5 x 2  8 x  4
f (0.8,0.4)  0.8 :‫יש לקחת בחשבון את קודקוד של פרבולה‬
f min  f (0,0)  0 f max  f 0,2   4 :‫לכן המסקנה‬


D  ( x, y ) 0  x  9 , 0  y  5 , f ( x, y )  y x  y 2  x  6 y
(‫)ראה שרטוט‬
(‫)ג‬
(0  y  5) , (0  x  9) : D ‫נמצא את הנקודות הקריטיות בתוך תחום‬
y

 f x  2 x  1  0

 f   x  2y  6  0
 y
 y  2 x  0

 2 y  x  6
f (9,0)  9 , f (0,0)  0 , f ( x,0)   x
f (0, y )   y 2  6 y
f y  2 y  6  0  y  3
f (0,3)  9 , f (0,5)  5
f (9, y )  3 y  y 2  9  6 y   y 2  9 y  9
9
f y  2 y  9  0  y 
2
9
f (9, )  11.25 , f (9,5)  11
2
x  4

y  4
f (4,4)  12
‫נמצא את נקודות קריטיות על השפה‬
:‫( נקבל‬0  x  9) y  0 , x -‫( לאורך ציר ה‬1
:‫( נקבל‬0  y  5) x  0 , y -‫( לאורך ציר ה‬2
:‫( נקבל‬0  y  5)
x  9 ‫( לאורך הישר‬3
:‫( נקבל‬0  x  9)
y  5 ‫( לאורך הישר‬4
f ( x,5)  5 x  25  x  30   x  5 x  5
5
f x  1 
 0  5  2 x  0  x  6.25
2 x
f (6.25,5)  11.25
:‫נרכז את כל הנקודות הקריטיות וערכי הפונקציה באותן הנקודות בטבלה‬
‫הנקודות‬
(4,4)
(0,0)
f ( x, y )
12
0
(9,0)
(0,3)
(0,5)
9
5
9-
f min  f (9,0)  9 , f max  f (4,4)  12


D  ( x, y ) x 2  y 2  1
9
(9, )
2
11.25
(9,5)
(6.25,5)
11
11.25
, f ( x , y )  2 x 3  y 4 (‫) ד‬
x 2  y 2  1 : D ‫נמצא את הנקודות הקריטיות בתוך תחום‬
(‫)ראה שרטוט‬
 f x  6 x 2  0

3
 f y  4 y  0
x  0

y  0
f (0,0)  0
:‫ בהצגה פרמטרית‬x  y  1 ‫ נרשום את משוואת המעגל‬.‫נמצא את נקודות קריטיות על השפה‬
2
2
 x  cos t
, 0  t  2

 y  sin t
f ( x(t ), y (t ))  2 cos 3 t  sin 4 t
f t  2  3 cos 2 t  ( sin t )  4 sin 3 t cos t  2 cos t sin t (2 sin 2 t  3 cos t )  0

sin 2t  0 ‫ או‬2 sin 2 t  3 cos t  0

3
t0 , t
, t  , t 
, t  2 :‫ הוא‬0  t  2 ‫ כאשר‬sin 2t  0 ‫פתרון למשוואה‬
2
2
f ( x(0), y (0))  f (1,0)  2


f ( x( ), y ( ))  f (0,1)  1
2
2
f ( x( ), y ( ))  f (1,0)  2
3
3
f ( x( ), y ( ))  f (0,1)  1
2
2
f ( x(2 ), y (2 ))  f (1,0)  2
2 sin 2 t  3 cos t  0
:‫נפתור את המשוואה‬
2
2(1  cos t )  3 cos t  0
2 cos 2 t  3 cos t  2  0
‫‪3 9  422 3 5 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון למשוואה הוא‪:‬‬
‫‪cos t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪, t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x( ), y ( ))  f ( , ) ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪13‬‬
‫‪f ( x( ), y ( ))  f ( ,‬‬
‫‪)‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16‬‬
‫נרכז את כל הנקודות הקריטיות וערכי הפונקציה באותן הנקודות בטבלה‪:‬‬
‫‪1 3‬‬
‫) ‪( ,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪16‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪( ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪16‬‬
‫)‪(0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(1,0‬‬
‫)‪(0,1‬‬
‫)‪(1,0‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫הנקודות‬
‫‪-2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪f ( x, y‬‬
‫‪f min  f (1,0)  2 , f max  f (1,0)  2‬‬
‫)ה( ‪ D , f ( x, y )  xye 4 x 3 y‬הוא הרביע הראשון של המישור ‪. xy‬‬
‫נמצא את הנקודות הקריטיות בתוך תחום ‪y  0 , x  0 : D‬‬
‫‪ x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y (1  4 x)  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x(1  3 y )  0‬‬
‫‪ f x  e  4 x 3 y ( y  4 xy )  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 x 3 y‬‬
‫‪( x  3xy )  0‬‬
‫‪ f y  e‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, f (0,0)  0‬‬
‫‪f( , )‬‬
‫‪4 3 12e 2‬‬
‫נמצא את נקודות קריטיות על השפה‬
‫‪ (1‬לאורך ציר ה‪ (0  x  ) y  0 , x -‬נקבל‪f ( x,0)  0 :‬‬
‫‪ (2‬לאורך ציר ה‪ (0  y  ) x  0 , y -‬נקבל‪f (0, y )  0 :‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫בין הערכים של ) ‪ f ( x, y‬בנקודות קריטיות מקבלים‪:‬‬
‫‪f min  f (0,0)  0 , f max  f ( , ) ‬‬
‫‪4 3 12e 2‬‬
‫‪ .2‬מצא את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x, y )  ( x 2  2 y 2 ) e  x  y ‬‬
‫בעיגול היחידה ‪. x 2  y 2  1‬‬
‫נמצא נקודות קיצון בתחום‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f x  e‬‬
‫‪2 x(1  x  2 y )  0  x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 2  y 2 ‬‬
‫‪2 y (2  x 2  y 2 )  0‬‬
‫‪ f y  e‬‬
‫‪y  0‬‬
‫נציב את הנקודה בפונקציה‪f (0,0)  0 :‬‬
f  x, y   e ( x  2(1  x ))  e
1
L1 : y  1  x ,  1  x  1
2
2
2
1
2  x 
:‫נחשב לפי שפות‬
2
f   2e x  0  x  0  y  1
1
f  1,0  e 11,
f 1,0   e 1 ,
f 0,1  2e 1
f  x, y   e 1 (2  x 2 )
L2 : y   1  x 2 ,  1  x  1
f   2e 1 x  0  x  0  y  1
f  1,0  e 11,
f 1,0   e 1 ,
f 0,1  2e 1
f min  f (0,0)  0 f max  f 0,1  f 0,1  2e 1 :‫לכן המסקנה‬
 ( x, y )  0 ‫ עם האילוץ‬z  f ( x, y ) ‫ )אקסטרמום בתנאי( מצא את האקסטרמום של הפונקציה‬.3
x  y 1
, z  x 2  y 2 (‫)א‬
:‫פתרון‬
y  1  x :‫ )שיטת ההצבה( ממשוואת האילוץ מקבלים‬:1 ‫דרך‬
: ‫ בפונקציה‬y (x) ‫נציב את‬
z ( x,1  x)  x 2  (1  x) 2  z ( x)  2 x 2  2 x  1
: z (x) ‫נמצא את הנקודה הקריטית של‬
z x  4 x  2  0

x
1
2
1
1
z xx ( )  4  0 -‫ הפונקציה מקבלת את הערך המינימאלי בתנאי מפני ש‬x  ‫בנקודה‬
2
2
2
2
L( x, y,  )  x  y   ( y  x  1)
:'‫ )שיטת כופלי לגרנז'( נבנה את פונקצית לגרנז‬:2 ‫דרך‬
: ‫נמצא את הנקודה הקריטית מהמערכת‬


x  2
 Lx  2 x    0






L
y




2
0
 y
y 
2
 

 L  y  x  1  0
x  y  1  0


2
2
L( x, y,1)  x  y  y  x  1
1

x  2

1

 y 
2

  1


:'‫ בפונקצית לגרנז‬  1 ‫נציב‬
1 1
  L yy  ( L xy
 ) 2 ‫נחשב‬
: ( , ) ‫ בנקודה‬  L xx
2 2
1 1
1 1
1 1
 ( , )  0  ( , )  2  2  0  4  0
.‫ בתנאי‬z (x) ‫ ( נקודת מינימום של‬, )  , Lxx
2 2
2 2
2 2
2
2
9 x  y  4 , f ( x, y )  xy (‫)ב‬
2
:'‫נבנה את פונקצית לגרנז‬
L( x, y,  )  xy   (9 x  y 2  4)
:‫נמצא את הנקודה הקריטית מהמערכת‬
  0 , L yy  2 , Lxx
  2
L xy
‫‪‬‬
‫‪ y (1  362 )  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  2y‬‬
‫‪9 x 2  y 2  4  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  18x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  2y‬‬
‫‪9 x 2  y 2  4  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Lx  y  18x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L y  x  2y  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ L  9 x  y  4  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  ‬או‬
‫‪ y  3x‬או ‪, y  3x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫נציב ‪ y  3x‬במשוואה ‪, 9 x 2  y 2  4  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, 2 ) , (‬‬
‫‪, 2 ) , (‬‬
‫( ‪, 2 ) ,‬‬
‫נקבל נקודות קריטיות ) ‪, 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ערכי הפונקציה באותן הנקודות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f (‬‬
‫( ‪,- 2 )  f‬‬
‫‪, 2)‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫( ‪,- 2 )  f‬‬‫‪, 2)‬‬
‫(‪ f‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .4‬מצא שלושה מספרים חיובים שסכומם ‪ 100‬ומכפלתם מקסימלית‪.‬‬
‫(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪f max‬‬
‫‪f min‬‬
‫‪ f  x, y, z   xyz‬‬
‫‪  f   g‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g  x  y  z  100  g  x, y, z   k‬‬
‫אם נפתור את המערכת‪:‬‬
‫‪f x  yz    1‬‬
‫‪f y  xz    1‬‬
‫‪f z  xy    1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  y  z  100‬‬
‫אם נכפיל משוואה ראשונה ב‪ , x -‬משוואה שניה ב‪ y -‬ומשוואה שלישית ב ‪ , z‬אזי נקבל‬
‫‪ xyz    x‬‬
‫‪ xyz    y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬מזה נובע‬
‫‪ xyz    z‬‬
‫‪ x  y  z  100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x  y  z  x  x  x  100  x  y  z ‬‬
‫‪3‬‬
‫לכן המספרים האלה נותנים מכפלה מקסימלית‪.‬‬
‫‪) .5‬אקסטרמום בתנאי( מצא את האקסטרמום של הפונקציה ) ‪ u  f ( x, y, z‬לפי תנאי האילוץ‪:‬‬
‫)א( ‪ , u  x  2 y  2 z‬כאשר‬
‫‪x2  y2  z 2  1‬‬
‫נבנה את פונקצית לגרנז'‪:‬‬
‫נמצא את הנקודה הקריטית מהמערכת‪:‬‬
‫)‪L( x, y, z ,  )  x  2 y  2 z   ( x 2  y 2  z 2  1‬‬
 L x
L
 y

 L z
L
 
1

 x   2
 1  2x  0

y  1
 2  2y  0
3
3

‫ או‬  
 


 2  2z  0
2
2

1
z


2
2
2

 x  y  z 1  0


2
 x  y 2  z 2  1  0
1 2 2
1 2 2
( , , ) ‫נקבל נקודות קריטיות‬
(  , , ) ,
3 3 3
3 3 3
: ‫נחקור את הדיפרנציאל השני בנקודות הקריטיות‬
2L
2L
2L
2L
2L
2L
d 2 L  2 dx 2  2 dy 2  2 dz 2  2
dxdy  2
dxdz  2
dydz
xy
xz
yz
z
x
y
1 2 2
d 2 L  3dx 2  3dy 2  3dz 2  0 : ‫( נקבל‬ , , ) ‫לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בנקודה‬
3 3 3
1 2 2
: ‫ יש מינימום מקומי בתנאי‬u  x  2 y  2 z ‫( לפונקציה‬ , , ) ‫לכן בנקודה‬
3 3 3
1 2 2
u min  u (- , , )  3
3 3 3
1 2 2
d 2 L  3dx 2  3dy 2  3dz 2  0 : ‫ ( נקבל‬, , ) ‫לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בנקודה‬
3 3 3
1 2 2
: ‫ יש מקסימום מקומי בתנאי‬u  x  2 y  2 z ‫ ( לפונקציה‬, , ) ‫לכן בנקודה‬
3 3 3
1 2 2
u max  u ( ,- , )  3
3 3 3
y  x
(‫) ב‬
‫ כאשר‬, f ( x, y, z )  xy  z 2
 2
2
2
x
y
z



4

:1 ‫דרך‬
:'‫נבנה את פונקצית לגרנז‬
L( x, y, z , 1 ,  2 )  xy  z 2  1 ( x  y )   2 ( x 2  y 2  z 2  4)
:‫נמצא את הנקודה הקריטית של המערכת‬
 L x  y  1  2 2 x  0

 L y  x  1  2 2 y  0

 L z  2 z  2 2 z  0
L  x  y  0
 1
L  x 2  y 2  z 2  4  0
 2
 y  1  2 2 x  0

 x  1  2 2 y  0

  z (1   2 )  0
x  y

 x 2  y 2  z 2  4  0
 1  0 ,  2  
1
2
‫או‬

1  0 , 2  1
‫‪y 2 , z0‬‬
‫הנקודות הקריטיות של ) ‪ f ( x, y, z‬לפי תנאי האילוץ הן‪:‬‬
‫)‪(0,0,2) , (0,0,2‬‬
‫כאשר‬
‫‪x 2 ,‬‬
‫‪1  0 ,  2  1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ ( 2 , 2 ,0) , ( 2 , 2 ,0‬כאשר‬
‫‪2‬‬
‫נחקור את הדיפרנציאל השני ‪ d 2 L‬בנקודות הקריטיות ‪,‬‬
‫לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בנקודות קריטיות )‪ (0,0,2) , (0,0,2‬מקבלים ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d L  2dx 2  2dy 2  2dz 2  2dxdy‬‬
‫מהאילוצים מקבלים ‪:‬‬
‫‪1  0 ,  2  ‬‬
‫‪dx  dy‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4dz  0‬‬
‫‪dx  dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 xdx  2 ydy  2 zdz  0‬‬
‫לכן ‪d 2 L  2dx 2  0 ,‬‬
‫‪f max  f (0,0,2)  f (0,0,2)  4‬‬
‫לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בנקודות קריטיות )‪ ( 2 , 2 ,0) , ( 2 , 2 ,0‬מקבלים ‪:‬‬
‫‪d L   dx 2  dy 2  dz 2  2dxdy‬‬
‫‪2‬‬
‫מתנאי האילוץ מקבלים ‪:‬‬
‫‪ dx  dy  0‬‬
‫‪dx  dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 2dx  2 2dy  0‬‬
‫לכן ‪d 2 L  dz 2  0 ,‬‬
‫‪f min  f ( 2 , 2 ,0)  f ( 2 , 2 ,0)  2‬‬
‫דרך ‪:2‬‬
‫נציב את האילוץ ‪ y  x‬באילוץ ‪ x  y  z  4‬וגם נציב אותו בפונקציה‪:‬‬
‫ואז נקבל‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אם נסמן ‪g  x, z   2 x  z  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f x  2 x  g x    4 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f   g‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  f z  2 z  g z    2 z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x  z  4 ‬‬
‫‪2x 2  z 2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם נכפיל משוואה ראשונה ב ‪ z‬והמשוואה שניה ב ‪ x‬ונשווה ביניהן נקבל‪:‬‬
‫‪ f  x, z   x 2  z 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 x  z 2  4‬‬
‫‪2 xz    4 xz‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 xz    2 xz‬‬
‫‪2 x 2  z 2  4‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן‬
‫‪2 xz  2 xz   4 xz   2 xz   2 xz  0‬‬
‫חייב ש ‪   0‬אחרת אין פתרון למערכת‪ .‬ולכן מקבלים ‪ 4‬נקודות‪:‬‬
x  0

y  0,
z  2

x0

 y0 ,
 z  2

x  2

y  2 ,
 z0

x   2

y   2
 z0

f max  f 0,0,2   f 0,0,2  4
. f min  f

 

2 , 2 ,0  f  2 , 2 ,0  2
‫אזי‬