לים רעיונות שונים לפתירת אינטגר - Anat Etzion

‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬
‫רעיונות שונים לפתירת אינטגרלים‬
‫אינטגרלים של פונקציות רציונאליות‬
‫)‪P ( x‬‬
‫דרך פעולה עיקרית‪:‬‬
‫)‪Q ( x‬‬
‫‪ , ‬אם ‪ deg P  deg Q‬אז מחלקים ‪ P‬ב ‪Q‬‬
‫)חילוק פולינומים כאשר רושמים את המנה ללא מכנה ואת השארית עם המכנה(‪.‬‬
‫מפרקים לסכום של שברים חלקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Dx  E‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( x  a )( x  b) ( x  cx  d ) x  a x  b ( x  b) ( x  cx  d‬‬
‫חישוב הצורות השונות של השברים החלקיים‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪( x  a ) j 1 A‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ( x  a) j‬‬
‫‪ j 1‬‬
‫)או ‪ A ln | x  a |  C‬כאשר ‪.( j  1‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪( x 2  a 2 )  j 1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ (x2  a2 ) j‬‬
‫‪ j 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx  a 2 j 1  cos 2 j  2 tdt‬‬
‫‪2 j‬‬
‫) ‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (x‬‬
‫)בעזרת ההצבה ‪.( x  a tan t‬‬
‫לפעמים הפולינום במכנה לא מתפרק לגורמים )אין לו שורשים( אבל ניתן לרושמו בצורה של‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( x  d )  a‬וכך להגיע לאינטגרל של ‪. arctan x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1 3dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪ arctan ‬‬
‫דוגמא‪  C :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  10‬‬
‫‪( x  1)  9 9  x  1 ‬‬
‫‪9 t 1 3‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫=‪ t‬לפני חישוב האינטגרל של ‪ arctan x‬כדי לא לשכוח את‬
‫הערה‪ :‬מומלץ להציב ‪, dx  3dt‬‬
‫‪3‬‬
‫הנגזרת הפנימית שצריך לחלק בה )תתקבל אוטומאטית מהצבה במקום ה ‪.( dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫לפעמים אפשר לפרק את הפולינום במכנה גם ע"פ חוקי כפל מקוצר כך שהוא יתפרק לגומרים‬
‫פשוטים יותר‪.‬‬
‫‪2 x2  2 x  2‬‬
‫‪2x2  2 x  2‬‬
‫‪2x2  2 x  2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x3  x‬‬
‫)‪ x( x2  1‬‬
‫דוגמא‪ x( x  1)( x  1) dx :‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר מופיע באחד הגורמים במכנה פולינום ממעלה ‪ 2‬שהוא בריבוע בנוסף‪ ,‬אז מופיע גורם ליניארי‬
‫גם מעל המכנה ללא הריבוע וגם מעל המכנה עם הריבוע‪.‬‬
‫‪Ax  B Cx  D‬‬
‫‪E‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2  1 x  1 x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ 1 ( x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫©ענת עציון‬
‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬
‫‪‬‬
‫מציאת שורשים במהירות‪ , x 2  ax  b -‬סכומם הוא ‪ a‬ומכפלתם‪) b -‬רק בפולינום מתוקן‪ ,‬ולחשב‬
‫עם מינוס על כל שורש(‪.‬‬
‫מונה כנגזרת המכנה‬
‫) ‪f ( x‬‬
‫דרך פעולה עיקרית‪dx  ln | f ( x) | C :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפעמים המונה מורכב משני איברים שאחד מהם ניתן לרשום ככפולה של המכנה ואז אחרי צמצום יש‬
‫שני איברים שרק אחד מהם עם המכנה‪ ,‬והוא יכול להיות מתאים לנגזרת‪.‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫‪2( x  1)  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫דוגמא‪ 2 x  ln | x  1| C :‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר בודקים אם המונה הוא נגזרת המכנה‪ ,‬יש לבצע צמצום אפשרי עד הסוף‪ ,‬אחרת מתקבלות‬
‫תוצאות שגויות‪.‬‬
‫כאשר המונה והמכנה מאותה מעלה‪ ,‬ניתן לפעמים להוסיף ולהחסיר מהמונה כדי לקבל משהו‬
‫שיצטמצם עם המכנה ואז מה שנשאר יתאים לנגזרת‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t 11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t  1 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  ‬‬
‫‪dt   1 ‬‬
‫דוגמא‪dt  t  ln | t  1| :‬‬
‫‪dx  t dt‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪1  2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫כאשר יש ‪ e x‬במכנה‪ ,‬זוהי גם הנגזרת ולכן אם הוא לא קיים במונה‪ ,‬לפעמים ניתן להכפילו במונה‬
‫ובמכנה )הרחבת השבר( כך שזה יסתדר מבחינת הנגזרת‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‪ 1  e x  e x (1  e x )  e x  1 dx  ln(e  1)  C :‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫דרך פעולה עיקרית‪ f ( x) g ( x)dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g ( x)dx :‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן להגיע לאינטגרל הזהה לאינטגרל שהתחלנו איתו ואז להעביר אותו אגף כדי להגיע לפיתרון‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v e , ve‬‬
‫‪v e , v e‬‬
‫‪I   ex sin xdx ‬‬
‫‪  ex sin x   ex cos xdx ‬‬
‫‪  e x sin x‬‬
‫‪u sin x, ucos x‬‬
‫‪u cos x , u sin x‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪ e (sin x  cos x)  C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪-ex cos x   e x sin xdx  I  I ‬‬
‫כאשר יש ‪ ln x / e x‬אז בדרך כלל נגזור את ה ‪ ln‬ונטגרל את ה ‪. e x‬‬
‫כאשר מופיעה פונקציה אחת בלבד שהנגזרת שלה ידועה‪ ,‬אז ניתן לגזור אותה ולטגרל את ‪.1‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪dx  x arctan x  ln(1  x 2 )  C‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v1, v  x‬‬
‫‪ arctan xdx   x arctan x  2  1  x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x 2‬‬
‫‪u  arctan x , u ‬‬
‫‪2‬‬
‫©ענת עציון‬
‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬
‫נוסחאות נסיגה‬
‫)‪(n  1‬‬
‫‪cos sin n1 x‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ sin xdx ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪sin x cos n 1 x ‬‬
‫‪cos n 2 xdx‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ cos xdx ‬‬
‫שימוש בנוסה זו פעם אחר פעם נותן לבסוף‪ ,‬ע"פ הזוגיות של ‪ n‬תוצאה שבה יש לחשב את האינטגרל‬
‫‪ 1dx  x‬או את ‪. cos xdx  sin x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2k  1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ik‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 k‬‬
‫) ‪2ka ( x  a‬‬
‫‪2ka 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪arctan‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪I k 1 ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪( x  a2 )k‬‬
‫‪I1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪In  ‬‬
‫אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות‬
‫דרך פעולה עיקרית‪ sin x :‬בחזקה אי זוגית‪t  cos x -‬‬
‫‪ cos x‬בחזקה אי‪-‬זוגית‪t  sin x -‬‬
‫סכום החזקות של ‪ sin x‬ו ‪ cos x‬ביחד הוא זוגי‪ t  tan x -‬או ‪t  cos x‬‬
‫‪‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪, cos 2 x ‬‬
‫‪, dx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 t 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 t2‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪cos x ‬‬
‫‪sin x ‬‬
‫הצבה כללית שתמיד תעבוד‪ t  tan :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫במונה יש ‪ sin x / cos x‬ובמכנה יש את הפונקציה השנייה‪ ,‬אז ניתן להציב ‪ t‬שווה לפונקציה במכנה כי‬
‫זאת שבמונה תהיה הנגזרת הפנימית ולכן חלק מה ‪. dt‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪t  sin x‬‬
‫‪dt  cos xdx‬‬
‫‪ 10  sin x dx    10  t  ln(10  sin x)  C‬‬
‫מכפלה של ‪ sin cos‬אז כדאי להשתמש בזהויות טריגונומטריות של המכפלה המתאימה כדי להגיע‬
‫לסכום במקום המכפלה )ואז ניתן לטפל בכל מחובר לחוד(‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2dt‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪1 t2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ sin 5 x cos xdx   2 (sin 6 x  sin 4 x)dx   2  6 cos 6 x  2  4 cos 4 x  C‬‬
‫‪ sin/ cos‬במכנה בחזקה אי‪-‬זוגית‪ ,‬אז ניתן להעלות את החזקה ע"י הכפלת מונה ומכנה‪ .‬ואז במכנה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ישנה חזקה זוגית וניתן להשתמש בזהות‪ sin x  1  cos x :‬ולהפך‪) .‬ואז ניתן להמשיך כפי שעשינו‬
‫עבור פונקציות שונות במונה ובמכנה(‪.‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t  cos x‬‬
‫‪dx  ‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪  ‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt  sin xdx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫) ‪(1  cos x‬‬
‫‪(1  t 2 ) 2‬‬
‫כאשר מופיע ‪ arc‬אז ניתן להציב ‪ x‬שווה לפונקציה ההפוכה שלו ) ‪.( sin/ cos/ tan t‬‬
‫‪t cos t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2  sin t , x  sin t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪arcsin‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪   sin t‬‬
‫דוגמא‪dt   t cos tdt :‬‬
‫‪cos tdt‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 sin t‬‬
‫‪2 sin t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ sin‬‬
‫‪3‬‬
‫©ענת עציון‬
‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬
‫ביטויים עם שורשים‬
‫דרך פעולה עיקרית‪ :‬הצבות טריגונומטריות‪:‬‬
‫‪ x  a sin t - a 2  x 2‬או ‪x  a cos t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  a tan t - a 2  x 2‬ולהשתמש בזהות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ x ‬או‬
‫‪- x2  a2‬‬
‫‪cos t‬‬
‫‪sin t‬‬
‫הצבת אויילר‪dx :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x2  b‬‬
‫‪1  tan 2 t ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  b‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t  x2  b  x - ‬‬
‫‪dx ‬‬
‫ישנן כמה אפשרויות להצבות עם שורשים‪ ,‬לכל אחת מהן דוגמא‪:‬‬
‫‪ t‬שווה לכל מה שמתחת לשורש‪) :‬כאשר יש רק את השורש(‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t (t  1)dt  2 (t  t )dt  (1  x )  (1  x ) 2  C‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪t 1 x‬‬
‫‪dx  2( t 1) dt‬‬
‫‪1  x dx   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t‬שווה לשורש כולו‪) :‬כאשר יש משהו נוסף בסכום עם השורש(‬
‫‪dx‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1 t 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t  1 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  ‬‬
‫‪dt   1 ‬‬
‫) ‪dt  1  2 x  ln(1  1  2 x‬‬
‫‪dx t dt‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 2x‬‬
‫כאשר יש כמה שורשים ממעלות שונות אז נציב ‪ x‬שווה ל ‪ t‬מחזקה מספיק גבוהה כך שכל השורשים‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫ייעלמו‪ .‬דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  arctan 6 x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪6t dt‬‬
‫‪6t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t6  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  6  1 ‬‬
‫‪dt  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx  6 t 5 dt‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪t (1  t‬‬
‫‪1 t‬‬
‫‪1 t2‬‬
‫‪x (1  x‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן להשלים לריבוע את הביטוי שמתחת לשורש כדי להגיע לאחת ההצבות הידועות‪.‬‬
‫‪t  x 3‬‬
‫‪6 x  x 2 dx   9  ( x  3)2 dx ‬‬
‫דוגמא‪   9  t 2 dt :‬‬
‫‪dx  dt‬‬
‫‪‬‬
‫אינטגרלים מיוחדים‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ x n 1e x‬במקרה כזה גוזרים את ה ‪ e x‬ומתקנים את האינטגרל הקיים להיות הנגזרת שלו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 3‬‬
‫דוגמא‪3 x 2 e x  e x  C :‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x3‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪4‬‬
‫©ענת עציון‬