פונקציה טריגונומטרית הפוכה (אינו שייך לתוכנית הלימודים)

‫פונקציה טריגונומטרית הפוכה‬
‫אם נתונה הפונקציה‬
‫‪y  sin x‬‬
‫הפונקציה ההפוכה תיכתב‬
‫‪x  arcsin y‬‬
‫(במחשבון ‪) sin 1‬‬
‫אנו נסתכל על פונקציה (הפוכה)‬
‫נתונה פונקציה‬
‫את‬
‫‪y  arcsin u‬‬
‫‪y  arcsin x‬‬
‫כאשר )‪ u=f(x‬גזירה‬
‫‪ u‬נוכל להביע‬
‫‪u  sin y‬‬
‫‪du du dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx dy dx‬‬
‫אנו מכירים את כלל השרשרת‬
‫נגזור‬
‫‪du‬‬
‫‪ cos y‬‬
‫‪dy‬‬
‫נציב בכלל השרשרת‬
‫‪dy‬‬
‫‪1 du‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx cos y dx‬‬
‫נחלץ את‬
‫מהטריגונומטריה ידוע‬
‫‪dy‬‬
‫‪du‬‬
‫‪ cos y‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪sin 2  cos 2  1‬‬
‫נציב את ‪ u‬ונקבל‬
‫נציב ב‪ 1‬ונקבל את הנגזרת‬
‫לכן‬
‫‪1:‬‬
‫‪cos y  1  sin 2 y‬‬
‫‪cos y  1  u 2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1  u 2 dx‬‬
‫באותו אופן נעשה לגבי שאר הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות‬
‫‪y  arccos u‬‬
‫ונקבל‬
‫וכן‬
‫‪dy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1  u dx‬‬
‫‪y  arctan u‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪1 du‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx 1  u 2 dx‬‬
y  arc cot u
dy
1 du

dx
1  u 2 dx
:‫דוגמאות‬
‫ נתון‬.1
y  arcsin( 2 x  1)
du
2
dx
‫והנגזרת‬
u  2x  1
dy
1
du
1


*2
dx
1  u 2 dx
1  (2 x  1) 2
dy

dx
‫נקבל‬
1
‫נקבל‬
x  x2
y  arc cot(3x 2 )
du
 6x
dx
‫נציב‬
‫והנגזרת‬
dy
1 du
1
6x


* 6x 
2
2
dx
1  u dx 1  (3x )
1  9x 4
‫לאחר פיתוח‬
‫ נתון‬.2
u  3x 2
‫נציב‬
‫נציב ונקבל‬