דף סיכום נוסחאות בטריגונומטריה

‫ריכוז נוסחאות וזהויות בטריגונומטריה‬
‫זהויות טריגונומטריות‬
:‫לידתם של הטנגנסט והקוטנגס‬
sin 
.1
tan  
cos 
cos 
.2
cot  
sin 
:‫זהות פיתגורס וגירסאותיה‬
sin 2   cos2 a  1 .1
sin 2   1  cos2 a ‫או‬
cos2   1  sin 2 a ‫או‬
:‫עולם הטנגנסים והקוטנגנסים‬
1
.2
1  tan 2  
cos 2 
1
.3
1  cot 2  
sin 2 
tan  90     cot a .3
cot  90     tan a .4
tan  cot   1 .1
1
‫או‬
cot 
1
‫או‬
cot  
tan 
tan  
:‫זהויות משולש ישר זווית‬
sin  90     cos a .1
cos  90     sin a .2
: 180 -‫זווית משלימה ל‬
sin 180     sin  .1
:‫זווית שלילית‬
sin( )   sin  .1
cos 180     cos  .2
cos( )  cos  .2

tan 180
tan 180

     tan  .3
     tan  .4
tan( )   tan .3
cos(   )  cos  cos   sin  sin  .3
:‫סכום והפרש של זוויות‬
sin(   )  sin  cos   sin  cos  .1
cos(   )  cos  cos   sin  sin  .4
sin(   )  sin  cos   sin  cos  .2
2 tan
tan 2 
.3
1  tan 2 
cot 2   1
cot 2 
.4
2 cot 
cot( )   cot  .4
:‫זווית כפולה‬
sin 2  2 sin  cos .1
cos 2  cos2   sin 2  .2
cos 2  2cos2   1
cos 2  1  2sin 2 
1
‫או‬
‫או‬
‫© כל הזכויות שמורות לבית הספר של יואל גבע‬
‫ריכוז נוסחאות וזהויות בטריגונומטריה‬
‫סכום והפרש של פונקציות – ‪ 4‬השמנות‪:‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪sin   sin   2sin ‬‬
‫‪ cos ‬‬
‫‪ .1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪cos   cos   2cos ‬‬
‫‪ cos ‬‬
‫‪ .3‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪sin   sin   2sin ‬‬
‫‪ cos ‬‬
‫‪ .2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪       ‬‬
‫‪cos   cos   2sin ‬‬
‫‪ sin ‬‬
‫‪ .4‬‬
‫‪ 2   2 ‬‬
‫משוואות טריגונומטריות‬
‫פתרונות מיוחדים של סינוס‪:‬‬
‫פתרון המשוואה ‪ sin x  1‬הוא‪x  90  360 k :‬‬
‫פתרון המשוואה ‪ sin x  0‬הוא‪x  180 k :‬‬
‫פתרון המשוואה ‪ sin x  1‬הוא‪x  90  360 k :‬‬
‫פתרון בסיסי של סינוס‪:‬‬
‫‪sin x  sin ‬‬
‫‪x    360 k‬‬
‫‪x  180    360 k‬‬
‫פתרונות מיוחדים של קוסינוס‪:‬‬
‫פתרון המשוואה ‪ cos x  1‬הוא‪x  360 k :‬‬
‫פתרון המשוואה ‪ cos x  0‬הוא‪x  90  180 k :‬‬
‫פתרון המשוואה ‪ cos x  1‬הוא‪x  180  360 k :‬‬
‫פתרון בסיסי של קוסינוס‪:‬‬
‫‪cos x  cos ‬‬
‫‪x    360 k‬‬
‫‪x    360 k‬‬
‫פתרון בסיסי של טנגנס‪:‬‬
‫‪tan x  tan ‬‬
‫‪x    180 k‬‬
‫זוויות שכדאי לזכור בעל פה‪:‬‬
‫‪90‬‬
‫‪60‬‬
‫‪45‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ( ‬הזווית )‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos ‬‬
‫לא מוגדר‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫לא מוגדר‬
‫‪cot ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לבית הספר של יואל גבע‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ריכוז נוסחאות וזהויות בטריגונומטריה‬
‫נוסחאות בטריגו גיאומטרי‪:‬‬
‫משולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ a‬ניצב מול‬
‫‪ .1‬‬
‫יתר‬
‫‪c‬‬
‫‪ b‬ניצב ליד‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪ .2‬‬
‫יתר‬
‫‪c‬‬
‫‪ a‬ניצב מול‬
‫‪tan  ‬‬
‫‪ .3‬‬
‫‪ b‬ניצב ליד‬
‫יתר‬
‫‪c‬‬
‫‪sin  ‬‬
‫‪‬‬
‫ניצב‬
‫מול‬
‫‪a‬‬
‫ניצב ליד ‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫משפט הסינוסים והקוסינוסים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משפט הסינוסים‪ 2 R :‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫משפט הקוסינוסים‪c 2  a 2  b 2  2ab cos  :‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫שטח משולש‪:‬‬
‫‪ah‬‬
‫‪ .1‬לפי גובה ובסיס‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  b sin ‬‬
‫‪ .2‬לפי שתי צלעות והזווית ביניהן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a 2 sin  sin ‬‬
‫‪.S ‬‬
‫‪ .3‬לפי ‪ 3‬זוויות וצלע אחת‪:‬‬
‫‪2 sin ‬‬
‫‪ .4‬לפי רדיוס המעגל החוסם‪ – R( S  2R 2 sin  sin  sin  :‬רדיוס המעגל החוסם)‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לבית הספר של יואל גבע‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬