docאוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה חדו א להנדסת מכונות 201–1
download 
Report Transcription
אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה חדו א להנדסת מכונות 201–1
אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה
חדו״א להנדסת מכונות – (201–1–9711) 1סמסטר א׳ תשע״ה
תרגיל – 1פתרונות
) .1א( )− cos(x
)ב( )− sin(x
)ג( )− sin(x
)ד( ) − sin(xכאשר
kπ
2
=.k ∈ Z ,x 6
n
) .n! < (n+1בסיס האידוקציה :כאשר ,n = 2
) .2ג( נוכיח באינדוקציה שלכל n > 1מתקיים כי
2
2
.2 = 2! < 32הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור n > 1מסויים ,נוכיח עבור ,n + 1
כלומר נוכיח כי
(n+2)n+1
2
< !).(n + 1
(n + 1)n
(n + 1)n+1
(n + 2)n+1
=
<
2
2
2
· )(n + 1
הנחת האינדוקציה
<
!(n + 1)! = (n + 1) · n
וזה מוכיח את הטענה.
n+1 n
2
≤ ! .nבסיס האידוקציה :כאשר ,n = 2
)ד( נוכיח באינדוקציה שלכל n > 1מתקיים כי
.2 = 2! < ( 23 )2 = 94הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור n > 1מסויים ,נוכיח עבור
n+1
.(n + 1)! < n+2קודם כל ,נובע משאלה מס׳ 2סעיף א׳ )שנקרא
,n + 1כלומר נוכיח כי
2
1
x = n+1שמתקיים כי
אי־שיוויון ברנולי( כאשר
1
= 2.
n+1
אזי
(n + 1)n+1
=
2n
n+1
· )> 1 + (n + 1
n
n+1
2
· )(n + 1
1
n+1
1+
הנחת האינדוקציה
<
n+1
=
n+2
n+1
!(n + 1)! = (n + 1) · n
ונובע מהאי־שיוויון ) (1לעיל כי
(n + 1)n+1
(n + 2)n+1
2
(n + 2)n+1
=
·
.
<
n+1
2n
2n+1
2n+1
n+2
n+1
לכן
n+2 n+1
2
< !) (n + 1והטענה הוכח.
— .3
√ √
) .4א( ][− 2, 2
)ב( ] [ 61 , 14
)ג( )(−2.3, −1.7
)ד( )∞ (−∞, −5) ∪ (15,
)ה( ) (−∞, − 12
)ו( ][−5, 5
) .5א( ][−2, 2
)ב( ](−∞, 0
)ג( }{x ∈ R | x 6= 0
)ד( }{x ∈ [−1, ∞) | x 6= πk, ∀k ∈ Z
)ה( )∞ (−1,
)(1
∞
S
)ו( 4k 2 π 2 , (2k + 1)2 π 2
k=0
)ז( )[ π4 + kπ, π2 + kπ
∞
S
∞k=−
) .6א( אי זוגית
)ב( זוגית
)ג( לא זוגי ולא אי זוגי
)ד( אי זוגי
)ה( זוגי
)ו( אי זוגי
)ז( לא זוגי ולא אי זוגי
.7הרכבה־ זוגית
כפל־ אי זוגי
g(x)2זוגית
) .8א(
3
2
≤0≤y
)ב( −1 ≤ y ≤ 1
2
