docפרק 3 – עקרון האינדוקציה המתמטית - Or-Alfa
download 
Report Transcription
פרק 3 – עקרון האינדוקציה המתמטית - Or-Alfa
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
פרק – 1אינדוקציה מתמטית ורקורסיה
קבוצת המספרים הטבעיים
קיימות שתי גישות להגדרת קבוצת המספרים הטבעיים 1, 2,3,..., n,... :
.
הגישה הראשונה מגדירה אותה באופן אקסיומתי ,באמצעות אקסיומות :Peano
.1
מכילה אלמנט מיוחד ,המסומן 1 :והנקרא :אחד.
.2עבור כל מספר טבעי ,קיים מספר טבעי יחיד ,הנקרא :העוקב שלו.
.3כל מספר טבעי ,פרט ל ,1 -הוא המספר העוקב של מספר טבעי אחר.
.4שני מספרים טבעיים בעלי אותו מספר עוקב שווים ביניהם.
הגישה השניה מגדירה את קבוצת המספרים הטבעיים ( ) באמצעות קבוצת
המספרים הממשיים ( ) ,אשר מוגדרת בנפרד בקורסי חשבון אינפיניטסימלי.
הגדרות:
I נקראת :קבוצה אינדוקטיבית אם"ם מתקיימים התנאים
)1קבוצה
הבאים:
א1 I .
בx : x I x 1 I .
)2קבוצת המספרים הטבעיים ,המסומנת ב-
(הממשיים) השייכים לכל קבוצה אינדוקטיבית.
מסקנה :לכל קבוצה אינדוקטיבית Iמתקיים I :
,מורכבת מכל המספרים
.
קבוצה אינדוקטיבית.
טענה:
הוכחה :יש להראות ש 1 :וש. x : x x 1 :
עפ"י הגדרת קבוצה אינדוקטיבית ,לכל קבוצה אינדוקטיבית Iמתקיים. 1 I :
(כקבוצה המורכבת מכל המספרים הממשיים השייכים
לכן ,עפ"י הגדרת
לכל קבוצה אינדוקטיבית). 1 :
יהי x ונראה שגם . x 1 :מספיק להראות כי לכל קבוצה אינדוקטיבית I
מתקיים . x 1 I :תהי ,אפוא I ,קבוצה אינדוקטיבית כלשהי ונראה ש. x 1 I :
נשים לב כי. x I x I I is inductive x 1 I :
מסקנה:
היא הקבוצה האינדוקטיבית "הקטנה ביותר".
1
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
עקרון האינדוקציה המתמטית
I קבוצה המקיימת את שני התנאים
עקרון האינדוקציה המתמטית :תהי
הבאים:
א1 I .
בn : n I n 1 I .
אז . I
הוכחה :מתנאי המשפט נובע כי Iקבוצה אינדוקטיבית ,ולכן . I :מצד שני,
עפ"י הנתון במשפט . I :עפ"י הגדרת שוויון בין קבוצות ,נובע כי . I :
עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית :תהי P n טענה התלויה בn -
(
.) n על-מנת ש P n -תהיה נכונה לכל
, n מספיק שיתקיימו שני
התנאים הבאים:
א .בסיס האינדוקציה P 1 -נכונה;
ב .שלב האינדוקציה – לכל : n 1נכונות P n גוררת את נכונות . P n 1
הוכחה :נסמן: P n T :
. I : n ברור כי:
. I כמו כן ,עפ"י תנאי
המשפט מתקיים . 1 I n I n 1 I :לכן ,עפ"י עקרון האינדוקציה
המתמטית:
, I כלומר . n : P n T -
הערות:
ניתן להרחיב את עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית באופן הבא:
תהי P n טענה התלויה ב .) n ( n -על-מנת ש P n -תהיה נכונה לכל
, m n מספיק שיתקיימו שני התנאים הבאים:
א .בסיס האינדוקציה P m -נכונה;
ב .שלב האינדוקציה – לכל : n mנכונות P n גוררת את נכונות
. P n 1
אין כל מניעה לנסח את שלב האינדוקציה (שלב ב' בעקרון ההוכחה
באינדוקציה מתמטית) באופן הבא" :לכל : n 1נכונות P n 1גוררת את
נכונות ." P n
2
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
יש איבר
עקרון המינימום (הסדר הטוב) :בכל תת-קבוצה לא ריקה של
מינימלי (קטן ביותר).
הוכחה :על דרך השלילה -תהי A ונניח בשלילה כי ל A -אין איבר
מינימלי .נגדיר את הקבוצה הבאה , B n | a A : a n :ובמילים B :היא
קבוצת כל המספרים הטבעיים הקטנים מכל איברי .Aמהגדרת Bנובע מיידית
כי . A B :כדי להגיע לסתירה ,מספיק שנוכיח כי , B שכן מכך ינבע
מיידית ש , A :בסתירה לנתון .כדי להראות ש , B :מספיק להוכיח
(עפ"י עקרון האינדוקציה המתמטית) ש B -היא קבוצה אינדוקטיבית.
לשם כך יש להראות כי:
א - 1 B .נוכיח תחילה כי , 1 A ; 1 A :שכן אחרת 1 A -ומאחר וA -
נובע מיידית כי 1הוא האיבר המינימלי של ,Aבסתירה להנחה כי ל A -אין
איבר מינימלי; מכאן נובע מיידית כי. a A : a 1 1 B :
ב - b : b B b 1 B .יהי b Bכלשהו; לאור הגדרת הקבוצה B
מתקיים ; a A : a b a A : a b 1 :לכן ,אם , b 1 Aהרי
שמתחייב ש b 1 -הוא האיבר המינימלי של ,Aבסתירה להנחת השלילה
של A -אין איבר מינימלי; מכאן מתחייב ש ; b 1 A -מכאן נובע כי:
. a A : a b 1 b 1 A a A : a b 1 b 1 B
הערה :ניתן להוכיח בקלות ,עפ"י הגדרת איבר מינימלי (קטן ביותר) בקבוצה,
כי אם יש בקבוצה איבר מינימלי ,הרי שהוא יחיד.
עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית שלמה (מלאה) :תהי P n טענה
התלויה ב( n -
.) n על-מנת ש P n -תהיה נכונה לכל
, n מספיק
שיתקיימו שני התנאים הבאים:
א .בסיס האינדוקציה P 1 -נכונה;
ב .שלב האינדוקציה – לכל : 1 k nנכונות P k גוררת את נכונות . P n 1
הוכחה :נסמן: P n F :
. A : n ברור כי:
. A מספיק להראות כי:
. A נוכיח זאת על דרך השלילה – נניח בשלילה כי A . A :
ועפ"י עקרון המינימום (הסדר הטוב) מתחייב שיש ל A -איבר מינימלי .נסמן
איבר מינימלי זה של Aב .m -לאור היות m Aמתחייב ש . P m F -כמו כן,
עפ"י הנתון בסעיף א' במשפט . P 1 T 1 A m 1 m 2 :מכאן נובע
מיידית כי , k m : P k T :ועפ"י הנתון בסעיף ב' במשפט:
- k m : P k T P m Tסתירה! לכן ,בהכרח. A :
3
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
הערות:
ניתן להרחיב את עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית שלמה (מלאה)
באופן הבא:
תהי P n טענה התלויה ב .) n ( n -על-מנת ש P n -תהיה נכונה לכל
, m n מספיק שיתקיימו שני התנאים הבאים:
א .בסיס האינדוקציה P m -נכונה;
ב .שלב האינדוקציה – לכל : m k nנכונות P k גוררת את נכונות
. P n 1
•
אין כל מניעה לנסח את שלב האינדוקציה (שלב ב' בעקרון ההוכחה
באינדוקציה מתמטית שלמה) באופן הבא " :לכל : 1 k nנכונות P k
גוררת את נכונות ." P n
4
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
עקרון ההגדרה ברקורסיה
עקרון זה מאפשר להגדיר איבר התלוי ב-
n והמסומן ב a n -או ב, f n -
על-סמך האיברים a iאו , f i כאשר . i n :הנוסחא באמצעותה מתבצעת
הגדרה זו נקראת :נוסחת נסיגה.
דוגמאות:
הגדרה רקורסיבית של קבוצה :להגדרה זו שני מרכיבים – בסיס
הרקורסיה וכלל הרקורסיה; בבסיס הרקורסיה מצהירים כי איברים
מסוימים שייכים לקבוצה המוגדרת; בכלל הרקורסיה מגדירים איברים
בקבוצה המוגדרת באמצעות איברים שכבר ידוע לגביהם כי הם שייכים
לקבוצה .למשל:
.1נגדיר באופן רקורסיבי את הקבוצה( A n : 3 | n :קבוצת כל
המספרים הטבעיים המתחלקים ב:)3 -
בסיס הרקורסיה3 A :
כלל הרקורסיהa A a 3 A :
.2נסמן ב -את קבוצת כל האותיות הקטנות באנגלית ,כלומר:
, ' a ',' b',' c ',...,' z 'וב * -את קבוצת כל המחרוזות/המילים הסופיות
המורכבות מאותיות אנגליות קטנות (איברי .) כמו כן ,נגדיר פעולת
שרשור (הצמדה) בין שתי מילים/מחרוזות ,ונסמנה ב , -כך ש:
". "hello" "dear" "hellodear" , "dear" "hello" "dearhello
נגדיר באופן רקורסיבי את הקבוצה *:
בסיס הרקורסיה( * :כל אות היא מילה/מחרוזת).
כלל הרקורסיה( * * * :עבור כל שתי
מילים/מחרוזות ב , * -גם המילה/המחרוזת המתקבל משרשורן היא
איבר ב). * -
הגדרה רקורסיבית של פונקציה :להגדרה זו אותם שני מרכיבים כשל
ההגדרה הרקורסיבית של קבוצה – בסיס הרקורסיה וכלל הרקורסיה;
תהי Bקבוצה כלשהי ותהי f : Bפונקציה; הגדרה רקורסיבית של f
כוללת ,כאמור ,את:
בסיס הרקורסיה :קביעת הערכים , f 1 ,f 2 ,f 3 ,...,f k :כאשר k
כלשהו;
כלל הרקורסיה :הגדרת f n לכל , n kבאמצעות ערכים "קודמים" של
הפונקציה( f 1 ,f 2 ,f 3 ,...,f k ,...,f n 1 :חלקם או כולם); למשל:
.1נגדיר בצורה רקורסיבית את הפונקציה, f n 3n :
0
הבא:
בסיס הרקורסיה( f 0 1 :אכן) 3 1 :
0
כלל הרקורסיה( n 0 : f n 3 f n 1 :אכן) 3n 3 3n 1 :
5
f :באופן
רפאל ברכאן
תשע"ג,2 מתמטיקה בדידה
: נוסחת הנסיגה המתארת את סדרת פיבונאצ'י היא.2
f 0 1 , f 1 1 :בסיסי הרקורסיה
n 1: f n f n 1 f n 2 :כלל הרקורסיה
: f 5 את, למשל,נחשב
f 5 f 4 f 3 f 4 f 3f 2 f 3 f 2 f 2 f 1
f 3 f 2 f 1
f 3 2f 2 f 1 f 3f 2 f 1 f 2 f 1 2 f 1 f 0 f 1
f 2 f 1 f 0
f 0f 11 f 2 6 f 2 f 1f 0 f 1 f 0 6 f 0 f 1 1 2 6 8
n
Sn x i : x1 x 2 x 3 ... x n : נציג באופן רקורסיבי את הסכום.3
i 1
:באופן הבא
0
) x i : 0 : (כלומרS0 0 :בסיס הרקורסיה
i 1
n
n 1
i 1
i 1
) x i x i x n : (אכןn 0 : Sn Sn1 x n :כלל הרקורסיה
n
Pn x i : x1 x 2 x 3 ... x n : נציג באופן רקורסיבי את המכפלה.4
i 1
:באופן הבא
0
) x i : 1 : (כלומרP0 1 :בסיס הרקורסיה
i 1
n
n 1
i 1
i 1
) x i x i x n : (אכןn 0 : Pn Pn1 x n :כלל הרקורסיה
6
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
שימושים לעקרון האינדוקציה המתמטית
דוגמאות אלגבריות:
n 2 n 1
.1טענה:
n :1 2 3 ... n
4
הוכחה :באינדוקציה על .n
2
2
1 1 1
. 13
בסיס האינדוקציה – עבור 1 : n 1
4
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל , n 1 ( n -כלומר:
2
n 2 n 1
) 13 2 3 33 ... n 3 ונראה נכונות ל( n 1 -כלומר:
4
2
2
n 1 n 2
3
3
3
3
3
.) 1 2 3 ... n n 1 עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א):
4
2
2
n n 1
; 13 2 3 33 ... n 3 לכן ,מספיק להוכיח (מ"ל) כי:
4
2
3
3
3
3
n 2 n 1
n 1 n 2
3
. n :אכן:
n 1
4
4
2
2
2
2
2
2
n n 1
n 1 2
n 1
n 1 n 2
3
2
n 4n 4
n 1
n 4n 1
4
4
4
4
2
2
2
1 1
1
1
.2טענה 2 ... n 1 n :
2 2
2
2
הוכחה :באינדוקציה על .n
:
n
1
1 1
בסיס האינדוקציה – עבור 1 : n 1
2
2 2
.
1 1
1
1
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל , n 1 ( n -כלומר) 2 ... n 1 n :
2 2
2
2
1 1
1
1
1
ונראה נכונות ל( n 1 -כלומר .) 2 ... n n1 1 n1 :עפ"י הנחת
2 2
2
2
2
1 1
1
1
האינדוקציה (ה"א) ; 2 ... n 1 n :לכן ,מספיק להוכיח (מ"ל) כי:
2 2
2
2
1
1
2 1
1
1
1
1
. n :1 n n 1 1 n 1אכן. 1 n n1 1 n1 1 n1 :
2
2
2
2
2
2
2
7
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.3טענה3 n : 2n 1 2n :
הוכחה :באינדוקציה על . 3 n
3
בסיס האינדוקציה – עבור . 7 2 3 1 2 8 : n 3
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) 2n 1 2n , n 3 ( n -ונראה נכונות לn 1 -
( .) 2 n 1 1 2n1עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א):
. 2n 1 2n 2 2n 1 2 2n 4n 2 2n1לכן ,מספיק להוכיח (מ"ל) כי:
. 3 n : 2 n 1 1 4n 2אבל ,אי-השוויון 2 n 1 1 4n 2 :שקול לאי-
1
השוויון , 2n 1 :ששקול לאי-השוויון:
2
, n שאכן נכון לכל
.3 n
.4טענה2 n : 3n 1 3n :
הוכחה :באינדוקציה על . 2 n
2
בסיס האינדוקציה – עבור . 7 3 2 1 3 9 : n 2
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) 3n 1 3n , n 2 ( n -ונראה נכונות לn 1 -
( .) 3 n 1 1 3n1עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א):
. 3n 1 3n 3 3n 1 3 3n 9n 3 3n1לכן ,מספיק להוכיח (מ"ל) כי:
. 2 n : 3 n 1 1 9n 3אבל ,אי-השוויון 3 n 1 1 9n 3 :שקול לאי-
1
השוויון , 6n 1 :ששקול לאי-השוויון:
6
, n שאכן נכון לכל
.2 n
.5אי-שוויון ברנולי :יהי x 1מספר ממשי נתון ,אז:
n
. n : 1 x 1 nx
הוכחה :באינדוקציה על .n
בסיס האינדוקציה – עבור . 1 x 1 x 1 x : n 1
1
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) 1 x 1 nx , n 1 ( n -ונראה נכונות ל-
n
1 n 1 x ( n 1
n 1
.) 1 x עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א):
1 x 1 nx 1x0 1 x 1 x 1 nx 1 x
n 1
n 1
1 x 1 nx x nx 2 1 x 1 n 1 x nx 2
לכן ,מספיק להוכיח (מ"ל) כי. n :1 n 1 x nx 2 1 n 1 x :
אבל ,אי-השוויון 1 n 1x nx 2 1 n 1x :שקול לאי-השוויון, nx 2 0 :
n
שאכן נכון לכל
n
.n
8
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
1
.6טענה :יהי 0 x 1מספר ממשי נתון ,אז:
1 xn
הוכחה :באינדוקציה על .n
: 1 x
. n
n
1
בסיס האינדוקציה – עבור 1x 0 1 x 2 1 x 2 0 : n 1
1 x
(כי נתון.) 0 x 1 :
1
n
) 1 x ונראה נכונות ל-
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל, n 1 ( n -
1 xn
1
n 1
.) 1 x עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א):
( n 1
1 x n 1
1 x וזה נכון
1
1
1 x
n
n 1
1x0 1 x 1 x 1 x
1 x
1 xn
1 xn
1 xn
1 x
1
. n :
לכן ,מספיק להוכיח (מ"ל) כי:
1 xn 1 x n 1
. 1 x
n
1 x
1
1 x
1
שקול לאי-השוויון:
אבל ,אי-השוויון:
1 xn 1 x n 1
1 xn 1 xn x
,
ששקול לאי-השוויון , 1 x 1 xn x 1 xn :ששקול לאי-השוויון:
, 1 xn x x x 2n x 2 1 xnששקול לאי-השוויון x 2 (n 1) 0 :שאכן נכון
לכל . n
.7טענהn : 3 | n3 n :
הוכחה :באינדוקציה על .n
3
בסיס האינדוקציה – עבור 3 |1 1 3 | 0 : n 1וזה נכון.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) 3 | n3 n , n 1 ( n -ונראה נכונות לn 1 -
( .) 3 | n 1 n 1נתבונן בביטוי . n 1 n 1 :נשים לב כי:
3
n 3 3n 2 3n 1 n 1
3
n 1 n 1 a b a 3a b3ab b
3
3
2
2
3
3
n 3 n 3n n 1
הסכום הסופי מתחלק (ללא שארית) ב ,3 -שכן המחובר השמאלי מתחלק ב3 -
עפ"י הנחת האינדוקציה ואילו המחובר הימני מתחלק ב 3 -מהיותו כפולה של .3
.8טענהn : 7 | 8n 1 :
הוכחה :באינדוקציה על .n
1
בסיס האינדוקציה – עבור 7 | 8 1 7 | 7 : n 1וזה נכון.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) 7 | 8n 1 , n 1 ( n -ונראה נכונות לn 1 -
( .) 7 | 8 n 1 1נתבונן בביטוי . 8 n 1 1 :נשים לב כי:
. 8n1 1 8 8n 1 8 8n 1 7הסכום הסופי מתחלק (ללא שארית) ב ,7 -שכן
המחובר השמאלי מתחלק ב 7 -עפ"י הנחת האינדוקציה ואילו המחובר הימני
בוודאי מתחלק ב.7 -
9
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.9טענה :יהיו x yשני מספרים שלמים נתונים ,אז. n : x y | x n y n :
הוכחה :באינדוקציה על .n
בסיס האינדוקציה – עבור . x y | x y : n 1
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) x y | x n y n , n 1 ( n -ונראה נכונות ל-
.) x y | x n 1 y n 1 ( n 1נתבונן בביטוי . x n 1 y n 1 :נשים לב כי:
n 1
n 1
n
n
n
n
n
n 1
n
n
n
. x y x x y y x x y xy y x x y y x y
הסכום הסופי מתחלק (ללא שארית) ב , x y :שכן המחובר השמאלי מתחלק
ב x y -עפ"י הנחת האינדוקציה ואילו המחובר הימני מתחלק ב x y -מהיותו
כפולה של . x y
.n
.11טענה :הביטוי n 2 3n :הוא מספר זוגי לכל
הוכחה :באינדוקציה על .n
2
בסיס האינדוקציה – עבור 1 3 1 4 : n 1הוא מספר זוגי.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) n 1 ( n -ונראה נכונות ל. n 1 -
2
נתבונן בביטוי . n 1 3n 1 :נשים לב כי:
2
2
2
. n 1 3n 1 n 2n 1 3n 3 n 3n 2n 4 n 3n 2n 2
הסכום הסופי הוא מספר זוגי ,שכן המחובר השמאלי הוא מספר זוגי עפ"י הנחת
האינדוקציה ואילו המחובר הימני הוא מספר זוגי מהיותו כפולה של ,2ועל-כן
סכומם גם הוא מספר זוגי.
2
11
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
דוגמאות רקורסיביות:
.11טענה :נגדיר התאמה (פונקציה) על המספרים השלמים האי-שליליים
באופן הרקורסיבי (הנסיגתי) הבא:
, n0
1
, f n אז. n : f n 1 2 3 ... n :
n f n 1 , n 0
n
הערה :מקובל לסמן את המכפלה 1 2 3 ... n i :באמצעות ! .nלכן ,צ"ל ש:
!. n : f n n
i 1
הוכחה :באינדוקציה על .n
בסיס האינדוקציה – עבור f 1 1 1 1 : n 1וזה נכון עפ"י הנתון (בהגדרה
הרקורסיבית של הסדרה) . f 1 1 f 0 f 01 1 1 1 -
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ) f n n! , n 1 ( nונראה נכונות עבור
.) f n 1 n 1! ( n 1עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (ה"א):
!. f n 1 n 1 f n f n n! n 1 n! n 1
.12טענה :נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא:
, n 1
1
, a n אז. n : a n 3n2 n 1 :
a n 1 6 n 1 2 , n 1
הוכחה :באינדוקציה על .n
2
בסיס האינדוקציה – עבור a 1 3 1 1 1 1 : n 1וזה נכון עפ"י הנתון
(בהגדרה הרקורסיבית של הסדרה).
2
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ) a n 3n n 1 , n 1 ( nונראה נכונות
עבור .) a n1 3 n 1 n 1 1 3n 2 6n 3 n 1 1 3n 2 5n 1 ( n 1
2
עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (ה"א):
a n1 a n 6n 2 a 3n2 n1 3n 2 n 1 6n 2 3n 2 5n 1
n
.13טענה :נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא:
2
, n 1
, a n אז. n : a n 2 :
2 a n 1 , n 1
הוכחה :באינדוקציה על .n
בסיס האינדוקציה – עבור a 1 2 2 : n 1וזה נכון.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ) a n 2 , n 1 ( nונראה נכונות עבור n 1
( .) a n 1 2עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (ה"א):
a n1 2
2 a n
n 1
2 a n 2 2 a
:an 0
. a n 2 2 a n 2 2 *nכדי
להשלים את ההוכחה ,יש להוכיח כי( n : a n 0 :תרגיל).
11
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
דוגמאות "מילוליות"/שונות:
.14טענה :לכל קבוצה סופית לא ריקה של מספרים ממשיים יש מקסימום
(איבר הגדול/שווה מכל איברי הקבוצה).
הוכחה :תהי A קבוצה סופית כך ש . A a1 ,a 2 ,a 3 ,...,an :נוכיח
באינדוקציה על
A n כי יש בה מקסימום.
בסיס האינדוקציה – עבור : n 1בקבוצה A a1יש רק איבר אחד ועפ"י
הגדרת מקסימום בקבוצה ,מתחייב כי הוא גם המקסימום שלה.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) n 1 ( n -ונראה נכונות ל . n 1 -תהי ,אפוא,
A a1 ,a 2 ,a 3 ,...,an ,an1קבוצה בת n 1איברים .נתבונן בתת הקבוצה שלה
, A' a1,a 2 ,a 3 ,...,a n המונה nאיברים .עפ"י הנחת האינדוקציה ,יש בקבוצה זו
מקסימום .בלי הגבלת הכלליות (בה"כ) ,נניח כי זה . a nנשים לב כי:
. A' a n1 A A' a n1לאיתור המקסימום ב ,A -נבחין עתה בין שני
מקרים :א - a n 1 a n .מכאן ש a n :הוא המקסימום (גם) של .A
ב - a n 1 a n .מכאן ש a n 1 :הוא המקסימום של .A
בכל מקרה ,מצאנו כי ל A -יש מקסימום.
.15עקרון שובך היונים :אם מפזרים n 1יונים ב n -שובכים ,הרי שקיים
שובך אחד בו לפחות שתי יונים.
הוכחה :באינדוקציה על ( nמספר השובכים).
בסיס האינדוקציה – עבור : n 1מפזרים שתי יונים בשובך אחד והטענה
מתקיימת.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל n 1 , n 1 ( n -יונים ו n -שובכים) ונראה
נכונות ל n 2 ( n 1 -יונים ו n 1 -שובכים) .בהינתן n 2יונים וn 1 -
שובכים ,ניקח יונה אחת ונשכנה בשובך אחד .נסגור את השובך ,כך שאף יונה
אחרת לא תשוכן בו .נותרנו עם n 1יונים ,אותן יש לשכן ב n -שובכים .עפ"י
הנחת האינדוקציה ,קיים שובך אחד מבין nהשובכים הללו שבו ישוכנו לפחות
שתי יונים .לכן ,בהכרח קיים שובך אחד מבין n 1השובכים שהיו מלכתחילה
בו לפחות שתי יונים.
.16טענה :כל מספר טבעי הגדול או שווה ל 2 -ניתן להצגה כסכום של
הספרות 2ו 3 -בלבד( .הנחה :יש "אספקה בלתי מוגבלת" של הספרות הנ"ל).
הוכחה :באינדוקציה על ( n 2המספר הטבעי).
בסיס האינדוקציה – עבור : n 2מספיקה ספרה אחת של .2
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל , n 2 ( n -כלומר n -ניתן להצגה כסכום של
הספרות 2ו 3 -בלבד) ונראה נכונות ל n 1 ( n 1 -ניתן להצגה כסכום של
הספרות 2ו 3 -בלבד) .נבחין בין שני מקרים:
א .בהצגה של nכסכום של הספרות 2ו 3 -הופיעה הספרה 3לפחות פעם
אחת – נחליפה בשתי ספרות של ,2לקבלת המספר . n 1
ב .בהצגה של nכסכום של הספרות 2ו 3 -לא הופיעה הספרה 3אפילו לא
פעם אחת ,משמע כל הספרות בהצגה היו – 2נחליף ספרה אחת של 2
בספרה אחת של ,3לקבלת המספר . n 1
12
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.17משפט :סכום הזויות במצולע קמור בעל nצלעות (מצולע שכל אלכסוניו
נמצאים בתחומו) הוא. 180 n 2 :
הוכחה :באינדוקציה על ( n 3מספר צלעות המצולע הקמור).
בסיס האינדוקציה – עבור : n 3במשולש (שהוא מצולע קמור) ,עפ"י משפט
יסודי בגיאומטריה ,סכום הזויות הוא . 180
שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל ) n 3 ( n -ונראה נכונות ל( n 1 -כלומר,
נראה כי סכום הזויות במצולע קמור בעל n 1צלעות הוא.) 180 n 1 2 :
בהינתן מצולע קמור בעל n 1צלעות ,הרי שיש בו לפחות 4צלעות (כי:
.) n 1 4נתבונן ב 3 -קודקודים סמוכים שלו ונסמנם ב B ,A -ו .C -בלי הגבלת
הכלליות ,נניח כי Bסמוך ל A -ול ,C -כך ש A -ו C -אינם קודקודים סמוכים.
נעביר את הקטע .AC :באופן זה נוצר משולש ,ABCכך שהמצולע בעל n 1
הצלעות מורכב משני מצולעים ,אשר להם רק צלע אחת משותפת – .ACשני
המצולעים שנוצרו הם המשולש ABC :ומצולע (קמור) בעל n 1 2 1 n
צלעות .עפ"י הנחת האינדוקציה ,במצולע (קמור) בעל nהצלעות ,סכום הזויות
הוא . 180 n 2 :נוסיף לכך את סכום הזויות במשולש ABCונקבל את סכום
הזויות במצולע (הקמור) בעל n 1הצלעות:
. 180 n 2 180 180 n 1 180 n 1 2
.18משפט :אם Aהיא קבוצה סופית בת nאיברים ( nשלם אי-שלילי) ,אז
קבוצת החזקה שלה , PA ,מכילה 2 nאיברים.
בשפת תחשיב היחסים. n 0 : A n P A 2n :
הוכחה :באינדוקציה על ( n 0מספר איברי הקבוצה .)A
בסיס האינדוקציה – נבדוק שהטענה נכונה עבור : n 0
אם , n 0אז , A ולכן . P A -כלומר ,קבוצת החזקה של Aמכילה
איבר אחד בלבד ,ואכן( 1 2 0 :כלומר ,הטענה נכונה עבור .) n 0
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור , n 0 ( nכלומר -נניח כי בקבוצת החזקה
של קבוצה סופית בת nאיברים יש 2 nאיברים); נרצה להוכיח נכונות עבור n 1
(כלומר ,תהי Aקבוצה בת n 1איברים ,ונרצה להוכיח כי.) PA 2 n 1 :
תהי ( A a1,a 2 ,a 3 ,...,a n ,a n1קבוצה המונה n 1איברים) .נגדיר את הקבוצות
הבאות( . A2 : {B: B A a n B} , A1 : {B: B A a n B} :במילים A1 :הוא
אוסף כל תת-הקבוצות של ,Aשאינן מכילות את a nכאיבר; A 2הוא אוסף כל
תת-הקבוצות של ,Aהמכילות את a nכאיבר ).נשים לב כי:
A1 A2 .1
A1 A2 P A .2
[שכן לכל תת-קבוצה של ,Aשהיא איבר ב , PA -מתקיימת אחת ורק אחת
מהאפשרויות הבאות :או שהיא אינה מכילה את a nכאיבר ואז היא ב , A 1 -או
שהיא מכילה את a nכאיבר ואז היא ב]. A 2 -
13
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.3
רפאל ברכאן
, A1 A 2או במילים אחרות :מספר הקבוצות (האיברים) ב A 1 -שווה
למספר הקבוצות (האיברים) ב , A 2 -שכן אפשר לקבל כל קבוצה ב A 2 -ע"י
הוספת a nלכל אחת מהקבוצות ב( . A 1 -בשפה מתמטית אומרים כי ישנה
התאמה/פונקציה חד-חד ערכית ועל בין שתי הקבוצות:
). f : A1 A2 , B A1 : f B B an
מעובדות 1ו 2 -לעיל ועל-סמך עקרון הסכום בקומבינטוריקה נובע כי:
. P A A1 A2אם נוסיף לכך את עובדה ,3נקבל. P A 2 A1 :
עתה ,נשים לב כי A 1היא ,למעשה ,קבוצת החזקה של הקבוצה, A \ a n :
המונה nאיברים ועפ"י הנחת האינדוקציה מתקיים, P A \ a n A1 2n :
ולכן , PA 2 A1 2 2 n 2 n 1 -כפי שנתבקשנו להוכיח.
.19משפט :קבוצת המספרים הראשוניים היא אינסופית.
הוכחה :נוכיח טענה שקולה למשפט ,האומרת כי לכל n יש לפחות n
מספרים ראשוניים השונים זה מזה .נעשה זאת באינדוקציה על .n
בסיס האינדוקציה – עבור : n 1יש לפחות מספר ראשוני אחד ,למשל .2
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור , n 1 ( nכלומר -נניח כי יש לפחות n
מספרים ראשוניים השונים זה מזה ) p1 , p2 , p3 ,..., pn :ונראה נכונות עבור n 1
(כלומר ,נראה כי יש לפחות n 1מספרים ראשוניים השונים זה מזה).
n
נתבונן במספר . q : pi 1 p1 p 2 p 3 ... p n 1 :נבחין בין שני מקרים:
i 1
א q .מספר ראשוני – סיימנו ,שכן מצאנו מספר ראשוני "חדש" ,ובצירוף הנחת
האינדוקציה נקבל שיש בידינו לפחות n 1מספרים ראשוניים שונים.
ב q .אינו מספר ראשוני – ל q -יש פירוק למספרים/לגורמים ראשוניים (נוכיח
זאת בהמשך) ומעצם הגדרתו הוא אינו מתחלק באף אחד מהמספרים
הראשוניים( p1 , p2 , p3 ,..., pn :כל חלוקה כזו תותיר תמיד שארית ;)1לכן,
בפירוק של qלגורמים ראשוניים יש לפחות מספר ראשוני "חדש" אחד -
; p n 1עתה ,שוב בצירוף הנחת האינדוקציה נקבל שיש בידינו לפחות n 1
מספרים ראשוניים שונים.
14
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.21טענה :לכל ) n ( nמספרים ממשיים חיוביים a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n :המקיימים
את התנאי , a 1 a 2 a 3 ... a n 1 :מתקיים. a 1 a 2 a 3 ... a n n :
הוכחה :באינדוקציה על ( nמספר המספרים).
בסיס האינדוקציה – עבור . a1 1 a1 1 1 : n 1
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ( nכלומר:
) a1 a 2 a 3 ... a n 1 a1 a 2 ... a n nונראה נכונות עבור ( n 1כלומר:
.) a1 a 2 ... a n a n1 1 a1 a 2 ... an an1 n 1במילים אחרות ,נרצה
להוכיח ש. a1 a 2 ... a n1 a1 a 2 ... a n1 a n a n1 n 1 :
אבל:
a1 a 2 a 3 ... a n a n1 1 a1 a 2 a 3 ... a n a n 1 1
a1 a 2 ... a n1 a n a n1 n a1 a 2 ... a n1 a n a n 1 1 n 1
כלומר ,עפ"י הנחת האינדוקציה. a1 a 2 ... a n 1 a na n 1 1 n 1 :
לכן ,מספיק להוכיח כי. a n a n 1 a n a n 1 1 :
אלא שאי-שוויון זה שקול לאי-השוויון . a n 1 a n1 1 0 :מכיוון שהסדר של
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n , a n 1אינו חשוב ,ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות ,כי a nהוא
הקטן ביותר ואילו a n 1הוא הגדול ביותר ,ואז , a n 1 , a n1 1 :ומתקבל ש:
. a n a n 1 a n a n 1 1
דוגמאות לשימוש באינדוקציה שלמה (מלאה):
.21טענה :נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא:
, n 1
1
2
,n2
, a n 0אז. n : a n n 2n :
2a a 2 , n 2
n 1 n 2
הוכחה :באינדוקציה שלמה (מלאה) על .n
בסיסי האינדוקציה – עבור a1 1 2 1 1 , a 2 2 2 2 0 : n 1,2וזה נכון
עפ"י הנתון (בהגדרה הרקורסיבית של הסדרה).
2
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור כל kהמקיים) a k k 2k ( 2 k n :
2
2
ונראה נכונות עבור .) a n1 n 1 2 n 1 n 2 1 ( n 1עפ"י הנתון והנחת
2
האינדוקציה (ה"א):
a n 1 2a n a n 1 2 2 n 2 2n n 1 2 n 1 2
2
2n 4n n 2n 1 2n 2 2 n 1
2
2
2
, n 0,1
1
. an
.22תרגיל :נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא:
2a n 1 a n 2 , n 1
א .הוכיחו באינדוקציה כי. n 0 : 2 | a n :
ב .הוכיחו באינדוקציה כי 1 2 :
n
n
1
1 2
2
15
0 : a n
. n
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
פתרון:
א .נוכיח באינדוקציה שלמה (מלאה) על . n 0
בסיסי האינדוקציה – עבור . a 0 1 2 | a 0 , a1 1 2 | a1 : n 0,1
שלב האינדוקציה -נניח נכונות עבור כל kהמקיים 1 k n :ונראה נכונות
עבור . n 1עפ"י הנתון . n 1 n 1 2 , an1 2an an1 :נתבונן באגף ימין
של השוויון :עפ"י הנחת האינדוקציה (או עפ"י בסיס האינדוקציה אם ,) n 1
המחובר הימני הוא אי-זוגי; המחובר השמאלי הוא זוגי .סכומם תמיד אי-זוגי,
ולכן a nתמיד אי-זוגי.
ב .נוכיח באינדוקציה שלמה (מלאה) על . n 0
0
0
1
1
1 2 1 2 1 1 1
2
2
בסיסי האינדוקציה – עבור : n 0,1
1
1
1
1
a1
1 2 1 2 1 1 1
2
2
וזה נכון עפ"י הנתון (בהגדרה הרקורסיבית של הסדרה).
שלב האינדוקציה -נניח נכונות עבור כל kהמקיים 1 k n :ונראה נכונות
עבור . n 1עפ"י הנתון . n 1 n 1 2 , an1 2an an1 :עפ"י הנחת
a0
האינדוקציה (או עפ"י בסיס האינדוקציה אם :) n 1
n
n
n 1
n 1
1
1
n 1: a n 1 2a n a n1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2
2
n 1
n 1
1
1
1 2
2 1 2 1 1 2
2 1 2 1
2
2
n 1
n 1
1
1
1 2
1 2 2 2 1 2
1 2 2 2
2
2
n 1
2
n 1
2
1
1
1 2
1 2 2 2 1 2
1 2 2 2
2
2
n
1
2
n 1
2
1
1
1 2
1 2 1 2
1 2
2
2
n
1
n
1
n 1
n 1
1
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
2
, n 1
1
2
, n2
. an
.23תרגיל :נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא:
, n3
3
a n 1 a n 2 a n 3 , n 3
הוכיחו באינדוקציה כי. n : a n 2n :
פתרון :באינדוקציה שלמה (מלאה) על .n
1
a1 1 a1 2 2
בסיסי האינדוקציה – עבור . a 2 2 a 2 22 4 : n 1,2,3
a 3 3 a 3 23 8
16
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור כל kהמקיים ) a k 2k ( 3 k n :ונראה
נכונות עבור .) a n1 2n1 ( n 1עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (או עפ"י בסיסי
האינדוקציה) מתקיים:
n
n
2
2
7
8
a n 1 a n a n 1 a n 2 2n 2n 1 2n 2 2n
2n 2n 2 2 n 2 n 1
2
4 4
4
.24משפט :כל מספר טבעי nהגדול מ 1 -ניתן לרישום כמכפלה של מספרים
ראשוניים.
הערה :מספר ראשוני ניתן לרישום תמיד כמכפלה של גורם ראשוני אחד – הוא
עצמו.
הוכחה :באינדוקציה שלמה (מלאה) על . n 1
בסיס האינדוקציה 2 : n 2 -הוא מספר ראשוני והוא ניתן לרישום כמכפלה של
גורם ראשוני אחד – הוא עצמו.
שלב האינדוקציה – נניח נכונות לכל 2 k nונראה נכונות ל. n 1 -
נתבונן במספר .) n 1 2 ( n 1נבחין בין שני מקרים לגביו:
א n 1 .הוא מספר ראשוני – סיימנו ,שכן הוא ניתן לרישום כמכפלה של גורם
ראשוני אחד – הוא עצמו.
ב n 1 .אינו מספר ראשוני – מכאן; p,q : n 1 p q 2 p n 2 q n :
עפ"י הנחת האינדוקציה גם pוגם qניתנים לרישום כמכפלה של מספרים
j
k
i 1
i 1
ראשוניים , p pi , q q i :ולכן גם n 1שהוא מכפלתם ניתן לרישום
j
k
i 1
i 1
כמכפלה של מספרים ראשוניים. n 1 p q pi q i :
דוגמאות לשימוש בעקרון המינימום (הסדר הטוב):
m
m
.25כזכור:
m n : r
n
n
באופן זה כמנת שני שלמים (עם מכנה שונה מ )0 -נקראת :הצגה מצומצמת
'm
r לאף מספר טבעי . n ' n
(או :שבר מצומצם) אם"ם לא ניתן לרשום:
'n
m
r הוא שבר מצומצם ,הרי ש( . 1 k : k | m k | n :ניתן
כמובן ,אם
n
להוכיח זאת בקלות על דרך השלילה – בדקו).
0 n, m : r
17
. r הצגתו של r
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
משפט :לכל מספר רציונלי יש הצגה מצומצמת יחידה.
הוכחה :באמצעות עקרון המינימום:
יהי r כלשהו .נבחין בין שני מקרים:
0
א - r 0 .ההצגה המצומצמת היחידה של rהיא( r :בדקו זאת עפ"י הגדרת
1
המושג :הצגה מצומצמת).
m
ב - r 0 .נתבונן בקבוצה הבאה . A n : r , m :למשל ,עבור
n
6
r נקבל כי . A 3,6,9,... 3n : n :נשים לב כי. A :
9
עפ"י עקרון המינימום ,יש ל A -איבר מינימלי (יחיד) – נסמנו ב. min A -
m
מכאן מתחייב שה m -בהצגה:
min A
r גם הוא יחיד.
קיבלנו ,אפוא ,שלכל מספר רציונלי יש הצגה מצומצמת יחידה.
.26משפט – תכונת הארכימדיות. a, b n : na b :
הוכחה :בדרך השלילה ,תוך שימוש בעקרון המינימום – נניח בשלילה כי:
. a, b n : na b a, b n : na b a, b n : b na 0
נתבונן בקבוצה הבאה . A b na : n :נשים לב כי( A :עפ"י
הנחת השלילה) .על-סמך עקרון המינימום ,יש ל A -איבר מינימלי (יחיד):
b maעבור m מסוים .אולם ,עפ"י הגדרת Aוהיות m 1מתחייב ש:
. b m 1 a A b ma a A
קיבלנו ש , b ma a A b ma a b ma :בסתירה להיות b ma
האיבר המינימלי (היחיד) של .A
18
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
אינדוקציה מתמטית בשירות מדעי המחשב
אינדוקציה מתמטית משמשת רבות לצורך הוכחת נכונותם של אלגוריתמים
ותוכניות במדעי המחשב.
אלגוריתם הוא מתכון לפתרון בעיה ,המכיל סט (סופי) של הוראות ידועות,
ברורות וחד-משמעיות למבצע האלגוריתם (המחשב ,למשל) ,אשר ביצוען פותר
את הבעיה .על האלגוריתם להקיף את כל האפשרויות העלולות לצוץ במהלך
פתרון הבעיה ולסיים את פעולתו לאחר מספר סופי של שלבים/פעולות.
אלגוריתם עשוי להכיל לולאה (אחת או יותר) – הוראה אחת או יותר המתבצעת
באופן רציף (מחזורי) מספר סופי של פעמים .למשל ,באלגוריתם חיפוש
מתבצעים בדרך-כלל קריאה ועיבוד רציפים של הנתונים עד שמאותר הנתון
המבוקש או עד שמגיעים לסוף רשימת הקלט .פעולות הקריאה והעיבוד
מוגדרות לרוב בתוך לולאה.
כאשר רוצים להוכיח נכונות של אלגוריתם המכיל לולאה (אחת או יותר) ,עושים
שימוש ב( loop invariant -קביעה לולאתית) שהיא תכונה/טענה כלשהי לגבי
המשתנים באלגוריתם (או בתוכנית) ,אשר נכונה לפני התחלת ביצוע הלולאה
ושומרת על נכונותה לאחר כל מחזור ביצוע של הלולאה .בפרט ,תכונה זו
(נשארת) נכונה לאחר שהלולאה מסיימת את פעולתה.
באופן זה ניתן להראות שהלולאה משיגה את יעדיה ,מספקת את הפלט הנדרש
ולכן נכונה .באמצעות אינדוקציה מתמטית ניתן להראות כי נכונות תכונה
מסוימת נשמרת באופן רציף למן הרגע בו התחילה הלולאה את פעולתה ועד
לרגע בו סיימה את פעולתה.
דוגמא :נתבונן באלגוריתם הבא ,המחשב עצרת של מספר טבעי.
(לצורך פשטות ,נתעלם מכל בדיקות התקינות של הקלט).
א .קלוט מספר טבעי .n
ב .אתחל את מונה הלולאה iל.) i 1 ( 1 -
ג .אתחל את משתנה התוצאה factorialל.) factorial 1 ( 1 -
ד .כל עוד מתקיים , i n :בצע:
ד .1קדם את מונה הלולאה ב.) i i 1 ( 1 -
ד .2הצב ב factorial -את מכפלת ערכו הקודם ב.) factorial factorial i ( i -
ה .הדפס את ערך משתנה התוצאה .factorial
נוכיח באינדוקציה כי הטענה factorial i! :היא loop invariantעבור הלולאה
הנ"ל (סעיף ד' באלגוריתם הנ"ל) ,כלומר – לאחר ביצוע המחזור ה i -של
הלולאה ,המשתנה factorialמכיל את הערך !.i
בסיס האינדוקציה :לפני תחילת הלולאה אכן מתקיים:
. i 1 factorial 1 factorial i! 1! 1
שלב האינדוקציה :נניח נכונות לכל ( i nכלומר.) 1 i n : factorial i! :
אם , i nאז הלולאה מתבצעת שוב i i 1 , factorial factorial i :ומתקיים
עפ"י ה"א (הנחת האינדוקציה). factorial factorial i 1 i! i 1 i 1! :
מכאן ש factorial i! -היא אכן loop invariantעבור הלולאה הנ"ל .בפרט ,עם
תום ביצוע הלולאה ,מתקיים factorial n! :כנדרש ,ולכן הלולאה נכונה.
19
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
אינדוקציה מתמטית ורקורסיה – מבוא -תרגיל בית מס' 1
.1הוכיחו באינדוקציה כי:
n n 1 n 2
א.
n :1 2 2 3 3 4 ... n n 1
3
n n 1 2n 1
ב.
n :12 22 32 ... n 2
6
גn :1 21 3 22 5 23 ... 2n 1 2n 2n 3 2n1 6 .
1
1
1
1
n 1
...
ד.
1 2 2 3 3 4
n 1 n n
:
2 n
(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה).
n n 1
ה.
2
וn : 2 4 6 ... 4n 2n 2n 1 .
n 1
1
2
n
n 1
:1 2 3 ... 1
2
2
2
n
(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה).
3n n 1
n : n n 1 n 2 ... 2n
ז.
2
(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה).
2
חn :13 23 33 ... n 3 1 2 3 ... n .
1 1 1
1
1
ט.
2 2 ... 2 2
2
1 2 3
n
n
(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה).
1
1
1
1 3
י.
3 n :
...
n 1 n 2 n 3
2n 5
יא5 n : n 2 2n .
:
n
.2הוכיחו באינדוקציה כי:
אn 0 : 3 | 2n1 5n .
בn 0 : 5 | 22n1 32n 1 .
גn 0 :13 | 42n1 3n2 .
ד .עבור b ,aטבעיים כלשהם ,לכל nטבעי אי-זוגי. a b | a n b n :
ה( n : 6 | n3 n .נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה).
.3יהי n ויהי xמספר המורכב מ 3n -ספרות זהות( .למשל :עבור x , n 1
יכול להיות 111או 222או 333וכן הלאה ).הוכיחו באינדוקציה כי. 3n | x :
21
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.4הוכיחו באינדוקציה כי:
10n 1 9n 10
: 3 33 333 ... 333...n times3
27
. n
.5מספרי פרמה ( )Fermat numbersהם מהצורה , Fn 2 2 1 :עבור . n 0
n
n 1
הוכיחו באינדוקציה כי: Fk Fn 2 :
. n
k 0
n 1
(תזכורת) Fk F0 F1 F2 ... Fn 1 :
k 0
, n0
1
. a n הוכיחו באינדוקציה כי:
.6א .נגדיר:
3a n 1 5 , n 0
7 3n 5
. n 0 : a n
2
, n 1
3
. a n 5 2a n 1הוכיחו באינדוקציה כי:
ב .נגדיר:
, n 1
3
. m m n : 4 a n 5
.7נתונה סדרה חשבונית שאיברה הראשון a 1והפרשה .d
א .הוכיחו באינדוקציה כי. n : a n a1 n 1 d :
ב .הוכיחו באינדוקציה כי:
2a n 1 d
: Sn a1 a 2 a 3 ... a n 1
n
2
. n
.8נתונה סדרה הנדסית שאיברה הראשון a 1ומנתה .q
א .הוכיחו באינדוקציה כי. n : a n a1 q n1 :
a1 q n 1
ב .הוכיחו באינדוקציה כי:
q 1
(לצורך פשטות ,הניחו כי). q 1 :
: Sn a1 a 2 a 3 ... a n
.9הוכיחו באינדוקציה כי: 1 n n2 n3 ... nn n :
. n
. 1 n
בהצלחה!
21
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
אינדוקציה מתמטית ורקורסיה – המשך –
תרגיל בית מס' 2
.1הוכיחו באינדוקציה כי בכל קבוצה סופית לא ריקה של מספרים ממשיים
יש מינימום (איבר הקטן/שווה מכל איברי הקבוצה).
.2הוכיחו באינדוקציה כי:
אn : p1 p2 p3 ... pn p1 p2 p3 ... pn .
בn : p1 p2 p3 ... p n p1 p2 p3 ... p n .
גAi .
דAi .
n
i 1
n
i 1
Ai
Ai
n
:
n
i 1
n
:
n
i 1
.3תהיינה n A1 , A 2 , A 3 ,..., A n :קבוצות כלשהן .הוכיחו באינדוקציה כי:
x A1A2A3...Anאם"ם xשייך למספר אי-זוגי של קבוצות מתוך:
. A1 , A 2 , A 3 ,..., A n
.4במלבן מעבירים מספר סופי של קוים ישרים ,ובכך מחלקים אותו לאזורים.
כל אחד מהקווים חותך את כל המלבן ואינו נפסק בתוכו (כלומר ,כל אחד
מהקווים מחבר 2נקודות שונות של 2צלעות שונות של המלבן) .הוכיחו
באינדוקציה כי ניתן לצבוע כל אזור כזה במלבן באחד משני צבעים ,כך
ששני אזורים הנוגעים זה בזה לאורך קטע (ולא רק נקודה בודדת) יהיו
בצבעים שונים.
.5נתונות nנקודות במישור ,כך שאף 3מהן אינן על ישר אחד .מעבירים דרך
כל 2נקודות ישר .כמה ישרים מתקבלים ? הוכיחו קביעתכם באמצעות
אינדוקציה.
.6נתון מצולע קמור בעל nצלעות .כמה אלכסונים יש בו שאינם חותכים זה
את זה ? הוכיחו קביעתכם באמצעות אינדוקציה.
22
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
, n 1
13
.7נגדיר, n 2 :
. a n 79הוכיחו באינדוקציה כי:
3a 10a , n 2
n 2
n 1
n
. n : a n 3 5n 2
.8נגדיר התאמה (פונקציה) באופן הבא:
, n 0 : f n 2f n 1 f n 2 0כאשר . f 0 f 1 1 :הוכיחו
באינדוקציה כי 0 : f n 1 1 2n :
n
. n
.9נתונה התאמה (פונקציה) הפועלת על מספרים שלמים אי-שליליים ומחזירה
מספרים רציונליים באופן הבא:
1
n 1
. n 2 : f n f n 1
f n 2 , f 1 1 , f 0 0
n
n
הוכיחו באינדוקציה כי. n 0 : 0 f n 1 :
.11נוסחת הנסיגה המתארת את סדרת פיבונאצ'י היא:
, 1 n : a n a n1 a n 2כאשר . a 0 a 1 1 :הוכיחו באינדוקציה כי
פתרון נוסחת נסיגה זו הוא :
n 1
1 5
2
n 1
1 1 5
0 : a n
5 2
. n
.11הוכיחו באינדוקציה כי. n x, y 0 : n 12 n 3x 7y :
(הדרכה :בדקו בבסיס האינדוקציה את נכונות הטענה ל-
). n 12 , n 13 , n 14
.12הוכיחו באינדוקציה כי לכל מספר טבעי הצגה בינארית יחידה ,כלומר –
הוכיחו כי לכל n קיימת סדרה יחידה של מספרים שלמים אי-שליליים:
, p1 p2 p3 ... pk 0כך ש( . n 2p1 2p2 2p3 ... 2pk :למשל :למספר
הטבעי 5יש הצגה בינארית יחידה ; 5 22 20 :למספר הטבעי 12יש הצגה
בינארית יחידה). 12 23 22 :
.13תהיינה P1, P2 , P3 ,..., Pn ,...סדרה של טענות .נניח כי מתקיימים התנאים
הבאים:
אP1 T .
בn : Pn T P2n T .
ג2 m : Pm T Pm1 T .
הוכיחו כי כל הטענות בסדרה הנ"ל נכונות.
בהצלחה!
23
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
אינדוקציה מתמטית ורקורסיה – רקורסיה –
תרגיל בית מס' 3
.1נתבונן ב 4 -הזהויות הבאות:
)(1
11
)(2
2 3 4 1 8
)(3
5 6 7 8 9 8 27
(4) 10 11 12 13 14 15 16 27 64
א .מצאו נוסחה המתארת את החוקיות של הזהויות הנ"ל.
ב .הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף א' באמצעות אינדוקציה.
1
2
3
n 1
.2נגדיר את הסדרה הבאה:
...
!2! 3! 4
!n
א .חשבו את ששת האיברים הראשונים של הסדרה.
ב .הציגו נוסחה לאיבר הכללי Snשל הסדרה.
ג .הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף ב' באמצעות אינדוקציה.
: Sn
. n
.3הגדירו באופן רקורסיבי את הקבוצות הבאות:
א .קבוצת המספרים הטבעיים
ב .קבוצת כל השלמים השליליים הזוגיים
ג .קבוצת כל המספרים הטבעיים המתחלקים ב5 -
ד .קבוצת כל המחרוזות (המילים) הסופיות הלא ריקות מעל , 'a ',' b'
אשר בכל מחרוזת כל תוי ה ,'a' -אם ישנם ,מקדימים את כל תוי ה,'b' -
אם ישנם (למשל ,המחרוזות "ab","aabbb","aaa","bbb" :נמצאות בקבוצה
זו; המחרוזות "ba","aaabaaaa" :אינן נמצאות בקבוצה זו).
.4יהיו
m 0 , n ויהי dהמחלק המשותף הגדול ביותר של m
ושל .nנסמן . d : g.c.d n, m :נגדיר זאת באופן הרקורסיבי הבא:
בסיס הרקורסיה , n : g.c.d n,0 n -כלל הרקורסיה -
. n, m : g.c.d n, m g.c.d m, n mod m
א .חשבו את . g.c.d 248,64 :כמה שלבים רקורסיביים היו בחישוב שלכם ?
ב .הוכיחו כי אכן: g.c.d n, m g.c.d m, n mod m :
. n, m
.5הפונקציה של אקרמן מוגדרת באופן הבא:
,n0
m 1
An, m An 1,1
,m0
An 1, An, m 1 , m, n 0
חשבו (באמצעות תכנית מחשב) את. A4,1 , A3,5 , A3,3 , A2,5 :
24
רפאל ברכאן
מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג
.6להלן נתונות שלוש צורות רקורסיביות להגדרת פונקציה אחת:
,n0
1
א.
f n
2 f n 1 , n 0
1
, n0
n
f n f 2
ב, n 0 2 | n .
2
2 n 1
2 f
, n 0 2 | n
2
,n0
1
n 1
ג.
f n
1 f i , n 0
i 0
מהי הפונקציה (בצורתה המפורשת) ,המיוצגת ע"י הצורות הרקורסיביות
הנ"ל ?
כמה צעדים רקורסיביים דרושים לחישוב f 10בכל אחת מהצורות
הנ"ל ?
מבחינת ההיבט של יעילות החישוב (מספר הצעדים הרקורסיביים
הנדרשים) ,איזו צורה יעילה יותר ואיזו יעילה פחות ? נמקו.
.7נגדיר קבוצה ,Dהמכילה מחרוזות המורכבות מסימני סוגריים ,),( :באופן
הרקורסיבי הבא :בסיס הרקורסיה - ( D -המחרוזת הריקה);
כלל הרקורסיה . , D D D -תהי Dמחרוזת כלשהי.
א .הוכיחו באינדוקציה כי מספר הסוגרים הימניים ב -שווה למספר
הסוגרים השמאליים ב. -
ב .הוכיחו באינדוקציה כי בכל רישא (תחילית) של מספר הסוגרים
השמאליים גדול או שווה למספר הסוגרים הימניים.
(הדרכה :הוכיחו באינדוקציה על אורך המחרוזת ). 0 -
.8תהי A 1,2,3,..., nקבוצה .מסמנים ב( S n, k -מספרי סטירלינג מסוג
שני) את מספר החלוקות של הקבוצה Aל k -תת-קבוצות לא ריקות ,זרות
בזוגות ומשלימות ( ( .) 1 k nלמשל ,החלוקות השונות של הקבוצה:
1,2, 3
1, 2,3ל 2 -תת-קבוצות ,זרות בזוגות ומשלימות הן). 2,1, 3 :
3,1, 2
, k 1, n
1
S n, k
א .הוכיחו כי:
S n 1, k 1 kS n 1, k , 2 k n 1
ב .הוכיחו ,מבלי להסתמך על סעיף קודם ,כי:
S n,2 2n1 1 )1
n n 1
)2
2
S n, n 1
בהצלחה!
25
