אלגבראות לי נילפוטנטיות ופתירות

‫אלגבראות לי נילפוטנטיות ופתירות‬
‫הגדרה יהי ‪ F‬שדה‪ .‬נאמר שמרחב וקטורי ‪ g‬הוא אלגברת לי אם מוגדרת עליו תבנית‬
‫בי־לינארית ‪ [·]· : g × g → g‬כך שלכל ‪ x, y, z ∈ g‬מתקיים‪:‬‬
‫• ‪[x, x] = 0‬‬
‫• ‪) [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0‬זהות יעקובי(‬
‫לכל אלגברה אסוציאטיבית ‪ A‬יש מבנה של אלגברת לי הנתון על ידי‪[x, y] = :‬‬
‫‪.xy − yx‬‬
‫הגדרה הומומורפיזם של אלגבראות לי הוא העתקה לינארית ‪ φ : g → h‬כך שמתקיים‬
‫])‪.∀x, y ∈ g φ([x, y]) = [φ(x), φ(y‬‬
‫הגדרה תהא ‪ g‬אלגברת לי‪ .‬לכל ‪ u, v ⊆ g‬תתי־מרחבים נסמן‬
‫}‪[u, v] = SpanF {[u, v] | u ∈ u, v ∈ v‬‬
‫נאמר שתת־מרחב ‪ a ⊆ g‬הוא אידאל אם ‪.[g, a] ⊆ a‬‬
‫תרגיל‬
‫‪ .1‬הראו שגרעין של הומומורפיזם של אלגבראות לי הוא אידאל‪ .‬הראו שתמונתו של‬
‫הומומורפיזם היא תת־אלגברת לי של הטווח‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a‬אידאל ב־‪ g‬אז מרחב המנה ‪ g/a‬הוא אלגברת לי כאשר לכל ‪ x, y ∈ g‬נגדיר‬
‫את הפעולה ‪.[x + a, y + a] = [x, y] + a‬‬
‫הגדרה הסדרה המרכזית התחתונה היא סדרת תתי־המרחבים‪:‬‬
‫]‪C 1 g = g, C 2 g = [g, g], . . . C n g = [g, C n−1 g‬‬
‫הסדרה הנגזרת היא סדרת תתי־המרחבים‪:‬‬
‫]‪D1 g = g, D2 g = [g, g], . . . Dn g = [Dn−1 g, Dn−1 g‬‬
‫‪ g‬נקראת נילפוטנטית אם קיים ‪ n‬כך ש־ ‪.C n g = 0‬‬
‫‪ g‬נקראת פתירה אם קיים ‪ n‬כך ש־ ‪.Dn g = 0‬‬
‫תרגיל‬
‫לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬תתי־המרחבים ‪ C n g‬ו־‪ Dn g‬הם אידאלים ב־‪ g‬וכן ‪.Dn g ⊆ C n g‬‬
‫הסיקו כי כל חבורה נילפוטנטית היא פתירה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‬
‫תחילה נשים לב ש־ ‪ C n+1 ⊆ C n g‬מכיוון שאם ‪ x ∈ C n+1 g‬אז‬
‫‪x = [x1 , [. . . [xn−1 , [xn , xn+1 ]]]] = [x1 , [. . . [xn−1 , x0n ]]] ∈ C n g‬‬
‫ולכן מהגדרה ‪.[g, C n g] = C n+1 g ⊆ C n g‬‬
‫נטפל ב־ ‪ .Dn‬נניח באינדוקציה ש־ ‪ Dn−1‬אידאל וכן ‪.Dn−1 ⊆ C n−1‬‬
‫כיוון ש־ ‪ Dn−1 ⊆ g, C n−1‬מתקבל‬
‫‪Dn = [Dn−1 , Dn−1 ] ⊆ [g, C n−1 ] = C n‬‬
‫וכן מזהות יעקובי ומההנחה ש־ ‪ Dn−1‬אידאל‬
‫]] ‪[g, Dn ] = [g, [Dn−1 , Dn−1‬‬
‫]]‪⊆ [Dn−1 , [g, Dn−1 ]] + [Dn−1 , [Dn−1 , g‬‬
‫] ‪= [Dn−1 , Dn−1 ] + [Dn−1 , Dn−1‬‬
‫‪= Dn‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .1‬אם ‪ g‬אבלית )‪ ([g, g] = 0‬אז ‪ g‬נילפוטנטית‪.‬‬
‫‪ .2‬אוסף המטריצות המשולשיות ממש )עם ‪ 0‬באלכסון( מסדר ‪ n × n‬מעל שדה ‪ F‬הוא‬
‫אלגברת לי נילפוטנטית‪.‬‬
‫‪ .3‬אוסף המטריצות המשולשיות הוא אלגברת לי פתירה‪.‬‬
‫ניתן לנסח את ‪ 2‬ו־‪ 3‬באופן שקול‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד ‪ n‬מעל ‪ .F‬יהי ‪ F‬דגל‬
‫מלא על ‪ ,V‬כלומר‪:‬‬
‫) ‪F = (0 ( V1 ( V2 ( · · · ( Vn−1 ( V‬‬
‫תהא )‪ n(F‬תת־האלגברה של ) ‪ End(V‬הכוללת את כל האופרטורים המקיימים ⊆ ) ‪X(Vi‬‬
‫) ‪ .X(Vi−1‬אז )‪ n(F‬נילפוטנטית‪.‬‬
‫באופן דומה‪ b(F) ,‬תת־האלגברה של ) ‪ End(V‬הכוללת את כל האופרטורים המקיימים‬
‫‪ ,X(Vi ) ⊆ Vi‬היא פתירה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫זאת כיוון שתחת קביעת בסיס ‪ B = {vi }i=1‬למרחב ‪ V‬כך ש־ ‪ ,vi ∈ Vi \ Vi−1‬מתקבל‬
‫זיהוי של )‪ n(F‬עם אלגברת המטריצות המשולשיות ממש ושל )‪ b(F‬עם אלגברת המטריצות‬
‫המשולשיות ע"י התאמת המטריצה המייצגת לפי ‪ B‬לכל אופרטור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הגדרה הצגה של אלגברת לי היא הומומורפיזם של אלגבראות לי ) ‪ρ : g → End(V‬‬
‫)כאשר ‪ V‬מרחב וקטורי ו־) ‪ End(V‬אלגברה אסוציאטיבית ביחס להרכבה(‪.‬‬
‫באופן מפורש‪ ,‬לכל ‪ X, Y ∈ g‬ו־ ‪:v ∈ V‬‬
‫))‪ρ([X, Y ])(v) = ρ(X)(ρ(Y )(v)) − ρ(Y )(ρ(X)(v‬‬
‫לרוב נשמיט את ‪ ρ‬ונכתוב פשוט )‪X(v) = ρ(X)(v‬‬
‫תרגיל‬
‫הראו שההעתקה )‪ ad : g → End(g‬כאשר לכל ‪X, Y ∈ g‬‬
‫] ‪ad(X)(Y ) = adX (Y ) = [X, Y‬‬
‫היא הצגה של ‪.g‬‬
‫פתרון‬
‫נובע מאנטי־סימטריות ומזהות יעקובי‪.‬‬
‫אלגבראות לי נילפוטנטיות‬
‫הבחנה אם ‪ X‬אופרטור נילפוטנטי על ‪ ,V‬אז ‪ adX‬אופרטור נילפוטנטי על ) ‪.End(V‬‬
‫נגדיר ‪ LX , RX‬אופרטורים על ) ‪ End(V‬על ידי‪:‬‬
‫‪LX (Y ) = XY‬‬
‫‪RX (Y ) = Y X‬‬
‫מכך ש־‪ X‬נילפוטנט על ‪ V‬נובע כי ‪ LX , RX‬נילפוטנטים על ) ‪ .End(V‬כיוון שחיבור של‬
‫נילפוטנטים המתחלפים בכפל גם הוא נילפוטנט‪ ,‬גם ) ‪ (LX − Rx‬נילפוטנט‪ .‬אבל‬
‫‪adX (Y ) = [X, Y ] = XY − Y X‬‬
‫) ‪= LX (Y ) − RX (Y ) = (LX − RX )(Y‬‬
‫משפט ‪1‬‬
‫‪ g‬נילפוטנטית ⇒⇐‬
‫‪ adX‬אופרטור נילפוטנטי לכל ‪.X ∈ g‬‬
‫משפט ‪(Engel) 2‬‬
‫תהי ) ‪ ρ : g → End(V‬הצגה של ‪ g‬כך ש־)‪ ρ(X‬נילפוטנטי לכל ‪ ,X ∈ g‬אז קיים דגל ‪F‬‬
‫ב־ ‪ V‬כך ש־)‪.ρ(g) ⊆ n(F‬‬
‫המשמעות של משפט ‪ :2‬אם לכל ‪ X ∈ g‬קיים דגל ‪ FX‬כך ש־ ‪ ρ(X)Vx,i ⊆ Vx,i−1‬אז‬
‫קיים דגל אחד שעובד במשותף לכל איברי ‪.g‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫משפט ‪2‬‬
‫= ‪ 0‬כך שלכל ‪ X ∈ g‬מתקיים‬
‫= ‪ V‬אז קיים ‪6 v ∈ V‬‬
‫תחת ההנחות של משפט ‪ ,2‬אם ‪6 0‬‬
‫‪.ρ(X)v = 0‬‬
‫נראה שמשפט ‪ 2‬גורר את משפט ‪:1‬‬
‫הוכחה אם ‪ g‬נילפוטנטית אז בבירור ‪ adX‬נילפוטנטי לכל ‪) X ∈ g‬שכן תמונת ‪(adX )n‬‬
‫חלקית ל־ ‪.(C n+1 g‬‬
‫לצד השני‪ ,‬אם ‪ adX‬נילפוטנט לכל ‪ X ∈ g‬אז ממשפט ‪ 2‬על ההצגה )‪ad : g → End(g‬‬
‫קיים דגל מלא‬
‫)‪F = (0 ( a1 ( · · · ( an = g‬‬
‫כך שלכל ‪ X ∈ g‬מתקיים ‪ .[X, ai ] = adX (ai ) ⊆ ai−1‬כלומר ‪.[g, ai ] ⊆ ai−1‬‬
‫אז באינדוקציה ‪ C m g ⊆ an−m‬ו־‪ g‬נילפוטנטית‪.‬‬
‫נראה שמשפט ‪ 0 2‬גורר את משפט ‪:2‬‬
‫הוכחה באינדוקציה על המימד של ‪ ,V‬אם קיים ‪ 0 6= v ∈ V‬כך ש־‪ ρ(X)v = 0‬לכל‬
‫‪ X ∈ g‬אז ‪ ρ‬משרה הצגה על ‪ .V¯ = V /F v‬מההנחה‪ ρ(X) ,‬נילפוטנטי על ‪ V‬לכל ‪X ∈ g‬‬
‫ובפרט‪ ρ(X) ,‬נילפוטנטי על ¯‪ V‬לכל ‪.X ∈ g‬‬
‫מהנחת האינדוקציה‪ ,‬קיים ל־ ¯‪ V‬דגל מלא‪:‬‬
‫) ¯‪F¯ = (¯0 ( V¯1 ( · · · ( V¯n−2 ( V‬‬
‫כך ש־ ¯‬
‫)‪ .ρ(g) ⊆ n(F‬התמונה ההפוכה של דגל זה תחת ההעתקה ‪ V → V /F v‬היא‬
‫) ‪F = (0 ( F v ( V1 ( · · · ( Vn−2 ( V‬‬
‫שהוא דגל מלא על ‪ V‬כך ש־)‪ ρ(g) ⊆ n(F‬כנדרש‪.‬‬
‫אם כן נוכיח את משפט ‪:0 2‬‬
‫הגדרה תהא ‪ h ( g‬תת־אלגברה‪ ,‬נגדיר את )‪ ,u(h‬המנרמל של ‪ h‬ב־‪:g‬‬
‫}‪u(h) = {X ∈ g | adX (h) ⊆ h‬‬
‫נשים לב כי )‪ u(h‬היא תת־אלגברה של ‪) g‬סגירות נובעת מזהות יעקובי( המכילה את ‪,h‬‬
‫וכן ‪ h‬אידאל בה‪ .‬למעשה זוהי תת־האלגברה הגדולה ביותר בעלת תכונות אלו‪.‬‬
‫הנחות ומסקנות המשפט עוסקות רק בתמונת ‪ g‬תחת ‪ ,ρ‬לכן מעתה נחליף את ‪ g‬בתמונתה‬
‫ונניח כי ) ‪ g ⊆ End(V‬וכל איברי ‪ g‬הם אופרטורים נילפוטנטים‪ .‬מההבחנה נובע כי לכל‬
‫‪ X ∈ g‬מתקיים כי ‪ adX‬הוא אופרטור נילפוטנטי על ‪.g‬‬
‫באינדוקציה על המימד של ‪ ,g‬נניח כי המשפט מתקיים לכל ‪ h‬תת־אלגברה ממש של ‪.g‬‬
‫‪4‬‬
‫טענה ‪ 1‬לכל ‪ h ( g‬מתקיים )‪.h ( u(h‬‬
‫הוכחה נשים לב כי ‪ h‬פועלת באמצעות העתקות נילפוטנטיות על ‪) g/h‬העתקות ה־‪(ad‬‬
‫ולכן מהנחת האינדוקציה קיים וקטור‬
‫‪¯ = X + h ∈ g/h‬‬
‫‪¯0 6= X‬‬
‫כך שעבור כל ‪ Y ∈ h‬מתקיים ¯‪¯ = 0‬‬
‫)‪ ,adY (X) + h = adY (X‬כלומר ‪.adY (X) ∈ h‬‬
‫∈ ‪ X‬ולכן בפרט‬
‫בפרט‪ ,adX (Y ) = − adY (X) ∈ h ,‬לכן )‪ .X ∈ u(h‬אולם בחרנו ‪/ h‬‬
‫‪.u(h) 6= h‬‬
‫טענה ‪ 2‬אם )‪ g 6= (0‬אז קיים אידאל ‪ h ( g‬מקו־מימד ‪ 1‬ב־‪.g‬‬
‫הוכחה תהי ‪ h ( g‬תת־אלגברה מקסימלית של ‪ .g‬אז מטענה ‪ 1‬המנרמל שלה הוא כל ‪g‬‬
‫ומהגדרת )‪ u(h‬נובע כי ‪ h‬אידאל ב־‪ .g‬נבחר שרירותית ‪ ,X ∈ g \ h‬אז לכל ‪a, b ∈ F‬‬
‫ו־‪:H1 , H2 ∈ h‬‬
‫‪[aX + H1 , bX + H2 ] = ab[X, X] + ([aX + H1 , H2 ] + [H1 , bX]) = 0 + H 0 ∈ h‬‬
‫כלומר ‪ F X +h‬היא תת־אלגברה של ‪ g‬המכילה את ‪ .h‬מכיוון ש־‪ h‬תת־אלגברה מקסימלית‬
‫נקבל כי ‪.g = F X + h‬‬
‫נקבע ‪ h‬כמובטח מטענה ‪ 2‬ונקבע איזשהו ‪ .Y ∈ g\h‬נגדיר }‪.W = {x ∈ V | h(v) = 0‬‬
‫אז ‪ W‬הוא תת־מרחב של ‪ V‬וכן ‪ Y (W ) ⊆ W‬שכן לכל ‪ v ∈ W‬מתקיים‬
‫‪HY v = Y Hv − [Y, H]v = 0‬‬
‫‪∀H ∈ h‬‬
‫כלומר‪.Y v ∈ W ,‬‬
‫מהנחת האינדוקציה על ‪ h‬נובע כי }‪ .W 6= {0‬מכיוון ש־ ‪ Y‬נילפוטנטי ו־ ‪Y (W ) ⊆ W‬‬
‫נובע כי קיים ‪ 0 6= w ∈ W‬כך ש־‪ .Y (w) = 0‬אז ‪ w‬מתאפס ע"י ‪.g = h + F Y‬‬
‫אלגבראות לי פתירות‬
‫תזכורת ־ דוגמא של אלגברת לי פתירה‪ :‬אם ) ‪ F = (Vi‬דגל מלא ב־ ‪ V‬אז‬
‫} ‪b(F) = {X ∈ End(V ) | ∀i XVi ⊆ Vi‬‬
‫משפט )‪(Lie‬‬
‫תהא ‪ g‬אלגברת לי פתירה מעל שדה סגור אלגברית ממציין ‪ .0‬תהי ) ‪ρ : g → End(V‬‬
‫הצגה של ‪ .g‬אז קיים דגל מלא ) ‪ F = (Vi‬ב־ ‪ V‬כך ש־ )‪.ρ(g) ⊆ b(F‬‬
‫‪5‬‬
‫הוכחה בדיוק כפי שהוכחנו במקרה הנילפוטנטי‪ ,‬המשפט נובע מהמשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪3‬‬
‫תחת הנחות משפט ‪ ,Lie‬אם )‪ V 6= (0‬אז קיים ‪ 0 6= v ∈ V‬שהוא וקטור עצמי של )‪ρ(X‬‬
‫לכל ‪.X ∈ g‬‬
‫נשים לב של־‪ ρ‬כמתואר‪ ,‬יש העתקה ‪ δ : g → F‬כך ש־‪.ρ(X)v = δ(X)v‬‬
‫על מנת להוכיח את משפט ‪ ,3‬תחילה נוכיח למה‪:‬‬
‫למה תהא ‪ g‬אלגברת לי מעל שדה ‪ F‬ממציין ‪ h ,0‬אידאל ב־‪ ,g‬ו־ ‪ V‬הוא מרחב וקטורי‬
‫ממימד סופי וכן ‪g‬־מודול )כלומר‪ g ,‬פועלת על ‪ V‬באמצעות הצגה(‪ .‬אם ‪ 0 6= v ∈ V‬כך‬
‫שקיימת ‪ δ : h → F‬המקיימת ‪ hv = δ(h)v‬לכל ‪ ,h ∈ h‬אז ‪ δ([X, h]) = 0‬לכל ‪h ∈ h‬‬
‫ו־‪.X ∈ g‬‬
‫הוכחה יהי ‪ X ∈ g‬כלשהו‪ ,‬נסמן }‪.Vi = SpanF {X j v | 0 ≤ j < i‬‬
‫בבירור לכל ‪ i‬מתקיים ‪ Vi ⊆ Vi+1‬ומכיוון ש־ ‪ V‬ממימד סופי‪ ,‬קיים ‪ n‬מינמלי כך ש־‬
‫‪ Vn = Vn+k‬לכל ‪ k‬טבעי‪.‬‬
‫נראה )באינדוקציה על ‪ ,(i‬שלכל ‪ 0 ≤ i ≤ n‬מתקיים שלכל ‪h ∈ h‬‬
‫) ‪hX i v = δ(h)X i v (mod Vi‬‬
‫עבור ‪ i = 0‬נקבל מההנחה ‪ hv = δ(h)v‬בדיוק‪.‬‬
‫עבור ‪:i > 0‬‬
‫‪hX i v = hXX i−1 v = XhX i−1 v − [X, h]X i−1 v‬‬
‫‪= X(δ(h)X i−1 v + v 0 ) − h0 X i−1 v‬‬
‫)‪= δ(h)X i v + (Xv 0 − δ(h0 )X i−1 v‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ v 0 ∈ Vi−1‬מתקיים ש־ ‪ Xv 0 ∈ Vi‬ולכן באמת ) ‪.hX i v = δ(h)X i v(mod Vi‬‬
‫אז ביחס לבסיס }‪ {v, Xv, . . . , X n−1 v‬למרחב ‪ Vn‬קיבלנו שאופרטור ‪ h ∈ h‬הוא משולשי‬
‫עם )‪ δ(h‬על האלכסון‪ ,‬כלומר )‪ .Tr(h|Vn ) = nδ(h‬במקרה של ‪ [X, h] ∈ h‬נקבל‬
‫)]‪nδ([X, h]) = Tr([X, h‬‬
‫)‪= Tr(Xh − hX‬‬
‫‪= Tr(Xh) − Tr(hX) = 0‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ F‬ממציין ‪ ,0‬נובע כי ‪.δ([X, h]) = 0‬‬
‫‪6‬‬
‫הוכחת משפט ‪:3‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על המימד של ‪ :g‬כיוון ש־‪ g‬פתירה‪ ,‬מתקיים ‪.Dg = [g, g] 6= g‬‬
‫נקבע ‪ h‬תת־מרחב של ‪ g‬מקו־מימד ‪ 1‬המכיל את ]‪ ,[g, g‬אז ‪ h‬אידאל ב־‪.g‬‬
‫באינדוקציה‪ ,‬קיים ‪ 0 6= v ∈ V‬ו־ ‪ δ : h → F‬כך שלכל ‪ h ∈ h‬מתקיים ‪.hv = δ(h)v‬‬
‫נגדיר את תת־המרחב‬
‫}‪W = {w ∈ V | ∀h ∈ h hw = δ(h)w‬‬
‫אז ‪ W‬איננו ריק וכן מהלמה נובע כי ‪:gW ⊆ W‬‬
‫יהיו ‪ w ∈ W‬ו־‪ X ∈ g‬אז לכל ‪ h ∈ h‬מתקיים‬
‫‪hXw = Xhw − [X, h]w‬‬
‫‪= δ(h)Xw − δ([X, h])w = δ(h)Xw‬‬
‫כלומר ‪.Xw ∈ W‬‬
‫כעת‪ ,‬יהי ‪ .X ∈ g \ h‬כיוון ש־ ‪ X : W → W‬ו־ ‪ F‬סגור אלגברית‪ ,‬יש ל־‪ X‬וקטור עצמי‬
‫‪ ,v0 ∈ W‬וזהו וקטור עצמי לכל האלגברה ‪.g = h + F X‬‬
‫הערה הדרישה במשפט שהמציין שווה ל־‪ 0‬אינה מיותרת‪ .‬למשל‪ ,‬האלגברה‬
‫‪¯ 2 ) = {A ∈ Mn (F‬‬
‫}‪¯ 2 ) | Tr(A) = 0‬‬
‫‪sl2 (F‬‬
‫היא נילפוטנטית‪ ,‬אבל בהצגה הסטנדרטית שלה על ‪¯ 2‬‬
‫‪ F‬אין וקטור עצמי משותף‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מסקנה ‪ 1‬אם ‪ g‬אלגברת לי פתירה מעל שדה סגור אלגברית ממציין ‪ ,0‬אז קיים ב־‪ g‬דגל‬
‫מלא של אידאלים‪ .‬זה נובע משימוש במשפט ‪ Lie‬להצגת ה־‪.ad‬‬
‫מסקנה אם ‪ g‬פתירה מעל שדה ‪ F‬ממציין ‪ ,0‬אז ]‪ [g, g‬נילפוטנטית‪.‬‬
‫הוכחה בטענות מסוג זה ניתן להניח שהשדה סגור אלגברית‪ ,‬כי אם ‪ F ⊆ F 0‬הרחבת‬
‫שדות ואם נסמן ‪ g0 = g ⊗F F 0‬אז ‪ g0‬היא אלגברת לי מעל ‪ F 0‬עם הפעולה‬
‫‪[X1 ⊗ f1 , X2 ⊗ f2 ] = [X1 , X2 ] × f1 f2‬‬
‫ובנוסף ‪ g‬פתירה )נילפוטנטית( אם"ם ‪ g0‬פתירה )נילפוטנטית( וכן ] ‪.[g, g]0 = [g0 , g0‬‬
‫כעת מתוצאה ‪ ,1‬קיים דגל מלא של אידאלים ‪ .(0) ( g1 ( · · · ( gn = g‬נשים לב כי‬
‫לכל ‪ i‬ולכל ‪ X ∈ g‬מתקיים ) ‪.adX ∈ End(gi /gi−1‬‬
‫‪7‬‬
‫מכך ומהעובדה ש־ ‪ End(gi /gi−1 ) = F‬היא אבלית נובע כי לכל ]‪X = [X1 , X2 ] ∈ [g, g‬‬
‫ולכל ‪¯ ∈ gi /gi−1‬‬
‫‪ G‬מתקיים‬
‫]‪¯ = [[X1 , X2 ], G‬‬
‫‪¯ = [X2 , [G,‬‬
‫]]‪¯ X1 ]] + [X1 , [X2 , G‬‬
‫¯‬
‫]‪[X, G‬‬
‫]]‪¯ − [X2 , [X1 , G‬‬
‫¯‬
‫]]‪= [X1 , [X2 , G‬‬
‫)‪¯ − adX2 adX1 (G‬‬
‫‪¯ =0‬‬
‫)‪= adX1 adX2 (G‬‬
‫כלומר ‪ .adX (gi ) ⊆ gi−1‬לכן ‪ adX‬נילפוטנטי על ‪ g‬ובפרט על ]‪ .[g, g‬הדבר נכון לכל‬
‫]‪ ,X ∈ [g, g‬ולכן זוהי אלגברת לי נילפוטנטית ממשפט ‪.Engel‬‬
‫הערה הכיוון השני ברור ‪ -‬אם ]‪ [g, g‬נילפוטנטית אז בודאי ‪ g‬פתירה‪.‬‬
‫תזכורת מאלגברה לינארית ־ פירוק ז'ורדן‬
‫יהי ‪ F‬שדה סגור אלגברית ממציין ‪ .0‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד סופי מעל ‪ .F‬איבר‬
‫) ‪ u ∈ End(V‬נקרא פשוט למחצה אם הוא לכסין‪.‬‬
‫טענה ‪ 3‬לכל ) ‪ u ∈ End(V‬קיים ויחיד זוג ) ‪ s, n ∈ End(V‬כך ש־‪ s‬פשוט למחצה ו־‪n‬‬
‫נילפוטנטי כך ש־‪ u = s + n‬וגם ‪ .sn = ns‬בנוסף‪ ,‬קיימים פולינומים ‪) S, N‬התלויים‬
‫ב־‪ (u‬ללא מקדם חופשי כך ש־‪ S(u) = s‬ו־‪.N (u) = n‬‬
‫‪Q‬‬
‫הוכחה יהי ‪ det(X − u) = (X − λi )mi‬פירוק של הפולינום האופייני של ‪ u‬למכפלת‬
‫גורמים זרים ‪ .(X − λi )mi‬נסמן ) ‪ ,Vi = ker((u − λi )mi‬אז ממשפט הפירוק הפרימרי‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫= ‪.uVi ⊆ Vi ,dimVi = mi ,V‬‬
‫‪Vi‬‬
‫נניח ש־‪ u = s + n‬הוא פירוק כמבוקש‪ ,‬כך ש־‪ .sn = ns‬מכיוון ש־‪ s‬מתחלף עם עצמו‬
‫ועם ‪ ,n‬נובע כי ‪ s‬מתחלף עם ‪ ,u‬ולכן גם עם כל פולינום ב־‪ .u‬בפרט‪:‬‬
‫‪v ∈ Vi =⇒ (u − λi )mi (s(v)) = s((u − λi )mi (v)) = 0‬‬
‫‪=⇒ s(v) ∈ Vi‬‬
‫אז ‪ .sVi ⊆ Vi‬נטען כי ל־‪ s‬ול־‪ u‬בדיוק אותם ערכים עצמיים ‪ -‬כיוון ש־)‪ (u−s‬נילפוטנטית‪,‬‬
‫נאמר מסדר ‪ ,k‬אם ‪ s(v) = λv‬אז‬
‫)‪0 = (u − s)k (v) = (u − λI)k (v‬‬
‫כלומר )‪ ker(u − λI‬אינו ריק ו־‪ λ‬הוא ערך עצמי של ‪ .u‬באופן זהה‪ ,‬כל ערך עצמי‬
‫של ‪ u‬הוא גם ערך עצמי של ‪ .s‬אם נצטמצם למרחב ‪ ,Vi‬אז כיוון שהמרחב אינווריאנטי‬
‫גם ל־‪ s‬וגם ל־‪ ,u‬נקבל מאותם שיקולים כי ל־‪ u‬ול־‪ s‬בדיוק אותם ערכים עצמיים במרחב‬
‫‪ ,Vi‬כלומר ‪ λi‬בלבד‪ .‬כיוון שצמצום של לכסין למרחב אינווריאנטי הוא לכסין‪ ,‬נסיק כי‬
‫‪.s|Vi = λi · IdVi‬‬
‫‪8‬‬
‫מן הצד השני‪ ,‬אם נגדיר בדיוק באופן זה את ‪ ,s‬נקבל כי ‪ s‬ו־)‪ n = (u − s‬מקיימים את‬
‫התכונות המבוקשות‪ ,‬שכן הן מתקיימות לצמצומים של ‪ s‬ו־‪ u‬לכל ‪.Vi‬‬
‫נגדיר בעזרת משפט השאריות הסיני את )‪ S(x‬להיות פולינום המקיים לכל ‪:i‬‬
‫‪S(X) ≡ λi (mod (X − λi )mi ) .1‬‬
‫‪S(X) ≡ 0 (mod X) .2‬‬
‫אז בודאי ‪ S(0) = 0‬ומתקיים ל־ ‪v ∈ Vi‬‬
‫‪(S(u))(v) = P (u) · (u − λi )mi (v) + λi v‬‬
‫)‪= λi v = s(v‬‬
‫כלומר ‪ .S(u) = u‬נגדיר גם )‪ N (X) = X − S(X‬ואז בבירור ‪ N (0) = 0‬וכן‬
‫‪N (u) = u − S(u) = u − s = n‬‬
‫הבחנה יהי ‪ u : V → V‬אופרטור ו־ ‪ A ⊆ B ⊆ V‬תתי־מרחבים כך ש־‪ .uB ⊆ A‬אז‬
‫לכל פולינום )‪ P (X‬בלי איבר חופשי מתקיים ‪.P (u)B ⊆ A‬‬
‫מסקנה ל־‪ u‬כמו בהבחנה‪ ,‬אם ‪ u = s + n‬פירוק כמו בטענה אז ‪ sB ⊆ A‬וגם ‪.nB ⊆ A‬‬
‫‪9‬‬