הרצאה תרגילים ־ אלגבראות לי, קייטנת קיץ 2011

‫הרצאה תרגילים ־ אלגבראות לי‪ ,‬קייטנת קיץ ‪2011‬‬
‫אסף כץ‬
‫‪15/3/11‬‬
‫‪1‬‬
‫מבוא והגדרות‬
‫נניח לצורך העניין כי ‪ G‬חבורת לי או חבורה אלגברית )חשבו על חבורה לינארית מוגדרת מעל נניח ‪.(Q‬‬
‫טורוס של חבורה כזו הינו ת"ח קשירה ואבלית‪ .‬טורוס שאיננו מוכל בטורוס אחר‪ ,‬נקרא טורוס מקסימלי‪.‬‬
‫טורוס שהינו פ"ל מעל השדה )לא בהכרח עובדים בשדה סגור אלגברית( נקרא טורוס מתפצל‪.‬‬
‫◦‬
‫מקסימלי‪.‬‬
‫מהצורה ) ‪ C =(CG (T‬עבור ‪ T‬טורוס מתפצל )!‬
‫ת"ח ‪ C < G‬נקראת ת"ח קרטן אם היא )!‬
‫? ?‬
‫וטורוס מתפצל מקסימלי הוא‬
‫דוגמא ־ עבור ‪ ,G = P GL2‬חבורת בורל היא‬
‫‪−t‬‬
‫‪e‬‬
‫?‬
‫‪et‬‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫נניח ‪ g‬אלגברת הלי של ‪ ,G‬ונניח כי ‪ L ⊂ g‬תת־אלגברה נילפוטנטית כך ש־ ‪ ,NL (g) = L‬אזי ‪ L‬תיקרא‬
‫תת־אלגברת קרטן של ‪.g‬‬
‫משפט ־ אם ‪ G‬קומפקטית ‪ ,1‬ויהיו ‪ T, T 0 < G‬טורוסים מקסימליים‪ ,‬אזי ‪ T, T 0‬צמודים‪.‬‬
‫הוכחה ־ קל להראות שחבורות קומפקטיות הן מונוטטיות‪ ,‬ולכן יש חבורה חד־פרמטרית )‪ xt = exp (tx‬צפופה‬
‫ב־ ‪ T‬ובדומה ) ‪ x0t = exp (tx0‬צפופה ב־ ‪.T 0‬‬
‫ולכן אם נצמיד את )‪ exp (tx‬ל־) ‪ exp (tx0‬נסיים‪.‬‬
‫כעת מהגדרת פעולת ה־‪ Ad‬נקבל כי‬
‫‬
‫‪a−1 = exp t · Ada x0‬‬
‫‬
‫‪a exp tx0‬‬
‫אם נמצא ‪ a‬כך ש־ ‪ a (exp (tx0 )) a−1‬יתחלף עם כל ה־)‪ ,exp (tx‬אזי ‪ a (exp (tx0 )) a−1‬יתחלף עם כל איברי‬
‫‪ ,T‬ולכן יהיה שייך ל־ ‪ ,T‬ונסיים‪.‬‬
‫ולכן בעצם הדרישה מתורגמת ברמת אלגברת הלי להיות ‪= 0‬‬
‫]‪x0 , x‬‬
‫‪.[Ada‬‬
‫נבחר ‪h, i‬מכפלה פנימית על ‪ g‬שאינווריאנטית תחת ‪) Ad‬קיימת מהטריק האוניטרי של וייל(‪.‬‬
‫נבחר ‪ a ∈ G‬כך ש־ ‪ hAda x0 , xi‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫נגדיר ‪ y = Ada x0‬ובעצם בדיקה מראה ש־‪ y‬הוא האיבר הנדרש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫גזירות‬
‫])‪δ ([y, z]) = [δ (y) , z] + [y, δ (z‬‬
‫נאמר ש־‪ δ‬היא גזירה אם ‪i‬‬
‫‪P n h‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n−k‬‬
‫= ]‪ (δ − a − b) [y, z‬עבור ‪.a, b ∈ F‬‬
‫)‪(δ − a) y, (δ − b‬‬
‫מכאן באינדוקציה מקבלים ‪z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬משפט פון־נוימן ־ חבורת לי קומפקטית היא לינארית‬
‫‪1‬‬
‫נסמן ב־)‪ ga (δ‬להיות המרחב העצמי המוכלל של ‪ δ‬עם ע"ע ‪,a‬‬
‫מסקנות ־‬
‫• ]‪ [ga , gb ] ⊂ g[a+b‬־ הוכחה ־ ישירות מהנוסחא‪.‬‬
‫• נסמן ב־)‪ s = s (δ‬להיות החלק הפ"ל של ‪ ,δ‬אזי עבור ‪ y ∈ ga , z ∈ gb‬נקבל =‬
‫]‪s (δ) [y, z] = (a + b) [y, z] = [s (δ) y, z] + [y, s (δ) z‬‬
‫• בדומה מתקיים גם עבור )‪ n = n (δ‬־ החלק הנילפוטנטי של ‪.δ‬‬
‫• )‪ [δ, adx] = ad (δx‬־ הוכחה ־ ]‪ ,[δ, adx] (u) = δ ([x, u]) − [x, δ (u)] = [δ (x) , u‬מכאן ‪Inn (g) C‬‬
‫)‪ ,Der (g‬בפרט אם ‪ g‬פ"ל נקבל כי )‪.Inn (g) = Der (g‬‬
‫• תוצאה ־ פירוק זורדן אדיטיבי ־ ‪ x = xs + xn‬ברמת אלגברת הלי‪ ,‬ברמת החבורה נקבל פירוק‬
‫זורדן־שובלי כפלי ־ ‪ g = su‬כאשר ‪ s‬פ"ל וכן ‪ u‬אוניפוטנטי‪.‬‬
‫• נניח ‪ k < g‬תת־אלגברה‪ ,‬המכילה את )‪ g0 (adx‬עבור ‪ x ∈ g‬כלשהו‪ ,‬אזי )‪ x ∈ g0 (adx‬כי כמובן‬
‫‪ ,[x, x] = 0‬ולכן בפרט ‪.x ∈ k‬‬
‫כלומר )‪ Ng (k‬נשמרת תחת ‪ adx‬מזהות יעקובי‪ ,‬מכאן ‪ adx‬פועלת על ‪ Ng (k) /k‬בלי ע"ע ‪.0‬‬
‫מצד שני‪ ,‬ברור כי ‪ [Ng (k) , x] ⊂ k‬מהגדרת הנורמליזטור‪ ,‬ולכן ‪.Ng (k) = k‬‬
‫למה עיקרית ־ תהי ‪ k ⊂ g‬תת־אלגברה‪ .‬יהי ‪ z ∈ k‬כך ש־)‪ g0 (adz‬לא מכילה ממש כל תת־אלגברה אחרת‬
‫)‪ g0 (adx‬עבור ‪ .x ∈ k‬נניח גם כי )‪.k ⊂ g0 (adz‬‬
‫אזי מתקיים כי )‪ g0 (adz) ⊂ g0 (ady‬לכל ‪ ,y ∈ k‬כלומר )‪ g0 (adz‬מינימלית‪.‬‬
‫הוכחה ־ יהי ‪ z‬כמו בלמה‪ ,‬ויהי ‪ x ∈ k‬כלשהו‪ .‬לפי ההנחה‪ x ∈ g0 (adz) ,‬וכן )‪[g0 (adz) , g0 (adz)] ⊂ g0 (adz‬‬
‫ולכן גם )‪.[x, g0 (adz)] ⊂ g0 (adz‬‬
‫ולכן גם לכל קבוע ‪ c‬נקבל כי )‪.ad (z + cx) g0 (adz) ⊂ g0 (adz‬‬
‫ולכן )‪ ad (z + cx‬פועלת על המנה )‪.g/g0 (adz‬‬
‫ולכן נפקטר את הפ"א של )‪ ad (z + cx‬כ־)‪.Pad(z+cx) (T ) = f (T, c) g (T, c‬‬
‫כאשר )‪ f (T, c‬הוא הפ"א על )‪.g0 (adz‬‬
‫נכתוב את הפולינום במפורש ־‬
‫)‪f (T, c) = T r + f1 (c) T r−1 + . . . + fr (c‬‬
‫)‪g (T, c) = T n−r + g1 (c) T n−r−1 + . . . + gn−r (c‬‬
‫כעת ‪ 0‬איננו ע"ע של ‪ adz‬על )‪ g/g0 (adz‬ולכן ‪.gn−r (0) 6= 0‬‬
‫מכאן אפשר למצוא המון ערכים עבור ‪ c‬כך ש־ ‪ gn−r (c) 6= 0‬ועבור אותם ערכי ‪ c‬נקבל כי ⊂ ))‪g0 (ad (z + cx‬‬
‫)‪.g0 (adz‬‬
‫מהמינימליות יש שיוויון ממש‪.‬‬
‫ולכן נקבל כי ‪ f (T, c) = T r‬עבור אותם ערכי ‪ ,c‬ומכאן ‪.fi = 0‬‬
‫כלומר )‪ ,g0 (ad (z + cx)) ⊃ g0 (adz‬לכל ‪.c‬‬
‫אם ניבחר ‪ ,c = 1‬וכן ‪ ,z = y − x‬נקבל את הלמה‪ .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫אלגבראות קרטן‬
‫קרטן אלגברה היא תת־אלגברה נילפוטנטית שהיא מנרמלת את עצמה )˜טורוס מקסימלי(‪.‬‬
‫בורל אלגברה היא תת־אלגברה פתירה ומקסימלית‪.‬‬
‫קל לראות את השקילות לת"ח שהגדרנו מקודם‪.‬‬
‫משפט מרכזי ־ כל שתי תתי־אלגבראות קרטן הן צמודות‪ .‬כל שתי תתי־אלגבראות בורל הן צמודות‪.‬‬
‫טענה ־ ‪ h‬היא תת־אלגברת קרטן אמ"מ )‪ ,h = g0 (adz‬כאשר )‪ g0 (adz‬לא מכילה אף תת־אלגברה ממש‬
‫מהצורה )‪.g0 (adx‬‬
‫הוכחה ־ נניח כי )‪ h = g0 (adz‬מינימלית כזו‪ ,‬אזי מהתכונה האחרונה של הגזירות‪ ,‬נקבל כי ‪,Ng (h) = h‬‬
‫ומהלמה ממקודם נקבל כי )‪ ,h ⊂ g0 (adx‬ולכן ‪ x‬פועל בצורה נילפוטנטית על ‪ h‬לכל ‪ .x ∈ g‬ממשפט אנגל‬
‫נקבל כי ‪ h‬נילפוטנטית ולכן קרטן‪.‬‬
‫כעת לכיוון השני‪ ,‬נניח כי ‪ h‬קרטן‪ ,‬מאחר ש־‪ h‬נילפוטנטית‪ ,‬נקבל כי )‪ h ⊂ g0 (adx‬לכל ‪ .x‬נבחר ‪ z‬מינימלי‬
‫ומהלמה נקבל כי )‪ g0 (adz) ⊂ g0 (adx‬ולכן ‪ h‬פועלת בצורה נילפוטנטית על ‪.g0 (adz) /h‬‬
‫אם המרחב הזה לא אפס‪ ,‬נוכל למצוא וקטור משותף שאיננו אפס‪ ,‬אבל עם ע"ע ‪ 0‬לפי משפט אנגל‪.‬‬
‫∈ ‪ y‬כך ש־‪ [y, h] ⊂ h‬בסתירה לעובדה ש־‪.Ng (h) = h‬‬
‫ולכן יהי ‪/ h‬‬
‫למה ־ אם ‪ φ : g → g0‬הומומורפיזם על ו־‪ C‬קרטן‪ ,‬אז )‪ φ (C‬גם קרטן‪.‬‬
‫למה ־ אם ‪ φ : g → g0‬הומומורפיזם על‪ ,‬ו־ ‪ C 0‬היא קרטן ב־ ‪ .g0‬אזי כל תת־אלגברת קרטן של ) ‪ φ−1 (C 0‬היא‬
‫קרטן כבר ב־‪) .g‬צריך להראות שאנחנו מתנרמלים כבר בכל ‪.(g‬‬
‫‪4‬‬
‫מקרה פתיר של המשפט המרכזי‬
‫במקרה זה‪ ,Borel (g) = g ,‬והמשפט טריוויאלי לגביו‪.‬‬
‫נשאר לוודא את המשפט המרכזי עבור הקרטן‪.‬‬
‫אם במקרה ‪ g‬נילפוטנטית‪ ,‬אז )‪ g = Cartan (g‬וסיימנו‪.‬‬
‫ולכן נמשיך באינדוקציה על מימד ‪.g‬‬
‫נניח כי ‪ h1 , h2 < g‬קרטן‪ ,‬נבחר אידיאל אבלי ‪ a C g‬ממימד מינימלי‪ ,‬ונגדיר ‪= g/a‬‬
‫‪.g0‬‬
‫מהלמה נקבל שהזיהויים תחת ההטלה ‪ hi 7→ h0i‬הן קרטן ב־ ‪.g0‬‬
‫ולכן אפשר להצמיד אותן ב־ ‪ g0‬מהנחת האינדוקציה‪.‬‬
‫נשאר להראות שאפשר להרים את ההצמדה ל־‪ .g‬נשאיר זאת לקורא הנלהב ־ ]חלק ‪ ,5.3‬למה ‪.[6‬‬
‫‪5‬‬
‫אלגבראות טורסיות וקרטן‬
‫כל תת־אלגברת קרטן היא נילפוטנטית )כי היא אבלית(‪ ,‬ולכן משוכנת באלגברת בורל כלשהו‪ .‬ולכן מספיק‬
‫להראות שאלגבראות בורל הן צמודות‪ ,‬מאחר שאחרי זה‪ ,‬משתמשים במקרה הפתיר להראות צמידות של‬
‫אלגבראות הקרטן‪.‬‬
‫מכאן והלאה ־ ‪ g‬היא אלגברה פ"ל‪ .‬אם לא‪ ,‬נחלק ברדיקל‪ ,‬מאחר שהוא שייך לכל תת־אלגברת בורל‪.‬‬
‫כמובן נניח שלא כל איברי ‪ g‬הם ‪ad‬־נילפוטנטיים‪ ,‬ולכן קיים ‪ x ∈ g‬כך ש־ ‪ x = xn + xss‬עם ‪.xss 6= 0‬‬
‫תת־אלגברה נקראת אלגברת טורוסית )‪ (Toral‬אם כל איברי הם פ"ל‪.‬‬
‫למה ־ כל תת־אלגברה טורוסית ‪ t‬היא אבלית‪.‬‬
‫הוכחה ־ האיברים )‪ ad (x‬עבור ‪ x ∈ t‬ניתנים ללכסון‪.‬‬
‫צריך להראות כי ל־)‪ ad (x‬אין ו"ע ב־‪ t‬עם ע"ע שאינם ‪.0‬‬
‫יהי ‪ y‬ו"ע כך ש־‪ ,[x, y] = ay‬אזי ‪ ad (y) x = −ay‬הוא וקטור עצמי לע"ע ‪ 0‬של )‪ ,ad (y‬דבר בלתי אפשרי‬
‫אלא אם כן ‪.ay = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫משפט מרכזי ־ ‪ h < g‬כאשר ‪ g‬היא פ"ל‪ ,‬היא אלגברת קרטן אמ"מ ‪ h‬אלגברה טורוסית מקסימלית‪.‬‬
‫נכתוב )‪ ,g = Cg (h) ⊕ gα (h‬כאשר }‪ α ,Cg (h) = {x ∈ g | [h, x] = 0 ∀h ∈ h‬רץ על פונקציות לינאריות‬
‫לא אפס על ‪ h‬וכן }‪.gα (h) = {x ∈ g | [h, x] = α (h) x ∀h ∈ h‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫• ‪[gα , gβ ] ⊂ gα+β‬‬
‫• )‪ ad (x‬הוא נילפוטנטי אם ‪ x ∈ gα‬עבור ‪.α 6= 0‬‬
‫• אם ‪ α + β 6= 0‬אזי ‪ k (x, y) = 0‬לכל ‪.x ∈ gα , y ∈ gβ‬‬
‫מתכונה ‪ 3‬נובע כי הצמצום של תבנית קילינג ‪ k‬על ‪ g0 × g0‬היא לא מנוונת‪.‬‬
‫נסמן )‪.g0 = Cg (h‬‬
‫טענה מרכזית ־ ‪ h = g0‬אם ‪ h‬היא אלגברה טורוסית מקסימלית‪.‬‬
‫צעד ‪ 1‬־ אם ‪ x ∈ g0‬אזי ‪ ,xss , xn ∈ g0‬מאחר ש־ ‪ x ∈ g0‬אומר ש־‪ ad (x) h = 0‬לכל ‪ ,h ∈ h‬ולכן גם החלק‬
‫הפ"ל וגם החלק הנילפוטנטי הם אפס‪.‬‬
‫צעד ‪ 2‬־ אם ‪ x ∈ g0‬וגם ‪ x‬פ"ל‪ ,‬אזי ‪.x ∈ h‬‬
‫מאחר שאז ‪ xh = hx‬מהתחלפות של דברים אלכסוניים‪ ,‬כלומר ‪ x‬מתחלף עם ‪ h‬לכל ‪ ,h ∈ h‬ומהמקסימליות‬
‫של ‪ ,h‬נקבל כי ‪.x ∈ h‬‬
‫צעד ‪ 3‬־ הצמצום של תבנית קילינג ‪ k‬על ‪ h × h‬לא מנוון‪.‬‬
‫נניח כי ‪ k (h, x) = 0‬לכל ‪ ,x ∈ h‬בפרט זה אומר ש־‪ k (h, x) = 0‬לכל ‪.x ∈ g0‬‬
‫יהי ‪ n ∈ g0‬איבר נילפוטנטי‪ .‬מאחר ש־‪ ,hn = nh‬נקבל כי )‪ ad (h) ad (n‬נילפוטנטי‪ ,‬אבל לכן עם עקבה אפס‪.‬‬
‫ולכן מהגדרת תבנית קילינג‪ k (h, n) = 0 ,‬ולכן ‪ k (h, x) = 0‬לכל ‪ ,x ∈ g0‬ולכן ‪.h = 0‬‬
‫צעד ‪ 4‬־ ‪ g0‬היא אלגברה נילפוטנטית‪.‬‬
‫כל איבר פ"ל של ‪ g0‬מתחלף עם כל ‪ g0‬מאחר שאז הוא ב־‪ ,h‬מצעד ‪ ,2‬ומאחר שהוא נילפוטנטי‪ ,‬הוא ‪ad‬־‬
‫נילפוטנטי גם כן על ‪.g0‬‬
‫כעת ע"י פירוק זורדן ־ ‪ ,x = xss + xn‬נקבל פירוק של ‪ x ∈ g0‬לאיברים ‪ad‬־נילפוטנטיים‪ ,‬ולכן כל ‪ g0‬היא‬
‫מורכבת מאיברים ‪ad‬־נילפוטנטיים‪ ,‬ממשפט אנגל‪ g0 ,‬היא נילפוטנטית‪.‬‬
‫צעד ‪ 5‬־ ‪.h ∩ [g0 , g0 ] = 0‬‬
‫אם ‪ h ∈ h, x, y ∈ g0‬אז ‪.k (h, [x, y]) = k ([h, x] , y) = k (0, y) = 0‬‬
‫צעד ‪ 6‬־ ‪ g0‬היא אבלית‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ .[g0 , g0 ] 6= 0‬מאחר ש־ ‪ g0‬נילפוטנטית מצעד ‪ ,4‬יש לה מרכז לא טריוויאלי המוכל בנגזרת‪.‬‬
‫יהי ] ‪ z ∈ [g0 , g0‬במרכז‪ ,‬לא אפס‪ z .‬איננו פ"ל‪ ,‬אחרת הוא היה ב־‪ ,h‬אבל מצעד ‪ 5‬זה בלתי אפשרי‪.‬‬
‫ולכן ‪ ,zn 6= 0‬כמובן שגם ‪ zn‬חייב להיות במרכז‪ ,‬כי החלק הפ"ל בהכרח במרכז‪.‬‬
‫אבל אז ) ‪ ad (x) ad (zn‬הוא נילפוטנטי לכל ‪ ,x ∈ g0‬כי ‪ [x, zn ] = 0‬כי ‪ zn‬במרכז‪ ,‬ואז ‪,k (zn , g0 ) = 0‬‬
‫בסתירה‪.‬‬
‫סיום הוכחת הטענה המרכזית ־‬
‫אם ‪ ,h 6= g0‬יהיה ‪ n ∈ g0‬נילפוטנטי המתחלף עם כל איברי ‪ ,g0‬ולכן ‪ ,k (n, g0 ) = 0‬בסתירה‪.‬‬
‫הוכחת המשפט ־ הטענה המרכזית הראתה שכל אלגברה טורוסית מקסימלית היא קרטן‪.‬‬
‫לכיוון השני‪ ,‬אם ‪ h‬היא קרטן‪ ,‬נניח כי ‪ ,x = xss + xn ∈ g0‬נקבל כי ))‪ g0 (ad (xs )) ⊂ g0 (ad (x‬מאחר ש־ ‪xn‬‬
‫הוא ‪ad‬־נילפוטנטי המתחלף עם )‪.ad (x‬‬
‫אם נבחר ‪ x ∈ h‬מינימלי כך ש־))‪] h = g0 (ad (x‬קיים מטענה מחלק ‪ , [3‬אז אפשר להניח כי ‪ ,x = xss‬ואז‬
‫)) ‪.h = g0 (ad (xs‬‬
‫אבל )) ‪ g0 (ad (xs‬מכילה אלגברה טורוסית מקסימלית המכילה את ‪ ,xs‬מההגדרה‪ ,‬שהיא בעצמה אלגברת‬
‫קרטן המוכלת ב־‪.h‬‬
‫‪4‬‬
‫ממקסימליות נקבל ש־‪ h‬שווה לאלגברה הטורוסית המקסימלית המכילה את ‪ .xs‬‬
‫‪6‬‬
‫מערכות שורשים‬
‫יהי ‪ φ‬פונקציונאל לינארי על ‪ ,h‬בעזרת תבנית קילינג ‪ k‬נגדיר )‪ φ (h) = k (tφ , h‬עבור ‪.tφ ∈ h‬‬
‫הקבוצה של ?‪ α 6= 0 ,α ∈ h‬כך ש־‪ gα 6= 0‬נקראת קבוצת השורשים‪ ,‬ומסומנת ‪.Φ‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ Φ .1‬פורשת את ?‪ ,h‬אחרת קיים ‪ h 6= 0‬כך ש־‪ α (h) = 0‬לכל ‪) a ∈ Φ‬האן־בנך(‪ ,‬ולכן ‪ [h, gα ] = 0‬לכל‬
‫‪ ,α‬ולכן ‪ ,[h, g] = 0‬בסתירה‪.‬‬
‫‪ α ∈ Φ .2‬גורר ש־‪ ,−α ∈ Φ‬אחרת נקבל כי ‪ [h, x] = −α (h) x‬גורר ש־‪ ,x = 0‬אבל ניתן כמובן לכתוב‬
‫את המשוואה בתור ‪,[h, −x] = α (h) x‬וגם ‪ ,[h, x] = α (h) x‬ולכן נקבל ]‪ ,[h, x] = [h, −x‬כלומר‬
‫‪.[h, 2x] = 0‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ x ∈ gα , y ∈ g−α‬כאשר ‪ α‬שורש‪ ,‬אז ‪.[x, y] = k (x, y) tα‬‬
‫‪ [gα , g−α ] .4‬היא חד־מימדית‪ ,‬עם בסיס ‪.tα‬‬
‫‪?α (tα ) = k (tα , tα ) 6= 0 .5‬‬
‫הגדרה ־ אם נבחר ‪ eα ∈ gα , fα ∈ g−α‬ונגדיר ‪= k (eα , f−α ) tα‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k(tα ,tα ) tα‬‬
‫= ‪ ,hα‬נאמר שזאת )‪,sl2 (α‬‬
‫וזוהי תת־אלגברה האיזומורפית ל־ ‪.sl2‬‬
‫צריך להראות שאכן ‪ gα‬היא חד־מימדית‪ ,‬בשביל להצדיק את ההגדרה‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫= ‪ .k‬כל מחובר הוא חד מימדי‪ ,‬וכמובן )‪ sl2 (α‬פועלת עליו‬
‫נניח ‪ β ∈ φ‬וכן ‪ ,β 6= ±α‬נגדיר ‪gβ+jα‬‬
‫)דרך רייזינג ולוארינג(‪.‬‬
‫כמובן ש־‪) β + iα 6= 0‬כי השורשים הם בת"ל(‪.‬‬
‫כעת אם נפעיל את ‪ β + iα‬על‬
‫‪2‬‬
‫‪k(tα ,tα ) tα‬‬
‫= ‪ hα‬נקבל בעצם ‪= β (hα ) + 2i‬‬
‫) ‪i k(tα2,tα ) α (tα‬‬
‫‪.β (hα ) +‬‬
‫ולכן כל המשקלים שונים בכפולות של‪ ,‬ולכן זה אי־פריק )אין שניים באותו משקל(‪.‬‬
‫יהי ‪ q‬שלם מקסימלי כך ש־ ‪ ,β + qα ∈ φ‬ו־‪ r‬יהיה מקסימלי כך ש־‪.β − rα ∈ φ‬‬
‫אז נקבל בעצם שיש לנו שרשרת של שורשים‬
‫‪β − rα, β − (r − 1) α, . . . , β + qα‬‬
‫וגם )‪ ,β (hα ) − 2r = − (β (hα ) + 2q‬כלומר ‪ ,β (hα ) = r − q ∈ Z‬ומספרים אלה נקראים מספרי קרטן‪.‬‬
‫ומקבלים נוסחא ‪= r − q ∈ Z‬‬
‫)‪(β,α‬‬
‫)‪(α,α‬‬
‫= ) ‪ ,β (hα‬כאשר )‪ (γ, δ‬עבור ‪ γ, δ‬שורשים מוגדר ע"י ) ‪.k (tγ , tδ‬‬
‫נניח כי ‪ αi‬שורשים שמהווים בסיס של‬
‫∗‪.h‬‬
‫אז מתברר כי שורשים אחרים מהווים קומבינציות רציונאליות של ‪.αi‬‬
‫יהי ‪ E‬המרחב הממשי הנפרש ע"י ‪ ,αi‬אזי ) ‪ (,‬מהווה מכפלה פנימית על ‪.E‬‬
‫לכל שורש ‪ α‬מגדירים את השיקוף דרך המישור הניצב ל־‪ α‬להיות‬
‫)‪2(β,α‬‬
‫‪(α,α) α‬‬
‫‪.sα (β) = β −‬‬
‫החבורה הנוצרת ע"י ‪ hsα i‬נקראת חבורת וייל )‪ ,(Weyl‬היא נקבעת לכל אלגברה פ"ל בהינתן בחירת‬
‫אלגברת קרטן‪.‬‬
‫מגדירים‬
‫)‪2(β,α‬‬
‫)‪(α,α‬‬
‫= ‪ ,hβ, αi‬כלומר ‪ hβ, αi = β (hα ) ∈ Z‬וגם ‪.sα (β) = β − hβ, αi α‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫בסיסים‬
‫‪ ∆ ⊂ φ‬הוא בסיס אם הוא פורש את ‪ E‬וגם כל ‪ β‬ניתן לכתיבה ע"י איברי ‪ E‬כקומבינציה של שורשים כך‬
‫שהמקדמים כולם אי־שליליים או אי־חיוביים‪.‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬השורשים נקראים חיוביים או שליליים‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫נגדיר ‪ ht (β) = α kα‬כאשר ‪ kα‬הם המקדמים‪.‬‬
‫נקבל כי כל שני איברים בבסיס מקיימים ‪.(α, β) ≤ 0‬‬
‫בניית בסיס ־ נבחר ‪ γ ∈ E‬כך ש־‪ (γ, β) 6= 0‬לכל ‪) β ∈ φ‬איבר כזה נקרא רגולרי(‪ ,‬ומכאן מחלקים את‬
‫השורשים לפי הסימן של המ"פ‪.‬‬
‫שורש נקרא אי־פריק אם אי אפשר לכתוב אותו כסכום של שורשים חיוביים‪.‬‬
‫נסמן )‪ ∆ (γ‬להיות האיברים האי־פריקים של השורשים החיוביים ביחס ל־‪,γ‬‬
‫)‪.φ+ (γ‬‬
‫משפט ־ )‪ ∆ (γ‬הוא בסיס‪ ,‬וכל בסיס הוא מהצורה הזו‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫תאי וייל‬
‫נגדיר ‪ Pβ‬להיות המרחב הניצב ל־‪.β‬‬
‫נגדיר את רכיבי הקשירות של ‪ E − ∪β Pβ‬להיות תאי וייל‪ .‬הם מורכבים מאיברים רגולריים )לא ניצבים‬
‫לאף אחד מוקטורי הבסיס(‪ ,‬ובעלי אותו פירוק של שורשים חיוביים )כי החיוביות תלויה בכיוון ביחס למישור‬
‫הניצב(‪.‬‬
‫ולכן תאי וייל מתאימים לבסיסים‪ ,‬וחבורת וייל פועלת על התאים ע"י פרמוטציות‪.‬‬
‫נקבע ∆ בסיס כלשהו‪.‬‬
‫משפט ־ חבורת וייל נוצרת ע"י איברי ‪ sα‬עבור ‪ α‬בסיס ∆‪.‬‬
‫משפט ־ חבורת וייל פועלת חופשית וטרנזיטיבית על תאי וייל‪.‬‬
‫טרנזיטיביות די ברורה‪ .‬המפתח לחופשיות נובע מכתיבה מאורך מינימלי של מכפלות של האיברים ‪sα‬‬
‫עבור ‪ α‬מהבסיס‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫צמידות אלגבראות בורל‬
‫נגדיר אלגברת בורל סטנדרטית )ביחס לאלגברת קרטן ‪ h‬ובסיס של שורשים‪ (∆ ,‬להיות‬
‫‪gβ‬‬
‫‪M‬‬
‫⊕ ‪b (∆) = h‬‬
‫)∆( ‪β∈φ+‬‬
‫מכאן יש את החלק הנילפוטנטי‪,‬‬
‫‪L‬‬
‫‪β∈φ+ (∆) gβ‬‬
‫= )∆( ‪.n+‬‬
‫ע"י הצמדות מחבורת וייל‪ ,‬מקבלים שכל האלגבראות בורל הסטנדרטיות ביחס לאותה ‪ h‬ומערכת השורשים‪,‬‬
‫הן צמודות‪.‬‬
‫כעת אם ‪ x‬מנרמל אלגברת בורל ‪ b‬אז מקבלים כי ‪ ,[b + Cx, b + Cx] ⊂ b‬ולכן ‪ b + Cx‬אלגברה המכילה‬
‫את ‪ ,b‬ומצד שני היא פתירה )כי הקומוטטור בתוך ‪ ,b‬ו־‪ b‬עצמה פתירה(‪.‬‬
‫מאחר ש־ ‪ Ng (b) = b‬ממקסימליות‪ ,‬נקבל כי ‪ b = b + Cx‬לכל ‪ x‬המנרמל את ‪.b‬‬
‫מכאן אם ‪ x‬ב־‪ ,b‬אז גם ‪ xs , xn‬ב־‪.b‬‬
‫כעת נקבע ‪ b, b0‬אלגבראות בורל‪.‬‬
‫נעשה אינדוקציה על המימד של ‪ ,b ∩ b0‬כי אם ‪ ,dim b ∩ b0 = dim b‬ממקסימליות נקבל ‪.b0 = b‬‬
‫נניח ש־‪.b ∩ b0 6= 0‬‬
‫יהי ‪ V‬מ"ו אוקלידי‪ ,‬עם מ"פ סטנדרטית ) ‪.(,‬‬
‫‪6‬‬
‫נאמר ש־‪ φ‬היא מערכת שורשים אם‪:‬‬
‫‪span {φ} = V .1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ,α ∈ φ‬אז הכפולות היחידות של ‪ α‬השייכות ל־‪ φ‬הם ‪) .±α‬תנאי צמצום(‬
‫)‪(α,β‬‬
‫)‪ ,β − 2 (α,α‬זה בעצם שיקוף של ‪ β‬תחת המישור המאונך ל־‪.α‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ α, β ∈ φ‬נקבל ש־ ‪α ∈ φ‬‬
‫)‪(α,β‬‬
‫‪ .4‬נגדיר אופרטור הטלה של ‪ β‬על הקו דרך ‪ α‬בתור‬
‫)‪ ,hβ, αi = 2 (α,α‬אזי ‪.hβ, αi ∈ Z‬‬
‫קריסטלוגרפיה(‬
‫‪7‬‬
‫)תנאי‬