תרגיל בית 1

‫מופשטת ‪ 2‬תשע"ד‪ -‬תרגיל ‪1‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫יהי ‪ R‬חוג עם יחידה ויהי ‪ S‬תת חוג של ‪ R‬המכיל את היחידה של ‪ .R‬הוכח שאם 𝑆 ∈ 𝑢 הוא הפיך ב‪S‬‬
‫אז הוא הפיך ב‪ .R‬הראה שההפך אינו נכון‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫הוכח שחיתוך כלשהו של תתי חוגים הוא תת חוג‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫הוכח שהמרכַז של חוג הוא תת חוג המכיל את היחידה‪ .‬הוכח שהמרכז שלחוג עם חילוק הוא שדה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫פתרון‬
‫א) קל‪ .‬צריך להוכיח סגירות להפרש ולכפל‪.‬‬
‫ב) נניח ש‪ .xCR(B) -‬אז לכל ‪ bB‬מתקיים ‪ .xb=bx‬מכיוון ש‪ A-‬מוכלת ב‪ ,B-‬אז בפרט לכל ‪aA‬‬
‫מתקיים ‪ xa=ax‬ולכן )‪.xCR(A‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫נגדיר את המרכֵז של איבר ‪ .C(a) = { r ∈ R |𝑟𝑎 = 𝑎𝑟} :‬הוכח שהוא תת חוג המכיל את 𝑎‪ .‬הוכח‬
‫שהמרכַז של החוג )𝑅(𝑍 הוא החיתוך של כל )𝑎(𝐶 מעל כל 𝑅 ∈ 𝑎‪.‬‬
‫פתרון‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬נוכיח )∙‪ (𝐴, +,‬הוא חוג‪:‬‬
‫ראשית נראה כי )‪ (𝐴, +‬הוא חבורה אבלית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אסוציאטיביות‪:‬‬
‫עפ"י ידע ממתמטיקה דיסקרטית‪(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑎∆𝑏)∆𝑐 = 𝑎∆(𝑏∆𝑐) = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) :‬‬
‫‪‬‬
‫נייטרלי‪:‬הקבוצה הריקה‪ ∅-‬היא האיבר הנייטרלי‪:‬‬
‫𝑎 = ∅‪∅+𝑎 =𝑎+∅ = 𝑎∪∅−𝑎∩∅ = 𝑎−‬‬
‫‪‬‬
‫נגדי‪ :‬הנגדי ל‪ a-‬הוא ‪.𝑎 + 𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 = ∅:a‬‬
‫כעת נראה כי )∙‪ (A,‬מונואיד‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אסוציאטיביות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫איבר יחידה לכפל‪ :‬הקבוצה ‪A‬‬
‫𝑐)𝑏𝑎( = 𝑐 ∩ )𝑏 ∩ 𝑎( = )𝑐 ∩ 𝑏( ∩ 𝑎 = )𝑐𝑏(𝑎‬
‫𝑎 = 𝐴 ∩ 𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝑎𝐴‬
‫‪‬‬
‫חוק הפילוג‪:‬‬
‫𝑐𝑎 ‪𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∩ (𝑏∆𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏)∆(𝑎 ∩ 𝑐) = 𝑎𝑏 +‬‬
‫וכיוון שהפעולה קומוטטיבית (𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑏 ∩ 𝑎 = 𝑏𝑎 )‬
‫מתקיים גם כי 𝑎𝑐 ‪.(𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 +‬‬
‫⟸‬
‫לכן )∙‪ (𝐴, +,‬חוג‪.‬‬
‫ב‪ .‬יהי 𝐴 ∈ 𝑎‪.‬‬
‫𝑎= 𝑎∩𝑎= 𝑎∙𝑎‬
‫∅ = 𝑎 ‪𝑎 + 𝑎 = 𝑎∆𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎 = 𝑎 −‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫פתרון‬
‫‪a+b = (a+b)2 = a2+ab+ba+b2 = a+ab+ba+b‬‬
‫ולכן ‪ . ab = -ba‬אבל ‪ -1 = (-1)2 = 1‬ולכן ‪.ab = (-1)ba = ba‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫אומרים שאיבר 𝑅 ∈ 𝑥 הוא נילפוטנטי אם ‪ 𝑥 𝑚 = 0‬לאיזשהו ‪( 𝑚 ∈ ℤ+‬שים לב שאיבר כזה היא‬
‫בפרט מחלק אפס)‪ .‬נניח ‪ R‬חוג קומוטטיבי וש‪ 𝑥 ∈ 𝑅 -‬נילפוטנט‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫א‪ 𝑟𝑥 .‬הוא נילפוטנט לכל 𝑅 ∈ 𝑟‪.‬‬
‫ב‪ 1 + 𝑥 .‬הוא הפיך‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסק שסכום של איבר נילפוטנטי עם איבר הפיך הוא הפיך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫נניח ‪.𝑥 𝑚 = 0‬‬
‫א‪ (𝑟𝑥)𝑚 = 𝑟𝑥𝑟𝑥 ⋯ 𝑟𝑥 = 𝑟 𝑚 𝑥 𝑚 = 0 .‬ולכן 𝑥𝑟 הוא נילפוטנטי‪.‬‬
‫ב‪ .‬קל לראות ש‬
‫‪(1 + 𝑥)(1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑚−1 𝑥 𝑚−1 ) = 1 + (−1)𝑚−1 𝑥 𝑚 = 1‬‬
‫ג‪ .‬אם 𝑢 הפיך ו‪ 𝑥 -‬נילפוטנטי אזי‪:‬‬
‫)𝑥 ‪𝑢 + 𝑥 = 𝑢(1 + 𝑢−1‬‬
‫אבל 𝑥 ‪ 𝑢−1‬הוא נילפוטנטי לפי סעיף א‪ .‬ואז 𝑥 ‪ 1 + 𝑢−1‬הפיך לפי סעיף ב‪ .‬ומכפלה של הפיכים‬
‫היא הפיכה (תוכיחו)‪.‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫יהיו ‪ R, S‬חוגים‪ .‬הוכח ש 𝑆 × 𝑅 הוא חוג עם חיבור וכפל רכיב‪-‬רכיב‪ .‬הוכח ש𝑆 × 𝑅 קומוטטיבי אם"ם‬
‫‪ R, S‬שניהם קומוטטיבים‪ .‬הוכח של 𝑆 × 𝑅 יש יחידה אם"ם ל‪ R, S‬יש יחידה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תוכיחו שזה חוג‪ ,‬זה קל‪.‬‬
‫אם 𝑆 × 𝑅 קומוטטיבי אז לכל 𝑅 ∈ ‪ 𝑟1 , 𝑟2‬ולכל 𝑆 ∈ ‪ 𝑠1 , 𝑠2‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪(𝑟1 𝑟2 , 𝑠1 𝑠2 ) = (𝑟1 , 𝑠1 )(𝑟2 , 𝑠2 ) = (𝑟2 , 𝑠2 )(𝑟1 , 𝑠2 ) = (𝑟2 𝑟1 , 𝑠2 𝑠1‬‬
‫נשווה רכיבים ונקבל ‪ 𝑟1 𝑟2 = 𝑟2 𝑟1 , 𝑠1 𝑠2 = 𝑠2 𝑠1‬כלומר ש‪ R, S‬קומוטטיביים‪.‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ :‬אם ‪ R, S‬קומוטטיבים אז‬
‫) ‪(𝑟1 , 𝑠1 )(𝑟2 , 𝑠2 ) = (𝑟1 𝑟2 , 𝑠1 𝑠2 ) = (𝑟2 𝑟1 , 𝑠2 𝑠1 ) = (𝑟2 , 𝑠2 )(𝑟1 , 𝑠2‬‬
‫כלומר שהמכפלה היא קומוטטיבית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לגבי החלק השני‪ ,‬מתקיים ש‪( (1𝑅 , 1𝑆 ) = 1𝑅×𝑆 -‬תבדקו)‪.‬‬
‫תרגיל ‪11‬‬
‫פתרון‬
‫יהי )𝑥(𝑓 פולינום כלשהו (לא קבוע) ב‪ .ℤp𝑛 [𝑥]-‬נסתכל על )𝑥(𝑓𝑝 ‪ .1 −‬אזי‬
‫𝑛‬
‫‪2‬‬
‫⋯ ‪= 1 + 𝑝𝑓(𝑥) + (𝑝𝑓(𝑥)) + ⋯ + (𝑝𝑓(𝑥)) +‬‬
‫‪−1‬‬
‫))𝑥(𝑓𝑝 ‪(1 −‬‬
‫אבל מכיוון ש‪𝑝𝑛 = 0 -‬בחוג זה‪ ,‬נקבל שהביטוי הנ"ל (שהוא ההופכי של )‪ – 1- pf(x‬בדקו זאת!) הוא‬
‫אכן פולינום‪.‬‬
‫מכיוון שיש אינסוף פולינומים ב‪ , ℤp𝑛 [𝑥] -‬הוכחנו את הטענה‪.‬‬