חשבון דיפרנצילי - MathematicAmos

‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הקדמה‬
‫בחוברת‪-‬הלימוד הנוכחית ניכנס אל החשבון הדיפרנציאלי בדרך הנחשבת בלתי רצויה אצל פרקי לימוד‬
‫אחרים‪ .‬אחרי הגדרת פונקציה פולינומיאלית נגדיר נגזרת של פונקציה כזאת בהגדרה מונחתת מלמעלה‪:‬‬
‫הגדרה שאינה מנומקת‪ ,‬ואי אפשר לראות לא מה עומד מאחוריה ולא למה היא מובילה‪ .‬בהמשך נעשה דברים‬
‫הכוללים יותר התבוננות ויותר הבנה‪ :‬נתבונן בגרפים של פונקציות ושל נגזרותיהן‪ ,‬נגלה קשרים ביניהן‬
‫ונתרגם את תוצאות ההתבוננות למשפטים‪ ,‬אך לא נוכיח משפטים אלה‪ .‬רק אחר‪-‬כך‪ ,‬כשנדע יותר טוב להיכן‬
‫אנו הולכים‪ ,‬נעבור לסגנון ההפוך‪ ,‬ולהגדרות יוקדם דיון בשאלה מה רצוננו להגדיר ואיך רצוי לעשות זאת‪.‬‬
‫בדרך זו אני מקווה להתגבר על קשיים שבהם נתקלו תלמידי כשלימדתי את הנושא "כמו כולם"‪.‬‬
‫מה שאכתוב להלן בתוך מסגרות מרובעות ובאות שונה‪ ,‬מיועד למורים ולקוראים אחרים הבקיאים במסלולים‬
‫אחרים אל הנושא שלנו‪] .‬בדפים למורה דוגמה נוספת‪ ,‬ויותר מוכרת‪ ,‬של דחית המשמעות לשלב מאוחר‪.‬‬
‫ולשם ההשואה ראה באתר ‪ www.mathematicamos.co.il‬את הפרק הראשון בחוברת שלי על טורי‬
‫טיילור‪ ,‬המייצג דווקא את הגישה המעדיפה פיתוח "טבעי"‪ ,‬ואת הדפים למורה של אותה חוברת‪ ,‬בהם‬
‫מוצג תהליך ההתפתחות ההיסטורי של הנושא ההוא‪[.‬‬
‫)‪ (1‬נגזרת של פולינום‬
‫הגדרת פולינום‬
‫מעריך טבעי‬
‫‪. 3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ x‬מקדם ‪) .‬דוגמה‪( 2.7 x :‬‬
‫בשם מוֺנוֺם )=חד‪-‬איבר( ב‪ x -‬קוראים לביטוי שצורתו‬
‫מספר בודד שאינו כופל חזקה של ‪ x‬נחשב למונום שהמעריך שלו הוא ‪) .0‬דוגמה‪(12=12.x0 :‬‬
‫ביטוי המתקבל מחיבור וחיסור של מספר כלשהו של מונומים נקרא פולינום )=רב‪-‬איבר(‪.‬‬
‫פונקציה המתוארת על‪-‬ידי פולינום נקראת פונקציה פולינומיאלית‪.‬‬
‫הגדרת נגזרת של פולינום‬
‫אם )‪ p(x‬הוא פולינום אפשר לקבל ממנו פולינום חדש‪ ,‬הנקרא "הנגזרת של )‪ "p(x‬ומסומן )‪) p`(x‬קרי‪ p :‬תג‬
‫של ‪ (x‬בדרך הבאה‪ :‬בכל אחד מהמונומים כופלים את המקדם פי המעריך‪ ,‬ואחר‪-‬כך מקטינים את המעריך ב‪-‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p(x) = 3x + x - 11x + 7x + 13x + 5‬‬
‫לדוגמה‪ :‬אם‬
‫‪p`(x) = 15x4 + 4x3 - 33x2 + 14x + 13‬‬
‫אז‬
‫אותה דוגמה נכתבת גם כך‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(3x + x - 11x + 7x + 13x + 5)` = 15x + 4x - 33x2 + 14x + 13‬‬
‫שים לב לדברים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מונום ללא מקדם נחשב למונום שמקדמו ‪ .1‬לכן קבלנו בדוגמתנו מ‪ x -‬את ‪) 4x‬המקדם ‪ 1‬נכפל‬
‫במעריך ‪ ,(4‬וכן לכל ‪ n‬טבעי‪. (xn)` = nxn-1 ,‬‬
‫ב‪ .‬ההגדרה שעל פיה נחשב איבר‪-‬ללא‪ x-‬כמונום עם המעריך ‪ ,0‬התבטאה בדוגמתנו בשני מקומות‪ .‬האחד‪:‬‬
‫‪ 13x‬הוא‪" ,‬בכתיב מלא"‪ ,13x1 ,‬לכן גזירתו נותנת ‪ . 13x0‬במקום זה כתבנו בפשטות ‪ . 13‬השני‪ :‬בגזירת‬
‫המונום ‪ ,5‬כמו בגזירת כל מונום‪ ,‬יש לכפול במעריך‪ .‬הפעם המעריך הוא ‪ ,0‬לכן המכפלה היא ‪ ,0‬לכן אין‬
‫המונום ‪ 5‬שב‪ p(x) -‬תורם מאומה ל‪.p`(x) -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫הערה לשונית‪ :‬המובן המילולי של המלה "נגזרת" הוא "הדבר שמתקבל"‪ .‬מקבילות לשוניות מופיעות בביטוי‬
‫"גזרה‪-‬שוה" או ב‪"-‬הפועל 'לטלפן' נגזר משם העצם 'טלפון' "‪ .‬בשפה המתמטית יוחד הפועל 'לגזור' בשביל‬
‫סוג מסוים מאד של קבלת פונקציה אחת מפונקציה אחרת‪.‬‬
‫המונחים באנגלית הם‪ :‬לגזור = ‪ ,to derive‬נגזרת = ‪.derivative‬‬
‫‪1‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫שליטה בטכניקה של גזירת פולינומים מהוה הכנה ללימוד על תכונות הנגזרת‪ ,‬על משמעותה ועל השימוש‬
‫בנגזרות לפתירת בעיות רבות ושונות‪ .‬כשנגיע לשם מוטב שלא נצטרך להשקיע מאמץ בעצם הגזירה‪ ,‬לכן‬
‫מוצע להקדים ולפתור את התרגילים הבאים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬גזור‪:‬‬
‫_______________ = `) ‪(x +4x -5x -9x‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫_______________ = `)‪(-2x +4x +7x-8‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪2 3‬‬
‫_______________ = ')‪( 4 x + 3 x − 2 x − 4 x + 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫____ = `‪17‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫תרגיל ‪ :2‬חשב וגזור‪:‬‬
‫___________ = `)_____________( = `))‪((2x+3) . (3x-4‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫___________ = `) ____________ ( = `) )‪((5x+1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בעיה‪ :‬מצא מונום שנגזרתו היא ‪. 3x4‬‬
‫פתרון‪ :‬כדי שהקטנתו של המעריך ב‪) 1-‬בתהליך הגזירה( תתן ‪ 4‬צריך המעריך של המונום המבוקש להיות ‪5‬‬
‫‪ .‬כדי שכפילתו של המקדם במעריך ‪ 5‬תתן ‪ 3‬צריך המקדם להיות ‪ . 3/5‬הפתרון הוא אפוא ‪ . 3/5 x5‬בדיקה‬
‫שאינה אלא חזרה על האמור עד כאן מראה שאמנם‬
‫‪.(3/5 x5)`=3x4‬‬
‫תרגיל ‪ .3‬מצא פונקצית מקור‪ ,‬הנקראת גם אנטי‪-‬נגזרת‪:‬‬
‫‪( ________________ )` = 12x3+15x2- 8x+3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪( ____________ )` = x4 +x2+x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( ________________ )` = 7x +5x -13x-6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪( ___ )` = 1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫]למורה‪ :‬אל תתעכב כאן על עניין "‪["+c‬‬
‫תרגיל ‪ :4‬יהיו ‪ u=axm‬ו‪ v=bxn -‬שני מונומים‪ .‬כתוב את מכפלתם ‪ u.v‬בצורת מונום והראה ש‪-‬‬
‫') ‪u ⋅ v '+u '⋅v = (u ⋅ v‬‬
‫)‪ (2‬תכונות המקשרות פונקציה )פולינומיאלית( ונגזרתה‬
‫נתבונן בפונקציה ‪ ,p(x) = x3-3x2-9x+5‬בנגזרת שלה ‪ p`(x) = 3x2-6x-9‬ובגרפים שלהן‪.‬‬
‫הגרף של )‪ y=p(x‬פוגש את ציר‬
‫‪25‬‬
‫‪ x‬בשלוש נקודות )ליד ‪,x=-2.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ליד ‪ x=0.5‬וליד ‪ (x=4.7‬ובין‬
‫‪p(x) = x -3x -9x+5‬‬
‫כל שתי נקודות כאלה יש נקודה‬
‫‪p`(x) = 3x2-6x-9‬‬
‫שבה פוגש הגרף של )‪y=p'(x‬‬
‫את הציר הזה )ב‪ x=-1 -‬וב‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪(x=3‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬בין כל שתי‬
‫נקודות שונות שבהן ‪ p(x)=0‬יש‬
‫נקודה שבה ‪.p'(x)=0‬‬
‫ציור ‪1‬‬
‫‪-25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-4‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫לפני המשך ההתבוננות בגרפים נכניס מינוח‪ :‬בשפה המקובלת‬
‫במתמטיקה אומרים על פונקציה שהיא עולה או יורדת בהתאם‬
‫לנקודת מבטו של מי שמטייל על הגרף שלה בכיוון החיובי של‬
‫ציר ‪ ,x‬שהוא בדרך כלל משמאל לימין‪.‬‬
‫נחזור לציור ‪ ,1‬נתבונן הגרף של הפונקציה )‪ .y=p(x‬ונמצא שהפונקציה עולה בצד שמאל עד שהיא מגיעה‬
‫לשיא בנקודה שבה ‪ ,x=-1‬משם היא יורדת עד לשפל בנקודה שבה ‪ ,x=3‬ומימין לנקודה זאת היא עולה‪.‬‬
‫באותו תחום שבו )‪ p(x‬יורדת‪ ,‬כלומר בין ‪ x=-1‬ו‪ ,x=3 -‬מקבלת נגזרתו )‪ p'(x‬ערכים שליליים‪ ,‬ואילו כאשר‬
‫‪ p'(x)>0‬נמצא ש‪ p(x) -‬עולה‪.‬‬
‫עקוב באצבע או בעין על החלקים שבהם הגרף של )‪ p(x‬עלה או יורד‪ ,‬ועל החלקים המתאימים של ציר ‪. x‬‬
‫בנקודות השיא והשפל אין )‪ p(x‬נחשבת לא עולה ולא יורדת‪ .‬אילו ערכים מקבלת )‪ p'(x‬בשביל ערכי ‪ x‬אשר‬
‫שם?‬
‫נקרא לשאלה האחרונה תרגיל ‪ 1‬ונעבור ל‪-‬‬
‫תרגיל ‪:2‬‬
‫עיין ב‪ p(x) -‬ונגזרתה )‪ p'(x‬אשר בציור ‪ ,2‬ובדוק אילו מן‬
‫הדברים שמצאנו אצל ציור ‪ 1‬תקפים גם כאן‪.‬‬
‫ציור ‪2‬‬
‫נעבור ונתבונן בשלש פונקציות פולינומיאליות שהאחת תקרא כאן )‪ ,p(x‬השניה )‪) p2(x‬קרי‪ p :‬שתים של ‪(x‬‬
‫והשלישית )‪. p3(x‬‬
‫‪2000‬‬
‫והרי נוסחאותיהן והגרפים שלהן‬
‫ציור ‪3‬‬
‫‪p(x) = x5+1.25x4-35x3+2.5x2+100x‬‬
‫‪p2(x) = x5+1.25x4-35x3+2.5x2+100x+300‬‬
‫‪p3(x) = x5+1.25x4-35x3+2.5x2+100x-700‬‬
‫התוכל לראות איזה גרף שייך לאיזו פונקציה?‬
‫משלושת‬
‫לביקורת‪ .p(0)=0 :‬איך זה מאפשר לדעת מי‬
‫‪7‬‬
‫‪-7‬‬
‫הגרפים שייך ל‪? p(x) -‬‬
‫שלושת הפונקציות נבדלות רק באיבר החופשי שלהן‪ ,‬שהוא‬
‫האיבר‪-‬ללא‪ .x-‬מזה עולות שתי מסקנות‪:‬‬
‫מסקנה א‪ .‬לשלושתן אותה נגזרת‪ ,‬כלומר‪p'(x)=p2'(x)=p3'(x) ,‬‬
‫הבה נכתוב אותה‪p'(x) =4x4+5x3-105x2+5x+100 :‬‬
‫בדוק האמנם שוה )‪ p'(x‬זאת הן ל‪ p2'(x) -‬והן ל‪!p3'(x) -‬‬
‫מסקנה ב‪ :‬כל אחד מן הגרפים שלהן יכול להתקבל מכל אחד מחבריו על‪-‬ידי הזזה בכיוון ציר ‪ ,y‬כלפי מעלה‬
‫או כלפי מטה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הגרף של )‪ p2(x‬מתקבל מהגרף של )‪ p(x‬על‪-‬ידי הזזתו ‪ 300‬יחידות‪-‬של‪-‬ציר‪ y-‬כלפי מעלה‪.‬‬
‫) ‪ 300‬יחידות כאלה הן ברוחב של משבצת וחצי‪( .‬‬
‫שאלה‪ :‬איך יש להזיז את הגרף של )‪ p(x‬כדי לקבל את הגרף של )‪?p3(x‬‬
‫איך יש להזיז את הגרף של )‪ p3(x‬כדי לקבל את הגרף של )‪?p2(x‬‬
‫‪-1200‬‬
‫‪3‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הגרף של )‪ p'(x‬מופיע בכל אחד משלושת הציורים הבאים עם אחד משלושת הגרפים שבציור ‪. 3‬‬
‫בציור ‪4‬א הדגשנו את גרף הנגזרת )‪ p'(x‬בקו עבה‪.‬‬
‫‪2000‬‬
‫גרף זה פוגש את ציר ‪ x‬בארבע נקודות‪ .‬בכל אחת מהן‬
‫ציור ‪4‬א‬
‫עובר )‪ p'(x‬מערכים חיוביים לשליליים או להיפך‪ ,‬ו‪-‬‬
‫)‪p(x‬‬
‫)‪ p(x‬עובר אצל אותם ערכי ‪ x‬מעליה לירידה או להיפך‪.‬‬
‫בין כל שני ערכי‪ x-‬שבהם ‪ p(x)=0‬יש ערך ‪ x‬שבו עובר‬
‫)‪ p(x‬מעליה לירידה או להיפך‪ ,‬ובשביל ערך ‪ x‬זה יהיה‬
‫‪. p'(x)=0‬‬
‫)‪p'(x‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪-1200‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪2000‬‬
‫ציור ‪4‬ג‬
‫ציור ‪4‬ב‬
‫‪7‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪-1200‬‬
‫‪-1200‬‬
‫אם נחזור לציור ‪ 3‬נראה של‪ p2(x) -‬ול‪ p3(x) -‬עליות וירידות מקבילות לשל )‪ p(x‬אבל לא אותן נקודות‬
‫פגישה עם ציר ‪ . x‬בציורים ‪4‬ב ו‪4 -‬ג רואים שבין שתי נקודות פגישה עם ציר ‪ x‬יכולות להיות להן יותר‬
‫מנקודה אחת של מעבר מעליה לירידה או להיפך ולכן יכולה הנגזרת לפגוש את ציר ‪ x‬יותר מפעם אחת )אך‬
‫לא פחות(‪.‬‬
‫ודבר נוסף‪ ,‬אם נזיז את הגרף של )‪ p2(x‬שבציור ‪4‬ב משבצת אחת כלפי מעלה‪ ,‬כלומר‪ ,‬נוסיף לפונקציה ‪,200‬‬
‫תתקבל פונקציה שגם לה אותן עליות וירידות ואותה נגזרת‪ ,‬אבל רק פגישה אחת עם ציר ‪ .x‬הנגזרת יכולה‬
‫אפוא לקבל ערך ‪ 0‬גם שלא בין נקודות שבהן יש לפונקצית‪-‬המקור ערך ‪. 0‬‬
‫נסכם‪ :‬אצל כל הפונקציות הפולינומיאליות שהופיעו כאן מצאנו‬
‫א‪ .‬כאשר הנגזרת חיובית פונקצית המקור עולה וכאשר הנגזרת שלילית פונקצית המקור יורדת‪.‬‬
‫ב‪ .‬בין כל שני פתרונות של המשוואה ‪ p(x)=0‬יש לפחות פתרון אחד של ‪. p'(x)=0‬‬
‫חזור והתבונן בציורינו ובדוק שוב את התמלאות תכונות אלה!‬
‫נזכיר שעדיין לא הוכחנו שתי טענות אלה הוכחה של ממש‪ ,‬וודאי שלא הוכחנו אותן בשביל כל פונקציה‬
‫פולינומיאלית‪ .‬בתרגילים הבאים נסתמך על טענות אלה‪ ,‬אך נזכור שכל מה שנוכיח בעזרתן לא יהיה אלא‬
‫הוכחות‪-‬על‪-‬תנאי‪ .‬הן תהפוכנה להוכחות של ממש אחרי שנהפוך את שתי הטענות למשפטים‪ ,‬כלומר‪ ,‬אחרי‬
‫שנוכיח אותן‪.‬‬
‫מבוא לתרגיל ‪.3‬‬
‫הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית ממעלה שניה )‪ p(x)=ax2+bx+c‬עם ‪ (0 ≠ a‬היא ממעלה ראשונה‬
‫)‪ . (p'(x)=2ax+b‬אילו היו למשוואה ‪ p(x)=0‬שלושה פתרונות או יותר‪ ,‬אז ביניהם היו ל‪ p'(x)=0 -‬לפחות‬
‫שני פתרונות ‪ ,‬וזה לא יתכן כי ‪ p'(x)=0‬היא משוואה ממעלה ראשונה‪ .‬מכאן שלמשוואה פולינומיאלית‬
‫ממעלה שניה לכל היותר שני פתרונות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע למשוואה פולינומיאלית ממעלה שלישית לכל היותר שלושה פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה תוכל להסיק מזה על מספר פתרונותיה של משוואה פולינומיאלית ממעלה רביעית?‬
‫ג‪ .‬מה הלאה?‬
‫עיין בגרפים שבציורים שלעיל וראה אם מסקנותיך מתאימות להם‪.‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫‪−b‬‬
‫כיצד מתקשרת העובדה שקדקודה של פרבולה ‪ y=ax2+bx+c‬הוא בנקודה שבה‬
‫‪2a‬‬
‫= ‪ , x‬עם דברים‬
‫שראינו לעיל?‬
‫תרגיל ‪ :5‬א‪ .‬הוכח שלמשוואה ‪ x3+3x2+6x-7=0‬יש לכל היותר פתרון אחד‪.‬‬
‫הנחייה‪ :‬לשם כך צריך להראות שהנגזרת המתאימה אינה מקבלת את הערך ‪ 0‬בשביל שום ‪.x‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫התבונן בציור א וראה מה קורה לגרף של )‪ p'(x‬בערך‪ x-‬שבו יש ל‪ p(x)-‬ירידה הכי תלולה‪.‬‬
‫והערה לסיום הסעיף‪ :‬עיון נוסף בכל הגרפים שלנו יראה שיש קשר בין מידת השיפוע של גרף של פונקציה‬
‫ובין גבהו של הערך המספרי של הנגזרת אצל אותו ‪ .x‬כדי שנוכל לנסח קשר זה ולהוכיחו נזדקק להבהרת‬
‫ולהגדרה חדה של מושג השיפוע‪ .‬זאת נעשה בסעיפים הקרובים‪.‬‬
‫)‪ (3‬שיפוע של פונקציה קווית‬
‫תהי ‪ y=f(x)=ax+b‬פונקציה פולינומיאלית ממעלה ראשונה‪ .‬את התלילות של הגרף שלה‪ ,‬שהוא קו‬
‫ישר‪ ,‬אפשר לתאר בשני אופנים‪ .‬האופן האחד הוא על‪-‬ידי הזווית ‪ α‬שבין הגרף ובין ציר‪ ,x -‬כמתואר‬
‫בציור א שלהלן‪ ,‬והאופן האחר הוא על‪-‬ידי המנה ‪ ,∆y/∆x‬כמתואר בציור ב וכמוסבר בהמשך‪.‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪αο‬‬
‫ציור ב ‪x+h‬‬
‫ציור א‬
‫)‪f(x+h‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪x‬‬
‫לדרך השניה יהיה בהמשך תפקיד הרבה יותר חשוב מאשר לדרך הראשונה‪ .‬הבה נתאר אותה‬
‫בפרוטרוט‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬נבחר נקודה )‪ (x,y‬על גרף הפונקציה )בציור ב שלעיל‪ ,‬על הקו העבה המייצג את הפונקציה‪,‬‬
‫מודגשת הנקודה שנבחרה(‪ .‬אם נגדיל את ‪ x‬ב‪ h -‬כלשהו ישתנה גם ערך ‪ y‬המתאים )בציורנו מיוצגים‬
‫שינויים אלה על‪-‬ידי החיצים(‪ .‬את ‪ ,h‬שהוא המספר שבו הגדלנו את ‪ ,x‬נסמן גם ב‪ ,∆x -‬ואילו את‬
‫)‪ , f(x+h)-f(x‬שהוא השינוי המקביל ב‪ ,y -‬נסמן ב‪ .∆y -‬המנה ‪ ∆y/∆x‬נקראת "השיפוע של ‪." f‬‬
‫)‪∆y f(x + h) − f(x‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫‪h‬‬
‫דוגמה‪ :‬תהי ‪. f(x)=10x+7‬‬
‫אם נבחר ‪ x=3‬אז ‪ f(x)=f(3)=10 3+7=37‬ונקודת המוצא תהיה )‪. (3,37‬‬
‫כעת נבחר‪ ,‬למשל‪ h=2 ,‬אז ‪ x+h=3+2=5‬ולכן ‪ f(x+h)=f(5)=10.5+7=57‬ומכאן יתקבל‬
‫השיפוע‬
‫‪.‬‬
‫‪∆y f(x + h) − f(x) 57 − 37 20‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 10‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ f(x) = ax+b‬אז בשביל כל ‪ x‬וכל ‪ h‬יהיה ‪.∆y/∆x = a‬‬
‫במלים אחרות‪ :‬אם ‪ f‬היא פונקציה פולינומיאלית ממעלה ראשונה אז ‪ ∆y/∆x‬אינו תלוי לא ב‪ x -‬ולא‬
‫ב‪ ,h -‬והוא שווה לנגזרת ` ‪ ,f‬שהיא ‪.a‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪f(x + h) − f(x) (a ⋅ (x + h) + b) − (ax + b) ax + ah + b − ax − b ah‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫הערות‬
‫א‪ .‬מדידת תלילות על‪-‬ידי ‪ ∆y/∆x‬מקובלת גם בשפת יום‪-‬יום‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם לאורך מרחק אופקי של‬
‫קילומטר אחד מתרומם כביש במאה מטר אומרים ששיפועו הוא ‪ ,10%‬כלומר ‪. 0.1‬‬
‫ב‪ .‬בשני הציורים שלהלן מופיע אותו ישר במערכות צירים שונות‪ .‬בציור ג שוות יחידות המידה שעל‬
‫שני הצירים ואילו בציור ד יחידת המידה שעל ציר ‪ y‬גודלה כמחצית יחידת המידה שעל ציר ‪.x‬‬
‫כתוצאה מזה יש הבדל בין זוית הנטיה של הישר בציור ג ובין זוית הנטיה בציור ד‪ .‬בציור ג הזוית‬
‫היא‪ ,‬בקירוב‪ ,72o ,‬ואילו בציור ד הזוית קרובה ל‪ .56o -‬עם זאת‪ ,‬בשני הציורים ‪ ∆x=0.5‬ובשניהם‬
‫‪ ∆y=1.5‬לכן בשניהם ‪ .∆y/∆x=3‬השיפוע אינו תלוי אפוא במערכת הצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬א‪ .‬מהו שיפועו של הישר העובר דרך )‪ (8,11‬ודרך )‪? (12,20‬‬
‫הנחייה‪ :‬בחר אחת משתי הנקודות כנקודת מוצא וחשב את ‪ ∆x‬ו‪ ∆y -‬אל הנקודה השניה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו שיפועו של הישר העובר דרך )‪ (2,3‬ודרך )‪) ? (3,2‬הוא שלילי!(‬
‫המלצה‪ :‬סמן את הנקודות במערכת צירים עם יחידות שוות על שני הצירים‪ ,‬ושרטט את הישר‪.‬‬
‫‪ .2‬קוי‪-‬הרשת שבציור שמשמאל הם במרחק בן יחידה אחת זה‬
‫מזה‬
‫א‪ .‬בחר על הישר ‪ a‬שבציור שתי נקודות שקל לראות את‬
‫הקואורדינטות שלהם‪ ,‬ומצא בעזרתם את השיפוע של הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬כנ"ל לישר ‪.b‬‬
‫לידיעתך‪ :‬לאחד הישרים שיפוע חיובי ולחברו שיפוע שלילי‪,‬‬
‫ומכפלת השיפועים היא ‪ . -1‬דבר זה קשור בהיות הישרים‬
‫ניצבים זה לזה‪ .‬בעתיד נדון בהרחבה בקשר שבין שיפועיהם‬
‫של ישרים ניצבים‪.‬‬
‫‪ . f(5)=4‬מצא את )‪. f(8‬‬
‫‪ .3‬לפונקציה )‪ f(x‬גרף ישר ששיפועו ‪. 0.75‬‬
‫הנחייה‪ :‬אילו ערכים תציב בשביל ‪ x‬ו‪ h -‬בנוסחה שלעיל‪ ,‬אחרי ציורים א ו‪-‬ב ?‬
‫‪6‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫תרגיל ‪) 4‬תרגיל באומדן וחישוב(‪:‬‬
‫א‪ .‬בחר נקודה ‪ P‬במערכת צירים עם קנה מידה שוה על שני הצירים‪ ,‬והעבר דרכה ישרים ‪ c ,b ,a‬ו‪-‬‬
‫‪ d‬ששיפועיהם הם ‪ 4 ,2 ,1‬ו‪ 5-‬בהתאמה )מומלץ לעשות זאת על ניר משובץ רגיל‪ ,‬עם משבצות של‬
‫חצי ס"מ‪ ,‬ולבחור יחידת מידה בת ‪ 5‬משבצות(‪ .‬אמוד "על‪-‬פי העין" פי כמה גדולה הזוית שבין ‪ a‬ו‪b -‬‬
‫מהזוית שבין ‪ c‬ו‪.d -‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סביב ‪ P‬מעגל ברדיוס כלשהו ואמוד מחדש את היחס הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי הזוית שבין ‪ a‬ובין ציר ‪? x‬‬
‫)‪ (4‬שיפוע של עקום ‪ -‬תהליך חידודו של מושג‬
‫בסעיף זה נרצה להגדיר שיפוע גם בשביל פונקציה שהגרף שלה עקום‪ .‬אין אנו באים אל הגדרה זאת‬
‫בידיים ריקות‪ .‬עוד לפני ההגדרה יש לנו אי‪-‬אילו תמונות מחשבתיות על הדבר שאותו אנו רוצים‬
‫להגדיר‪ .‬שיפוע של עקום צריך להיות דומה לשיפוע של ישר; אך בעוד ששיפוע של ישר הוא קבוע‬
‫לכל ארכו של הישר‪ ,‬אנו מצפים ששיפועו של עקום ישתנה מנקודה לנקודה‪.‬‬
‫אנו מבקשים הגדרה שתהיה בעלת שתי התכונות הבאות‪ :‬מצד אחד חייבת ההגדרה להתאים ככל‬
‫האפשר לתמונה המוקדמת של המושג‪ ,‬ומצד שני צריכה ההגדרה להיות חדה וברורה במידה מספקת‬
‫כדי לשמש בסיס לחישוב השיפוע ולהוכחת משפטים על דבר השיפוע‪.‬‬
‫ציור א שלהלן מכיל פרבולה ‪ y=x2‬וקו ישר החותך את הפרבולה בנקודות )‪ A:(1,1‬ו‪. B:(2,4) -‬‬
‫שיפועו של ישר זה הוא ‪ .3‬לאור צורת החיתוך אנו מצפים ששיפועה של הפרבולה בנקודה ‪ A‬יהיה‬
‫קטן מ‪ ,3-‬ואילו שיפועה ב‪ B -‬יהיה גדול מ‪.3-‬‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫בציור ב מופיעה הפרבולה הקודמת והישר המשיק לה ב‪ .A:(1,1) -‬מציור זה נראה שמימין ל‪ A -‬יש‬
‫לפרבולה שיפוע גדול מהשיפוע של המשיק ומשמאל יש לה שיפוע קטן משל המשיק‪ ,‬וב‪ A -‬עצמה‬
‫משתווים השיפועים של הישר והעקום‪.‬‬
‫הצעת הגדרה‪ :‬שיפועו של עקום בנקודה נתונה שעליו יהיה שווה לשיפועו של הישר המשיק לעקום‬
‫באותה נקודה‪.‬‬
‫מהו משיק‬
‫כדי שנוכל לקבל הגדרה זאת חייב מושג המשיק להיות מוגדר כהלכה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫משיק של מעגל‪ ,‬בנקודה נתונה שעליו‪ ,‬הוא הישר העובר בנקודה זאת ואינו פוגש את המעגל בשום‬
‫נקודה נוספת‪ .‬אך הגדרה מעין זו לא תתאים לצרכינו כאשר מדובר בעקום אחר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בציור ג‬
‫שלפנינו נרצה שהישר ייחשב משיק לעקום בנקודה ‪ A‬למרות שהם נפגשים גם בנקודה ‪.B‬‬
‫‪y=x3-2x‬‬
‫‪y=x3-2x‬‬
‫‪C‬‬
‫ציור ד‬
‫‪A‬‬
‫ציור ג‬
‫‪y=-2x‬‬
‫‪y=x-2‬‬
‫‪B‬‬
‫ההבדל שבין נקודה ‪ A‬ונקודה ‪ B‬שבציור ג מוביל להצעה אחרת‪ :‬להגדיר משיק כישר הפוגש את‬
‫העקום‪ ,‬אך בנקודת הפגישה אינו עובר מצידו האחד של העקום לצידו השני‪ .‬אך אם נלך בדרך זו אז‬
‫בראשית הצירים )נקודה ‪ C‬שבציור ד( לא יהיה לעקום שלנו שום משיק‪ ,‬שהרי כל ישר העובר דרך‬
‫נקודה זאת‪ ,‬עובר שם מצידו האחד של העקום לצידו השני‪.‬‬
‫לכאורה אין במצב זה שום דבר חריג‪ .‬כשם שאיננו מגדירים ‪ ,1/0‬שהרי אין מספר שכפילתו ב‪0 -‬‬
‫נותנת ‪ ,1‬כך לא נגדיר משיק ל‪ y=x3-2x -‬בנקודה ‪ C‬כי אין ישר הממלא את הנדרש‪ .‬אך במקרה‬
‫שלנו יוביל הדבר למסקנה שלעקום הנידון אין גם שיפוע באותה נקודה‪ ,‬וזה נוגד בעליל את תפיסתנו‬
‫האינטואיטיבית בדבר מושג השיפוע‪ .‬אנו מבקשים אפוא הגדרה שעל פיה יחשבו הישר והעקום‬
‫שבציור ד משיקים בנקודה ‪.C‬‬
‫הצעת הגדרה‪ :‬ישר יקרא משיק לעקום בנקודה ‪ P‬אם הוא עובר ב‪ ,P -‬ואם שיפועו שווה לשיפועו‬
‫של העקום ב‪.P -‬‬
‫כעת יש לפנינו צמד מעגלי של הגדרות‪ .‬מושג השיפוע של עקום מוגדר בעזרת מושג המשיק ומושג‬
‫המשיק מוגדר בעזרת מושג השיפוע של עקום‪ .‬צמד הגדרות כזה יכול להופיע במילון אך לא בתורה‬
‫מתימטית‪ .‬מילון יכול להסתפק בזה שהקשר שבין שני מושגים עמומים מבהיר אותם במקצת‪ .‬הגדרה‬
‫מתימטית אינה יכולה להסתפק בהבהרה חלקית כזאת‪ .‬את המצב הנוכחי של דיוננו נוכל אפוא לסכם‬
‫כך‪ :‬אנו רוצים ששיפועו של המשיק ושיפועו של העקום בנקודת ההשקה יהיו שוים זה לזה‪ ,‬יש לנו‬
‫תמונה מחשבתית גולמית על משמעות משיק ומשמעות שיפועו של עקום‪ ,‬אך הצעות ההגדרה בענין‬
‫זה טעונות שיפור‪.‬‬
‫חישוב השיפוע‬
‫הבה ננסה לחשב את שיפוע המשיק שבציור ב ‪.‬‬
‫מכיוון שנתונה לנו רק נקודה אחת של משיק זה ננסה‬
‫לבחור ‪ ∆x‬בבחירה שרירותית‪ .‬בציור ה שלפנינו‬
‫מופיע קטע מציור ב‪ ,‬ונוספו בו ‪) ∆x‬משותף לישר‬
‫ולעקום( ושני ‪-∆y‬ים‪ ,‬אחד בשביל הישר ואחד בשביל‬
‫העקום )שניהם מתחילים באותה נקודה‪ ,‬אך ‪ ∆y‬של‬
‫העקום ממשיך עד העקום(‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫ציור ה‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫כדרכנו נסמן את ‪ ∆x‬ב‪ ,h -‬ונזכור שהפונקציה שבה אנו דנים כעת היא ‪ f(x)=x2‬ובנקודה הנידונה‬
‫‪ ,x=1‬לכן‬
‫‪-∆y = f(x+h)-f(x) = (1+h)2-12 = 1+2h+h2-1 = 2h+h2‬של‪-‬העקום‪.‬‬
‫‪-∆y‬של‪-‬הישר‪ ,‬שהוא הדרוש לנו לחישוב השיפוע‪ ,‬עדיין אינו ידוע‪ ,‬אך נראה מהציור שככל שנקטין‬
‫את ‪ ∆x‬כן יקטן ההפרש שבין ‪-∆y‬של‪-‬הישר ובין ‪-∆y‬של‪-‬העקום‪ .‬יתר‪-‬על‪-‬כן‪ ,‬המנה ‪ ∆y/∆x‬של‬
‫הישר תשאר ללא שינוי‪ ,‬ואילו המנה ‪ ∆y/∆x‬של העקום תלך ותתקרב אל ‪ ∆y/∆x‬של הישר‪.‬‬
‫‪ ∆y/∆x‬של העקום = ‪2.1‬‬
‫אם נקח ‪ ∆x‬קטן‪ ,‬למשל ‪ ,0.1‬יהיה‬
‫לכן ‪ ∆y/∆x‬של המשיק קרוב ל‪) 2.1 -‬וקצת קטן מ‪.(2.1 -‬‬
‫אם נקח ‪ ∆x‬יותר קטן‪ ,‬למשל ‪ ,0.01‬נקבל קירוב טוב יותר בשביל שיפוע המשיק )נקבל ‪ ,(2.01‬אך‬
‫תוצאה יותר טובה תתקבל אם נחזור לחישוב "באותיות"‪ ,‬כלומר‪ ,‬נחזור לכתוב ‪ h‬בשביל ‪.∆x‬‬
‫מהחישוב שלעיל נקבל ש‪ ∆y/∆x -‬של העקום שווה ל‪ (2h+h2)/h -‬כלומר‪ ,‬ל‪ ,2+h -‬ומכאן שכאשר‬
‫‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬ילך ‪ ∆y/∆x‬של העקום ויתקרב אל ‪ .2‬המסקנה‪ :‬שיפועו של המשיק‪ ,‬שהוא גם‬
‫שיפועה של הפרבולה בנקודה ‪ ,A‬הוא ‪.2‬‬
‫בדרך החישוב האחרונה נוכל למצוא את שיפועי הפרבולה בבת אחת בשביל כל נקודותיה‪ .‬תחילה‬
‫נחשב ‪ ∆y/∆x‬בשביל ‪ x‬ובשביל ‪ h‬סתמיים‪:‬‬
‫‪∆y f ( x + h) − f ( x) ( x + h) 2 − x 2 2 xh + h 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 2x + h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∆x‬‬
‫ומכאן נקבל שכאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬מתקרב ‪ ∆y/∆x‬ל‪.2x -‬‬
‫מסקנה זאת כוללת‪ ,‬בין השאר‪ ,‬את זה שבנקודה שבה ‪ x=3‬יש לפרבולה שלנו )ולמשיק לה באותה‬
‫נקודה( שיפוע השווה ל‪ ,6 -‬כאשר ‪ x=4‬שווה השיפוע ל‪ ,8 -‬וכאשר ‪ x=-1‬השיפוע הוא ‪) -2‬כלומר ‪-‬‬
‫הפונקציה בירידה(‪.‬‬
‫העובדה ש‪ 2x -‬הוא הנגזרת של ‪ x2‬תהיה בעלת חשיבות בסעיף הבא‪ .‬נושאו של הסעיף הנוכחי הוא‬
‫הגדרת שיפוע של עקום‪ ,‬ובשביל נושא זה יש חשיבות לעובדה אחרת‪ ,‬והיא‪ :‬השיפוע שווה לגבול‬
‫אליו מתקרבת המנה ‪ ∆y/∆x‬כאשר ‪ ∆x‬מתקרב ל‪.0 -‬‬
‫גבול כזה נכתב בצורה הבאה‪:‬‬
‫) ‪f ( x + h) − f ( x‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪lim‬‬
‫קרי‪ lim :‬של ‪ ...‬כאשר ‪ h‬שואף ל‪.0-‬‬
‫המלה ‪ lim‬נגזרת מן המלה הלטינית ‪ limes‬שפירושה גבול‪.‬‬
‫כעת נוכל לוותר על הצעת‪-‬ההגדרה הראשונה שלעיל‪ ,‬ולהשתמש בגבול הזה כבהגדרת שיפוע של‬
‫עקום‪ .‬ומכיוון שהגדרה זאת של מושג שיפועו של עקום בנקודה נתונה אינה מסתמכת על מושג‬
‫המשיק‪ ,‬נוכל להגדיר משיק בעזרת מושג השיפוע של עקום‪ ,‬כלומר‪ ,‬הצעת ההגדרה השניה תתקבל‬
‫כהגדרה‪.‬‬
‫סיכום‬
‫את מסקנותיו של הסעיף הנוכחי )אך לא את השיקולים שהובילו אליהם( נוכל לסכם כך‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬שיפועו של הגרף של )‪ y=f(x‬בנקודה בעלת ‪ x‬נתון‪ ,‬הוא ‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫) ‪f ( x + h) − f ( x‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪lim‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הגדרה‪ :‬ישר יקרא משיק לעקום בנקודה ‪ P‬אם הוא עובר ב‪ ,P -‬ואם שיפועו שווה לשיפועו של‬
‫העקום ב‪.P -‬‬
‫משפט‪ :‬שיפועה של פרבולה ‪ y=x2‬בנקודה בעלת ‪ x‬נתון הוא ‪.2x‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬צייר גרף "שמתנהג יפה" ככל האפשר )ראה הבהרה להלן( באופן שיעבור דרך ארבעת הנקודות‬
‫הנתונות בטבלה הבאה‪ ,‬ויהיו לו שם שיפועים כמפורט באותה טבלה‪.‬‬
‫שיפוע‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-3‬‬
‫המלצה‪ :‬שרטט על דף משובץ‪ ,‬בקנה מידה של סנטימטר ליחידה על כל ציר‪.‬‬
‫הנחיות‪ :‬תחילה שרטט צירים וסמן את ארבעת הנקודות )בעט(‪ .‬בשביל כל נקודה שרטט בעיפרון ‪∆x‬‬
‫ו‪ ∆y -‬מתאימים‪ ,‬ובעזרתם שרטט )בעיפרון( את המשיק‪ .‬עבור בעט על קטע קצר מאד של המשיק‪,‬‬
‫הבולט משני צידי הנקודה )קטע אשר ניתן לשער שבתחומו אי אפשר להבחין בין המשיק והגרף(‪,‬‬
‫ואחר‪-‬כך מחק את חיצי ‪ ∆x‬ו‪ ∆y -‬ואת רובו של המשיק‪.‬‬
‫אחרי שתעשה זאת בשביל כל ארבעת הנקודות העבר‪ ,‬ביד חפשית‪ ,‬קו דרך ארבעת הקטעים הקצרים‬
‫הנ"ל‪ .‬בעת העברת הקו דמה לעצמך שקו זה מיועד לתאר פס‪-‬רכבת העובר ליד ארבעה רציפים‬
‫קרובים שמקומם וכיוון עמידתם נקבעו מראש‪ ,‬ואנו רוצים שלכל אורכו של הפס תהיה לו עקמימות‬
‫מינימלית‪.‬‬
‫מוצע לקווקו תחילה בעיפרון‪ ,‬וכשמתקבל קו המניח את דעתנו נעבור עליו בעט‪.‬‬
‫‪ .2‬דרך הנקודות )‪ A:(1,1‬ו‪ B:(4,3) -‬העבר גרף "יפה" ששיפועו ב‪ A -‬הוא ‪ 1/2‬ושיפועו ב‪ B -‬הוא‬
‫‪.-1‬‬
‫‪ .3‬דרך )‪ A:(1,3‬ו‪ B:(5,2) -‬העבר גרף "יפה" ששיפועו בשתיהן הוא ‪.0‬‬
‫)‪ (5‬חישוב השיפוע של פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ ,3‬בנקודה עם ‪ x‬נתון‬
‫תהי ‪ . p(x) = ax3+bx2+cx+d‬הבה נחשב את ‪ ∆y‬המתקבל כשמגדילים את ‪ x‬ב‪ ∆x-‬השוה ‪.h‬‬
‫= )‪∆y = p(x+h)-p(x) = ( a(x+h)3+b(x+h)2+c(x+h)+d) – (ax3+bx2+cx+d‬‬
‫= )‪= ( a(x3+3x2h+3xh2+h3) +b(x2+2xh+h2) +c(x+h)+d) – (ax3+bx2+cx+d‬‬
‫‪= 3ax2h+3axh2+ah3 + 2bxh+bh2 + ch‬‬
‫לכן‬
‫‪∆y/∆x‬‬
‫‪= 3ax2 + 3axh + ah2 + 2bx + bh + c‬‬
‫וכאשר ‪ h‬שואף ל‪ 0-‬שואפות ל‪ 0-‬גם כל המכפלות בגורם ‪ h‬לכן‬
‫‪∆y‬‬
‫‪= 3ax 2 + 2bx + c‬‬
‫‪h → 0 ∆x‬‬
‫‪lim‬‬
‫ומכאן שהשיפוע הוא בדיוק )‪. p'(x‬‬
‫מה שקיבלנו הוא מקרה פרטי של טענה כללית‪:‬‬
‫אם )‪ p(x‬הוא פולינום אז בשביל כל ‪ x‬שווה )‪ p`(x‬לשיפועו של הגרף של )‪ y=p(x‬בנקודה בעלת ‪ x‬זה‪.‬‬
‫ההוכחה המלאה לטענה תינתן בשלב יותר מאוחר‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫תרגיל ‪ :1‬החישוב שלעיל הראה שטענתנו תקפה בשביל כל פולינום ממעלה ‪ .3‬האם חישוב זה מראה שהיא‬
‫תקפה גם לכל פולינום ממעלה ‪?2‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגיל ‪ :2‬הראה שטענתנו תקפה בשביל ‪. p(x)=x‬‬
‫)‪ (6‬הגדרה כללית של נגזרת‬
‫הבה נשכח לרגע את הגדרת הנגזרת של פולינום שהופיעה בסעיף הראשון של הפרק‪ ,‬ונגדיר‬
‫)‪f(x + h) − f(x‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫= )‪f ' (x‬‬
‫‪lim‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ x‬יסמן )‪ f `(x‬את השיפוע של הגרף של )‪ y=f(x‬בנקודה בעלת ה‪ x -‬הזה‪) .‬המנה שלעיל‬
‫סומנה גם ‪( ∆y/∆x‬‬
‫כעת ניזכר בהגדרה הקודמת של נגזרת‪ ,‬ונהיה במצב בו למושג אחד‪ ,‬מושג הנגזרת‪ ,‬יש שתי הגדרות‬
‫שונות‪ .‬מצב מעין זה שכיח מאד בשפת יום‪-‬יום‪ ,‬ושם הוא יוצר הרבה ויכוחים‪ ,‬אי‪-‬הבנות וסתירות‬
‫)נזכיר‪ ,‬למשל‪ ,‬את ההתנגשויות שבין ההגדרה "דמוקרטיה היא צורת שלטון שבה לכל האזרחים‬
‫זכויות שוות" ובין ההגדרה "דמוקרטיה היא צורת שלטון שבה הרוב קובע בכל ענין"(‪ .‬השפה‬
‫המתמטית סולדת מכל אי‪-‬בהירות מסוג זה‪ ,‬ולכן כל פעם שמציעים הגדרה חדשה למושג קיים יש‬
‫להבטיח מניעת ניגוד בינה ובין ההגדרה הישנה‪.‬‬
‫במקרה שלנו מובטח הדבר על‪-‬ידי הטענה הכללית על הנגזרת של פולינום‪ .‬טענה זאת אומרת‪ ,‬בעצם‪,‬‬
‫שהנגזרת של פולינום‪ ,‬כפי שהוגדרה בהגדרה הישנה‪ ,‬שוה לנגזרתו כפי שהיא מוגדרת בהגדרה‬
‫החדשה‪.‬‬
‫תרומתה של ההגדרה החדשה היא בזה שהיא מגדירה נגזרת גם בשביל פונקציות לא‪-‬פולינומיאליות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬תהי ‪y = x‬‬
‫=)‬
‫ואז‬
‫‪x+h + x‬‬
‫)‬
‫‪x+h + x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+h + x‬‬
‫=‬
‫)‬
‫לכן‬
‫()‬
‫⋅ ‪x+h − x‬‬
‫(‬
‫⋅ ‪h‬‬
‫(‬
‫‪x+h − x‬‬
‫=‬
‫‪h‬‬
‫‪∆y‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x+h − x‬‬
‫=‬
‫‪h⋅ x + h + x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x+h + x 2 x‬‬
‫(‬
‫‪y ' = lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫פונקציה לא‪-‬פולינומיאלית פשוטה אחרת היא ‪ .y=1/x‬הבה נחשב את נגזרתה‪:‬‬
‫)‪x − ( x + h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪∆y x + h x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪( x + h) x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪( x + h) x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪h → 0 ( x + h) x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y ' = lim‬‬
‫לכן‬
‫הוכחנו אפוא שני משפטים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫= ‪x‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ 1  −1‬‬
‫‪ = 2‬‬
‫‪ x x‬‬
‫המשותף לשתי ההוכחות הוא שבשתיהן העברנו את ‪ ∆y/∆x‬לצורה אשר קל לראות להיכן היא‬
‫שואפת כאשר ‪ h‬שואף ל‪.0 -‬‬
‫‪11‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬הוכח ש‪-‬‬
‫‪ 1  −2‬‬
‫‪= 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ .2‬מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של =‪ y‬בנקודה )‪. (1,1‬‬
‫הנחייה‪ :‬המשוואה היא מהצורה ‪ a .y=ax+b‬צריך להיות שווה לשיפוע הגרף בנקודה הנידונה‪ .‬נוסף‬
‫לזה חייב הישר לעבור דרך נקודת ההשקה‪ ,‬ואת זה אפשר להשיג על‪-‬ידי בחירת ‪ b‬מתאים‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של ‪ y=1/x‬בנקודה שבה ‪.x=2‬‬
‫)‪ (7‬שימוש בנגזרת למציאת ערך מקסימלי‬
‫בעיה‪ :‬נתון לוח פח מלבני שאורכו ‪ 35‬ס"מ ורחבו ‪ 30‬ס"מ‪ .‬רוצים לגזור ריבוע שצלעו ‪ x‬מכל אחת‬
‫מפינות המלבן )ראה ציור שמאלי(‪ ,‬לקפל את השוליים כלפי מעלה בזוית ישרה‪ ,‬להלחימן ולקבל‬
‫תיבה )ראה ציור ימני(‪ .‬מה צריך להיות ‪ x‬אם רוצים שנפח התיבה יהיה מקסימלי?‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30-2x‬‬
‫‪35-2x‬‬
‫‪35‬‬
‫פתרון‪ :‬נפח התיבה תלוי ב‪ ,x -‬והוא ניתן על‪-‬ידי‬
‫‪N(x) = (35-2x) (30-2x) .x = 4x3-130x2+1050x‬‬
‫עם ‪ x‬שבין ‪ 0‬ו‪ x) .15-‬אינו יכול להיות יותר מתצי הצלע הקטנה של מלבן הפח(‬
‫כאשר ‪ x=0‬הנפח הוא ‪ 0‬והוא מתחיל לעלות‪ ,‬ואילו לקראת ‪ x=15‬יורד הנפח לקראת הערך ‪.0‬‬
‫ביניהן צריכה להיות נקודת תפנית שבה הנפח מקסימלי‪.‬‬
‫בציור שלמטה משורטט הגרך של )‪ y=N(x‬בשביל ערכי ‪ x‬מ‪ 0-‬עד ‪ 15‬ומתוכו רואים שהנפח‬
‫המבוקש מקבל ערך מקסימלי כאשר ‪ x‬הוא בסביבות ‪ , 5.4‬אך אנו לא נשתמש בגרף זה אלא לצורך‬
‫הסברים‪ .‬שיטת הפתירה שנציע כאן תהיה חישובית בלבד‪ .‬לא נצטרך לשרטט גרף והתוצאה שנקבל‬
‫תהיה יותר מדוייקת ) ‪. (x=5.36880‬‬
‫כאשר יש למשיק שיפוע חיובי )‪ N(x‬עולה וכאשר למשיק שיפוע שלילי )‪ N(x‬יורדת‪.‬‬
‫נקודת המקסימום של )‪ N(x‬היא נקודת מעבר‪ ,‬ושם יש למשיק שיפוע ‪) 0‬המשיק מקביל לציר ‪(x‬‬
‫ולכן בנקודה זאת ‪.N'(x)=0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪5‬‬
‫עכשיו הדרך למציאת נקודת המקסימום היא חישובית בלבד‪.‬‬
‫נגזור‪ N'(x)= 13x2-260x+1050 :‬ונפתור את המשוואה ‪. 13x2-260x+1050=0‬‬
‫‪12‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫נקבל שני פתרונות‪ .‬האחד הוא …‪ x=16.29‬והוא אינו בתחום הערכים האפשריים בבעייתנו‪ .‬השני‬
‫הוא …‪ x=5.36880‬וזהו הערך הנותן לתיבה נפח מקסימלי‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬פתור את בעייתנו בשביל לוח פח ריבועי שצלעו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה הפונקציה )‪f(x)=(x-2)(x+1)(x+5‬‬
‫א‪ .‬באילו ערכי ‪ x‬מקבלת )‪ f(x‬את הערך ‪.0‬‬
‫ב‪ .‬ערכים אלה מחלקים את ציר ‪ x‬לחלקים‪ .‬באילו מהם )‪ f(x‬חיובי ובאילו הוא שלילי‪.‬‬
‫ג‪ .‬באילו חלקים מובטח שיהיה ל‪ f(x)-‬נקודת מקסימום ובאילו מובטחת נקודת מינימום?‬
‫ד‪ .‬מצא את ערכי ‪ x‬שאצלם מתקבל מקסימום או מינימום כזה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מהם ערכי )‪ f(x‬בשביל ערכי ‪ x‬אלה?‬
‫‪ .3‬לפניך גרפים של ארבע פונקציות‪ .‬האחד של‬
‫א‬
‫שלושת‬
‫)‪) y=f(x‬בשביל פונקציה מסויימת(‪ ,‬ו‬
‫)‪y=f(x‬‬
‫ב‬
‫האחרים הם של )‪,y=f '(x‬‬
‫ג‬
‫של‬
‫) ‪f ( x + 0 .6 ) − f ( x‬‬
‫‪0.6‬‬
‫=‪y‬‬
‫ושל‬
‫) ‪f ( x + 0 .2 ) − f ( x‬‬
‫‪0 .2‬‬
‫=‪y‬‬
‫והם מסומנים א‪ ,‬ב ו‪-‬ג )לאו דוקא בסדר זה(‪.‬‬
‫שער מי הוא מי‪.‬‬
‫שימושים בנגזרת‬
‫)‪ (8‬עליה וירידה‪ ,‬מקסימום ומינימום‬
‫משפט המפתח של הסעיף הנוכחי הוא המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט‪ :‬אם‪ ,‬בשביל ‪ x‬כלשהו‪ f `(x)>0 ,‬אז ‪ f‬עולה אצל ‪ x‬זה‪.‬‬
‫הגיע הזמן לתת לו הוכחה של ממש‪ .‬הוכחתו מדגימה את החשיבות של ההגדרה המפורטת של מושגי‬
‫השיפוע והנגזרת‪ ,‬בעזרת הגבול של ‪.∆y/∆x‬‬
‫ההוכחה‪ :‬נסמן את )‪ f `(x‬ב‪ ,S -‬כלומר‪ ,‬כאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬מתקרבת המנה ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬אל‬
‫‪ .S‬מכיוון ש‪ S-‬אינו ‪ 0‬אומר הדבר שמשלב מסוים ואילך יהיה ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬קרוב ל‪ S -‬יותר‬
‫מאשר ל‪.0 -‬‬
‫כעת נחליף את הביטוי "משלב מסוים ואילך" במשהו יותר חד‪-‬משמעי‪ ,‬וננסח את האמור לעיל כך‪:‬‬
‫קיים ‪ d‬חיובי כזה שאם מרחקו של ‪ h‬מ‪ 0 -‬קטן מ‪ d -‬אז ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬קרוב ל‪ S -‬יותר מאשר ל‪-‬‬
‫‪ .0‬מכאן ועד סוף ההוכחה נדבר רק על ‪-h‬ים כאלה שמרחקם מ‪ 0 -‬קטן מ‪.d -‬‬
‫מכיוון ש‪ S -‬חיובי נובע מהאמור לעיל שגם ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬חיובי‪ .‬לכן‬
‫א‪ .‬אם ‪ h>0‬אז גם ‪ f(x+h)-f(x)>0‬ולכן )‪,f(x+h)>f(x‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ h<0‬אז גם ‪ f(x+h)-f(x)<0‬ולכן )‪.f(x+h)<f(x‬‬
‫פירושו של דבר הוא ש‪ f -‬עולה‪ .‬מה שהיה להוכיח‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫משפט‪ :‬אם‪ ,‬בשביל ‪ x‬כלשהו‪ f `(x)<0 ,‬אז ‪ f‬יורדת אצל ‪ x‬זה‪.‬‬
‫ההוכחה דומה מאד להוכחת המשפט הקודם‪ .‬היא נבדלת ממנה רק בארבע השורות האחרונות‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬כתוב את ארבעת השורות האלה בשינויים הדרושים להוכחת המשפט האחרון‪.‬‬
‫‪ .2‬בציור הבא גרפים של שתי פונקציות א ו‪-‬ב שאחת מהן היא נגזרתה של חברתה‪ .‬מי היא נגזרתה‬
‫של מי?‬
‫ב‬
‫א‬
‫)פונקציות אלה נקראות )‪ cos(x‬ו‪ ,sin(x) -‬ובעתיד נלמד עליהן יותר‪(.‬‬
‫‪ .3‬הוכח שאם ‪ b2-3ac<0‬אז הפונקציה ‪ p(x) = ax3+bx2+cx+d‬היא מונוטונית )= תמיד עולה או‬
‫תמיד יורדת(‪.‬‬
‫‪ .4‬הוכחנו שאם הנגזרת חיובית הפונקציה עולה‪ .‬אחד מהציורים הבאים מראה שפונקציה יכולה‬
‫לעלות גם בנקודה שבה הנגזרת שוה ‪ .0‬הצבע על הציור המתאים‪) .‬אינך מתבקש לכתוב מאומה(‬
‫)הנגזרת היא ‪ 0‬כששיפוע המשיק הוא ‪ ,0‬כלומר‪ ,‬על המשיק יהיה ‪ ∆y‬שוה ל‪ 0-‬בשביל כל לכל ‪(∆x‬‬
‫הציור שמשמאל התקבל מאחד מן הציורים שלעיל על ידי הגדלה ועל ידי התוספות הבאות‪:‬‬
‫נקודת ההשקה עם המשיק ששיפועו ‪ 0‬הודגשה‬
‫‪B‬‬
‫וסומנה ‪ ,A‬וקואורדינטת ‪ x‬שלה סומנה ‪ . x1‬הגרף‬
‫=‪y‬‬
‫הומשך עד לנקודה ‪ B B‬הגבוהה מכל הנקודות‬
‫‪A‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫האחרות ומשמאלה אין הפונקציה מוגדרת‪ ,‬ונוספו‬
‫שני משיקים‪ ,‬אחד עם שיפוע חיובי ואחד עם שיפוע‬
‫שלילי‪ .‬הדיון הבא‪ ,‬שבו נמשיך בהשלמת הוכחות‬
‫‪x3‬‬
‫‪x2 x1‬‬
‫לטענות שכבר היכרנו‪ ,‬יכלול הפניות לציור זה‪.‬‬
‫מקסימום ומינימום‬
‫משני המשפטים שהוכחנו עולה שאם‪ ,‬בשביל ‪ x‬כלשהו‪ ,‬אין ‪ f‬לא עולה ולא יורדת‪ ,‬אין )‪ f `(x‬יכול‬
‫להיות לא חיובי ולא שלילי‪ ,‬לכן ‪ x .f `(x)=0‬כזה הוא ‪ x1‬שבציור שלעיל‪ ,‬והדבר קשור בזה ש‪A -‬‬
‫היא נקודת מקסימום‪-‬מקומי ‪.‬‬
‫בכוונתנו להגדיר את מושג המקסימום המקומי בצורה שתמלא את הדרישות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬ההגדרה תתאים למשמעות המילולית של צירוף‪-‬המלים "מקסימום מקומי"‪ ,‬כלומר‪" ,‬הכי גדול‬
‫מבין אלה שבמקום שלו"‪) .‬הגדרה שלא תתאים לזה תהיה מקור לבלבול‪(.‬‬
‫ב‪ .‬ההגדרה תחול על תחום רחב ככל האפשר של מקרים שבהם ניתן להסיק שהנגזרת מתאפסת שם‪.‬‬
‫דרישות דומות יעמדו לנגד עינינו גם כשנגדיר מינימום מקומי‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הגדרה‪ :‬נקודה ‪ ,A‬הנמצאת על הגרף של ‪ f‬וקואורדינטת‪ x -‬שלה היא ‪ ,x1‬תיקרא נקודת מקסימום‬
‫מקומי של ‪ ,f‬אם יש קטע המשתרע בשני צידי ‪ ,x1‬וכולו בתחום ההגדרה של ‪f(x 1 ) ≥ f(x) ,f‬‬
‫ולכל ‪ x‬שבקטע זה ‪.‬‬
‫נקודת מינימום מקומי מוגדרת בצורה דומה‪ ,‬אך עם ≤ במקום ≥ ‪.‬‬
‫ההערות הבאות מראות שהגדרת מקסימום‪-‬מקומי מתאימה לדרישות שהעלינו לעיל‪.‬‬
‫א‪ .‬ההגדרה משתמשת בגדול‪-‬או‪-‬שווה‪ ,‬ולא בגדול סתם‪ .‬שתי האפשרויות חיות בשלום עם המלה‬
‫"מקסימום"‪ .‬העדפנו את ≥ כי גם אם ‪ A‬שווה בגובהה לשכנותיה הנגזרת שווה שם ל‪.0 -‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ A‬שבציור ג אינה נקודת מקסימום כללי‪ ,‬שהרי יש בגרף נקודות גבוהות ממנה‪ .‬היא נקודת‬
‫מקסימום מקומי כי יש לה בשני צדדיה קטע נקי מנקודות כאלה‪ .‬די בזה כדי להבטיח שאינה לא נקודת‬
‫עליה ולא נקודת ירידה‪ ,‬לכן הנגזרת מתאפסת שם‪.‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ B‬שבאותו ציור היא נקודת מקסימום כללי‪ ,‬אך לא נקודת מקסימום‪-‬מקומי‪ ,‬כי מימינה אין‬
‫הפונקציה מוגדרת‪) .‬הפונקציה הנגזרת אינה מוגדרת לא מימינה של ‪ B‬ולא ב‪ B -‬עצמה‪ .‬הסיבה לכך‬
‫חורגת ממטרות הספר הנוכחי‪(.‬‬
‫מההגדרה ומשני המשפטים הקודמים נובע‬
‫משפט‪ :‬אם לפונקציה ‪ f‬יש מקסימום מקומי או מינימום מקומי בנקודה המתאימה ל‪ x -‬מסוים‪ ,‬אז ‪f‬‬
‫‪ `(x)=0‬בשביל ‪ x‬זה‪.‬‬
‫כעת יכולים אנו להוכיח את המשפט שהובא ללא הוכחה בסעיף על נגזרת של פולינום‪ ,‬והטוען שאם‬
‫‪ p(x)=0‬בשתי נקודות שונות‪ ,‬אז יש ביניהן נקודה השונה משתיהן‪ ,‬אשר בה ‪.p`(x)=0‬‬
‫ההוכחה‪ :‬גרף של פולינום הוא קו רציף וחלק ללא נתקים וקפיצות‪ .‬הבה נעקוב במחשבתנו אחרי‬
‫מהלך הגרף בין שתי נקודות שבהן הוא פוגש את ציר‪ .x -‬אם הגרף עוזב את הציר כלפי מעלה או‬
‫כלפי מטה‪ ,‬אז בדרכו חזרה אל הציר הוא עובר דרך נקודת מקסימום‪-‬מקומי או דרך נקודת מינימום‬
‫מקומי‪ ,‬ובנקודה כזאת שווה הנגזרת ל‪ .0 -‬אם אינו עוזב את הציר אז בכל נקודות הביניים שווה‬
‫הנגזרת ל‪.0 -‬‬
‫הערה‪ :‬משפטנו נכון גם בשביל הרבה פונקציות לא פולינומיאליות‪ ,‬אבל לא בשביל כולן‪ .‬בנספח‬
‫שיבוא להלן נראה פונקציות )לא פולינומיאליות( עם גרף החוזר אל ציר‪ x -‬דרך נקודות שבירה או‬
‫קפיצה שבהן אין הנגזרת מוגדרת כלל )אין שם לא שיפוע ולא משיק(‪.‬‬
‫ועוד הערה‪ :‬מכל דיוני הסעיפים הקודמים "נשארנו חייבים" רק עוד הוכחה אחת‪ ,‬והיא ההוכחה‬
‫שהגדרתנו הראשונה לנגזרת של פונקציה פולינומיאלית תואמת את ההגדרה השניה )הכללית( של‬
‫נגזרת גם לפונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ 4‬ומעלה‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .5‬בתרגיל שהופיע אחרי הפעם הראשונה שבה הוזכר משפטנו התבקשת להוכיח שממשפט זה נובע‬
‫שאם )‪ p(x‬הוא פולינום ממעלה ‪ ,n‬עם ‪ ,n³2‬אז למשוואה ‪ p(x)=0‬אין יותר מ‪ n -‬פתרונות‪ .‬כעת הוכח‬
‫ששום קו ישר )לא רק ציר ‪ (x‬אינו פוגש את הגרף של )‪ y=p(x‬ביותר מ‪ n -‬נקודות‪.‬‬
‫‪ .6‬השלם והוכח‪ :‬גרף של פולינום ממעלה שלישית וגרף של פולינום ממעלה רביעית אינם נפגשים‬
‫ביותר מ‪ ______ -‬נקודות‪.‬‬
‫‪ .7‬מטייל מספר את הסיפור הבא‪" :‬כשהיגענו נוטפי זעה אל המקום שבו היתה פעם פיסגת ההר‪,‬‬
‫גילינו שלהר אין פיסגה כלל‪ .‬מה קרה? גמל עבר על ראש ההר‪ ,‬דרך על הנקודה שהיתה פיסגתו‬
‫‪15‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫ושיטח אותה‪ ,‬ועכשיו אין נקודה זאת גבוהה משכנותיה‪ .‬כל הטיפוס המייגע היה לשוא"‪ .‬האם הכיר‬
‫אותו מטייל את הגדרת המקסימום המקומי? )מוסר‪-‬השכל‪ :‬אם אינך יודע מתמטיקה אל תחפש‬
‫פסגות‪(.‬‬
‫נספח‪ :‬נקודות ללא שיפוע‬
‫בציורים א‪ ,‬ב ו‪-‬ג שלהלן מיוצגות שלוש פונקציות שיש להן שתי נקודות התאפסות אך בין נקודות‬
‫אלה אין נקודת התאפסות של הנגזרת‪ .‬פונקציות אלה אינן‪ ,‬כמובן‪ ,‬פונקציות פולינומיאליות‪.‬‬
‫לפונקציה ‪ f‬של ציור א אין כלל נקודת מקסימום או מינימום‪ .‬כאשר מתקרב ‪ x‬ל‪ 0 -‬מצד שמאל‪ ,‬עולה‬
‫)‪ f(x‬ללא הגבלה‪ ,‬וכאשר ההתקרבות היא מצד ימין יורד )‪ f(x‬ללא הגבלה‪) .‬פונקציה פולינומיאלית‬
‫עולה או יורדת ללא הגבלה רק כאשר ‪ x‬עולה או יורד ללא הגבלה‪(.‬‬
‫הגרף מפורק לשני חלקים שביניהם )כאשר ‪ (x=0‬אין ‪ f‬מוגדרת‪ ,‬וממילא אין לה שם שיפוע‪.‬‬
‫בדוגמא שבציור ב נעשה המעבר שבין ההתרחקות מציר‪ x -‬ובין ההתקרבות אליו‪ ,‬בנקודת קפיצה‪.‬‬
‫)‪ f(x‬אמנם מוגדרת בנקודה זאת ) ‪ ( f(1)=-1‬אך לא )‪ , f `(x‬כי כאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬מצד ימין הולך‬
‫‪ ∆y/∆x‬וגדל ללא גבול‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2 x‬‬
‫)‪2 - x (x > 1‬‬
‫)‪- x (x ≤ 1‬‬
‫= )‪f(x‬‬
‫{‬
‫= )‪f(x‬‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫‪f(x) = | x | −1‬‬
‫גרף רציף וחלק‬
‫ציור ג‬
‫ציור ד‬
‫בציור ג יש מעבר מירידה לעליה דרך נקודת מינימום מקומי )הנקודה המודגשת(‪ ,‬אך בנקודה זאת אין‬
‫הגרף חלק אלא שבור‪ .‬בנקודה כזאת אין לפונקציה נגזרת‪ .‬בשביל ‪ h‬חיובי יהיה שם ‪∆y/∆x=1‬‬
‫ובשביל ‪ h‬שלילי יהיה ‪ ∆y/∆x=-1‬לכן שום מספר אינו יכול להחשב הגבול שאליו מתקרב ‪∆y/∆x‬‬
‫כאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ .0 -‬המשפט האומר שבנקודת מקסימום מקומי או מינימום מקומי שווה הנגזרת ל‪-‬‬
‫‪ ,0‬מדבר רק על המקרה שיש שם נגזרת‪ ,‬ולא על נגזרת שאינה קיימת‪ .‬בנקודת מקסימום או מינימום‬
‫מקומי אין הנגזרת יכולה להיות לא חיובית ולא שלילית‪ ,‬לכן אם היא קיימת שם היא שווה שם ל‪.0 -‬‬
‫לפונקציה פולינומיאלית יש נגזרת בכל נקודה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫הגרף שבציור ד הוא רציף וחלק‪ ,‬ולכן הוא עובר מעליה לירידה דרך נקודות עם שיפוע מוגדר ושווה‬
‫ל ‪.0 -‬‬
‫)‪ (9‬האֻמנם מקסימום?‬
‫ראינו‪ ,‬ואחר‪-‬כך גם הוכחנו‪ ,‬משפטהאומר שאם לפונקציה ‪ f‬יש מקסימום מקומי או מינימום מקומי‬
‫בנקודה המתאימה ל‪ x -‬מסוים ואם יש לה שם נגזרת‪ ,‬אז ‪ f `(x)=0‬בשביל ‪ x‬זה‪ .‬אך מצד שני‪,‬‬
‫התאפסות הנגזרת אצל ‪ x‬כלשהו אינה מבטיחה שיש שם מקסימום או מינימום‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בבעיה של תיבת הפח בנפח מקסימלי חיפשנו ‪ x‬שבין ‪ 0‬ו‪ 15 -‬שבשבילו מקבלת ‪(35-2x) (30-‬‬
‫‪ 2x) .x‬ערך מקסימלי ואמרנו שזה מתקבל אצל ‪ x=5.36880‬כי בשבילו מתאפסת הנגזרת‪ .‬נימוק זה‬
‫כשלעצמו לא היה מספיק והוספנו לו את השיקול האומר שבתחום הנידון יש נקודת מקסימום‪ ,‬והוא‬
‫אינו יכול להיות אלא אצל ‪ x=5.36880‬כי רק שם מתאפסת הנגזרת‪.‬‬
‫יכולנו להבטיח את המקסימום גם בסיוע מחשבון גרפי או תוכנת מחשב לשרטוט גרפים‪ .‬נכנים לשם‬
‫את הפונקציה ‪ (30-2*x)*(35-2*x)*x‬ונריץ עם חלון מתאים )לפעמים צריך לנסות חלונות שונים‬
‫עד שמתקבל חלון טוב(‪ .‬נקבל את הגרף שהיצגנו לעיל אצל הבעיה הנידונה‪ ,‬והגרף מראה שנקודתנו‬
‫היא אָמנם נקודת מקסימום‪.‬‬
‫)הערה‪ :‬בדרך זאת מצטמצם תפקיד החיפוש אחר נקודת התאפסות של הנגזרת רק למתן דיוק רב יותר‬
‫ממה שמתקבל מהגרף‪(.‬‬
‫דרך שלישית‪ :‬אחרי שמצאנו שהנגזרת )‪ N'(x‬מתאפסת כאשר ‪ x=5.368..‬נחשב את ערכה של‬
‫הנגזרת של הנגזרת באותו ‪.x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N''(x) = (12x -280x+1200)` = 24x-280‬‬
‫‪N''(5.368..) = 24.5.368..-280 = -111.168 < 0‬‬
‫לכן‬
‫מזה שהנגזרת של הנגזרת שלילית בנקודה שלנו נובע שהנגזרת הראשונה יורדת שם‪.‬‬
‫מזה‪ ,‬ומהעובדה שהנגזרת הראשונה מתאפסת שם‪ ,‬נובע שהנגזרת הראשונה חיובית בצד שמאל‬
‫ושלילית בצד ימין‪.‬‬
‫מכאן נובע שהפונקציה המקורית עולה בצד שמאל ויורדת בצד ימין‪ ,‬ומכאן שבנקודה ‪x=5.368..‬‬
‫עצמה יש לה מקסימום מקומי‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪.1‬א‪ .‬ל‪ f(x) -‬גרף רציף ללא קפיצות‪ ,‬ונתון ש‪ .f(1)=10, f(3)=4, f(4)=5 -‬כתוב "וודאי"‪" ,‬יתכן"‬
‫או "לא‪-‬יתכן" על‪-‬יד כל אחת מהטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .I‬ל‪ f -‬מקסימום מקומי אצל ‪.x=3‬‬
‫‪ .II‬ל‪ f -‬מינימום מקומי אצל ‪.x=3‬‬
‫‪ .III‬ל‪ f -‬לפחות נקודת מקסימום מקומי אחת עם ‪.1<x<4‬‬
‫‪ .IV‬ל‪ f -‬לפחות נקודת מינימום מקומי אחת עם ‪.1<x<4‬‬
‫ב‪ .‬איזו מהתשובות ל‪-‬א תשתנה אם נוסיף נתון ש‪?f`(1)=1 -‬‬
‫ג‪ .‬אילו מהתשובות ל‪-‬א תשתנינה אם לנתונים שם )ללא הנתון הנוסף שב‪-‬ב( נוסיף שהנגזרת '‪f‬‬
‫מוגדרת בכל ערכי ‪ x‬שבין ‪ 1‬ו‪ ,4 -‬אך ‪ f'(x)=0‬רק בשביל ‪?x=3‬‬
‫‪ f(x) .2‬פונקציה פולינומיאלית )לכן הגרף רציף ללא קפיצות‪ ,‬ויש נגזרת בכל מקום וכו'(‪ ,‬נתון ש‪-‬‬
‫)‪ ,f(1)=f(7‬ונתון ש‪-‬‬
‫‪17‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫‪ f'(7)>0, f'(1)>0‬ובין ‪ 1‬ו‪ 7 -‬אין )‪ f'(x‬שווה ל‪ 0 -‬אלא בשביל ‪ x=2‬ו‪.x=5 -‬‬
‫כתוב "וודאי"‪" ,‬יתכן" או "לא‪-‬יתכן" על‪-‬יד כל אחת מהטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .I‬ל‪ f -‬מקסימום מקומי אצל ‪.x=2‬‬
‫‪ .II‬ל‪ f -‬מינימום מקומי אצל ‪.x=2‬‬
‫‪ .III‬ל‪ f -‬מקסימום מקומי אצל ‪.x=5‬‬
‫‪ .IV‬ל‪ f -‬מינימום מקומי אצל ‪.x=5‬‬
‫‪ f(x) .3‬פונקציה פולינומיאלית‪ f `(x)=0 .‬רק כאשר ‪ .x=4‬אילו מבין זוגות‪-‬הנתונים הבאים מספיקים‬
‫כדי להסיק של‪ f -‬מקסימום מקומי כאשר ‪?x=4‬‬
‫‪ f(3) .I‬ו‪ f(5) -‬קטנים מ‪.f(4) -‬‬
‫‪ f'(3)>0 .II‬ו‪.f'(5)<0 -‬‬
‫‪ f(3)<f(4) .III‬ו‪.f'(5)<0 -‬‬
‫‪ f(5)<f(4) .IV‬ו‪.f'(3)>0 -‬‬
‫‪.f(3)=f(5)<f(3.5) .V‬‬
‫‪.4‬א‪ .‬לאדם יש חומר‪-‬גידור המספיק לבנית גדר שאורכה ‪ 400‬מטר‪ .‬מהו השטח המלבני המקסימלי‬
‫שהוא יכול לגדר‪ ,‬ומהם אורכו ורוחבו של המלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬כנ"ל אבל התחום אותו הוא רוצה לגדר נמצא על שפת נהר ישר‪ ,‬והצד הגובל בנהר אינו טעון‬
‫גידור‪.‬‬
‫הנחייה‪ :‬סמן ב‪ x -‬את אורך אחת מצלעות המלבן‪.‬‬
‫‪ .5‬כשאלה ‪4‬א‪ ,‬אבל לא רוצים ששטח המלבן יהיה מקסימלי אלא שאורך אלכסונו יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫הנחייה‪ :‬אורך האלכסון הוא מקסימלי כאשר ריבועו של אורך האלכסון הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ .6‬באיזה ‪ x‬מקבלת הפונקציה ‪ f(x)= 1/3 x3 - 5/2 x2 + 4x+7‬מקסימום כללי‬
‫א‪ .‬בשביל הקטע ‪? 0 ≤ x ≤ 5‬‬
‫ב‪ .‬בשביל הקטע ‪? 0 ≤ x ≤ 6‬‬
‫הנחייה‪ :‬יש לחשב ולהשוות את ערכי הפונקציה רק בנקודות שבהן אולי נמצא המקסימום‪ ,‬כלומר‪ ,‬רק‬
‫בנקודות התאפסות הנגזרת ובקצות הקטע‪) .‬אם המקסימום בשביל כל הקטע הוא בנקודה פנימית אז‬
‫הוא גם מקסימום מקומי‪ .‬אם הוא בקצה אז אין צורך לבדוק האם נקודת התאפסות הנגזרת היא‪ ,‬בכל‬
‫זאת‪ ,‬מקסימום מקומי‪ ,‬כי השאלה מבקשת רק מקסימום בשביל כל הקטע‪(.‬‬
‫בדרך ג שלעיל הוכחנו‪ ,‬בעצם‪ ,‬את חלק א של המשפט הבא‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ f'(m)=0‬אז‬
‫א‪ .‬אם ‪ f''(m)<0‬אז ל‪ f -‬מקסימום מקומי בנקודה שבה ‪.x=m‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f''(m)>0‬אז ל‪ f -‬מינימום מקומי בנקודה שבה ‪.x=m‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .7‬הוכח את חלק ב של המשפט‪.‬‬
‫‪f(x) = 1/6 x6 - 6/5 x5 -2x4 + 22x3 +7/2 x2 - 60x +17 .8‬‬
‫‪f'(x) = x5 - 6x4 - 8x3 + 66x2 + 7x - 60‬‬
‫לכן‬
‫חישוב שאינך מתבקש לחזור עליו הראה ש‪ f'(x) = 0 -‬כאשר }‪x ∈ {-3, -1, 1, 4, 5‬‬
‫מצא היכן יש ל‪ f(x) -‬מקסימום מקומי והיכן מינימום מקומי‬
‫‪18‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫א‪ .‬בעזרת )‪. f''(x‬‬
‫ב‪ .‬בדרך אחרת‪.‬‬
‫‪ .9‬להלן גרפים של )‪ f'(x) ,f(x‬ו‪ .f''(x) -‬מי הוא מי? נמק‪.‬‬
‫‪.10‬א‪ .‬איזו מנקודות הישר ‪ y=2x+2‬נמצאת במרחק הקטן ביותר מהנקודה )‪ (5,2‬ומהו מרחק זה?‬
‫הנחייה‪ :‬בטא את ריבוע המרחק כפונקציה של ‪.x‬‬
‫ב‪ .‬צייר ציור המראה את התוצאות‪ .‬ציר‪ x -‬וציר‪ y -‬יהיו בקנה מידה שווה‪.‬‬
‫‪ .11‬לאורך כביש‪ ,‬שלצורך ענייננו יחשב לציר‪ ,x -‬עומדות חמש תחנות‪-‬דלק בנקודות ‪x4 ,x3 ,x2 ,x1‬‬
‫ו‪ .x5 -‬מחפשים מקום לטכנאי‪-‬תיקונים באופן שסכום ריבועי המרחקים ממנו אל חמש התחנות יהיה‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫הוכח שהמקום המתאים הוא בנקודת הממוצע ‪. x=(x1+x2+x3+x4+x5)/5‬‬
‫‪ .12‬מפעל המייצר חומר מסויים מוכר ‪ 50‬טון לשבוע‪ ,‬והרווח הנקי שלו‪ ,‬אחרי ניכוי הוצאות הייצור‪,‬‬
‫הוא ‪ 1000‬שקל לטון‪ .‬אם יקטין המפעל את מחיר המוצר יקטן‪ ,‬כמובן‪ ,‬הרווח לטון‪ ,‬אך הכמות‬
‫שתימכר תגדל‪ ,‬ואם יגדיל את המחיר ירויח יותר לכל טון אך ימכור פחות טונות‪ .‬הנהלת המפעל‬
‫משערת שהקשר שבין הרווח לטון ‪ x‬ובין הכמות שתימכר ‪ y‬ניתן על‪-‬ידי ‪ .y=75-x/40‬מה צריך‬
‫להיות הרווח לטון אם רוצים שהרווח הכללי יהיה מקסימלי?‬
‫)‪ (10‬פתירת משוואה בשיטת ניוטון‪-‬רפסון‬
‫שיטת ניוטון‪-‬רפסון משמשת לפתירת משוואה ‪ f(x)=0‬אשר אין לנו נוסחה או דרך אחרת להגיע‬
‫ישירות אל הפתרון‪ .‬היא מאפשרת לצאת מניחוש כלשהוא‪ ,‬אפילו ניחוש גרוע‪ ,‬ולהשתמש בו לקבלת‬
‫מספרים יותר קרובים אל הפתרון‪ .‬חסרונה הוא בזה שגם כאשר היא מגיעה אל פתרון אחד אין היא‬
‫נותנת אפילו לא רמז על קיומם של פתרונות נוספים‪.‬‬
‫השימוש בשיטת ניוטון‪-‬רפסון אינו דורש שרטוט גרפים‪ ,‬אך בשלב ראשון נציג ונצדיק אותה בדרך‬
‫גרפית‪.‬‬
‫בציורים שלהלן מסומן הגרף של )‪ y=f(x‬בקו עבה‪ ,‬ומודגשת נקודת פגישתו עם ציר‪ ,x -‬שהיא‬
‫פתרון למשוואה ‪ .f(x)=0‬אם נצא מהנקודה ‪ ,x=x1‬נלך לאורך הניצב לציר עד שנגיע לגרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬נעביר שם משיק ונלך עליו אל ציר‪ ,x -‬נגיע לנקודה ‪ .x2‬ראה ציור א‪ .‬בדרך דומה נצא מ‪-‬‬
‫‪ x2‬ונגיע ל‪ ,x3 -‬נצא מ‪ x3 -‬ונגיע ל‪ x4 -‬וכן הלאה‪ ,‬וכך נקבל סידרת מספרים המתקרבת אל הפתרון‬
‫המבוקש‪ .‬ראה ציור ב‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫)‪f(x1‬‬
‫‪x2 h‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x4‬‬
‫הבה נשתמש בסימוני ציור א כדי להראות כיצד נחשב את ‪ x2‬מתוך ‪ x1‬ללא שרטוט‪.‬‬
‫‪ h‬ו‪ f(x1) -‬יכולים לשמש בתפקיד ‪ ∆x‬ו‪ ∆y -‬של המשיק‪ ,‬לכן שווה המנה שלהם לנגזרת )‪,f '(x1‬‬
‫‪f '(x1) = f(x1)/h‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫)‪h= f(x1)/f '(x1‬‬
‫לכן‬
‫לכן‬
‫) ‪f (x 1‬‬
‫) ‪f ' (x 1‬‬
‫⋅ ‪x 2 = x1‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הציור הבא מראה ששיטת ניוטון‪-‬רפסון נותנת‪,‬‬
‫לפעמים‪ ,‬תהליך המתקרב אל פתרון דרך נקודות שבשני‬
‫הצדדים שלו‪.‬‬
‫תרגיל במחשבה בלבד‪ :‬התוכל לראות שאם נקודת המוצא‬
‫הייתה קרובה לראשית הצירים במידה מתאימה‪ ,‬היה‬
‫התהליך מוביל אל הפתרון השני של המשוואה?‬
‫תרגיל ‪ :1‬יהי ‪ x1=2‬חשב )בעזרת מחשבון כיס( את ‪ x3 ,x2‬וכו' בשביל פתירת המשוואה ‪x3-‬‬
‫‪ ,5x+3=0‬עד שתגיע ל‪ x -‬כזה שבשבילו יהיה ‪.|x3-5x+3|<0.00001‬‬
‫תרגיל ‪ : 2‬כדי לפתור את המשוואה ‪ x5-3x3+15x-5=0‬השתמש אדם בתוכנת שרטוט גרפים )או‬
‫במחשבון גרפי( ומצא שהגרף חותך את ציר ‪ x‬בסביבת ‪ .x=0.35‬הוא הציב ערך זה בנוסחה ‪x5-‬‬
‫‪ 3x3+15x-5‬וקיבל‬
‫‪. -0.08774781‬‬
‫א‪ .‬בצע צעד התקרבות אחד לפי נוסחת ניוטון‪-‬רפסון וחשב את מה שיתקבל מהצבת התוצאה ב‪-‬‬
‫‪.x5-3x3+15x-5‬‬
‫ב‪ .‬בצע צעד נוסף וחשב כנ"ל‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 3‬אם יש לך אמצעי שרטוט כנזכר בתרגיל הקודם(‬
‫מצא דרך שרטוט במערכת צירים מתאימה כמה פתרונות למשוואה הנ"ל‪.‬‬
‫בחר‪ ,‬לפי הגרף‪ ,‬נקודה בקרבת פתרון נוסף והגדל את הדיוק של הפתרון המתאים‪.‬‬
‫‪20‬‬