פתרון תרגיל 10 ־ ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

‫פתרון תרגיל ‪ 10‬־ ממשוואות למבנים‬
‫אלגברה למדעי ההוראה‪.‬‬
‫‪ 2‬ביולי ‪2010‬‬
‫‪1‬‬
‫אם המציין של השדה הוא ‪ 2‬נקבל כי ‪ 1 + 1 = 0‬וראינו בכיתה שלכל שני אברים ‪ a, b‬בשדה‬
‫‪ .(a + b)2 = a2 + b2‬לכן ‪ (x + 1)4 = ((x + 1)2 )2 = (x2 + 1)2 = x4 + 1‬ולכן הפולינום‬
‫אינו אי פריק‪ .‬כעת נניח כי המציין של השדה גדול מ ‪ 2‬ונניח כי מספר האברים בשדה הוא‬
‫‪ q = pn‬עבור ראשוני כל שהוא ‪) p‬המציין של השדה(‪ .‬נשים לב כי מאחר ו ‪ q‬אי זוגי )מאחר‬
‫ו ‪ p > 2‬ראשוני ולכן אי זוגי( קיים ‪ n‬טבעי כך ש ‪ q = 2n + 1‬ולכן‬
‫)‪q 2 − 1 = (2n + 1)2 − 1 = 4n2 + 4n + 1 − 1 = 4n2 + 4n = 4n(n + 1‬‬
‫מאחר ו ‪ n‬מספר טבעי נקבל כי )‪ n(n + 1‬מספר זוגי לכן קיים טבעי ‪ m‬שעבורו מתקיים‬
‫‪ .q 2 − 1 = 4 · 2m = 8m‬לכן ‪ 8‬מחלק את ‪ .q 2 − 1‬נתבונן כעת בשדה ‪ .Fq2‬ראינו בכיתה‬
‫‪2‬‬
‫כי כל אברי השדה הם השורשים השונים של הפולינום ‪ xq − x‬ואברי החבורה הכפלית‬
‫‪2‬‬
‫של השדה הם השורשים השונים מאפס כלומר השורשים של הפולינום ‪ .xq −1 − 1‬לפי מה‬
‫שהראנו קודם קיים ‪ m‬טבעי כך ש ‪ q 2 − 1 = 8m‬לכן ‪ x8m − 1 = (xm )8 − 1‬ונוכל לרשום‬
‫)‪− 1 = (xm )8 − 1 = ((xm )4 )2 − 1 = ((xm )4 − 1)((xm )4 + 1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xq‬‬
‫נבחר שורש של הגורם השני ונסמנו ב ‪ ,α‬כלומר ‪ α‬מקיים ‪ (αm )4 + 1 = 0‬ומצאנו איבר‬
‫‪ β = αm ∈ Fq2‬המקיים ‪ β 4 + 1 = 0‬כלומר מאפס את ‪ x4 + 1‬שהוא פולינום מדרגה‬
‫‪ 4‬מעל ‪ .Fq‬קיבלנו כי ‪ β‬איבר אלגברי מעל ‪ .Fq‬נסמן ב ‪ mβ‬את הפולינום המינימלי של‬
‫‪ β‬מעל ‪ Fq‬וברור כי ‪ .4 ≥ deg mβ ≥ 1‬נתבונן ב )‪ ,Fq (β‬שדה ההרחבה של ‪ Fq‬על‬
‫ידי ‪ .β‬ברור כי ‪ Fq (β) ⊂ Fq2‬ולכן | ‪ .deg mβ = |Fq (β) : Fq | ≤ |Fq2 : Fq‬מאחר‬
‫ו ‪ |Fq2 | = q 2‬ו ‪ |Fq | = q‬נקבל כי המימד של ‪ Fq2‬כמרחב וקטורי מעל ‪ Fq‬הוא ‪ 2‬ולכן‬
‫‪ .1 ≤ deg mβ ≤ |Fq2 : Fq | = dimFq Fq2 = 2‬ראינו ש ‪ β‬שורש של ‪) x4 + 1‬פולינום מעל‬
‫‪ (Fq‬וכמובן שורש של ‪ .mβ‬מאחר ו ‪ mβ‬פולינום מינימלי מעל ‪ mβ ,Fq‬מחלק את ‪x4 + 1‬‬
‫מעל ‪ .Fq‬אם ‪ deg mβ = 2‬נקבל כי ‪ x4 + 1‬מתפרק מעל ‪ Fq‬למכפלה של שני פולינומים‬
‫מדרגה ‪) 2‬במקרה זה ‪ β 6∈ Fq‬ואז גם )‪ (Fq2 = Fq (β‬ואם ‪ deg mβ = 1‬נקבל כי ‪x4 + 1‬‬
‫מתפרק לפולינום ממעלה ראשונה )‪ (x − β‬ופולינום ממעלה שלישית )במקרה זה מתקיים‬
‫‪ .(β ∈ Fq‬בכל מקרה ‪ x4 + 1‬אינו אי פריק מעל ‪.Fq‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫נשים לב כי מעל )‪ GF (2‬מתקיים כי ‪ (x + 1)2 = x2 + x + x + 1 = x2 + 1‬וכך גם לכל‬
‫חזקה זוגית‪ .‬כעת נרשום את כל הפולינומים הפריקים ממעלה ‪ 4‬מעל )‪ GF (2‬על ידי הכפלת‬
‫הגורמים האי פריקים מדרגות נמוכות יותר‪ .‬שאר הפולינומים יהיו הפולינומים האי פריקים‪.‬‬
‫מכפלות של מעלות ראשונות‬
‫‪x4‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪x4 + x3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x4 + x2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪x4 + x3 + x2 + x (4‬‬
‫‪x4 + 1‬‬
‫)‪(5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪x2 (x2 + 1‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫= )‪x((x + 1)(x + 1)) = x(x3 + x2 + x + 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪x4‬‬
‫)‪x (x + 1‬‬
‫‪x2 (x + 1)2‬‬
‫‪x(x + 1)3‬‬
‫‪(x + 1)4‬‬
‫‪3‬‬
‫מעל )‪ GF (2‬יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה שניה והוא ‪ p(x) = x2 + x + 1‬לכן‬
‫מכפלות של שתי מעלות ראשונות איתו יתנו‬
‫‪= x4 + x3 + x2‬‬
‫‪x + x + x + x + x + x = x4 + x‬‬
‫‪x4 + x3 + x2 + x2 + x + 1 = x4 + x3 + x + 1‬‬
‫)‪(6‬‬
‫)‪(7‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪x2 (x2 + x + 1‬‬
‫= )‪x(x + 1)(x2 + x + 1‬‬
‫= )‪(x + 1)2 (x2 + x + 1‬‬
‫מכפלת ‪ p‬בעצמו ייתן מכפלות של פולינומים אי פריקים מדרגה ‪2‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪x4 + x2 + 1‬‬
‫=‬
‫‪(x2 + x + 1)2‬‬
‫מעל )‪ GF (2‬הפולינומים האי פריקים ממעלה ‪ 3‬הם כל הפולינומים שאין להם שורש ב‬
‫)‪) GF (2‬אילו היו פריקים היו מתפרקים לגורם לינארי וגורם ריבועי והליאנרי היה שורש(‪,‬‬
‫ברור שהאיבר החופשי חייב להיות ‪ 1‬לכן נשארו ‪ 4‬אפשרויות‪ ,‬קל לראות שהאי פריקים הם‬
‫‪x3 + x2 + 1‬‬
‫‪x3 + x + 1‬‬
‫לכן מכפלתם בגורמים לינארים יתנו לנו עוד ‪ 4‬פולינומים‬
‫)‪(10‬‬
‫)‪(11‬‬
‫)‪(12‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪x4 + x3 + x‬‬
‫‪x4 + x + 1‬‬
‫‪x4 + x2 + x‬‬
‫‪x4 + x3 + x2 + 1‬‬
‫=‬
‫= ‪x +x +x+x +x +1‬‬
‫=‬
‫= ‪x4 + x2 + x + x3 + x + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪x(x3 + x2 + 1‬‬
‫= )‪(x + 1)(x3 + x2 + 1‬‬
‫= )‪x(x3 + x + 1‬‬
‫= )‪(x + 1)(x3 + x + 1‬‬
‫מצאנו ‪ 13‬פולינומים פריקים מעל )‪ GF (2‬ממעלה ‪ ,4‬שאר שלושת הפולינומים ממעלה ‪ 4‬הם‬
‫‪x4 + x3 + 1‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪x4 + x2 + x + 1‬‬
‫)‪(15‬‬
‫)‪x4 + x3 + x2 + x + 1 (16‬‬
‫סך הכל פולינומים ממעלה ‪ 4‬מעל )‪ GF (2‬יש ‪) 16‬המקדמים של ‪ 1, x, x2 , x3‬יכולים להיות‬
‫‪ 0‬או ‪ 1‬וסך הכל יש לנו ‪ 24 = 16‬אפשרויות( ולכן שלושת האחרונים הם כל הפולינומים האי‬
‫פריקים מעל )‪.GF (2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.1‬‬
‫לפי שאלה ‪ 2‬ראינו ש ‪ p(x) = x3 + x + 1‬הוא פולינום אי פריק מעל )‪ .GF (2‬נתבונן בחוג‬
‫המנה )‪ GF (2)[x]/(x3 +x+1)GF (2)[x] ≈ GF (2)(α‬כאשר ‪ α‬שורש של ‪ .p‬מאחר ו ‪ p‬אי פריק‬
‫נקבל שדה‪ .‬נשים לב כי גודל החבורה הכפלית היא ‪) 7‬מספר ראשוני( לכן הסדר של כל‬
‫האברים בשדה הוא ‪ .7‬נבדוק את החזקות הקטנות יותר‬
‫‪= α2‬‬
‫‪=α+1‬‬
‫‪= α2 + α‬‬
‫‪= α2 + α + 1‬‬
‫‪= α2 + 1‬‬
‫‪−α − 1‬‬
‫)‪αα3 = α(α + 1‬‬
‫‪αα4 = α(α2 + α) = α3 + α2‬‬
‫= ‪α3 α3 = (α + 1)2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪α2‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪3.2‬‬
‫נוכל לכתוב טבלת חיבור עבור חזקות של ‪ .α‬כל שני איברים נחבר בעזרת הקשר בין חזקות‬
‫‪ α‬לפולינומים מדרגה ‪ 2‬ב ‪) α‬נזכור כי ‪ (1 + 1 = α + α = α2 + α2 = 0‬לכן‬
‫‪α6‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α3‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α4‬‬
‫‪α5‬‬
‫‪α6‬‬
‫‪3.3‬‬
‫מצאנו מהטבלה כי ‪ .1 + α2 = α6‬נוכל לראות זאת גם בדרך אחרת‪ :‬מאחר ו ‪ α‬מאפס את‬
‫הפולינום ‪ x3 + x + 1‬מתקיים כי ‪ .α3 = α + 1‬נעלה בריבוע את שני אברי המשוואה ונקבל‬
‫שאכן ‪.α6 = (α + 1)2 = α2 + 1‬‬
‫‪3.4‬‬
‫אם )‪ GF (4‬היה תת שדה של )‪ GF (8‬היינו יכולים להתבונו על )‪ GF (8‬כמרחב וקטורי מעל‬
‫)‪ .GF (4‬מאחר ו )‪ GF (8‬שדה סופי ברור שהמימד שלו גם כן סופי מעל )‪ GF (4‬לכן קיים‬
‫בסיס כלשהוא מגודל ‪ n‬עבור ‪ n‬טבעי‪ ,‬כלשהוא‪ .‬נקבל כי ‪8 = |GF (8)| = |GF (4)|n = 4n‬‬
‫אבל ‪ 41 = 4 < 8 < 16 = 42‬לכן לא קיים ‪ n‬כזה ולכן )‪ GF (4‬לא תת שדה של )‪.GF (8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫נתבונן בפולינום ‪ x2 − 3‬מעל )‪ .GF (5‬ניתן לכתוב אותו גם כ ‪ .p(x) = x2 + 2‬נראה כי‬
‫אין לפולינום זה שורשים ב )‪.GF (5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6(mod5) = 1‬‬
‫‪11(mod5) = 1‬‬
‫‪18(mod5) = 3‬‬
‫= ‪02 + 2‬‬
‫= ‪12 + 2‬‬
‫= ‪22 + 2‬‬
‫= ‪32 + 2‬‬
‫= ‪42 + 2‬‬
‫לכן הפולינום ‪ p‬אי פריק מעל )‪ GF (5‬ו )‪GF (25) ≈ GF (5)[x]/(x2 +2)GF (5)[x] ≈ GF (5)(ε‬‬
‫כאשר ‪ ε‬שורש של ‪ p‬כלומר ‪.ε2 = 3‬‬
‫‪4.2‬‬
‫מאחר וראינו כי )‪ ε 6∈ GF (5) ,GF (25) ≈ GF (5)(ε‬ו ‪ |GF (25) : GF (5)| = 2‬ברור כי‬
‫}‪ {1, ε‬מהווה בסיס ל )‪ GF (25‬כמרחב וקטורי מעל )‪ .GF (5‬נחשב את כל החזקות של ‪:ε‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3ε‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2ε‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪εε2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫=‬
‫)‪ε ε = 3 · 3 = 9(mod5‬‬
‫=‬
‫)‪ε2 ε3 = 3 · 3ε = 9ε(mod5‬‬
‫)‪= ε3 ε3 = (3ε)2 = 9ε2 = 27(mod5‬‬
‫=‬
‫)‪ε3 ε4 = 3ε4 = 12ε(mod5‬‬
‫=‬
‫)‪2 · 3 = 6(mod5‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪ε3‬‬
‫‪ε4‬‬
‫‪ε5‬‬
‫‪ε6‬‬
‫‪ε7‬‬
‫‪ε8‬‬
‫מצאנו שהסדר של ‪ ε‬הוא ‪ 8‬ולכן הוא לא יכול ליצור את החבורה הכפלית שהיא מסדר ‪.24‬‬
‫‪4.3‬‬
‫הסדרים של איברים בחבורה הכפלית חייבים לחלק את ‪ .24‬לכן נבדוק רק את החזקות‬
‫‪12,8,6,4,3,2‬‬
‫=‬
‫‪1 + 2ε + ε2 = 1 + 2ε + 3‬‬
‫‪= 4 + 2ε‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪= (1 + ε)(1 + ε) = (1 + ε)(4 + 2ε) = 4 + 6ε + 2ε2 = 4 + ε + 6‬‬
‫‪ε‬‬
‫=‬
‫‪(1 + ε)(1 + ε)3 = (1 + ε)ε = ε + ε2‬‬
‫‪= 3+ε‬‬
‫=‬
‫‪((1 + ε)3 )2 = ε2‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪(3 + ε) = 9 + 6ε + ε2 = 4 + ε + 3 = 7 + ε‬‬
‫‪= 2+ε‬‬
‫=‬
‫‪32 = 9‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪(1 + ε)2‬‬
‫‪(1 + ε)3‬‬
‫‪(1 + ε)4‬‬
‫‪(1 + ε)6‬‬
‫‪(1 + ε)8‬‬
‫‪(1 + ε)12‬‬
‫מצאנו כי הסדר של ‪ 1 + ε‬חייב להיות ‪ 24‬ולכן הוא יוצר את החבורה הכפלית של )‪.GF (25‬‬
‫‪4.4‬‬
‫מהחישוב האחרון מצאנו )בשורה הראשונה( כי )‪(1+ε)2 = 4+2ε = 2+2+2ε = 2+2(1+ε‬‬
‫לכן ‪ 1 + ε‬מאפס את הפולינום ‪ .x2 − 2x − 2 = x2 + 3x + 3‬זהו פולינום ממעלה שניה‬
‫‪4‬‬
‫מעל )‪ .GF (5‬מאחר והסדר של ‪ 1 + ε‬מקיים ‪ |GF (5)∗ | = 4 < 24‬הוא אינו יכול להיות‬
‫ב )‪ GF (5‬ולכן הפולינום המינימלי שלו איננו ממעלה ראשונה‪ .‬לכן הפולינום המינימלי של‬
‫‪ 1 + ε‬הוא ‪.x2 + 3x + 3‬‬
‫‪5‬‬