תורת המספרים ־ הרצאה 3

‫תורת המספרים ־ הרצאה ‪3‬‬
‫‪ 3‬בנובמבר ‪2014‬‬
‫מטרה‪) :‬המשפט היסודי של האריתמטיקה( רוצים להוכיח שכל שלם אי פריק הוא ראשוני‪ .‬ינבע מכך‬
‫שכל שלם ‪ x‬עם ‪ |x| > 1‬ניתן לפירוק כ‬
‫‪x = ±pr11 · ... · prl‬‬
‫‪l‬‬
‫כאשר כל ‪ p1 , ..., pl‬ראשוניים‪ ,‬ו ‪ rl‬טבעיים‪ ,‬ורישום זה יחיד עד כדי סדר הגורמים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬הממ"מ )‪ (gcd‬של שלמים ‪ a, b‬לא שניהם ‪ ,0‬הוא מחלק ‪ d‬של שניהם‪ ,‬הגדול מביניהם‪.‬‬
‫טענה‪ gcd(a, b) = ma + mb :‬עבור ‪.m, n ∈ Z‬‬
‫חלוקה עם שארית‪ :‬אם ‪ a ∈ Z‬ו ‪ b > 0‬אז קיימים ויחידים ‪ q, r‬כך ש ‪ a = qb + r‬כך ש ‪.0 ≤ r < b‬‬
‫חישוב ה‪gcd‬־ אלגוריתם אוקלידס )‪(300BC‬‬
‫נתונים ‪ a, b‬לא שניהם ‪ .0‬נרצה לחשב )‪ .gcd(a, b‬בה"כ ‪.a > b > 0‬‬
‫‪a = q1 b + r1‬‬
‫‪b = q2 r1 + r2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪rk−2 = qk rk−1 + rk‬‬
‫‪rk−1 = qk+1 rk + 0‬‬
‫טענה ‪ :1‬האלגוריתם מסתיים לאחר מספר צעדים סופי‪.‬‬
‫טענה ‪.rk = gcd(a, b) :2‬‬
‫הוכחה )טענה ‪(1‬‬
‫העובדה שהאלגוריתם מסתיים לאחר מספר סופי של צעדים נובעת מכך ש־ ‪ 0 ≤ r1 < b‬וכן‬
‫‪ ,0 ≤ ri+1 < ri‬וסדרת אי שליליים יורדת חייבת להיות סופית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכחה )טענה ‪(2‬‬
‫כדי להראות ש )‪ ,rk = gcd(a, b‬נראה‪:‬‬
‫א‪ rk .‬הוא מחלק משותף של ‪.a, b‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית ‪ ,rk |rk‬וכן‪ ,rk |rk−1 ,‬לפי השורה האחרונה באלגוריתם‪ .‬מהשורה לפני האחרונה‪,‬‬
‫‪) rk |rk−2‬כיוון שהוא מחלק את שני המחוברים(‪ .‬נמשיך כך ונרשום‪:‬‬
‫‪ri = qi+2 ri+1 + ri+2‬‬
‫ומהאינדוקציה‪ rk |ri+2 ,‬ו ‪ rk |ri+1‬ולכן ‪ .rk |ri‬מכאן ‪ rk |ri‬לכל ‪ i‬ובפרט את ‪ a‬ו ‪ b = r0 ) b‬ו‬
‫‪.(a = r−1‬‬
‫ב‪ .‬ניתן להציג את ‪ rk‬באופן הבא‪ rk = ma + nb :‬עבור ‪.m, n ∈ Z‬‬
‫הוכחה‪ :‬שוב‪ ,‬באינדוקציה‪:‬‬
‫‪r1 = a − q 1 b‬‬
‫)‪r2 = b − q2 r1 = b − q2 (a − q1 b‬‬
‫וכן הלאה עד שנקבל הצגה ל ‪.rk‬‬
‫ג‪rk = gcd(a, b) .‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו ש ‪ rk‬מחלק משותף של ‪ .a, b‬כמו כן אם ‪ t‬מחלק משותף של ‪ a, b‬אז כיוון ש‬
‫‪ rk = ma + nb‬נובע ‪ ,t|rk‬ולכן ‪ rk‬הוא המחלק המשותף המקסימלי‪.‬‬
‫משפט‬
‫כל שלם אי פריק הוא ראשוני‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫יהי ‪ p‬אי פריק‪ ,‬כלומר כל מחלק של ‪ p‬הוא ב־ }‪.{±1, ±p‬‬
‫צריך להוכיח ־ אם ‪ p|ab‬עבור ‪ a, b ∈ Z‬כלשהם‪ ,‬אז ‪ p|a‬או ‪.p|b‬‬
‫יהיו ‪ a, b‬שלמים‪ ,‬שניהם לא ‪) 0‬אם אחד מהם הוא ‪ ,0‬אז הנ"ל מתקיים באופן טריוויאלי(‪.‬‬
‫נניח ש ‪ p|ab‬אבל )בה"כ( ‪) p - a‬אחרת אין מה להוכיח(‪ .‬נסיק ש ‪ .gcd(p, a) = 1‬אכן‪ ,‬אם ‪ d‬מחלק‬
‫משותף‪ ,‬אז ‪ ,d|p‬ולכן }‪) d ∈ {±1, ±p‬היות ו ‪ p‬אי פריק(‪ .‬לא ייתכן ש ‪ ,d = ±p‬כי ‪ p - a‬אבל ‪.d|a‬‬
‫מכאן ש ‪ d = 1‬ולכן ‪ .gcd(p, a) = 1‬לכן‪ ,‬קיימים ‪ m, n ∈ Z‬כך ש ‪ .1 = ma + np‬נכפיל ב ‪ b‬ונקבל‬
‫‪b = mab + npb‬‬
‫מהנתון‪ p|ab ,‬וכמובן ‪ ,p|pb‬כלומר ‪ p‬מחלק את אגף ימין‪ ,‬ולכן ‪.p|b‬‬
‫‪2‬‬
‫מספרים ראשוניים‬
‫משפט )אוקלידס(‬
‫ישנם אינסוף ראשוניים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בחוג השלמים‪ ,‬נשנה את ההגדרה של ראשוניים‪ ,‬ונאמר ש ‪ p‬ראשוני אם הוא טבעי ומקיים את‬
‫ומקיים את ההגדרה הקודמת‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫אם יש מספר סופי‪ ,‬נאמר ‪ .p1 , ..., pl‬נסמן ‪.ql = p1 · ... · pl + 1‬‬
‫מהמשפט שלמדנו יש ל ‪ ql‬מחלק ראשוני‪ ,‬נקרא לו ‪ .p‬לפי ההנחה‪ ,p ∈ {p1 , ..., pl } ,‬אבל זו סתירה‪,‬‬
‫שכן אם ‪ pi‬כלשהו מחלק את ‪ ,ql‬וכיוון שהוא מחלק את המכפלה ‪ p1 , .., .pl‬ינבע ש ‪ ,pi |1‬וזו סתירה‬
‫לעובדה שהמספרים הראשוניים גדולים מ־‪.1‬‬
‫משפט‬
‫יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה ‪ 4n + 3‬עבור ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬נכון גם שיש אינסוף מהצורה ‪ ,4n + 1‬אבל זה הרבה יותר קשה להוכחה‪.‬‬
‫משפט )דיריכלה(‪) :‬לא נלמד בקורס( בסדרה ‪ an + b‬עבור ‪ a, b > 0‬נתונים וכל ה ‪ n‬הטבעיים יש‬
‫אינסוף ראשוניים ברגע ש ‪.gcd(a, b) = 1‬‬
‫הוכחה‬
‫יהיו ‪ 2 = p1 , .., pl‬ה ‪ l‬הראשוניים הראשונים‪ .‬נגדיר‬
‫‪rl = 4 · p2 · p3 · ... · pl − 1 = 4(p2 ...pl − 1) + 3‬‬
‫‪ .‬וודאי ש ‪ rl‬הוא מהצורה ‪ 4n + 3‬עבור ‪ n‬שלם‪ .‬לא ייתכן שכל המחלקים שלו הם מהצורה ‪,4n + 1‬‬
‫כיוון שמכפלה של מספרים מהצורה ‪ 4n + 1‬היא מצורה זו‪:‬‬
‫‪(4n1 + 1)(4n2 + 1) = 16n1 n2 + 4n2 + 4n1 + 1 = 4(4n1 n2 + n1 + n2 ) + 1‬‬
‫לכן קיים ראשוני ‪ p‬מהצורה ‪ 4n + 3‬המחלק את ‪.rl‬‬
‫∞→‪l‬‬
‫מאותו שיקול כמו קודם‪ p ,‬אינו אחד מ ‪ ,p1 , ..., pl‬כלומר בפרט ‪ .p > pl‬כיוון ש ∞ → ‪ ,pl‬נובע‬
‫שיש אינסוף ראשוניים מהצורה ‪.4n + 3‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה‬
‫כמה ראשוניים יש עד לנקודה מסוימת? כמה הראשוניים נדירים?‬
‫נגדיר‬
‫|}‬
‫‪is primal‬‬
‫‪π(x) = |{p : p ≤ x, p‬‬
‫מההוכחה של אוקלידס‪ ,‬נקבל־‬
‫טענה‬
‫‪l‬‬
‫‪ pl ≤ 22‬לכל ‪) l ≥ 1‬כאשר ‪ pl‬הוא הראשוני ה ‪.(l‬‬
‫הוכחה‬
‫‪2‬‬
‫באינדוקציה‪ .‬עבור ‪.pl = p1 = 2 ≤ 22 ,l = 1‬‬
‫כעת‪ ,‬נגדיר‪ ,‬כמו קודם את ‪ .ql = p1 · ... · pl + 1‬ל ‪ ql‬גורם ראשוני ‪ p = pk‬עבור ‪) k > l‬הראינו זאת‬
‫קודם(‪ .‬ומכאן ש ‪) pl+1 ≤ pk ≤ ql‬הא"ש השמאלי נובע מהמשפט הקודם‪ ,‬והימני נובע מהעובדה ש‬
‫‪ .(pk |ql‬קיבלנו כי ‪ .pl+1 ≤ ql‬יחד עם טענת האינדוקציה‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪pl+1 ≤ ql = p1 · ... · pl + 1 ≤ 22 · 22 · ... · 22 + 1 = 22+4+8+...+2 + 1‬‬
‫‪1 l+1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l+1‬‬
‫‪= 22(2 −1) + 1 = 22 + 1 ≤ 22‬‬
‫‪4‬‬
‫מסקנה‬
‫‪ π(x) ≥ log log x‬עבור ‪) .x ≥ 2‬נובע בחישוב פשוט(‪.‬‬
‫משפט המספרים הראשוניים )גאוס(‬
‫‪x‬‬
‫‪log x‬‬
‫∼ )‪) π(x‬כלומר‪ ,‬היחס בין שני האגפים שואף ל־‪ (1‬כאשר ∞ → ‪.x‬‬
‫לא נוכיח את המשפט‪.‬‬
‫הנפה של ארטוסטנס )‪(∼ 200BC‬‬
‫נרשום את המספרים הטבעיים אחד אחרי השני בטבלה‪ ,‬ברגע שמגיעים למספר שעוד לא נמחק‪,‬‬
‫מסמנים אותו בתור ראשוני‪ ,‬ומוחקים מהטבלה את כל הכפולות שלו‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מספרי פרמה )‪(1640‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Fn = 22 + 1‬‬
‫תרגיל‪ :‬אם ‪ am + 1‬ראשוני‪ ,‬אז ‪ a‬זוגי ו ‪ m‬חזקה של ‪.2‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‪F0 = 21 + 1 = 3, F1 = 22 + 1 = 5, F2 = 24 + 1 = 17‬‬
‫‪F3 = 28 + 1 = 17, F4 = 216 + 1 = 65537‬‬
‫כולם ראשוניים‪.‬‬
‫פרמה טען ש ‪ Fn‬ראשוני לכל ‪.n ≥ 0‬‬
‫ב־‪ 1732‬אוילר הוכיח ש ‪ F5‬פריק ־ כלומר פרמה טעה‪.‬‬
‫השערה‪ Fn :‬פריק לכל ‪.n ≥ 5‬‬
‫טענה פתוחה‪ F33 :‬ראשוני‪.‬‬
‫הכי גדול שידוע שפריק‪ F3329780 :‬מתחלק ב ‪.193 · 23329782 + 1‬‬
‫ניתן להוכיח שיש אינסוף ראשוניים באמצעות מספרי פרמה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ gcd(a, b) = 1‬נאמר ש ‪ a, b‬זרים )‬
‫‪relatively prime‬‬
‫‪.(coprime,‬‬
‫טענה‬
‫‪ gcd (Fn , Fm ) = 1‬לכל ‪.n > m ≥ 0‬‬
‫הוכחה‬
‫ניזכר שלכל ‪,k ≥ 1‬‬
‫‬
‫‪ak − bk = (a − b) ak−1 + ak−2 b + ... + abk−2 + bk−1‬‬
‫אם נציב ‪ −b‬במקום ‪ ,b‬ואם ‪ k‬זוגי‪ ,‬נקבל‬
‫‬
‫‪(∗) ak − (−b)k = ak − bk = (a + b) ak−1 − ak−2 b + ... + abk−2 − bk−1‬‬
‫נשתמש בכך להוכחת הטענה‪.‬‬
‫נראה ש ‪ ,Fm |Fn − 2‬כלומר ‪ ,Fn − 2 = qFm‬ולכן אם היה גורם משותף ‪ d‬ל ‪ Fn‬ו ‪ Fm‬אז ‪ d|2‬ואז‬
‫‪ |d| = 2‬או ‪ .|d| = 1‬לא ייתכן ש ‪ |d| = 2‬כי ‪ Fn‬ו ‪ Fm‬אי זוגיים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫נראה ש ‪.Fm |Fn − 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Fn − 2‬‬
‫‪22 − 1 h‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−m‬‬
‫=‬
‫‪= 2m‬‬
‫‪= x = 22 ; 22 = (x)2‬‬
‫‪Fm‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫‪n−m‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x2‬‬
‫=‬
‫‪∈Z‬‬
‫‪x+1‬‬
‫כאשר הנ"ל נובע מ )∗( עבור ‪ a = x‬ו ‪ b = 1‬ו ‪ .k = 2n−m‬כנדרש‪ .‬‬
‫גאוס הוכיח שניתן לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה‪ ,‬שכמות צדדיו ‪ ,Fn‬כאשר ‪ Fn‬ראשוני‪.‬‬
‫באופן זה‪ ,‬היה הראשון לבנות כזה מצולע עם ‪ F2 = 17‬צלעות‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬אפשר לבנות מצולע משוכלל עם ‪ n‬צלעות‪ ,‬אמ"מ ‪ n = 2r · Fi Fj ...Fl‬כאשר כל ה ‪Fi‬‬
‫מספרי פרמה ראשוניים שונים‪.‬‬
‫‪6‬‬