תורת המספרים ־ הרצאה 5

‫תורת המספרים ־ הרצאה ‪5‬‬
‫‪ 10‬בנובמבר ‪2014‬‬
‫תרגיל מש"ב‬
‫יהיו ‪ a, b ≥ 1‬שלמים‪ .gcd(a, b) = 1 ,‬צ"ל שכל ‪ x > ab − a − b‬ניתן לרישום כ ‪,x = am + bn‬‬
‫‪.0 ≤ m, n ∈ Z‬‬
‫פתרון‬
‫ראשית‪ ,‬קיימים ‪ m0 , n0 ∈ Z‬כך ש ‪ .1 = m0 a+m0 b‬לכן‪ ,‬גם קיימים ‪ m00 , n00 ∈ Z‬כך ש ‪x = m00 a+n00 b‬‬
‫)פשוט נכפול ב ‪ x‬את שני הצדדים(‪.‬‬
‫נותר רק להראות ש ‪ m00 , n00‬אי שליליים‪.‬‬
‫נשים לב שלכל ‪ k ∈ Z‬מתקיים גם‬
‫‪x = (m00 − kb)a + (n00 + ka)b‬‬
‫נבחר את ‪ k‬כך שנרשום ‪ x = ma + nb‬עבור ‪ .0 ≤ m < b‬כאשר ‪ x > ab − a − b‬נובע ש ‪ n ≥ 0‬כי‬
‫)‪nb = x − ma ≥ ab − a − b + 1 − (b − 1)a = −(b − 1‬‬
‫כלומר‪) .n ≥ 0 ,‬הא"ש מתקיים בגלל התנאי על ‪ ,x‬והעובדה שלקחנו ‪.(m < b‬‬
‫‪ n‬אי שלילי‪ ,‬כיוון שאילו היה שלילי‪ ,‬ערכו היה לפחות ‪ ,−1‬ואז ‪ ,nb = −b‬אבל במקרה שלנו‪,‬‬
‫‪ ,nb = −b + 1‬ולכן לא ייתכן ש ‪.n < 0‬‬
‫שלשות פיתגוריות‬
‫מהם הפתרונות השלמים ל ‪?x2 + y 2 = z 2‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‬
‫כל פתרון שלם נותן פתרון רציונלי ל ‪ ,a2 + b2 = 1‬כי ‪= 1‬‬
‫פתרון שלם‪.‬‬
‫‬
‫‪y 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪x 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ,‬וכן‪ ,‬כל פתרון רציונלי נותן‬
‫המשוואה כמובן מזכירה את מעגל היחידה‪.‬‬
‫נניח ויש לנו פתרון רציונלי )‪ (a, b‬על מעגל היחידה‪ .‬נמתח ישר ממנו לנקודה )‪ .(1, 0‬הישר יחתוך את‬
‫ציר ‪ y‬בנקודה כלשהי )‪ .(0, t‬הטענה היא ש ‪ t‬רציונלי אמ"מ )‪ (a, b‬רציונליים‪ .‬בכך עשינו רדוקציה‬
‫למשתנה יחיד‪.‬‬
‫נשים לב גם כי ייתכן ונקודת החיתוך של הישר עם ציר ה ‪ y‬תהיה מחוץ למעגל‪.‬‬
‫נוכיח את הטענה‪ :‬חיתוך של ישר ועקום ריבועי )המעגל( שבו נקודת חיתוך אחת רציונלית‪ ,‬גם השניה‬
‫תהיה רציונלית‪ .‬הכיוון השני פשוט גם כן ־ ‪ t‬ניתן להבעה באמצעות ‪ a‬ו ‪ ,b‬והיות והם רציונליים‪ ,‬גם‬
‫‪ t‬רציונלי‪.‬‬
‫נרשום את )‪ (a, b‬כפונקציה של ‪:t‬‬
‫השיפוע של הישר הוא‪= −t :‬‬
‫‪t−0‬‬
‫‪0−1‬‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫‪ . a−1‬נקבל מערכת משוואות‪:‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪⇒ a2 + (−at + t)2 = 1‬‬
‫‪= −at + t‬‬
‫(‬
‫‪a2 + b 2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪⇒ a2 + a2 t2 − 2at2 + t2 = 1‬‬
‫‬
‫‪⇒ a2 t2 + 1 − 2t2 a + t2 − 1 = 0‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪2t2 ± 4t2 − 4 (t2 + 1) (t2 − 1‬‬
‫=‪⇒a‬‬
‫)‪2 (t2 + 1‬‬
‫‪2t2 ± 2‬‬
‫‪t2 − 1‬‬
‫=‪⇒a‬‬
‫⇒‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪1,‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2 (t2 + 1‬‬
‫‪t2 + 1‬‬
‫נציג גם את ב ‪:b‬‬
‫‬
‫‪2t‬‬
‫‪t2 − 1‬‬
‫‪−1 = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t +1‬‬
‫‪t +1‬‬
‫‬
‫· ‪b = −t(a − 1) = −t‬‬
‫כלומר‪ ,‬כלל הפתרונות הרציונליים עבור ‪ a2 + b2 = 1‬הוא כל הזוגות )‪ (a, b‬כך ש‬
‫ו ‪ ,t ∈ Q‬וכן )‪.(1, 0‬‬
‫אם נציב‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪t2 +1‬‬
‫=‬
‫‪t2 −1‬‬
‫‪,b‬‬
‫‪t2 +1‬‬
‫=‪a‬‬
‫= ‪ t‬עבור ‪ u, v ∈ Z‬נוכל לרשום זאת כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪u2 − v 2‬‬
‫‪2uv‬‬
‫‪(a, b) | a = 2‬‬
‫‪, b= 2‬‬
‫‪, u, v ∈ Z‬‬
‫‪u + v2‬‬
‫‪u + v2‬‬
‫נשים לב גם כי דרך הצגה זו כוללת גם את הנקודה )‪.(1, 0‬‬
‫המעבר פתרונות רציונליים לשלמים בתרגיל‪.‬‬
‫באופן דומה ניתן היה לפתור משוואות מהצורה ‪ ,ra2 + sb2 = 1‬או ‪ ra2 − sb2 = 1‬ועוד‪.‬‬
‫הרעיון הוא להתחיל מפתרון אחד )במקרה שלנו היה )‪ ,((1, 0‬וניתן לעשות פרמטריזציה של כל שאר‬
‫הפתרונות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קונגרואנציות‬
‫חוג השלמים מודולו ‪n‬‬
‫הגדרה )גאוס(‬
‫יהי ‪ .n ∈ N‬נאמר ושני מספרים ‪ a, b ∈ Z‬שווים )שקולים‪ ,‬חופפים‪ ,‬קונגרואנטיים( מודולו ‪ n‬אם‬
‫‪ n|a − b‬ונסמן )‪.a ≡ b ( mod n‬‬
‫דוגמה‬
‫‪) 20 ≡ −1 ( mod 3) ,n = 3‬כי )‪) 20 ≡ 2 ( mod 3) ,(3|20 − (−1‬כי ‪ (3|20 − 2‬וכן הלאה‪.‬‬
‫עבור ‪ n‬נתון התכונה )‪ a ≡ b ( mod n‬היא יחס שקילות על השלמים‪.‬‬
‫נשים לב שתמיד נוכל לחלק עם שארית ולרשום ש ‪ a = kn + r‬עבור ‪.0 ≤ r < n‬‬
‫ואז )‪) a ≡ r ( mod n‬ברור‪ ,‬כי ‪.(n|a − r‬‬
‫באופן זה‪ ,‬לכל ‪ a ∈ Z‬קיים ‪ 0 ≤ r < n‬יחיד כך ש )‪.a ≡ r ( mod n‬‬
‫לכן הקבוצה }‪ {0, 1, ..., n − 1‬מהווה מחלקה של נציגים ליחס השקילות מודולו ‪.n‬‬
‫טענה‬
‫אם ‪ a ≡ a0‬ו ‪ b ≡ b0‬מודולו ‪ ,n‬אז גם‪:‬‬
‫‪ a + b ≡ a0 + b0 .1‬מודולו ‪n‬‬
‫‪ a · b ≡ a0 · b0 .2‬מודולו ‪n‬‬
‫הוכחה‬
‫‪ .1‬נתון ש ‪ n|a − a0‬ו ‪ .n|b − b0‬נובע ש ) ‪ ,n|(a + b) − (a0 + b0‬ולכן ‪ 1‬מתקיים‪.‬‬
‫‪ .2‬נרשום‬
‫) ‪ab − a0 b0 = ab − a0 b + a0 b − a0 b0 = (a − a0 )b + a0 (b − b0‬‬
‫וסיימנו‪ ,‬כי ‪ n|a − a0‬ו ‪ ,n|b − b0‬ולכן גם מחלק את הנ"ל‪.‬‬
‫מסקנה‬
‫אם )‪ p(x‬פולינום במקדמים שלמים ב ‪ ,x‬אז אם )‪ x ≡ x0 ( mod n‬אז גם )‪.p(x) ≡ p(x0 ) ( mod n‬‬
‫דוגמה‬
‫מצא את השארית של ‪ 20n‬לאחר חלוקה ב־‪.7‬‬
‫‪3‬‬
‫פתרון‬
‫נשתמש במסקנה עבור ‪ .p(x) = xn‬כיוון ש )‪ 20 ≡ −1 ( mod 7‬נקבל )‪,20n ≡ (−1)n ( mod 7‬‬
‫לכן אם ‪ n‬זוגי השארית היא ‪ 1‬ואם ‪ n‬אי זוגי‪ ,‬השארית היא ‪.6‬‬
‫דוגמה‬
‫מהי השארית בחלוקה ב־‪ 7‬של ‪.30n‬‬
‫פתרון‬
‫כיוון ש )‪ 30 ≡ 2 ( mod 7‬נקבל ש )‪.30n ≡ 2n ( mod 7‬‬
‫נרשום ‪ n = 3k + r‬עבור }‪ .r ∈ {0, 1, 2‬ואז‪:‬‬
‫)‪2n = 23k+r = 8k · 2r ≡ 1k · 2r = 2r ( mod 7‬‬
‫מכאן שהשארית נקבעת ע"פ שארית החלוקה של ‪ n‬ב ‪.3‬‬
‫)‪n = 0 ( mod 3‬‬
‫)‪n = 1 ( mod 3‬‬
‫)‪n = 2 ( mod 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪30 ( mod 7) ≡ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫מחלקות שקילות‬
‫מחלקת השקילות של ‪ a‬מודולו ‪ n‬היא ‪.{a + nk | k ∈ Z} a + nZ‬‬
‫ישנן בדיוק ‪ n‬מחלקות שקילות‪.0 + nZ, 1 + nZ, ..., n − 1 + nZ :‬‬
‫הטענה שראינו מראה שניתן להגדיר פעולות חיבור וכפל על מחלקות השקילות‪:‬‬
‫‪(a + nZ) + (b + nZ) = a + b + nZ‬‬
‫‪(a + nZ) · (b + nZ) = ab + nZ‬‬
‫ותחת פעולות אלה‪ ,‬קבוצת מחלקת השקילות מקבלת מבנה של חוג )קיים איבר ‪ ,0‬והוא ‪,0 + nZ‬‬
‫יש נגדי‪ ,(a + nZ) + (−a + nZ) = 0 + nZ :‬יש איבר יחידה לכפל ‪ ,1 + nZ‬והחיבור והכפל‬
‫דיסטריבוטיביים‪ ,‬אסוציאטיביים וקומוטטיביים(‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪. nZ‬‬
‫החוג הזה נקרא ‪ Zn‬או לפעמים‬
‫החוג איזומורפי כמו החוג על הקבוצה ‪ {0, 1, ..., n − 1‬עם הפעולות מודולו ‪.n‬‬
‫‪4‬‬
‫איברים הפיכים ב ‪Zn‬‬
‫איבר ‪ a + nZ ∈ Zn‬הפיך אם קיים ‪ b ∈ Z‬כך ש ‪ .(a + nZ)(b + nZ) = 1 + nZ‬או‪ ,‬באופן שקול‪,‬‬
‫)‪.ab ≡ 1 ( mod n‬‬
‫נסמן את אוסף האיברים ההפיכים ב ‪.Z∗n‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ n‬טבעי‪ .‬המחלקה ‪ a + nZ‬הפיכה אמ"מ ‪.gcd(a, n) = 1‬‬
‫הוכחה‬
‫⇐‬
‫נניח כי ‪ a + nZ‬הפיך‪ .‬אז קיים ‪ b ∈ Z‬כך ש )‪ .ab ≡ 1 ( mod n‬כלומר‪ ,n|ab − 1 ,‬כלומר קיים ‪k‬‬
‫שלם כך ש ‪ ,ab = 1 + kn‬או במילים אחרות‪ .ab − kn = 1 ,‬כלומר‪ ,‬קיים צרוף בשלמים של ‪ a‬ו ‪n‬‬
‫שנותן ‪ ,1‬כלומר ‪ ,gcd(a, n) = 1‬וסיימנו‪.‬‬
‫⇒‬
‫נניח כי ‪ .gcd(a, n) = 1‬אז קיימים ‪ k, l ∈ Z‬כך ש ‪.ka ≡ 1 ( mod n) ⇐ ak + nl = 1‬‬
‫נשים לב גם שהאוסף ‪ Z∗n‬סגור ביחס לכפל מודולו ‪ ,n‬ולכן מהווה חבורה‪ .‬כיוון שאם ‪a + nZ, b + nZ‬‬
‫הפיכים מודולו ‪ ,n‬אז יש להם הפכיים ‪ ,a0 + nZ, b0 + nZ‬ולכן גם ‪ ab + nZ‬הפיך‪ ,‬כי‬
‫)‪ab · a0 · b0 ( mod n) ≡ (aa0 ) · (bb0 ) ( mod n) ≡ 1 ( mod n‬‬
‫כאשר השוויון השמאלי מתקיים מהעובדה ש ‪ a, a0‬ו ‪ b, b0‬הפכיים זה לזה‪.‬‬
‫נציין גם שההופכי לאיבר ‪ a + nZ‬יחידה )עובדה שנכונה בכל חוג( כי אם )‪,aa0 ≡ 1 ( mod n‬‬
‫‪ aa00 ≡ 1‬אז ‪ a00 ≡ a0 aa00 ≡ a0‬מודולו ‪.n‬‬
‫הגדרה‬
‫פונקציית ‪ φ‬של אוילר‪,‬‬
‫}‪φ(n) = |Z∗n | = {1 ≤ a ≤ n | gcd(a, n) = 1, 1 ≤ n ∈ Z‬‬
‫נבחין שעבור מספר ראשוני ‪ ,φ(p) = p − 1 ,p‬כלומר ‪ Z∗p‬הוא כל האיברים השונים מאפס ב ‪ Zp‬ולכן‬
‫‪ Zp‬הוא שדה‪.‬‬
‫גם ההפך נכון ־ אם ‪ p‬אינו ראשוני‪ ,‬אז קיים ‪ 1 ≤ a < p‬כך ש ‪ gcd(a, p) 6= 1‬ולכן ‪ Zp‬אינו שדה‪,‬‬
‫שכן ‪ Z∗p‬אינו כל האיברים השונים מ־‪ 0‬ב ‪.Zp‬‬
‫בקונגרואנציה ניתן לצמצם איברים הפיכים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫טענה‬
‫אם )‪ kx ≡ ky ( mod n‬ו ‪ k ∈ Z∗n‬אז )‪.x ≡ y ( mod n‬‬
‫הוכחה‬
‫נכפיל בהפכי של ‪ k‬את שני האגפים‪.‬‬
‫טענה‬
‫נניח כי ‪ r‬מחלק משותף של ‪ k‬ו ‪ .n‬אז )‪ kx ≡ ky ( mod n‬אמ"מ‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪r‬‬
‫‪mod‬‬
‫‪. kr x ≡ kr y‬‬
‫הוכחה‬
‫⇐‬
‫כלומר ‪ ,n|kx − ky‬כלומר קיים ‪ q ∈ Z‬כך ש ‪ .nq = kx − ky‬נחלק ב‬
‫נניח כי )‪ky ( mod n‬‬
‫≡ ‪ .kx‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ,r‬ונקבל ‪ , r q = kr x − kr y‬ולכן ‪mod r‬‬
‫‪.rx ≡ ry‬‬
‫⇒‬
‫באותו אופן‪ ,‬רק בסדר הפוך‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫מצא הפכי ל )‪.18 ( mod 25‬‬
‫פתרון‬
‫נרצה להציג את ‪ 1‬כצירוף בשלמים של ‪ 18‬ו ‪ .25‬נשתמש באלגוריתם אוקלידס‪.‬‬
‫‪25 = 1 · 18 + 7‬‬
‫‪18 = 2 · 7 + 4‬‬
‫‪7=1·4+3‬‬
‫‪4=1·3+1‬‬
‫מכאן ש‬
‫= ‪1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = 2 · 4 − 7‬‬
‫= ‪= 2 · (18 − 2 · 7) − 7 = 2 · 18 − 5 · 7‬‬
‫‪= 2 · 18 − 5(25 − 18) = 7 · 18 − 5 · 25‬‬
‫לכן‪ 7 · 18 ≡ 1 ( mod 25) ,‬ו ‪ 7‬הוא ההפכי שחיפשנו‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משפט )אוילר(‬
‫נניח כי‬
‫‪n = pe11 · ... · pel l‬‬
‫עבור ראשוניים ‪ p1 , .., pl‬ומעריכים ‪ e1 , ..., el ≥ 1‬שלמים‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪· ... · 1 −‬‬
‫‪pl‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪φ(n) = n 1 −‬‬
‫‪p1‬‬
‫בפרט‪ φ ,‬פונקציה כפלית‪ ,‬כלומר אם ‪ m, n‬זרים אז )‪.φ(m) · φ(n) = φ(mn‬‬
‫דוגמה‬
‫)‪ .φ(4512‬נמצא את הפירוק לראשוניים של ‪ .4512 = 25 · 3 · 47 :4512‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪φ(4512) = 4512 · 1 −‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪= 1472‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪47‬‬
‫טענה‬
‫עבור ‪ n ≥ 2‬טבעי נגדיר‬
‫)‪φ(d‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪F (n‬‬
‫‪1≤d|n‬‬
‫אז ‪.F (n) = n‬‬
‫הוכחה‬
‫מתרגיל הבית‪ ,‬גם ‪ F‬כפלית )כי ‪ φ‬כפלית(‪ .‬לכן‪ ,‬מספיק לבדוק שלכל ראשוני ‪ p‬וחזקה ‪ e ≥ 1‬מתקיים‬
‫‪ .F (pe ) = pe‬כעת‪,‬‬
‫‬
‫= ‪φ pj‬‬
‫‪e‬‬
‫‪X‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‬
‫‪j‬‬
‫‪φ p‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=0‬‬
‫= )‪φ(d‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪F (p‬‬
‫‪1≤d|pe‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ e‬‬
‫‬
‫‪1 X j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪j‬‬
‫‪=1+ 1−‬‬
‫= ‪p‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‪p 1−‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 pe − 1‬‬
‫‪=1+ 1−‬‬
‫‪= pe‬‬
‫‪p p−1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪X‬‬
‫‪7‬‬
‫‪e‬‬