docמערכי תרגול קורס 89-214 סמסטר א` תשע`¨ו מבנים אלגבריים - Math-Wiki
download 
Report Transcription
מערכי תרגול קורס 89-214 סמסטר א` תשע`¨ו מבנים אלגבריים - Math-Wiki
מערכי תרגול קורס 89-214סמסטר א’ תשע”ו
מבנים אלגבריים למדעי המחשב
דצמבר ,2015גרסה 0.14
תוכן העניינים
מבוא . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1מבוא לתורת המספרים . . . . . . . . .
2מבנים אלגבריים בסיסיים . . . . . . . .
3חבורת אוילר . . . . . . . . . . . . . .
4תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . .
5סדר של איבר וסדר של חבורה . . . . .
6חבורות ציקליות . . . . . . . . . . . .
7מכפלה קרטזית של חבורות . . . . . . .
8החבורה הסימטרית )על קצה המזלג( . . .
9מחלקות . . . . . . . . . . . . . . . .
10חישוב פונקציית אוילר . . . . . . . . .
11תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים . . . .
12החבורה הדיהדרלית . . . . . . . . . . .
13נושאים נוספים בחבורה הסימטרית . . .
14שימוש בתורת החבורות :אלגוריתם RSA
15הומומורפיזמים . . . . . . . . . . . . .
16תת־חבורות נורמליות . . . . . . . . . .
17חבורות מנה . . . . . . . . . . . . . .
18משפטי האיזומורפיזם של נתר . . . . . .
19הצמדות . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
6
10
10
11
13
15
16
18
22
24
25
26
28
30
33
35
36
40
מבוא
כמה הערות טכניות לתחילת הקורס:
• דף הקורס נמצא באתר .www.math-wiki.com
• שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס.
• ישנה חובת הגשת תרגילים ,אבל בודקים רק לחצי מהסטודנטים.
• נשמח לכל הערה על מסמך זה.
1
מבוא לתורת המספרים
נסמן כמה קבוצות של מספרים:
• } N = {1, 2, 3, . . .המספרים הטבעיים.
• } Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .המספרים השלמים )מגרמנית.(Zahlen :
{
}
• } Q = pq : p ∈ Z, q ∈ Z\ {0המספרים הרציונליים.
• Rהמספרים הממשיים.
• Cהמספרים המרוכבים.
מתקיים .N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
הגדרה .1.1יהיו a, bמספרים שלמים .נאמר כי aמחלק את bאם קיים k ∈ Zכך
ש ,ka = b-ונסמן .a|bלמשל .−5|10
משפט ) 1.2משפט החילוק ,או חלוקה אוקלידית( .לכל d ̸= 0, n ∈ Zקיימים q, r
יחידים כך ש n = qd + r-וגם |.0 ≤ r < |d
המשפט לעיל מתאר ”מה קורה” כאשר מחלקים את nב .d-הבחירה בשמות
הפרמטרים במשפט מגיעה מלע”ז )מאנגלית?( ) quotientמנה( ו) remainder-שארית(.
הגדרה .1.3בהנתן שני מספרים שלמים n, mהמחלק המשותף המירבי )ממ”מgreatest ,
(common divisorשלהם מוגדר להיות המספר
}gcd(n, m) = max {d ∈ N : d|n ∧ d|m
לעיתים נסמן ) .(n, mלמשל .(6, 10) = 2נאמר כי n, mזרים אם .(n, m) = 1למשל
.(2, 5) = 1
הערה .1.4אם d|aוגם ,d|bאזי dמחלק כל צירוף לינארי של aו.b-
2
טענה .1.5אם ,n = qm + rאז ).(n, m) = (m, r
הוכחה .נסמן ) ,d = (n, mוצ”ל כי ) .d = (m, rאנו יודעים כי d|nוגם .d|mאנו
יכולים להציג את rכצירוף לינארי של ,n, mולכן .d|r = n − qmמכך קיבלנו
).d ≤ (m, r
כעת ,לפי הגדרה (m, r)|rוגם ,(m, r)|mולכן (m, r)|nכי nהוא צירוף לינארי של
.m, rאם ידוע כי (m, r)|mוגם ,(m, r)|nאזי .(m, r) ≤ dסך הכל קיבלנו כי
).d = (m, r
משפט ) 1.6אלגוריתם אוקלידס(” .המתכון” למציאת ממ”מ בעזרת שימוש חוזר בטענה
1.5הוא אלגוריתם אוקלידס .ניתן להניח .0 ≤ m < nאם ,m = 0אזי .(n, m) = n
אחרת נכתוב n = qm + rכאשר 0 ≤ r < mונמשיך עם )) .(n, m) = (m, rהבינו
למה האלגוריתם חייב להעצר(.
דוגמה .1.7נחשב את הממ”מ של 53ו 47-בעזרת אלגוריתם אוקלידס
](53, 47) = [53 = 1 · 47 + 6
](47, 6) = [47 = 7 · 6 + 5
(6, 5) = 1
דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים:
](224, 63) = [224 = 3 · 63 + 35
](63, 35) = [63 = 1 · 35 + 28
](35, 28) = [35 = 1 · 28 + 7
](28, 7) = [28 = 4 · 7 + 0
(7, 0) = 7
משפט ) 1.8אפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי( .מתקיים לכל מספרים שלמים a, bכי
}(a, b) = min {au + bv ∈ N
u,v
בפרט קיימים s, t ∈ Zכך ש.(a, b) = sa + tb-
הערה .1.9מן המשפט קיבלנו כי .(a, b) ∈ aZ + bZ
דוגמה .1.10כדי למצוא את המקדמים s, tכשמביעים את הממ”מ כצירוף לינארי כנ”ל
נשתמש באלגוריתם אוקלידס המוכלל:
](234, 61) = [234=3·61+51 ⇒ 51 = 234 − 3 · 61
](61, 51) = [61=1·51+10 ⇒ 10 = 61 − 1 · 51 = 61 − 1 · (234 − 3 · 61) = −1 · 234 + 4 · 61
](51, 10) = [51=5·10+1 ⇒ 1 = 51 − 5 · 10 = 51 − 5 · (−1 · 234 + 4 · 61) = 6 · 234 − 23 · 61
(10, 1) = 1
ולכן .(234, 61) = 1 = 6 · 234 − 23 · 61
3
תרגיל .1.11יהיו a, b, cמספרים שלמים כך ש (a, b) = 1-וגם .a|bcהראו כי .a|c
פתרון .לפי אפיון הממ”מ כצירוף לינארי ,קיימים s, tכך ש .1 = sa + tb-נכפיל בc-
ונקבל .c = sac + tbcברור כי a|sacולפי הנתון גם .a|tbcלכן ) ,a| (sac + tbcכלומר
.a|c
טענה .1.12תכונות של ממ”מ:
.1יהי ) d = (n, mויהי eכך ש e|m-וגם ,e|nאזי .e|d
(an, am) = |a| (n, m) .2
.3אם pראשוני וגם ,p|abאזי p|aאו .p|b
.1קיימים s, tכך ש .d = sn + tm-כיוון ש ,e|n, m-אז הוא
הוכחת התכונות.
מחלק גם את צירוף לינארי שלהם ,sn + tmז”א את .d
) .2חלק מתרגיל הבית(
.3אם ,p - aאז .(p, a) = 1לכן קיימים s, tכך ש .sa + tp = 1-נכפיל את השיוויון
האחרון ב b-ונקבל .sab + tpb = bברור כי pמחלק את אגף שמאל )הרי ,(p|ab
ולכן pמחלק את אגף ימין ,כלומר .p|b
הגדרה .1.13בהנתן שני מספרים שלמים n, mהכפולה המשותפת המזערית )כמ”מ,
(least common multipleשלהם מוגדרת להיות
}lcm(n, m) = min {d ∈ N : n|d ∧ m|d
לעיתים נסמן ] .[n, mלמשל [6, 10] = 30ו.[2, 5] = 10-
טענה .1.14תכונות של כמ”מ:
.1אם m|aוגם ,n|aאז .[n, m] |a
.[n, m] (n, m) = |nm| .2למשל .[6, 4] (6, 4) = 12 · 2 = 24 = 6 · 4
.1יהיו q, rכך ש a = q [n, m] + r-כאשר ].0 ≤ r < [n, m
הוכחת התכונות.
= rזו
מהנתון כי n, m|aולפי הגדרה ] ,n, m| [n, mנובע כי .n, m|rאם ̸ 0
סתירה למינימליות של ] .[n, mלכן ] ,a = q [n, mכלומר .[n, m] |a
.2נראה דרך קלה לחישוב הממ”מ והכמ”מ בעזרת הפירוק של מספר למכפלת
גורמים ראשוניים .נניח כי הפירוק הוא
pαi i = pα1 1 pα2 2 pα3 3 . . .
∞
∏
=m
pβi i = pβ1 1 pβ2 2 pβ3 3 . . .
∞
∏
i=1
i=1
4
=n
כאשר ) αi , βi ≥ 0והם כמעט תמיד אפס כי המכפלה סופית( .כעת צריך
להשתכנע כי
) max(αi ,βi
pi
∞
∏
) min(α ,β
pi i i
= ][n, m
i=1
∞
∏
= )(n, m
i=1
ומפני שלכל שני מספרים α, βמתקיים ) ,α + β = min(α, β) + max(α, βאז
|.[n, m] (n, m) = |nm
שאלה ) 1.15לבית( .אפשר להגדיר ממ”מ ליותר מזוג מספרים .יהי dהממ”מ של
המספרים .n1 , . . . , nkהראו שקיימים מספרים שלמים s1 , . . . , skהמקיימים s1 n1 +
.· · · + sk nk = dרמז :אינדוקציה על .k
הגדרה .1.16יהי nמספר טבעי .נאמר כי a, b ∈ Zהם שקולים בשארית חלוקה בn-
אם .n|a − bכלומר קיים k ∈ Zכך ש .a = b + kn-נסמן יחס זה )a ≡ b (mod n
ונקרא זאת ” aשקול ל b-מודולו .”n
טענה ) 1.17הוכחה לבית( .שקילות מודולו nהיא יחס שקילות )רפלקסיבי ,סימטרי
וטרנזיטיבי( .כפל וחיבור מודולו nמוגדרים היטב .כלומר אם ),a ≡ b, c ≡ d (mod n
אז ) ac ≡ bd (mod nוגם ).a + c ≡ b + d (mod n
צורת רישום .1.18את אוסף מחלקות השקילות מודולו nמקובל לסמן = Zn = Z/nZ
} .{[a] : a ∈ Zלמשל }] .Z4 = {[0] , [1] , [2] , [3לפעמים מסמנים את מחלקת השקילות
] [aבסימון ,aולעיתים כאשר ההקשר ברור פשוט .a
תרגיל .1.19מצאו את הספרה האחרונה של .333333
פתרון .נשים לב כי .333333 = 3333 · 111333לכן
)111 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 111333 ≡ 1333 ≡ 1 (mod 10
( )81
)3333 = 34·83+1 = 34 · 3 = 8183 · 3 ≡ 183 · 3 (mod 10
)333333 = 3333 · 111333 ≡ 3 (mod 10
ומכאן שהספרה האחרונה היא .3
תרגיל ) 1.20אם יש זמן( .מצאו 0 ≤ x ∈ Zכך ש.61x ≡ 1 (mod 234)-
פתרון .לפי הנתון ,קיים k ∈ Zכך ש .61x + 234k ≡ 1-ז”א 1הוא צירוף לינארי
)מינימלי במקרה זה( של 61ו .234-לפי איפיון ממ”מ קיבלנו כי .(234, 61) = 1כלומר
k, xהם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי .לפי תרגיל
קודם .1 = 6 · 234 − 23 · 61לכן ) ,x ≡ −23 (mod 234וכדי להבטיח כי xאינו שלילי
נבחר .x = 211
5
משפט ) 1.21משפט השאריות הסיני( .אם n, mזרים ,אזי לכל a, b ∈ Zקיים xיחיד
עד כדי שקילות מודולו nmכך ש) x ≡ b (mod m) ,x ≡ a (mod n)-יחד!(.
הוכחה לא מלאה .מפני ש ,(n, m) = 1-אזי קיימים s, t ∈ Zכך ש .sn + tm = 1-כדי
להוכיח קיום של xכמו במשפט נתבונן ב .bsn + atm-מתקיים
)bsn + atm ≡ atm ≡ a · 1 ≡ a (mod n
)bsn + atm ≡ bsn ≡ b · 1 ≡ b (mod m
ולכן x = bsn + atmהוא פתרון אפשרי .ברור כי גם x′ = x + kmnלכל k ∈ Zהוא
פתרון תקף.
הוכחת היחידות של xמודולו nmתהיה בתרגיל הבית.
דוגמה .1.22נמצא x ∈ Zכך ש x ≡ 1 (mod 3)-וגם ) .x ≡ 2 (mod 5ידוע כי
,(5, 3) = 1ולכן .−1 · 5 + 2 · 3 = 1במקרה זה n = 5, m = 3וכן ,s = −1, t = 2
ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את .x = 1 · (−5) + 2 · 6 = 7אכן מתקיים
) 7 ≡ 1 (mod 3וגם ).7 ≡ 2 (mod 5
משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי .הנה גרסה שלו למערכת משוואות של
שקילות מודולו:
משפט ) 1.23אם יש זמן( .תהא } {m1 , . . . , mkקבוצת מספרים טבעיים הזרים זה לזה
)כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר( .נסמן את מכפלתם ב .m-בהנתן קבוצה
כלשהי של שאריות } ,{ai (modmi ) : 1 ≤ i ≤ kקיימת שארית יחידה xמודולו m
המהווה פתרון למערכת המשוואות
) x ≡ a1 (mod m1
..
.
) x ≡ a (mod m
k
k
דוגמה .1.24נמצא y ∈ Zכך ש-ש y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3)-וגם y ≡ 3
) .(mod 7נשים לב שהפתרון y = 7מן הדוגמה הקודמת הוא נכון כדי כדי הוספה של
) 3 · 5 = 15כי ) 15 ≡ 0 (mod 3וגם ) .(15 ≡ 0 (mod 5לכן את שתי המשוואות y ≡ 1
) y ≡ 2 (mod 5) ,(mod 3ניתן להחליף במשוואה אחת ) .y ≡ 7 (mod 15נשים לב
כי (15, 7) = 1ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג משוואות.
בדקו כי y = 52מהווה פתרון.
2
מבנים אלגבריים בסיסיים
בהתאם לשם הקורס ,כעת נכיר כמה מבנים אלגבריים .מבנה אלגברי שמכירים כבר
באלגברה לינארית הוא שדה .אנו נגדיר כמה מבנים יותר ”פשוטים” ,כשהחשוב שבהם
הוא חבורה .במרבית הקורס נתרכז בחקר חבורות.
6
הגדרה .2.1תהי Sקבוצה .פעולה בינארית ) (binary operationעל Sהיא פונקציה
דו־מקומית .∗ : S ×S → Sעבור a, b ∈ Sכמעט תמיד במקום לרשום ) ∗(a, bנשתמש
בסימון .a ∗ bמפני שתמונת הפונקציה a ∗ bשייכת ל ,S-נאמר כי הפעולה היא סגורה.
הגדרה .2.2אגודה )או חבורה למחצה (semigroup ,היא מערכת אלגברית )∗ (S,
המורכבת מקבוצה לא ריקה Sומפעולה בינארית על Sהמקיימת קיבוציות )אסוציטיביות,
.(associativityכלומר לכל a, b, c ∈ Sמתקיים ).(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c
דוגמה .2.3המערכת ) (N, +של מספרים טבעיים עם החיבור הרגיל היא אגודה.
דוגמה .2.4המערכת ) (Z, −אינה אגודה ,מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית .למשל
).(5 − 2) − 1 ̸= 5 − (2 − 1
צורת רישום .2.5לעיתים נקצר ונאמר כי Sהיא אגודה מבלי להזכיר במפורש את
המערכת האלגברית .במקרים רבים הפעולה תסומן כמו כפל ,דהיינו abאו ,a · b
ובמקום לרשום מכפלה aa . . . aשל nפעמים aנרשום .an
הגדרה .2.6תהי )∗ (S,אגודה .איבר e ∈ Sנקרא איבר יחידה אם לכל a ∈ Sמתקיים
.a ∗ e = e ∗ a = a
הגדרה .2.7מונואיד ) ,monoidאו יחידון( ) (M, ∗, eהוא אגודה בעלת איבר יחידה .e
כאשר הפעולה ואיבר היחידה ברורים מן ההקשר ,פשוט נאמר כי Mהוא מונואיד.
הערה ) 2.8בהרצאה( .יהי ) (M, ∗, eמונואיד עם איבר יחידה .eהוכיחו כי איבר היחידה
הוא יחיד .הרי אם e, f ∈ Mהם איברי יחידה ,אז מתקיים .e = e ∗ f = f
הגדרה .2.9יהי ) (M, ∗, eמונואיד .איבר a ∈ Mיקרא הפיך משמאל אם קיים איבר
b ∈ Mכך ש .ba = e-במקרה זה bיקרא הופכי שמאלי של .a
באופן דומה ,איבר a ∈ Mיקרא הפיך מימין אם קיים איבר b ∈ Mכך ש.ab = e-
במקרה זה bיקרא הופכי ימני של .a
איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b ∈ Mכך ש .ba = ab = e-במקרה זה bיקרה
הופכי של .a
תרגיל ) 2.10בהרצאה( .יהי a ∈ Mאיבר הפיך משמאל ומימין .הראו ש a-הפיך
וההופכי שלו הוא יחיד.
פתרון .יהי bהופכי שמאלי כלשהו של ) aקיים כזה כי aהפיך משמאל( ,ויהי cהופכי
ימני כלשהו של ) aהצדקה דומה( .נראה כי b = cונסיק שאיבר זה הוא הופכי של .a
ודאו כי אתם יודעים להצדיק כל אחד מן המעברים הבאים:
c = e ∗ c = (b ∗ a) ∗ c = b ∗ (a ∗ c) = b ∗ e = b
לכן כל ההופכיים הימיניים וכל ההופכיים השמאליים של aשווים זה לזה .מכאן גם
שההופכי הוא יחיד ,ויסומן .a−1
שימו לב שאם איבר הוא רק הפיך מימין ולא משמאל ,אז יתכן שיש לו יותר מהופכי
ימני אחד )וכנ”ל בהיפוך הכיוונים(!
7
הגדרה .2.11חבורה ) (G, ∗, e) (groupהיא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך.
לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית )∗ (G,היא חבורה צריך
להראות כי הפעולה ∗ היא סגורה ,קיבוצית ,שקיים איבר יחידה ושכל איבר הוא הפיך.
כמו כן מתקיים :חבורה ⇐ מונואיד ⇐ אגודה.
דוגמה .2.12המערכת ) (Z, +היא חבורה שאיבר היחידה בה הוא .0בכתיב חיבורי
מקובל לסמן את האיבר ההופכי של aבסימון .−aכתיב זה מתלכד עם המושג המוכר
של מספר נגדי ביחס לחיבור.
דוגמה .2.13יהי Fשדה )למשל R ,Qאו .(Cאזי ) (F, +, 0עם פעולת החיבור של
השדה היא חבורה .באופן דומה גם )) (Mn,m (F ), +אוסף המטריצות בגודל n × m
מעל (Fעם פעולת חיבור מטריצות היא חבורה .איבר היחידה הוא מטריצת האפס.
דוגמה .2.14יהי Fשדה .המערכת )· (F,עם פעולת הכפל של השדה היא מונואיד
שאינו חבורה )מי לא הפיך?( .איבר היחידה הוא .1
דוגמה .2.15יהי Fשדה .נסמן } .F ∗ = F \ {0אזי ) (F ∗ , ·, 1היא חבורה .לעומת
זאת ,המערכת )· (Z∗ ,עם הכפל הרגיל של מספרים שלמים היא רק מונואיד )מי הם
האיברים ההפיכים בו?(.
דוגמה .2.16קבוצה בעלת איבר אחד ופעולה סגורה היא חבורה .לחבורה זו קוראים
החבורה הטריוויאלית.
הגדרה ) 2.17חבורת האיברים ההפיכים( .יהי Mמונואיד ויהיו a, b ∈ Mזוג איברים.
אם a, bהם הפיכים ,אזי גם a · bהוא הפיך במונואיד .אכן ,האיבר ההופכי הוא
.(a · b)−1 = b−1 · a−1לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה
ביחס לפעולה .כמו כן האוסף הנ”ל מכיל את איבר היחידה ,וכל איבר בו הוא הפיך.
מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה
המצומצמת .נסמן חבורה זו ב) U (M )-קיצור של .(Units
הגדרה .2.18המערכת )· (Mn (R),של מטריצות ממשיות בגודל n×nעם כפל מטריצות
היא מונואיד .לחבורת ההפיכים שלו
}U (Mn (R)) = GLn (R) = {A ∈ Mn (R) : det A ̸= 0
קוראים החבורה הלינארית הכללית )ממעלה (nמעל .(General Linear group) R
הגדרה .2.19נאמר כי פעולה דו־מקומית ∗ : G × G → Gהיא אבלית )או חילופית,
(commutativeאם לכל שני איברים a, b ∈ Gמתקיים .a ∗ b = b ∗ aאם )∗ (G,
חבורה והפעולה היא אבלית ,נאמר כי Gהיא חבורה אבלית )או חילופית( .המושג
נקרא על שמו של נילס הנריק ָא ֶבּל ).(Niels Henrik Abel
דוגמה .2.20יהי Fשדה .החבורה )· (GLn (F ),אינה אבלית עבור .n > 1
8
דוגמה .2.21מרחב וקטורי Vיחד עם פעולת חיבור וקטורים הרגילה הוא חבורה אבלית.
הערה .2.22עבור קבוצה סופית אפשר להגדיר פעולה בעזרת לוח כפל .למשל ,אם
} S = {a, bונגדיר
∗ a b
a a a
b b b
אזי )∗ (S,היא אגודה כי הפעולה קיבוצית ,אך היא אינה מונואיד כי אין בה איבר
יחידה .נשים לב שהיא לא חילופית כי ,a ∗ b = aאבל .b ∗ a = bבבית תתבקשו למצוא
לוחות כפל עבור Sכך שיתקבל מונואיד שאינו חבורה ,שתתקבל חבורה וכו’.
הערה ) 2.23אם יש זמן( .בקורס באלגברה לינארית כנראה ראיתם הגדרה של שדה
) (F, +, ·, 0, 1הכוללת רשימה ארוכה של דרישות .בעזרת ההגדרות שראינו נוכל לקצר
אותה .נסמן } .F ∗ = F \ {0נאמר כי Fהוא שדה אם ) (F, +, 0היא חבורה חילופית,
) (F ∗ , ·, 1היא חבורה חילופית וקיום חוק הפילוג ) ,distributive lawלכל a, b, c ∈ F
מתקיים .(a(b + c) = ab + ac
תרגיל .2.24האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל?
פתרון .כן .נבנה מונואיד כזה .תהא Xקבוצה .נסתכל על קבוצת ההעתקות מX-
לעצמה המסומנת } .X X = {f : X → Xביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד ,ואיבר
היחידה בו הוא העתקת הזהות.
ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח”ע .ההפיכים מימין הם הפונקציות על )להזכיר
את הטענות הרלוונטיות מבדידה( .מה יקרה אם נבחר את Xלהיות סופית? )לעתיד:
לחבורה )◦ U (X X ,קוראים חבורת הסימטריה על Xומסמנים .SXאם = X
} {1, . . . , nמקובל לסמן את חבורת הסימטריה שלה בסימון ,Snולכן כל איבר הפיך
משמאל .עבור n ≥ 3זו חבורה לא אבלית(.
אם ניקח למשל X = Nקל למצוא פונקציה על שאינה חח”ע .הפונקציה שנבחר
היא ) .d(n) = max(1, n − 1לפונקציה זו יש הופכי מימין ,למשל ,u(n) = n + 1אבל
אין לה הפיך משמאל.
צורת רישום .2.25יהי nמספר טבעי .נסמן את הכפולות שלו ב.nZ = {0, ±n, ±2n, . . . }-
למשל } .4Z = {. . . , −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . .
דוגמה .2.26נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו .Zn = {[a] : a ∈ Z} ,nכזכור
חיבור וכפל מודולו nמוגדר היטב .למשל ] [a]+[b] = [a + bכאשר באגף שמאל הסימן
+הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות ) aהוא נציג של מחלקת
שקילות אחת ו b-הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת( ובאגף ימין זו פעולת החיבור
הרגילה של מספרים )שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות שבה a + bנמצא(.
אפשר לראות כי ) (Zn , +היא חבורה אבלית .נבחר נציגים למחלקות השקילות
}] .Zn = {[0] , [1] , . . . , [n − 1איבר היחידה הוא ]) [0הרי ][0] + [a] = [0 + a] = [a
לכל ] .([aקיבוציות הפעולה והאבליות נובעת מקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור
הרגילה .האיבר ההופכי של ] [aהוא ].[n − a
9
מה ניתן לומר לגבי )· ?(Zn ,ישנה סגירות ,ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה ].[1
אך זו לא חבורה כי ל [0]-אין הופכי .נסמן }] .Z∗n = Zn \ {[0האם )· (Z∗n ,חבורה?
∈ ] ,[0ולכן
לא בהכרח .למשל עבור Z∗6נקבל כי ] .[2] [3] = [6] = [0לפי ההגדרה / Z∗n
)· (Z∗n ,אינה סגורה )כלומר אפילו לא אגודה(.
3
חבורת אוילר
דוגמה .3.1עדין ניתן להציל את המקרה של הכפל מודולו .nנגדיר את חבורת אוילר
) (Eulerלהיות ) Un = U (Znלגבי פעולת הכפל .נבנה את לוח הכפל של ) Z6בהתעלם
מ [0]-שתמיד יתן במכפלה ]:([0
5
5
4
3
2
1
4
4
2
0
4
2
3
3
0
3
0
3
2
2
4
0
2
4
1
1
2
3
4
5
·
1
2
3
4
5
האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם ) 1הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק
עמודות או רק שורות( .כלומר }] .U6 = {[1] , [5במקרה זה ] [5הוא ההופכי של עצמו.
הערה .3.2אם pהוא מספר ראשוני ,אז ) Up = Z∗pלמה?(.
טענה ) 3.3הוכחה לבית( .בדומה להערה האחרונה ,נאפיין את האיברים ב.Un -
יהי .m ∈ Zאז [m] ∈ Unאם ורק אם .(n, m) = 1כלומר ,ההפיכים במונואיד
)· (Zn ,הם כל האיברים הזרים ל.n-
דוגמה .U12 = {1, 5, 7, 11} .3.4
דוגמה .3.5לא קיים ל 5-הופכי כפלי ב ,Z10 -שכן אחרת 5היה זר ל 10-וזו סתירה.
טענה ) 3.6מההרצאה( .יהי .m ∈ Zאז [m] ∈ Unאם ורק אם .(n, m) = 1כלומר,
ההפיכים במונואיד )· (Zn ,הם כל האיברים הזרים ל.n-
4תת־חבורות
הגדרה .4.1תהי Gחבורה .תת־קבוצה H ⊆ Gהיא תת־חבורה ,אם היא מהווה חבורה
ביחס לפעולה המושרית מ.G-
דוגמה .4.2לכל חבורה Gיש שתי תת־חבורות באופן מיידי) {e} ≤ G :הנקראת
תת־החבורה הטריוויאלית( ,ו.G ≤ G-
דוגמה .4.3לכל .nZ ≤ Z ,n ∈ Zבהמשך נוכיח שאלו כל תת־החבורות של .Z
10
דוגמה ) 4.4בתרגיל( mZ ≤ nZ .אם ורק אם .n|m
דוגמה (Zn , +) .4.5אינה תת־חבורה של ) – (Z, +כי Znאינה מוכלת ב :Z-האיברים
ב Zn -הם מחלקות שקילות ,ואילו האיברים ב Z-הם מספרים.
דוגמה Un .4.6אינה תת־חבורה כפלית של )· – (Zn ,כי )· (Zn ,אינה חבורה.
דוגמה (GLn (R) , ·) .4.7אינה תת־חבורה של ) – (Mn (R) , +כי הפעולות בהן שונות.
טענה ) 4.8קריטריון מקוצר לתת־חבורה – מההרצאה( .תהי H ⊆ Gתת־קבוצה .אזי
Hתת־חבורה של Gאם ורק אם שני התנאים הבאים מתקיימים:
.e ∈ H .1
.h1 · h−1
.2לכל ,h1 , h2 ∈ Hגם 2 ∈ H
תרגיל .4.9יהי Fשדה .נגדיר
}SLn (F ) = {A ∈ GLn (F )|det A = 1
הוכיחו כי ) SLn (F ) ≤ GLn (Fהיא תת־חבורה .קוראים לה החבורה הלינארית
המיוחדת מדרגה .n
הוכחה .ניעזר בקריטריון המקוצר לתת־חבורה.
.1ברור כי ) ,In ∈ SLn (Fכי .det In = 1
.2נניח ) .A, B ∈ SLn (Fצ”ל ) .AB −1 ∈ SLn (Fאכן,
(
)
det A
1
= det AB −1 = det A det B −1
= =1
det B
1
ולכן ) .AB −1 ∈ SLn (F
לפי הקריטריון המקוצר SLn (F ) ,היא תת־חבורה של ) .GLn (F
5
סדר של איבר וסדר של חבורה
הגדרה .5.1תהי Gחבורה .נגדיר את הסדר ) (orderשל Gלהיות עוצמתה כקבוצה.
במילים יותר גשמיות ,כמה איברים יש בחבורה .סימונים מקובלים |G| :או ).Ord(G
צורת רישום .5.2בחבורה כפלית נסמן את החזקה החיובית an = aa . . . aלכפל
nפעמים .בחבורה חיבורית נסמן .na = a + · · · + aחזקות שליליות הן חזקות
חיוביות של ההופכי של .aמוסכם כי .a0 = e
11
הגדרה .5.3תהי ) (G, ·, eחבורה ויהא איבר .g ∈ Gהסדר של איבר הוא המספר
הטבעי nהקטן ביותר כך שמתקיים .g n = eאם אין nכזה ,אומרים שהסדר של g
הוא אינסוף .בפרט ,בכל חבורה הסדר של איבר היחידה הוא ,1וזהו האיבר היחיד
מסדר .1סימון מקובל o(g) = nולפעמים |.|g
דוגמה .5.4בחבורה ).o (1) = o (5) = 6 ,o (3) = 2 ,o (2) = o (4) = 3 ,(Z6 , +
דוגמה .5.5נסתכל על החבורה )· .(U10 ,נזכור כי }) U10 = {1, 3, 7, 9כי אלו המספרים
הזרים ל 10-וקטנים ממנו( .נחשב את ):o (7
)72 = 49 ≡ 9 (mod 10
)73 = 7 · 72 ≡ 7 · 9 = 63 ≡ 3 (mod 10
)74 = 7 · 73 = 7 · 3 = 21 ≡ 1 (mod 10
ולכן .o (7) = 4
– (GLחבורת המטריצות ההפיכות מגודל 2×2מעל .R
דוגמה .5.6נסתכל על))· ( 2 (R) ,
0
1
= :b
נחשב את הסדר של
−1 −1
)
( )
()
(
−1 −1
0
1
0
1
2
̸= I
=
= b
1
0
−1 −1
−1 −1
(
()
( )
)
0
1
−1 −1
1 0
3
2
= b = b·b
=
=I
−1 −1
1
0
0 1
לכן .o (b) = 3
תרגיל .5.7תהי Gחבורה .הוכיחו שלכל .o (a) = o (a−1 ) ,a ∈ G
הוכחה .נחלק לשני מקרים:
מקרה .1
נניח ∞ < .o (a) = nלכן .an = eראשית,
(
)n ⋆ ( )n
( )n
( )n
e = en = a−1 a = a−1 an = a−1 e = a−1
כאשר המעבר ⋆ מבוסס על כך ש a-ו a−1 -מתחלפים )באופן כללי(ab)n ̸= ,
n
.(an bnהוכחנו ש ,(a−1 ) = e-ולכן ).o (a−1 ) ≤ n = o (a
את אי-השוויון השני .אם נחליף את aב ,a−1 -נקבל
כעת ,צריך )להוכיח (
−1
) < o (a−1
) .o (a) = o (a−1לכן יש שוויון.
מקרה .2
נניח ∞ = ) ,o (aונניח בשלילה ∞ < ) .o (a−1לפי המקרה הראשון,
∞ < ) ,o (a) = o (a−1וקיבלנו סתירה .לכן ∞ < ) .o (a−1
12
6
חבורות ציקליות
הגדרה .6.1תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gתת־החבורה הנוצרת על ידי aהיא תת־החבורה
{
}
⟨a⟩ = ak k ∈ Z
דוגמה .6.2עבור .⟨n⟩ = {kn|k ∈ Z} = nZ ,n ∈ Z
הגדרה .6.3תהי Gחבורה ויהי איבר .a ∈ Gאם ⟩ ,G = ⟨aאזי נאמר כי ” Gנוצרת
על ידי ”aונקרא ל G-חבורה ציקלית )מעגלית(.
דוגמה .6.4החבורה ) (Z, +נוצרת על ידי ,1שכן כל מספר ניתן להצגה ככפולה )כחזקה(
של .1שימו לב כי יוצר של חבורה ציקלית לא חייב להיות יחיד ,למשל גם −1יוצר את
.Z
דוגמה .6.5החבורה ⟩ (Zn , +) = ⟨1היא ציקלית .וודאו כי בחבורה ) (Z2 , +יש רק
יוצר אחד )נניח על ידי טבלת כפל( .וודאו כי בחבורה ) (Z10 , +יש ארבעה יוצרים.
שניים די ברורים ) 1וגם ,(−1 ≡ 9האחרים ) (3, 7דורשים לבינתיים בדיקה ידנית.
הערה .6.6יהי .a ∈ Gאזי |⟩ .o (a) = |⟨aבמילים ,הסדר של איבר הוא גודל
תת־החבורה שהוא יוצר.
טענה .6.7שימו לב כי הסדר של יוצר בחבורה ציקלית הוא סדר החבורה .כלומר אנחנו
יודעים כי ) 5 ∈ (Z10 , +אינו יוצר כי הסדר שלו הוא | ,|5| = 2 < 10 = |Z10שהרי
).5 + 5 ≡ 0 (mod 10
טענה .6.8כל חבורה ציקלית היא אבלית.
הוכחה .תהי Gחבורה ציקלית ,ונניח כי ⟩ .G = ⟨aיהיו .g1 , g2 ∈ Gצ”ל .g1 g2 = g2 g1
Gציקלית ,ולכן קיימים i, jשעבורם g1 = aiו .g2 = aj -מכאן שמתקיים
g1 g2 = ai aj = ai+j = aj+i = aj ai = g2 g1
דוגמה .6.9לא כל חבורה אבלית היא ציקלית .למשל ,נסתכל על }.U8 = {1, 3, 5, 7
זו לא חבורה ציקלית ,כי אין בחבורה הזו איבר מסדר ) 4כל האיברים שאינם 1הם
מסדר – 2בדקו(.
דוגמה .6.10קבוצת שורשי היחידה מסדר nמעל Cהיא
}
{
2πk
n
k = 0, 1, . . . , n − 1
Ωn = {z ∈ C|z = 1} = cis
n
2π
זו תת־חבורה של ∗ .Cיותר מכך :אם נסמן
n
היא חבורה ציקלית.
13
,ωn = cisנקבל ⟩ ,Ωn = ⟨ωnכלומר Ωn
טענה .6.11הוכיחו :אם Gציקלית ,אז כל תת־חבורה של Gהיא ציקלית.
הוכחה .תהי H ≤ Gתת־חבורה .נסמן ⟩ .G = ⟨aכל האיברים ב G-הם מהצורה ,ai
ולכן גם כל האיברים ב H-הם מהצורה הזו.
s
s
יהי s ∈ Nהמספר המינימלי שעבורו .a ∈ Hנרצה להוכיח ⟩ .H = ⟨aאכן,
יהי k ∈ Nשעבורו .ak ∈ Hלפי משפט החילוק עם שארית ,קיימים qו r-שעבורם
.0 ≤ r < s ,k = qs + rלכן,
ak = aqs+r = aqs · ar = (as )q · ar
במילים אחרות .ar = ak · (as )−q ,אבל ,as , ak ∈ Hולכן גם ) ar ∈ Hסגירות לכפל
ולהופכי(.
אם ,r ̸= 0קיבלנו סתירה למינימליות של – sכי ar ∈ Hוגם ) 0 < r < sלפי
בחירת .(rלכן .r = 0 ,כלומר ,k = qs ,ומכאן .s|kלכן ⟩ ,ak ∈ ⟨asכדרוש.
מסקנה .6.12תת־החבורות של ) (Z, +הן בדיוק ) (nZ, +עבור }.n ∈ N ∪ {0
טענה ) 6.13מההרצאה( .תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gאם ,an = eאזי .o (a) |n
תרגיל .6.14תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gנניח ∞ < .o (a) = nהוכיחו שלכל d ≤ n
טבעי,
)( d
n
)o (a
= o a
=
)(d, n
))(d, o (a
הוכחה .היתכנות :נשים לב כי
n
)( d ) (d,n
d
a
= (an ) (d,n) = e
d
)הפעולות שעשינו חוקיות ,כי ∈ Z
)(d, n
( d )t
dt
גם
לכן,
.n|dt
,6.13
טענה
לפי
.a
=
e
כלומר
,
a
מינימליות :נניח = e
(
)
n
d
n
dt
.
,
)שניהם מספרים שלמים – מדוע?( .מצד שני= 1 ,
|
)(d, n) (d, n
)(d, n) (d, n
n
,כמו שרצינו.
לפי תרגיל שהוכחנו בתרגול הראשון|t ,
)(d, n
(.
תרגיל ) 6.15אם יש זמן( .נגדיר Ωn
∞
∪
= ∞ .Ωהוכיחו:
n=1
Ω∞ .1היא תת־חבורה של ∗.C
.2לכל ∞) o (x) < ∞ ,x ∈ Ωכלומר :כל איבר ב Ω∞ -הוא מסדר סופי(.
Ω∞ .3אינה ציקלית.
14
לחבורה כזו ,שבה כל איבר הוא מסדר סופי ,קוראים חבורה מפותלת.
פתרון.
.1ניעזר בקריטריון המקוצר .יהיו ∞ .g1 , g2 ∈ Ωלכן קיימים m, nשעבורם ∈ g1
.g2 ∈ Ωn ,Ωmנכתוב
2πℓ
2πk
, g2 = cis
m
n
g1 = cis
לכן
(
)−1
)
(
)
(
2πℓ
2πk 2πℓ
2πk
2πk
2πℓ
= cis
cis
= cis
cis −
= cis
−
=
m
n
m
n
m
n
(
)
)2π (kn − ℓm
= cis
∞∈ Ωmn ⊆ Ω
mn
g1 g2−1
.2לכל ∞ x ∈ Ωקיים nשעבורו ;x ∈ Ωnלכן.o (x) ≤ n ,
.3נניח בשלילה ⟩ ;Ω∞ = ⟨aלכן בהכרח .o (a) = |Ω∞ | = ℵ0אבל זה סותר את
תוצאת סעיף ב’.
תרגיל ) 6.16אם יש זמן( .תהי Gחבורה ציקלית מסדר .nכמה איברים ב G-יוצרים
את ?G
פתרון .נניח כי ⟩ .G = ⟨aאזי
n
= n ⇐⇒ (k, n) = 1
)(k, n
⟩ ⟨
) (
⇒⇐ G = ak ⇐⇒ o ak = n
לכן ,מספר האיברים היוצרים את Gהוא | .|Un
7
מכפלה קרטזית של חבורות
הגדרה .7.1תהיינה )∗ (G,ו (H, •)-חבורות .ניזכר ממתמטיקה בדידה כי
}G × H = {(g, h)|g ∈ G, h ∈ H
נגדיר פעולה על G × Hרכיב-רכיב ,כלומר:
) (g1 , h1 ) ⊙ (g2 , h2 ) = (g1 ∗ g2 , h1 • h2
טענה (G × H, ⊙) .7.2היא חבורה.
למשל ,האיבר הניטרלי ב G × H-הוא ) .(eG , eH
15
דוגמה .7.3נסתכל על .U8 × Z3נדגים את הפעולה:
)(3, 2) ⊙ (5, 2) = (3 · 5, 2 + 2) = (15, 4) = (7, 1
)(5, 1) ⊙ (7, 2) = (5 · 7, 1 + 2) = (35, 3) = (3, 0
האיבר הניטרלי הוא ).(1, 0
תרגיל .7.4האם Zn × Znציקלית )עבור ?(n ≥ 2
פתרון .לא! נוכיח שהסדר של כל איבר (a, b) ∈ Zn × Znהוא לכל היותר :nאכן,
)(a, b)n = (a, b)⊙(a, b)⊙· · ·⊙(a, b) = (a + a + · · · + a, b + b + · · · + b) = (na, nb) = (0, 0
כיוון שהסדר הוא המספר המינימלי mשעבורו ) ,(a, b)m = (0, 0בהכרח .m ≤ n
כלומר ,הסדר של כל איבר ב Zn × Zn -הוא לכל היותר .n
כעת ,נסיק כי החבורה הזו אינה ציקלית :כזכור מבדידה .|Zn × Zn | = n2 ,אילו
החבורה Zn × Znהייתה ציקלית ,היה בה איבר מסדר ;n2אך אין כזה ,ולכן החבורה
אינה ציקלית.
הערה .7.5התרגיל הקודם אומר שמכפלה של חבורות ציקליות אינה בהכרח ציקלית.
לעומת זאת ,מכפלה של חבורות אבליות תישאר אבלית )תוכיחו בבית(.
הערה .7.6מעכשיו ,במקום לסמן את הפעולה של G × Hב ,⊙-נסמן אותה · בשביל
הנוחות.
8
החבורה הסימטרית )על קצה המזלג(
הגדרה .8.1החבורה הסימטרית מדרגה nהיא
}Sn = {σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}|σ is bijective
זהו אוסף כל ההעתקות החח”ע ועל מהקבוצה } {1, 2, . . . , nלעצמה ,ובמילים אחרות –
אוסף כל שינויי הסדר של המספרים } Sn .{1, 2, . . . , nהיא חבורה ,כאשר הפעולה
היא הרכבת פונקציות .איבר היחידה הוא פונקציית הזהות .כל איבר של Snנקרא
תמורה.
הערה ) 8.2אם יש זמן( .החבורה Snהיא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X Xעם
פעולת ההרכבה ,כאשר }.X = {1, 2, . . . , n
דוגמה .8.3ניקח לדוגמה את .S3איבר σ ∈ S3הוא מהצורה σ (2) = j ,σ (1) = i
ו ,σ (3) = k-כאשר } i, j, k ∈ {1, 2, 3שונים זה מזה .נסמן בקיצור
(
)
1 2 3
=σ
i j k
נכתוב במפורש את האיברים ב:S3 -
16
)
.1
)
.2
)
.3
)
.4
)
.5
)
.6
2 3
2 3
2 3
1 3
2 3
3 1
2 3
1 2
2 3
2 1
2 3
3 2
(
1
= .id
1
(
1
= .τ
2
(
1
= .σ
2
(
1
2
= .σ = σ ◦ σ
3
(
1
= .στ = σ ◦ τ
3
(
1
= .τ σ = τ ◦ σ
1
נשים לב ש S3 -אינה אבלית ,כי .στ ̸= τ σ
הערה .8.4נשים לב כי ! .|Sn | = nאכן ,מספר האפשרויות לבחור את ) σ (1הוא ;n
אחר כך ,מספר האפשרויות לבחור את ) σ (2הוא ;n − 1כך ממשיכים ,עד שמספר
האפשרויות לבחור את ) σ (nהוא – 1האיבר האחרון שלא בחרנו .בסך הכל|Sn | = ,
!.n · (n − 1) · · · · · 1 = n
הגדרה .8.5מחזור )או עגיל( ב Sn -הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של
מספרים שונים) a1 7→ a2 7→ a3 7→ . . . 7→ ak 7→ a1 :ושאר המספרים נשלחים לעצמם(.
כותבים את התמורה הזו בקיצור ) .(a1 a2 . . . akהאורך של המחזור ) (a1 a2 . . . ak
הוא .k
)
(
1 2 3 4 5
.
דוגמה .8.6ב ,S5 -המחזור ) (4 5 2מציין את התמורה
1 4 3 5 2
משפט .8.7כל תמורה ניתנת לכתיבה באופן יחיד כהרכבת מחזורים זרים ,כאשר הכוונה
ב”מחזורים זרים” היא מחזורים שאין לאף זוג מהם איבר משותף.
הערה .8.8שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה )מדוע?( ,ולכן חישובים עם
מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה.
(
)
1 2 3 4 5 6 7
= .σכדי
דוגמה .8.9נסתכל על התמורה הבאה ב:S7 -
4 7 3 1 5 2 6
לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים ,לוקחים מספר ,ומתחילים לעבור על המחזור
המתחיל בו .למשל:
1 7→ 4 7→ 1
17
אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור ) .(1 4כעת ממשיכים כך ,ומתחילים
ממספר אחר:
2 7→ 7 7→ 6 7→ 2
אז נקבל את המחזור ) (2 7 6בכתיבה .נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם,
כלומר ,5 7→ 5 ,3 7→ 3ולכן
)σ = (1 4) (2 7 6
נחשב את .σ 2אפשר ללכת לפי ההגדרה ,לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2תשלח
אותו; אבל ,כיוון שמחזורים זרים מתחלפים ,נקבל
)σ 2 = ((1 4) (2 7 6))2 = (1 4)2 (2 7 6)2 = (2 6 7
תרגיל .8.10יהי σ ∈ Snמחזור מאורך .kמהו )?o (σ
פתרון .נסמן ) σ = (a1 a2 . . . akנוכיח כי .o (σ) = kראשית ,ברור כי :σ k = idלכל
aiמתקיים
k
k−1
σ (ai ) = σ
(ai+1 ) = · · · = σ (ai−1 ) = ai
ולכל ) σ k (m) = m ,m ̸= aiכי .(σ (m) = m
נותר להוכיח מינימליות; אבל אם ,ℓ < kאפשר להשתכנע כי ̸= a1
כלומר .σ ℓ ̸= id
,σ ℓ (a1 ) = aℓ+1
9מחלקות
הגדרה .9.1תהי Gחבורה ,ותהי H ≤ Gתת־חבורה .לכל ,g ∈ Gנגדיר:
• מחלקה שמאלית – .gH = {gh|h ∈ H} ⊆ G
• מחלקה ימנית – }.Hg = {hg|h ∈ H
את אוסף המחלקות השמאליות נסמן .G/H
דוגמה .9.2ניקח את ,G = S3ונסתכל על תת־החבורה
})H = ⟨(1 2 3)⟩ = {id, (1 2 3) , (1 3 2
המחלקות השמאליות של Hב:G-
}){id, (1 2 3) , (1 3 2
}){(1 2) , (2 3) , (1 3
{(1 3) , (1 2) , (2 3)} = (1 2) H
{(2 3) , (1 3) , (1 2)} = (1 2) H
{(1 2 3) , (1 3 2) , id} = id H
{(1 3 2) , id, (1 2 3)} = id H
=
=
=
=
=
=
לכן
}S3 /H = {id H, (1 2) H
18
id H
(1 2) H
(1 3) H
(2 3) H
(1 2 3) H
(1 3 2) H
דוגמה .9.3ניקח את ) ,G = (Z, +ונסתכל על המחלקות השמאליות של :H = 5Z
} H = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .
} {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .
} {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .
} {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .
} {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .
{. . . , −5, 0, 5, 10, 15, . . . } = H
1+H
2+H
=
=
=
=
=
=
=
=
0+H
1+H
2+H
3+H
4+H
5+H
6+H
7+H
וכן הלאה .בסך הכל ,יש חמש מחלקות שמאליות של 5Zב ,Z-וכן
}Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H
דוגמה .9.4ניקח את ) ,G = (Z8 , +ונסתכל על } .H = ⟨2⟩ = {0, 2, 4, 6המחלקות
השמאליות הן
0 + H = H, 1 + H = {1, 3, 5, 7} , 2 + H = H
ובאופן כללי,
{
H,
= a+H
1 + H,
)if a ≡ 0 (mod 2
)if a ≡ 1 (mod 2
∪
.G = H
נשים לב ש1 + H :
הערה .9.5כפי שניתן לראות מהדוגמאות שהצגנו ,המחלקות השמאליות )או הימניות(
של Hיוצרות חלוקה של .Gנוסף על כך ,יחס השוויון בין המחלקות הנוצרות ע”י שני
איברים ב Gהינו יחס שקילות.
כלומר עבור a, b ∈ Gותת־חבורה ,H ≤ Gיחס השוויון aH = bHהינו יחס
שקילות בין aו .b
נסכם זאת בעזרת המשפט הבא:
משפט .9.6תהי Gחבורה ,ותהי H ≤ Gתת־חבורה a, b ∈ G .אזי
aH = bH .1אם ורק אם ,b−1 a ∈ H :בפרט a ∈ H⇐⇒ aH = H
.2לכל שתי מחלקות g1 Hו ,g2 H-מתקיים g1 H = g2 Hאו ∅ = .g1 H ∩ g2 H
.3מתקיים |.|aH| = |bH| = |H
.4האיחוד של כל המחלקות הוא כל gH = G ;G
∪
g∈G
19
,וזהו איחוד זר.
הוכחה .נוכיח את :1
)⇐( :אם aH = bHאזי לכל .ah ∈ bH ,h ∈ Hבפרט עבור איבר היחידה
.a = ae ∈ bHמכאן נובע שקיים h0 ∈ Hכך ש ,a = bh0 ∈ H
לכן בהכרח .b−1 a = h0 ∈ H
)⇒( :נניח ש ,b−1 a ∈ H :אזי קיים ,h0 ∈ Hכך ש ,b−1 a = h0 :לכן.a = bh0 :
עתה ,לכל h ∈ Hמתקיים ש ,ah = bh0 h ∈ bH :לכן .aH ⊆ bH :אבל אם
, b = ah−1ונקבל באותו אופן ש .bH ⊆ aH
,a = bh0אזי o
לכן בהכרח.bH = aH :
הערה .9.7קיימת התאמה חח”ע ועל בין המחלקות השמאליות } {gH : g ∈ Gלימניות
}.(Hg 7→ g −1 H) , {Hg : g ∈ G
{
}
= }gH 7→ (gH)−1 = (gh)−1 : h ∈ H = {h−1 g −1 : h ∈ H} = {kg −1 : k ∈ H
Hg −1
לכן מס’ המחלקות השמאליות = מספר המחלקות הימניות.
הגדרה .9.8נסמן את מספר המחלקות של Hב G-בסימון ] .[G : Hמספר זה נקרא
האינדקס של Hב.G-
דוגמה .9.9על פי הדוגמאות שראינו:
[Z : 5Z] = 5 .1
[S3 : ⟨(1 2 3)⟩] = 2 .2
[Z8 : ⟨2⟩] = 2 .3
תרגיל .9.10מצאו חבורה Gותת־חבורה ,H ≤ Gכך ש.[G : H] = ∞-
פתרון .תהי ) G = (Q, +ותת־חבורה .H = Z
ניקח שני שברים שונים מ Qבין 0ל ,α1 , α2 : 1ונתבונן במחלקות שאיברים אלו
יוצרים .נקבל ש:
}{α1 , ±1 + α1 , ±2 + α1 , ...} = α1 H ̸= α2 H = {α2 , ±1 + α2 , ±2 + α2 , ...
ולכן,
מספר המחלקות של Hב G-הוא לפחות כמספר המספרים ב Qבין 0ל 1שווה
∞.
משפט ) 9.11לגרנז’( .תהי Gחבורה ,ותהי H ≤ Gתת־חבורה .אז |.|G| = [G : H]·|H
מסקנה .9.12עבור חבורה סופית ,הסדר של תת־חבורה מחלק את הסדר של החבורה:
||G
]= [G : H
||H
בפרט ,עבור |a| = |⟨a⟩| ,a ∈ Gו |⟨a⟩| | |G|-כי .|⟨a⟩| ≤ Gלכן הסדר של כל איבר
בחבורה מחלק את הסדר של החבורה .במילים אחרות ,לכל a ∈ Gמתקיים .a|G| = e
20
דוגמה .9.13עבור ,|Z10 | = 10הסדרים האפשריים של איברים ב Z10הם מהקבוצה
}.{1, 2, 5, 10
תרגיל .9.14האם לכל מספר mהמחלק את סדר החבורה הסופית Gבהכרח קיים
איבר מסדר ?m
פתרון .לא בהכרח! דוגמה נגדית :נבחן את החבורה .Z4 × Z4
סדר החבורה הינו 16אבל לא קיים איבר מסדר .16אילו היה קיים איבר כזה,
אזי זו חבורה ציקלית ,אבל הוכחנו שהחבורה Zn × Znאינה ציקלית עבור .n > 1
משפט ) 9.15משפט אוילר( .פונקציית אוילר φ : N → Nמוגדרת לפי | .φ(n) = |Un
עבור .aφ(n) = 1 (mod n) ,a ∈ Un
דוגמה ,(3, 10) = 1 .9.16לכן .3 ∈ U10מאחר ש ,U10 = {1, 3, 7, 9}-אזי = )φ(10
.|U10 | = 4
אכן מתקיים.3φ(10) = 34 = 81 = 1 (mod 10) :
משפט .9.17המשפט הקטן של פרמה )כמקרה פרטי של משפט אוילר(:
עבור pראשוני מתקיים ,|Up | = p − 1לכן לכל a ∈ Upמתקיים ש ),|a| | (p − 1
ובפרט ).ap−1 = 1 (mod p
תרגיל .9.18חשב את שתי הספרות האחרונות של המספר .909121
פתרון .נזכר ש mod nהינו יחס שקילות מכיוון ש ,909 ≡ 9 (mod 100)-אזי נוכל לחשב
:9121
כיוון ש ,(9, 100) = 1-אזי על פי משפט אוילר.9φ(100) = 940 = 1 (mod 100) :
מכאן ש9121 = (940 )3 · 9 ≡ 13 · 9 ≡ 9 (mod 100)-
דוגמה .9.19תהי Gחבורה מסדר pראשוני .יהי .e ̸= g ∈ Gלכן .|g| > 1
מצד שני ,|g| | |G| = pלכן בהכרח ,|g| = pמה שאומר ש.G = ⟨g⟩ :
מאחר וזה נכון לכל ,e ̸= g ∈ Gנסיק ש G-נוצרת ע”י כל אחד מאיבריה שאינו
היחידה.
טענה .9.20תהי ⟩ G = ⟨xחבורה ציקלית מסדר nויהי y = xdכאשר ,d > 0אזי
n
)) |y| = (d,nראה תרגיל 6.14עבור ההוכחה(.
דוגמה ,(Z12 , +) .9.21חבורה ציקלית מסדר 12הנוצרת ע”י .x = 1
n
12
). (d,n
)= (8,12
= 12
אם ניקח ,y = x8 = 8אזי נקבל = 3 :
4
מצד שני ,על מנת לחשב את הסדר של ,yנבדוק מהי תת־החבורה הנוצרת ע”י :y
).⟨8⟩ = {0, 8, 4} ≤ (Z12 , +
ואכן .|y| = |8| = | ⟨8⟩ | = 3
21
n
1
n
)(d,n
מסקנה .9.22בסימונים שלעיל ,אם (n, d) = 1אזי = n
⟩.G = ⟨y
מכאן נסיק שבחבורה ציקלית ,כל איבר שחזקתו זרה למספר איברי החבורה -
יוצר את החבורה.
לכן מספר היוצרים בחבורה ציקלית מסדר nהוא כמספר המספרים השלמים הזרים
ל .n-כלומר מספר היוצרים הוא בדיוק )) φ(nפונקציית אוילר(.
=
= | .|yכלומר
טענה .9.23תהי ⟩ G = ⟨αציקלית מסדר nויהי .m|nאזי ל Gיש תת־חבורה ציקלית
יחידה מסדר .m
⟩ ⟨ n/m
.H = αזוהי תת־חבורה מסדר m.תהי Kתת־חבורה ציקלית
הוכחה .נסמן
נוספת מסדר mז”א .K = ⟨β⟩ :נרצה להוכיח ש.K = H :
מאחר ש αיוצר של ,Gקיים b ∈ Zכך ש ,β = αb :לכן על פי הטענה הקודמת,
n
).|β| = (n,b
n
n
)⇐ m = (n,b
אבל ⇐ |β| = m
.(n, b) = mלפי תכונת ה gcdקיימים s, t ∈ Zכך
ש .(n, b) = sn + tbלכן:
.αn/m = α(n,b) = αsn+tb = (αn )s (αb )t = 1 · β t ∈ Kכלומר קיבלנו ש:
,αn/m ∈ Kלכן ,H ⊆ Kאבל על פי ההנחה | ,|H| = |Kלכן ,H = Kכדרוש.
תרגיל .9.24כמה תת־חבורות לא טריוויאליות יש ב) ?Z30 -לא טריוויאלית פירושו לא
כולל את } {0ואת (Z30
על פי התרגיל ,מאחר ומדובר בחבורה ציקלית ,מס’ תת־החבורות הוא כמספר
המחלקים של המספר ,30כלומר.|{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}| = 8 :
מאחר והסדרים 1ו 30-מתאימים לתת־החבורות הטרוויאליות ,נותרנו עם שש
תת־חבורות לא טריוויאליות.
10
חישוב פונקציית אוילר
לצורך פתרון התרגיל הבא נפתח נוסחה נוחה לחישוב ) ,φ (nכלומר ,בהנתן מספר שלם
כלשהו ,נוכל לחשב את מספר המספרים הקטנים ממנו בערך מוחלט וזרים לו.
על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה ,כל מספר שלם ניתן לפרק למכפלת חזקות
של מספרים ראשוניים )עד כדי סדר וסימן( .כלומר
n = pk11 pk22 · · · ·pkmm
כעת נתבונן בנפרד בפונקציית אוילר של חזקה של מספר ראשוני כלשהו במכפלה,
שאותם קל לחשב:
)
(
)( k
1
k
k−1
k−1
k
φ p =p −p
=p
(p − 1) = p 1 −
p
22
ולכן ,עבור מספר שלם כלשהו:
(
)
) ( ) (
) (
φ (n) = φ pk11 pk22 . . . pkmm = φ pk11 φ pk22 . . . φ pkmm
(
()
( )
)
1
1
1
k1 k2
km
= p1 p2 . . . pm 1 −
1−
... 1 −
p1
p2
pk
(
()
( )
)
1
1
1
=n· 1−
1−
... 1 −
p1
p2
pk
ולסיכום
(
()
( )
)
1
1
1
φ (n) = n · 1 −
1−
... 1 −
p1
p2
pk
דוגמה .10.1נחשב את ):φ (60
(
()
()
)
1
1
1
φ (60) = 60 · 1 −
1−
1−
= 16
2
3
5
תרגיל .10.2חשבו את שתי הספרות האחרונות של .807327671999 + 2013
פתרון .נפעיל mod100ונקבל
(
)50
807327671999 + 2013 ≡ 671999 + 13 = 6750·40−1 + 13 = 6740 · 67−1 + 13
(
)50
= 67φ(100) · 67−1 + 13 ≡ (1)50 · 67−1 + 13 = 67−1 + 13
כעת נותר למצוא את ההופכי של 67בחבורה 67) .U100זר ל 100-ולכן נמצא
ב(U100 -
לצורך כך ,נשתמש באלגוריתם של אוקלידס לצורך מציאת פתרון למשוואה 67x = 1
).(mod 100
יש פתרון למשוואה אם”ם קיים k ∈ Zכך ש . 100k + 67x = 1
נבעזרת אלגוריתם אוקלידס נמצא ביטוי של ) gcd (100, 67כצירוף לינארי של 67
ו. 100-
](100, 67) = [100 = 1 · 67 + 33
](67, 33) = [67 = 2 · 33 + 1
(33, 1) = 1
ומהצבה לאחור נקבל ,1 = 67 − 2 · 33 = −2 · 100 + 3 · 67 :ולכן ,x = 3כלומר
ההופכי של 67הוא .3
−1
לכן .67 + 13 = 3 + 13 = 16כלומר שתי הספרות האחרונות הם .16
23
תרגיל .10.3הוכיחו את הטענה הבאה :תהא Gחבורה סופית ,אזי Gמסדר זוגי ⇔
קיים ב Gאיבר מסדר .2
)⇒( :על פי משפט לגרנז’ ,הסדר של איבר מחלק את סדר החבורה ולכן סדר
החבורה זוגי.
)⇐( :לאיבר מסדר 2תכונה יחודית -הוא הופכי לעצמו .נניח בשלילה שאין
אף איבר ב Gמסדר שני ,כלומר שאין אף איבר שהופכי לעצמו )למעט איבר היחידה
כמובן(.
אזי ,ניתן לסדר את כל איברי החבורה -זוגות זוגות ,כאשר כל איבר מזווג לאיבר
ההופכי לו .ביחד עם איבר היחידה נקבל מספר אי זוגי של איברים ב Gבסתירה
להנחה.
מסקנה .10.4לחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים מסדר .2
11
תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים
הגדרה .11.1תהי Gחבורה ותהי A ⊆ Gתת־קבוצה לא ריקה איברים ב ) Gשימו לב
ש Aאינה בהכרח תת־חבורה של .(G
תת־החבורה נוצרת ע”י Aהינה תת־החבורה המינימלית המכילה את Aונסמנה
⟩.⟨A
אם ⟩ G = ⟨Aאז נאמר ש Gנוצרת ע”י .A
עבור קבוצה סופית של איברים ,נכתוב ⟩ .⟨x1 , ...., xk
נשים לב שעבור קבוצה סופית של יוצרים ,הגדרה זו מהווה הכללה לכתיבה של
חבורה ציקלית הנוצרת ע”י איבר אחד.
דוגמה .11.2אם ניקח {2, 3} ⊆ Zאז ⟩ .H := ⟨2, 3נוכיח ש.H = Z-
Hתת־חבורה של Zובפרט .H ⊆ Zנראה שגם ,Z ⊆ Hומזה נסיק שוויון.
כיוון ש 2 ∈ H-אזי גם (−2) ∈ Hומכאן ש .(−2) + 3 = 1 ∈ H-כלומר איבר
היחידה שהוא כידוע היוצר של כל ,Zמוכל ב . H
לכן נקבל .1 ∈ H ⇒ Z = ⟨1⟩ ⊆ H :כלומר , Z ⊆ Hומכאן נובע השוויון
.H = Z
דוגמה .11.3אם ניקח {4, 6} ⊆ Zאזי נקבל.⟨4, 6⟩ = {4n + 6m : m, n ∈ Z} :
נטען ש) ⟨4, 6⟩ = gcd (4, 6) · Z = 2Z-כלומר תת־חבורה של השלמים המכילה רק
את המספרים הזוגיים(.
נוכיח ע”י הכלה דו כיוונית.
)⊆( :ברור ש 2|4m + 6nולכן .⟨4, 6⟩ ⊆ 2Z
)⊇( :יהי .2k ∈ 2Zאזי ⟩ .2k = 4 (−k) + 6k ∈ ⟨4, 6לכן מתקיים גם2Z ⊆ :
⟩.⟨4, 6
דוגמה .11.4במקרה שהחבורה אבלית ,קל יותר לתאר את תת־החבורה הנוצרת.
למשל אם ניקח שני יוצרים a, b ∈ Gנקבל.⟨a, b⟩ = {ai bj : i, j ∈ Z} :
24
כלומר בזכות החילופיות ,ניתן לסדר את כל ה-a-ים יחד וכל ה-b-ים יחד .נדגים
לאיבר הנוצר על ידי aו.abaaab−1 bbba−1 = a3 b3 :b-
באופן כללי ,בחבורה אבלית מתקיים:
{
}
⟨a1 ...., an ⟩ = ak11 ....aknn : ∀1 ≤ i ≤ n, ki ∈ Z
דוגמה .11.5נוח לעיתים לחשוב על איברי ⟩ ⟨Aבתור קבוצת מילים שניתן לכתוב
באמצעות האותיות בקבוצה )היוצרים ב .(A
נסביר :נגדיר את הא”ב שלנו להיות A ∪ A−1כאשר }.A−1 = {a−1 : a ∈ A
כעת ,מילה היא סדרה סופית של אותיות מה-א”ב.
המילה הריקה מייצגת כאן את איבר היחידה ב .G
12
החבורה הדיהדרלית
נציג חבורה חשובה נוספת שמקורה גאומטרי :החבורה הדיהדרלית.
הגדרה .12.1עבור מספר טבעי ,nהקבוצה Dnשל סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע
משוכלל בין nצלעות על עצמו ,היא החבורה הדיהדרלית ,יחד עם פעולת ההרכבה.
2πו τ -הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו ,אז:
אם σהוא סיבוב ב
n
⟨
⟩
Dn = σ, τ : σ n = τ 2 = id, στ = τ σ n−1
צורת תיאור זו נקראת תיאור חבורה על ידי יוצרים ויחסים.
דוגמה .12.2החבורה D3כוללת איברים המייצגים את כל הקומבינציות של סיבוב של
,1200המסומן באות ,σושיקוף המסומן באות ,τעל משולש שווה צלעות.
⟨
⟩
D3 = σ, τ : σ 3 = τ 2 = id, στ = τ σ 2
כעת נתאר במפורש את כל איברי D3
{
}
D3 = id, σ, σ 2 , τ, τ σ, τ σ 2
הערה .12.3שימו לב שאמנם האיבר στלא מופיע בתאור ששת האיברים אך על פי
היחס שהוגדר ,στ = τ σ 2לכן האיבר נמצא בחבורה ,אך מתואר בכתיבה שונה.
הערה .12.4בהמשך להערה הקודמת ,נשים לב ש στו τ σהם שני איברים שונים זה
מזה )גזור משולש שווה צלעות ,סמן את קודקודיו ,ואז :פעם אחת שקף את המשולש
ואח”כ סובב ,ובפעם השניה סובב ואח”כ שקף ותיווכח שהמצב הסופי שבו מונח המושלש
שונה בשני המקרים(.
כלומר :החבורה D3אינה אבלית ,ובאופן כללי ,כל Dnאינה אבלית עבור .n ≥ 3
הערה .12.5סדר החבורה D3הינו .6לכל ,nהסדר של Dnהינו .2n
25
נושאים נוספים בחבורה הסימטרית
13
13.1
סדר של איברים בחבורה הסימטרית
נחזור לחקור את החבורה הסימטרית .Sn
הערה .13.1תזכורת :עבור מחזור σמאורך kמתקיים.o (σ) = k :
טענה ) .13.2מופיעה כתרגיל בית בדף עבודה מס’ (5
תהי Gחבורה .יהי a, b ∈ Gכך ש ab = baוגם ) ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = eכלומר החיתוך
בין תת־החבורה הציקלית הנוצרת ע”י aותת־החבורה הציקלית הנוצרת ע”י bהיא
טריוויאלית( .אז
))o (ab) = lcm (o (a) , o (b
מסקנה .13.3סדר מכפלות מחזורים זרים ב Snהוא ה ) lcmהכמ”מ( של סדרי המחזורים.
דוגמה .13.4הסדר של ) (123) (56הוא 6והסדר של ) (1234) (56הוא .4
תרגיל .13.5מצאו תת־חבורה מסדר 45ב.S15 -
פתרון .נמצא תמורה מסדר 45ב .S15 -נתבונן באיבר
)σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (10, 11, 12, 13, 14
ונשים לב כי .o (σ) = [9, 5] = 45
כעת ,מכיוון שסדר האיבר שווה לסדר תת־החבורה שאיבר זה יוצר ,נסיק שתת־החבורה
⟩ ⟨σעונה על הדרוש.
שאלה .13.6האם קיים איבר מסדר 39ב?S15 -
פתרון .לא .וזאת מכיוון שאיבר מסדר 39לא יכול להתקבל כמכפלת מחזורים זרים ב
.S15
אמנם ניתן לקבל את הסדר 39כמכפלת מחזורים זרים ,האחד מאורך 13והאחר
מאורך , 3אבל 13 + 3 = 16ולכן ,זה בלתי אפשרי ב.S15 -
13.2
הצגת מחזור כמכפלת חילופים
הגדרה .13.7מחזור מסדר 2ב Sn -נקרא חילוף.
טענה .13.8כל מחזור ) (a1 , a2 , ...., arניתן לרשום כמכפלת חילופים
) (a1 , a2 , ...., ar ) = (a1 , a2 ) · (a2 , a3 ) · · · · · · (ar−1 , ar
לכן:
⟩Sn = ⟨(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ n
26
תרגיל .13.9כמה מחזורים מאורך 2 ≤ r ≤ nיש בחבורה ?Sn
) (n
פתרון .זו שאלה קומבינטורית .בוחרים rמספרים מתוך nויש rאפשרויות כאלה.
כעת יש לסדר את rהמספרים ב ! rדרכים שונות .אבל ספרנו יותר מידי אפשרויות,
כי יש rמחזורים זהים ,נסביר:
) (a1 , ...., ar ) = (a2 , ..., ar , a1 ) = .... = (ar , a1 ..., ar−1
נחלק( את המספר הכולל ב r-ונקבל מספר המחזורים מאורך rב Sn -הינו:
לכן )
n
!). r · (r − 1
תרגיל .13.10מה הם הסדרים האפשריים לאיברי ?S4
פתרון .ב S4 -הסדרים האפשריים הם:
.1סדר - 1רק איבר היחידה.
.2סדר - 2חילופים ) (i, jאו מכפלה של שני חילופים זרים ,למשל ).(12) (34
.3סדר - 3מחזורים מאורך ,3למשל ).(243
.4סדר - 4מחזורים מאורך ,4למשל ).(2431
וזהו! כלומר הצלחנו למיין בצורה פשוטה ונוחה את כל הסדרים האפשריים ב.S4 -
תרגיל .13.11מה הם הסדרים האפשריים לאיברי ?S5
.1סדר - 1רק איבר היחידה.
.2סדר - 2חילופים ) (i, jאו מכפלה של שני חילופים זרים.
.3סדר - 3מחזורים מאורך .3
.4סדר - 4מחזורים מאורך .4
.5סדר - 5מחזורים מאורך .5
.6סדר - 6מכפלה של חילוף ומחזור מאורך ,3למשל ).(231) (54
וזהו! שימו לב שב Sn -יש איברים מסדר שגדול מ n-עבור .n ≥ 5
27
13.3
סימן של תמורה וחבורת החילופין )חבורת התמורות הזוגיות(
הגדרה .13.12יהי σמחזור מאורך ,kאזי הסימן שלו הוא:
sign (σ) = (−1)k−1
ועבור התמורות τ, σ ∈ Snמתקיים:
) sign (στ ) = sign (σ) sign (τ
תכונה זו מאפשרת לחשב את הסימן של כל תמורה ב.Sn -
נקרא לתמורה שסימנה 1בשם תמורה זוגית ולתמורה שסימנה 0בשם תמורה אי
זוגית.
דוגמה ) .13.13נקודה חשובה ומאוד מבלבלת(
.1החילוף ) (35הוא תמורה אי זוגית.
.2התמורה הריקה היא תמורה זוגית.
.3מחזור מאורך אי זוגי הוא תמורה זוגית.
הגדרה .13.14חבורת החילופין )חבורת התמורות הזוגיות( Anהיא תת־החבורה הבאה
של :Sn
}An = {σ ∈ Sn | sign (σ) = 1
הערה .13.15הסדר של Anהינו
!n
2
= | .|An
הגדרה .A3 = {id, (123) , (132)} .13.16
נשים לב כי ⟩) A3 = ⟨(123כלומר A3ציקלית.
14
שימוש בתורת החבורות :אלגוריתם RSA
נראה דוגמה להרצה של אלגוריתם ) RSAעל שם רון ריבסט ,עדי שמיר ולאונרד אדלמן(
הנלקחה מויקיפדיה .אלגוריתם RSAמממש שיטה להצפנה אסימטרית המובססת על
רעיון המפתח הפומבי.
המטרה :בוב מעוניין לשלוח לאליס הודעה באופן מוצפן.
יצירת המפתחות :אליס בוחרת שני מספרים ראשוניים p, qבאופן אקראי )בפועל מאוד
גדולים( .היא מחשבת את המספרים n = pqואת ).φ(n) = (p − 1) (q − 1
בנוסף היא בוחרת מספר eהזר ל φ(n)-שנקרא המעריך להצפנה )בפועל = 65537
216+1או מספר די קטן אחר( .היא מוצאת הופכי כפלי dשל eבחבורה )Uφ(n
שיהווה את המפתח הסודי שלה .כלומר היא מוצאת מספר המקיים de ≡ 1
)) ,(mod φ(nלמשל על ידי אלגוריתם אוקלידס המורחב .זהו שלב שאין צורך
לחזור עליו.
28
הפצת המפתח הפומבי :אליס שולחת באופן אמין ,אך לא בהכרח מוצפן ,את המפתח
הפומבי ) (n, eלבוב )או לעולם( .את המפתח הסודי dהיא שומרת בסוד לעצמה.
גם זהו שלב שאין צורך לחזור עליו.
הצפנה :בוב ישלח הודעה Mלאליס בצורת מספר mהמקיים 0 ≤ m < nוגם
.gcd(n, m) = 1כלומר יש רק φ(n) + 1סוגי הודעות שונות שבוב יכול לשלוח.
הוא ישלח את ההודעה המוצפנת ).c ≡ me (mod n
פענוח :אליס תשחזר את ההודעה mבעזרת המפתח הסודי m ≡ cd ≡ med ≡ m
).(mod n
דוגמה .14.1נציג דוגמה עם מספרים קטנים מאוד .אליס תבחר למשל את p = 61
ואת .q = 53היא תחשב
φ(n) = (p − 1) (q − 1) = 3120
n = pq = 3233
היא תבחר מעריך הצפנה ,e = 17שאכן זר ל .φ(n) = 3120-המפתח הסודי שלה הוא
)d ≡ e−1 ≡ 2753 (mod 3120
וכדי לסיים את שני השלבים הראשונים באלגוריתם היא תפרסם את המפתח הפומבי
שלה ).(n, e
נניח ובוב רוצה לשלוח את ההודעה m = 65לאליס .הוא יחשב את ההודעה
המוצפנת
17
)c ≡ m ≡ 2790 (mod 3233
וישלח את cלאליס .כעת אליס תפענח אותה על ידי חישוב
)m ≡ 27902753 ≡ 65 (mod 3233
החישובים בשלבי הביניים של חזקות מודולריות יכולים להעשות בשיטות יעילות
מאוד הנעזרות במשפט השאריות הסיני ,או על ידי חישוב חזקה בעזרת ריבועים )שיטה
הנקראת גם העלאה בינארית בחזקה( .למשל לחישוב m17נשים לב שבסיס בינארי
,17 = 100012ולכן במקום 17 − 1 = 16הכפלות מודלוריות נסתפק בחישוב:
)(mod 3233
m1 ≡ m · 1 ≡ 65
)m2 ≡ (m)2 ≡ 992 (mod 3233
( )2
)m4 ≡ m2 ≡ 1232 (mod 3233
( )2
)m8 ≡ m4 ≡ 1547 (mod 3233
( )2
)m16 ≡ m8 ≡ 789 (mod 3233
( )2
)m17 ≡ m m8 ≡ 2790 (mod 3233
29
נשים לב שכאשר כפלנו ב) m-שורה ראשונה ואחרונה( זה מקביל לסיביות הדלוקות
ב ,100012 -ואילו כאשר העלנו בריבוע ,זה מקביל למספר הסיביות )פחות .(1בקיצור
( k )2
⌋ m⌊ 2
kזוגי
k
( k )2
= m
⌋ m m⌊ 2
kאי זוגי
כלומר כאשר נחשב mkעבור kכלשהו נוכל להסתפק ב ⌊log2 k⌋-פעולות של העלאה
בריבוע ולכל היותר ב ⌊log2 k⌋-הכפלות מודולריות ,במקום k − 1הכפלות מודלוריות
ב .m-בבית תדרשו לחישוב של 27902753בעזרת שיטה זו.
הערה ) 14.2אזהרה!( .יש לדעת שלא כדאי להשתמש לצרכים חשובים בפונקציות
קריפטוגרפיות שמימשתם לבד .ללא בחינה מדוקדקת על ידי מומחים בתחום לגבי
רמת בטיחות ונכונות הקוד ,ישנן התקפות רבות שאפשר לנצל לגבי מימושים שכאלו,
כגון בחירת מפתחות לא ראויה .בנוסף יש התקפות לגבי הפרוטוקול בו משתמשים כגון
התקפת אדם באמצע והתקפת ערוץ צדדי.
15
הומומורפיזמים
הגדרה .15.1תהינה )∗ (H, •) ,(G,חבורות .העתקה f : G → Hתקרא הומומורפיזם
של חבורות אם מתקיים
)f (x ∗ y) = f (x) • f (y
∀x, y ∈ G,
נכין מילון קצר לסוגים שונים של הומומורפיזמים:
.1הומומורפיזם שהוא חח”ע נקרא מונומורפיזם או שיכון .נאמר כי Gמשוכנת בH-
אם קיים שיכון .f : G ,→ H
.2הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם .נאמר כי Hהיא תמונה אפימורפית
של Gאם קיים אפימורפיזם .f : G H
.3הומומורפיזם שהוא חח”ע ועל נקרא איזומורפיזם .נאמר כי Gו H-איזומורפיות
∼ .G
אם קיים איזומורפיזם .f : G → Hנסמן זאת = H
.4איזומורפיזם f : G → Gנקרא אוטומורפיזם של .G
.5בכיתה נקצר את השמות של הומומורפיזם ,מונומורפיזם ,אפימורפיזם ,איזומורפיזם
ואוטומורפיזם להומ’ ,מונו’ ,אפי’ ,איזו’ ואוטו’ ,בהתאמה.
הערה .15.2העתקה f : G → Hהיא איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה g :
H → Gכך ש f ◦ g = idH -וגם .g ◦ f = idG
אפשר להוכיח )נסו!( שההעתקה gהזו היא הומומורפיזם בעצמה .כלומר כדי
להוכיח שהומומורפיזם fהוא איזומורפיזם מספיק למצוא העתקה הפוכה .g = f −1
אפשר גם לראות שאיזומורפיזם הוא יחס שקילות.
30
תרגיל .15.3הנה רשימה של כמה העתקות בין חבורות .קבעו האם הן הומומורפיזמים,
ואם כן מהו סוגן:
φ : R → R∗ .1המוגדרת לפי x 7→ exהיא מונומורפיזם .מה היה קורה אם היינו
מחליפים למרוכבים?
.2יהי Fשדה .אז ∗ det : GLn (F ) → Fהיא אפימורפיזם .הרי
)det(AB) = det(A) det(B
וכדי להוכיח שההעתקה על אפשר להסתכל על מטריצה אלכסונית עם ערכים
) (x, 1, . . . , 1באלכסון.
φ : R → R∗ .3המוגדרת לפי x 7→ xאינה הומומורפיזם כלל.
φ : Z2 → Ω2 .4המוגדרת לפי 1 7→ −1 ,0 7→ 1היא איזומורפיזם .הראתם
בתרגיל בית שכל החבורות מסדר 2הן למעשה איזומורפיות.
העובדה שהעתקה f : G → Hהיא הומומורפיזם גוררת אחריה כמה תכונות מאוד
נוחות:
.f (eG ) = eH .1
f (g n ) = f (g)n .2לכל .n ∈ Z
,f (g −1 ) = f (g)−1 .3כמקרה פרטי של הסעיף הקודם.
.4הגרעין של ,fכלומר } ,ker f = {g ∈ G : f (g) = eHהוא תת־חבורה נורמלית
של ) Gבהמשך נסביר מה זה ”תת־חבורה נורמלית”(.
.5התמונה של ,fכלומר } ,im f = {f (g) : g ∈ Gהיא תת־חבורה של .H
∼ ,Gאז |.|G| = |H
.6אם = H
תרגיל .15.4יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו כי לכל g ∈ Gמסדר סופי מתקיים
).o(f (g))|o(g
הוכחה .נסמן ) .n = o(gלפי הגדרה .g n = eGנפעיל את fעל המשוואה ונקבל
) f (g n ) = f (g)n = eH = f (eG
ולכן .o(f (g))|n
תרגיל .15.5האם כל שתי חבורות מסדר 4הן איזומורפיות?
31
פתרון .לא! נבחר G = Z2 × Z2ואת .H = Z4נשים לב כי ב H-יש איבר מסדר
.4אילו היה איזומורפיזם ,f : G → Hאז הסדר של האיבר מסדר 4היה מחלק את
הסדר של המקור שלו .בחבורה Gכל האיברים מסדר 1או ,2לכן הדבר לא יתכן,
ולכן החבורות לא איזומורפיות.
באופן כללי ,איזומורפיזם שומר על סדר האיברים ,ולכן בחבורות איזומורפיות
הרשימות של סדרי האיברים בחבורות ,הן שוות.
טענה ) 15.6לבית( .יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו שאם Gאבלית ,אז im f
∼ ,Gאז Gאבלית אם ורק אם Hאבלית.
אבלית .הסיקו שאם = H
תרגיל .15.7יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו שאם Gציקלית ,אז im fציקלית.
הוכחה .נניח ⟩ .G = ⟨aנטען כי ⟩) .im f = ⟨f (aיהי x ∈ im fאיבר כלשהו .לכן יש
איבר g ∈ Gכך ש) f (g) = x-כי im fהיא תמונה אפימורפית של .(Gמפני שG-
ציקלית קיים k ∈ Zכך ש .g = ak -לכן
x = f (g) = f (ak ) = f (a)k
וקיבלנו כי ⟩) ,x ∈ ⟨f (aכלומר כל איבר בתמונה הוא חזקה של ) .f (aהסיקו שכל
החבורות הציקליות מסדר מסוים הן איזומורפיות.
תרגיל .15.8האם קיים איזומורפיזם ?f : S3 → Z6
פתרון .לא ,כי S3לא אבלית ואילו Z6כן.
תרגיל .15.9האם קיים איזומורפיזם )?f : (Q+ , ·) → (Q, +
פתרון .לא .נניח בשלילה כי fהוא אכן איזומורפיזם .לכן ).f (a2 ) = f (a) + f (a
נסמן ) ,c = f (3ונשים לב כי .c = 2c + 2cמפני ש f -היא על ,אז יש מקור ל 2c -ונסמן
אותו .f (x) = 2c
קיבלנו אפוא את המשוואה
)f (x2 ) = f (x) + f (x) = c = f (3
√
∈. 3
ומפני ש f -היא חח”ע ,קיבלנו .x2 = 3אך זו סתירה כי / Q
תרגיל .15.10האם קיים אפימורפיזם ?f : H → Z3 × Z3כאשר ∗?H = ⟨5⟩ ≤ R
פתרון .לא .נניח בשלילה שקיים fכזה .מפני ש H-היא ציקלית ,אז גם im fהיא
ציקלית .אבל fהיא על ,ולכן נקבל כי .im f = Z3 × Z3אך זו סתירה כי החבורה
Z3 × Z3אינה ציקלית.
תרגיל .15.11האם קיים מונומורפיזם ?f : GL2 (Q) → Q10
פתרון .לא .נניח בשלילה שקיים fכזה .נתבונן בצמצום ,f : GL2 (Q) → im fשהוא
איזומורפיזם )להדגיש כי זהו אפימורפיזם ומפני ש f -חח”ע ,אז fהיא איזומורפיזם(.
ידוע לנו כי ,im f ≤ Q10ולכן im fאבלית .כלומר גם ) GL2 (Qאבלית ,שזו סתירה.
32
מסקנה .יתכנו ארבע הפרכות ברצף.
תרגיל .15.12מתי ההעתקה i : G → Gהמוגדרת לפי i(g) = g −1היא אוטומורפיזם?
פתרון .ברור שההעתקה הזו מחבורה לעצמה היא חח”ע ועל .כעת נשאר לבדוק שהיא
שומרת על הפעולה )כלומר הומומורפיזם( .יהיו g, h ∈ Gונשים לב כי
)i(gh) = (gh)−1 = h−1 g −1 = i(h)i(g) = i(hg
וזה יתקיים אם ורק אם .gh = hgכלומר iהיא אוטומורפיזם אם ורק אם Gאבלית.
כהערת אגב ,השם של ההעתקה נבחר כדי לסמן .inversion
16
תת־חבורות נורמליות
הגדרה .16.1תת־חבורה H ≤ Gנקראת תת־חבורה נורמלית אם לכל g ∈ Gמתקיים
.gH = Hgבמקרה זה נסמן .H ▹ G
משפט .16.2תהי תת־חבורה .H ≤ Gהתנאים הבאים שקולים:
.H ▹ G .1
.2לכל g ∈ Gמתקיים .g −1 Hg = H
.3לכל g ∈ Gמתקיים .g −1 Hg ⊆ H
H .4היא גרעין של הומומורפיזם )שהטווח שלו הוא .(G
הוכחה חלקית .קל לראות כי סעיף 1שקול לסעיף .2ברור כי סעיף 2גורר את סעיף
,3ובכיוון השני נשים לב כי אם g −1 Hg ⊆ Hוגם gHg −1 ⊆ Hנקבל כי
H = gg −1 Hgg −1 ⊆ g −1 Hg ⊆ H
קל להוכיח שסעיף 4גורר את האחרים ,ובכיוון השני יש צורך בהגדרת חבורות מנה.
דוגמה .16.3אם Gחבורה אבלית ,אז כל תת־החבורות שלה הן נורמליות .הרי אם
,h ∈ H ≤ Gאז .g −1 hg = h ∈ Hההפך לא נכון!
דוגמה .16.4מתקיים ) .SLn (F ) ▹ GLn (Fאפשר לראות זאת לפי הצמדה .יהי
) ,A ∈ SLn (Fאז לכל ) g ∈ GLn (Fמתקיים
det(g −1 Ag) = det(g −1 ) det(A) det(g) = det(g)−1 · 1 · det(g) = 1
ולכן ) .g −1 Ag ∈ SLn (Fדרך אחרת להוכחה היא לשים לב כי ) SLn (Fהיא הגרעין
של ההומומורפיזם ∗ .det : GLn (F ) → F
אתגר :הוכיחו בעזרת דוגמה זו כי .An ▹ Sn
33
דוגמה ⟨τ ⟩ ≤ D3 .16.5אינה נורמלית כי .σ ⟨τ ⟩ ̸= ⟨τ ⟩ σ
טענה .16.6תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס .2אזי .H ▹ G
הוכחה .אנו יודעים כי יש רק שתי מחלקות שמאליות של Hבתוך ,Gורק שתי מחלקות
∈ ,aאז המחלקה השמאלית האחרת
ימניות .אחת מן המחלקות היא .Hאם איבר / H
היא ,aHוהמחלקה הימנית האחרת היא .Haמכיוון ש G-היא איחוד של המחלקות
נקבל
H ∪ aH = G = H ∪ Ha
ומפני שהאיחוד בכל אגף הוא זר נקבל .aH = Ha
מסקנה .16.7מתקיים ⟨σ⟩ ▹ Dnכי לפי משפט לגראנז’ = 2
2n
n
= ]⟩.[Dn : ⟨σ
הערה .16.8אם K ≤ H ≤ Gוגם ,K ▹ Gאז בוודאי .K ▹ Hההפך לא נכון.
אם K ▹ Hוגם ,H ▹ Gאז לא בהכרח !K ▹ Gלמשל ⟨τ ⟩ ▹ ⟨τ, σ 2 ⟩ ▹ D4לפי
המסקנה הקודמת ,אבל ראינו כי ⟩ ⟨τהיא לא נורמלית ב.D4 -
תרגיל .16.9תהי Gחבורה .יהיו H, N ≤ Gתת־חבורות .נגדיר מכפלה של תת־חבורות
להיות
} HN = {hn : h ∈ H, n ∈ N
הוכיחו כי אם ,N ▹ Gאז .HN ≤ Gאם בנוסף ,H ▹ Gאז .HN ▹ G
פתרון .חבורה היא סגורה להופכי ,כלומר ,H −1 = Hוסגורה למכפלה ולכן .HH = H
מפני ש N ▹ G-נקבל כי לכל h ∈ Hמתקיים ,hN = N hולכן .HN = N Hשימו
לב שזה לא אומר שבהכרח !nh = hnאלא שקיימים n′ ∈ Nוגם h′ ∈ Hכך
ש.nh = h′ n′ -
נשים לב כי ∅ ≠ HNכי .e = e · e ∈ HNנוסיף הסבר )מיותר( עם האיברים של
תת־החבורות בשורה השנייה ,שבו נניח hi ∈ Hוגם .ni ∈ Nנבדוק סגירות למכפלה
של :HN
HN HN = HHN N = HN
h1 n1 h2 n2 = h1 h′2 n′1 n2 = h3 n3
וסגירות להופכי
(HN )−1 = N −1 H −1 = N H = HN
′ ′
−1
(h1 n1 )−1 = n−1
1 h1 = n 2 h2 = h2 n 2
ולכן .HN ≤ G
אם בנוסף ,H ▹ Gאז לכל g ∈ Gמתקיים g Hg = Hולכן
(
()
)
g −1 HN g = g −1 Hgg −1 N g = g −1 Hg g −1 N g = HN
−1
ולכן .HN ▹ Gמה קורה אם לא Nולא Hנורמליות ב?G-
34
המ ְר ָכּז של חבורה Gלהיות
דוגמה .16.10הגדרנו בתרגיל בית את ֶ
}Z(G) = {g ∈ G : ∀h ∈ G, gh = hg
דהיינו זהו האוסף של כל האיברים ב G-שמתחלפים עם כל איברי .Gשימו לב שתמיד
Z(G) ▹ Gוכי ) Z(Gאבלית .האם תת־חבורה נורמלית היא בהכרח אבלית? כבר
ראינו שלא ,למשל עבור ).SL2 (R) ▹ GL2 (R
17
חבורות מנה
נתבונן באוסף המחלקות השמאליות } .G/H = {gH : g ∈ Gאם )ורק אם( H ▹ G
אפשר להגדיר על אוסף זה את הפעולה הבאה שיחד איתה נקבל חבורה:
(aH) (bH) = aHHb = aHb = abH
כאשר בשיוויונות בצדדים השתמשנו בנורמליות .פעולה זו מוגדרת היטב ,ואיבר היחידה
בחבורה זו הוא .eH = Hהחבורה G/Hנקראת חבורת המנה של Gביחס ל,H-
ולעיתים נאמר ” Gמודולו .”Hמקובל גם הסימון .G/H
דוגמה Z .17.1היא חבורה ציקלית ,ובפרט אבלית .ברור כי .nZ ▹ Zנשים לב כי
}= {a + nZ : a ∈ Z} = {nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ
Z/nZ
כלומר האיברים בחבורה זו הם מן הצורה k + nZכאשר .0 ≤ k ≤ n − 1הפעולה
היא
(a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) (mod n) + nZ
∼ Z/nZלפי ההעתקה ).k + nZ 7→ k (mod n
אפשר לראות כי = Zn
דוגמה .17.2לכל חבורה Gיש שתי תת־חבורות טריוויאליות } {eו ,G-ושתיהן נורמליות.
∼ .G/Gדרך אחרת לראות זאת היא לפי ההומומורפיזם
ברור כי ,[G : G] = 1ולכן }= {e
הטריוויאלי f : G → Gהמוגדר לפי .g 7→ eברור כי .ker f = G
מה לגבי } ?G/{eהאיברים הם מן הצורה } .g {e} = {gהעתקת הזהות id : G → G
היא איזומורפיזם ,שהגרעין שלו הוא } .{eאפשר גם לבנות איזומורפיזם f : G/{e} → G
לפי .g {e} 7→ gודאו שאתם מבינים למה זה אכן איזומורפיזם.
דוגמה .17.3תהי ׂ ,G = R × Rונתבונן ב .H = R × {0} ▹ G-האיברים בחבורת
המנה הם
}}G/H = {(a, b) + H : (a, b) ∈ G} = {R × {b
b∈R
כלומר אלו הם הישרים המקבילים לציר ה.x-
הערה .17.4עבור חבורה סופית Gותת־חבורה H ▹ Gמתקיים כי
||G
||H
= ]|G/H | = [G : H
35
תרגיל .17.5תהי Gחבורה )לאו דווקא סופית( ,ותהי H ▹ Gכך ש.[G : H] = n < ∞-
הוכיחו כי לכל a ∈ Gמתקיים כי .an ∈ H
פתרון .נזכיר כי אחת מן המסקנות מלגראנז’ היא שבחבורה סופית Kמתקיים לכל
k ∈ Kכי .k |K| = eיהי ,a ∈ Gאזי .aH ∈ G/Hידוע לנו כי .|G/H| = nולכן
an H = (aH)n = eG/H = H
כלומר קיבלנו .an ∈ H
תרגיל .17.6תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס .2הוכיחו כי G/Hהיא חבורה אבלית.
פתרון .ראינו כבר שאם ,[G : H] = 2אז .H ▹ Gכמו כן .|G/H | = [G : H] = 2
החבורה היחידה מסדר ) 2שהוא ראשוני( ,עד כדי איזומורפיזם ,היא Z2שהיא אבלית.
לכן G/Hהיא חבורה אבלית.
תרגיל .17.7תהי Gחבורה ,ויהי Tאוסף האיברים מסדר סופי ב .G-בתרגיל בית
הראתם שאם Gאבלית ,אז .T ≤ Gהוכיחו:
.1אם ) T ≤ Gלמשל אם Gאבלית( ,אז .T ▹ G
.2בחבורת המנה G/Tאיבר היחידה הוא היחיד מסדר סופי.
פתרון .נתחיל עם הסעיף הראשון .יהי ,a ∈ Tונניח .o(a) = nלכל g ∈ Gמתקיים כי
( −1 )n
g ag = g −1 agg −1 ag . . . g −1 ag = g −1 an g = e
ולכן .g −1 T g ⊆ Tכלומר .T ▹ G
עבור הסעיף השני ,נניח בשלילה כי קיים איבר eG/T ̸= xT ∈ G/Tמסדר סופי
∈ .xמתקיים ,(xT )n = Tונקבל
.o(xT ) = nאיבר היחידה הוא ,eG/T = Tולכן / T
nm
n m
כי .xn ∈ Tאם xnמסדר סופי ,אז קיים mכך ש .(x ) = e-לכן ,x = eוקיבלנו
כי x ∈ Tשזו סתירה.
חבורה סופית ,אז ,T = Gוכבר ראינו ,G ▹ Gואז
דוגמאות ל :T ≤ G-אם G
∪
∼ .G/Tאם ∗ ,G = Cאז .T = Ω∞ = n Ωnכלומר כל מספר מרוכב לא אפסי
}= {e
עם ערך מוחלט השונה מ 1-הוא מסדר אינסופי.
18
משפטי האיזומורפיזם של נתר
משפט ) 18.1משפט האיזומורפיזם הראשון( .יהי הומומורפיזם .f : G → Hאז
∼
= im f
G/ker f
∼ .G/ker φ
בפרט ,יהי אפימורפיזם .φ : G → Hאז = H
36
תרגיל .18.2תהי ,G = R × Rותהי } .H = {(x, y) ∈ R × R|y = 3xהוכיחו כי
∼ .G/H
=R
הוכחה .ראשית ,נשים לב למשמעות הגיאומטרית H :היא ישר עם שיפוע 3במישור.
נגדיר f : R × R → Rלפי ) .f (x, y) = 3x( − yודאו שזהו הומומורפיזם.
fאפימורפיזם ,כי .f x3 , 0 = xכמו כן,
ker f = {(x, y) ∈ R × R|f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ R × R|3x − y = 0} = H
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל את הדרוש.
∼ .R/Z
תרגיל .18.3נסמן } .T = {z ∈ C||z| = 1זו חבורה כפלית .הוכיחו כי = T
הוכחה .נגדיר f : R → Tלפי .f (x) = e2πixזהו הומומורפיזם ,כי
)f (x + y) = e2πi(x+y) = e2πix+2πiy = e2πix · e2πiy = f (x) f (y
fהיא גם אפימורפיזם ,כי כל z ∈ Tניתן לכתוב כ e2πix -עבור x ∈ Rכלשהו .נחשב
את הגרעין:
2πix
{
}
ker f = x ∈ R e
=1 =Z
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל
∼
=T
R/Z
תרגיל .18.4יהי הומומורפיזם .f : Z14 → D10מה יכול להיות ?ker f
פתרון .נסמן .K = ker fמכיוון ש ,K ▹ Z14 -אז .|K| | |Z14 | = 14לכן ∈ ||K
} .{1, 2, 7, 14נבדוק עבור כל מקרה.
∼
Z
אם ,|K| = 1אז fהוא חח”ע וממשפט האיזומורפיזם הראשון נקבל . 14/K = im f
∼ .Z14ידוע לנו כי im f ≤ D10ולכן .|im f | | |D10 | = 20אבל 14אינו
לכן = im f
מחלק את ,20ולכן .|K| ̸= 1
אם ,|K| = 2אז בדומה לחישוב הקודם נקבל
| |Z14
=7
||K
= | |im f | = |Z14/K
ושוב מפני ש 7-אינו מחלק את 20נסיק כי .|K| ̸= 2
אם ,|K| = 7נראה כי קיים הומומורפיזם כזה .ניקח תת־חבורה } H = {id, τ
)כל תת־חבורה מסדר 2תתאים( של ,D10ונבנה אפימורפיזם .Z14 → H ≤ D10
המספרים האי זוגיים ישלחו ל ,τ -והזוגיים לאיבר היחידה .כמו כן ,כיוון שהגרעין הוא
∼ .K
מסדר ראשוני ,אז = Z7
אם ,|K| = 14אז נקבל .K = Z14תוצאה זאת מתקבלת עבור ההומומורפיזם
הטריוויאלי.
37
תרגיל .18.5תהיינה G1ו G2 -חבורות סופיות כך ש .(|G1 | , |G2 |) = 1-מצאו את כל
ההומומורפיזמים .f : G1 → G2
פתרון .נניח כי f : G1 → G2הומומורפיזם .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,
| |G1
∼
| = |G1/ker f | = |im f | ⇒ |im f | | |G1
⇒ = im f
| |ker f
G1/ker f
כמו כן ,im f ≤ G2 ,ולכן ,לפי משפט לגראנז’ .|im f | | |G2 | ,אבל ,(|G1 | , |G2 |) = 1
ולכן - |im f | = 1כלומר fהיא ההומומורפיזם הטריוויאלי.
תרגיל .18.6מצאו את כל התמונות האפימורפיות של ) D4עד כדי איזומורפיזם(.
פתרון .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,כל תמונה אפימורפית של D4איזומורפית
למנה ,D4/Hעבור .H ▹ D4לכן מספיק לדעת מיהן כל תת-החבורות הנורמליות של
.D4
קודם כל ,יש לנו את תת-החבורות הטריוויאליות ;{id} , D4 ▹ D4לכן ,קיבלנו את
∼ .D4/D4
∼ } D4/{idו= {id}-
התמונות האפימורפיות = D4
כעת ,אנו יודעים כי .Z (D4 ) = ⟨σ 2 ⟩ ▹ D4ננסה להבין מיהי ⟩ .D4/⟨σ2רעיון
לניחוש :אנחנו יודעים ,לפי לגראנז’ ,כי זו חבורה מסדר .4כמו כן ,אפשר לבדוק שכל
איבר ⟩ x ∈ D4/⟨σ2מקיים .x2 = eלכן ננחש שזו ) Z2 × Z2ובהמשך נדע להגיד זאת
בלי למצוא איזומורפיזם ממש( .נגדיר f : D4 → Z2 × Z2לפי ) .f (τ i σ j ) = (i, jקל
לבדוק שזהו אפימורפיזם עם גרעין ⟩ ,⟨σ 2ולכן ,לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,
∼
= Z2 × Z2
⟩ D4/⟨σ 2
נשים לב כי ,⟨σ⟩ ▹ D4כי זו תת-חבורה מאינדקס .2אנחנו גם יודעים שכל
החבורות מסדר 2איזומורפיות זו לזו ,ולכן
∼
= Z2
⟩D4/⟨σ
גם ⟨σ 2 , τ ⟩ , ⟨σ 2 , τ σ⟩ ▹ D4מאותו נימוק ,וכן
∼
∼ ⟩= D4/⟨σ2 ,τ σ
= Z2
⟩ D4/⟨σ 2 ,τ
צריך לבדוק האם יש עוד תת-חבורות נורמליות .נזכור שבתרגיל הבית מצאתם
את כל תת-החבורות של .D4לפי הרשימה שהכנתם ,קל לראות שכתבנו את כל תת-
החבורות מסדר ,4ואת ⟩ .⟨σ 2תת-החבורות היחידות שעוד לא הזכרנו הן מהצורה
} .⟨τ σ i ⟩ = {id, τ σ iכדי שהיא תהיה נורמלית ,צריך להתקיים
) (
H ∋ τ τ σ i τ −1 = σ i τ = τ σ 4−i
לכן בהכרח .i = 2אבל אז
∈ σ −1 = (στ ) σ = τ σ −1 σ = τ
/H
)
2
(
σ τσ
ולכן .H ̸▹ D4מכאן שכתבנו את כל תת-החבורות הנורמליות של ,D4ולכן כל
התמונות האפימורפיות של D4הן .{id} , Z2 , Z2 × Z2 , D4
38
תרגיל .18.7תהי Gחבורה .הוכיחו :אם ) G/Z(Gהיא ציקלית ,אזי Gאבלית.
הוכחה G/Z(G) .ציקלית ,ולכן קיים a ∈ Gשעבורו ⟩) .G/Z(G) = ⟨aZ (Gכמו כן ,אנחנו
יודעים כי
∪
=G
)gZ (G
g∈G
)כי כל חבורה היא איחוד המחלקות של תת-חבורה( .כעת ,gZ (G) ∈ G/Z(G) ,ולכן
קיים iשעבורו
i
i
)gZ (G) = (aZ (G)) = a Z (G
)לפי הציקליות( .אם כן ,מתקיים
)ai Z (G
∪
=G
i∈Z
כעת נראה ש G-אבלית .יהיו .g, h ∈ Gלכן קיימים i, j ∈ Zשעבורם
)g ∈ ai Z (G) , h ∈ aj Z (G
כלומר קיימים ) g ′ , h′ ∈ Z (Gשעבורם g = ai g ′ו .h = aj h′ -לכן,
gh = ai g ′ aj h′ = ai aj g ′ h′ = aj ai h′ g ′ = aj h′ ai g ′ = hg
הוכחנו שלכל g, h ∈ Gמתקיים ,gh = hgולכן Gאבלית.
מסקנה .18.8במבט לאחור ,כיוון ש G-אבלית ,מתקיים ,Z (G) = Gומכאן ש-
} .G/Z(G) = {eכלומר ,אם ) G/Z(Gציקלית ,אזי היא טריוויאלית.
הגדרה .18.9תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gאוטומורפיזם ההצמדה ב a-הוא האוטומורפיזם
γa : G → Gהמוגדר על ידי .γa (g) = aga−1נסמן
}Inn (G) = {γa |a ∈ G
החבורה הזו נקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של .G
תרגיל .18.10הוכיחו כי ,γa ◦ γb = γabוכי .γa−1 = γa−1הסיקו כי ) Inn (Gהיא חבורה
עם פעולת ההרכבה.
הוכחה .לכל g ∈ Gמתקיים
(
)
)(γa ◦ γb ) (g) = γa (γb (g)) = a bgb−1 a−1 = (ab) g (ab)−1 = γab (g
לכן הוכחנו את החלק הראשון .נשים לב כי ,γe = idGולכן
γa ◦ γa−1 = γaa−1 = γe = idG
⇒ γa−1 = γa−1
γa−1 ◦ γa = γa−1 a = γe = idG
39
{
תרגיל .18.11הוכיחו כי לכל חבורה ,G
∼
)= Inn (G
)G/Z(G
הוכחה .נגדיר ) f : G → Inn (Gלפי .f (g) = γgזהו הומומורפיזם ,לפי התרגיל
שהוכחנו .מובן שהוא על )לפי הגדרת ) .(Inn (Gנחשב את הגרעין:
= }ker f = {g ∈ G|γg = idG } = {g ∈ G|∀h ∈ G : γg (h) = h
{
}
)= g ∈ G∀h ∈ G : ghg −1 = h = {g ∈ G|∀h ∈ G : gh = hg} = Z (G
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל
∼
)= Inn (G
)G/Z(G
19הצמדות
הגדרה .19.1תהי Gחבורה .אומרים שאיברים gו h-צמודים ,אם קיים a ∈ Gשעבורו
.h = aga−1זה מגדיר יחס שקילות על ,Gשבו מחלקת השקילות של כל איבר נקראת
מחלקת הצמידות שלו.
דוגמה .19.2בחבורה אבלית ,Gאין שני איברים שונים הצמודים זה לזה; נניח כי gוh-
צמודים .לכן ,קיים a ∈ Gשעבורו
h = aga−1 = gaa−1 = g
באופן כללי ,אם Gחבורה כלשהי אזי ) g ∈ Z (Gאם ורק אם מחלקת הצמידות של g
היא }.{g
תרגיל .19.3תהי Gחבורה ,ויהי g ∈ Gמסדר סופי .nהוכיחו:
.1אם h ∈ Gצמוד ל ,g-אזי .o (h) = n
.2אם אין עוד איברים ב G-מסדר ,nאזי ).g ∈ Z (G
הוכחה.
g .1ו h-צמודים ,ולכן קיים a ∈ Gשעבורו .h = aga−1נשים לב כי
(
)n
hn = aga−1 = aga−1 aga−1 . . . aga−1 = ag n a−1 = aa−1 = e
{z
}
|
n times
זה מוכיח ש .o (h) ≤ n-מצד שני ,אם ,o (h) = mאזי
(
)m
g m = a−1 ha = a−1 hm a = e
ולכן .o (g) = n ≤ mבסך הכל.o (h) = m = n ,
40
.2יהי .h ∈ Gלפי הסעיף הראשון .o (hgh−1 ) = n ,אבל נתון ש g-הוא האיבר
היחיד מסדר nב ,G-ולכן .hgh−1 = gנכפול ב h-מימין ,ונקבל ש.hg = gh-
הוכחנו שלכל h ∈ Gמתקיים ,hg = ghולכן ).g ∈ Z (G
הערה .19.4הכיוון ההפוך בכל סעיף אינו נכון -למשל ,אפשר לקחת את o (1) = .Z4
,o (3) = 4אבל הם לא צמודים; כמו כן ,שניהם במרכז ,ולכל אחד מהם יש איבר אחר
מאותו סדר.
דוגמה .19.5בחבורה ,D3האיבר σצמוד לאיבר
τ στ −1 = τ στ = σ 2
אין עוד איברים צמודים להם ,כי אין עוד איברים מסדר 3ב.D3 -
תרגיל .19.6תהי ,σ ∈ Snויהי מחזור .(a1 , a2 , . . . , ak ) ∈ Snהוכיחו כי
)) σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 = (σ (a1 ) , σ (a2 ) , . . . , σ (ak
הוכחה .נראה שהתמורות האלו פועלות באותו אופן על } .{1, 2, . . . , nראשית ,נניח כי
) m = σ (aiעבור איזשהו .1 ≤ i ≤ kהתמורה באגף ימין תשלח את mל.σ (ai+1 )-
נסתכל מה קורה באגף שמאל:
(
)
(
(
))
= )) σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (m) = σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (σ (ai
) = σ ((a1 , a2 , . . . , ak ) (ai )) = σ (ai+1
ולכן התמורות פועלות אותו דבר על ) .σ (a1 ) , . . . , σ (akכעת נניח כי mאינו מהצורה
) σ (aiלאף ;1 ≤ i ≤ kלכן התמורה באגף ימין תשלח אותו לעצמו .לגבי אגף שמאל:
נשים לב כי σ −1 (m) ̸= aiלכל ,iולכן
(
)
(
(
))
(
)
σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (m) = σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (m) = σ σ −1 (m) = m
מכאן ששתי התמורות הדרושות שוות.
תרגיל .19.7נתונות ב S6 -התמורות ) σ = (1, 3) (4, 5, 6) ,a = (1, 5, 3, 6וτ =-
) .(2, 4, 5חשבו את:
.σaσ −1 .1
.τ aτ −1 .2
פתרון .לפי הנוסחה הנ”ל,
)σaσ −1 = (3, 6, 1, 4
)τ aτ −1 = (1, 2, 3, 6
41
מסקנה ) 19.8לבית(.Sn = ⟨(1, 2) , (1, 2, . . . , n)⟩ .
הגדרה .19.9תהי σ ∈ Snתמורה .נפרק אותה למכפלה של מחזורים זרים = σ
.σ1 σ2 . . . σkנניח כי האורך של σiהוא ,riוכי .r1 ≥ r2 ≥ · · · ≥ rkנגדיר את מבנה
המחזורים של σלהיות ה-k-יה הסדורה ) .(r1 , r2 , . . . , rk
דוגמה .19.10מבנה המחזורים של ) (1, 2, 3) (5, 6הוא ) ;(3, 2מבנה המחזורים של
) (1, 5) (4, 2, 3גם הוא ) ;(3, 2מבנה המחזורים של ) (1, 2, 3, 4) (5, 6) (7, 8הוא ).(4, 2, 2
מסקנה .19.11שתי תמורות צמודות ב Sn -אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים.
למשל ,התמורה ) (1, 2, 3) (5, 6צמודה ל (4, 2, 3) (1, 5)-ב ,S8 -אבל הן לא צמודות
לתמורה ) (1, 2, 3, 4) (5, 6) (7, 8ב.S8 -
הוכחה) .אם יש זמן; אם אין זמן – לעבור רק על הרעיון(
⇐ תהיינה σ, τ ∈ Snשתי תמורות צמודות ב .Sn -נכתוב .τ = πσπנניח כי
σ = σ1 σ2 . . . σkהפירוק של σלמכפלה של מחזורים זרים; לכן
(
()
( )
)
τ = πσπ −1 = πσ1 σ2 . . . σk π −1 = πσ1 π −1 πσ2 π −1 . . . πσk π −1
−1
לפי התרגיל הקודם ,כל תמורה מהצורה πσi π −1היא מחזור; כמו כן ,קל לבדוק כי כל
שני מחזורים שונים כאלו זרים זה לזה )כי σ1 , σ2 , . . . , σkזרים זה לזה( .לכן ,קיבלנו
פירוק של τלמכפלה של מחזורים זרים ,וכל אחד מהמחזורים האלו הוא מאותו האורך
של המחזורים ב .σ-מכאן נובע של σ-ול τ -אותו מבנה מחזורים.
⇒ תהיינה σ, τ ∈ Snעם אותו מבנה מחזורים .נסמן ,σ = σ1 σ2 . . . σk
,τ = τ1 τ2 . . . τkכאשר ) σi = (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,miו,τi = (bi,1 , bi,2 , . . . , bi,mi )-
σ1 , σ2 , . . . , σkהם מחזורים זרים וגם τ1 , . . . , τkהם מחזורים זרים .נגדיר תמורה
πכך ,π (ai,j ) = bi,j :וכל שאר האיברים נשלחים לעצמם .נשים לב כי
= )) πσi π −1 = π (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,mi ) π −1 = (π (ai,1 ) , π (ai,2 ) , . . . , π (ai,mi
= (bi,1 , bi,2 , . . . , bi,mi ) = τi
ולכן
(
()
( )
)
πσπ −1 = πσ1 σ2 . . . σk π −1 = πσ1 π −1 πσ2 π −1 . . . πσk π −1 = τ1 τ2 . . . τk = τ
מכאן ש σ-ו τ -צמודות ב.Sn -
מסקנה .19.12הוכיחו כי } Z (Sn ) = {idלכל .n ≥ 3
הוכחה .תהי ) ,a ∈ Z (Snונניח בשלילה כי .a ̸= idתהי a ̸= b ∈ Snתמורה שונה
מ a-עם אותו מבנה מחזורים כמו של .aלפי התרגיל שפתרנו ,קיימת σ ∈ Snשעבורה
.σaσ −1 = bאבל ) ,a ∈ Z (Snולכן נקבל
b = σaσ −1 = aσσ −1 = a
בסתירה לבחירה של .bלכן בהכרח ,a = idכלומר }.Z (Sn ) = {id
42
הגדרה .19.13חלוקה של nהיא סדרה לא עולה של מספרים טבעיים ≥ · · · ≥ n1
nk > 0כך ש .n = n1 + · · · + nk -את מספר החלוקות של nמסמנים ).ρ (n
מסקנה .19.14מספר מחלקות הצמידות ב Sn -הוא ).ρ (n
תרגיל .19.15כמה מחלקות צמידות יש ב?S5 -
פתרון .ניעזר במסקנה האחרונה ,ונכתוב את 5כסכומים של מספרים טבעיים:
5
4+1
3+2
3+1+1
2+2+1
2+1+1+1
1+1+1+1+1
=
=
=
=
=
=
=
5
5
5
5
5
5
5
ולכן .ρ (5) = 7
תרגיל .19.16יהיו ,σ, τ ∈ Anונניח של σ-ול τ -אותו מבנה מחזורים .האם σוτ -
צמודות ב?An -
פתרון .לא! למשל ,ניקח .n = 3אנחנו יודעים כי A3היא חבורה מגודל ,3ולכן היא
ציקלית ,ובפרט אבלית .לפי הדוגמה שראינו בתחילת התרגול ,נקבל כי כל איבר בA3 -
צמוד רק לעצמו .בפרט (1, 2, 3) , (1, 3, 2) ∈ A3 ,אינם צמודים ב .A3 -אבל הם צמודים
ב ,S3 -כי יש להם אותו מבנה מחזורים.
המ ַר ֵכּז
הגדרה ) 19.17מתרגילי הבית( .תהי Gחבורה .עבור איבר a ∈ Gנגדיר את ְ
של aלהיות
}CG (a) = {g ∈ G|ga = ag
תרגיל .19.18מצאו את ) CS5 (σעבור ).σ = (1, 2, 5
פתרון .במילים אחרות ,צריך למצוא את התמורות המתחלפות עם .σתמורה τמתחלפת
עם σאם ורק אם τ σ = στאם ורק אם .τ στ −1 = σלכן ,צריך למצוא אילו תמורות
משאירות את σבמקום כשמצמידים בהן .יש שני סוגים של תמורות כאלו:
.1תמורות שזרות ל - σ-יש רק אחת כזו ,והיא ).(3, 4
.2תמורות שמזיזות את σבמעגל (1, 2, 5) ,id -ו.(1, 5, 2)-
כמובן ,כל מכפלה של תמורות המתחלפות עם σגם הוא מתחלף עם ,σולכן מקבלים
שהרשימה המלאה היא
}){id, (3, 4) , (1, 2, 5) , (1, 2, 5) (3, 4) , (1, 5, 2) , (1, 5, 2) (3, 4
43
