docתוכן עניינים
download 
Report Transcription
תוכן עניינים
נושאים מתקדמים בתורת החבורות
1
תוכן עניינים
תוכן עניינים
תוכן עניינים
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
מנהלות . . . . . . . . . . . .
מבוא . . . . . . . . . . . . .
גידול של חבורות מכפלה . . .
מכפלה חופשית . . .
3.1
גרף קיילי . . . . . .
3.2
מכפלה ממוזגת . . .
3.3
חישוב מדויק של פונקציות גידול
פונקציות רקורסיבית . .
4.1
חבורות עם גידול ביניים . . . . .
חבורת גריגורצ'וק לא נוצרת סופית
מכפלות שזורות . . . . . . . . . .
אוטומטים סופיים . . . . . . . . .
חבורת גופטה־סידקי . . .
8.1
חבורת פבריגורסקי־גופטה
8.2
מערכות דינמיות . . . . . . . . . .
חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
6
6
7
8
8
8
9
19
19
19
20
20
20
20
תוכן עניינים
תוכן עניינים
מרצה :פרופ' אבינועם מן
מסכם :עומר שכטר — omer.shechter SHTRUDEL mail.huji.ac.il
ניתן בסמסטר סתיו ה'תשע"ה באוניברסיטה העברית בירושלים
תיקונים קלים כחמורים יתקבלו בברכה
3
2
1
מבוא
מנהלות
שיעור ראשון
השיעור ייערך ביום שני ב־ 12:00עד 14:00במתמטיקה .209ציונים יינתנו על בסיס עבודת בית בסוף
הסמסטר.
2
מבוא
תהא G = hx1 , . . . , xd iחבורה נוצרת סופית — כל איבר הוא מכפלה של האיברים האלה או ההופכיים שלהם.
לאיברים } {x1 , . . . , xdקוראים היוצרים של החבורה .דרך אחרת לומר זאת שכל תת־חבורה של Gשמכילה את
כל האיברים האלה — היא Gעצמה .החבורות שנעשו בהן בקורס זה יהיו נוצרות־סופית .ניתן לראות שחבורות
כאלה עם מספר יוצרים סופי הוא בן־מנייה ,כמספר של כל הסדרות הסופיות של מספר סופי של אותיות .ישנם
גם חבורות בנות־מנייה רבות שאינן נוצרות־סופית )לדוגמה — ).((Q, +
לכל מלה כזו יש אורך ,והוא מוגדר להיות סכום הערכים המוחלטים של החזקות בכתיבה .בהינתן
P
w = xei1i · · · · · xeikkאזי | .l (w) = ki=1 |eiזה מוגדר אורך המלה ולא אורך האיבר ,שכן לכל איבר בחבורה
,x2 · x−1אנחנו מניחים שזה
כללית ישנם מספר דרכים לכתוב .יש מקרים טריוויאלים ,לדוגמה אפשר להכניס 2
לא קורה ,אלא מניחים שכל המלים שלנו מצומצמות .כדי להיות חסכוניים ,אנחנו מחפשים את המלה הכי קצרה
שמייצגת את האיבר )ייתכן שיש כמה( — ).l (x) = min (l (w) |w (xi ) = x
דוגמה ,(Z, +) :1יש לו יוצר יחיד — .Z = h1iלנו ברור כי | l (xm ) = |mכי יש ביטוי יחיד.
נסתכל עתה על הכיוון ההפוך ,בהינתן אורך אנו רוצים לדעת כמה איברים יש כך שהמלה הקצרה ביותר המייצגת
אותם היא באורך זה.
n m
.l (xn1 xmאם נחפש מלה באורך
דוגמה :2נסתכל על .Z ⊕ Zאיבר כללי הוא מהצורה 2 ) = |n| + |m| .x1 x2
,k ∈ Nיש לנו מספר גדול יותר של אפשרויות.
עובדה :3אם ניקח חבורה סופית ,החל משלב מסויים .l (n) ≡ 0
דוגמה :4החבורה החופשית ,F dהיא המקרה בו אין שוויון בין שתי מלים מצומצמות שונות .באורך 0יש
רק מלה יחידה .באורך 1ישנם היוצרים וההופכיים שלהם — .l (1) = 2dבאורך ,nזוהי בעצם מלה באורך
n − 1עם אחת מתוך )(2d − 1היוצרים והופכיים )פרט להופכי של האות האחרונה במלה באורך ,(n − 1ולכן
.l (n) = 2d · (2d − 1)n−1יש חבורות שאינן חופשיות ,אבל אנחנו יכולים לבצע שיכון בהתאם לכמות היוצרים,
עובדה זו מאפשרת לנו לבצע חסם על מספר המלים באורך nבחבורה כללית — .l (n) ≤ 2d · (2d − 1)n−1
)SG (n
מספר האיברים באורך nבתור .anמספר האיברים באורך קטן או שווה ל־n
הגדרה :5אנחנו מגדירים את P
מסומן בתור snומתקיים sn = ni=0 aiוגם .an = sn − sn−1כשהחבורה לא ברורה נכתוב ) aG (nו־).SG (n
מה שמעניין אותנו הוא לבדוק אסימפטוטית ,איך שתי הפונקציות ) a (nו־) s (nמתנהגות כאשר הולכים לאינסוף.
יש לנו שתי קצוות ,גידול פולינומיאלי שהוא הקטן ביותר )חסום מלמטה על ידי גידול ליניארי( וגידול מעריכי
)החסום מלמעלה על ידי החבורה החופשית( .אחת השאלות היא מקרי ביניים .השאלות האלה עלו במקור
על ידי גיאומטריקנים ולא אלגבריקנים .בגיאומטריה זה הופיע באופן טבעי כשעוסקים בבעיות גיאומטריות על
יריעות רימאניות חשוב לדעת מה הגידול של החבורה היסודית )אנחנו לא ניגע בזה .בספר של פרופ' מן אין
נגיעה כלל בצד הגיאומטריה .בספר של דה לה הארפ יש עיסוק אינטנסיבי בזה( .הראשון שהעתסק בתחום
הזה היה שוורץ במוסקבה בשנות החמישים ובמערב לא ממש התייחסו לזה .בסוף שנות ה־ 60מילנור האמריקאי
התייחס לבעיות האלה ,ומילנור הוא בעל שם גדול וזה גרם להתעניינות .אחת השאלות שמילנור העלה האם
כל פונקציות גידול מנהגת אסימפטוטית כפולינום או כפונקציה מעריכית.
הערה :6השאלה לא שואלת אם הם בדיוק פונקציה פולינומית אם מעריכית ,אנחנו מדברים על מקרה
אסימפטוטי — cn ≤ an ≤ M cnהחל מ־ nמסויים.
התשובה ניתנה עשר שנים מאוחר על ידי גריגורצ'וק שהראה שכן ,גידול שגדל יותר מכל פולינום ונמוך יותר
מכל מעריך .הקיום של חבורות כאלה והמדידה שלה הוא יהיה מוקד הקורס שלנו .משפט חשוב אחר ומוקדם
יותר שלא ניגע בו בקורס )אבל ניתן בשנה שעברה ,ואולי יינתן בשנה הבאה( הוא משפט גרומוב שמאפיין באופן
מלא את כל החבורות עם גידול פולינומיאלי.
בקורס נתחיל עם שני הפרקים הראשונים בספר How Groups Growשל פרופ' אבינועם מן שיהיו מבוא.
אח"כ נקרא את הפרקים המאוחרים יותר ,בעיקר ,10שיעסקו בגידול ביניים.
4
3.1
3
מכפלה חופשית
גידול של חבורות מכפלה
דוגמה :7תהא ) C2 ∗ C2מכפלה חופשית של חבורות מעגליות מסדר (2והיא תוסמן ∞ Dוהיא נקראת חבורה
דיהדרית אינסופית ,שכן היא מעיין סימטריות של מצולע אינסופי .תזכורת :לכל חבורה דיהדרית יש תת־חבורה
מסדר .2החבורה הדיהדרית האינסופית היא האיזומטריות שמעבירות את "הישר השלם" לעצמו )לדוגמה,
להזיז ימינה או שמאלה במספר שלם( ,וזו חבורה צקלית אינסופית .ויש שיקוף סביב כל נקודה ולהחליף את
כיוון הישר ,ואלו האפשרויות היחידות .אז איך נראה איבר ב־ ?C2 ∗ C2עבור xהקואורדינטה הראשונה ו־ y
בקואורדינטה השנייה מתקיים .x2 = y2 = 1הוא מתחיל ב־ xאו ב־ ,yולאחריו חייב להגיע איבר אחר )אחרת
צריך לצמצם( .לכן מכל אורך יש בדיוק שני איברים .an = 2 .נשים לב שזה בדיוק המקרה עבור .Z
מסקנה :8לשתי חבורות שונות יכולות להיות אותה פונקציית גידול .המסקנה מולידה לנו שאלה פתוחה גדולה
— מה נובע מכך שלשתי חבורות ישנה אותה פונקציית גידול?
הערה :9פונקציית הגידול תלויה ביוצרים .נשים לב של־ ∞ Dיש שני יוצרים שאחד מסדר אינסופי ואחד מסדר
שניים )הזזה ושיקוף( ,ואז נקבל פונקציית גידול שונה .כנ"ל לגבי Zשאז ניתן לבחור את } {2, 3בתור יוצרים
בכתיב החיבורי.
לא תמיד זה אפשרי לבדוק ממש כמה איברים יש לכל אורך .נסתכל לדוגמה במכפלה ישרה ,G = H × K
כאשר קבוצת היוצרים של Hהיא } {x1 , . . . , xdושל Kהיא } .{y1 , . . . , ycנסתכל על Gלא כאל זוגות
סדורים ,אלא על H, Kבתור תת־חבורות נורמליות של Gשמכפלתן היא כל Gוחיתוכן הוא .1Gלכן כל איבר
איבר מ־ Hעם איבר ב־ Kולכן איבר כללי .g = hkמתקיים ) l (g) = l (h) + l (kומכאן
ב־ Gהוא מכפלה של P
) .aG (n) = i+j=n aH (i) + aK (jזה מזכיר לנו פונקציה יוצרת של פולינומים.
הגדרה :10נגדיר את הפונקציה היוצרת a (m) z m
∞P
m=0
= ).A (z
טענה :11אם נסתכל על הנוסחה בשורות הקודמות נקבל ).AG (z) = AH (z) · AK (z
הגדרנו את ) A (zבתור טור פורמלי ,אבל האם ניתן להסתכל על זה בתור פונקציה? התשובה שכן .לטור חזקות
יש רדיוס התכנסות .נחשב:
1
2d − 1
√
−1
≥ ) lim ( m am
∞→n
זאת בשל החסם שהוכחנו על החבורה החופשית .an ≤ 2d · (2d − 1)n−1 .עדיין אין מספיק שימושים
להצגה של הטור הפורמלי כפונקציה.
דיברנו על פונקציות גידול אפשריות .כאשר מדובר בגידול מעריכי אזי am ≥ cmכאשר c > 1אזי קיבלנו
חלק מעיגול היחידה .R ≤ 1c < 1 ,בגידול פולינומיאלי an ≤ Cmαולכן השורש ה־ nשואף ל־) 1מאינפי(.
במקרה של גידול ביניים יש תכונות מעניינות .טור חזקות עם מקדמים שלמים שרדיוס ההתכנסות הוא בדיוק
1גורר תכונות מעניינות.
תרגיל ) √am+n ≤ an · am :12אפשר לחלק את המלה לשתי מלים קצרות יותר ,ולכן קטן או שווה( .צ"ל
√
lim n anקיים ושווה ל־ .inf n anעובדה זו קרויה "הלמה של פקטה" ,שהיה אחד המרצים הראשונים
למתמטיקה במכון איינשטיין.
∼ .Hiנכנה את היוצרים שלנו .x1 , . . . , xkנעשה חשבון של
נסתכל על G = H1 ∗ · · · ∗ Hkכאשר כל = C2
פונקציית הגידול .an = an−1 · (k − 1) = k · (k − 1)n−1 .a1 = k .אם במקרה k = 2dאזי זו אותה פונקציית
גידול כמו לחבורה החופשית.
∼ .a1 = d + 2e .Kj
נסתכל על G = H1 ∗ · · · ∗ Hk ∗ K1 ∗ · · · ∗ Keכאשר Hiכמו קודם ו־= Z
.an = an−1 · (d + 2e − 1) = (d + 2e) · (d + 2e − 1)n−1באופן דומה לפונקציית הגידול של החבורה
החופשית .F d+2e
השערה :13האם קיימות אינסוף חבורות עם אותה פונקציית גידול? התשובה )עדיין לא בספר( היא שכן וניתן
לבנות 2ℵ0חבורות עם אותה פונקציית גידול .זו כמות טובה ,כי מספר החבורות הנוצרות סופית בהקשר שלנו
הוא .2ℵ0
5
3
3
שיעור שני
3.1
גידול של חבורות מכפלה
גידול של חבורות מכפלה
מכפלה חופשית
נסתכל על דוגמה נוספת ,C2 ∗ C3 .היחסים הם .x2 = y3 = 1האיברים הם מהצורה .xy±1 xy±1 . . .מה
הגידול? לרוב לקחנו מלה באורך nובדקנו כמה אפשרויות יש לעבור למלה הבאה .במקרה שלנו ,אם המלה
נגמרת ב־ xאז יש שתי אפשרויות לעבור הלאה .אם זה נגמר ב־ yאפשר לכתוב ,xאי אפשר לכתוב y−1ואם
כותבים yאז המלה נשארת באותו אורך .לכן צריך להבדיל .בהינתן מלה באורך nנבדוק כמה מלים יש באורך
.n + 2אם המלה נגמרת ב־ xיש 2אפשרויות להמשיך .אם נגמר ב־ yאז גם כן יש 2אפשרויות .לכן ,a0 = 1
) a2 = 4 .a1 = 3על ידי חישוב( .ומהנוסחה של ההתקדמות נקבל .an+2 = 2 · anנשלב את נוסחת הנסיגה
עם הערכים המקוריים ונקבל a2n = 2n+1ו־ ) a2n+1 = 3 · 2nעבור .(n > 0קיבלנו לא פונקציית גידול אחת
אלא שתי פונקציות גידול ,שגדלים אסימפטוטית זהה:
n+1
2
n
a2n = 2
√
2n
1
a2n+1 = 3 2n+1 2 2n+1
√
√
ולכן כאשר ∞ → nהגבול קיים ומתקיים .lim n an = 2
√
2n+1
נרחיב בדיבור על החבורה הזו ,שכן היא מעניינת מאוד .יש לה שם אחר — ).C2 ∗ C3 = P SL (2, Z
נסביר את הסימונים R .חוג עם יחידה ,ו־) GLm (Rמטריצות הפיכות מסדר .m × mאם החוג קומוטטיבי
אפשר להגדיר דטרמיננטה ,והתכונות המוכרות מתקיימות ,בפרט כפליות הדטרמיננטה מתקיימת .הדטרמיננטה
כזכור היא הומומורפיזם — × .det : GLm (R) → Rמהו הגרעין? זהו ) ,SLm (Rהן כל המטריצות עם
∼ ) .GLm (R)/SLm (Rיש עוד טיפוס של חבורות נורמליות,
דטרמיננטה ,1ולפי משפט האיזומורפיזם ×= R
לדוגמה — המטריצות הסקלריות ־ ,Zשהן מהוות את המרכז של החוג .לכן )GLm (R)/Z = P GL (R
m
ו־ .P SLm (R) = SLm (R)/SLm (R)∩Zאז מה יש לנו ב־) ,P SL2 (Zיש לנו שני איברים הפיכים בשלמים שהם
.±1במקרה הזוגי היא כאמור שווה לפירוק של C2 ∗ C3ויש הפניה להוכחה בספר .מעלה שדה מתקיים
) P SLn (Fזו חבורה פשוטה )אין לה תת־חבורות נורמליות(.
:14בהינתן ,G = H ∗ Kכאשר ,an ∈ G, bn ∈ H, cn ∈ Kאזי יש לנו פונקציות יוצרות = )A (z
טענה P
הפונקציות היוצרות .הנוסחה
מכפלת
היא
היוצרת
שהפונקציה
הוכחנו
כזכור
ישרה
במכפלה
וכו'.
an z m
1
1
1
1
1
1
במקרה הזה היא . A = B + C − 1דרך אחרת וסימטריות יותר לכתיבה היא . A − 1 = B − 1 + C − 1
הוכחה :איבר gבמכפלה חופשית Gהוא מהצורה h1 k1 . . . hr krכאשר ,∀i>1 hi 6= 1ובאופן דומה עבור .kj
נגדיר H = hXiו־ K = hY iו־ ,G = hX ∪ Y iויש הצגה יחידה שכן זו ההגדרה של מכפלה חופשית .אם רוצים
לדאוג שההצגה המקורית היחידה של כל hi , kiיהיה מינימלי לפי ההצגה המקורית.
מינימלי צריך P
לקבל אורך P
לכן ) , l (g) = i lX (hi ) + i lY (kiכאשר אנחנו קובעים את .rנבדוק מתי הסכום הזה שווה ל־ .nזה
X∪Y
כמו לקחת את הפונקציה היוצרת ) B (z) · C (z) · B (z) C (z) . . . B (z) · C (zכאשר יש rזוגות כאלה .ואנחנו
מחפשים את המקדם של .z nלא דייקנו עד הסוף ,כי צריך לזכור שהאיברים פרט לראשון ולאחרון — אסר
להיות להיות .1לכן הביטוי המדויק הוא )B (z) · (C (z) − 1) · (B (z) − 1) (C (z) − 1) . . . (B (z) − 1) · C (z
וזה שווה B (z) · C (z) · (B (z) − 1)n−1 · (C (z) − 1)n−1ועכשיו נכתוב .BC [(B − 1) (C − 1)]n−1נראה
מה קורה כשזה הולך לאינסוף:
1
)1 − (B − 1) (C − 1
Geometric series
=
BC
BC
B + C − BC
A
ועתה ניקח
1
A
n−1
])BC [(B − 1) (C − 1
∞
X
n=1
=
=
ונקבל את הנדרש.
6
3
3.2
שיעור שלישי
גרף קיילי
3.2
גידול של חבורות מכפלה
גרף קיילי
גרף קיילי
הגדרה :15בהינתן חבורה G = hSiכאשר Sקבוצת יוצרים .גרף קיילי של החבורה הוא גרף שקדקודיו
הם איברי Gובין שני איברים יש צלע אם ניתן להגיע מאחד לשני ע"י כפל באיבר Sבימין )או משמאל ,תלוי
בהגדרה( .זהו גרף מכוון .אם קבוצת היוצרים היא סימטרית ,קרי -מכילה את ההופכיים של היוצרים ,אזי
הגרף לא מכוון .לרוב אנו שוכחים שהגרף מכוון.
טענה :16הגרף קשיר ,רגולרי והומוגני.
הוכחה :נובע מכך שהקבוצה יוצרת את החבורה .אם ,x = s1 · s2 · · · · snאזי זהו מסלול מוגדר מ־ 1Gלאיבר
xשאורכו .nכל האיברים מחוברים ל־ 1ולכן קשיר .מכל קדקוד יוצאות אותו מספר צלעות ,שהוא מספר
האיברים ב־ .S ∪ S −1
נשים לב :הגרף הזה מושרה ממטריקה dSשנותנת את המרחק בין שני איברים להיות המספר המינימלי של
איברי יוצרים שצריך להכפיל כדי להגיע מאחד לשני .זו מטריקה מאוד משעממת ,היא נותנת רק מספרים
שלמים ,ובסימונים שלנו ).dS (1, x) = l (x
הגרף תלוי בקבוצתה יוצרים .חבורה עם שתי קבוצות יוצרים שונה ,עשויה לקבל שני גרפי־קיילי שונים.
פונקציות הגדרה :17עבור שתי פונקציות .f, gאם מתקיים f ≤ gוקיים A > 0כך ש־) f (x) ≤ g (Axולהפך ,אזי
נאמר שהפונקציות שקולות ונסמן .f ∼ g
שקולות
טענה :18שני פולינומים שקולים אם ורק אם הם בעלי אותה מעלה .כל הפונקציות המעריכיות שקולות.
נסמן } an = ± {x ∈ G|d (1, x) = nו־} .sn = ± {x ∈ G|d (1, x) ≤ nו־ an z n
P
n
∞ .אפשר גם לכתוב .S (z) = A (z) 1 + z + z 2 + . . .
n=0 sn z
∞P
n=0
= ) A (zו־= )S (z
• נסתכל על הגרף קיילי של Zעם היוצר } .{1נקבל את ציר ה־ Zויש צל בין כל שתי נקודות
דוגמה :19
שההפרש ביניהן .1
• עבור Z ⊕ Zעם ) (0, 1) , (1, 0כיוצרים .קיבלנו את שריג השלמים.
• עבור F 2 = hx, yiנקבל עץ אינסופי ,שמכל איבר יוצרים ארבע צלעות ,אחת לכפל בכל אחד מהיוצרים.
הערה :20בחבורה שאינה חופשית לא בהכרח מתקבל עץ .עם חריג של מצב בו אחד היוצרים s ∈ Sשמקיים
,s2 = 1ואז מתקבל מעגל מנוון בן צלע אחת.
• עבור Z ∗ Z ∗ · · · ∗ Z ∗ C2 ∗ C2 ∗ · · · ∗ C2הגרף ייראה בדיוק כמו גרף קיילי של חבורה חופשית .לא
ניתן להבדיל בין הגרפים .זו גם הסיבה שפונקציית הגידול זהה ,שכן פונקציית הגידול מודדת התפשטות
של הגרפים.
נחזור לפונקציות שקולות .הטורים שכתבנו מעלה - A (z) , S (z) -אמנם פורמליים ,אבל הם מתכנסים.
אם נסתכל על ,T = S 2אזי ) .sG,T (n) ≤ sG,T (2n) .lS (x) ≤ 2lT (xבכיוון ההפוך ≥ )aG,T (n
).aG,S (2n
לחבורה יש גידול מעריכי אם an ≥ C nעבור C > 1ו־) n ∈ Nכמו שהגדרנו קודם( .עבור
גידול מעריכי ,הגדרה :21
√
הפונקציה .ω (G, S) = n anנוכל באופן דומה לומר שלחבורה יש גידול מעריכי אם ורק אם ,ωG,S > 1וזה
תת־מעריכי
נשמר ללא תלות בקבוצת היוצרים .נאמר שלחבורה יש גידול תת־מעריכי אם ורק אם .ωG = 1
מסקנה :22גידול מעריכי אינווריאנטי לשינוי קבוצת היוצרים.
נסמן ) .Ω (G) = inf S ω (G, Sשאלה שהייתה פתוחה זמן רב ונשאלה לראשונה ע"י גרומוב ,זה האם ייתכן
שעבור חבורה עם גידול מעריכי ?Ω = 1שהרי מדובר באינפימום ולא במינימום .היום אנחנו יודעים שהתשובה
לשאלה חיובית .אם Ω > 1נאמר שלחבורה יש גידול מעריכי אחיד .שאלה נוספת היא אילו ערכים Ωיכול
לקבל? פרופ' מן טוען שנדמה לו שלכל מספר ממשי גדול מ־ 1צריך להתקבל עבור חבורה כלשהי .זו השערה
פתוחה .יש הרבה שאלות פתוחות בנושא.
√
עובדה :23ניתן להסתכל גם על הגבול של , n snוהוא קיים .אם החבורה סופית אזי הגבול שואף ל־.1
טענה :24בחבורה אינסופית מתקיים:
7
3.3
4
מכפלה ממוזגת
sn
√
n
an = lim
√
n
lim
√
הוכחה :כיוון אחד ברור .ω (G, S) ≤ lim n sn ,בכיוון השני.
an ≤ C · (ω + )nעבור קבוע .Cאבל מהגדרה:
n
) ai ≤ nC (ω +
חישוב מדויק של פונקציות גידול
X
an ≤ ω +
√
n
לכל . > 0לכן
≤ sn
ולכן לאחר לקיחת גבול:
sn ≤ ω +
√
n
lim
∞→n
אבל זה לכל ולכן שוויון.
)A(z
1−z
= ) S (zכאשר אנחנו מסתכלים
כפי שראינו בשיעור הקודם ,A (z) = S (z) · (1 − z) ,וניתן לחלק ולקבל
על הטורים כעל פונקציות המרוכבות .נסתכל על הנקודות הסינגולריות של ) .S (zאלו הנקודות הסינגולריות
של ) A (zואולי גם ,z = 1כאשר אנחנו מחפשים את הנקודה הסינגולרית הקרובה ביותר לראשית.
3.3
מכפלה ממוזגת
S
= .x ∈ H
במכפלה ממוזגת K = hT i ,H = hSi ,G = H ∗L Kו־ L = hRiו־ Laα .R ≤ S ∧ R ≤ T
עבור x = laαאזי ) .lS (x) = lR (l) + lS (aα
נסמן Aפונקציית הגידול של B ,Gפונקציית הגידול של C ,Hפונקציית הגידול של Kו־ Dפונקציית
הגידול של Lאזי מתקיים:
α
1
1
1
1
=
+ −
A
B
C
D
נוסחה זו מכלילה את הנוסחה הקודמת שלמדנו על מכפלות חופשיות ,שם המיזוג הוא טריוויאלי ולכן .D = 1
חישוב מדויק של פונקציות גידול
4
4.1
פונקציות רקורסיבית
לא ניכנס ונרחיב פה .פונקציות רקורסיביות בשבילנו הן כל הפונקציות הניתנות לחישוב ,בהתאם לתזה של
צ'רץ' .בנוסף ,ישנן קבוצות שניתנות למנייה רקורסיבית ,שעבורן לא ניתן להכריע אם איבר לא נמצא בקבוצה,
אבל כן ניתן אם כן אם מחכים מספיק זמן.
שיעור רביעי
משפט :25תהי Gחבורה נוצרת־סופית .התנאים הבאים שקולים:
.1בעיית המלה כריעה ב־.G
.2פונקציית הגידול של Gרקורסיבית.
אחד משלושת התנאים הבאים )ולכן כולם(:
G .3מיוצגת רקורסיבית.
G .4מיוצגת קו־רקורסיבית.
G .5איזומורפית לחבורות הנוצרת על־ידי מספר סופי של תמורות רקורסיביות.
מיוצגת הגדרה :26חבורה מיוצגת רקורסיבית אם קבוצת היחסים המגדירים אותה היא נל"ר.
רקורסיבית
הגדרה :27חבורה מיוצגת קו־רקורסיבית אם קבוצת המלים שאינם 1היא נל"ר.
מיוצגת
קו־רקורסיבית
8
5
חבורות עם גידול ביניים
הוכחה :טריוויאלי כמעט בכל כיוון.
נניח שתנאי 5מתקיים ,אזי תהא σi : x → xsiכאשר .G = hs1 , . . . , sn iעבור מלה xבאורך ,kנרשום
את כל המלים באורך kומלים באורך ,k + 1שכן הפעלת σiתתן לנו )ברוב המקרים( מלה באורך .k + 1
נניח תנאי .3נניח שיש לנו מלה ) w (siורוצים לדעת אם הם שווים ל־) 1או אם מכפלה של שתי מלים היא
.(1למלה הזו יש איזשהו אורך .l (w) = n ,נחשב את ) Snכמה מלים באורך קטן או שווה ל־ nיש( .מכיוון
שהחבורה מיוצגת רקורסיבית ,ניתן לכתוב את כל המלים ששוות ל־ 1בזו אחר זו )נניח ע"י תכנת מחשב( .אם
מלה שווה ל־ ,1סימן שבכתיבה שלה ע"י יוצרים ,ניתן לחלק את המכפלה באמצע ולקבל שצד אחד שווה להפכי
של הצד השני:
1
=
si11 · · · · · sinn
⇓
sill · · · · · sinn
=
si11 · · · · · sikk
כעת יש בידינו את כל המלים המפורקות באורך קטן או שווה ל־ ,nוניתן לחפש את המלה שלנו שם.
תנאי 4גורר באופן דומה.
נניח תנאי .5עבור קבוצה של תמורות ,{σi }ni=1כל המלים השונות מ־ 1ניתן לכתוב בזו אחר זו .זאת שכן
מכפלה של תמורות רקורסיביות גם היא רקורסיבית ,והפכי של תמורה רקורסיבית אף הוא רקורסיבי.
שיעור חמישי
לא חייבת להיות נוצרת סופית .לדוגמה ,החבורה החופשית
עובדה :28תת־חבורה של חבורה נוצרת סופית
F 2 = hx, yiנוצרת סופית ,אבל אם נקח y−i xyiהיא כבר לא נוצרת סופית.
טענה G :29חבורה נוצרת־סופית אם ורק אם Hתת־חבורה מאינדקס סופי ,אזי גם Hנוצרת־סופית.
הוכחה :בכיוון האחד ,נוכל לכתוב את Hai
Sm
i=1
= Gואם כל אחת מה־ Hנוצרת־סופית אזי ניתן פשוט לכתוב
את היוצרים.
בכיוון השני ,אם .G = hs1 , . . . , st iנכתוב את Gכמו קודם ,ולכן s1איבר באחת המחלקות למעלה ,נכתוב
−1
a−1ושוב קיבלנו
s1 aiונקבל איבר ב־ .Hכדי לצמצם נכפול שוב ב־ a1ונכפול ב־ ,s2ושוב כדי לייצב נכפול ב־ 2
איבר ב־ .Hלאחר tשלבים קיבלנו
−1
−1
s1 · · · · · st = s1 a−1
1 a1 s2 a2 . . . st at
H = ai si a−1ולכן נוצר סופית.
ולכן
i
)d (H) − 1 ≤ |G : H| · (d (G) − 1
5
חבורות עם גידול ביניים
חבורת נגדיר את חבורת גריגורצ'וק .R.I. Grigorchukנסתכל על עץ בינארי אינסופי עם שורש .כל קדקוד פרט
לשורש הוא עם דרגה .3נרצה להסתכל על חבורת האוטומורפיזם של העץ ,וזוהי חבורה גדולה .מרגע שאנחנו
גריגורצ'וק
קובעים קדקוד ,אנחנו קובעים באופן ישיר לאן הולכים הבנים שלו ,שכן המרחק מהשורש נקבע .השורש בהכרח
עובר לשורש )בגלל הדרגה( .אח"כ עובר לשני הקדקודים הכי קרובים לשורש ,או שהם נשמרים במקומם או
שמתחלפים ,וכך הלאה כאשר בכל שלב מספר האפשרויות גדל פי .2סה"כ יש לנו 2ℵ0אפשרויות.
החבורה הזו היא מובחנת סופית )(Residually finite
סופית ) (Residualy finiteאם החיתוך של כל התת־חבורות מאינדקס
חבורה הגדרה :30חבורה Gתיקרא מובחנת T
מובחנת־ סופי הוא היחידה . [G:H]<∞ H = {1} -
סופית
∗
∼ ,Vיש
נסתכל על עץ בינארי Tאינסופי עם שורש .rנסמן ב־ Vאת הקדקודים שלו ,ומתקיים }= {0, 1
התאמה חח"ע ועל בין כל הסדרות הסופיות באותיות .0, 1כל קדקוד פרט לשורש הוא עם דרגה .3נסמן ב־ E
את קבוצת הצלעות שלו ,אזי (v, w) ∈ Eאם ורק אם .w = v0 ∨ w = v1בנוסף ,נסמן ב־ Tvאת תת העץ
9
5
חבורות עם גידול ביניים
∼ .Tנרצה להסתכל על חבורת האוטומורפיזם של העץ ,וזוהי חבורה
שהשורש שלו הוא ,vונשים לב ש־ = Tv
גדולה .מרגע שאנחנו קובעים קדקוד ,אנחנו קובעים באופן ישיר לאן הולכים הבנים שלו ,שכן המרחק מהשורש
נקבע .השורש בהכרח עובר לשורש )בגלל הדרגה( .אח"כ עובר לשני הקדקודים הכי קרובים לשורש ,או שהם
נשמרים במקומם או שמתחלפים ,וכך הלאה כאשר בכל שלב מספר האפשרויות גדל פי .2סה"כ יש לנו 2ℵ0
אפשרויות.
איור :1העץ Tעם שמות הקדקודים.
נציין שני אוטומורפיזמים פשוטים ב־) :Aut (T
• אוטומורפיזם הזהות — ) e ∈ Aut (Tהשומר על כל קדקוד במקומו.
• האוטומורפיזם המחליף את תת־העץ השמאלי בתת־העץ הימני — ) .a ∈ Aut (Tלאחר הפעלת ) a (T
נקבל .T0 ←→ T1באופן דומה אפשר להגדיר את ) av ∈ Aut (Tלכל ,v ∈ Vעל ידי .Tv0 ←→ Tv1
איור :2פעולת האוטומורפיזם ,aכמחליף בין תת־עצים ברמה מסויימת ,וזהות על השאר.
כעת נבנה תת־חבורה של החבורה הזו שתהיה עם גידול ביניים .נסמנה ) Γ = ha, b, c, diזוהי הגדרה
רקורסיבית(:
• האיבר aכמו קודם ,מחליף את תת־העץ הימני בתת־העץ השמאל ,קרי את שני הקדקודים בשכבה
הראשונה אחד בשני ,השאר נשארים כמות שהם.
• האיבר bפועל על תת־העץ השמאלי כמו ,aועל תת־העץ הימני כמו .c
• האיבר cפועל על תת־העץ השמאלי כמו ,aועל תת־העץ הימני כמו .d
• האיבר dפועל על תת־העץ השמאלי כמו ,1ועל תת־העץ הימני כמו .b
נכתוב טענה שהיינו צריכים לציין קודם:
טענה :31אם H ≤ Gו־∞ < ] [G : Hאזי פונקציות הגידול של Gושל Hשקולות.
10
5
חבורות עם גידול ביניים
נחזור להסתכל על העץ .במקום לדבר על קדקוד אנחנו יכולים לדבר על קבוצת הסדרות הסופיות המכילות
את ,0, 1כאשר 0הוא תזוזה שמאלה ,ו־ 1ימינה a .מחליף את הספרה השנייה בסדרה b, c .עובדים על החלק
השמאלי כמו ,aועל החלק הימני הם עובדים באופן מחזורי.
) b = (a, a, 1, a, a, 1, . . .
) c = (a, 1, a, a, 1, a, . . .
) d = (1, a, a, 1, a, a, . . .
איור :3פעולותם הסדרתית של b, c, dעל העץ .Tמשולש שחור מסמן החלפת תת־העץ השמאלי בימני.
גריגורצ'וק עבד במקור על קטע היחידה ועל פונקציות מדידות .המוטיבציה הייתה עיסוק בתורת המידה
ותורה ארגודית.
נשים לב כעת שכל היוצרים הם מסדר .a2 = b2 = c2 = d2 = 1 — 2עבור aזה ברור ,ועבור השאר זה
נובע בדיוק מהאופן שבו כתבנו אותם כסדרה .בנוסף מתקיים כי:
bc = cb = d
cd = dc = b
db = bd = c
מהיחסים האלה נובע לנו כי .hb, c, di = C2 × C2כעת ,כפל של b, c, dיגרום לנו שנוכל לצמצם ולכתוב את
השלישי .ולכן איבר כללי x ∈ Γניתן לכתיבה כ:
x = au1 au2 . . . auk
לאו דווקא באופן יחיד.
נסתכל על התת־חבורה ,H ≤ Γאיברי Γהקובעים את שני החצאים H .מכילה את האיברים מהצורה
au1 . . . aukעם מספר זוגי של a־ים .זו תת־חבורה עם אינדקס .2ונכתוב
H = hb, c, d, aba, aca, adai
נכתוב את טבלת הפעולה:
ada
b
1
aca
d
a
d aba
1
c
b
a
c
a
d
b
a
c
11
L
R
5
חבורות עם גידול ביניים
∼ .HR
∼ HLוגם = Γ
כל האיברים מופיעים בכל אחת מהשורות ,לכן = Γ
מסקנה Γ :32אינסופית .לא ייתכן שלחבורה סופית יש תת־חבורה מסדר 2שאיזומורפית אליה ,ממשפט
לגראנז'.
∼ ,ha, diכל שני איברים מסדר 2יוצרים חבורה דיהדרית.
טענה = D8 :33
Γ
של
bבתוך ) |Γ/B| ≤ 8 .(Γאפשר לבדוק( .נשים לב שמלוח הכפל
טענה ) B = hbi :34הסגור הנורמלי
שלנו אפשר לכתוב ,Γ = ha, b, diולכן .Γ/B = a, dנכתוב ϕL : HL → Γוגם .ϕR : HR → Γנסמן
)) ϕ (x) = (ϕL (x) , ϕR (xונקבל כי .ϕ (H) ≥ B × B
הוכחה :אם נחשב נקבל :הוכחה:
)ϕ (ada) = (b, 1
)ϕ (d) = (1, b
)∀x∈Γ ∃y∈Γ ϕ (y) = (x, z
מסקנה .|Γ × Γ : B × B| ≤ 64 :35
כעת sΓ ∼ sH sϕ(H) sB×B ∼ sΓכאשר sהיא פונקציית הגידול .לכן הגידול של החבורה אינו
פולינומיאלי ,שכן ,sΓ ∼ sΓ×Γשכן אז החזקה של הפולינום צריכה להיות כפולה ,בסתירה.
שיעור שישי
1
)(l (x) + 1
2
≤ ))l (ϕL (x
1
)(l (x) + 1
2
≤ ))l (ϕR (x
ההוכחה עצמה פשוטה ,כל איבר ב־ Hהוא בערך מהצורה ,au1 au2 a . . .ולכן כל רביעיית איברים הופכת לזוג
איברים ,אחד מהם הוא ,au1 aואילו השני הוא ,u2כאשר }.u1 ∈ {b, c, d
משפט :36בעיית המלה פתירה ב־.Γ
∈ xוממילא .x 6= 1נניח x ∈ H
הוכחה :נבחר ,x ∈ Γאזי .x = au1 au2 . . .אם מספר ה־ aאי־זוגי ,אזי / H
ונניח .l (x) > 1אזי:
)l (ϕL (x)) , l (ϕR (x)) < l (x
ובאינדוקציה קובעים אם ) ϕL (xו־) ϕR (xהם .1
משפט Γ :37היא חבורת ,2כלומר לכל איבר יש סדר סופי שהוא חזקה של .2
הוכחה :אינדוקציה על ).l (x
.1עבור אורך 1הוכחנו כבר שהסדר הוא .2
.2עבור אורך ,2יש לנו } ,{ab, ac, ad, ba, ca, daמספיק לבדוק את שלושת הראשונים ,שכן הם צמודים,
מסוג 1או ,(2שכן
ולכן יש להם אותו סדר .מעתה נניח ש־ xמיוצג בצורה המתחילה ב־) aקרי ,הוא
הוא צמוד למלה הכתובה כך (ac)2 = (aca) c .(ab)4 = 1 .ולכן ) ϕ (ac)2 = (da, adמטבלת הכפל
בחבורה ,ולזה אנחנו יודעים שיש סדר ,4שכן נעלה את זה בריבוע ונקבל .1ולכן .|ac| = 8באופן
דומה.|ab| = 16 ,
12
5
חבורות עם גידול ביניים
.3עבור l (x) ≥ 3
)א( אם xנגמר ב־ — aהוא מסוג — 1אזי הוא צמוד לאיבר קצר יותר מסדר 4על ידי הצמדה ב־a
ומכאן משתמשים בהנחת האינדוקציה.
)ב( אחרת x ,לא נגמר ב־ — aהוא מסוג — 2ולכן הוא מאורך זוגי של .2k
.iאם kגם כן זוגי ,אזי x ∈ Hונוכל לכתוב ) ,ϕ (x) = (xl , xrהאורך של xl , xrהוא לכל
היותר ) , 21 l (xוהוכחנו שהאורך של xהוא המקסימום של אורכי ,xl , xrנוכל להשתמש בהנחת
האינדוקציה.
2
זוגי ,אזי l (x) = 4r + 2עבור איזשהו .r ∈ Nבמקרה הזה x ∈ H ,ונוכל לכתוב
.iiאם kאי
) ϕ x2 = (yl , yrוגם ) .l (yl ) , l (yr ) ≤ l (xנניח כעת ש־ xמכיל את dלפחות פעם אחת,
אזי x2באורך לפחות ) 2l (xעם מחזור של ) l (xוהאות dבו מופיעה לפחות מפעמיים במיקום
ששונה ב־) .l (xלכן ,אם נכתוב אם x2כמכפלה של היוצרים } {b, c, d, aba, aca, adaשל ,H
גם dוגם adaמופיעים מתישהו .לכן ב־ ylהיוצר dנספר כ־ 1וב־ yrהיוצר adaנספר כ־.1
ולכן גם ylוגם yrהם באורך קצר יותר מ־ ,xומאינדוקציה x2הוא מסדר של 2בחזקת ,ולכן
xבחזקה כפולה מזה .אם xלא מכיל את dאבל כן את cאז נוכל לפעול בדיוק כמו קודם.
אם גם cוגם dלא מופיעים ,אזי xהוא חזקה של ,abאיבר עם סדר ,16ולכן גם ל־ xיש סדר
מחזקה של 16שהיא חזקה של .2
הנקודה שהגידול לא מעריכי תנבע מכך שאם מפעילים כמה פעמים את ϕהאורך יורד .נסתכל על החבורה
κ ≤ Γשעליה נפעיל את ,ϕ3כל אחת מה־ Hעוברת ל־ ,Γ × Γולכן הפעלה של ϕ2תניב לנו:
))ϕ3 (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (x
מה שנוכיח הוא הדבר הבא — . 8i=1 l (ϕi (x)) ≤ 34 l (x) + 7
הוכחנו כי Γהיא חבורת ,2קרי כל איבר הוא מסדר של חזקה של .2לכן היא גם מובחנת סופית .לכןΓ/N ,
היא חבורת .2נקרא לחבורה כזו היא מובחנת .2
P
שיעור שביעי
חבורה הגדרה :38חבורה תיקרא מובחנת־ pאם חיתוך של כל התת־חבורות הנורמליות מסדר שהוא חזקה של pהוא
איבר היחידה.
מובחנת־p
נחזור לעסוק ב־ .Hעבור ,x ∈ Hהגדרנו )) ϕ (x) = (ϕL (x) , ϕR (xעל .Γ × Γהאורך נמדד לפי קבוצת
היוצרים הסטנדרטיים } .{a, b, c, dמכאן אפשר לראות כי
ϕL (x) + ϕR (x) ≤ ϕ (x) + 1
כעת נלך מ־ Γ × Γלתוך .H × Hמתקיים כי .[Γ × Γ : H × H] = 4נבחר תת־חבורה K ≤ Hכך
ש־ [H : K] = 4שתישלח על ידי ϕל־ .H × H
כעת נלך עוד שלב ,ונקבל:
ϕ
ϕ×ϕ
K →H ×H → Γ×Γ×Γ×Γ
ϕ
ולכן נוכל לבחור תת־חבורה L ≤ Kשמקיימת [K : L] = 16כך ש־ ,L → H × H × H × Hומתקיים כמובן
.[Γ : K] ≤ 128
טענה :39אם x ∈ Lנשלח ל־ ) H × · · · × Hשמונה פעמים( ,על ידי )) .ϕ (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (xמתקיים:
3
ϕ (x) + 8
4
≤ ))l (ϕi (x
8
X
i=1
13
5
חבורות עם גידול ביניים
הטענה הזו תאפשר לנו לקבל גידול תת־מעריכי ,שכן אנחנו מכפילים בקבוע שקטן ממש מ־ .1הוכחה:
הנקודה היא שוב ,כמו בהוכחות קודמות ,ש־ dהופך ל־ .1כל איבר ניתן לכתוב x = au1 au2 . . . aukכאשר
} .ui ∈ {b, c, dייתכן שה־ aהראשון לא מופיע ,ייתכן שה־ ukלא מופיע ,אבל זוהי בגדול הצורה הכללית.
נגדיר ) la (xלהיות מספר הפעמים ש־ aמופיע ב־ .xבאופן דומה עם ) .lb (x) , lc (x) , ld (xעל ) la (xאפשר
להגיד שזה כמעט 21מהאורך .עבור b, c, dאנחנו לא בטוחים ,אבל אנחנו בטוחים לגבי הסכום שלהם:
1
1
)(l (x) − 1) ≤ lb (x) + lc (x) + ld (x) ≤ (l (x) + 1
2
2
אם אורך המלה זוגי ,אזי זה יהיה שווה בדיוק ל־) . 21 l (xנסתכל מה קורה ל־ uבהומומורפיזמים .ניזכר כי
) .ϕL (x) , ϕR (x) ≤ 21 (l (x) + 1אזי:
li (x) ≤ l (x) + 7
8
X
i=1
איך ספרנו? כל איבר רשמנו כמכפלה של האיברים בטבלה ,ניתן להסתכל על } .{aba, aca, adaכשאנחנו
מחשבים d ,לא מאריך בשמאל אלא רק בימין ,ו־ adaתורם רק בשמאל ולא מאריך בימין )שכן הוא פועל כיחידה
ולכן לא נספר באורך( .החשבונאות הזו לא מספיק טובה לנו ,כי אולי יש לנו מלה ש־ dמופיעה בה מעט פעמים,
ולכן לא מוריד הרבה .בשל זה מפעילים את זה עוד פעם ,וכך cהופך ל־ dואז ייעלם .ה־ cשמופיעים פעם
אחת הוא הפך ל־) dבאופן דומה ,(acaוכשנפעיל פעם שנייה את ϕהוא ייעלם .לאחר לאחר פעמיים יירד
ה־) .lc (x) + ld (xכמובן ייתכן שיש שהרוב הוא ,bולכן נפעיל שלוש פעמים.
במלה המקורית b, cלא יכולים להופיע אחד ליד השני ,שכן יש aביניהם ,אבל לאחר הפעלת ϕייתכן
שזה כבר כן ייקרה .אבל זה גם כן טוב ,כי יש לנו שתי אותיות שהפכו לאחת ,שכן .b · c = dלכן אי אפשר
להיות לגמרי בטוח שלאחר הפעלת שלוש פעמים נוכל להוריד ) ,lb (x) + lc (x) + ld (xאבל כן יכולים להגיד
כי ) lb (x) + ld (xירד באחד מהם ,ולכן לוקחים את }) .max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (xבספר מופיעה
דוגמה טובה ללמה צריך להיזהר כש־ bהופך במקרה הזה ל־ cאו להפך .המקסימום הוא לפחות חצי הסכום של
השלושה .ולכן:
1
1
)(lb (x) + lc (x) + ld (x)) > l (x
2
4
> })max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (x
ולכן נקבל ). 34 l (x
משפט ) 40גריגורצ'וק( :ל־ Γיש גידול תת־מעריכי.
האסטרטגיה שלנו בהוכחת גידול תת־מעריכי תהיה הפעלה חוזרת של ϕכדי להוריד את האורך .נמצוא חבורה
H3 ≤ Γשעליה נפעיל את ,ϕ3כל אחת מה־ Hעוברת ל־ ,Γ × Γולכן הפעלה של ϕ2תניב לנו:
))ϕ3 (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (x
P
מה שנוכיח הוא הדבר הבא — . 8i=1 l (ϕi (x)) ≤ 43 l (x) + 7
נחזור לעסוק ב־ .Hעבור ,x ∈ Hהגדרנו )) ϕ (x) = (ϕL (x) , ϕR (xעל .Γ × Γהאורך נמדד לפי קבוצת
היוצרים הסטנדרטיים } .{a, b, c, dמכאן אפשר לראות כי
ϕL (x) + ϕR (x) ≤ ϕ (x) + 1
כעת נלך מ־ Γ × Γלתוך .H × Hמתקיים כי .[Γ × Γ : H × H] = 4נבחר תת־חבורה H2 ≤ Hכך
ש־ [H : H2 ] = 4שתישלח על ידי ϕל־ .H × H
כעת נלך עוד שלב ,ונקבל:
ϕ
ϕ×ϕ
H2 → H × H → Γ × Γ × Γ × Γ
ϕ
ולכן נוכל לבחור תת־חבורה H3 ≤ H2שמקיימת [H2 : H3 ] = 16כך ש־ ,H3 → H × H × H × Hומתקיים
כמובן .[Γ : H3 ] ≤ 128
14
5
חבורות עם גידול ביניים
,Hעל ידי )) .ϕ (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (xמתקיים:
למה :41אם x ∈ H3נשלח ל־ × · · · × H
|
{z
}
times
8
3
l (x) + 8
4
≤ ))l (ϕi (x
8
X
i=1
הערה :42הטענה הזו תאפשר לנו לקבל גידול תת־מעריכי ,שכן אנחנו מכפילים בקבוע שקטן ממש מ־.1
הוכחה :הנקודה המרכזית בהוכחה שלנו היא ש־היא ש־ dהופך ל־ .1כל איבר ניתן לכתוב )x = (a) u1 au2 . . . auk (a
כאשר } .ui ∈ {b, c, dייתכן שה־ aהראשון או האחרון לא מופיעים .נגדיר ) la (xלהיות מספר הפעמים ש־a
מופיע ב־ .xבאופן דומה עם ) .lb (x) , lc (x) , ld (xעל ) la (xאפשר להגיד שזה כמעט 12מהאורך .עבור b, c, d
אין ביטחון עבור כל אחד בנפרד ,אבל כן לגבי הסכום שלהם:
1
1
)(l (x) − 1) ≤ lb (x) + lc (x) + ld (x) ≤ (l (x) + 1
2
2
אם אורך המלה זוגי ,אזי זה יהיה שווה בדיוק ל־) . 21 l (xנסתכל מה קורה ל־ uiבהומומורפיזמים .ניזכר כי
) .ϕL (x) , ϕR (x) ≤ 21 (l (x) + 1אזי:
li (x) ≤ l (x) + 7
8
X
i=1
איך ספרנו? כל איבר רשמנו כמכפלה של האיברים בטבלה ,ניתן להסתכל על } .{aba, aca, adaכשאנחנו
מחשבים d ,לא מאריך בשמאל אלא רק בימין ,ו־ adaתורם רק בשמאל ולא מאריך בימין )שכן הוא פועל כיחידה
ולכן לא נספר באורך( .החשבונאות הזו לא מספיק טובה לנו ,כי אולי יש לנו מלה ש־ dמופיעה בה מעט פעמים,
ולכן לא מוריד הרבה .בשל זה מפעילים את זה עוד פעם ,וכך cהופך ל־ dואז ייעלם .ה־ cשמופיעים פעם
אחת הוא הפך ל־) dבאופן דומה ,(acaוכשנפעיל פעם שנייה את ϕהוא ייעלם .לאחר לאחר פעמיים יירד
ה־) .lc (x) + ld (xכמובן ייתכן שהרוב הוא ,bולכן נפעיל שלוש פעמים.
במלה המקורית b, cלא יכולים להופיע אחד ליד השני ,שכן יש aביניהם ,אבל לאחר הפעלת ϕייתכן
שזה כבר כן ייקרה .אבל זה גם כן טוב ,כי יש לנו שתי אותיות שהפכו לאחת ,שכן .b · c = dלכן אי אפשר
להיות לגמרי בטוח שלאחר הפעלת שלוש פעמים נוכל להוריד ) ,lb (x) + lc (x) + ld (xאבל כן יכולים להגיד
כי ) lb (x) + ld (xירד באחד מהם ,ולכן לוקחים את }) .max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (xהמקסימום הוא
לפחות חצי הסכום של השלושה .ולכן:
1
1
)(lb (x) + lc (x) + ld (x)) > l (x
2
4
> })max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (x
ולכן נקבל ). 43 l (x
משפט :43ל־ Γיש גידול תת־מעריכי.
1
n
הערה :44מה שנראה זה ש־ limn→∞ SΓ (n) = ω (Γ) = 1כאשר ) SΓ (nהוא מספר המילים שאורכם קטן
או שווה מ־.n
הוכחה :לא נספור איברים ב־ Γעצמה ,אלא ב־ S,H3ביחס ליוצרים של .Γכפי שראינו ,זה לא משנה כי היא
מאינדקס סופי ולכן הגידול זהה .נכתוב ,Γ = i[Γ:H3 ] H3 tiכאשר נחסום ,l (ti ) ≤ k ∈ Nניתן לבחור kשהוא
לכל היותר ,127שכן כל הרישא של פירוק מצומצמם מסוגים 2/3 ,1או 4יכול לשכון רק בקוסט יחיד .עבור
y = xt−1ולכן .l (y) ≤ l (x) + k ≤ l (x) + 127מכאן
x ∈ Γניתן לכתוב אותו בתור ytiעבור y ∈ H3ואז
i
נקבל כי:
)SΓ (n) ≤ SH3 (n + k
15
5
חבורות עם גידול ביניים
נסמן ) SHΓ 3 (nלהיות מספר האיברים ב־ H3באורך ,nכאשר האורך נספר ב־ .Γאזי מהשורה הקודמת מתקיים
Γ
SΓ (n) ≤ SH
] (n + k) [Γ : H3
3
ϕ3
עבור x ∈ H3נפעיל עליו את ϕ3ונקבל ) ,x 7→ (x1 , . . . , x8וזו העתקה חד־חד־ערכית .עבור l (x) ≤ n
שסכומם הוא nהוא לכל היותר .(n + 1)8בהינתן
ו־ .l (xi ) = niמספר האפשרויות לשמיניות ) (n1 , . . . , n8כך Q
שמינייה כזו ,מספר האפשרויות ל־) (x1 , . . . , x8הוא ) . SΓ (niלכל ε > 0מתקיים עבור n ∈ Nגדול מספיק
כי:
n
n
)ω (Γ) ≤ sΓ (n) ≤ (ω (Γ) + ε
ולכן קיים קבוע Aשלכל n ∈ Nמתקיים
n
)sΓ (n) ≤ A (ω (Γ) + ε
ולכן ,בהינתן שמינייה ) (n1 , . . . , n8מספר האפשרויות לשמינייה ) (x1 , . . . , x8הוא לכל היותר ,מהלמה הקודמת:
n
3
≤ C (ω (Γ) + ε) 4
n+8
3
≤ A8 (ω (Γ) + ε) 4
ni
P
)≤ A8 (ω (Γ) + ε
ni
)A (ω (Γ) + ε
Y
עבור איזשהו קבוע .Cולכן:
)(n+k
3
n
8
ω (Γ) ≤ sΓ (n) ≤ [Γ : H3 ] sΓH3 (n + k) ≤ [Γ : H3 ] C (n + k + 1) (ω (Γ) + ε) 4
נוציא שורש nונשאיף את nלאינסוף ואת εל־ 0ונקבל
3
ω (Γ) ≤ ω (Γ) 4
ולכן .ω (Γ) = 1
α
β
משפט :45יש מספרים חיוביים A, B > 1ו־ 0 < α, β < 1כך ש־ .An ≤ SΓ (n) ≤ B n
הוכחה :לשם החסם התחתון נשתמש בעובדה היסודית שבאמצעותה הוכחנו שהגידול אינו פולינומיאלי ,והיא —
) .Γ ∼ Γ × Γנעיר כי קיימות חבורות נוצרות סופית שאיזומורפיות למכפלה ישרה של עצמן Γ ,אינה כזאת,
שכן היא מובחנת סופית( .נוכל אם כן להסתכל על הגידול S (n)2ומתקיים .S (n) ≤ S (n)2 ≤ C · S (Dn)2
2
לכן מהצד השני ) , C1 S Dn ≤ S (nנצטרך כמובן להרחיב את הגדרת Sגם למספרים שאינם שלמים ,על ידי
כך שכמו קודם אלו יהיו כל המילים שאורכם עד השלם הקטן הקרוב ביותר למספר .ומתקיים:
n
1 n 2
1
1 n 4
1
S
≥
S
≥ · · · ≥ Pr 2i S
2r
2
2
C
D
C C
D
D2r
C i=1
n
) .E = S(mנסמן
נבחר m ∈ Nכך ש S (m) > Cונגדיר > 1
) r = logD mזהו מספר הפעמים שבהם
C
≥ )S (n
אנו מפעילים את האי־שוויון הזה( .נקבל:
n
r
1
2r
2r ≥ 2r S (n) = E 2
D 2r
C
S
1
2i
Pr
i=1
C
וגם
1
= F · n log2 D
1
log2 D
1 n
·
2
m
=
1
log2 D
n
1 log( m
)
· 2
2
) (
=
16
log2 n
m
)log2 (d
1
1
= ·2
2
2
· ) 2r ≥ 2logD ( m
n
חבורות עם גידול ביניים
5
n log12 D
s (n) > E Fוזהו החסם התחתון.
עבור איזשהו ,Fלכן מתקיים
1
נוכיח כעת את החסם העליון .הוכחנו כי ) ,ϕ (x) = (xL , xRוגם ) l (xR ) , l (xL ) ≤ 2 (l (x) + 1ולכן
P
כפי שהוכחנו ) l (xi ) ≤ 81 (l (x) + 7עבור x ∈ H3והפעלת .ϕ3וגם הוכחנו . 8i=1 l (xi ) ≤ 43 l (z) + 8
איזשהו ] j ∈ [8מתקיים כי .l (xj ) ≤ 323 l (x) + 1אם היינו יודעים איזשהו ה־ jהזה ,אזי היו
לכן קיים
3
1
לכל היותר sΓ 32 l (x) + 1אפשרויות בשבילו ,ולכל היותר sΓ 8 l (x) + 1לכל השאר .ניזכר שמתקיים
4
) sΓ (n + m) ≤ sΓ (n) · sΓ (mונקבל כי sΓ 81 l (x) + 1 ≤ sΓ 321 l (x) + 1ולכן מספר האפשרויות
31
לשמינייה ) (x1 , . . . , x8הוא לכל היותר sΓ 321 l (x) + 1והיות שאיננו יודעים איזה xjהוא הקצר ביותר,
נכפיל את מספר האפשרויות ב־ .8לכן:
Γ
SΓ (n) ≤ [Γ : H3 ] SH
)(n + k
3
31
1
≤ [Γ : H3 ] · 8 · sΓ
(n + k) + 1
32
31
n+k
≤ C · SΓ
32
322
n+k
≤ C 1+31 SΓ
322
≤ ...
31t
1
1
n+k
1+31+···+31t−1
+k t+
+
≤ C
SΓ
32t
32 32t
ולכן אם נבחר ]) t = [log32 (n + kנקבל כי ,n + k ≤ 32t+1ואחרי העברת־אגפים ≤ 32
הקודם שהוכחנו מראה כי עבור איזשהם קבועים B, Cמתקיים
n+k
32t
.אך האי־שוויון
t
)log32 (n+k
log32 31
log31 31
31t
31t
] sΓ (n) ≤ 8 · [Γ : H3
sΓ (k + 33) = C 31 ≤ C 31
)= C (n+k
= Bn
חבורות גריגורצ'וק הכלליות
נסתכל על Λלהיות כל הסדרות של ,0, 1, 2ומספר הסדרות הוא .2ℵ0נגדיר:
• — Λ0הסדרות שבהן כל ספרה מופיעה אינסוף פעמים.
• — Λ1הסדרות שבהן רק שתי ספרות מופיעות אינסוף פעמים.
• — Λ2הסדרות שבהן רק ספרה אחת מופיעה אינסוף פעמים.
ומתקיים .Λ = Λ0 ∪ Λ1 ∪ Λ2
יהי איזשהו עץ בינארי אינסופי .לעץ הזה יש כמה אוטומורפיזם — Eשהוא הזהות P ,שהוא חילוף על
שני חצאי העץ .נסתכל על החבורה .Gλ = ha, bλ , cλ , dλ iנגדיר את פעולת החבורה באופן דומה לחבורת
נגדיר bλ ,cλ , dλכך ששתיים תפעלנה על תת־העץ השמאלי על ידי חילוף ואחת כזהות.
גריגורצ'וקהבסיסית .
E
P
P
נסמן .0 = P , 1 = E , 2 = P נגדיר σ : Λ → Λשהיא הזזה שמאלה של איברי הסדרה
P
P
E
) ,λ = (n0 , n1 , n2 , . . .אזי ) .σ (λ) = (n1 , n2 , . . .
• e ∈ Gλהיא הזהות.
• a ∈ Gλהיא החילוף.
17
5
חבורות עם גידול ביניים
נניח רגע לצורך הדיון שהסדרה שאנחנו מתחילים איתה מתחילה בספרה .0
adλ a
dσλ
1
acλ a
cσλ
a
dλ
1
dσλ
abλ a
bσλ
a
cλ
a
cσλ
bλ
a
bσλ
L
R
∼ hbλ , cλ , dλ i
נשים לב שמתקיים כי .a2 = b2λ = c2λ = d2λ = 1בנוסף bλ cλ = cλ dλ = dλ bλומתקיים =
.C2 × C2
נגדיר — Hλ ≤ Gλהאיברים השומרים על שני החצאים .[Gλ : Hλ ] = 2 .נוכל להגדיר בעצם
.H = hbλ , cλ , dλ , abλ a, acλ a, adλ aiנוכל להגדיר הומומורפיזם .ϕλ : Hλ → Gσλ × Gσλמתקיים
,ϕλL : Hλ Gσλ ≥ Hσλ Gσ2 λ . . .אפשר להמשיך עד אינסו ולכן החבורה שלנו היא בהכרח אינסוף.
נראה שלחבורות ב־ Λ0 , Λ1יש גידול ביניים .זה לא נכון עבור ,Λ2שהיא קבוצה מאוד קטנה של חבורות.
טענה :46אם λ ∈ Λ2אז Gλמכילה תת־חבורה אבלית מאינדקס סופי.
מסקנה :47לחבורה ולתת־חבורה מאינדקס סופי ישנו אותו הגידול ,ולכל חבורה אבלית יש גידול פולינומיאלי,
מכאן ינבע של־ Gλיש גידול פולינומיאלי.
הוכחה :נניח בה"כ החל ממקום מסויים הסדרה היא קבועה .0במקרה זה Gλ = ha, bλ iוהחבורה היא אינסופית.
נראה לאן האיבר הזה עובר בהעתקה .(abλ )2 = abλ abλ → (bσλ a, abσλ ) — ϕλ : Hλ → Gσλ × Gσλ
אם נפעיל את ϕσλנקבל ) abλ abλ → (abσ2 λ , bσ2 λ aוכולי וכולי .על ידי חלוקה ב־ B = hbiGλנקבל
שלחבורת־המנה יש אינדקס סופי.
עבור ,λ ∈ Λ0 ∪ Λ1נגדיר כמו קודם Bλ = hbλ iGλוכנ"ל .Cλ , Dλלתת־חבורות האלה יש אינדקס סופי ב־ .Gλ
ϕλ (Hλ ) ⊇ Dσλ × Dσλ
ϕλ
) dλ → (1, dσλ
ϕλ
)adλ a → (dσλ , 1
ניתן לקבל את כל הצמודים של dσλולכן ניתן לקבל את הסגור הנורמלי שלו .כעת מתקיים
∞ < |) |Gσλ × Gσλ : ϕλ (Hλ
ולכן ל־ Gλול־ Gσλ × Gσλיש פונקציות גידול שקולות .נוכל להמשיך כך כמובן עד אינסוף .אם נניח בשלילה
שהמעלה סופי ,נקבל שכל פעם אנחנו מחלקים את המעלה בחצי ,ולכן נקבל סתירה.
הוכחנו שלחבורות אין גידול פולינומיאלי ,נראה שאין גם גידול מעריכי .ההוכחה דומה להוכחה של החבורה
הרגילה של גריגורצ'וק.
טענה :48אם λ ∈ Λ0אז הגידול של Gλאינו מעריכי.
הוכחה :ישנו ϕλעל ידי ) ϕλ (x) = (xL, xRומתקיים כמו תמיד ).l (xL ) , l (xR ) ≤ 21 (l (x) + 1
ϕλ
2
) (adλ ) = adλ adλ −→ (dσλ , dσλ
4
(adλ ) = 1
18
8
אוטומטים סופיים
למה :49אם l (x) ≥ 5 ,x ∈ Gλאז מלה בעלת אורך מינימלי המייצגת את xאינה מכילה את המחרוזת .dad
2
הוכחה :נניח ש־ dadמופיע לא בסוף המלה .המלה .dadauעבור u 6= 1ל־ ) (daיש סדר ,2ולכן — dada
שווה להפכי שלו ,ולכן הוא מסדר .2ולכן dada = adadולכן dadau = adaduוזה מצטמצם .אם u = 1אזי
כמו קודם adada = aadadושוב הצטמצמנו .אם זה בסוף המלה משיקול דומה ל־ u = 1וסיימנו.
הוכחה :עתה ,נסמן ) ,k = 21 l (xולפי עקרון שובך היונים מספר ההופעות של dהוא קטן או שווה מ־
) b, c . k1 l (xמופיעים לפחות ) 18 l (xפעמים .כמו בהוכחה על חבורת גריגורצ'וק הרגילה ,נעתיק את — x
P
) x −→ (x1 , . . . , x2kומתקיים ) . l (xi ) ≤ 98 l (xנסמן ) ,ωλ = ω (Gλאנחנו רוצים להסתכל על :ωσk λ
n
SGσk λ (n) ≤ A ω σ k λ +
תהא Lλתת־חבורה מאינדקס סופי של Gλכך שה־ ϕλמוגדרת בה.
8n
ω σk λ + 9
k
SLGλλ (n) ≤ 2k A2
8
ω (λ) ≤ ω σ k λ + ε 9
וזה לכל ε > 0ולכן
8
( 8 )2
8 t
) ω (λ) ≤ ω σ k λ 9 ≤ ω σ k+m λ 9 ≤ · · · ≤ ω (σ r λ)( 9
6
חבורת גריגורצ'וק לא נוצרת סופית
נסתכל על עץ לא בינארי ,אלא שלכל קודקוד יש kבנים .החבורה נוצרת על ידי ,a, b, c, dכאשר aהיא סיבוב
ציקלי של העלים בדרגה השנייה ,ו־ b, c, dלא יפעלו כלל על התת־עצים האמצעיים )אלא רק על (1, kואז
יפעלו כמו עם חבורת גריגורצ'וק.
חבורה דומה
לעצמה
הגדרה :50קבוצת איזומורפיזם Sשל העץ Tדומה לעצמה ) (Self similarאם לכל σ ∈ Sולכל קודקד u ∈ T
הצמצום ) σ|T (uאף הוא ב־ .S
7
מכפלות שזורות
N C G ,G = HNו־} .H ∩ N = {1אם נדע מהו ,Hמהו Nומהי ההעתקה ) H → Aut (Nאזי נוכל לדעת
במפורש מהי .G
נניח שיש לנו שתי חבורות ,A, B ,ויש לנו העתקה ) B → SΩתמורות על הקבוצת .(Ωנסתכל על המכפלה
∼ .Aωואז החבורה Bפועלת באופן טבעי על .Cלכל ,σ ∈ Bאם
הישרה ) C = (×ω∈Ω Aωכך ש־= A
,σ (ω1 ) = v1אזי איפה שכתוב בסדרה )שכן כל איבר ב־ Cהוא סדרה באורך | ,(|Ωאם כתוב ω1נכתוב
במקום זה .v1לכן ) B → Aut (Cבאופן טבעי .נקבל מבנה של מכפלה חצי־ישרה .נסמן את המבנה הזה
) .Aω1Ω B = B (×Aω
8
אוטומטים סופיים
נדבר בפרק זה על חבורות המוגדרות על ידי אוטמטיים סופיים.
יש חבורות הנקראות "חבורות אוטומטיות" ,ולא על זה נדבר!
19
10
8.1
חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק
חבורת גופטה־סידקי
הערה :51היו עם הנושא הזה תקוות גדולות ,אבל בסוף לא נראה שכרגע זה משיג את התקוות שתלו בזה.
הגדרה :52אוטומט סופי מדרגה kהוא גרף סופי מכוון ומתוייג ושמכל קדקוד יוצאות kצלעות .הצלעות
מתויגות על ידי כל הספרות } .{1, . . . , kולכל קדקוד יש תיוג שהוא איבר בחבורה הסימטרית .Sk
אוטומט סופי ממעלה kמגדיר תת־חבורה נ"ס ל חבורת האוטומורפיזם של עץ k־רגולרי עם שורש .איך הוא
פועל? כל קדקוד בעץ k־רגולרי ניתן לתיוג על ידי הספרות } ,{1, . . . , kאם הוא במרחק nמהשורש ,אזי התיוג
יהיה באורך ,nוכל צלע תהיה בהתאם למסלול שלו מהשורש ,ובהתאם לתיוג קבוע של הצלעות בעץ.
כעת אנחנו יכולים ללכת במסלול המוגדר על ידי התיוג באורך nולפי הצלעות בחבורה ,ובכל קדקוד נקבל
איבר של .Skזו ההעתקה ששומרת על המבנה של העץ.
8.1
חבורת גופטה־סידקי
בנייה מעט מאוחרת לבנייה של גריגורצ'וק בשיטה דומה.
בונים עץ p־ארי ,כאשר pראשוני אי־זוגי .בונים חבורה G = ha, biכאשר ) a = (1, 2, . . . , pו־
.b = a, a−1 , 1, 1, . . . , 1, bעבור כל pראשוני אי־זוגי זו חבורת pאינסופית .נשים לב שזו לא חבורה הדומה
לעצמה ,שכן צריך את הזהות וצריך את .a−1
עבודה להוכיח שזו חבורת pאינסופית.
8.2
חבורת פבריגורסקי־גופטה
זו חבורה שכן יודעים שיש לה גידול ביניים .עץ מדרגה .3
ו־).b = (a, 1, b
הם הוכיחו שמתקיים
n(log log n)2
log n
< Sn < e
log 3
log 6
מגדירים ,G = ha, biכאשר )a = (123
en
העבודה של קוסטה היא לעבוד על החבורה הזו.
9
מערכות דינמיות
יהי מרחב Sוהעתקה f : S → Sומסתכלים מה קורה כאשר מפעילים אותה כמה פעמים — ) .(f (x) , . . . , f n (x) . . .
Sיכול להיות מרחב טופולוגי או מרחב מידה ,ו־ fרציפה או פונקציה מדידה .זה יכול להיות גם מערכת
אלגברית ,חבורה ואנדומורפיזם.
דוגמה :השדה Cעם הפונקציה f (z) = z 2 + cכאשר .c ∈ Cככה נראים רוב הפרקטלים ,מנדלברוט
∞)) (f n (xמחזורית? או מתקבעת? לדוג',
וכו' .יש הרבה שאלות שניתן לשאול .לדוגמה ,ממתי הסדרה n=1
עבור f (z) = z 2 − 1נקבל כי f (0) = −1ו־ f (−1) = 0וקיבלנו מחזור באורך .2אפשרות אחרת היא
,f2 (x) = z 2 + iנקבל f2 (−i) = −1 + i ,f2 (−1 + i) = −i ,f2 (i) = −1 + i ,f2 (0) = iוקיבלנו מחזור
באורך .4נשים לב כי כדי למצוא מחזור נכתוב ) — fcn (0) = fcm (0נקבל משוואה פולינומיאלית ב־ Cולכן
יש לה מספר סופי של פתרונות ,ואלו המקומות בהם יש מחזור .נוריד את המישור בלי הנקודות האלה ,זהו
מישור עם חורים ,ונסתכל על החבורה היסודית שלו — )) Π1 (C\ {f n (0)} , zאין זה משנה איזה zלוקחים ,כי
המרחב עדיין קשיר־מסילתית(.
10
חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק
נחזור לחבורת גריגורצ'וק המקורית ונחסום אותה טוב יותר .Γ = ha, b, c, diלפני מספר שיעורים הוכחנו
β
α
Aen ≤ SΓ (n) ≤ Ben
עבור A, B ≥ 0ו־ .0 < α < β < 1נמצא את היחסים הכי טובים הידועים כיום ) .(2015אנחנו לא באמת
יודעים כרגע אם החבורה של גריגורצ'וק אסימפטוטית לפונקציות כאלה ,או שהוא מתנדנד.
20
10
חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק
נסתכל על הפולינום
x3 + x2 + x − 2 = 0
זהו פולינום ממעלה אי־זוגית ולכן יש לו לפחות שורש ממשי אחד .נגזור ונקבל
2
)3x2 + 2x + 1 = 2x2 + (x + 1
הנגזרת חיובית ולכן הפולינום מונוטוני עולה ממש תמיד ,ולכן יש בדיוק שורש ממשי יחיד .נסמן את השורש
η0 = 0.811 . . .מספר אי־רציונאלי )כמובן( .בנוסף ,נסמן
log 2
= 0.767
log 2 − log η0
= β0
היות ש־ η0מספר אלגברי ,נובע ש־ β0מספר טרנסנדנטי .זאת לפי משפט על לוגריתם של מספר אלגברי בבסיס
רציונאלי ,אזי הלוגריתם יהיה טרנסנדנטי.
β
משפט :53אם β0 < βאזי קיים מספר Bכך ש־ .SΓ (n) ≤ Ben
עובדה :54ניתן לקחת את ,β = β0אבל לא נתייחס לזה .כל המספרים נובעים באופן ישיר מההוכחה.
.G = hSiניתןPלכל איבר משקל .w (si ) = wi > 0קודם משקל
תהא } S = {s1 , . . . , sdקבוצה סופית ,ו־
ליוצרים ,ואז עבור x = si1 · · · · · sinנגדיר ,w (x) = nj=1 w sijכאשר אם יש יותר מהצגה אחת לוקחים
את המשקל המינימלי .אם נותנים לכל איבר משקל ,1מקבלים את האורך .נרצה להשתמש בפונקציה הזו כאשר
לדעתנו איברי קבוצת היוצרים לא סימטריים ממש ,כמו במקרה שלנו בו aמתנהג אחרת מ־ .b, c, dנסמן:
w (a) = x, w (b) = y, w (c) = z, w (d) = t
y ≤ z + t, z ≤ y + t, t ≤ z + y
ונקבל ש־ y, z, tהם בעצם שלושה קדקודים של משולש .בנוסף ,נסמן
m = min wi , M = max wi
)ml (n) ≤ w (n) ≤ M l (n
ומתקיים
C
n
≤ )w (x) ≤ C, l (n
נגדיר באמצעות זאת פונקציית אורך חדשה:
}Sn,w = # {x ∈ Γ|w (x) ≤ n
ומתקיים שפונקציות האורך האלה שקולות — .Sn ∼ Sn,w
כעת נעבור לחבורת גריגורצ'וק .נרצה להוכיח שקיים η < 1ו־ A > 0כך שמתקיים:
)w (xl ) + w (xr ) ≤ η (w (x) + A
21
10
חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק
נגדיר ) .A = w (aניזכר בפונקציה ϕ : H → Γ × Γומתקיים
)ϕ (b) = (a, c) , ϕ (c) = (a, d) , ϕ (d) = (1, b
מתקיים
)x + z ≤ η (x + y) , x + t ≤ η (x + z) , y ≤ η (x + t
יש לנו סה"כ 6מערכות של אי־שוויונות ב־ 5נעלמים .נרצה למצוא פיתרון עם ηקטן ביותר .נרצה להגיד
ששלושת האי־שוויונות האחרונים צריכים להיות שוויונות .מתקיים
))x + z = η (x + η (x + t
))x + t = η 2 (x + η (x + t
ונקבל
x η3 + η2 − 1 = t 1 − η3
t = η3 + η2 − 1
x = 1 − η3
ולכן הכל נקבע לפי .ηהיות ש־ η < 1נקבל
0<t<z<y
ולכן
y ≤z+t
η 3 ≤ 2η 3 + η 2 + η − 2
ולכן לאחר העברת אגפית ומזעור ,נקבל את .η = η0
22
