docחוברת הקורס
download 
Report Transcription
חוברת הקורס
מבוא לתורת החבורות
עוזי וישנה
13באוקטובר 2015
מבוא לתורת החבורות
מהדורה 3.887
הקדמה .חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת "1לתלמידי מתמטיקה,
,88-211באוניברסיטת בר־אילן .הקורס )בהיקף של שלוש שעות הרצאה ושעתיים תרגיל ,לאורך סמסטר אחד(
הוא קורס ראשון באלגברה מודרנית )אחרי קורס שנתי באלגברה לינארית( ,והוא מכסה את היסודות של
תורת החבורות.
החומר מחולק לסעיפים ותת־סעיפים ,המסודרים כך שמושגים חיוניים יופיעו מוקדם ככל האפשר ,תוך
שילוב של כמה דוגמאות נחוצות .בכל נושא מובאות ההגדרות והתוצאות העיקריות ,כשהן פרושות לתרגילים
קצרים ונוחים לעיכול .כל טענות העזר והשיטות הסטנדרטיות נוסחו כתרגילים .המהדורה הארוכה ,המונחת
לפניכם ,כוללת הדרכה מפורטת ולפעמים פתרון מלא לתרגילים רבים ,בעיקר אלו שיש להם אופי תאורטי
יותר .סדר התרגילים בתוך כל סעיף נבחר בזהירות ,כשכל תרגיל מופיע מיד כאשר הונחה התשתית לרעיונות
הדרושים כדי לפתור אותו )אך בכפוף לאילוץ המקובל ,והמתסכל במידת מה ,הקובע שסדר המשפטים בעמוד
מוכרח להיות קווי( .תרגילים השייכים לאותה מדרגה לוגית מופיעים בסדר יורד של מידת הכלליות והעניין.
החידוש ,במידה שיש כאן כזה ,הוא בהצמדת דרגת קושי לכל תרגיל :תרגילים קלים ,מדרגה )*( ,דורשים
בדרך־כלל שליטה בהגדרות ותו לא; את רובם של אלה אפשר–ורצוי–לפתור בעל־פה ,תוך ציון ההגדרה או
העובדה הרלוונטית .תרגילים טכניים מורכבים ,לא רגילים או סתם קשים סומנו ב־)***( .שאר התרגילים
קיבלו את הציון )**( .סימנים נוספים ,כמו ב־)** (+או )** ,(-מציינים שהתרגיל עשוי להיות קשה או קל
יותר מכפי שנראה במבט ראשון .אם טרחתם לכתוב פתרון לתרגיל שרמתו )*** ,(+ספרו לי .כל התרגילים
מנוסחים בלשון זכר ,ועם הלומדות הסליחה .במספר מקומות הרחבנו מעבר לרמה הנדרשת בקורס.
המבואות בראשי הפרקים אמורים לתת סקירה ממצה של תוכן הפרק; מי שאינו מתכוון לצלוח יותר ממאה
עמודים של תרגילים עשוי להסתפק בקריאת ראשי הפרקים האלו.
אודה לכל מי שיביא לתשומת ליבי שגיאות מתמטיות ,השמטות ,כפילויות או שגיאות כתיב ,כדי שאוכל
לתקנן במהדורה הבאה.
עוזי וישנה7.2012 ,
2
תוכן עניינים
1
חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
1.1חבורות למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
איברי יחידה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
אידמפוטנטים ואברים מיוחדים אחרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
1.2מונוידים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אברים הפיכים מימין ומשמאל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
1.3חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4תת־מבנים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1תת־חבורה למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2תת־מונויד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3תת־חבורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5מכפלה ישרה חיצונית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6הומומורפיזמים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
8
10
11
12
13
13
13
14
15
16
2
דוגמאות לחבורות
2.1חבורות אבליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2מבוא לתורת המספרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
יחס החילוק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
המחלק המשותף המקסימלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
2.2.3שקילות מודולו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n
2.2.4פירוק לראשוניים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5משפט ההיפוך של מביוס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3חבורות ציקליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1סדר של אברים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4חבורות אוילר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1פונקציית אוילר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5החבורה החיבורית והכפלית של שדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6החבורות הסימטריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7חבורות של מטריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8החבורות הדיהדרליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
19
19
19
20
20
21
22
23
24
24
25
26
27
28
3
חבורות מנה
3.1קוסטים של תת־חבורה . . .
3.2משפט לגרנז' . . . . . . . .
3.3תת־חבורות נורמליות . . . .
3.4חבורת מנה . . . . . . . . .
3.5משפט האיזומורפיזם הראשון
3.5.1סדרות ודיאגרמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2עוד על שדות ומטריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1חבורת הקווטרניונים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
30
30
32
33
33
34
35
38
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
תוכן עניינים
4
סריג
4.1
4.2
4.3
תוכן עניינים
תת־החבורות
חיתוך של תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
כפל תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מכפלה ישרה פנימית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1מכפלה ישרה של כמה תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
סריג תת־החבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1סריגים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2הסריג של תת־החבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3מודולריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינדקס של תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט ההתאמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
המרָכז . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ְ
תת־חבורת הקומוטטורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפחות של חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
41
44
45
45
45
45
46
46
47
47
48
50
5
חבורות של תמורות
5.1הסימן של תמורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הסימן והדיסקרימיננטה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
5.1.2חבורת התמורות הזוגיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2אברים צמודים ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn
5.2.1מחלקות צמידות ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An
5.3קבוצות יוצרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An 5.4חבורה פשוטה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5תמורות מקריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
51
52
52
54
54
55
57
6
פעולה של חבורה על קבוצה
6.1הפעולה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1דוגמאות ופעולות מושרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2פעולה נאמנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2מסלולים ומייצבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3פעולת הכפל של חבורה על עצמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1משפט קיילי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2העידון של משפט קיילי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4פעולת ההצמדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1מחלקות צמידות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרכזים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ְּ
6.4.2
6.4.3מחלקות צמידות בתת־חבורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרכזים של תת־חבורות. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ְּ
6.4.4
6.4.5מנרמלים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5הלמה של ברנסייד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6טרנזיטיביות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1טרנזיטיביות מרובה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2תת־חבורות של . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn
6.6.3פעולה רגולרית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7פעולה פרימיטיבית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8החבורות הלינאריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9סימטריות של גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
60
60
60
61
62
62
63
64
64
65
66
67
68
69
69
72
73
74
75
79
7
אוטומורפיזמים
7.1חבורת האוטומורפיזמים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2אוטומורפיזמים פנימיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אוטומורפיזמים יחסיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1
7.2.2תת־חבורות אופייניות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3מכפלה ישרה למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1מכפלה ישרה למחצה פנימית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
82
83
84
84
84
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4
תוכן עניינים
מכפלה ישרה למחצה חיצונית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חבורות שלמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מכפלת זר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
לקוהומולוגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משלימים והקוהומולוגיה הראשונה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הרחבות והקוהומולוגיה השניה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
כיסויים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
87
88
89
89
91
94
8
משפטי סילו
8.1שוויון המחלקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2משפט קושי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3חבורות־. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p
8.3.1משפט מילר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2מספר תת־החבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4משפטי סילו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1קיומן של חבורות p־סילו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2תת־חבורות סילו צמודות זו לזו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3תת־חבורות סילו של תת־חבורות וחבורות מנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4תת־חבורות הול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.5הטרנספר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6מכפלה של תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5שימושים במשפטי סילו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1נומרולוגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2ספירת אברים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3פעולה על תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6החבורות הקטנות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
95
96
97
99
100
100
101
101
103
104
105
106
106
106
108
109
114
9
חבורות אבליות
9.1האקספוננט . . . . . . . . . . . . . .
9.2הפירוק הפרימרי . . . . . . . . . . .
9.3חבורות־ pאבליות . . . . . . . . . . .
9.4משפט המיון לחבורות אבליות סופיות
9.4.1חבורות אוילר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5חבורות אבליות אינסופיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1חבורות סדורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2חבורות שאינן נוצרות סופית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
117
118
118
119
120
122
124
124
10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
10.1סדרות תת־נורמליות וסדרות הרכב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2חבורות פתירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1הסדרה הנגזרת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2תת־חבורת פרטיני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3חבורות סופר־פתירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4תנאי סופיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3סדרות מרכזיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1הסדרה המרכזית היורדת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2הסדרה המרכזית העולה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3חבורות נילפוטנטיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
125
126
128
129
129
130
131
131
132
133
7.4
7.3.2
7.3.3
7.3.4
מבוא
7.4.1
7.4.2
7.4.3
תוכן עניינים
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
תוכן עניינים
תוכן עניינים
6
פרק 1
חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
הקורס עוסק בחבורות ,שהן מערכות אלגבריות בעלות פעולה אחת ,המקיימת כמה אקסיומות .בפרק הראשון
נכיר את המערכות שהן פרימיטיביות עוד יותר מחבורות -אלו שהפעולה שלהן מקיימת רק חלק מן האקסיומות
שמקיימות חבורות.
תכונת האסוציאטיביות של הרכבת פונקציות מובילה אותנו לאמץ את האסוציאטיביות כאקסיומה בכל
המערכות שנלמד בקורס הזה .הגישה כאן היא אקסיומטית :לומדים את התכונות האבסטרקטיות הנובעות
מהנחות יסוד ,שאת העניין בהן מצדיקות דוגמאות חשובות.
המושגים העיקריים בפרק זה :פעולה בינארית המקיימת את האקסיומה a(bc) = (ab)cהיא פעולה
אסוציאטיבית .קבוצה שמוגדרת עליה פעולה אסוציאטיבית נקראת חבורה למחצה .בחבורה למחצה עשויים
להיות אברים מיוחדים :יחידות מימין ,יחידות משמאל ויחידות דו־צדדיות; אברי אפס מימין ,אפס משמאל,
אברי אפס דו־צדדיים .אם יש לחבורה למחצה איבר יחידה )דו־צדדי( ,היא נעשית מונויד .איבר של מונויד
עשוי להיות הפיך מימין ,הפיך משמאל ,או הפיך משני הצדדים )ואז הוא הפיך( .מונויד שבו כל האברים הפיכים
נעשה חבורה ,וזה האובייקט המרכזי של הקורס .המשפט המרכזי בחלק זה )משפט (1.3.9קובע שמונויד סופי
המקיים את תכונת הצמצום הוא בהכרח חבורה.
הפרק מציג את המכפלה הישרה ,שהיא דרך קלה לשילוב מבנים אלגבריים; ואת המושגים הכלליים
תת־חבורה והומומורפיזם ,שמשחקים תפקיד מרכזי בכל תאוריה אלגברית.
1.1
חבורות למחצה
נפתח בהצגת חבורות למחצה ,שהן מבנים עם פעולה אסוציאטיבית אחת .תכונות של אברים מיוחדים בחבורה
למחצה מובילות בהדרגה להגדרת החבורה.
פעולה בינרית על קבוצה Aהיא פונקציה .∗ : A×A → Aכל פעולה ''מוגדרת היטב'' ,כלומר ,לכל שני
אברים x, y ∈ Aיש ערך יחיד ,x ∗ yהשייך ל־ ;Aאחרת זו אינה פעולה .פעולה ∗ היא אסוציאטיבית
אם לכל a, b, c ∈ Aמתקיים .a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
הגדרה 1.1.1חבורה למחצה היא מערכת הכוללת קבוצה Sעם פעולה אסוציאטיבית ∗.
אומרים ש־ Sחבורה למחצה )ביחס לפעולה הנתונה( ,או ,כדי להדגיש את תפקידה של הפעולה ,שהזוג
הסדור )∗ (S,הוא חבורה למחצה .בדרך כלל קוראים לפעולה בחבורה ''כפל'' ,גם אם יש לה בהקשר המקורי
שם אחר )כמו ''חיבור'' או ''הרכבה''( .במקרים רבים מקובל להשמיט את סימן הכפל ,ולכתוב abבמקום .a ∗ b
תרגיל (*) 1.1.2תהי Xקבוצה .הראה שהאוסף S = X Xשל פונקציות ,X→Xעם פעולת ההרכבה,
הוא חבורה למחצה.
תרגיל (+**) 1.1.3בחבורה למחצה נגדיר באינדוקציה ,לכל איבר ,xאת החזקות .xn = x∗xn−1 ,x1 = x
n+m
.xהדרכה .אינדוקציה כפולה .היכן משתמשים באסוציאטיביות?
הוכח ש־ = xn ∗ xm
תרגיל (*) 1.1.4תהי Sקבוצה .נגדיר .a ∗ b = bהוכח ש־)∗ (S,חבורה למחצה.
תרגיל (**) 1.1.5בדוק אילו מהמערכות הבאות הן חבורות למחצה.
.1קבוצת המספרים הזוגיים עם פעולת הכפל.
7
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
.1.1חבורות למחצה
.2קבוצת המטריצות ההפיכות בגודל 3 × 3מעל ,Rביחס לחיבור.
.3קבוצת המספרים הממשיים ,עם הפעולה ) .a ∗ b = 12 (a2 + b2
תרגיל (**) 1.1.6נניח שבחבורה למחצה Aאפשר לשחזר את הגורמים a, bמתוך המכפלה ,abכלומר,
מ־ ab = cdנובע a = cו־ .b = dהוכח ש־.|A| = 1הדרכה .לכל .(aa)b = a(ab) ,a, b ∈ A
הגדרה 1.1.7איזומורפיזם של חבורות למחצה )∗ (X,ו־)⋆ (Y,הוא פונקציה חד־חד־ערכית ועל f : X→Yהמקיימת את
התנאי ) ) f (x ∗ x′ ) = f (x) ⋆ f (x′לכל .(x, x′ ∈ X
∼
אם קיים איזומורפיזם בין שתי חבורות למחצה ,אומרים שהן איזומורפיות ומסמנים .X = Y
תרגיל (*) 1.1.8אם f : X→X ′איזומורפיזם ,אז f −1 : X ′ →Xגם הוא איזומורפיזם.
תרגיל (**) 1.1.9איזומורפיות היא תכונה רפלקסיבית ,סימטרית וטרנזיטיבית .אינ נו אומרים שאיזומורפיות
היא יחס שקילות ,משום שמחלקת החבורות למחצה גדולה מכדי להיות קבוצה ,ואי אפשר להגדיר
עליה יחסים.
תרגיל (**) 1.1.10יש בדיוק 5חבורות למחצה בנות 2אברים עד־כדי איזומורפיזם .כלומר ,יש 5חבורות
למחצה עם שני אברים ,שאינן איזומורפיות זו לזו ,וכך שכל חבורה למחצה בת שני אברים איזומורפית
לאחת מהן .הדרכה .מיינו את האפשרויות לפי מספר הפתרונות למשוואה .x ∗ x = x
תרגיל ) (-***) 1.1.11בעיה A-1מתחרות Putnamה־ (2001 ,62פעולה בינארית )לאו דווקא
אסוציאטיבית( ∗ : S × S→Sמקיימת את החוק ;a ∗ (b ∗ a) = bהוכח שהיא מקיימת גם .(a ∗ b) ∗ a = b
1.1.1
איברי יחידה
יש הרבה חבורות למחצה .כדי לבנות מסגרת שתאפשר לנתח את המבנה שלהן ,עלינו לזהות איברים בעלי
תכונות מיוחדות.
הגדרה 1.1.12תהי )∗ (S,חבורה למחצה .איבר e ∈ Sנקרא יחידה מימין אם לכל b ∈ Sמתקיים ,be = bויחידה משמאל
אם לכל b ∈ Sמתקיים .eb = bיחידה מימין היא איבר הפועל כיחידה כאשר כופלים בו מימין ,וכן
משמאל.
איבר שהוא יחידה מימין ומשמאל נקרא איבר יחידה.
תרגיל (*) 1.1.13אם בחבורה למחצה יש יחידה מימין eויחידה משמאל ,e′אז ) e = e′וזהו כמובן איבר
יחידה(.
תרגיל (*) 1.1.14בחבורה למחצה Sיש שבע יחידות משמאל .כמה יחידות מימין יש בה?
תרגיל (**) 1.1.15קבע ,לגבי כל אחת מהחבורות למחצה של תרגיל ,1.1.10מיהם אברי היחידה מימין
ומשמאל.
)
}
({
a b : a, b ∈ R .1
= Mהיא חבורה למחצה )ביחס לכפל מטריצות(.
תרגיל (**) 1.1.16
0 0
.2ב־ Mאין יחידה מימין ,אבל יש אינסוף יחידות משמאל.
.3מצא דוגמה לחבורה למחצה בלי יחידות משמאל ועם אינסוף יחידות מימין.
1.1.2
אידמפוטנטים ואברים מיוחדים אחרים
הגדרה 1.1.17איבר eבחבורה למחצה נקרא אידמפוטנט אם ) e2 = eכזכור .(e2 = e ∗ e
תרגיל (*) 1.1.18כל איבר יחידה ,מימין או משמאל ,הוא אידמפוטנט.
הגדרה 1.1.19איברים a, b ∈ Sנקראים הפוכים )באופן חלש( זה לזה ,אם aba = aו־.bab = b
תרגיל (**) 1.1.20נניח ש־ a, bהפוכים זה לזה .הוכח ש־ abו־ baאידמפוטנטים.
8
.1.1חבורות למחצה
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
תרגיל (**) 1.1.21אם bו־ b′שניהם הפוכים ל־ ,aאז ab′ו־ abהפוכים זה לזה )וכך גם .(ba, b′ a
תרגיל (**) 1.1.22אם bו־ b′שניהם הפוכים ל־ ,aאז כך גם bab′ו־.b′ ab
תרגיל (**) 1.1.23נתון ש־ b′הפוך ל־ a ,aהפוך ל־ ,bו־ bהפוך ל־ .a′הוכח ש־ bab′הפוך ל־ .aba′
תרגיל e, e′ (**) 1.1.24הם שני אידמפוטנטים הפוכים זה לזה.
}.{e, e′ , ee′ , e′ e
כתוב את לוח הכפל של הקבוצה
תרגיל (**) 1.1.25חבורה למחצה היא מגבילה ) (restrictiveאם כל איבריה אידמפוטנטים ,והיא מקיימת
את החוק ) .xyz = yxzחבורות למחצה אלו הוגדרו על־ידי ,1962 ,V. V. Wagnerשהראה שהן מתקבלות
ממערכות של העתקות עם פעולת צמצום הדדית שלא נתאר כאן במלואה (.מיין את כל החבורות למחצה
המגבילות עם שלושה אברים.
תרגיל (**) 1.1.26חבורה למחצה היא רצועה רגולרית שמאלית אם היא מקיימת את החוקים x2 = x
ו־ xyx = xyלכל .x, yעל אוסף המלים בקבוצת האותיות ,Sשבהן כל אות מופיעה לכל היותר פעם
אחת ,נגדיר פעולה באופן הבא u ∗ v :היא המלה המתקבלת מקריאת המלה uvמשמאל לימין ,ומחיקת
כל אות שכבר הופיעה .הראה שמתקבלת רצועה שמאלית רגולרית .כתוב את לוח הכפל במקרה
.|S| = 2
הגדרה 1.1.27איבר z ∈ Sהמקיים za = zלכל a ∈ Sנקרא אפס משמאל .אם az = zלכל a ∈ Sאז zנקרא אפס
מימין .אפס מימין ומשמאל נקרא אפס של החבורה למחצה .S
תרגיל (*) 1.1.28אם בחבורה למחצה יש אפס מימין ואפס משמאל ,אז הם שווים .מכאן שאם יש איבר
אפס ,אז הוא יחיד) .השווה לתרגיל (.1.1.13
תרגיל (**) 1.1.29תן דוגמה לחבורה למחצה שיש בה איבר אפס ,ולחבורה למחצה בלי איבר כזה.
תרגיל (**) 1.1.30איזומורפיזם של חבורות למחצה מעביר יחידה משמאל ליחידה משמאל ,יחידה
ליחידה ,אידמפוטנט לאידמפוטנט ואפסים לאפסים.
x+y
) x ⋆ y = 1+xyזוהי הנוסחה היחסותית לחיבור מהירויות ,ביחידות של מהירות
תרגיל (+**) 1.1.31נסמן
האור( .הראה שהקטע ] [0, 1הוא מונויד ביחס לפעולה ⋆ ,ובו 0הוא איבר יחידה ,ו־ 1הוא איבר אפס .תן
נוסחה מפורשת למכפלה n) x ⋆ · · · ⋆ xפעמים( .הראה ש־)⋆ ([0, 1],איזומורפי ל־) .([0, ∞], +הדרכה.
קח ] f : [0, ∞]→[0, 1לפי
et −e−t
et +e−t
= ).f (t
תרגיל (***) 1.1.32יהי −1 < λמספר ממשי .נגדיר
xy+λ
x+y+2
= .x ◦ y
.1הוכח שהקטע )∞ I = (−1,הוא חבורה למחצה ביחס לפעולה ◦.
.2נניח ש־ e2 + 2e = λעבור ) e ∈ Iבדוק ש־ eיחיד( .הוכח ש־ eאיבר אפס של הפעולה.
.3נרחיב את ◦ לקטע המוכלל ]∞ [−1,על־ידי מעבר לגבול:
x ◦ a,
;a ◦ ∞ = ∞ ◦ a = lim x ◦ a
∞→x
lim
x→(−1)+
= a ◦ (−1) = (−1) ◦ a
וכן הלאה עבור ) (−1) ◦ ∞ = ∞ ◦ (−1) ,(−1) ◦ (−1ו־∞ ◦ ∞ .בדוק ש־∞ = ),(−1) ◦ (−1
וש־∞ הוא איבר יחידה בקטע החדש.
.4נסמן .a∗ = (−1) ◦ aבדוק ש־ a∗∗ = aוש־.a∗ ◦ b∗ = a ◦ b
.5הראה ש־ eתמיד בין aל־ ∗.a
.6הוכח שלמשוואה a ◦ x = bקיים פתרון אם ורק אם bבין aל־ ∗.a
.7הוכח שלכל .limn→∞ an = e ,a ∈ Iרמז .פרק לגורמים את .a ◦ b − e
)ראה גם תרגיל (.1.4.3
9
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
.1.2מונוידים
תרגיל (+**) 1.1.33במשחק קומבינטורי לשני משתתפים עם מידע מלא ,כל שחקן מבצע מהלך בתורו,
עד שאחד השחקנים נותר ללא מהלך חוקי והוא מוכרז כמפסיד .המשחק סופי אם כל סדרת מהלכים
מוכרחה להסתיים בהפסד של אחד השחקנים .נניח שהמשחק סופי .מצב מפסיד הוא מצב שבו השחקן
אינו יכול לנוע ,או שכל מהלך מוביל למצב זוכה; ומצב זוכה הוא מצב שבו קיים מהלך המוביל למצב
מפסיד.
.1הוכח שהמושגים 'מפסיד' ו'זוכה' מוגדרים היטב ,באינדוקציה )למרות שההגדרה נדמית מעגלית(,
ושכל משחק סופי הוא או מפסיד או זוכה.
.2הסכום α + βשל שני משחקים α, βהוא המשחק שמהלך חוקי שלו מחזיר את α + β ′כאשר β ′
מתקבל ממהלך חוקי ב־ ,βאו את α′ + βכאשר α′מתקבל במהלך חוקי מ־.α
הראה שאם α, βשניהם זוכים או שניהם מפסידים ,אז α + βזוכה; ואם αזוכה ו־ βמפסיד או
להיפך ,אז α + βמפסיד.
.3נסמן ב־} s(α) ∈ {W, Lאת סוג המשחק ,αזוכה ) (Wאו מפסיד ) .(Lהצע פעולה +על הקבוצה
} {L, Wכך ש־).s(α + β) = s(α) + s(β
.4פקודות מטכ"ל אוסרות על חיילים לנוע ביחידות .לקצינים מותר לפצל קבוצת חיילים רק בתנאי
ששני החלקים מצייתים לפקודה .שני קצינים משחקים בפיצול חוזר של פלוגת חיילים :הראשון
שאינו יכול לפצל ,מפסיד .הראה שאם בפלוגה יותר משבעה חיילים ,הקצין הראשון יכול לנצח.
1.2
מונוידים
הגדרה 1.2.1חבורה למחצה Mשיש בה איבר יחידה נקראת מונויד.
במלים אחרות ,מונויד הוא מערכת הכוללת קבוצה ,פעולה אסוציאטיבית ,ואיבר יחידה .כשמדובר במונויד
אבסטרקטי ,מקובל להקצות את הסימון 1לאיבר היחידה )יש ספרים המעדיפים את הסימון eלמטרה זו,
כדי להתאים למקרים שבהם איבר היחידה כבר זכה לסימון משלו( .כדי להדגיש את הנחיצות של המרכיבים
השונים ,מציגים את המונויד לפעמים גם כשלשה סדורה .(M, ·, 1) ,כשאיבר היחידה ידוע אפשר להשמיט
אותו מהסימון.
תרגיל (**) 1.2.2תהי Aקבוצה .הוכח ש־} M = AA = {f : A → Aעם פעולת ההרכבה הוא מונויד.
תרגיל (**) 1.2.3יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .Fהוכח שאוסף ההעתקות הלינאריות = ) HomF (V
} ,{T : V → Vעם פעולת ההרכבה ,הוא מונויד.
תרגיל (+*) 1.2.4כתוב את לוחות הכפל של כל שבעת המונוידים בעלי 3אברים) .המיון הוא עד־כדי
איזומורפיזם ,כמובן(.
∼ Sחבורות למחצה איזומורפיות ,ו־ Sהיא מונויד ,אז גם S ′הוא מונויד )ראה
תרגיל (**) 1.2.5אם = S ′
תרגיל .(1.1.30
תרגיל (*) 1.2.6קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא חבורה למחצה והאם היא מונויד.
R>0 = {x : x > 0} .1עם פעולת הכפל.
.2אוסף המטריצות ) Mn (Fעם פעולת הכפל.
Z .3עם פעולת החיסור.
.4אוסף המספרים הרציונליים עם הכפל הרגיל.
תרגיל (+*) 1.2.7קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא מונויד .הפעולה היא בכל מקרה
כפל נקודתי.(f ∗ g)(t) = f (t) · g(t) ,
.1אוסף הפונקציות הרציפות .[0, 1] → R
.2אוסף הפונקציות הרציפות שאינן מתאפסות זהותית בקטע ].[0, 1
10
.1.2מונוידים
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
.3אוסף הפוקנציות הרציפות שאינן מתאפסות זהותית באף תת־קטע פתוח של ].[0, 1
תרגיל (**) 1.2.8השלם את לוח הכפל של מונויד } M = {1, a, b, cשבו 1איבר יחידהbc = a ,ab = c ,
ו־.ca = b
תרגיל (**) 1.2.9הראה שכל חבורה למחצה Sאפשר להרחיב למונויד } ,S ′ = S ∪ {eאם נגדיר את e
להיות איבר היחידה במבנה החדש.
תרגיל (**) 1.2.10תאר את המונויד המתקבל לאחר חזרה nפעמים על הבניה של תרגיל ,1.2.9
כשמתחילים ממונויד האפס }.M = {0
M .1מונויד .נקבע ,z ̸∈ Mונרחיב את הפעולה לפי .zm = mz = zהוכח
תרגיל (**) 1.2.11
ש־} M ∪ {zמונויד ,שבו zהוא איבר האפס.
.2נניח ש־} .M = {0תאר את המונויד המתקבל אחרי nהפעלות של התהליך הזה .הראה שהוא
איזומורפי למונויד של תרגיל .1.2.10
תרגיל (**) 1.2.12נאמר שפולינום ) f (xממעלה nהוא פולינדרום אם ) ) f (x) = xn f (x−1בדוק
שהגדרה זו שקולה לכך שהפולינום הוא מהצורה .(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a2 xn−2 + a1 xn−1 + a0 xn
הראה שאוסף הפולינומים הפולינדרומיים הוא מונויד ביחס לכפל .הוכח שכל פולינום פולינדרומי הוא
מהצורה ) xm g(x + x−1כאשר gפולינום ממעלה .m
1.2.1
אברים הפיכים מימין ומשמאל
כמו במקרה של חבורות למחצה ,איברים מיוחדים הם הצעד הראשון לפענוח המבנה של מונוידים.
הגדרה 1.2.13יהי Mמונויד.
איבר a ∈ Mהוא הפיך מימין אם קיים b ∈ Mכך ש־ ,ab = 1והפיך משמאל אם קיים b ∈ Mכך ש־.ba = 1
האיבר aהוא הפיך אם קיים b ∈ Mכך ש־.ab = ba = 1
תרגיל (+*) 1.2.14אם aהפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך .מה יש כאן להוכיח?
תרגיל (**) 1.2.15אם aהפיך אז האיבר bהמקיים ab = 1הוא יחיד; מסמנים אותו בסימון .a−1
תרגיל (**) 1.2.16הראה שאם aהפיך אז a−1הפיך ו־.(a−1 )−1 = a
תרגיל (**) 1.2.17אם a, bהפיכים אז abהפיך ו־ .(ab)−1 = b−1 a−1
תרגיל (**) 1.2.18אם aהפיך אז לכל .(an )−1 = (a−1 )n ,n > 0
תרגיל (+**) 1.2.19הוכח את כללי החזקות ,(an )m = anm ,an+m = an amלכל .n, m ∈ Z
הדרכה .ראשית
הוכח את הטענות באינדוקציה כפולה עבור n, m ∈ Nואז הוכח לערכים שלמים כלשהם בעזרת תרגיל .1.2.18
תרגיל (**) 1.2.20אם abaהפיך אז גם a, bהפיכים.
תרגיל (**) 1.2.21קבע אילו אברים של המונויד AAמתרגיל 1.2.2הם הפיכים מימין או משמאל .חזור
על השאלה עבור המונויד ) HomF (Vמתרגיל .1.2.3
תרגיל (**) 1.2.22נתבונן בקבוצה X = NNשל פונקציות .N→Nנסמן ב־ u, dאת הפונקציות = )u(n
) d(n) = max {n − 1, 0} ,n + 1הפונקציה n 7→ n − 1אינה מוגדרת( .חשב את ההרכבות duו־.ud
הסק ש־ dהפיך מימין ו־ uהפיך משמאל ,אבל שניהם לא הפיכים.
תרגיל (**) 1.2.23יהי Fשדה ו־ V = F ℵ0מרחב הסדרות מעל .Fנתבונן בהעתקות →U : (x1 , x2 , . . . ) 7
) D : (x1 , x2 , . . . ) 7→ (x2 , x3 , . . . ) ,(0, x1 , x2 , . . .השייכות ל־) .HomF (Vחשב את U Dואת DU
במונויד ) .HomF (Vהסק ש־ Dהפיך מימין ו־ Uהפיך משמאל ,אבל שניהם לא הפיכים.
תרגיל (**) 1.2.24אם במונויד מתקיים aba = aו־ ,ab2 a = 1אז .a = b−1
תרגיל M (**) 1.2.25מונויד סופי ,ו־ a ∈ Mהפיך מימין .הוכח ש־ aהפיך.
תרגיל (**) 1.2.26יהי )• (M,מונויד ,ויהי .a ∈ Mנגדיר .x ∗ y = x • a • yהוכח ש־)∗ (M,חבורה
למחצה .מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך ש־)∗ (M,מונויד .הראה שאם )∗ (M,מונויד ,אז הוא איזומורפי
ל־)• .(M,
תרגיל (**) 1.2.27הראה שאוסף הפולינומים )מעל שדה נתון( הוא מונויד ביחס להרכבה .מהם האברים
ההפיכים מימין? ומשמאל?
11
.1.3חבורות
1.3
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
חבורות
הגדרה 1.3.1מונויד שבו כל האברים הפיכים נקרא חבורה.
במלים אחרות ,חבורה היא קבוצה Gעם פעולה אסוציאטיבית ,איבר יחידה ,1ולכל xקיים yכך
ש־ .xy = yx = 1כמו במונוידים ,אומרים לפעמים ש־) (G, ·, 1Gהיא חבורה.
תרגיל (-***) 1.3.2נניח שבחבורה למחצה Sיש יחידה משמאל ,eוהופכי משמאל לכל איבר )כלומר
′
′
′
לכל aיש aכך ש־ ;a a = eלא ידוע ש־ aהנ"ל הוא יחיד( .אז Sחבורה .הדרכה .מכיוון ש־= ) (aa′ )(aa′
,a(a′ a)a′ = aea′ = aa′קיבלנו .aa′ = e(aa′ ) = (aa′ )′ (aa′ )(aa′ ) = (aa′ )′ (aa′ ) = eלכן גם ,ae = aa′ a = ea = aומכאן ש־e
יחידה מימין ו־ a′ההפכי של .a
}
תרגיל (*) 1.3.3באוסף המטריצות
)
: a, b ∈ F
a b
0 0
({
יש יחידה משמאל ,וכל האברים הפיכים מימין,
אבל זו לא חבורה.
תרגיל (***) 1.3.4אם בחבורה למחצה Sיש פתרון לכל משוואה מהצורה ax = bאו ,xa = bאז
זו חבורה .הדרכה .יהי .a ∈ Sלפי ההנחה יש ) e ∈ Sהתלוי ב־ (aכך ש־ .ae = aלכל c ∈ Sקיים xכך ש־ ,c = xaואז
;ce = xae = xa = cמכאן ש־ eיחידה מימין .באותו אופן יש יחידה משמאל ,ונותר לבחור .b = e
הגדרה 1.3.5אומרים שבחבורה למחצה Sיש צמצום משמאל אם לכל ,ax = ay =⇒ x = y ,a, x, y ∈ Sוצמצום
מימין אם .xa = ya =⇒ x = y
תרגיל (+*) 1.3.6כל מונויד המוכל בחבורה )עם אותה פעולה( הוא בעל צמצום מימין ומשמאל.
תרגיל (***) 1.3.7חבורה למחצה סופית Sעם צמצום מימין ומשמאל היא מונויד.
הדרכה .נבחר .a ∈ Sעל־ידי
צמצום משמאל ,הפונקציה ℓa : x 7→ axחד־חד־ערכית ,ומכיוון ש־ Sסופית ℓaגם על ,ולכן יש e ∈ Sכך ש־) ae = aאולי eתלוי ב־ .(aלכל
,aex = ax ,x ∈ Sועל־ידי צמצום משמאל נובע ,ex = xכלומר eיחידה משמאל .בפרט ,ee = eולכל x ∈ Sמתקיים .xee = xeעל־ידי
צמצום מימין מתקבל ,xe = eכלומר eאיבר יחידה.
תרגיל S (**) 1.3.8חבורה למחצה סופית ,ו־ Sa = aS = Sלכל .a ∈ Sהוכח ש־ Sמונויד.
זה המשפט המרכזי על
מונוידים.
משפט 1.3.9מונויד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
תרגיל (+**) 1.3.10הוכח את משפט .1.3.9
הדרכה .יהי ) (M, 1מונויד סופי עם צמצום משמאל .לכל ,a ∈ Mהפונקציה
ℓa : x 7→ axחד־חד־ערכית ולכן על; לכן קיים a′כך ש־ ,aa′ = 1כלומר aהפיך מימין .סיימנו לפי תרגיל ,1.2.25או בעזרת העובדה שגם a′
הפיך מימין.
תרגיל (+**) 1.3.11תן דוגמה למונויד )אינסופי( עם צמצום משמאל שאינו חבורה.
תרגיל (**) 1.3.12הוכח שהמערכות הבאות הן חבורות:
({
)
}
x
y
,עם כפל המטריצות הרגיל.
−y x : x, y ∈ R, (x, y) ̸= (0, 0) .1
a+b
R∗ = R∪{∞} .2עם הפעולה
a∗b = 1−abאם ∞ ≠ a, bו־∞∗a = a∗∞ = − a1 ;a∗ a1 = ∞ ;ab ̸= 1
ל־.∞ ∗ ∞ = 0 ;∞ ∗ 0 = 0 ∗ ∞ = ∞ ;a ̸= 0
תרגיל (**) 1.3.13תהי Gחבורה עם .a, b ∈ Gהוכח :למשוואה xax = bיש פתרון אם ורק אם abהוא
ריבוע ב־ .Gהדרכה .אם xax = bאז .(ax)2 = ab
תרגיל (***) 1.3.14תהי Gחבורה עם .a ∈ Gהוכח :למשוואה x2 ax = a−1יש פתרון אם ורק אם a
הוא חזקה שלישית ב־ .Gהדרכה .אם ax2 ax = 1אז ,x = (ax2 )2ומכאן x(ax2 ) = (ax2 )xו־.ax = xa
נסו להמציא דוגמאות
משלכם.
תרגיל (**) 1.3.15נתבונן בפונקציות הממשיות
ביחס להרכבת פונקציות.
√ x
1+ax2
→ .fa : x 7הוכח ש־} {fa : a ∈ Rהיא חבורה
תרגיל (**) 1.3.16כתוב את לוח הכפל של חבורה בגודל ,6שבה יש אברים σ, τהמקיימים ,στ ̸= τ σ
2
3
.τ = 1 ,σ = 1הדרכה .אברי החבורה הם ;1, σ, σ 2 , τ, στ, σ 2 τהוכח שכל אלה שונים זה מזה ,ומצא את ,τ σשמוכרח להיות איבר
באותה רשימה.
12
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
תרגיל (**) 1.3.17תהי )∗ (S,חבורה למחצה.
.a¯∗b = b ∗ a
.1.4תת־מבנים
מסמנים ב־ S opאת החבורה למחצה )∗¯ (S,כאשר
.1אם Mמונויד אז M opמונויד; אם Gחבורה אז Gopחבורה.
∼ .G
.2הראה שלכל חבורה = Gop ,G
∼ .S
.3תן דוגמה לחבורה למחצה Sכך ש־ ̸= S op
1.4תת־מבנים
המפתח לתורת המבנה של החבורות )וגם של מונוידים וחבורות למחצה ,שבקורס הזה משחקות תקפיד משנה
בלבד( הוא בקשרים בינן לבין תת־חבורות שלהן.
1.4.1
תת־חבורה למחצה
הגדרה 1.4.1תהי Sחבורה למחצה .תת־קבוצה S ′ ⊆ Sנקראת תת־חבורה־למחצה אם היא תת־חבורה למחצה ביחס לפעולה
המושרית מ־.S
הפעולה המושרית היא הפעולה של ,Sכשמיישמים אותה לאברי S ′בלבד .פעולה בינארית היא פונקציה
,S × S→Sכלומר ,פורמלית ,האוסף }) {(a, b, a ∗ bשל שלשות סדורות ב־ .S × S × Sהפעולה המושרית
היא החיתוך של הפעולה עם .S ′ × S ′ × S ′אם ,a ∗ b ̸∈ S ′הפעולה החדשה אינה מוגדרת היטב ,משום שאין
בה שלשה מהצורה ).(a, b, x
תרגיל (*) 1.4.2תת־קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה Sהיא תת־חבורה למחצה אם ורק אם היא
סגורה לכפל.
תרגיל (-***) 1.4.3בתרגיל ,1.1.32מצא את כל תת־החבורות־למחצה מהצורה ) [a, b) ,(a, b] ,(a, bאו
] [a, bשל ]∞ .[−1,הערה .אלו הן תת־החבורות הקשירות .התוכל למצוא תת־חבורה שאינה קשירה?
תרגיל (**) 1.4.4תהי Sחבורה למחצה .אם e ∈ Sאידמפוטנט ,אז } eSe = {exe : x ∈ Sתת־חבורה־
למחצה שהיא מונויד ,עם איבר היחידה ) eמדוע (?e ∈ eSe
1.4.2
תת־מונויד
הגדרה 1.4.5יהי Mמונויד עם יחידה .1Mתת־קבוצה M ′ ⊆ Mהיא תת־מונויד אם היא סגורה לכפל ו־ .1M ∈ M ′
אם M ′ ⊆ Mהוא תת־מונויד מקובל לסמן .M ′ ≤ M
תרגיל (+*) 1.4.6יהי Vמרחב וקטורי .אז ) HomF (Vהוא תת־מונויד של V Vביחס לפעולת ההרכבה.
תרגיל (**) 1.4.7תהי Iקבוצה של אינדקסים ,ויהיו (i ∈ I) Mi ≤ Mתת־מונוידים .הוכח ש־ Mi
תת־מונויד .מדובר בחיתוך כלשהו ,לאו דווקא סופי או בן־מניה.
∩
הגדרה 1.4.8קבוצה סדורה חלקית Iנקראת קבוצה מכוונת אם לכל i, j ∈ Iיש k ∈ Iכך ש־.k > i, j
∪ מונוידים {Mi }i∈Iנקראת רשת עולה אם לכל
תרגיל (**) 1.4.9תהי Iקבוצה מכוונת .מערכת של
i < jמתקיים .Mi ⊆ Mjהוכח שבמקרה זה Miהוא מונויד) .מדוע נדרשנו להניח ש־ Iמכוונת?
ומדוע נדרשת ההנחה שזו רשת עולה?(
∪
בפרט :אם · · · ⊆ M1 ⊆ M2מונוידים ,גם איחוד השרשרת Miהוא מונויד.
13
.1.4תת־מבנים
1.4.3
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
תת־חבורה
הגדרה 1.4.10תהי Gחבורה .תת־קבוצה H ⊆ Gהיא תת־חבורה אם היא מהווה חבורה ביחס לפעולה המושרית מ־.G
גם כאן ,הסימון H ≤ Gמיוחד לתת־חבורות.
תרגיל (**) 1.4.11תת־קבוצה לא ריקה Hשל חבורה Gהיא תת־חבורה אם ורק אם היא כוללת את
איבר היחידה ,סגורה לכפל ,וסגורה להיפוך )כלומר לכל x ∈ Hמתקיים (.x−1 ∈ H
תרגיל (**) 1.4.12תהי Hתת־קבוצה לא ריקה של חבורה .Gאם לכל x, y ∈ Hמתקיים ,xy −1 ∈ H
אז .H ≤ G
תרגיל (**) 1.4.13אם Gחבורה סופית ו־ ∅ ̸= H ⊆ Gסגורה לכפל ,אז Hתת־חבורה.
הדרכה .משפט .1.3.9
תרגיל (*) 1.4.14בכל חבורה ,Gהקבוצה } {1Gהיא תת־חבורה ,הנקראת תת־החבורה הטריוויאלית.
בדרך כלל נשמיט את סימון הקבוצה ,ונדבר על תת־החבורה .1
תרגיל (*) 1.4.15אם N ≤ Hו־ ,H ≤ Gאז .N ≤ G
תרגיל (*) 1.4.16תהיינה G2 ,G1 ,Hתת־חבורות של .Gאם H ⊆ G1 ∪ G2אז H ⊆ G1או .H ⊆ G2
)ראה גם תרגיל (.1.5.5
הגדרה 1.4.17יהי Mמונויד .מסמנים ב־) U (Mאת קבוצת האברים ההפיכים ב־ .M
תרגיל (*) 1.4.18לכל מונויד U (M ) ,Mהיא חבורה) .איננו קוראים ל־) '' U (Mתת־חבורה'' של ,M
משום ש־ Mאינה חבורה (.הדרכה .תרגיל .1.2.17
תרגיל (*) 1.4.19אם Gחבורה אז .U (G) = G
תרגיל (**) 1.4.20
לתרגיל .(1.4.7
.1החיתוך של משפחה כלשהי של תת־חבורות הוא תת־חבורה )השווה
.2האיחוד על־פני רשת עולה של תת־חבורות )ראה תרגיל (1.4.9הוא חבורה.
.3האיחוד של שרשרת עולה של חבורות הוא חבורה.
הגדרה 1.4.21תהי Sקבוצה של אברים בחבורה .Gמסמנים ב־⟩ ⟨Sאת חיתוך כל תת־החבורות של Gהמכילות את .S
זוהי תת־חבורה לפי תרגיל .1.4.20לפי ההגדרה ⟨S⟩ ,היא תת־החבורה הקטנה ביותר של Gהמכילה
את .Sקוראים לה תת־החבורה הנוצרת על־ידי .Sאם ⟩ ,G = ⟨Sאומרים ש־ Sיוצרת את .Gאת אותה
חבורה אפשר ליצור על־ידי קבוצות רבות .אין משמעות לביטוי ''הקבוצה היוצרת'' ,או ''האיבר
היוצר'' ,בהא הידיעה.
תרגיל (**) 1.4.22לכל חבורה Gואיבר ,x ∈ Gהאברים של תת־החבורה ⟩ ⟨xהם החזקות של .x
הגדרה 1.4.23חבורה נוצרת סופית היא חבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית.
תרגיל (**) 1.4.24תהי Gחבורה ,ויהיו .x1 , . . . , xn ∈ Gתת־החבורה ⟩ ⟨x1 , . . . , xnשווה לקבוצת כל
m
xϵi11 · · · xϵimכאשר ,ij ∈ {1, . . . , n} ,m ∈ Nו־}) .ϵj ∈ {±1בהחלט יתכן שאפשר
האברים מהצורה
להציג את אותו איבר בדרכים שונות(.
תרגיל (+**) 1.4.25תן דוגמה לחבורה שאינה נוצרת סופית.
14
הדרכה .אם אינך רואה דוגמא בשלב זה ,העזר בתרגיל .1.5.15
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
1.5
.1.5מכפלה ישרה חיצונית
מכפלה ישרה חיצונית
כהכנה לפרק הבא ,שבו נפגוש כמה דוגמאות סטנדרטיות לחבורות ,נציג כאן בניה פשוטה היוצרת חבורה
חדשה מחבורות נתונות.
הגדרה 1.5.1תהיינה G1 , G2חבורות .המכפלה הישרה החיצונית שלהן היא המכפלה הקרטזית G1 × G2עם הפעולה לפי
רכיבים ,כלומר ) .(g1 , g2 )(g1′ , g2′ ) = (g1 g1′ , g2 g2′
תרגיל (*) 1.5.2תהיינה G1 , G2חבורות .המכפלה G1 × G2היא חבורה ,עם איבר היחידה ) ,(1G1 , 1G2
ונוסחת ההיפוך ) .(x, y)−1 = (x−1 , y −1
תרגיל (*) 1.5.3ה"קומוטטיביות" וה"אסוציאטיביות" של מכפלה ישרה חיצונית:
G, H, Kמתקיים:
לכל שלוש חבורות
∼ .G × H
= H × G .1
∼ .(G × H) × K
= G × (H × K) .2
תרגיל (**) 1.5.4
.G × H
.1אם Nתת־חבורה של ,Gו־ Mתת־חבורה של ,Hאז N × Mתת־חבורה של
.2תן דוגמה לחבורה G × Hעם תת־חבורה שאינה מתקבלת בצורה זו.
תרגיל (***) 1.5.5בהמשך לתרגיל ,1.4.16מצא דוגמה לתת־חבורות H ⊆ G1 ∪ G2 ∪ G3כך ש־H
אינה מוכלת בשום איחוד .Gi ∪ Gjהדרכה .קח ,G = Z2 × Z2 × Z2כאשר } Z2 = {0, 1עם פעולת החיבור מודולו .2
תרגיל G × {1} (**) 1.5.6ו־ {1} × Hהן תת־חבורות של .G × Hהמכפלה G × Hנוצרת על־ידי
האיחוד שלהן )אבל אינה שווה לו(.
תרגיל (**) 1.5.7הגדר את המכפלה הישרה של שתי חבורות למחצה ,והראה שהיא חבורה למחצה.
כך גם עבור מונוידים.
תרגיל (-**) 1.5.8יהיו M1 , M2מונוידים.
הגדרה .(1.4.17
הראה ש־) ) U (M1 × M2 ) = U (M1 ) × U (M2ראה
הגדרנו לעיל מכפלה ישרה של שתי חבורות ,ומכאן באינדוקציה מכפלה ישרה של מספר סופי כלשהו.
אפשר להכליל את אותה הגדרה למכפלה של משפחה כללית:
מתאימה חבורה .Gλפונקציית בחירה היא פונקציה f : Λ→ ∪ Gλ
הגדרה 1.5.9תהי Λקבוצת אינדקסים כך שלכל λ ∈ Λ
∏
כך שלכל .f (λ) ∈ Gλ ,λ ∈ Λהמכפלה הישרה λ∈Λ Gλמוגדרת כאוסף פונקציות הבחירה ,עם הפעולה = )(f g)(λ
).f (λ)g(λ
תרגיל (**) 1.5.10המכפלה הישרה של חבורות היא חבורה.
תרגיל (+**) 1.5.11אקסיומת הבחירה היא האקסיומה הקובעת שהמכפלה הישרה של משפחת קבוצות
כלשהי אינה ריקה .הסבר מדוע אין צורך באקסיומת הבחירה כדי להוכיח שהמכפלה הישרה של
משפחת חבורות כלשהי אינה ריקה.
תרגיל (**) 1.5.12אם } ,Λ = {1, 2הגדרה 1.5.9חוזרת על הגדרה .1.5.1
הגדרה 1.5.13תהי Λקבוצת אינדקסים כך שלכל λ ∈ Λמתאימה חבורה .Gλהסכום הישר Gλ
פונקציות הבחירה fשעבורן } {λ : f (λ) ̸= 1Gλסופית ,עם אותה פעולה כמו במכפלה הישרה.
תרגיל Gλ (**) 1.5.14
⊕
λ∈Λ
היא תת־חבורה של Gλ
∏
λ∈Λ
λ∈Λ
,והחבורות מתלכדות אם Λסופית.
∏
⊕
תרגיל (**) 1.5.15חשב את העוצמה של שתי החבורות n∈Z Zו־. n∈Z Z
15
⊕
מוגדר כאוסף
פרק .1חבורות למחצה ,מונוידים וחבורות
.1.6הומומורפיזמים
1.6הומומורפיזמים
הגדרה 1.6.1תהיינה A, Bחבורות למחצה .העתקה φ : A → Bהמקיימת את התנאי ) φ(xy) = φ(x)φ(yלכל
x, y ∈ Aנקראת הומומורפיזם של חבורות למחצה .אם A, Bמונוידים ובנוסף מתקיים φ(1A ) = 1Bאז φהומומורפיזם
של מונוידים.
תרגיל (*) 1.6.2יהיו M, N, Kמונוידים .אם ,φ1 : M → Nו־ φ2 : N → Kהומומורפיזמים של מונוידים,
אז ההרכבה φ2 ◦ φ1 : M → Kהיא הומומורפיזם )של מונוידים(.
תרגיל (**) 1.6.3מצא מונוידים M, Nוהומומורפיזם של חבורות למחצה ,φ : M → Nשאינו הומומורפיזם
של מונוידים )כלומר φ ,שומר על כפל אבל לא על איבר היחידה( .הצעה .קח M = N = Z × Zעם
).φ(x, y) = (x, 0
תרגיל (*) 1.6.4יהיו M, Nמונוידים ,ו־ φ : M → Nהומומורפיזם של חבורות למחצה .אם φעל ,אז φ
הומומורפיזם של מונוידים.
תרגיל (**) 1.6.5אם A, Bחבורות ו־ φ : A→Bהומומורפיזם של חבורות למחצה ,אז φ(1A ) = 1B
ו־ φ(a−1 ) = φ(a)−1לכל .a ∈ A
הגדרה 1.6.6תהיינה G, Hחבורות .כל פונקציה שומרת כפל φ : G→Hנקראת הומומורפיזם של חבורות ,או סתם
הומומורפיזם.
לאור תרגיל ,1.6.5כל הומומורפיזם של חבורות שומר על איברי היחידה ועל פעולת ההפכי.
הגדרה 1.6.7יהי φ : G → Hהומומורפיזם של חבורות .הקבוצה } Im(φ) = {φ(x) : x ∈ Gהיא התמונה של .φ
הקבוצה } Ker(φ) = {x ∈ G : φ(x) = 1היא הגרעין של .φ
)להומומורפיזם בין מונוידים מגדירים ,Ker(φ) = {(x, y) : φ(x) = φ(y)} ⊆ M × Mולא
} .{x : φ(x) = 1Mקבוצה זו של זוגות סדורים היא יחס שקילות על ,Mהנשמר תחת פעולת הכפל.
יחס כזה נקרא קונגרואנציה ,והוא התחליף של חבורות למחצה למושג החשוב של תת־חבורה נורמלית ,שנלמד
בהמשך .לא נזדקק להגדרה זו בהמשך הקורס(.
תרגיל (*) 1.6.8הוכח Im(φ) :הוא תת־חבורה של .H
תרגיל (**) 1.6.9הוכח K = Ker(φ) :הוא תת־חבורה של .G
תרגיל φ : G→H (+**) 1.6.10חד־חד־ערכית אם ורק אם .Ker(φ) = 1
תרגיל (**) 1.6.11יהי φ : G1 →G2הומומורפיזם של חבורות .הראה שלכל תת־חבורה ,H ≤ G1
} φ(H) = {φ(x) : x ∈ Hהיא תת־חבורה של ) .G2היינו ,התמונה של תת־חבורה היא תת־חבורה(.
תרגיל (**) 1.6.12תהי Gחבורה הנוצרת על־ידי קבוצה .Sאם φ, φ′ : G→Hמסכימים על אברי ,Sאז
הם שווים.
הגדרה 1.6.13הומומורפיזם שהוא חד־חד־ערכי נקרא מונומורפיזם או שיכון .הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם.
כבר ראינו שהומומורפיזם חד־חד־ערכי ועל נקרא איזומורפיזם.
תרגיל (***) 1.6.14עבור פונקציה ,f : N→Qנסמן
1
|{(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ n, f (i) + f (j) = f (i + j)}|.
n2
H(f ) = lim inf
∞→n
)זו המידה שבה fשומרת חיבור( .מצא פונקציה חד־חד־ערכית ועל fשעבורה .H(f ) = 1
16
פרק 2
דוגמאות לחבורות
בפרק הזה נכיר את הדוגמאות הבסיסיות לחבורות .המחלקה הראשונה היא של חבורות אבליות ,שהן החבורות
המקיימות את החוק .ab = baהדוגמא הפשוטה ביותר לחבורה אבלית )ולחבורה בכלל( היא חבורה ציקלית,
שהיא חבורה שכל אבריה הם חזקות של איבר קבוע.
כדי להבין את החבורות הציקליות על בוריין ,נלמד מבוא מזורז לתורת המספרים ,המפתח בעזרת רעיון
החליוק עם שארית של אוקלידס את מושג המחלק המשותף המקסימלי .מכאן נובע בקלות יחסית המשפט
היסודי של האריתמטיקה ,על פירוק יחיד לגורמים .הרעיונות מתורת המספרים מאפשרים להציג משפחה
נוספת של חבורות אבליות :חבורות אוילר ,המאפשרות )כפי שנראה בפרק הבא( להסיק ממשפטים בתורת
המספרים את המשפטים הקלאסיים של פרמה ואוילר .נוכיח גם את התכונה העיקרית של חבורות ציקליות
)משפט :(2.3.12כל תת־חבורה של חבורה ציקלית היא בעצמה ציקלית .את רשימת החבורות האבליות בפרק
הזה משלימות החבורות המופיעות באופן טבעי בשדה ,שהן חבורות אבליות אינסופיות.
בסעיפים האחרונים מוצגות החבורות הסימטריות ,שהן אולי הדוגמא החשובה ביותר לחבורה לא אבלית
סופית ,ואחריהן חבורות של מטריצות ,שהן דוגמא מרכזית לחבורות לא אבליות אינסופיות .הסעיף האחרון
מציג משפחה נוספת של חבורות לא אבליות סופיות :החבורות הדיהדרליות.
2.1
חבורות אבליות
אברים x, y ∈ Gמתחלפים זה עם זה ,אם מתקיים .xy = yx
תרגיל (*) 2.1.1יהי φ : G1 → G2הומומורפיזם.
מתחלפים ב־ .G2
הוכח :אם x, yמתחלפים ב־ ,G1אז )φ(x), φ(y
תרגיל (*) 2.1.2יהי φ : G1 → G2איזומורפיזם .הוכח x, y :מתחלפים ב־ ,G1אם ורק אם )φ(x), φ(y
מתחלפים ב־ .G2
הגדרה 2.1.3חבורה שבה כל שני אברים מתחלפים זה עם זה נקראת חבורה אבלית) .החבורות נקראות כך על־שם המתמטיקאי
הנורבגי (.Niels Henrik Abel
תרגיל (*) 2.1.4קבוצת המספרים השלמים ,Zביחס לפעולת החיבור ,היא חבורה אבלית.
תרגיל (*) 2.1.5המכפלה G1 × G2אבלית אם ורק אם שני המרכיבים G1 , G2אבליים.
המר ָכז של Gהוא תת־החבורה } Z(G) = {x ∈ G : (∀g)gx = xgהכוללת את האברים
ְ
הגדרה 2.1.6תהי Gחבורה.
המתחלפים עם כל איבר של .G
תרגיל Z(G) (*) 2.1.7היא תת־חבורה אבלית של ,Gהשווה לה אם ורק אם Gעצמה אבלית.
הגדרה 2.1.8יהי Fשדה; מסמנים } F × = F −{0עם פעולת הכפל.
תרגיל (+**) 2.1.9יהי Fשדה .אז ) (F, +, 0חבורה (F, ·, 1) ,מונויד ,ו־) (F × , ·, 1חבורה .למעשה ,קבוצה
) (F, +, ·, 0, 1היא שדה אם ורק אם ) (F, +, 0ו־) (F −{0}, ·, 1חבורות אבליות ,ומתקיימת אקסיומת
הדיסטריבוטיביות .(a + b)c = ab + ac
17
פרק .2דוגמאות לחבורות
.2.1חבורות אבליות
אומרים שאיבר xהוא בעל סדר 2אם x2 = 1אבל .x ̸= 1הכללה של מושג זה תשרת אותנו רבות
בהמשך; ראו הגדרה .2.3.16
תרגיל (**) 2.1.10בחבורה מתקיים x2 = 1לכל איבר .הוכח שהחבורה אבלית.
תרגיל (+**) 2.1.11תהי Aחבורה סופית שבה כל איבר מסדר .2הראה ש־ |A| = 2nעבור nמתאים.
הדרכה A .הוא מרחב וקטורי מעל .F2
תרגיל (-***) 2.1.12תהי } G = {a1 , . . . , anחבורה אבלית .נסמן ) .b = a1 a2 · · · anאיבר זה מוגדר
היטב משום שסדר הגורמים אינו חשוב(.
.1הוכח.b2 = 1 :
.2אם יש איבר יחיד מסדר ,2הוא שווה ל־.b
.3אם יש יותר מאיבר אחד מסדר ,2אז .b = 1
הדרכה .נסמן ב־ Aאת אוסף האיברים מסדר 2עם איבר היחידה; העזר
בתרגיל .2.1.11
תרגיל (**) 2.1.13נסמן ב־) m2 (Gאת מספר הפתרונות למשוואה x2 = 1בחבורה .G
.1הראה שבכל חבורה סופית .m2 (G) ≡ |G| (mod 2) ,G
הדרכה .נגדיר על Gיחס שקילות x ≡ y :אם x = y
או .xy = 1האברים שריבועם אינו 1שייכים למחלקות שקילות בגודל .2
.2בכל חבורה עם מספר זוגי של איברים יש איבר מסדר .2
תרגיל (**) 2.1.14תהי Gחבורה אבלית .הראה שאוסף האברים מסדר ,2עם איבר היחידה ,הוא
תת־חבורה .הסק מתרגילים 2.1.11ו־ 2.1.13שבחבורה אבלית שגודלה אי־זוגי אין אברים מסדר .2
תרגיל (**) 2.1.15תהי Gחבורה .הראה שאם gהוא מכפלה של שני אברים מסדר ,2אז גם g kכזה
לכל .k
תרגיל (***) 2.1.16נסמן ב־ Φnאת התכונה ) ∀x∀y : (xy)n = xn y nשיכולה להתקיים או לא להתקיים
בחבורה נתונה( .התכונה Φ1מתקיימת תמיד .הוכח:
.Φn ⇔ Φ1−n .1
.2החבורה אבלית אם ורק אם מתקיים .Φ2
.3אם Φnאז לכל x, yמתקיים .xn y n−1 = y n−1 xn
.4אם Φnאז לכל .xn(n−1) ∈ Z(G) ,x
.5אם Φn ∧ Φn+1אז לכל .xn ∈ Z(G) ,x
.6אם Φn ∧ Φn+1 ∧ Φn+2אז החבורה אבלית.
.7אם Φn ∧ Φn+1 ∧ Φn+m ∧ Φn+m+1עבור n, mזרים כלשהם ,אז החבורה אבלית.
)ראה גם תרגילים 3.3.23ו־(.8.4.59
תרגיל (***) 2.1.17בהמשך לתרגיל ,2.1.16נניח שבחבורה מתקיים x2 y = yx2לכל .x, yהוכח
שלכל nזוגי Φn ⇔ Φn+1 ,ו־ .Φn ⇔ Φn−4הסק שכל התכונות Φ4k , Φ4k+1מתקיימות ,וכל התכונות
Φ4k−1 , Φ4k−2שקולות לאבליות של החבורה .תן דוגמא לחבורה לא אבלית שבה .x2 y = yx2
תרגיל (**) 2.1.18תהי Gחבורה כלשהי .אם Aאבלית ,אז האוסף ) Hom(G, Aשל ההומומורפיזמים
,G→Aביחס לכפל לפי רכיבים ) ,(ϕ · ϕ′ )(g) = ϕ(g)ϕ′ (gהוא חבורה אבלית.
18
פרק .2דוגמאות לחבורות
2.2
.2.2מבוא לתורת המספרים
מבוא לתורת המספרים
בסעיף זה נאסוף כמה תכונות חיוניות של המספרים השלמים .לשם כך עלינו להכיר את קבוצת המספרים
השלמים ,Zעם פעולות החיבור והכפל ויחס הסדר ,עם האקסיומות הסטנדרטיות שאלה מקיימים ,ועם התכונה
הידועה כאקסיומת האינדוקציה :אם P ⊆ Zהיא קבוצה של מספרים טבעיים כך ש־ 0 ∈ Pולכל n > 0אם
n ∈ Pאז ,n + 1 ∈ Pאז כל מספר חיובי שייך ל־ .P
תרגיל (**) 2.2.1הוכח את אקסיומת האינדוקציה השלמה :אם P ⊆ Zהיא קבוצה של מספרים טבעיים
המקיימת את שתי התכונות ) (2) ;0 ∈ P (1לכל ,n > 0אם לכל 0 ≤ m < nמתקיים ,m ∈ Pאז
;n ∈ Pאז כל מספר חיובי שייך ל־ .P
2.2.1
יחס החילוק
הגדרה 2.2.2נגדיר יחס על קבוצת המספרים השלמים a") a | b :מחלק את ("bאם קיים ∈ cכך ש־.b = ac
ביחס לפעולת הכפל Z ,מהווה מונויד )אבל לא חבורה( .האברים ההפיכים של המונויד הזה הם = )U (Z
}.{±1
תרגיל a | b (*) 2.2.3אם ורק אם ) a | (−bאם ורק אם (−a) | bאם ורק אם ).(−a) | (−b
תרגיל (*) 2.2.4לכל 1 | n ,nו־ .n | 0מאידך ,המחלקים היחידים של 1הם ,±1והמספר היחיד המתחלק
ב־ 0הוא 0עצמו.
תרגיל (**) 2.2.5היחס 'מחלק' הוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי ,אבל לא אנטי־סימטרי.
2.2.2
המחלק המשותף המקסימלי
משפט ) 2.2.6האוקלידיות של (Zלכל n ∈ Zולכל d ̸= 0קיימים q, rכך ש־ n = qd + rו־|.0 ≤ r < |d
הדרכה.
אינדוקציה עבור ;n ≥ 0ואם n = qd + rאז ).−n = (−q − 1)d + (d − r
הגדרה 2.2.7המחלק המשותף המקסימלי של ,n, m ∈ Zכפי שמתבקש משמו ,הוא המספר = )(n, m
}.maxd∈Z {d : d | n, d | m
תרגיל (*) 2.2.8המחלק המשותף המקסימלי ) (±n, ±mאינו תלוי בסימנים.
תרגיל .(n, m) = (m, n) (*) 2.2.9
תרגיל (*) 2.2.10אם n = qm + rאז ).(n, m) = (m, r
אלגוריתם ) 2.2.11אלגוריתם אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי( יהיו .n, m ∈ Zאפשר להניח ש־≤ 0
.m < nאם m = 0אז .(n, m) = nאחרת אפשר לכתוב n = qm + rכאשר ,0 ≤ r < mואז
) ,(n, m) = (m, rשכבר חושב באינדוקציה.
לדוגמא.(1146, 486) = (486, 174) = (174, 138) = (138, 36) = (36, 30) = (30, 6) = (6, 0) = 6 ,
תרגיל (*) 2.2.12מצא את ) (5614, 1260ואת ).(7821, 6429
משפט 2.2.13לכל ,n, m ∈ Zקיימים α, β ∈ Zכך ש־).αn + βm = (n, m
תרגיל (***) 2.2.14הוכח את המשפט.
הדרכה .נסמן } .c = (a, b) ,d = min {αn + βm > 0מכיוון ש־ ,c | a, bברור ש־.c | d
כתוב ,a = qd + rוהראה ש־ ;r = 0לכן d | aובדומה ,d | bכך ש־.d ≤ c
תרגיל (***) 2.2.15נסח את אלגוריתם אוקלידס המוכלל לחישוב מחלק משותף מקסימלי עם מקדמים.
הדרכה .נסמן ) .d = (n, mאם n = qm+rו־) αm+βr = dאת המקדמים האלו אפשר לחשב לפי הנחת האינדוקציה( אז = βn+(α−βq)m
.d
דוגמא .(234, 61) = (61, 51) = (51, 10) = (10, 1) = (1, 0) = 1 2.2.16לצורך חישוב המקדמים ,נבחין
ש־ ;(1) · 1 + (0)0 = 1לכן ;(0) · 10 + (1) · 1 = 1לכן ;(1) · 51 − (5) · 10 = 1לכן ;(−5) · 61 + (6)51 = 1
ולבסוף .(6)234 + (−23) · 61 = 1
19
משפט יסודי ושימושי
המספרים
בתורת
האלמנטרית.
פרק .2דוגמאות לחבורות
.2.2מבוא לתורת המספרים
תרגיל (**) 2.2.17מצא α, β ∈ Zכך ש־.1525α + 927β = 1
הגדרה 2.2.18אומרים ש־ n, mזרים אם .(n, m) = 1
.( nd , m
תרגיל (**) 2.2.19יהיו ,n, m ∈ Zונסמן ) .d = (n, mאז d ) = 1
תרגיל (**) 2.2.20אם ,(m, k) = 1אז ).(n, mk) = (n, m) · (n, k
תרגיל (**) 2.2.21הוכח(n, mm′ ) | (n, m) · (n, m′ ) :
′
′
′
′
הדרכה .כתוב ) .an + bm = (n, m), a n + b m = (n, m
תרגיל (**) 2.2.22אם ,(n, m) = 1אז ).(n, mk) = (n, k
′
d
). (d,m
תרגיל (**) 2.2.23אם d | d′אז לכל | (d′d,m) ,m
הגדרה 2.2.24הכפולה המשותפת המינימלית של nו־ mהיא }.[n, m] = mins∈N {s : n | s, m | s
תרגיל (***) 2.2.25הוכח.(n, m)[n, m] = nm :
תרגיל Z (**) 2.2.26עם יחס החלוקה הוא סריג )ראה הגדרה ,(4.4.1שבו החסם העליון והתחתון הם
).n ∨ m = [n, m] ,n ∧ m = (n, m
תרגיל (N, | ) (**) 2.2.27סריג דיסטריבוטיבי ,כלומר .n ∧ (m ∨ k) = (n ∧ m) ∨ (n ∧ k) -
−1
(an − 1, aan −1מחלק את .mהסק שהמספרים
תרגיל (-***) 2.2.28הוכח שלכל a > 1ולכל ) ,n, m
n·a
−1
aan −1זרים.
an − 1ו־
nm
תרגיל (-***) 2.2.29יהיו n, mמספרים שלמים.
′
′
.1הוכח שקיימים a | a′ו־ b | b′כך ש־ m = a b ,n = ab′ו־.(a , b ) = 1
.2הראה שאם n ̸= mאז a, b, a′ , b′כנ"ל הם יחידים.
2.2.3
הדרכה.
′
n
n
חשב את ), m
).( (n,m
שקילות מודולו n
הגדרה 2.2.30יהי n ∈ Zקבוע .נגדיר יחס על המספרים השלמים a :שקול ל־ bמודולו ) nכותבים ) (a ≡ b (mod nאם
).n | (a − b
תרגיל (*) 2.2.31היחס "שקילות מודולו "nהוא יחס שקילות.
תרגיל (+**) 2.2.32נניח ) a ≡ a′ (mod nו־) .b ≡ b′ (mod nאז ) a + b ≡ a′ + b′ (mod nו־ ab ≡ a′ b′
) .(mod nבמלים אחרות ,פעולות החיבור והכפל של מחלקות שקילות מוגדרות היטב.
תרגיל (**) 2.2.33הוכח ש־+ 1
2.2.4
10
1010אינו ראשוני.
הדרכה .מצא מספר
10
n < 1010כך ש־)≡ −1 (mod n
10
.1010
פירוק לראשוניים
הגדרה 2.2.34מספר לא הפיך pהוא ראשוני אם בכל פירוק שלו ,p = xyאחד הגורמים הפיך.
תרגיל (**) 2.2.35כל מספר טבעי הוא מכפלה של ראשוניים.
הדרכה .תרגיל .2.2.1
תרגיל (*) 2.2.36מצא את הפירוק לראשוניים של המספרים הבאים.4096 ,8888 ,12960 ,5720 :
תרגיל (*) 2.2.37אם pראשוני ,אז לכל p | n ,nאו .(p, n) = 1
טענה 2.2.38אם aזר ל־ bו־ ,a | bcאז .a | c
תרגיל (**) 2.2.39הוכח את הטענה.
הדרכה .כתוב .αa + βb = 1
תרגיל (*) 2.2.40הראה שטענה 2.2.38אינה תקפה אם מוותרים על הדרישה ש־ a, bיהיו זרים.
תרגיל (**) 2.2.41אם pראשוני ו־ p | abאז p | aאו .p | b
הדרכה .אם p̸ | aאז (p, a) = 1לפי תרגיל ,2.2.37ואז p | bלפי
טענה .2.2.38
משפט 2.2.42הפירוק של מספר טבעי לגורמים ראשוניים הוא יחיד עד־כדי סדר.
הוכחה .נניח ש־ ,p1 · · · pt = p′1 · · · p′t′כאשר piו־ p′iכולם ראשוניים .לפי תרגיל pt | p′i 2.2.41לאיזשהו ;iלפי
ההגדרה ,p′i = ±ptואז אפשר לצמצם ולהמשיך באינדוקציה על .t
20
.2.2מבוא לתורת המספרים
פרק .2דוגמאות לחבורות
אינסוף ראשוניים
משפט ) 2.2.43משפט אוקלידס( יש אינסוף מספרים ראשוניים.
תרגיל (-***) 2.2.44הוכח את המשפט.
הדרכה .נניח שהראשוניים הם p1 , p2 , . . . , pnבלבד .התבונן ב־.P = p1 . . . pn + 1
תרגיל (**) 2.2.45הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה .4n + 1
תרגיל (***) 2.2.46הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה .4n − 1
תרגיל (**) 2.2.47הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה .6n − 1
2.2.5
משפט ההיפוך של מביוס
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הקונוולוציה של פונקציות f, g : N → Rמוגדרת כפונקציה ,f ∗ g : N → Rשערכיה הם = )(f ∗ g)(n
הגדרה 2.2.48
∑
) . n1 n2 =n f (n1 )g(n2
1 n=1
הגדרה 2.2.49הפונקציות δ1 , J : N→Rמוגדרות לפי
0 n>1
{
= ).J(n) = 1 ,δ1 (n
תרגיל (RN , ∗, δ1 ) (**) 2.2.50מונויד קומוטטיבי.
הגדרה 2.2.51פונקצית מביוס µ : N→Rמוגדרת לפי
n = p1 · · · ps
∃p : p2 | n
n=1
(−1)s
0
= )µ(n
1
תרגיל (*) 2.2.52חשב את ).µ(1), µ(2), . . . , µ(24
תרגיל µ(nm) = µ(n)µ(m) (**) 2.2.53לכל .(n, m) = 1
∑
תרגיל ) J ∗ µ = δ1 (**) 2.2.54כלומר לכל (. d | n µ(d) = 0 ,n > 1
משפט ) 2.2.55משפט ההיפוך של מביוס( נניח שפונקציה Fמוגדרת לפי )f (d
∑
).f (n) = d | n µ( nd )F (d
∑
d|n
= ) .F (nאז מתקיים
הוכחה .נתון ש־ ,F = J ∗ fולכן .µ ∗ F = µ ∗ (J ∗ f ) = (µ ∗ J) ∗ f = δ1 ∗ f = f
תרגיל (*) 2.2.56בדוק את הנוסחה ל־) f (nישירות עבור .n = 1, p, p2 , 6, 12
) nלמשל .(d(9) = |{1, 3, 9}| = 3הוכח:
תרגיל (**) 2.2.57נסמן ב־) d(nאת מספר המחלקים של∑
.d = J ∗ Jהסק d|n µ( nd )d(d) = (d ∗ µ)(n) = J(n) = 1 :לכל .nבדוק את הנוסחה עבור .n = 18
היזכר בפונקציות מהגדרה .2.2.49נוסיף להן :הפונקציה Id : N → Rמוגדרת לפי .Id(n) = n
תרגיל (**) 2.2.58משפחה של קבוצות } {Fmהיא בעלת התכונות הבאות:
) |Fm | = q m .1עבור קבוע .(q
.Fm ∩ Fm′ = F(m,m′ ) .2
כתוב את מספר האברים ב־ Fi
∪
i<n
.Fn −
21
.2.3חבורות ציקליות
2.3
פרק .2דוגמאות לחבורות
חבורות ציקליות
הגדרה 2.3.1חבורה הנוצרת על־ידי איבר בודד נקראת חבורה ציקלית .במלים אחרות ,חבורה ציקלית היא חבורה שיש בה
איבר x ∈ Gכך שכל האברים של Gהם חזקות )חיוביות או שליליות( של .x
תרגיל (*) 2.3.2כל חבורה ציקלית היא אבלית )תרגיל .(1.1.3
תרגיל (+**) 2.3.3החבורה Zהיא ציקלית אינסופית .כל איבר שלה ,פרט לאיבר היחידה ,יוצר תת־
חבורה איזומורפית.
הגדרה 2.3.4יהי .n ≥ 1נגדיר }] ,Zn = {[0], . . . , [n − 1אוסף מחלקות השקילות מודולו ,nעם פעולת החיבור )של
מחלקות(.[a] + [b] = [a + b] ,
כשמגדירים העתקה מקבוצה לקבוצה )ופעולה בינרית בכלל זה( ,עולה לפעמים צורך להוכיח שהפעולה
מוגדרת היטב .ישנם שני מצבים שכיחים .בראשון ,כדי להגדיר פונקציה ,f : A → Bמגדירים את ) f (αבאופן
מסויים ,וצריך לוודא שאכן .f (α) ∈ Bהמקרה השני הוא כאשר Aאוסף של מחלקות שקילות ,ובהגדרת )f (α
מבצעים בחירה )בדרך כלל של נציג מהמחלקה .(αלדוגמא ,בפעולת החיבור כתבנו ''],''[x] + [y] = [x + y
במקום ''תהיינה α, βמחלקות; נבחר נציגים x ∈ αו־ ;y ∈ βנגדיר ] .''α + β = [x + yאכן ,בתרגיל 2.2.32
בדקנו שבחירת כל שני נציגים x′ , y ′מאותן מחלקות תביא לאותה תוצאה ,ולכן פעולת החיבור בין מחלקות
)על־ידי חיבור נציגים( מוגדרת היטב.
להבא נשמיט את סימון הסוגריים מן המחלקות .כשנכתוב למשל ,3 ∈ Z7נתכוון למחלקה של כל המספרים
המשאירים שארית 3בחלוקה ל־ .7בחבורה זו.−4 = 3 = 10 ,
תרגיל (**) 2.3.5הראה ש־ ) Znהגדרה (2.3.4היא חבורה ,שאיבר היחידה שלה הוא )המחלקה של( ,0
וההפכי ניתן בה על־ידי הנוסחה ] .−[a] = [−aבדוק שהחבורה אבלית.
תרגיל Zn (**) 2.3.6נוצרת על־ידי המחלקה ,1ולכן היא חבורה ציקלית.
הסדר של חבורה הוא
הנתון הראשון בתעודת
הזהות שלה.
הגדרה 2.3.7מספר האברים בחבורה Gנקרא הסדר של החבורה; מסמנים אותו ב־|.|G
משפט 2.3.8כל חבורה ציקלית איזומורפית לאחת החבורות ,Znאו ל־ .Zבפרט ,כל שתי חבורות ציקליות מאותו סדר הן
איזומורפיות זו לזו.
תרגיל (**) 2.3.9השתמש בכלל הצמצום בחבורה )הגדרה (1.3.5כדי להוכיח שכל חבורה מסדר ,2
3או 5היא ציקלית .הדרכה .בחבורה מסדר ,5אם ,a ̸= 1הראה שלא יתכן ש־ a3 = 1 ,a2 = 1או .a4 = 1לכן האברים
}
1, a, a−1 , a2 , a−2
{
כולם שונים ,ו־.a5 = 1
תרגיל (**) 2.3.10מצא את כל לוחות הכפל האפשריים של חבורה מסדר .4הראה שאלו בדיוק לוחות
הכפל של Z4ושל .Z2 × Z2
⟨
⟨ ⟩
⟩
תרגיל (**) 2.3.11יהי .x ∈ Gלכל . xa , xb = x(a,b) ,a, b ∈ Z
הדרכה .טענה .2.2.38
משפט 2.3.12כל תת־חבורה של חבורה ציקלית היא ציקלית.
תרגיל (**) 2.3.13הוכח את המשפט.
הדרכה .בחר xa ∈ Hעם a > 0מינימלי .לכל ,xb ∈ Hהסק מתרגיל 2.3.11
ש־⟩ .xb ∈ ⟨xa
{
}
תרגיל (**) 2.3.14מונויד Mהוא ציקלי אם קיים a ∈ Mכך ש־ .M = 1, a, a2 , . . .מצא דוגמה למונויד
ציקלי בגודל 4שאינו חבורה .כמה אפשרויות יש ,עד כדי איזומורפיזם? לעומת זאת הראה שמונויד שבו
כל איבר הוא מהצורה anעבור n > 0הוא חבורה.
תרגיל (***) 2.3.15נניח ש־ .m | nמצא מונומורפיזם φ : Zm → Znואפימורפיזם ) ψ : Zn → Zmכמה
אפשרויות יש בכל מקרה?( .חשב את φ ◦ ψואת .ψ ◦ φהראה שהתמונה ) Im(φוהגרעין ) Ker(ψאינם
תלויים בבחירת ההעתקות.
22
פרק .2דוגמאות לחבורות
2.3.1
.2.3חבורות ציקליות
סדר של אברים
הגדרה 2.3.16יהי .x ∈ Gהמספר m > 0הקטן ביותר כך ש־ ,xm = 1אם קיים כזה ,נקרא הסדר של ;xאחרת אומרים
ש־ xבעל סדר אינסופי .את הסדר של xמסמנים ב־).ord(x
תרגיל (**) 2.3.17הסדר של x ∈ Gשווה לסדר של תת־החבורה )הציקלית( הנוצרת ⟩.⟨x
תרגיל (+*) 2.3.18בחבורה סופית לכל איבר יש סדר סופי.
טענה 2.3.19יהי .x ∈ Gלכל xm = 1 ,m ∈ Zאם ורק אם .ord(x) | m
הוכחה .נסמן ) .e = ord(xאם e | mאז ברור ש־ .xm = (xe )m/e = 1m/e = 1נניח ש־ ,xm = 1ונכתוב
(e, m) = αe + βmעבור .α, β ∈ Zאז ,x(e,m) = xαe+βm = (xe )α (xm )β = 1ולפי המינימליות של
הסדר.e = (e, m) | m ,
תרגיל (**) 2.3.20יהי φ : G1 → G2הומומורפיזם.
.1הראה ש־) ord(φ(x)) | ord(xלכל .x ∈ G1
.2אם φמונומורפיזם אז ).ord(φ(x)) = ord(x
תרגיל (*) 2.3.21הסדר של כל איבר ב־ Znמחלק את .n
n
). (n,d
טענה 2.3.22יהי xאיבר מסדר .nאז הסדר של xdהוא
d
n
n
) .e = ord(xd ) | (n,dמאידך = xde
הוכחה ,(xd ) (n,d) = (xn ) (n,d) = 1 .ולפי טענה 2.3.19נובע מכך ש־
n
d
n
d
) ,( (n,dולפי
), (n,d
) . (n,dאלא שלפי תרגיל ) = 1 2.2.19
)| (n,d
,(xd )e = 1אז מאותה סיבה n | deולכן e
n
). (n,d
טענה 2.2.38נובע מכך ש־| e
תרגיל (**) 2.3.23האיבר xaיוצר את החבורה הציקלית ⟩ ⟨xמסדר nאם ורק אם .(a, n) = 1
תרגיל (**) 2.3.24נניח שלחבורה G ̸= 1אין תת־חבורות פרט ל־ .1, Gהוכח ש־ Gציקלית מסדר
ראשוני.
⟩⟨ d
משפט 2.3.25תהי ⟩ G = ⟨xחבורה ציקלית מסדר .nיהי .d | nל־ Gיש תת־חבורה יחידה מסדר ,n/dוהיא . x
תת־חבורה של Gהיא ציקלית ,ויתרה מזו אם היא נוצרת על־ידי xkאז היא
הוכחה⟩ .לפי
⟩ ⟨
2.3.11כל ⟨
תרגיל ⟩
⟨
שווה ל־ ) , xk = xk , xn = x(k,nוהרי .(k, n) | nלכן החבורה נוצרת על־ידי איבר מהצורה xdעם
,d | nובחבורה זו יש n/dאברים לפי ספירה.
תרגיל (*) 2.3.26לחבורה ציקלית מסדר nיש תת־חבורה אחת מכל סדר המחלק את .n
הדרכה.
משפט .2.3.25
תרגיל (**) 2.3.27אם x, y ∈ Gמתחלפים ו־ ,(ord(x), ord(y)) = 1אז ).o(xy) = ord(x)ord(y
הדרכה.
הראה שתמיד ) ,ord(xy) | ord(x)ord(yוהראה ש־⟩ x, y ∈ ⟨xyכדי להוכיח ).ord(x), ord(y) | ord(xy
תרגיל (**) 2.3.28הסדר של ) (g, hבחבורה G×Hהוא הכפולה המשותפת המינימלית ]).[ord(g), ord(h
∼ Zn × Zmאם ורק אם .(n, m) = 1
משפט = Znm 2.3.29
)זוהי גרסה של משפט השאריות הסיני(.
∼ Zn ×Zm
הוכחה .לפי תרגילים 2.3.21ו־ ,2.3.28הסדר של כל איבר ב־ Zn ×Zmמחלק את ] ;[n, mאם = Znm
nm
) .nm | [n, m] = (n,mבכיוון ההפוךφ : [x]nm 7→ ([x]n , [x]m ) ,
אז יש באגף שמאל איבר מסדר nmולכן
הוא הומומורפיזם ,ואם φ([x]nm ) = 0אז n, m | xולכן nm = [n, m] | xכי ,(n, m) = 1ו־ .[x]nm = 0
תרגיל (**) 2.3.30אם ,(n, m) = 1אז לכל a, bקיים xכך ש־) x ≡ a (mod nו־).x ≡ b (mod m
פתרון זה הוא יחיד מודולו .nmהדרכה .משפט .2.3.29
תרגיל ] (+**) 2.3.31שאלה 1מאולימפיאדת גיליס של שנת [2013מצא את שתי הספרות האחרונות של
המכפלה
(1012 − 1002 )(1022 − 1012 ) · · · (2002 − 1992 ).
23
זהו המשפט המרכזי על
חבורות ציקליות.
.2.4חבורות אוילר
2.4
פרק .2דוגמאות לחבורות
חבורות אוילר
ראינו בסעיף הקודם שהקבוצה Znשל מחלקות שקילות מודולו nהיא חבורה ציקלית ביחס לחיבור .לפי
תרגיל ,2.2.32גם פעולת הכפל מוגדרת היטב ,ואכן:
תרגיל (**) 2.4.1הראה ש־ Znהוא מונויד ביחס לכפל ,שאיבר היחידה שלו הוא )המחלקה של( .1הראה
שהוא קומוטטיבי.
תרגיל (**) 2.4.2מצא תת־חבורה למחצה של Z12ביחס לכפל ,שאינה תת־מונויד.
תרגיל [a] ∈ Zn (**) 2.4.3הפיך )ביחס לכפל( אם ורק אם aזר ל־.n
תרגיל (**) 2.4.4אם m, kזרים ל־ ,nאז גם mkזר ל־.n
הגדרה 2.4.5חבורת האברים ההפיכים ביחס לכפל ב־ Znנקראת חבורת אוילר ה־n־ית .לפי תרגיל ,2.4.3אבריה הם
}.Un = {[x] : 1 ≤ x ≤ n, (n, x) = 1
תרגיל (*) 2.4.6כתוב את לוח הכפל של החבורות ,Unעבור .10, 12 ,n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
תרגיל (**) 2.4.7הוכח ש־ U11 ,U9ציקליות ,וש־ U16 ,U12אינן ציקליות.
תרגיל (***) 2.4.8הוכח שלחבורה U60אין קבוצת יוצרים של שני אברים ,ומצא קבוצת יוצרים עם
שלושה אברים.
תרגיל (***) 2.4.9בכל תת־חבורה לא טריוויאלית של p) Upnראשוני( ,סכום האיברים מתחלק ב־ .pn
תרגיל (-***) 2.4.10נניח ש־ pראשוני .האיבר היחיד מסדר 2ב־ Upהוא .−1
2.4.1
פונקציית אוילר
הגדרה 2.4.11את מספר האברים של Unנסמן ב־) .ϕ(nהפונקציה ,ϕהמוגדרת לפי
ϕ(n) = |{1 ≤ a ≤ n : (a, n) = 1}|,
נקראת פונקצית אוילר )על־שם המתמטיקאי לאונרד אוילר(.
תרגיל (+*) 2.4.12אם pראשוני ,אז ).ϕ(pa ) = pa−1 (p − 1
תרגיל (***) 2.4.13אם n, mזרים אז ).ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m
הדרכה .משפט 2.3.29ותרגיל .1.5.8פתרון נוסף :משפט
השאריות הסיני .המספרים הזרים ל־ nmהם אלו שזרים ל־ nול־ ,mתרגיל .2.2.21
משני התרגילים האחרונים מתקבלת הנוסחה
αt
α1 −1
t −1
1
ϕ(pα
· · · (pt − 1)pα
.
t
1 · · · pt ) = (p1 − 1)p1
תרגיל (*) 2.4.14חשב את ).ϕ(1000), ϕ(480), ϕ(540
תרגיל (**) 2.4.15אם n | mאז ).ϕ(n) | ϕ(m
תרגיל (+**) 2.4.16נניח ,n | mויהיו ,a ∈ Unmו־ aהנציג של aב־ .Unנסמן ב־ eאת הסדר של aב־ ,Un
וב־ e′את הסדר של aב־ .Unmהוכח ש־.e′ | me
תרגיל (***) 2.4.17מצא את כל הערכים של nהמקיימים ϕ(n) ≤ 6בשתי דרכים (1) :לפי
הנוסחה ל־) (2) .ϕ(nהראה בעזרת תרגיל 2.4.15שאם p | nאז .p − 1 ≤ 6הסק שהמספרים
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ∈ Unולכן .n ≤ 20
תרגיל (***) 2.4.18הוכח ש־= 0
)ϕ(n
n
∞→.lim inf n
מ־ .. . .מכיוון שיש אינסוף ראשוניים.. . . ,
24
הדרכה .נניח ש־ ,ϕ(n) ≤ mאז כל הגורמים הראשוניים של nקטנים
.2.5החבורה החיבורית והכפלית של שדה
פרק .2דוגמאות לחבורות
תרגיל (**) 2.4.19לכל ,d | nיש בדיוק ) ϕ(dאברים מסדר dב־ .Znבפרט ,יש בה ) ϕ(nיוצרים.
הדרכה.
טענה .2.3.22
∑
תרגיל (-***) 2.4.20לכל . d | n ϕ(d) = n ,n
הדרכה .תרגיל .2.4.19
תרגיל (+**) 2.4.21בחבורה ציקלית מסדר המתחלק ב־ dיש בדיוק dפתרונות למשוואה .xd = 1
הדרכה.
שלב את תרגיל 2.4.19וטענה 2.3.19עם תרגיל ) 2.4.20קח dבמקום .(n
תרגיל 2.4.22
∑ )***( במונחי תת־סעיף ,2.2.5הראה ש־ ,ϕ ∗ J = Idולכן ,ϕ = Id ∗ µכלומרϕ(n) = ,
. d|n µ( nd )dבדוק את הנוסחה עבור .d = 12, 16, 24
תרגיל (+**) 2.4.23תן הוכחה נוספת למשפט .2.3.25פתרון .תהי Hתת־חבורה מסדר .dמכיוון שהיא
ציקלית ,יש בה לפי תרגיל ϕ(d) 2.4.19אברים מסדר ,dוזה מספרם בחבורה כולה.
תרגיל (**) 2.4.24כמה אברים בחבורה Z1200יוצרים אותה )כל אחד לבדו(?
2.5
הדרכה.
תרגיל .2.3.23
החבורה החיבורית והכפלית של שדה
הגדרה 2.5.1יהי Fשדה .החבורה ) (F, +, 0נקראת החבורה החיבורית של ,Fוהחבורה }) F × = F −{0מהגדרה ,(2.1.8
עם פעולת הכפל ,היא החבורה הכפלית של .F
נסמן ב־ Rאת שדה המספרים הממשיים ,וב־ Cאת שדה המספרים המרוכבים ,המכיל אותו .נסמן
} .R>0 = {x ∈ R : x > 0נסמן } .S 1 = {z ∈ C : |z| = 1השדות המוכרים לנו מציעים מיד כמה חבורות
אינסופיות מעניינות.C× ,R× ,Q× ,(C, +) ,(R, +) ,(Q, +) :
תרגיל (**) 2.5.2הראה שאף אחת מהחבורות ) C× ,R× ,Q× ,(C, +) ,(R, +) ,(Q, +אינה ציקלית.
תרגיל (**) 2.5.3הראה שהחבורות ) (Q, +ו־ × Qאינן איזומורפיות.
תרגיל (**) 2.5.4הראה שהחבורות ) (Q, +ו־) (R, +אינן איזומורפיות.
תרגיל (**) 2.5.5פונקציית האקספוננט היא איזומורפיזם )· .exp : (R, +)→(R>0 ,
תרגיל (**) 2.5.6איבר בעל סדר סופי ב־ Cנקרא שורש יחידה .הראה שקבוצת שורשי היחידה ב־C
היא תת־חבורה של .S 1
תרגיל (+**) 2.5.7הראה שכל אחת מהחבורות Znאיזומורפית לתת־חבורה של .S 1
תרגיל (***) 2.5.8החבורות ) (R, +), (C, +איזומורפיות :שתיהן סכום ישר של ℵעותקים של )(Q, +
)הגדרה .(1.5.13הדרכה .יהיה עליך להשתמש בקיומו של הבסיס של האמל ,שהוא בסיס למרחב הוקטורי Rמעל השדה .Q
∼ ×.C
∼ )· = S 1 × (R>0 ,
∼ )= S 1 × (R, +
תרגיל = S 1 (***) 2.5.9
תרגיל (*) 2.5.10הוכח שההעתקה × ν : C× → Rהמוגדרת לפי ̄ ν(z) = z zהיא הומומורפיזם .מה
הגרעין שלו?
תרגיל (+**) 2.5.11כל תת־חבורה נוצרת סופית של ) (Q, +היא ציקלית.
תרגיל (**) 2.5.12מצא שרשרת עולה של תת־חבורות ציקליות · · · ⊂ C1 ⊂ C2 ⊂ C3של ),(Q, +
שהאיחוד שלה שווה ל־ Qכולו .הראה ש־ Rאינה איחוד של שרשרת )מעוצמה כלשהי( של תת־חבורות
ציקליות.
תרגיל (***) 2.5.13מצא בחבורה ) (Q, +שרשרת עולה ממש של תת־חבורות ציקליות ,שעוצמתה .ℵ
הדרכה .ראשית מצא שרשרת עולה ממש } {Iαמאותה עוצמה.
1
כאשר Pהיא קבוצת הראשוניים ב־ .Zהתבונן בחבורות
Zp
)רמזr < α} .
∑
) p∈π(Iα
= .Cα
תרגיל (*) 2.5.14חשב את הגרעין עבור ההעתקות הבאות.
.φ(x) = 4x ,φ : (Z, +) → (Z, +) .1
.φ(x) = x4 ,φ : R× → R× .2
.φ(x) = x4 ,φ : C× → C× .3
25
.({r :כעת קבע התאמה חד־חד־ערכית ועל π : Q→P
.2.6החבורות הסימטריות
2.6
פרק .2דוגמאות לחבורות
החבורות הסימטריות
כל החבורות שפגשנו עד כה היו אבליות .בסעיף זה נגדיר משפחה חשובה של דוגמאות לא אבליות ,שבה נעיין
שוב בפרק .5
הגדרה 2.6.1יהי .n ≥ 1חבורת הסימטריות על nאברים היא החבורה Snשל כל הפונקציות החד־חד־ערכיות ועל
} ,{1, . . . , n}→{1, . . . , nעם פעולת ההרכבה .אברי Snנקראים תמורות.
שבהם
ספרים
יש
מקובל ההיפך; אבל
ראו תרגיל .1.3.17
אנו מכפילים תמורות מימין לשמאל ,כמו הרכבת פונקציות.(στ )(a) = σ(τ (a)) :
תרגיל (**) 2.6.2בדוק ש־ Snאכן חבורה ,מסדר ! ,nשאיבר היחידה שלה היא פונקציית הזהות.
את הגדרה 2.6.1אפשר להכליל בקלות:
תרגיל (**) 2.6.3תהי Xקבוצה כלשהי .הראה שקבוצת הפונקציות החד־חד־ערכיות ועל X→Xהיא
חבורה .חבורה זו מסמנים ב־ .SX
∼ .SX
תרגיל (**) 2.6.4אם | |X| = |Yאז = SY
הגדרה 2.6.5כל תמורה } σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , nאפשר להציג כמטריצה ,2 × nכך:
(
)
1
2
···
n
=σ
.
)σ(1) σ(2) · · · σ(n
בשיטה זו ,הערך iנמצא בשורה השניה בעמודה ה־).σ −1 (i
כדי להקל על החישובים ,נחוץ לנו סימון חסכוני יותר.
הגדרה 2.6.6תמורה σ ∈ Snהמעבירה ) r1 7→ r2 7→ · · · 7→ rt 7→ r1וקובעת את שאר האברים( נקראת מחזור .מסמנים
תמורה זו בסימון ) .σ = (r1 r2 · · · rtמחזור באורך 2נקרא חילוף .שני מחזורים הם זרים אם הם פועלים על איברים שונים.
טענה 2.6.7כל תמורה ב־ Snאפשר לכתוב כמכפלה של מחזורים זרים ,באופן יחיד עד כדי סדר.
בעקבות טענה ,2.6.7כשמבקשים ''לחשב'' תמורה מתכוונים בדרך כלל להצגתה כמכפלה של מחזורים זרים.
תרגיל (*) 2.6.8כתוב כמכפלת מחזורים זרים את התמורות הבאות:
)
(
)
6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7
,
.
6 8 7 2 4
4 7 1 3 2 5 6
)
תרגיל (*) 2.6.9כתוב בצורה
)
1 2 3 4 5 6
הבאות:
2 6 4 3 1 5
n
)σ(n
(
1
2
···
· · · )σ(1) σ(2
5
1
4
10
3
9
2
3
1
5
(
(
וכמכפלה של מחזורים זרים ,את התמורות
= .δ = αβγ ,γ = (12)(14)(23)(42)(14) ,β = (143)(25)(6) ,α
תרגיל (*) 2.6.10חשב את ).(1 2)(1 3) · · · (1 n) ,(1 2 4 7)(3 2 4)(6 1 3 4
תרגיל (**) 2.6.11כל שני מחזורים זרים מתחלפים זה עם זה.
תרגיל (*) 2.6.12המחזורים ) (123456), (246מתחלפים על־אף שאינם זרים.
תרגיל (*) 2.6.13רשום את לוח הכפל של החבורה .S3מצא את הסדר של כל איבר.
תרגיל (**) 2.6.14מצא את הסדר של המחזור ) (r1 · · · rtואת הסדר של ,σאם τiהם מחזורים זרים
מאורכים niו־ .σ = τ1 · · · τu
תרגיל (**) 2.6.15מצא ב־ S7איברים מסדר .5, 6, 7, 10למה אין אף איבר מסדר ?8
26
.2.7חבורות של מטריצות
פרק .2דוגמאות לחבורות
תרגיל (**) 2.6.16הראה שאם τ1 , τ2מחזורים זרים τ1 (α) ̸= α ,ו־ ,τ2 (β) ̸= βאז ) τ2 τ1 (αβמחזור
באורך ) .ord(τ1 ) + ord(τ2
תרגיל (-***) 2.6.17כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של שתי תמורות מסדר .2
תרגיל (***) 2.6.18כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של שני מחזורים.
תרגיל (**) 2.6.19הוכח שתת־החבורה K4 = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩ ≤ S4איזומורפית ל־ .U8
תרגיל (**) 2.6.20מצא את אברי תת־החבורה של S6הנוצרת על־ידי ) (145)(263ו־).(15)(36
תרגיל (+**) 2.6.21מצא את הסדר של תת־החבורה ⟩) ⟨(1324)(5768), (1526)(3847של .S8
תרגיל (**) 2.6.22הראה ש־⟩) H = ⟨(1234567), (124)(365היא חבורה מסדר .21הערה .זו תת־החבורה
היחידה מסדר 21של ,S8עד כדי הצמדה )הצמדה תוגדר בסעיף (.6.4
2.7
חבורות של מטריצות
יהי Fשדה.
הגדרה 2.7.1לקבוצה ) GLn (Fשל המטריצות ההפיכות בגודל n × nמעל Fקוראים החבורה הלינארית הכללית .לקבוצה
) SLn (Fשל איברי ) GLn (Fבעלי דטרמיננטה 1קוראים החבורה הלינארית המיוחדת.
תרגיל (+**) 2.7.2הראה ש־) GLn (Fחבורה ,וש־) SLn (Fתת־חבורה שלה ,השווה לגרעין של
ההומומורפיזם × .det : GLn (F )→F
תרגיל (-***) 2.7.3יהי } F2 = {0, 1השדה בן שני אברים )עם פעולות החיבור והכפל מודולו .(2הסבר
מדוע ) ) SLn (F2 ) = GLn (F2מעל כל שדה אחר החבורות שונות( .כתוב במפורש את כל אברי
∼ ) .GL2 (F2
) ,GL2 (F2והראה ש־ = S3
(
)
(
)
תרגיל (-***) 2.7.4הראה ש־) SL (Zנוצרת על־ידי המטריצות S = 0 −1ו־ 1 1
= .Tהדרכה.
2
0 1
1 0
) (
) (
q
a
. 1הפעל זאת על העמודה
הראה שעל־ידי הפעלת המטריצה Sוהחזקות Tאפשר להגיע מכל עמודה bשל מספרים זרים ,לעמודה 0
השמאלית של מטריצה נתונה.
תרגיל (**) 2.7.5הראה שחבורת בורל ) Bn (Fהכוללת ,לפי ההגדרה ,את המטריצות ההפיכות
המשולשיות עליונות בגודל ,n × nאינה אבלית כאשר ) .n ≥ 2להרחבה ראה תרגיל (.3.5.20
({
)
}
a
b
∼ ×
= .C
תרגיל (*) 2.7.6הוכח ש־ )−b a : a, b ∈ R ∩ GL2 (R
את ההגדרה של ) ,GLn (Fהמגדירה בפרט את החבורות ) ,GLn (Zpאפשר להכליל לפעולות מודולו
מספרים אחרים.
תרגיל (***) 2.7.7הוכח ,באינדוקציה על ,tש־ ) |SL2 (Zpt )| = (1 − p−2 )p3tזוהי חבורת המטריצות 2 × 2
שאבריהן מספרים שלמים מודולו ,ptעם דטרמיננטה (.1
תרגיל (**) 2.7.8עבור הזוגות הבאים של מטריצות ,מצא כמה אברים יש בחבורה הנוצרת על־ידיהן .תן
את לוח הכפל של החבורה ,או לחילופין ,רשום את אברי החבורה ותאר כיצד להכפיל שני אברים זה
בזה )כך שהמכפלה תהיה גם היא איבר ברשימה(.
(
)
(
)
0 1 .1
D = −1ו־ ) .E = 0i 0iכאן iהוא השורש הרביעי של .(1
0
)
(
)
F = 0 1 .2ו־ ω 0
2
0 ω
1 0
(
=G
√
−1+ −3
)
2
= ωהוא השורש השלישי של .(1
27
.2.8החבורות הדיהדרליות
תרגיל 2.7.9
0 0
1 0
0 −1
1
)***( כנ"ל עבור 0
0
−1
. 0
0
פרק .2דוגמאות לחבורות
−1 0 0
0 0
A = 1 0ו־;B = 0 1 0
0 0 1
0 1
Aו־ = C
תרגיל (***) 2.7.10יהי Fשדה .נניח ש־ .n1 ≥ · · · ≥ ndיהי }) M = {(fijאוסף המטריצות שרכיביהן
] fij ∈ F [tמקיימים fij = 0אם ni < njו־ deg(fij ) ≤ ni − njאחרת .הוכח שזו חבורה ,ומצא את
הסדר שלה אם Fסופי.
2.8
החבורות הדיהדרליות
נקבע ,n ≥ 1
2π
ו־ n
)
(
)
= ) σשהיא מטריצה אורתוגונלית( ו־ 1 0
= .αנסמן )cos(α) sin(α
0 −1
)− sin(α) cos(α
(
= .τ
הגדרה 2.8.1תת־החבורה ) ⟨σ, τ ⟩ ≤ GL2 (Rנקראת החבורה הדיהדרלית מסדר ,nומסמנים אותה ב־ .Dn
{
}
תרגיל (+**) 2.8.2יהי ρ = exp(iα) ∈ Cשורש יחידה מסדר .nנסמן .X = 1, ρ, ρ2 , . . . , ρn−1הראה
שלכל ) T (X) ⊆ X ,T ∈ M2 (Rאם ורק אם .T ∈ Dn
תרגיל (*) 2.8.3האברים σ, τמקיימים .τ στ −1 = σ −1 ,σ n = τ 2 = 1הסדר של σבחבורה הוא .n
תרגיל (**) 2.8.4כל איבר של Dnאפשר להציג באופן יחיד בצורה σ i τ jכאשר i = 0, 1, . . . , n − 1
′
′
הסק מתרגיל 2.8.3את נוסחת הכפל = σ i τ j · σ i τ j
בפרט .|Dn | = 2n
ו־.j = 0, 1
)i+(−1)j i′ (mod n) j+j ′ (mod 2
.σ
τ
∼ .D3החבורה Dnאינה אבלית כאשר .n ≥ 3
∼ = S3 ,D2
∼ = Z2 × Z2 ,D1
תרגיל = Z2 (*) 2.8.5
תרגיל (***) 2.8.6הוכח שתת־החבורה ⟩) ⟨(1234), (13של S4איזומורפית ל־ .D4
תרגיל Dn (**) 2.8.7איזומורפית לתת־החבורה של Snהנוצרת על־ידי התמורות ) ,(1 2 . . . nו־
.(1, n)(2, n − 1)(3, n − 2) . . .
תרגיל (-***) 2.8.8הוכח ש־ Z(D2n+1 ) = 1ו־⟩ .Z(D2n ) = ⟨σ n
תרגיל (**) 2.8.9קבע כמה אברים מסדר 2יש ב־ .Dn
תרגיל (**) 2.8.10מצא אפימורפיזם .φ : Dn → Z2
תרגיל (***) 2.8.11נניח ש־ .m | nהראה שקיימים אפימורפיזם ,α : Dn → Dmומונומורפיזם → β : Dm
.Dnחשב את α ◦ βואת ) .β ◦ αהשווה לתרגיל (.2.3.15
תרגיל (***) 2.8.12כל תת־חבורה של החבורה הדיהדרלית Dnאיזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
,Z2 × Z2 ,Z2חבורה ציקלית מסדר mאו חבורה דיהדרליות מסדר ,mכאשר .m | n
28
פרק 3
חבורות מנה
משפט לגרנז' ,הקובע שהסדר של תת־חבורה מחלק את סדר החבורה ,מגביל את הסדרים האפשריים של
תת־חבורות ,ומהווה כלי עבודה בסיסי להבנת המבנה של חבורות .בהנתן תת־חבורה Hשל חבורה ,Gפירוק
Gלקוסטים של Hמראה ש־| |Gמתחלק ב־| ,|Hולכן גם הסדר של איבר מחלק תמיד את סדר החבורה.
הפרק מציג את המושג של תת־חבורה נורמלית ,שבלעדיו אי אפשר לתאר חבורות .אם Nתת־חבורה
נורמלית של ,Gאז הכפל ב־ Gמשרה מבנה של חבורת מנה על מרחב הקוסטים .G/Nמשפט האיזומורפיזם
הראשון הוא כלי עבודה חשוב ,המאפשר לזהות חבורות בקלות .המשפט מוליך לתאור של חבורות באמצעות
יוצרים ויחסים.
3.1
קוסטים של תת־חבורה
תהיינה Gחבורה ו־ H ≤ Gתת־חבורה .לכל ,x ∈ Gאנו מסמנים } Hx = {hx : h ∈ Hו־= xH
}.{xh : h ∈ H
הגדרה 3.1.1הקבוצות Hxנקראות קוסטים שמאליים של ,Hוהקבוצות - xHקוסטים ימניים של .Hנגדיר יחס שקילות
על החבורה x ≡ y (mod H) :Gאם .xy −1 ∈ H
תרגיל x ≡ y (mod H) (+*) 3.1.2אם ורק אם .Hx = Hy
תרגיל (*) 3.1.3הוכח שהיחס ) ≡ (mod Hהוא יחס שקילות.
תרגיל (*) 3.1.4מחלקות השקילות של היחס ) ≡ (mod Hהן מהצורה .Hxהסק :שתי מחלקות
Hx, Hyהן או שוות או נחתכות באופן ריק )קל להוכיח זאת גם באופן ישיר(.
תרגיל Hy (+*) 3.1.5היא קבוצת האיברים x ∈ Gשעבורם .y ∈ Hx
הגדרה 3.1.6תהי H ≤ Gתת־חבורה .את קבוצת הקוסטים הימניים מסמנים } .G/H = {xH : x ∈ Gבדומה לזה מסמנים
את קבוצת הקוסטים השמאליים ב־}.H\G = {Hx : x ∈ G
תרגיל (*) 3.1.7אם A, B ≤ Gהן תת־חבורות שונות של ,Gאז ∅ = ).(G/A) ∩ (G/B
תרגיל (**) 3.1.8לכל ,|Hx| = |Hy| ,x, y ∈ Gובפרט |.|Hx| = |H
תרגיל (*) 3.1.9אם Gאבלית ,אז Hg = gHלכל איבר g ∈ Gותת־חבורה .H ≤ G
הגדרה 3.1.10האינדקס )השמאלי( של Hב־ Gהוא מספר הקוסטים השמאליים של Hבחבורה .את האינדקס מסמנים
ב־].[G : H
תרגיל (+**) 3.1.11האינדקס הימני של Hב־ Gהוא מספר הקוסטים הימניים .הוכח שהאינדקס הימני
תמיד שווה לשמאלי .הדרכה .חשוב על הפונקציה ) Hx 7→ x−1 Hמדוע לא (?Hx 7→ xH
תרגיל (-**) 3.1.12תהיינה H, K ≤ Gתת־חבורות .כל קוסט ימני של H ∩ Kהוא חיתוך של קוסט ימני
של Hעם קוסט ימני של .K
29
לכן אין צורך להבדיל
ימני
אינדקס
בין
ושמאלי.
פרק .3חבורות מנה
.3.2משפט לגרנז'
תרגיל (**) 3.1.13רשום את הקוסטים הימניים והשמאליים של תת־החבורות ⟩) H = ⟨(12ו־⟩)K = ⟨(123
בחבורה .S3
תרגיל (**) 3.1.14מצא את הקוסטים של ⟩ H = ⟨41, 49, 31בחבורה ) .U120מה האינדקס של (?H
תרגיל (**) 3.1.15כתוב את כל הקוסטים של תת־החבורה } ⟨4⟩ = {0, 4, 8של .Z12
תרגיל (+**) 3.1.16נסמן ב־ A4את תת־החבורה של S4הכוללת ,מלבד הזהות ,את התמורות שיש להן
נקודת שבת אחת ,ואת אלו המחליפות שני זוגות זרים של ערכים .הוכח שזו אכן תת־חבורה .מה
האינדקס שלה?
תרגיל (**) 3.1.17נסמן ב־ K4את תת־החבורה של A4הכוללת ,מלבד הזהות ,את התמורות המחליפות
שני זוגות של ערכים .הוכח שזו אכן תת־חבורה .כתוב את הקוסטים הימניים והשמאליים שלה ב־ .A4
הראה שקבוצת האברים מהצורה ) ,(ij)(kℓיחד עם איבר היחידה ,אינה תת־חבורה של .S5
3.2
משפט לגרנז'
משפט לגרנז' הוא משפט המבנה הראשון על חבורות .הוא מדגים מוטיב חוזר :הסדר של חבורה )סופית( הוא
אחד המאפיינים החשובים ביותר שלה.
משפט ) 3.2.1משפט לגרנז'( לכל שתי חבורות סופיות |H| ,H ≤ Gמחלק את |.|G
תרגיל (**) 3.2.2הראה ש־| ,[G : H] · |H| = |Gוהסק את משפט לגרנז'.
מסקנה 3.2.3לכל איבר בחבורה סופית ,סדר האיבר מחלק את סדר החבורה.
הדרכה.
תרגיל .2.3.17
תרגיל (*) 3.2.4לכל איבר x ∈ Gבחבורה סופית מתקיים .x|G| = 1
שניים מהמשפטים המפורסמים בתורת המספרים האלמנטרית מתקבלים כמקרים פרטיים:
משפט ) 3.2.5המשפט הקטן של פרמה( לכל ראשוני pומספרי a ∈ Zשאינו מתחלק ב־.ap−1 ≡ 1 (mod p) ,p
משפט ) 3.2.6משפט אוילר( לכל שלם nולכל מספר aהזר ל־.aϕ(n) ≡ 1 (mod n) ,n
תרגיל (+**) 3.2.7לא קיים פתרון למשוואה ).x3 ≡ 2 (mod 151
תרגיל (-***) 3.2.8לכל שני מספרים ,a, nמתקיים ).n | ϕ(an − 1
תרגיל (-***) 3.2.9אברים g, g ′ ∈ Gהם צמודים אם קיים x ∈ Gכך ש־ ) g ′ = xgx−1זו הגדרה .(5.2.1
הראה שבחבורה מסדר אי־זוגי אף איבר ,פרט לאיבר היחידה ,אינו צמוד להפכי שלו.
3.3
תת־חבורות נורמליות
תרגיל (*) 3.3.1אם Hתת־חבורה של ,Gאז לכל g ∈ Gגם gHg −1תת־חבורה.
משפט 3.3.2התכונות הבאות של תת־חבורה H ≤ Gשקולות זו לזו:
gHg −1 ⊆ H .1לכל .g ∈ G
gHg −1 = H .2לכל .g ∈ G
gH = Hg .3לכל .g ∈ G
.4כל קוסט ימני הוא גם קוסט שמאלי.
.5כל קוסט שמאלי הוא גם קוסט ימני.
הגדרה 3.3.3תת־חבורה H ≤ Gהמקיימת את התכונות שבמשפט ,נקראת תת־חבורה נורמלית .במקרה זה מסמנים .H▹G
30
.3.3תת־חבורות נורמליות
פרק .3חבורות מנה
תרגיל (*) 3.3.4כתוב בשפה המתייחסת לאברים בלבד את התנאים " Hתת־חבורה נורמלית של "G
ו־" Hתת־חבורה אבלית של ."Gפתרון .למשל H ,נורמלית = )H .(∀a ∈ H∀g ∈ G, ∃a′ ∈ H : ga = a′ g
אבלית = ) .(∀a ∈ H∀a′ ∈ H : a′ a = aa′ראה תרגיל 3.3.8כדי להשתכנע שהתנאים אינם שקולים זה
לזה.
תרגיל N ▹G (*) 3.3.5אם ורק אם ) G/N = N \Gראה הגדרה .(3.1.6
תרגיל (*) 3.3.6בכל חבורה ,Gתת־החבורות הטריוויאליות 1, Gהן נורמליות.
תרגיל (*) 3.3.7בחבורה אבלית ,כל תת־חבורה היא נורמלית.
תרגיל (**) 3.3.8תן דוגמה לתת־חבורה נורמלית שאינה אבלית )הצעה (H ≤ G = Z2 × S3 .ולתת־
חבורה אבלית שאינה נורמלית )הצעה.(H ≤ G = S3 .
תרגיל (*) 3.3.9לכל חבורה .Z(G)▹G ,G
תרגיל (+**) 3.3.10אם ,N ▹Gאז גם .Z(N )▹G
תרגיל (+**) 3.3.11אם כל קוסט ימני של Hמוכל בקוסט שמאלי של ,Hאז .H▹Gפתרון .יהי .g ∈ G
לפי ההנחה יש g ′ , g ′′כך ש־ gH ⊆ Hg ′ו־ ,g −1 H ⊆ Hg ′′ואז ,H ⊆ gHg ′′ ⊆ Hg ′ g ′′לכן הקוסטים השמאליים
−1
H, Hg ′ g ′′נחתכים ומוכרחים להיות שווים .מכאן ש־ gHg ′′ = Hואז
,gH = Hg ′′ו־ Hמקיימת את תנאי 4של
משפט .3.3.2
תרגיל (**) 3.3.12הגרעין של כל הומומורפיזם G→Hהוא תת־חבורה נורמלית של ) Gראה משפט
.(3.4.5
תרגיל (**) 3.3.13אם [G : H] = 2אז Hנורמלית ב־) Gראה ההכללה בתרגיל .(6.3.26
תרגיל ) (*) 3.3.14נורמליות היא תורשתית( .אם N ≤ K ≤ Gו־ Nנורמלית ב־ ,Gאז Nנורמלית ב־.K
תרגיל ) (**) 3.3.15נורמליות אינה טרנזיטיבית( .מצא חבורות , N ▹K▹Gכך ש־ Nאינה נורמלית ב־.G
הצעה .בחר ,K = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩ ,G = A4ו־⟩).N = ⟨(12)(34
הערה .השווה לתרגיל .7.2.40
תרגיל (**) 3.3.16תת־החבורה הנוצרת על־ידי ריבועי האברים היא נורמלית.
תרגיל (-***) 3.3.17בכל חבורה לא־אבלית מסדר 8יש תת־חבורה ציקלית נורמלית מסדר .4
הדרכה.
תרגיל .2.1.10
תרגיל (**) 3.3.18חיתוך משפחה כלשהי של תת־חבורות נורמליות הוא תת־חבורה נורמלית )זהו המשך
לתרגיל .(1.4.20
תרגיל (**) 3.3.19נניח ש־ · · · ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ N3כולן תת־חבורות נורמליות של חבורה .Gהוכח שגם
∪
N = Niנורמלית .הערה .ראה תרגיל .1.4.9
⟩ ⟨
{
}
תרגיל (**) 3.3.20תהי A ⊆ Gתת־קבוצה .נסמן .AG = gag −1 : g ∈ G, a ∈ Aהוכח ש־ AGהיא
תת־החבורה הנורמלית המינימלית של Gהמכילה את .A
∩
הגדרה 3.3.21תהי H ≤ Gתת־חבורה .החיתוך CoreG (H) = g∈G gHg −1נקרא הליבה של .H
תרגיל (**) 3.3.22לכל תת־חבורה ,H ≤ Gהליבה ) CoreG (Hהיא תת־חבורה נורמלית של .Gזוהי
תת־החבורה הנורמלית הגדולה ביותר של Gהמוכלת ב־) Hוראה תרגיל .(4.5.3
תרגיל (+**) 3.3.23נניח שבחבורה מתקיים ,עבור nקבוע (ab)n = an bn ,לכל ) a, bהשווה
לתרגיל .(2.1.16נסמן }.Gm = {g m : g ∈ G
.1הוכח כי Gn , Gn−1הן תת־חבורות נורמליות של .G
.2כל אברי Gnמתחלפים עם כל אברי .Gn−1
.3לכל a, bב־.(aba−1 b−1 )n(n−1) = 1 ,G
31
פרק .3חבורות מנה
.3.4חבורת מנה
תרגיל (-***) 3.3.24אם A, B ≤ Gתת־חבורות אבליות של ,Gאז A ∩ Bנורמלית ב־⟩.⟨A, B
תרגיל (-**) 3.3.25תהיינה .H1 , H2 ≤ G
.1אם H1או H2נורמלית ,אז .H1 H2 ≤ G
זו תוצאה שימושית.
.2אם ,H1 , H2 ▹Gאז .H1 H2 ▹G
תרגיל (**) 3.3.26מצא דוגמה נגדית לטענה השגויה הבאה' :אם אחת מהחבורות H1 , H2נורמלית ,אז
H1 H2תת־חבורה נורמלית'.
תרגיל (**) 3.3.27הראה ש־} {σ ∈ S5 : σ(2) = 2היא תת־חבורה של .S5האם היא נורמלית?
3.4
חבורת מנה
כפל של קוסטים מוגדר כפי שמוגדר בסעיף 4.2כפל של כל שתי תת־קבוצות.
טענה 3.4.1המכפלה של כל שני קוסטים שמאליים של Hהיא קוסט שמאלי ,אם ורק אם Hנורמלית.
הוכחה .אם H▹Gאז .Hx · Hy = H(xH)y = HHxy = Hxyבכיוון ההפוך נניח שלכל x, yיש zכך
ש־ ;HxHy = Hzנבחר ,y = 1אז לכל xיש zכך ש־ ,xH ⊆ HxH = Hzו־ Hנורמלית לפי תרגיל .3.3.11
תרגיל (-***) 3.4.2תת־חבורה H ≤ Gהיא נורמלית אם ורק אם הפעולה הבינרית (Ha, Hb) 7→ Hab
על קבוצת הקוסטים השמאליים מוגדרת היטב.
תרגיל (**) 3.4.3אם ,N ▹Gהקבוצה G/Nשל הקוסטים של Nב־ ,Gעם הפעולה ,N a · N b = N ab
היא חבורה ,שאיבר היחידה שלה הוא .Nהאיבר ההפכי מחושב על־ידי .(N a)−1 = N a−1
הגדרה 3.4.4אם ,N ▹Gהחבורה G/Nנקראת חבורת המנה ,או ' Gמודולו .'N
משפט 3.4.5תת־חבורה H ≤ Gהיא נורמלית אם ורק אם היא גרעין של הומומורפיזם מ־ Gלחבורה כלשהי.
תרגיל (**) 3.4.6הוכח את המשפט.
הדרכה N .היא הגרעין של ההטלה G→G/Nהמוגדרת על־ידי ] .a 7→ N aזוהי ההטלה
הקנונית מ־ Gל־ [.G/N
תרגיל (**) 3.4.7תהיינה B0 ▹B ,A0 ▹Aחבורות ותת־חבורות שלהן .הוכח ש־ A0 × B0היא תת־חבורה
∼ ) .(A × B)/(A0 × B0
נורמלית של ,A × Bוש־) = (A/A0 ) × (B/B0
תרגיל (*) 3.4.8בדוק את הדוגמה הבא H = {1, 11, 29, 39} :היא תת־חבורה של ,U40ואברי
חבורת המנה הם הקוסטים I, A, B, Cכאשר ,B = {9, 19, 21, 31} ,A = {3, 7, 33, 37} ,I = H
∼ U40 /Hעם יוצר .A
} .C = {13, 17, 23, 27למעשה= Z4 ,
תרגיל (**) 3.4.9הראה שתת־החבורה ⟩) K4 = ⟨(12)(34), (13)(24של ) S4הנקראת חבורת הארבעה
∼ ) S4 /K4תרגיל 6.1.8מסביר את האיזומורפיזם האחרון(.
של קליין( היא נורמלית ,ומצא איזומורפיזם = S3
∼ ."G/B
∼ ,G/Aאז = A
תרגיל (**) 3.4.10תן דוגמה נגדית לטענה השגויה" :אם A, B▹Gו־= B
הצעה .קח
.G = U15
תרגיל (**) 3.4.11האם יתכן ש־ Nו־ G/Nשתיהן אבליות ,אבל Gאיננה כזו?
האם אפשר לחשב את החבורה Gמתת־חבורה נורמלית שלה ,N ,ומחבורת המנה ?G/N
שתי הדוגמאות הבאות מראות שהתשובה שלילית .
תרגיל (**) 3.4.12הראה שבכל אחת מהחבורות ) Z6 ,S3שאינן איזומורפיות( ,קיימת תת־חבורה נורמלית
איזומורפית ל־ ,Z3כך שהמנה איזומורפית ל־ .Z2
האם קיימת בשתיהן תת־חבורה נורמלית איזומורפית ל־ ) ?Z2ראה תרגיל (.7.3.10
∼ G1עם תת־חבורות נורמליות ,Ni ▹Giכך ש־
תרגיל (**) 3.4.13תן דוגמה לחבורות אבליות ̸ G2
=
⟩ ⟨
∼ .G1 /N1הצעה .קח G1 = Zp4עם תת־החבורה ;N1 = p2 ⊆ G1ו־ G2 = Zp3 × Zpעם תת־החבורה
∼ N1ו־ = G2 /N2
= N2
.N2 = ⟨(p, 1)⟩ ⊆ G2
תרגיל (**) 3.4.14תהי Gחבורה H▹G ,מאינדקס .nהוכח כי g ∈ Hלכל .g ∈ G
n
∼ ) .D2n /Z(D2n
תרגיל (+**) 3.4.15הוכח ש־ = Dn
32
פרק .3חבורות מנה
3.5
.3.5משפט האיזומורפיזם הראשון
משפט האיזומורפיזם הראשון
תרגיל (**) 3.5.1יהי φ : G→Hהומומורפיזם של חבורות .תהי K▹Gתת־חבורה נורמלית .הראה
שהפונקציה ) φ̄(gK) = φ(gמוגדרת היטב ,φ̄ : G/K→Hאם ורק אם ) ;K ⊆ Ker(φובמקרה זה ,זהו
תמיד הומומורפיזם.
∼ ).G/Ker(φ
משפט ) 3.5.2משפט האיזומורפיזם הראשון( יהי φ : G → Hהומומורפיזם של חבורות .אז )= Im(φ
משפט האיזומורפיזם הראשון שימושי כל־כך ,עד שמעתה ,אם נרצה להוכיח שחבורת מנה
G/Nאיזומורפית לחבורה אחרת ,כמעט לעולם לא נעשה זאת באופן ישיר; במקום זה ,נבנה
אפימורפיזם מ־ Gאל החבורה המבוקשת ,ש־ Nהיא הגרעין שלו.
תרגיל (+**) 3.5.3הוכח את המשפט.
∼ ,Hכלומר) H :איזומורפית ל־( חבורת מנה של
תרגיל (*) 3.5.4אם φ : G → Hעל ,אז )= G/Ker(φ
.G
∼ .Zn
תרגיל = Z/nZ (*) 3.5.5
תרגיל (**) 3.5.6יהי φ : G→Hהומומורפיזם ,ותהיינה H2 ≤ H1 ≤ Hתת־חבורות כך ש־ .H2 ▹H1אז
∼ ) .φ−1 (H1 )/φ−1 (H2הערה .המקרה H2 = 1הוא משפט האיזומורפיזם
) φ−1 (H2 )▹φ−1 (H1ו־ = H1 /H2
הראשון.
תרגיל (**) 3.5.7הוכח ש־ ∼ S3
= ) S4 /K4זהו תרגיל ;3.4.9הפעם העזר במשפט האיזומורפיזם הראשון;
ראה תרגיל 6.1.8להוכחה אינפורמטיבית יותר(.
תרגיל (**) 3.5.8פתור את תרגיל 3.4.15בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון.
∼ .G/Kהוכח שלכל nקיימת ב־ Gתת־חבורה מאינדקס .n
תרגיל = Z ,K▹G (**) 3.5.9
3.5.1
סדרות ודיאגרמות
סדרות ודיאגרמות הן דרך נוחה להציג ולארגן מידע על כמה אובייקטים )למשל חבורות( וכמה הומומורפיזמים
ביניהם .למשל ,אם נתונים הומומורפיזמים f : A→Bו־ ,g : B→Cאפשר להציג אותן יחד בסדרה
/C,
g
/B
f
A
שממנה ברור שאפשר לחשב את ההרכבה .g ◦ f : A→Cבאותו אופן אפשר לארגן סדרות ארוכות יותר,
מהצורה
fn−2
fn−1
f0
f1
/
/
/
/
)(3.1
A0
A1
···
An−1
An .
בהקשר זה ,נוח לסמן ב־ 0את ההומומורפיזם הטריוויאלי A→Bהשולח כל איבר אל היחידה.
הגדרה 3.5.10הסדרה ) (3.1נקראת קומפלקס אם לכל iמתקיים ) ,Im(fi−1 ) ⊆ Ker(fiכלומר .fi ◦ fi−1 = 0הסדרה
מדוייקת ברכיב Aiאם ) ,Im(fi−1 ) = Ker(fiומדוייקת אם היא מדוייקת בכל רכיביה.
תרגיל (+*) 3.5.11הומומורפיזם f : A→Bהוא חד־חד־ערכי אם ורק אם / B
תרגיל (+*) 3.5.12הומומורפיזם f : A→Bהוא על אם ורק אם / 1
/B
תרגיל (+*) 3.5.13הומומורפיזם f : A→Bהוא איזומורפיזם אם ורק אם / 1
מדוייקת.
סדרה מדוייקת מהצורה / 1
/Q
φ
/K
/G
33
f
f
/A
1מדוייקת.
Aמדוייקת.
/B
f
/A
1נקראת סדרה מדוייקת קצרה.
1
פרק .3חבורות מנה
.3.5משפט האיזומורפיזם הראשון
תרגיל (**) 3.5.14בהנתן סדרה מדוייקת קצרה כמוצג לעיל ,Q = Im(φ) ,K = Ker(φ) ,ומשפט
∼ .Q
האיזומורפיזם הראשון קובע ש־= G/K
דיאגרמה היא גרף מכוון שהקודקודים שלו הם חבורות )או אובייקטים אחרים( והחצים שלה הם
הומומורפיזמים .למשל,
/ A′
f
g′
A
g
/ B′
f′
B
הדיאגרמה היא קומוטטיבית אם הרכבת הפונקציות לאורך מסלול תלויה רק בנקודות הקצה .בדוגמא ,הריבוע
הוא דיאגרמה מדוייקת אם .g ′ ◦ f = f ′ ◦ g
תרגיל (+**) 3.5.15נתונה דיאגרמה קומוטטיבית
/1
/Q
/1
/ Q′
/G
/K
1
/ G′
/ K′
1
f
שבה השורות מדוייקות )הקו המרוסק אינו נתון( .הראה שיש הומומורפיזם יחיד לאורך הקו המרוסק,
המשלים את הדיאגרמה באופן קומוטטיבי.
תרגם את התוצאה לשפה הבסיסית של תורת החבורות .הדרכה .נתון הומומורפיזם f : G→G′כך ש־ .f (K) ⊆ K ′
אז fמשרה הומומורפיזם .f : G/K→G′ /K ′
תרגיל (+**) 3.5.16חזור על שאלה 3.5.15עבור הדיאגרמה
/1
/Q
/1
/ Q′
/G
/K
1
/ G′
/ K′
1
f
תרגם את התוצאה לשפה הבסיסית של תורת החבורות.
הדרכה .נתון הומומורפיזם f : G→G′המשרה הומומורפיזם
.f : G/K→G′ /K ′אז .f (K) ⊆ K ′
הגדרה 3.5.17ההומומורפיזם f : A→Bמפצל את f1 : A→B1אם אפשר להשלים את הדיאגרמה הבאה כך שתתחלף:
/B
f
AA
AA
f1A
AA
B1
כלומר ,קיים g : B→B1כך ש־ .f1 = g ◦ f
3.5.2
עוד על שדות ומטריצות
תרגיל (**) 3.5.18
1
∼ .R/Z
=S
∼ .C∗ /S 1
תרגיל = R>0 (-**) 3.5.19
תרגיל (**) 3.5.20יהי Fשדה .נסמן ב־) Bn (Fאת חבורת המטריצות המשולשיות־עליונות ההפיכות מעל
,Fב־) Un (Fאת החבורה של מטריצות ב־) Bn (Fשרכיבי האלכסון שלהן כולם ,1וב־) Tn (Fאת אוסף
המטריצות הסקלריות ההפיכות .הוכח ש־) Un (F )Tn (F ) = Bn (F ) ,Tn (F ) ≤ Bn (F ) ,Un (F )▹Bn (F
∼ ) .Bn (F )/Un (F
ו־) = Tn (F
34
.3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
פרק .3חבורות מנה
תרגיל (**) 3.5.21על הקבוצה } G = {(a, b) : a, b ∈ R, a ̸= 0מגדירים פעולה לפי = )(a, b)(c, d
∼ .G/K
) .(ac, ad + bהוכח ש־ Gחבורה .הראה ש־} K = {(1, b) : b ∈ Rנורמלית ב־ ,Gוש־ ×= R
מצא תת־חבורה של ) GL2 (Rשהיא איזומורפית ל־ .Gהערה .ראה גם תרגיל .7.3.23
∼ ).GLn (R)/SLn (R
תרגיל (**) 3.5.22הוכח ש־) SLn (R)▹GLn (Rוש־ ×= R
הגדרה 3.5.23יהי Fשדה On (F ) .היא חבורת המטריצות האורתוגונליות ,כלומר
{
}
On (F ) = A ∈ Mn (F ) : AAt = I .
תרגיל (**) 3.5.24הראה ש־) .On (F ) ≤ GLn (F
הגדרה 3.5.25יהי Fשדה ,ויהי .n ≥ 1מגדירים
SOn (F ) = On (F ) ∩ SLn (F ),
}) POn (F ) = On (F )/{aI ∈ On (F
ו־
SOn (F ) = SOn (F )/{aI ∈ SOn (F )}.
תרגיל (*) 3.5.26מצא את המטריצות הסקלריות ב־) On (Rוב־).SOn (R
הוכח
תרגיל (+**) 3.5.27זהה במפורש את החבורות ).SO2 (R) ,SO2 (R) ,PO2 (R) ,O2 (R
בדוק שהאיזומורפיזם
∼ ).SO2 (R) = SO2 (R
∼ ) ,PO2 (Rוש־ = S 1
∼ )= O2 (R
ש־}= S 1 × {±1
2
) SO2 (R)→PO2 (Rמוגדר לפי .±a 7→ a
∼ ).POn (R
תרגיל (+**) 3.5.28אם nאי־זוגי= SOn (R) = SOn (R) ,
(
( )
)
1 0
, 01 −1
,
−1
תרגיל (**) 3.5.29הראה שכל איבר מסדר 6 ,4 ,3 ,2ב־) GL2 (Rצמוד למטריצה 0 −1
(
( )
)
0 1
, 01 −1בהתאמה.
,
1
−1 0
3.6
ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
הגדרה 3.6.1תהי Xקבוצה כלשהי .החבורה החופשית על Xהיא אוסף כל המלים הסופיות באותיות x, x−1עבור ,x ∈ X
שאין בהן רצף מהצורה xx−1או .x−1 xפעולת הכפל היא הדבקה של מלים ומחיקת הרצפים האסורים לפי הצורך .את החבורה
החופשית מסמנים ) Free(Xאו .FXכל חבורה כזו נקראת חבורה חופשית.
תרגיל (+**) 3.6.2אשר ש־) Free(Xהיא אכן חבורה ,שאיבר היחידה שלה הוא המלה הריקה) .מהו
ההפכי של (?x1 · · · xn
תרגיל (**) 3.6.3הקבוצה Xיוצרת את ).Free(X
∼ ) .Free(Xאת
כמו במקרה של החבורה הסימטרית )תרגיל ,(2.6.4אם | |X| = |X ′אז ) = Free(X ′
החבורה החופשית על קבוצה סופית בגודל nמסמנים .Fn
תרגיל (**) 3.6.4הסבר מדוע }.Free(∅) = {1
∼ .F1
תרגיל = Z (**) 3.6.5
∼ F2כוללת מלים כמו ,yxy −1 x−1 ,x−1 yx5 ,xy ,xוכן הלאה .האברים
כדוגמה נוספת= Free({x, y}) :
xyx−1ו־ yשונים זה מזה .זו אינה חבורה אבלית.
35
פרק .3חבורות מנה
.3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
⟨
⟩
תרגיל (-***) 3.6.6נסמן ב־ x, yאת היוצרים של .F2הוכח שתת־החבורה x2 , xyהיא חופשית.
תרגיל (***) 3.6.7מצא תת־חבורה חופשית עם ℵ0יוצרים של ⟩.F2 = ⟨x, y
תכונת האוניברסליות של החבורות החופשיות מתבטאת בעובדה הבאה:
טענה 3.6.8תהי Gחבורה ותהי Xקבוצה.
fˆ : Free(X)→Gהמתלכד עם fעל אברי .X
אז לכל פונקציה f : X→Gקיים הומומורפיזם יחיד
במלים אחרות ,כדי להגדיר הומומורפיזם ,Free(X)→Gדי לקבוע את התמונות של קבוצת היוצרים .X
שלא כמו במקרה הכללי ,בחבורה חופשית כל בחירה של תמונות ליוצרים מגדירה הומומורפיזם.
∼ .G/Nהוכח ש־ Fאיזומורפית לתת־חבורה
תרגיל (+**) 3.6.9תהי Gחבורה עם מנה חופשית= F :
של .G
תרגיל (**) 3.6.10כל חבורה Gאפשר להציג בצורה F/Kכאשר Fחופשית .הדרכה .תהי Xקבוצת יוצרים
∼ .G
של .Gאז יש התאמה θ : Free(X)→Gהשולחת את אברי Xלעצמם .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון= Free(X)/Ker(θ) ,
הבחן בין תת־החבורה הנוצרת
על־ידי קבוצה ,Rלתת־החבורה
הנורמלית הנוצרת על־ידי .R
נמשיך את תרגיל .3.6.10אם ) Ker(θהיא תת־החבורה הנורמלית הנוצרת על־ידי אברים r1 , . . . , rm
∼ .Gבכיוון ההפוך:
)תרגיל ,(3.3.20אומרים שאלו יחסים המגדירים את החבורה ,וכותבים ⟩ = ⟨X | r1 , . . . , rm
הגדרה 3.6.11תהיינה ) r1 , . . . , rm ∈ Free(x1 , . . . , xnמלים .תהי Kתת־החבורה הנורמלית הנוצרת על־ידי
,r1 , . . . , rmכלומר ,תת־החבורה של ) Free(x1 , . . . , xnהנוצרת על־ידי האברים מהצורה .gri g −1אז
⟨x1 , . . . , xn | r1 , . . . , rm ⟩,
נקראת ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים של חבורת המנה .Free(x1 , . . . , xn )/Kלפעמים כותבים גם
⟩⟨x1 , . . . , xn | r1 = · · · = rm = 1
עבור אותה חבורה .אפשר לקצר ולכתוב ⟩ ⟨X|Rכאשר } X = {x1 , . . . , xnו־} .R = {r1 , . . . , rm
∼ ⟩ .⟨x | xn = 1בדומה לזה
דוגמא = Zn 3.6.12
∼ ⟩⟨x, y | xn = y m = 1, yx = xy
; = Zn × Zm
שימו לב שהשמטת היחס xy = yxמגדירה חבורה אחרת לגמרי.
דוגמא 3.6.13החבורה הדיהדרלית Dnמוגדרת )בהגדרה (2.8.1כחבורה הנוצרת על־ידי יוצרים ,σ, τהמקיימים
יחסים כגון .σ n = τ 2 = (στ )2 = 1לכן האברים σ n , τ 2 , (στ )2נמצאים בגרעין של ההטלה ,Free(σ, τ )→Dn
ומכיוון שהם יוצרים את הגרעין )כתת־חבורה נורמלית(,
⟨
⟩
∼ Dn
= σ, τ | σ n = τ 2 = (στ )2 = 1 .
כידוע ,הומומורפיזם נקבע על־ידי הערכים שלו על קבוצת יוצרים; אבל לא כל בחירה של תמונות אכן
מגדירה הומומורפיזם .לדוגמא ,אין הומומורפיזם Z4 →Z12השולח .1 7→ 1התרגיל הבא מראה מתי בחירת
התמונות של קבוצת היוצרים אכן מגדירה הומומורפיזם.
תרגיל (+**) 3.6.14יהי ⟩ ⟨X|Rייצוג של חבורה ,ותהי Gחבורה כלשהי .תהי f : X→Gפונקציה כזו
שלכל r = xϵi11 · · · xϵinn ∈ Rמתקיים ) f (xi1 )ϵ1 · · · f (xin )ϵn = 1במלים אחרות ,ההצבה fשולחת את
היחסים לאיבר היחידה( .אז יש הומומורפיזם φ : ⟨X|R⟩→Gכך ש־) φ(x) = f (xלכל .x ∈ Xהדרכה .זה
תרגיל .3.5.1
תרגיל (**) 3.6.15תהי Xקבוצת יוצרים ,ותהיינה ) R, R′ ⊆ Free(Xשתי קבוצות של יחסים .אז יש
אפימורפיזם ⟩ ⟨X|R⟩→⟨X|R ∪ R′המוגדר לפי x 7→ xלכל ;x ∈ Xבפרט ⟨X|R ∪ R′ ⟩ ,היא חבורת
מנה של ⟩ .⟨X|Rהדרכה .תרגיל .3.6.14
36
.3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
פרק .3חבורות מנה
תרגיל (***) 3.6.16יהי ⟩ ⟨X|Rייצוג של חבורה ,כאשר } .X = {x1 , . . . , xnנניח ש־} X ′ = {x′1 , . . . , x′n
הם אברים של ) ,Free(Xכך שגם ) .X ⊆ Free(X ′אז החבורה ⟩ ⟨X ′ |R′המתקבלת מהחלפת כל יוצר
ביחסים r ∈ Rבמלה המתאימה באותיות ,X ′היא חבורה איזומורפית ל־⟩.⟨X|R
הדרך לחשב את ⟩ ⟨X|Rהיא לכתוב מלים ביוצרים ,Xולהחליף כל מלה המופיעה ב־ Rבמלה הריקה.
כדי לבצע את ההחלפות בצורה מסודרת ,אפשר להתחיל במלה הריקה וליצור גרף שבו מלה wמחוברת ל־wx
ב"צבע" ,xעבור כל .x ∈ Σאם wמכילה תת־מלה ששייכת ל־ ,Rמחליפים את הקודקוד wבקודקוד המתקבל
מהסרתה) .הגרף נקרא גרף קיילי של החבורה( .קיימת שיטה של (1935) Todd-Coxeterלחישוב האינדקס
של תת־חבורה ⟩ ⟨Yב־⟩ ,⟨X|Rכאשר ⟩ .Y ⊆ ⟨X|Rעם זאת הבעיה אינה ניתנת לחישוב באופן כללי :לא קיים
אלגוריתם המכריע האם שתי הצגות סופיות מייצגות חבורות איזומורפיות ,או אפילו האם ייצוג סופי ⟩⟨X|R
מייצג את החבורה הטריוויאלית.
במקום לכתוב את היחסים כאיברים באגף ימין ,⟨x, y | . . . , w, . . .⟩ ,מקובל לכתוב משוואות מהצורה
w = 1או אפילו w = w′במקום .w′ w−1 = 1
⟨
⟩
תרגיל (**) 3.6.17חשב את אברי החבורה . x, y | x3 = y 2 = (xy)2 = 1
⟨
⟩
תרגיל (**) 3.6.18חשב את אברי החבורה . x, y | x3 = y 2 = xyx−1 y −1 = 1
⟨
⟩
תרגיל (***) 3.6.19צייר את גרף קיילי של ) x, y | x3 , y 3 , (xy)2ראו להלן :החבורה היא .(A4
תרגיל (***) 3.6.20צייר חלק מספיק גדול של גרף קיילי של
⟨
⟩
G = x, y, z | x2 = y 2 = z 2 = (xy)3 = (yz)3 = (zx)3 = 1 ,
על־מנת להשתכנע שהחבורה אינסופית .מצא הטלה .φ : G → S3הוכח שהגרעין נוצר על־ידי
b = xyzy ,a = zxyxו־ .c = yxzxהראה שהם מקיימים abc = 1ו־.ab = ba
תרגיל (+**) 3.6.21אברים a, bבחבורה מקיימים a2 = 1ו־ .ab2 a−1 = b3הוכח ש־ .b5 = 1הוכח
ש־⟩ ⟨a, bהיא חבורת מנה של .D5
⟨
⟩
תרגיל (**) 3.6.22מצא תת־חבורה נורמלית של G = a, b | (ab)4 = (ba)4 , a2 b2 = 1כך שהמנה
ציקלית אינסופית .הדרכה .הצב .c = ba
תרגיל (***) 3.6.23אשר את ההצגות
; A4
; S4
; A5
; S5
; A6
;) GL2 (F3
;) PSL2 (F7
PSL2 (F7 ).
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
חבורות קלאסיות:
⟨
x, y | x3 = y 3
⟨
x, y | x3 = y 4
⟨
x, y | x3 = y 5
הבאות של כמה
⟩
= (xy)2 = 1
⟩
= (xy)2 = 1
⟩
= (xy)2 = 1
⟨
⟩
x, y | x4 = y 6 = (xy)2 = (x−1 y)3 = 1
⟨
⟩
x, y | x4 = y 5 = (xy)2 = (x−1 y)5 = 1
⟨
⟩
x, y | x8 = y 3 = (xy)2 = [x4 , y] = 1
⟨
⟩
x, y | x3 = y 3 = (xy)4 = (xy −1 )4 = 1
⟨
⟩
x, y | x3 = y 2 = (xy)7 = [x, y]4 = 1
תרגיל (**) 3.6.24הגדר שיכון A4 ,→ S4בהתאמה להצגות הנתונות בתרגיל .3.6.23
.yxy−1
תרגיל (-***) 3.6.25הראה שהחבורה ) ,SL2 (F3שסדרה ,24איזומורפית ל־
⟩
x, y, z | x3 = y 3 = 1, (xy)2 = z, xz = zx, yz = zy .
הדרכהx 7→ x, y 7→ .
⟨
מצא שיכון של חבורת הקווטרניונים ) Q4סעיף (3.6.1כתת־חבורה נורמלית ב־) .SL2 (F3
הדרכה .לחלק השני α = xy :ו־ β = yxמקיימים ,α2 = β 2 = zוגם = (αβ)2 = xyyxxyyx = x−1 x−1 y −1 x−1 y −1 x
2
−1 2
−1
−1
−1 2
∼ ⟩ .⟨α, βנוסף לזה ,xαx−1 = αβ ,xβx−1 = α
,x (yxyx) x = x β x = zולכן ;βα = β (αβ) α = zαβמכאן ש־= Q
ומכאן הנורמליות.
37
פרק .3חבורות מנה
.3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
⟨
⟩
תרגיל (**) 3.6.26נסמן ) ∆n,m,k = x, y | xn = y m = (xy)k = 1נקראת גם חבורת המשולש של
) (.(n, m, kמצא בסעיף זה כמה דוגמאות שבהן חושבה החבורה ,∆n,m,kוהראה שבכולן סדר החבורה
1
κ = n1 + mהיא ה''עקמומיות'' של החבורה) .לעובדה זו יש הסבר
הוא |∆n,m,k | = κ2כאשר + k1 − 1
גאומטרי שלא נציג כאן (.מצא את כל חבורות המשולש עם עקמומיות חיובית.
⟨
⟩
תרגיל (-***) 3.6.27נסמן ) Gn,m,k = a, b, c | a2 = b2 = c2 = (ab)n = (ac)m = (bc)k = 1זוהי
.(Coxeterהראה שיש שיכון ⟨ ∆n,m,k ,→ Gn,m,kשהתמונה שלו מאינדקס .2
דוגמא לחבורת
⟩
הדרכה .הראה ש־ a, x, y : a2 = (xa)2 = (ay)2 = xn = y m = (xy)k = 1
= ,Gn,m,kושעם יוצרים אלה ⟩ ⟨x, yמאינדקס .2
תרגיל (-***) 3.6.28נתבונן בחבורה
⟨
⟩
G = x, y | x4 = y 4 = (xy)2 = (x−1 y)n = 1 .
הראה ש־ b⟩ = yx−1 ,a = x−1 yמתחלפים⟨ ומקיימים .an = bn = 1בנוסף,xbx−1 = a−1 ,xax−1 = b ,
∼ .G/⟨a, b⟩ = x | x4 = 1לכן .|G| = 4n2
ולכן ,⟨a, b⟩▹Gעם מנה = Z4
∼ ,Gכאשר Fחופשית .היינץ הופף )Heintz
הערה 3.6.29לחבורה Gיכולים להיות ייצוגים רבים בצורה = F/N
(Hopfהוכיח שהמנה ] ,M (G) = (N ∩ [F, F ])/[F, Nהנקראת כופל שור של החבורה )על־שם ישי שור( אינה
תלויה בייצוג.
3.6.1
חבורת הקווטרניונים
הגדרה 3.6.30חבורת הקווטרניונים הכללית מוגדרת על־פי הייצוג
⟩
= i, j | in = j 2 , j 4 = 1, jij −1 = i−1 .
⟨
Q2n
את Q4מסמנים לפעמים באות ,Qוהיא נקראת סתם חבורת הקווטרניונים.
תרגיל (**) 3.6.31כל איבר של Q2nאפשר לכתוב בצורה ia j bולכן
{
}
= ia j b : a = 0, . . . , n − 1, b = 0, 1, 2, 3 .
Q2n
בפרט ) |Q2n | = 4nולכן .(|Q4 | = 8
⟩⟨ 2
∼ ) .Q2n /Z(Q2n
תרגיל (**) 3.6.32המרכז של Q2nהוא , jו־ = Dn
תרגיל (***) 3.6.33מצא את תת־החבורות של Q4והראה שכולן אבליות ונורמליות.
∼ .D4
תרגיל (**) 3.6.34הראה ש־ ̸ Q4
=
הדרכה.
תרגיל .2.8.9
תרגיל (**) 3.6.35בחבורה ,Q4סמן ,k = ijו־ .−1 = i2 = j 2הראה ש־},Q4 = {±1, ±i, ±j, ±k
כאשר −1יוצר את המרכז ו־.(−1)2 = 1
(
)
(
)
0 1 ,î = i 0
.ĵ = −1בדוק ש־= ̂ĵ i
0
תרגיל (*) 3.6.36באלגברת המטריצות ) ,M2 (Cנסמן 0 −i
⟩ ⟨
∼ ̂. î, j
̂ −îjו־ .î2 = ĵ 2 = −1הראה ש־ = Q4
תרגיל (***) 3.6.37נסמן ב־ Hאת חבורת כל המטריצות מהצורה ̂ ,x + y î + z ĵ + uîjכאשר
x2 + y 2 + z 2 + u2 = 1.
הראה ש־ ,|H| = 24ו־.Q4 ▹H
לתרגיל .(3.6.25
1
Z,
2
∈ x, y, z, u
∼ ⟩.H/⟨−1
הראה ש־ = A4
∼ ) Hהשווה
הראה ש־) = SL2 (F3
תרגיל (***) 3.6.38נסמן ב־ Bאת חבורת כל המטריצות מהצורה ̂ ,x + y î + z ĵ + uîjכאשר x, y, z, u
מקיימים את התנאים של תרגיל ,3.6.37או ש־) (x, y, z, uמתקבל מתמורה זוגית של הווקטור
−1
√
) ,(0, 12 , φ2 , φ2ו־ .φ = 1+2 5בפרט הראה ש־ .H < Bהראה ש־ .|B| = 120חבורה זו נקראת
∼ .B
חבורת האיקוסהדרון הכפולה .הראה ש־) = SL2 (F5
38
.3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
פרק .3חבורות מנה
תרגיל (-***) 3.6.39הראה שהחבורה ) ,SL2 (F5שסדרה ,120איזומורפית ל־
⟨
⟩
; x, y | x3 = y 5 = (xy)4 = 1, (xy)2 = (yx)2
וגם ל־
ול־
⟨
⟩
; a, b, c | a2 = b3 = c5 = abc
⟩
α, β | (αβ)2 = α3 = β 5 .
⟨
מצא שיכון של חבורת הקווטרניונים Q4כתת־חבורה ב־) ) SL2 (F5ראה תרגיל .(10.2.10
תרגיל (**) 3.6.40נתבונן בחבורה Gשהיוצרים שלה x1 , . . . , xn−1מקיימים את היחסים ,x2i = −1
) xj xi = −xi xjלכל ,(i ̸= jכאשר −1הוא איבר מרכזי מסדר .2הראה ש־ ,|G| = 2nוש־.Z(G) = 1
∼ .Gהערה .חבורה זו מופיעה בהוכחה של משפט ,1898 ,Hurwitzהקובע שלא קיימת נוסחת
עבור = Q4 ,n = 3
מכפלה לסכומי ריבועים אלא עבור סכומים של 2, 4, 8ריבועים בלבד.
39
פרק .3חבורות מנה
.3.6ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים
40
פרק 4
סריג תת־החבורות
בפרק הזה נכיר עוד תכונות של אוסף תת־החבורות של חבורה ,הקושרות תת־חבורות של חבורה לתת־החבורות
של חבורת מנה שלה.
הפעולות הבסיסיות בין תת־חבורות הן חיתוך )החיתוך של שתי תת־חבורות הוא תמיד תת־חבורה,
והחיתוך של תת־חבורות נורמליות הוא תמיד תת־חבורה נורמלית( ,ומכפלה )המכפלה של תת־חבורות היא
תת־חבורה אם ורק אם הן מתחלפות ,כקבוצות( .מתברר שאוסף תת־החבורות הנורמליות של חבורה
)שהוא סריג( מקיים את תכונת המודולריות .חבורות מנה המערבות את החיתוך והמכפלה מופיעות במשפט
האיזומורפיזם השני ומשפט האיזומורפיזם השלישי .את סריג תת־החבורות של חבורת מנה מתאר משפט
המרָכז.
ְ
ההתאמה .סעיף 4.7עוסק בכמה תכונות של
אם תת־חבורות A, Bנחתכות באופן טריוויאלי ומכפלתן היא החבורה כולה ,אז הן משלימות .תכונה
זו מופיעה במכפלה ישרה פנימית ,וגם במכפלה ישרה למחצה שנפגוש בעתיד .כל חבורה שהיא מכפלה ישרה
פנימית מתפרקת גם כמכפלה ישרה חיצונית )ולהיפך(.
תת־חבורת הקומוטטורים G′מודדת עד כמה החבורה Gרחוקה מאבליות .המנה G/G′היא המנה
האבלית הגדולה ביותר של .Gסעיף ,4.9שהוא מתקדם יותר ,מציג את הרעיון של תת־חבורה מקסימלית
וחבורת מנה מקסימלית בעלות תכונות מסויימות ,באופן אבסטרקטי.
4.1
חיתוך של תת־חבורות
תרגיל (**) 4.1.1נורמליות מחלחלת :אם H ≤ Gו־ ,N ▹Gאז .N ∩ H▹Hמצא דוגמה נגדית המראה
שלא בהכרח .N ∩ H▹N
תרגיל (**) 4.1.2אם ,N1 , N2 ▹Gאז גם .N1 ∩ N2 ▹G
תרגיל (**) 4.1.3אם A▹A1 , B▹B1תת־חבורות של ,Gאז .A ∩ B▹A1 ∩ B1
הגדרה 4.1.4חבורה Gהיא פשוטה אם אין לה תת־חבורות נורמליות.
תרגיל (**) 4.1.5נתון ש · · · ⊆ G1 ⊆ G2 ⊆ · · · ⊆ Gnחבורות פשוטות .הוכח שגם Gn
4.2
∪
n
= Gפשוטה.
כפל תת־חבורות
בהמשך להגדרת הקוסטים ,שבה הכפלנו איבר בקבוצה ,אנו מגדירים עבור תת־קבוצות :A, B ⊂ G
AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B},
{
}
A−1 = a−1 : a ∈ A .
תרגיל (*) 4.2.1הוכח את התכונות
41
פרק .4סריג תת־החבורות
.4.2כפל תת־חבורות
,A(BC) = (AB)C .1
,(AB)−1 = B −1 A−1 .2
.(A−1 )−1 = A .3
תרגיל (*) 4.2.2אוסף תת־הקבוצות הלא ריקות של חבורה Gהוא מונויד ביחס לפעולת הכפל של
קבוצות ,שבו } {1הוא איבר היחידה ,ו־ Gאיבר אפס.
תרגיל (+*) 4.2.3תת־קבוצה לא ריקה A ⊆ Gהיא תת־חבורה אם ורק אם AA = Aו־.A−1 = A
תרגיל (+**) 4.2.4תהיינה A, B ⊆ Gתת־קבוצות לא ריקות כך ש־| .|G| < |A| + |Bהראה ש־.AB = G
תרגיל (**) 4.2.5נניח ש־ H ⊆ Gתת־קבוצה ,ונגדיר ≡Hכבסעיף .3.1הוכח שאם ≡Hיחס שקילות ,אז
Hתת־חבורה.
בפרק 4נתבונ ן באוסף תת־החבורות כבסריג.
החבורה
הגדולה
ביותר
בשתי
המוכלת
מנקודת מבט זו חשוב לזהות את תת־
תת־חבורות,
שהיא
כמובן
החיתוך
,H1 ∩ H2
ואת
תת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את שתיהן ,שהיא תת־החבורה הנוצרת על־ידי האיחוד,
⟩ .⟨H1 ∪ H2 ⟩ = ⟨H1 , H2
א־פריורי ,האברים בתת־החבורה הנוצרת עשויים להיות מאד מסובכים
′′
′
′
)למשל xyx′ y ′ x′′ ,כאשר .(y, y ∈ H2 ,x, x , x ∈ H1המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר המכפלה
,H1 H2שהאברים שלה פשוטים ומובנים ,היא חבורה בעצמה.
משפט 4.2.6המכפלה H1 H2של תת־החבורות H2 ,H1היא תת־חבורה אם ורק אם .H1 H2 = H2 H1
תרגיל (**) 4.2.7הוכח את המשפט.
הדרכה .תרגיל .4.2.3
שימו לב שהתנאי H1 H2 = H2 H1אינו אומר שכל איבר של H1מתחלף עם כל איבר של ,H2
ואפילו לא שכל x ∈ H1מקיים .xH2 = H2 xהתנאי אומר רק שלכל x1 ∈ H1ו־ x2 ∈ H2יש x′2 ∈ H2
ו־ x′1 ∈ H1כך ש־ ,x2 x1 = x′1 x′2ולהיפך.
תרגיל (+**) 4.2.8תהיינה H1 , H2 ≤ Gתת־חבורות .הראה שאם H1 H2 ⊆ H2 H1אז .H1 H2 = H2 H1
הדרכה .הפוך.
תרגיל ) (**) 4.2.9דוגמה נגדית ל"מכפלת תת־חבורות היא תמיד תת־חבורה" (:מצא תת־חבורות
של S3שאינן מתחלפות.
טענה 4.2.10אם H1 , H2 ≤ Gתת־חבורות מתחלפות ,אז = ] [H1 H2 : H1
] .[H2 : H1 ∩ H2
| |H1 |·|H2
במלים אחרות )כאשר H1 H2סופיות(.|H1 H2 | = |H1 ∩H2 | ,
תרגיל (-***) 4.2.11הוכח את הטענה.
H1 H2B
BBBB
mm
BBBB
H1 B
B
BBBB
BBBB
B
mm H2
H1 ∩ H2
הדרכה .הגדר פונקציה .f : H1 × H2 → H1 H2
תרגיל (**) 4.2.12תהיינה N, Hתת־חבורות של ,Gכאשר Nנורמלית .אז:
,N H ≤ G .1
,N ▹N H .2
.3ו־.N ∩ H▹H
משפט ) 4.2.13משפט האיזומורפיזם השני( תהי Gחבורה עם תת־חבורה Hותת־חבורה נורמלית .N
∼ .N H/N
= H/N ∩ H
תרגיל (**) 4.2.14הוכח את המשפט.
הדרכה .הגדר φ : H → N H/Nלפי .φ(h) = hN
42
אז
.4.2כפל תת־חבורות
פרק .4סריג תת־החבורות
תרגיל (**) 4.2.15תהי Gחבורה עם תת־חבורה נורמלית .Nנגדיר θ : G→G/Nלפי .θ(g) = gNתהי
∼ ) .H/Ker(θ|H
.H ≤ Gבדוק שמשפט האיזומורפיזם השני אינו אלא הטענה ש־) = Im(θ|H
תרגיל (**) 4.2.16נניח ש־ N ▹H1הן תת־חבורות של ,Gו־ H2 ▹Gתת־חבורה נורמלית .הראה
שההעתקה H1 /N → G/H2המוגדרת לפי ,h1 N 7→ h1 H2מוגדרת היטב אם ורק אם .N ⊆ H2
הראה שההעתקה חד־חד־ערכים אם ורק אם ,N = H1 ∩ H2ועל אם ורק אם .G = H1 H2
תרגיל (**) 4.2.17תהי Gחבורה עם תת־חבורה Hותת־חבורות נורמליות .N, N ′הוכח :אם = N ∩ H
∼ .(HN )/N
,N ′ ∩ Hאז = (HN ′ )/N ′
תרגיל (**) 4.2.18תהי Gחבורה עם תת־חבורה Hותת־חבורות נורמליות .N, N ′הוכח :אם = HN
∼ ) .N/(H ∩ N
,HN ′אז ) = N ′ /(H ∩ N ′
תרגיל (***) 4.2.19תהיינה H, B, Cתת־חבורות של חבורה ,Gכך ש־ B, Cנורמליות ו־ .B ⊆ Hמצא
העתקות fחח"ע ו־ gעל ,כך ש־) Im(f ) = Ker(gבסדרה הבאה:
H ∩ C f H g HC
→−
→−
→ 0.
B∩C
B
BC
→0
תרגיל N ▹G (**) 4.2.20ו־ N, G/Nאבליות H .תת־חבורה של .Gהוכח שקיימת ,K▹Hכך ש־
K, H/Kאבליות.
תרגיל (***) 4.2.21יהי φ : G1 → G2הומומורפיזם .תהיינה Ki ▹Hi ≤ Giתת־חבורות .הוכח שאם
φ(H1 ) ⊆ H2ו־ ,φ(K1 ) ⊆ K2אז φ̃(h1 K1 ) = φ(h1 )K2מגדיר הומומורפיזם .φ̃ : H1 /K1 → H2 /K2
הראה שיתכן ש־ φחד־חד־ערכית ,אבל ̃ φאינה כזו.
תרגיל (+**) 4.2.22באופן אנלוגי לטענה 2.2.38אפשר לשאול עבור תת־חבורות :A, B, C ≤ Gנניח
ש־ A ⊆ BCו־" A, Bזרות" ,האם בהכרח ?A ⊆ C
.1נניח ש־ .A ⊆ BCאם C▹Gו־ ,(|A|, |B|) = 1אז .A ⊆ C
.2הנחת הנורמליות של Cבסעיף הראשון הכרחית :תן דוגמה שבה B▹G ,1 ̸= A ⊆ BCו־
,(|A|, |B|) = 1אבל .A ∩ C = 1
.3ההנחה ש־ (|A|, |B|) = 1בסעיף הראשון הכרחית :תן דוגמה שבה ,B, C▹G ,1 ̸= A ⊆ BC
A ∩ B = 1ובכל זאת .A ∩ C = 1
תרגיל ) (***) 4.2.23הלמה של זסנהאוס( תהיינה ,B▹B1 ,A▹A1תת־חבורות של .Gהוכח:
א.A1 ∩ B▹A1 ∩ B1 .
ב.A(A1 ∩ B)▹A(A1 ∩ B1 ) .
) A(A1 ∩B1
) B(A1 ∩B1
∼ ) . A(A ∩Bהדרכה .התבונן ב־) ,D = (A1 ∩ B)(A ∩ B1והעזר בדיאגרמה:
ג.
= B(A∩B
1
)1
B1
FF
FF
xx
xxx
) B(A1 ∩ B1
A1
) A(A1 ∩ B1
LLL
LL
rr
rrr
) ∩ B1
LLL A1 ∩ B1 rB(A
GGG
r
LLL
r
GG
r
r
r
B
D M
MMM
vv
qqq
v
M
q
v
M
q
v
q
A ∩ B1
A1 ∩ B
MMM
qq
MM
qqq
)A(A1 ∩ B
ww
www
A G
GGG
G
A∩B
43
.4.3מכפלה ישרה פנימית
4.3
פרק .4סריג תת־החבורות
מכפלה ישרה פנימית
הגדרה 4.3.1תת־חבורות H, K ≤ Gהן משלימות אם H ∩ K = 1ו־.HK = G
תרגיל (*) 4.3.2הראה שאם H, Kמשלימות אז .HK = KH
תרגיל (*) 4.3.3נניח ש־ H, Kמשלימות .אז לכל איבר g ∈ Gיש הצגה יחידה בצורה g = hkעבור
h ∈ Hו־.k ∈ K
תרגיל (-***) 4.3.4אם A, Bתת־חבורות משלימות של Gו־ ,A ⊆ A1 ≤ Gאז |.[A1 : A] = |A1 ∩ B
תרגיל (+**) 4.3.5תן דוגמה נגדית לטענה הבאה :אם A, Bתת־חבורות משלימות של Gו־ ,A0 ▹Aאז
A0 Bהיא חבורה .הצעה .קח .A = K4 ,G = A4
הגדרה G 4.3.6היא מכפלה ישרה פנימית של תת־חבורות H, Kאם H, Kנורמליות ומשלימות.
תרגיל (*) 4.3.7אם Gאבלית ו־ H, Kמשלימות ,אז Gהיא מכפלה ישרה שלהן.
מתחלפים
אברים
commuting
=
.elements
איבר מהצורה [x, y] = xyx−1 y −1נקרא קומוטטור )משום שהוא מודד באיזו מידה xו־ yמתחלפים ,או
אינם מתחלפים ,זה עם זה(.
תרגיל [x, y] = 1 (*) 4.3.8אם ורק אם .xy = yx
הגדרה 4.3.9תהיינה [A, B] .A, B ≤ Gהיא תת־החבורה של Gהנוצרת על־ידי הקומוטטורים ] [a, bעבור .a ∈ A, b ∈ B
)הבדילו בין הסימון הזה לסימון האינדקס ] .[G : Hנעסוק בתת־חבורת הקומוטטורים שוב בסעיף (.4.8
תרגיל [A, B] = 1 (*) 4.3.10אם ורק אם כל איבר a ∈ Aמתחלף עם כל איבר .b ∈ B
קריטריון
למכפלה ישרה.
חשוב
תרגיל (**) 4.3.11תהיינה H, Kתת־חבורות משלימות .הוכח H, K▹G :אם ורק אם .[H, K] = 1
תרגיל (+**) 4.3.12תהי Gמכפלה ישרה פנימית של ,H1 , H2ו־ Nתת־חבורה נורמלית המקיימת ∩ N
.H1 = N ∩ H2 = 1הוכח ש־).N ⊆ Z(G
תרגיל (-**) 4.3.13המכפלה הישרה החיצונית G = A × Bהיא מכפלה ישרה פנימית של תת־החבורות
} A × {1Bו־.{1A } × B
מכפלה ישרה פנימית וחיצונית הן למעשה אותו הדבר:
∼ .G
משפט 4.3.14אם Gמכפלה ישרה פנימית של ,H, Kאז = H × K
תרגיל (**) 4.3.15הוכח את המשפט.
הדרכה .הגדר φ : H × K → Gלפי .φ(h, k) = hk
תרגיל Z4 (+**) 4.3.16אינה מכפלה פנימית ישרה של תת־חבורות.
תרגיל (**) 4.3.17תהיינה .A, B▹Gמצא שיכון .G/(A ∩ B) ,→ G/A × G/B
תרגיל (**) 4.3.18נניח ש־ .A, B▹Gהראה שהמנה ) AB/(A ∩ Bהיא מכפלה ישרה.
תרגיל H, K (***) 4.3.19תת־חבורות נורמליות של ,Gשהמנות ביחס אליהן אבליות .הוכח ש־G/H ∩K
אבלית .הדרכה .תרגיל .4.3.17הערה .מתרגיל זה אפשר להסיק את קיומן של מנות מקסימליות מטיפוס מסויים ,ראה
תרגיל .4.9.7
תרגיל (**) 4.3.20תהיינה .H1 , H2 , K▹Gאם G = H1 H2 Kומתקיים ,H1 ∩ (H2 K) ⊆ Kאז G/K
מכפלה ישרה פנימית של H2 K/Kו־.H1 K/K
⟨
⟩
∼ ϵ | ϵ2 = 1ו־ .G0הוכח שכל תת־חבורה
תרגיל (***) 4.3.21נניח ש־ Gמכפלה ישרה פנימית של = Z2
של Gשאינה מכילה את ,ϵאיזומורפית לתת־חבורה של .G0הדרכה .אם ,H ̸⊂ G0נפרק H = H0 ∪ H1כאשר
∼ .H
H0 = H ∩ G0ו־ .H1 = H−H0הראה ש־ = H0 ∪ ϵH1 ≤ G0
תרגיל (**) 4.3.22תהי Gחבורה עם תת־חבורה G0מאינדקס .2נניח שיש אפימורפיזם φ : G→G0כך
∼ .G
ש־ .Ker(φ) ̸⊆ G0אז = G0 × Z2
44
פרק .4סריג תת־החבורות
4.3.1
.4.4סריג תת־החבורות
מכפלה ישרה של כמה תת־חבורות
הגדרה 4.3.23החבורה Gהיא מכפלה ישרה פנימית של H1 , . . . , Htאם
.1לכל .Hi ▹G ,i
.2לכל .Hi ∩ (H1 · · · Hi−1 Hi+1 · · · Ht ) = 1 ,i
.H1 · · · Ht = G .3
תרגיל (**) 4.3.24אשר שהגדרה ,4.3.23עבור ,t = 2מסכימה עם הגדרה .4.3.6
∼ .G
משפט 4.3.25אם Gמכפלה ישרה פנימית של ,H1 , . . . , Htאז = H1 × · · · × Ht
הוכחה .באינדוקציה על .tאם t = 2זהו משפט .4.3.14נסמן ,H = H1 · · · Ht−1שהיא תת־חבורה נורמלית
∼ .Hאבל לפי ההנחה
של Gכי H1 , . . . , Ht−1נורמליות .לפי הנחת האינדוקציה= H1 × · · · × Ht−1 ,
∼ .H
∼ = H × Ht
HHt = Gו־ ,H ∩ Ht = 1ולכן = H1 × · · · × Ht−1 × Ht
תרגיל (-***) 4.3.26תן דוגמה לחבורה Gעם תת־חבורות נורמליות ,Hi ▹Gכך ש־ G = H1 H2 H3
ו־ Hi ∩ Hj = 1לכל ,i, jאבל Gאינה מכפלה ישרה פנימית של .H1 , H2 , H3
תרגיל (+**) 4.3.27נניח ש־ .G = H1 H2 H3 ,Hi ▹Gאם H1 ∩ H2 H3 = H2 ∩ H3 = 1אז Gמכפלה
ישרה פנימית של .H1 , H2 , H3
4.4
סריג תת־החבורות
4.4.1סריגים
הגדרה 4.4.1קבוצה Λעם יחס סדר חלש ≤ נקראת סריג אם לכל a, b ∈ Λיש חסם עליון וחסם תחתון לקבוצה }.{a, b
במלים אחרות ,מקסימום לקבוצה } ,{x : x ≤ a, x ≤ bומינימום לקבוצה } .{x : a ≤ x, b ≤ xאת הראשון מסמנים a ∧ b
ואת השני .a ∨ b
תרגיל (+*) 4.4.2לכל a, bבסריג x ≤ a, b ,אם ורק אם ;x ≤ a ∧ bו־ a, b ≤ xאם ורק אם .a ∨ b ≤ x
היזכר בתרגיל .2.2.26להלן דוגמה נוספת:
תרגיל (**) 4.4.3תהי Xקבוצה .הראה שקבוצת החזקה ) ,P (Xעם יחס ההכלה ,היא סריג ,שבו
A ∨ B = A ∪ Bו־.A ∧ B = A ∩ B
תרגיל (**) 4.4.4תן דוגמה לתת־קבוצה של ) P (Xשאיננה סריג.
תרגיל (**) 4.4.5הוכח את התכונות הבאות ;a ∧ b ≤ a ≤ a ∨ b :הפעולות ∨ ∧,הן סימטריות
ואסוציאטיביות; x ≤ a ∧ bאם ורק אם a ∨ b ≤ x ;x ≤ a, bאם ורק אם .a, b ≤ x
4.4.2
הסריג של תת־החבורות
טענה 4.4.6אוסף תת־החבורות של חבורה ,עם יחס ההכלה ,הוא סריג.
תרגיל (**) 4.4.7הוכח את הטענה :בדוק שלכל H1 ∩ H2 ,H1 , H2 ≤ Gהיא תת־החבורה הגדולה
ביותר המוכלת ב־ H1 , H2ו־⟩ ⟨H1 , H2היא תת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את .H1 , H2
תרגיל (*) 4.4.8אם H1 H2תת־חבורה ,אז .⟨H1 , H2 ⟩ = H1 H2אבל אם לא H1 H2 ,אינה נמצאת
בסריג תת־החבורות ,ולכן אינה יכולה לשמש בעצמה כחסם עליון.
45
זו הגדרה נוחה לשימוש
העליון
החסם
של
והחסם התחתון בסריג.
פרק .4סריג תת־החבורות
.4.5אינדקס של תת־חבורות
4.4.3מודולריות
תרגיל (-**) 4.4.9הראה שבכל סריג ,אם C ≤ Aאז ).(A ∧ B) ∨ C ≤ A ∧ (B ∨ C
הגדרה 4.4.10סריג הוא מודולרי אם לכל C ≤ Aולכל ,Bמתקיים ).(A ∧ B) ∨ C = A ∧ (B ∨ C
בסריג מודולרי ,אם ,C ≤ Aמותר לכתוב A ∧ B ∨ Cללא חשש של דו־משמעות.
תרגיל (**) 4.4.11הראה שסריג תת־הקבוצות ) P (Xהוא מודולרי )כלומר ,לכל שלוש קבוצות ,A, B, C
אם C ⊆ Aאז ).((A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C
תרגיל (**) 4.4.12אם A, B, Cתת־חבורות של Gו־ ,C ⊆ Aאז )) (A ∩ B) · C = A ∩ (B · Cאלו אינן
בהכרח תת־חבורות!(.
תרגיל (***) 4.4.13אוסף תת־החבורות הנורמליות של חבורה Gהוא סריג מודולרי.
תרגיל (***) 4.4.14הראה שהסריג של כל תת־החבורות אינו בהכרח מודולרי.
הצעה .קח A = ,G = S4
⟩).C = ⟨(12)⟩ ,⟨(12), (34
תרגיל (**) 4.4.15תהיינה A, B, Cתת־חבורות ,כך ש־ ,B ∩ C = A ∩ C ,CA = CBו־ .B ⊆ Aהוכח
.A = B
∼ )BC/(A∩BC
תרגיל (**) 4.4.16תהיינה ,A, B, C▹Gכך ש־ .B ⊆ Aהוכח את האיזומורפיזם ∩= C/A
.Cקבל את משפט האיזומורפיזם השני כמקרה פרטי .הדרכה .קח .B = A
תרגיל (***) 4.4.17תהי Hתת־חבורה של ,Gעם הומומורפיזם ψ : G→Hכך ש־ .Ker(ψ) ∩ H = 1אז
) .H = Im(ψהדרכה .יישם מודולריות לחבורות ) .H, Ker(ψ), Im(ψהערה .ראה גם תרגיל .7.3.13
תרגיל (*) 4.4.18בכל סריג מתקיים ).A ∨ (B ∧ C) ≤ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C
הגדרה 4.4.19סריג הוא דיסטריבוטיבי אם לכל A, B, Cמתקיים השוויון
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
תרגיל (+*) 4.4.20סריג תת־הקבוצות ) P (Xהוא דיסטריבוטיבי.
תרגיל (-***) 4.4.21כל סריג דיסטריבוטיבי הוא מודולרי.
תרגיל (**) 4.4.22סריג תת־החבורות הנורמליות אינו בהכרח דיסטריבוטיבי.
הדרכה .יש להראות שלפעמים
) .A(B ∩ C) ⊃ (AB) ∩ (ACבחר .G = Z2 × Z2
4.5
אינדקס של תת־חבורות
תרגיל (+**) 4.5.1תהיינה A, B ≤ Gתת־חבורות .נניח ש־] [G : A ∩ Bסופי.
[A : A ∩ B] .1
=
]) [AB : Bאיננו מניחים כאן ש־ ABהיא תת־חבורה(.
הדרכה.
הפונקציה
} {a(A ∩ B) : a ∈ A}→{aB : a ∈ Aלפי a(A ∩ B) 7→ aBהיא חד־חד־ערכית ועל.
,[A : A ∩ B] ≤ [G : B] .2ויש שוויון אם ורק אם .G = AB
.3הסק ש־] ,[G : A ∩ B] ≤ [G : A] · [G : Bעם שוויון אם ורק אם ) .G = ABזו טענה (.4.2.10
תרגיל (**) 4.5.2תהיינה .A, B ≤ Gאם ] [G : A], [G : Bזרים ,אז .G = AB
הדרכה .תרגיל .4.5.1
תרגיל (+**) 4.5.3תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס .[G : H] = n
תרגיל 6.3.20מספק
תוצאה טובה יותר.
דוגמאות
בדוק
מספריות כדי להתרשם
שמספקת
מהשיפור
תת־חבורת ביניים.
.1הוכח ש־ Hמכילה תת־חבורה נורמלית מאינדקס .[G : N ] ≤ nn
][G:H
הדרכה .הראה ש־≤ ])[G : CoreG (H
] .[G : Hאת ) CoreG (Hהגדרנו ב־.3.3.21
.2נניח ש־ H ≤ T ▹Gעם .[G : T ] = mהראה ש־ Hמכילה תת־חבורה נורמלית Nמאינדקס
.[G : N ] ≤ m · (n/m)n
46
פרק .4סריג תת־החבורות
4.6
.4.6משפט ההתאמה
משפט ההתאמה
משפט ) 4.6.1משפט האיזומורפיזם השלישי( תהיינה ≤ N
∼ ).(G/K)/(N/K
= G/N
תרגיל (**) 4.6.2הוכח את המשפט.
Kתת־חבורות נורמליות של חבורה .G
אז
הדרכה .הגדר φ : G/K → G/Nלפי .φ(gK) = gN
תרגיל (**) 4.6.3תהיינה ,A, B, C▹Gכך ש־ .B ⊆ Aהוכח ש־ AC/BCהיא חבורת מנה של .A/B
תרגיל (**) 4.6.4תהי .N ▹Gכל תת־חבורה של G/Nהיא מהצורה H/Nעבור .N ⊆ H ≤ G
משפט 4.6.5יהי φ : G→Hהומומורפיזם ,עם גרעין ) .K = Ker(φנסמן ב־ LGאת אוסף תת־החבורות של Gהמכילות
את ,Kוב־ LHאת אוסף כל תת־החבורות של .Imφשני אלו סריגים.
אז קיימת התאמה חד־חד־ערכית ועל ,α : LG →LHהמקיימת:
) .1מונוטוניות( עבור G1 ≤ G2 ,G1 , G2 ∈ LGאם ורק אם ) .α(G1 ) ≤ α(G2ולכן αהוא איזומורפיזם
של סריגים.
) .2שמירה על חיתוך( ) .α(G1 ∩ G2 ) = α(G1 ) ∩ α(G2
) .3שמירה על מכפלה( ) .α(G1 G2 ) = α(G1 )α(G2
) .4שמירה על אינדקס( אם ,G2 ⊆ G1אז ]) .[G1 : G2 ] = [α(G1 ) : α(G2
) .5שמירה על נורמליות( לכל N ▹H ,N, H ∈ LGאם ורק אם ).α(N )▹α(H
∼ .H/N
) .6שמירה על מנות( אם N, H ∈ L1מקיימות ,N ▹Hאז ) = α(H)/α(N
תרגיל (***) 4.6.6הוכח את המשפט.
הדרכה.
קח } ,α(H) = φ(H) = {φ(g) : g ∈ Hו־= ) β(M ) = φ−1 (M
} .{g ∈ G : φ(g) ∈ Mהראה שההעתקות מוגדרות היטב והופכות זו את זו ,כלומר α ◦ β = idLH ,וש־ .β ◦ α = idL1
תרגיל (+*) 4.6.7נסח את המשפט במקרה ש־ φ : G→G/Kהוא הומומורפיזם ההטלה .g 7→ gN ,הערה.
מתקבלת התאמה בין תת־החבורות של Gהמכילות את ,Kלבין תת־החבורות של .G/K
תרגיל (*) 4.6.8נניח ש־ K▹Gו־ .K ≤ H ≤ Gאז H/K▹G/Kאם ורק אם .H▹G
תרגיל (+**) 4.6.9מצא את כל תת־חבורה מאינדקס 3של ,S4והראה שהן אינן נורמליות .הדרכה.
⟩) K4 = ⟨(12)(34), (13)(24היא תת־חבורה נורמלית מסדר .4הראה שהיא מוכלת בכל תת־חבורה מסדר 8של ,S4ומצא את החבורות
∼ .S4 /K4
האלה בעזרת משפט ההתאמה מן העובדה ש־ = S3
המרָכז
ְ
4.7
המרָכז של חבורה הגדרנו בהגדרה .2.1.6
ְ
את
תרגיל (*) 4.7.1כל תת־חבורה נורמלית מסדר 2היא מרכזית.
תרגיל .H ≤ G (**) 4.7.2הראה ש־) ,H ∩ Z(G) ⊆ Z(Hותן דוגמא שבה זו הכלה אמיתית.
תרגיל (***) 4.7.3תן דוגמה לחבורה Gעם תת־חבורות Hהמדגימות את כל האפשרויות הבאות:
,Z(H) ⊂ Z(G) .1
,Z(G) ⊂ Z(H) .2
Z(H) .3אינו מוכל ב־) Z(Gואינו מכיל אותו.
תרגיל (+**) 4.7.4אם H ≤ Gו־ ,N ▹Gאז ) .Z(H)N/N ⊆ Z(HN/N
תרגיל (**) 4.7.5אם ) G/Z(Gחבורה ציקלית ,אז Gאבלית.
47
זו עובדה חשובה ביותר
על חבורות מנה.
פרק .4סריג תת־החבורות
.4.8תת־חבורת הקומוטטורים
תרגיל (-***) 4.7.6תהי Hחבורה עם קבוצת יוצרים x1 , . . . , xmכך ש־ .⟨x1 ⟩ ∩ · · · ∩ ⟨xm ⟩ ̸= 1הראה
ש־ Hאינה יכולה להיות מהצורה ) .G/Z(Gהסק :חבורת הקווטרניונים אינה מהצורה ) .G/Z(Gהערה.
תרגיל זה מכליל את תרגיל .4.7.5
תרגיל (+***) 4.7.7הראה שחבורת־ pאבלית Zpd1 ⊕ Zpd2 ⊕ · · · ⊕ Zpdtיכולה להיות מהצורה )G/Z(G
אם ורק אם .dt = dt−1
תרגיל (+*) 4.7.8הראה שהמרכז של ) GLn (Fשווה לאוסף המטריצות הסקלריות )מטריצות מהצורה
.(aI
שהמרָכז של Snטריוויאלי )כאשר .(n ≥ 3
ְ
בתרגיל 5.3.18נראה
4.8
תת־חבורת הקומוטטורים
הגדרה 4.8.1יהיו x, y ∈ Gאברים של חבורה .האיבר [x, y] = xyx−1 y −1נקרא הקומוטטור של .x, y
תרגיל x, y (*) 4.8.2מתחלפים אם ורק אם .[x, y] = 1
תרגיל .[x, y]−1 = [y, x] (*) 4.8.3
תרגיל (*) 4.8.4בחבורת מנה .[xN, yN ] = [x, y]N ,G/N
הגדרה 4.8.5תהי Gחבורה .תת־חבורת הקומוטטורים של Gהיא תת־החבורה G′הנוצרת על־ידי הקומוטטורים ],[x, y
.x, y ∈ G
משפט G/G′ 4.8.6היא המנה האבלית המקסימלית של ) Gונקראת האבליזציה של .(Gביתר פירוט:
.G′ ▹G .1
G/G′ .2חבורה אבלית.
.3לכל תת־חבורה G/N ,N ▹Gקומוטטיבית אם ורק אם ) G′ ⊆ Nואז G/Nחבורת מנה של .(G/G′
תרגיל (+**) 4.8.7הוכח את המשפט.
תרגיל (**) 4.8.8אם ,N ▹Gאז .(G/N )′ = G′ N/N
תרגיל (**) 4.8.9חשב את ,S3′את ,D4′ואת .A′4
תרגיל (+**) 4.8.10אם N, M ▹Gנחתכות באופן טריוויאלי ו־ ,G′ ⊆ Nאז ).M ⊆ Z(G
תרגיל (-***) 4.8.11תהי H < Gתת־חבורה ונניח שקיים איבר x ∈ Gכך ש־ .⟨H, x⟩ = Gאז H
מוכלת בתת־חבורה מקסימלית של .Gהדרכה .הלמה של צורן :אוסף תת־החבורות המכילות את Hאבל לא את xסגור
לאיחוד של שרשראות.
תרגיל (-***) 4.8.12תת־חבורה מקסימלית של ) Gכלומר תת־חבורה אמיתית שאינה מוכלת בשום
תת־חבורה אמיתית אחרת( אינה יכולה להכיל גם את G′וגם את ).Z(G
⟨
⟩
תרגיל (-***) 4.8.13תהי G = ∆(3,3,3) = x, y | x3 = y 3 = (xy)3 = 1חבורת המשולש של ).(3, 3, 3
∼ ,G′וחשב את חבורת המנה.
.1הראה ש־= Z × Z
הדרכה .קח ] a = [x, yו־] .b = [x−1 , y −1הראה ש־
xax−1 = yay −1 = bו־ ,xbx−1 = yby −1 = a−1 b−1בעוד ש־.[a, b] = 1
.2הראה שהמרכז של xהוא ⟩ ,⟨xוהסק ש־.Z(G) = 1
הדרכה .כל איבר של Gאפשר לכתוב כ־ xi y j γכאשר
;γ ∈ G′הראה שמ־ (xyx−1 )j (xγx−1 ) = y j γנובע j = 0ו־.γ = 1
.3הראה שכל מנה של Gהיא סופית.
הדרכה .נניח ש־ N ▹Gו־ G/Nאינסופית .הראה ש־ .N ∩ G′ = 1מכך ש־ Gאינה
אבלית ,הסק ש־ Nמסדר .3הראה שהיא מרכזית ולכן טריוויאלית.
48
.4.8תת־חבורת הקומוטטורים
פרק .4סריג תת־החבורות
⟨
⟩
.4מצא את הסדר של . x, y | x3 = y 3 = (xy)3 = (xy −1 )3n = 1
⟨
⟩G
G/ a2n bnהוא .27n2
ראה שהסדר של חבורת המנה
הדרכה .ב־ );(xy −1 )3 = a2 b ,∆(3,3,3
תרגיל (-***) 4.8.14חזור על תרגיל ) 4.8.13סעיפים (1-3עבור חבורות המשולש עם עקמומיות אפס,
) G = ∆(2,3,6ו־ )) ∆(2,4,4ראה תרגיל .(3.6.26
הגדרה 4.8.15אם A, B ⊆ Gתת־קבוצות ,מסמנים ב־] [A, Bאת תת־החבורה הנוצרת על־ידי האברים ] [a, bכאשר ,a ∈ A
.b ∈ Bלמשל ].G′ = [G, G
תרגיל (*) 4.8.16אם ,A, B▹Gאז .[A, B]▹G
תרגיל (**) 4.8.17אם Aו־ Bנורמליות אז .[A, B] ⊆ A ∩ B
תרגיל (**) 4.8.18אם K ⊆ A, Bתת־חבורות נורמליות של חבורה ,Gאז בחבורת המנה G/Kמתקיים
.[A/K, B/K] = [A, B]K/K
תרגיל (-***) 4.8.19נניח ש־ A▹Gעם G/Aציקלית .הראה ש־].[G, G] = [G, A
תרגיל ) (**) 4.8.20זהות (Hallנסמן .(a, b, c) = [[a−1 , b], c]aהוכח את הזהות
(a, b, c)(c, a, b)(b, c, a) = 1.
תרגיל ) (***) 4.8.21למת השלוש( אם ,A, B, C▹Gאז ].[[A, B], C] ⊆ [[B, C], A] · [[C, A], B
הדרכה.
תרגיל .4.8.20
תרגיל (**) 4.8.22הראה שלכל .[[A, A], B] ⊆ [[A, B], A] ,A, B▹G
תרגיל (+**) 4.8.23תהי Nתת־חבורה נורמלית של מכפלה .A = A1 × A2נסמן ב־ πi : A→Aiאת
ההיטלים .הוכח ש־
[A1 , π1 (N )] × [A2 , π2 (N )] ⊆ N ⊆ π1 (N ) × π2 (N ).
⟨
⟩
B
אם A, B ⊆ Gתת־קבוצות ,נסמן – ⟨A⟩ = b−1 ab : a ∈ A, b ∈ Bהסגור הנורמלי של Aב־ ⟩.⟨A, B
נסמן .xy = y −1 xy
תרגיל .xyz = (xy )z ,(xy)z = xz y z (*) 4.8.24
תרגיל (*) 4.8.25
−1
[x, yz] = [x, y][x, z]yו־ .[x, y −1 ] = [y, x]y
תרגיל (**) 4.8.26לכל שתי קבוצות ,S, T ⊆ G
תרגיל (*) 4.8.27
S∪T
⟩ .[⟨S⟩, ⟨T ⟩] = ⟨[a, b] : a ∈ S, b ∈ T
.[b1 ab−1
.1הוכח את הזהות ] 1 , b] = [b1 , a][a, bb1
T
.2לכל שתי קבוצות .[⟨S⟩ , ⟨T ⟩] = [⟨S⟩, ⟨T ⟩] ,S, T ⊆ G
תרגיל (+**) 4.8.28הוכח ש־ ].[G, [G, x]] ⊆ [G, x
הדרכה .מצא ⟩ a, b, c ∈ ⟨g, xמתאימים ,כך שיתקיים = ]][g, [h, x
.[a, x][b, x]−1 [c, x]−1
תרגיל .[axa−1 , byb−1 ] = [a, x][x, [b, y]][b, y][x, y][x, a][[a, x], y][y, b] (*) 4.8.29
תרגיל (**) 4.8.30יהי G = F/RFייצוג על־ידי יוצרים ויחסים ,כאשר ⟩ F = ⟨s1 , . . . , snחבורה
S
F
חופשית ,ו־ ⟩ R = ⟨r1 , . . . , rmהיא חבורת היחסים .הוכח ש־ = ][R, F ] = [⟨rj ⟩ , ⟨S⟩] = [{rj }, S
⟨
⟩
S
,⟨[{rj }, {si }]⟩ = si′ [rj , si ]s−1ובפרט אם F, Rנוצרות סופית אז גם ] [R, Fנוצרת סופית.
i′
49
.4.9משפחות של חבורות
4.9
פרק .4סריג תת־החבורות
משפחות של חבורות
הגדרה 4.9.1תהי Lמשפחה של חבורות .נסמן את התכונות האפשריות הבאות:
) .1סגירות לתת־חבורות( אם G ∈ Lאז לכל ;A ∈ L ,A ≤ G
) .2סגירות לתמונות הומומורפיות( אם G ∈ Lאז לכל ;G/A▹L ,A▹G
∏
∗) .3סגירות למכפלה ישרה( אם Aλ ∈ Lלכל λ ∈ Λאז ; Aλ ∈ L
) .3סגירות למכפלה ישרה סופית( אם A, B ∈ Lאז ;A × B ∈ L
) .3′סגירות למכפלה נורמלית( אם A, B▹Gו־ ,A, B ∈ Lאז ;AB ∈ L
) .3′′סגירות למכפלה( אם AB = BA ,A, B ≤ Gו־ ,A, B ∈ Lאז ;AB ∈ L
◦) .4סגירות להרחבות מרכזיות( אם ) N ⊆ Z(Gו־ ,N, G/N ∈ Lאז ;G ∈ L
) .4סגירות להרחבות( אם N ▹Gו־ ,N, G/N ∈ Lאז .G ∈ L
∪
) .5סגירות לאיחוד שרשראות( אם ) Gλ (λ ∈ Λשרשרת עולה של חבורות וכל ,Gλ ∈ Lגם האיחוד . Gλ ∈ L
משפחה הסגורה לתת־חבורות ,לתמונות הומומורפיות ולמכפלה ישרה נקראת יריעה.
הערה ) 4.9.2משפט בירקהוף (1935 ,כל יריעה אפשר להגדיר על־ידי זהויות )כלומר קיימת קבוצת זהויות,
כדוגמת ,[x1 , x2 ]2 = 1כך שחבורה שייכת ליריעה אם ורק אם היא מקיימת את כל הזהויות בקבוצה )הבחן בין
זהויות ,החלות על כל אברי החבורה ,לבין יחסים בין יוצרים((.
תרגיל (**) 4.9.3סגירות למכפלה גוררת סגירות למכפלה נורמלית ,וסגירות למכפלה נורמלית גוררת
סגירות למכפלה ישרה סופית.
תרגיל (-**) 4.9.4סגירות להרחבות גוררת סגירות להרחבות מרכזיות; כמו־כן ,סגירות להרחבות
גוררת סגירות למכפלה ישרה סופית.
תרגיל (**) 4.9.5סגירות לתמונות הומומורפיות ולהרחבות גוררת סגירות למכפלה נורמלית.
תרגיל (+***) 4.9.6מצא גרירות נוספות לדיאגרמה משמאל,
המתייחסת לתכונות של משפחות ,לרבות קבוצות נוספות של תכונות
כגון .3 + 4◦ + 5הראה שבכל מקום שאין חץ ,הגרירה אינה נכונה.
3′′ 2 + 4
{xxxx
∗
3 @ 3′
4
@@
ww
◦ {www
3
4
תרגיל (+**) 4.9.7תהי Lמשפחה הסגורה לתת־חבורות ולמכפלות ישרות סופיות .נניח ש־.A, B▹G
הראה שאם ,G/A, G/B ∈ Lאז גם .G/(A ∩ B) ∈ Lהדרכה .תרגיל .4.3.17
תרגיל (***) 4.9.8תהי Lמשפחה הסגורה לתת־חבורות ולמכפלות ישרות סופיות .תהי Gחבורה
סופית .הראה שבין תת־החבורות הנורמליות Nשעבורן ,G/N ∈ Lיש תת־חבורה מינימלית יחידה.
במלים אחרות ,לכל חבורה סופית Gיש מנה מקסימלית ב־.L
תרגיל (**) 4.9.9הראה שהאוסף Abשל החבורות האבליות סגור לתת־חבורות ,לתמונות הומומורפיות
ולמכפלה ישרה )הוא מוגדר על־ידי הזהות ;[x1 , x2 ] = 1ראה הערה .(4.9.2הסק מתרגיל 4.9.8את
קיומה של תת־חבורה מינימלית יחידה K▹Gשעבורה G/Kאבלית )לפי משפט .(K = G′ ,4.8.6
תרגיל (**) 4.9.10תהי Lמשפחה הסגורה למכפלה נורמלית .אז לכל חבורה סופית Gיש תת־חבורה
נורמלית גדולה ביותר השייכת ל־) Lהיינו ,היא מכילה כל תת־חבורה נורמלית בחבורה השייכת ל־.(L
הדרכה .התבונן במכפלה של כל תת־החבורות הנורמליות של Gהשייכות ל־.L
תרגיל (**) 4.9.11תהי Lמשפחה הסגורה למכפלה נורמלית ולאיחוד שרשראות .אז לכל חבורה G
יש תת־חבורה נורמלית גדולה ביותר השייכת ל־ .Lהדרכה .הסגירות לאיחוד שרשאות מאפשרת להפעיל את הלמה של
צורן .אם Nתת־חבורה נורמלית מקסימלית השייכת ל־ ,Lאז לכל תת־חבורה נורמלית N ⊆ N K ∈ L ,K ∈ Lולכן .K ⊆ N
50
פרק 5
חבורות של תמורות
בפרק זה נלמד את החבורות הסימטריות שהגדרנו בסעיף .2.6חבורות של תמורות הן אחת הדוגמאות
החשובות ביותר לחבורות סופיות ,גם מבחינה תאורטית וגם בשימושים של תורת החבורות הסופיות .שאלות
רבות בקומבינטוריקה ובאלגוריתמים הקשורים במבנים קומבינטוריים אפשר לתרגם לשפה של החבורות
הסימטריות.
חבורת התמורות הזוגיות Anהיא תת־חבורה מאינדקס 2בחבורת התמורות ,Snהכוללת את התמורות
שהסימן שלהן חיובי .מבנה המחזורים של תמורות ב־ Anמאפשר להוכיח שהיא חבורה פשוטה.
5.1
הסימן של תמורה
תהי σ ∈ Snתמורה .נאמר שזוג המספרים i < jמפר־סדר אם .σ −1 i > σ −1 jכפי שצוין בהגדרה ,2.6.5
בהצגת התמורה בשתי שורות הערך iעובר למקום ה־ ,σ −1 iולכן i < jמפר סדר אם ורק אם הקו הישר
המחבר את שתי ההופעות של iנחתך עם הקו הישר המחבר את שתי ההופעות של .jבדוגמה הבאה כל מעגל
מסמן הפרת סדר אחת.
6
1 NN 2 TT◦pT 3
5
4
NN ppp TTT jjjj◦jNjNN pppp
p
p
◦NNN jjj◦jTTT
◦NN
p
p
Tp◦pTpT
NN
ppp jj◦jj
3
5
1
6
2
4
הגדרה 5.1.1הסימן של σ ∈ Snמוגדר לפי הזוגיות של מספר הפרות הסדר ביחס ל־:σ
−1
−1
|} .(−1)|{i,j : i<j, σ i>σ j
= )sgn(σ
טענה 5.1.2העתקת הסימן } sgn : Sn →{±1היא הומומורפיזם.
תרגיל (+**) 5.1.3הוכח את טענה ,5.1.2כלומר ,הראה ש־) .sgn(στ ) = sgn(σ)sgn(τ
הדרכה .חלק את הזוגות
i < jלארבע קבוצות ,לפי יחס הסדר בין σ −1 i, σ −1 jו־ ,τ −1 σ −1 i, τ −1 σ −1 jוחשב את התרומה של כל זוג לכל אחד מהסימנים.
תרגיל (**) 5.1.4יהי ) τ = (abחילוף .הוכח ש־ .sgn(τ ) = −1בפרט ,לכל sgn ,n ≥ 2היא על.
5.1.1
הסימן והדיסקרימיננטה
נתבונן בפולינום ) − xj
1≤i<j≤n (xi
∏
= ) ∆(x1 , . . . , xnבמשתנים .x1 , . . . , xn
תרגיל (+*) 5.1.5כתוב את ) ∆3 (x1 , x2 , x3כסכום של מונומים .השווה את התוצאה ל־) .∆3 (x1 , x3 , x2
תרגיל .∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = sgn(σ)∆(x1 , . . . , xn ) (**) 5.1.6
הדרכה .חשוב על הגורמים ) .(xi − xj
תרגיל (+**) 5.1.7השתמש בתרגיל 5.1.6כדי לתת הוכחה נוספת לטענה .5.1.2
51
.5.2אברים צמודים ב־ Sn
5.1.2
פרק .5חבורות של תמורות
חבורת התמורות הזוגיות
תרגיל (*) 5.1.8כתוב את המחזור ) (a1 a2 · · · atכמכפלה של חילופים ומצא את הסימן שלו.
הדרכה.
) .(a1 . . . at ) = (a1 at ) . . . (a1 a2
לפי טענה ,2.6.7כל תמורה היא מכפלה של מחזורים )זרים( .תרגיל 5.1.8מראה שכל תמורה אפשר לכתוב
כמכפלה של חילופים.
טענה 5.1.9בכל הדרכים להציג תמורה כמכפלה של חילופים ,הזוגיות של מספר החילופים היא קבועה .כלומר,
אם ) σ = τ1 · · · τk = ν1 · · · νtכאשר τi , νjחילופים( ,אז ).k ≡ t (mod 2
תרגיל (+**) 5.1.10הוכח את הטענה.
הדרכה.sgn(σ) = (−1)k = (−1)t .
תרגיל (*) 5.1.11כתוב כמה תמורות באקראי ,וקבע את הסימן של כל אחת מהן.
כעת אפשר להגדיר את תת־החבורה החשובה ביותר של חבורת הסימטריות:
הגדרה An = Ker(sgn) 5.1.12היא חבורת התמורות הזוגיות .התמורות נקראות כך על־שם מספר החילופים
בהצגות שלהן.
תרגיל .A3 = ⟨(123)⟩ ,A2 = 1 (*) 5.1.13
תרגיל .[Sn : An ] = 2 (*) 5.1.14
תרגיל (**) 5.1.15תן שלושה נימוקים לכך ש־ .An ▹Sn
הדרכה .האינדקס שלה הוא ) 2תרגיל ;(3.3.13היא גרעין של
הומומורפיזם; וכן ישירות מן ההגדרה.
תרגיל (**) 5.1.16חשב את ⟩).A4 ∩ ⟨(1234), (13
תרגיל (**) 5.1.17אם Gתת־חבורה של Snשאינה מוכלת ב־ ,Anאז An G = Snו־.[G : An ∩ G] = 2
הדרכה .תרגיל .4.5.1
תרגיל (**) 5.1.18מצא שיכון של Snב־ .An+2
תרגיל (***) 5.1.19המשחק ב־ 15הוא שמה של חידה שפרסם החידונאי סם לויד ב־ .1880בחידה זו
מסודרות לוחיות ממוספרות מ־ 1עד 15בלוח בגודל ,4 × 4כך שמשבצת אחת נותרת ריקה .הלוחיות
מונחות במקומן ,למעט הלוחיות 14ו־ 15המוחלפות זו עם זו .לויד הציע פרס כספי למי שיסדר את
הלוחיות בחזרה על־יד הזזת לוחית אחת בכל פעם למשבצת הריקה .הראה שהבעיה אינה ניתנת
לפתרון .הדרכה .נסמן את הלוחית הריקה ב־ ,0כך שמיקום הלוחיות הוא תמורה ב־ .S{0,...,15} = S16נסמן ב־) χ(σאת הערך (−1)i+j
כאשר σממקמת את המשבצת הריקה במקום ה־) .(i, jהראה ש־) sgn(σ)χ(σאינו משתנה במהלך המשחק.
5.2
אברים צמודים ב־ Sn
הגדרה 5.2.1תהי Gחבורה .אומרים שאברים g, h ∈ Gהם צמודים אם קיים x ∈ Gכך ש־ ) .g = xhx−1נחזור לנושא זה
בתת־סעיף (.6.4.1
תרגיל (**) 5.2.2הראה שהיותם של אברים צמודים זה לזה הוא יחס שקילות.
תרגיל (**) 5.2.3חשב את כל התמורות ב־ S4הצמודות ל־).(1 2 3
כל תמורה ב־ Snאפשר לכתוב כמכפלה של מחזורים זרים באופן יחיד.
הגדרה 5.2.4אם σ ∈ Snהיא מכפלה של מחזורים זרים מאורכים ) n1 , . . . , ntכאשר ,(n1 + · · · + nt = nאז מבנה
המחזורים של σהוא הרשימה הלא־מסודרת ] .[n1 , . . . , nt
לדוגמא ,מבנה המחזורים של הזהות הוא ] ;[1, . . . , 1אפשר לקצר ולכתוב ] .[1nמבנה המחזורים של
(1234)(56)(78) ∈ S9הוא ] .[4, 22 , 1לפעמים משמיטים את נקודות השבת מן הסימון.
52
.5.2אברים צמודים ב־ Sn
פרק .5חבורות של תמורות
תרגיל (**) 5.2.5כתוב את כל מבני המחזורים האפשריים לתמורה ב־ S4וב־ .S5הערה .הפונקציה
הסופרת כמה מבני מחזורים יש ב־ Snנקרא פונקציית החלוקה ,ומסמנים אותה ב־) .p(nקצב הגידול שלה ידוע:
√
.p(n) ∼ 4√13n eπ 2n/3
משפט 5.2.6שתי תמורות ב־ Snהן צמודות אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים.
תרגיל (***) 5.2.7הוכח את המשפט.
הדרכה .לכיוון הראשון חשב את הצמוד של מחזור באורך tבאופן כללי .לכיוון ההפוך ,בהנתן
של־ σ, τיש אותו מבנה מחזורים ,כתוב אותן זו מעל זו.
תרגיל (**) 5.2.8מצא σ ∈ S6כך ש־).σ(12)(34)σ −1 = (14)(35
תרגיל (**) 5.2.9כמה תמורות σ ∈ S8יש כך ש־)?σ(1234)(567)σ −1 = (1246)(378
תרגיל (*) 5.2.10מחלקות הצמידות של S3הן ] .[13 ], [2, 1], [3מה הגודל של כל מחלקה?
תרגיל (**) 5.2.11מצא את כל המחלקות ב־ S4ואת הגודל של כל מחלקה.
תרגיל (+**) 5.2.12מצא את כל המחלקות ב־ S5ואת הגודל של כל מחלקה.
תרגיל (+**) 5.2.13מצא ארבעה זוגות של מחלקות צמידות מאותו גודל ב־ .S6
תרגיל (**) 5.2.14כמה מחזורים מאורך rיש ב־ ?Sn
תרגיל (**) 5.2.15כמה צמודים יש ל־) (123)(45ב־ ?Sn
תרגיל (-**) 5.2.16כמה אברים של S5מתחלפים עם )?(12)(34
תרגיל (**) 5.2.17כמה דרכים יש להושיב שבעה אנשים סביב שולחנות עגולים שבאחד מהם יש שלושה
מקומות ובשני ארבעה?
תרגיל (+**) 5.2.18יהי ] [1a1 2a2 . . . nanמבנה מחזורים של תמורות ב־ ;Snכך kak = n
∏
∏
−1
שמספר התמורות בעלות מבנה זה הוא )! .n! ( k ak ak
תרגיל (**) 5.2.19
∑
.הראה
.1הוכח שלכל k ≥ 2ו־.(ka)! > k a a! ,a ≥ 1
.2יש יותר תמורות בעלות מבנה מחזורים ] · · · [1d+ak · · · k 0מאשר בעלות מבנה מחזורים
] · · · .[1d · · · k a
.3אם ka > 6אז !.2(ka − 2)! > k a a
הדרכה .ka a1 = (ka)(ka − k)(ka − 2k) · · · .פרט לראשון ,כל הגורמים האלה
משתתפים במכפלה · · · ) (ka − 2)(ka − 1שבאגף שמאל; וכשמצמצמים אותם נותר לפחות אחד הגורמים ) (ka − 2או ).(ka − 3
אבל .2(ka − 3) > ka
.4מחלקת הצמידות הכוללת את החילופים היא הקטנה ביותר ב־ Snמלבד המחלקה של תמורת
היחידה ,פרט ליוצאי הדופן הבאים [31 ] :ב־ [41 ], [22 ] ;S3ב־ [32 ], [23 ] ;S4ב־ .S6
.5לכל ,n ̸= 6מחלקת הצמידות של החילופים שונה בגודלה מכל מחלקת צמידות אחרת של
אברים מסדר .2הערה .ב־ S6יש 15חברים במחלקות של ) (12ושל ).(12)(34)(56
תרגיל (+**) 5.2.20מצא שתי תת־חבורות אמיתיות H1 , H2של ,S6כך שכל איבר של S6צמוד לאיבר
של אחת מהן .הצעה .קח H1 = S5ו־) ) H2 = Aut(K3,3ראה תרגיל .(6.4.70
53
בתרגיל 7.2.19נגזור
מעובדה זו מסקנה
מעניינת.
.5.3קבוצות יוצרים
5.2.1
פרק .5חבורות של תמורות
מחלקות צמידות ב־ An
תרגיל (**) 5.2.21הראה שהתמורות ) ,(123), (132שיש להן אותו מבנה מחזורים ,אינן צמודות ב־ .A4
הראה שהן כן צמודות ב־ .A5
תרגיל (-***) 5.2.22הראה שכל האברים מהצורה ) (ab)(cdצמודים זה לזה ב־ .An
σ, σ ′בעלות מבנה המחזורים הזה הן צמודות כאשר התומכים שווים ,וכאשר הם נבדלים בנקודה אחת .הסבר מדוע זה מספיק.
הדרכה .בדוק שתמורות
תרגיל (***) 5.2.23נניח .5 ≤ nהראה שכל המחזורים מהצורה ) (abcצמודים זה לזה ב־ .An
הדרכה .נסמן
x ∼ yאם x, yצמודים ב־ .Anנראה שמחלקת הצמידות של ) (123כוללת את כל המחזורים באורך (24)(35)(123)(35)(24) = (145) .3
מראה שאפשר לעבור ממחזור נתון לכל מחזור עם נקודה משותפת אחת ,ואז ) .(123) ∼ (345) ∼ (124), (214לכן גם ∼ )(123) ∼ (124
) (132ו־).(123) ∼ (124) ∼ (456
השווה לתרגיל ,6.4.30והסבר מדוע הנימוק של תרגיל 5.2.23אינו תקף שם.
תרגיל (-**) 5.2.24במחלקת הצמידות של ) (ab)(cdב־ Anיש
)n(n−1)(n−2)(n−3
8
אברים.
הדרכה.
תרגיל 5.2.22מעביר את הבעיה למחלקות ב־ .Sn
תרגיל (-***) 5.2.25מהי הצורה הכללית של תמורה המתחלפת עם ) (1 2 · · · rב־ ?Sn
5.3
קבוצות יוצרים
בסעיף זה נכיר כמה קבוצות יוצרים סטנדרטיות של Snושל .An
תרגיל Sn (*) 5.3.1נוצרת על־ידי כל החילופים ).(ij
תרגיל Sn (**) 5.3.2נוצרת על־ידי כל החילופים ).(1j
תרגיל Sn (-***) 5.3.3נוצרת על־ידי החילוף ) τ = (12והמחזור ).σ = (123 . . . n
הדרכה .חשב את .σ k τ σ −k
חשב את .σ j (τ σ −1 )j−i τ (στ )i−j σ −j
תרגיל Sn (-***) 5.3.4נוצרת על־ידי החילוף ) τ = (1nוהמחזור ).σ = (123 . . . n − 1
תרגיל Sn (+**) 5.3.5נוצרת על־ידי החילופים ) .i = 1, . . . , n − 1 ,τi = (i i + 1יוצרים אלה מקיימים את
היחסים τi τj = τj τi ,τi2 = 1אם τi τj τi = τj τi τj ,|i − j| > 1אם .|i − j| = 1הערה .יחסים אלו מגדירים
את הצגת קוקסטר של ,Snכחבורה
⟨
⟩
x1 , . . . , xn−1 | x2i = 1, xi xj = xj xi (|i − j| > 1), xi xj xi = xj xi xj (|i − j| = 1) .
)
4 5 6 7
תרגיל (*) 5.3.6תהי
1 4 7 2
) ,(1 iוקבע אם σזוגית או אי־זוגית.
3
6
1 2
5 3
(
= .σכתוב את σכמכפלה של חילופים מהצורה
תרגיל (-***) 5.3.7יהי pראשוני .אם σאיבר מסדר pו־ τחילוף ,אז הם יוצרים את Spכולה.
תרגיל (***) 5.3.8הפרך את הטענה הבאה :אם pראשוני Sp ,נוצרת על־ידי איבר כלשהו מסדר p
ואיבר כלשהו מסדר .2
תרגיל (**) 5.3.9מצא את תת־החבורה של S4הנוצרת על־ידי כל המחזורים מהצורה )a, b, c ,(abc
שונים.
תרגיל (**) 5.3.10מצא את תת־החבורה של S4הנוצרת על־ידי כל התמורות מהצורה ),(ab)(cd
a, b, c, dשונים.
תרגיל (**) 5.3.11מצא את הגודל של חבורות התמורות הבאות:
.⟨(12), (23)(45)⟩ ⊆ S5 .1
54
An .5.4חבורה פשוטה
פרק .5חבורות של תמורות
⟨(12), (345)⟩ ⊆ S5 .2
.⟨(12), (123456)⟩ ⊆ S6 .3
תרגיל (**) 5.3.12הוכח מההגדרה ש־ Anנוצרת על־ידי כל התמורות עם מבני המחזורים של ),(12)(34
).(123
תרגיל (**) 5.3.13נניח ש־ .n ≥ 5החבורה Anנוצרת על־ידי כל התמורות מהצורה )i, j, k, l ,(ij)(kl
שונים.
תרגיל An (***) 5.3.14נוצרת על־ידי כל המחזורים מאורך .3
הדרכה.(ij)(kt) = (ijk)(jkt) .
תרגיל (-**) 5.3.15נניח ש־ a, bהם מחזורים באורך .3הראה שהסדר של [a, b] = aba−1 b−1קובע
כמה נקודות משותפות יש ל־.a, b
תרגיל (-***) 5.3.16יהי Tעץ על הקודקודים ) 1, 2, . . . , mעץ הוא גרף קשיר ללא מעגלים( .לקשת
המחברת את הקודקודים i, jמתאימים את החילוף ) .(i, jהוכח שמכפלת הקשתות על העץ ,בכל
סדר שיהיה ,היא מחזור באורך .m
תרגיל (**) 5.3.17מה הצורה הכללית של תמורה המתחלפת עם )?(ij
תרגיל Z(Sn ) = 1 (-***) 5.3.18לכל .n ≥ 3
תרגיל (**) 5.3.19מה הצורה הכללית של תמורה המתחלפת עם )?(ijk
תרגיל Z(An ) = 1 (-***) 5.3.20לכל .n ≥ 4
תרגיל .5 ≤ n (-***) 5.3.21הוכח ש־
.Sn′ = An .1
הדרכה .כל קומוטטור הוא תמורה זוגית .מאידך [(ij), (ik)] = (ijk) ,וסיימנו לפי תרגיל .5.3.14
.A′n = An .2
5.4
Anחבורה פשוטה
תרגיל (**) 5.4.1מחלקות הצמידות ב־ A4הן בגדלים .1, 3, 4, 4מצא כמה תת־חבורות נורמליות יש
לה.
תרגיל (**) 5.4.2לחבורה S4יש מחלקות צמידות בגדלים .1, 3, 6, 6, 8מצא נציג מכל מחלקה .מהן
תת־החבורות הנורמליות של ?S4
תרגיל (-***) 5.4.3תת־החבורה הנורמלית היחידה של S5היא .A5
הדרכה .תת־חבורה נורמלית כוללת יחד עם כל
איבר גם את כל האברים הצמודים אליו; ראה תרגיל 5.2.12ותרגיל .6.4.6
תרגיל (-***) 5.4.4הוכח ש־ A5פשוטה מתוך הגדלים של מחלקות הצמידות שלה.
הדרכה .מחלקות הצמידות
הן בגודל .1, 12, 12, 15, 20
שני המשפטים הבאים קרובים ברוחם זה לזה ,ואכן אפשר ,במאמץ מסויים ,להסיק אותם זה מזה )הראשון
מעט קשה יותר ,טכנית ,משום שהוא מאפשר להצמיד רק בתמורות זוגיות( .אנו מספקים לשניהם גם הוכחות
ישירות .ראה גם תרגיל ,6.6.73המציג הוכחה אלגנטית למשפט 5.4.5מן התאוריה של פעולת חבורה על קבוצה.
משפט An 5.4.5פשוטה לכל .5 ≤ n
תרגיל (***) 5.4.6כל תת־חבורה נורמלית לא־טריוויאלית של Anכוללת מחזור באורך .3תן לכך שתי
הוכחות:
55
An .5.4חבורה פשוטה
.1הוכחה ישירה.
פרק .5חבורות של תמורות
הדרכה .יחד עם כל איבר N ,σ ∈ Nכוללת גם כל איבר מהצורה .(τ ∈ An ) [σ, τ ] = σ · τ σ −1 τ −1
נבחר תמיד τשאינו נוגע במחזורים ה'אחרים' ,כך שהם יעלמו בקומוטטור .אם יש ל־ σ ∈ Nמחזור ) ,m ≥ 4 ,(12 . . . mחשב את
]) [(12 . . . m), (123שהוא מחזור באורך ;3כך אפשר להניח שכל המחזורים של σבאורך 2 ,1או .3אם · · · ),σ = (123)(456
) ;[σ, (243)] = (15243ואם · · · ) .[σ, (234)] = (123)(45)(234)(132)(45)(243) = (15324) ,σ = (123)(45לכן ,אם יש ל־σ
מחזור באורך ,3אין מחזורים נוספים והטענה מוכחת .מכאן אפשר להניח ש־ σהוא מכפלה של חילופים .אם · · · ) σ = (12)(34)(5אז
)) [σ, (254)] = (13425נקודת השבת קיימת כי ,(n ≥ 5ואם · · · ) σ = (12)(34)(56אז ) .[σ, (264)] = (135)(264לכן יש ל־σ
חילוף בודד לכל היותר ,אבל מכיוון שהיא זוגית נובע .σ = 1
.2
בעזרת העובדה ש־ A5פשוטה.
נסמן } .X = {i, j, ℓ, σj, σℓאז σאינו מתחלף עם )) (i j ℓכי σ(i j ℓ)i = σjו־ (.(i j ℓ)σi = ℓלכן = ])1 ̸= ω = [σ, (i j ℓ
∼ ,(j σj σℓ)(i ℓ j) ∈ N ∩ AX ▹AXולפי תרגיל N ∩ AX = AX ,5.4.4ו־ ;AX ⊆ Nמכאן שיש ב־ Nמחזורים באורך .3
= A5
הדרכה .תהי .1 ̸= σ ∈ N ▹Anקח iכך ש־ .j = σi ̸= iקח .ℓ ̸= i, j, σj
תרגיל (**) 5.4.7הוכח את משפט .5.4.5
פתרון .אם 1 ̸= N ▹Anאז לפי תרגיל 5.4.6יש ב־ Nמחזור באורך .3לפי תרגיל 5.2.23
)מדוע משפט 5.2.6אינו מספיק?( Nכוללת את כל המחזורים באורך ,3ולפי תרגיל .N = An ,5.3.14
תרגיל (+**) 5.4.8הוכח באינדוקציה ש־ Anפשוטה לכל .5 ≤ nהדרכה .תרגיל 5.4.4מראה ש־ A5פשוטה .נניח
∼ ,Siלפי הנחת האינדוקציה כל תת־החבורות האלה פשוטות .כעת
ש־ .n ≥ 6לכל ,iנסמן } .Si = {σ ∈ An : σ(i) = iמכיוון ש־ = An−1
תהי N ▹Anתת־חבורה נורמלית .לפי תרגיל ,N ∩ Si ▹Si 4.2.12ולכן יש שתי אפשרויות Si ⊆ N :או .N ∩ Si = 1אם ,Si ⊆ Nאז יש
ב־ Nמחזורים באורך ,3וסיימנו לפי תרגיל .5.3.14מכאן ש־ N ∩ Si = 1לכל ,iכלומר שלאף איבר לא טריוויאלי ב־ Nאין נקודות שבת .נניח
שיש .1 ̸= σ ∈ Nקבע iכלשהו ,וקח .j ̸= i, σi, σ −1 iאז המחזור ) τ = (i σi jמוגדר ,ו־) στ σ −1 τ −1 = (σi σ 2i σj)(i j σiהוא איבר
של ,Nאינו הזהות משום ש־ ,σi 7→ σjויש לו נקודות שבת משום שבחישוב משתתפים רק חמישה ערכים .זו סתירה לכך שאין לאברי Nנקודות
שבת .הערה .הוכחה זו היא וריאציה על תרגיל ).5.4.6.(2
משפט 5.4.9נניח .5 ≤ nתת־החבורה הנורמלית היחידה של Snהיא .An
תרגיל (***) 5.4.10הוכח את המשפט.
הדרכה .תהי .N ▹Snנתבונן באברים של Nשאורך המחזור המקסימלי שלהם dהוא
הקטן ביותר ,ומביניהם ניקח איבר σ ̸= 1עם מספר מחזורים )לא־טריוויאליים( קטן ביותר .נניח ,בשלילה ,ש־ .2 < dקח σ ′צמוד ל־ σשבו מחזור
σ0באורך dהשווה לזה של ,σ ′וכל שאר המחזורים הפוכים )כתמורות( .אז ;σσ ′ = σ02אם dזוגי אז σ02תמורה עם שני מחזורים באורך
,d/2בסתירה למינימליות של .dלכן dאיזוגי ,וב־ σ02יש מחזור אחד באורך .dהחישוב ) (a1 a2 a3 · · · ad )(ad ad−1 · · · a3 a1 a2 ) = (a1 a3 a2
מאפשר להניח d = 3או .d = 2במקרה הראשון סיימנו כי המחזורים באורך 3יוצרים את ) Anתרגיל .(5.3.14במקרה השני ,הראה שב־ σיש
שני חילופים ,והסק ש־ .N = An
]היכן נכשלת ההוכחה במקרה [?n = 4
תרגיל (**) 5.4.11ל־ Anאין תת־חבורות שהן נורמליות ב־ .Sn
הדרכה .מיידי ממשפט .5.4.9
תרגיל (***) 5.4.12לחבורה Gיש תת־חבורה נורמלית יחידה ,N ▹G ,מאינדקס .2נניח ש־ Nאינה
פשוטה .הראה שהיא איזומורפית לחבורה מהצורה .K × K
הדרכה .תהי .1 ̸= K ̸= N ,K▹Nהראה שיש ל־K
תת־חבורה צמודה אחת ,K1 ,ב־ .Gהראה ש־ .K ∩ K1 ⊆ Nהראה ש־ KK1ו־ K ∩ K1תת־חבורות נורמליות של ) Gראה סעיף .(4.3הסק:
∼ .N
= K × K1
תרגיל (-***) 5.4.13הראה כיצד להסיק את משפט 5.4.5מתוך משפט ,5.4.9אם מניחים ש־ Anאינה
איזומורפית לחבורה מהצורה ) N × Nעובדה זו נובעת למשל מן הלמה של ברטרנד ,לפיה יש מספר
ראשוני ברווח n < p < 2nלכל ,n > 1משום ש־ pכזה מחלק את ! nבדיוק פעם אחת( .הדרכה .הפעל את
תרגיל 5.4.12על G = Snו־ .N = An
תרגיל (-***) 5.4.14תהי G0חבורה פשוטה ,שהיא תת־חבורה מאינדקס 2של חבורה Gשהמרכז שלה
טריוויאלי .הוכח שאין ל־ Gתת־חבורות נורמליות לא טריוויאליות פרט ל־ .G0הדרכה .תהי .N ▹Gאם N ⊆ G0
∼ ;Nוהרי תת־חבורה נורמלית מסדר 2היא מרכזית
∼ ) = N/(N ∩ G0
סיימנו ,ולכן N ∩ G0 = 1ו־ .N G0 = Gאבל אז = N G0 /G0 = G/G0
)תרגיל ,(4.7.1בסתירה להנחה.
תרגיל (**) 5.4.15הסק את משפט 5.4.9ממשפט .5.4.5
הדרכה .לפי תרגיל 5.3.18אפשר להפעיל את תרגיל .5.4.14
תרגיל (***) 5.4.16תהי G0חבורה פשוטה ,שהיא תת־חבורה מקסימלית של חבורה .Gאם יש ל־G
∼ .Gהדרכה .תהי N ▹Gשאינה מוכלת ב־ .G0אז
תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית פרט ל־ ,G0אז = G0 × G/G0
∼G
∼ = G0 × N
∼ .Nמכאן ש־× = G0
∼ ) = N/(N ∩ G0
N ∩ G0 = 1ו־ ,N G0 = Gולפי משפט האיזומורפיזם השני = N G0 /G0 = G/G0
.G/G0
תרגיל (***) 5.4.17הראה שהמכפלה הישרה An
∏
n≥5
נוצרת על־ידי שני אברים.
.1נסמן ב־ ∞ Sאת חבורת התמורות של Nבעלות תומך סופי )התומך של
תרגיל (+**) 5.4.18
σ : N→Nהוא } .({x : σ(x) ̸= xהראה ש־ ∞ Sהיא תת־חבורה נורמלית של חבורת כל התמורות
.SNהראה ש־ |S∞ | = ℵ0בעוד ש־.|SN | = ℵ
.2נסמן ב־ ∞ Aאת תת־החבורה של ∞ Sהכוללת תמורות זוגיות .הראה ש־ ∞ Aפשוטה.
תרגיל .4.1.5
56
הדרכה.
פרק .5חבורות של תמורות
5.5
.5.5תמורות מקריות
תמורות מקריות
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
השאלות בסעיף זה מנוסחות בשפה הסתברותית ,אבל אפשר לתרגם אותן בקלות לחישובי ממוצעים ,ולתת
להן גוון קומבינטורי.
תרגיל (*) 5.5.1בוחרים באקראי )ובהתפלגות אחידה( .σ ∈ Snמה הסיכוי ש־?σ(1) = 3
תרגיל (+*) 5.5.2מה הסיכוי לכך ש־ σ(1) = 3וגם ?σ(2) = 3
תרגיל (**) 5.5.3חשב את הסיכוי לכך שהנקודה 1תשתייך למחזור באורך ,kכאשר .1 ≤ k ≤ n
תרגיל (+**) 5.5.4מה תוחלת מספר המחזורים באורך kשל תמורה מקרית ?σ ∈ Sn
הדרכה .ספור נקודות
השייכות למחזורים באורך .k
תרגיל (**) 5.5.5מה תוחלת מספר המחזורים של תמורה מקרית ?σ
תרגיל (***) 5.5.6חשב את ההתפלגות של מספר נקודות השבת Xשל תמורה אקראית .σ ∈ Snמה
קורה כאשר ∞→?n
57
פרק .5חבורות של תמורות
.5.5תמורות מקריות
58
פרק 6
פעולה של חבורה על קבוצה
פרק שישי ,שממנו ידע הקורא על נקלה את כל מה שמסופר בו
)ניקולאי וסיליביץ גוגול" ,מעשה במריבה שרב איוואן איוונוביץ' עם איוואן ניקיפורוביץ'"(
חבורות הן בין האובייקטים המרכזיים בכל תחומי המתמטיקה .הסיבה לכך היא שהן יכולות לפעול על
מבנים אחרים .מעבר לזה ,האפשרות לתאר חבורה לפי הפעולה שלה על קבוצות שונות מוסיפה עומק גם
לתורת החבורות עצמה.
פעולה של חבורה היא נאמנה אם אפשר לשחזר את האיבר הפועל מן הפעולה שלו .נקודה במרחב עשויה
להיות נקודת שבת )אם כל החבורה פועלת עליה באופן טריוויאלי( .באופן כללי יותר ,לכל נקודה במרחב
יש מייצב ,שהוא תת־החבורה הכוללת את אברי החבורה שאינם מזיזים את הנקודה .הפעולה מפרקת את
המרחב למסלולים ,שהגודל של כל אחד מהם שווה לאינדקס של המייצב של נקודות מתוכו ,ולכן מחלק את
סדר החבורה.
משפט קיילי משתמש בכך שכל חבורה פועלת על עצמה )על־ידי כפל משמאל( ,כדי להראות שכל חבורה
סופית היא תת־חבורה של חבורת תמורות .Snהפעולה של Gעל מרחב הקוסטים G/Hמוליכה לעידון של
משפט קיילי ,המספק בין השאר תת־חבורה נורמלית המוכלת ב־.H
פעולה טבעית אחרת של חבורה היא פעולת ההצמדה .תחת פעולה זו ,המסלולים הופכים למחלקות
מרכזים של איברים .לצד העיסוק במרכזים של אברים ,הקדשנו תת־סעיפים גם
ְּ
צמידות ,והמייצבים הם
למרכזים ולמנרמלים של תת־חבורות .המנרמלים מהווים מייצבים בפעולה טבעית אחרת :פעולת ההצמדה של
החבורה על אוסף תת־החבורות של עצמה.
הלמה של ברנסייד )סעיף (6.5סופרת את המסלולים בפעולת חבורה בעזרת מספר נקודות השבת של
אברי החבורה .לשיטה הזו יש שימושים קומבינטוריים נרחבים )בעיקר דרך "תורת פוליה" שלא נעסוק בה
כאן( .סעיף 6.6עוסק בפעולה טרנזיטיבית ,שהיא פעולה שבה כל המרחב מהווה מסלול אחד .למושג חשוב זה
יש כמה הכללות ,וביניהם רנזיטביות מרובה ופעולה רגולרית .טיפוס אחר ,שאנו מציגים רק על קצה המזלג,
היא פעולה פרימיטיבית ,שתחתיה בלתי אפשרי לפרק את המרחב לבלוקים .סעיף 6.7מוקדש כולו לפעולות
טבעיות של החבורות הלינאריות ,ובעיקר ) GL2 (Fכאשר Fשדה סופי .אנו מציגים בעזרת הפעולה כמה זוגות
מפתיעים של חבורות איזומורפיות .הסעיף האחרון מדגים פעולה של חבורה על אובייקט נוסף :גרפים.
6.1הפעולה
הגדרה 6.1.1פעולה של חבורה Gעל קבוצה Xהיא הומומורפיזם Φ : G→SXכאשר SXהיא חבורת התמורות על .X
הגדרה 6.1.2פעולה של חבורה Gעל קבוצה Xהיא פונקציה Φ : G × X → Xכך )) Φ(gh, x) = Φ(g, Φ(h, xלכל
g, h ∈ Gו־.x ∈ X
תרגיל (*) 6.1.3הראה ששתי ההגדרות שקולות.
הדרכה .אם Φפעולה לפי ההגדרה הראשונה אז )Φ(g, x) = Φ(g)(x
פעולה לפי ההגדרה השניה ,ולהיפך.
הפעולה של Gעל Xמפרשת כל איבר של Gכתמורה )) Φ(gלפי ההגדרה הראשונה Φ(g, ·) ,לפי השניה(
של אברי הקבוצה .Xאת תוצאת הפעולה של g ∈ Gעל ) x ∈ Xכלומר ) Φ(g)(xאו ) ,Φ(g, xבהתאמה(
מסמנים ב־) g · x ,g(xאו סתם .gxלפי ההנחה מתקיים ) (gh)x = g(hxלכל g, h ∈ Gו־.x ∈ X
תרגיל (*) 6.1.4בכל פעולה של חבורה על קבוצה ,איבר היחידה פועל באופן טריוויאלי ,כלומר = )1G (x
xלכל נקודה .x
59
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.2מסלולים ומייצבים
תרגיל (+*) 6.1.5בכל פעולה ,כל הפונקציות ) x 7→ g(xהן חד־חד־ערכיות ועל.
6.1.1
דוגמאות ופעולות מושרות
דוגמא 6.1.6כל חבורה Gיכולה לפעול פעולה טריוויאלית על כל קבוצה ,Xאם נגדיר gx = xלכל g ∈ G
ולכל .x ∈ X
דוגמא 6.1.7חבורת הסימטריות Snפעולת על הקבוצה } ,{1, . . . , nלפי ) .σ · n = σ(nזוהי הפעולה הטבעית
של .Sn
פעולה של חבורה Gעל קבוצה Xמגדירה באופן טבעי פעולה של כל תת־חבורה של Gעל אותה קבוצה.
אם Gפועלת על שתי קבוצות X ,ו־ ,Yהפעולה האלכסונית של Gעל X ×Yמוגדרת לפי ).g(x, y) = (gx, gy
תרגיל (**) 6.1.8הראה שהפעולה הטבעית של S4על קבוצת החלוקות } {12|34, 13|24, 14|23משרה
הומומורפיזם S4 →S3שהגרעין שלו הוא ) K4זהו תרגיל .(3.5.7
תרגיל (**) 6.1.9מצא שלושה עותקים של D4בתוך .S4
הדרכה D4 .פועלת על ארבעת קודקודי הריבוע; ראה גם
תרגיל .4.6.9
6.1.2
פעולה נאמנה
הגדרה 6.1.10פעולת חבורה Gעל קבוצה Xהיא נאמנה אם רק איבר היחידה פועל באופן טריוויאלי .במלים אחרות ,לכל
1 ̸= g ∈ Gיש x ∈ Xכך ש־.gx ̸= x
תרגיל (*) 6.1.11נסמן } G0 = {g ∈ G : (∀x ∈ X)gx = xאת גרעין ההומומורפיזם G→SXשמגדירה
הפעולה לפי הגדרה .6.1.1הפעולה נאמנה אם ורק אם .G0 = 1
תרגיל (*) 6.1.12הפעולה של Gעל Xנאמנה אם ורק אם ההומומורפיזם G→SXהמתאים לפעולה,
) ,g 7→ (x 7→ gxהוא שיכון.
תרגיל (*) 6.1.13הראה שיש פעולה נאמנה של Gעל קבוצה בגודל nאם ורק אם יש שיכון .G ,→ Sn
תרגיל (**) 6.1.14תהי ,N ▹Gכאשר Gפועלת על קבוצה ,Xותהי G0החבורה המוגדרת
בתרגיל .6.1.11הראה שהנוסחא (gN ) · x = g · xמגדירה פעולה של G/Nעל ,Xאם ורק אם
.N ⊆ G0
תרגיל (**) 6.1.15תן דוגמה לפעולה נאמנה של Zp × Zpעל הקבוצה ) Z2 × Zpכאשר .(p > 2
6.2
מסלולים ומייצבים
הגדרה 6.2.1תהי Gחבורה הפועלת על קבוצה .Xהמסלול של x ∈ Xהוא הקבוצה }.G · x = {g · x : g ∈ G
תרגיל (*) 6.2.2היחס '' x ∼ yאם ורק אם קיים g ∈ Gכך ש־ ''y = gxהוא יחס שקילות ,שמחלקות
השקילות שלו הן המסלולים של הפעולה.
תרגיל x ∼ y (*) 6.2.3אם ורק אם x ∈ G · yאם ורק אם .y ∈ G · x
הגדרה 6.2.4את קבוצת המסלולים של Gבפעולה על Xמסמנים ב־.X/G
תרגיל (*) 6.2.5תהי H ≤ Gתת־חבורה .הראה ששני הפירושים לסימון ,G/Hכאוסף הקוסטים
השמאליים של Hוכאוסף המסלולים בפעולת Hעל Gלפי כפל מימין ,מתלכדים.
תרגיל (**) 6.2.6תהי Gחבורה הפועלת על קבוצה ,Xותהי N ▹Gתת־חבורה נורמלית .הראה
שהפעולה של Gעל ,X/Nלפי ) ,g(N · x) = N · (gxמוגדרת היטב .הראה ש־ .(X/N )/G = X/Gתן
דוגמה שבה ,אם H ≤ Gואינה נורמלית G ,אינה פועלת על .X/H
תרגיל (**) 6.2.7תאר את המסלולים בפעולת הכפל של S 1על .C
60
.6.3פעולת הכפל של חבורה על עצמה
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
הגדרה 6.2.8המייצב של נקודה x ∈ Xהוא הקבוצה } .Gx = {g ∈ G : gx = xלכל x ,g ∈ Gxנקרא נקודת ֶש ֶב ת
של .g
תרגיל (*) 6.2.9כל מייצב הוא תת־חבורה של .G
תרגיל (*) 6.2.10תן דוגמה לפעולה נאמנה של חבורה Gעל קבוצה Xעם איבר x ∈ Gכך ש־.Gx = G
תרגיל ) Ggx = gGx g −1 (**) 6.2.11הזכר בתרגיל .(3.3.1
תרגיל G = Sn (**) 6.2.12פועלת באופן טבעי על } .{1, · · · , nתאר את הקוסטים הימניים והשמאליים
של המייצב של הנקודה .n
תרגיל (**) 6.2.13החבורה S3פועלת על האוסף ] C[x1 , x2 , x3של פולינומים במשתנים .x1 , x2 , x3מצא
את המייצב של הפולינומים הבאים) .(x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) ,x1 x2 + x3 ,x1 + x2 + x3 ,x1 :עבור
הפולינום האחרון ,ראה תת־סעיף .(5.1.1
משפט 6.2.14האינדקס של המייצב של x ∈ Xשווה לגודל המסלול ].[x
הוכחה .נגדיר פונקציה f : G→Xלפי .f (g) = g · xאפשר לחשב ש־) f (g) = f (g ′אם ורק אם g · x = g ′ · x
אם ורק אם ,g −1 g ′ ∈ Gxאם ורק אם .g ′ Gx = gGxלכן ההתאמה gGx 7→ gxהיא התאמה חד־חד־ערכית
ועל בין קוסטים של Gxואברים במסלול של .x
קבוצה Xשפועלת עליה חבורה Gנקראת מרחב־.G
הגדרה 6.2.15יהיו X, Yמרחבי־ .Gפונקציה הפיכה f : X→Yהיא איזומורפיזם
של מרחבי־ ,Gאם לכל σ ∈ Gולכל x ∈ Xמתקיים ) .f (σ · x) = σ · f (xאם
יש בין Xל־ Yאיזומורפיזם של מרחבי־ ,Gאומרים שהמרחבים איזומורפיים.
∼ G/Gxכמרחבי־.G
תרגיל = [x] (**) 6.2.16
/X
G×X
f
idG ×f
/Y
G×Y
הדרכה .הפונקציה ממשפט 6.2.14היא איזומורפיזם של מרחבי־.G
תרגיל (+*) 6.2.17בכל פעולה של ,Gהגודל של כל מסלול מחלק את |.|G
תרגיל (**) 6.2.18חבורה Gפועלת על קבוצה .Xלכל ,g ∈ Gנסמן ב־}Xg = {x ∈ X : g · x = x
את אוסף נקודות השבת של .gהראה ש־ .g(Xg′ ) = Xgg′ g−1הראה שאם ) ,g ∈ Z(Gאז אפשר לצמצם
את הפעולה של Gעל Xלפעולה על .Xg
תרגיל (+**) 6.2.19בהמשך לתרגיל ,6.2.18נקבע ) σ ∈ Z(Gומספר .d ≥ 1הראה ש־ Gפועלת על
קבוצת המסלולים בגודל dשל ⟩.⟨σ
פעולת חבורה Gעל קבוצה Xהיא פעולה חופשית אם כל המייצבים הם טריוויאליים .כלומר ,לכל נקודה
,xאם g · x = xאז .g = 1
תרגיל (+**) 6.2.20תהיינה F, Gחבורות .נסמן ב־) Epi(F, Gאת כל האפימורפיזמים .ϕ : F →Gלכל
∼ .Gהראה ש־) Aut(Gפועלת )חופשית( על ) Epi(F, Gעל־ידי הרכבה
אפימורפיזם כזה= F/Ker(ϕ) ,
משמאל ,ושיש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין המסלולים של הפעולה ,לבין תת־החבורות הנורמליות
∼ .G
K▹Fשעבורן = F/K
6.3
פעולת הכפל של חבורה על עצמה
תהי Gחבורה .החבורה פועלת על עצמה על־ידי כפל משמאל ,לפי .g · x 7→ gxהחבורה פועלת על עצמה
על־ידי כפל מימין על־ידי .g · x 7→ xg −1
תרגיל (**) 6.3.1בדוק שפעולות החבורה על עצמה על־ידי כפל משמאל ומימין הן אכן פעולות) .אבל
פעולת הכפל משמאל ,g · x 7→ xgללא ההיפוך ,אינה פעולה של Gאלא אם Gאבלית(.
61
.6.3פעולת הכפל של חבורה על עצמה
6.3.1
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
משפט קיילי
בתת־סעיף זה נעזר בפעולה הטבעית של כל חבורה על עצמה ,כדי להראות שכל חבורה סופית היא תת־חבורה
של אחת החבורות הסימטריות.
תרגיל (**) 6.3.2מצא הצגה של D4כחבורת תמורות )חשוב על פינות הריבוע(.
משפט ) 6.3.3משפט קיילי( כל חבורה Gאיזומורפית לתת־חבורה של החבורה הסימטרית .SG
תרגיל (**) 6.3.4הוכח את המשפט.
הדרכה .לפי תרגיל 6.1.12מספיק למצוא פעולה נאמנה של Gעל עצמה; פעולה כזו היא
פעולת הכפל משמאל .g : x 7→ gx ,ההומומורפיזם המתאים לה הוא Ψ : G→SGלפי .Ψ(g) : x 7→ gxהראה ש־) Ψ(gh) = Ψ(g)Ψ(hוהסק
ש־ Ψמוגדרת היטב כלומר ,בהקשר הנוכחי ,היא מחזירה תמורות ולא סתם פונקציות .G → Gפעולה זו
של Gעל עצמה נקראת הפעולה הרגולרית.
∼ .SGכלומר ,המשפט נותן שיכון ,G ,→ Sn
זכור )תרגיל (2.6.4שאם Gחבורה סופית ,מסדר ,nאז = Sn
כאשר | .n = |Gזהו שיכון בזבזני למדי ,שהרי !.|SG | = n
תרגיל (*) 6.3.5הצג את החבורות Z4ו־ U8כתת־חבורות של .S4
תרגיל (**) 6.3.6הצג את U9כתת־חבורה של .S6
תרגיל (**) 6.3.7הצג את S3כתת־חבורה של ,S6כך שלאף איבר מלבד הזהות אין נקודות שבת.
תרגיל (***) 6.3.8הצג את חבורת הקווטרניונים ) Q4מהגדרה (3.6.30כתת־חבורה של ,S8והראה
שהיא אינה ניתנת לשיכון ב־ .S7הדרכה .כדי להגדיר שיכון Q4 ,→ S8די לתאר את תמונות היוצרים .i, jלחלק השני ,פתור את
המשוואה x2 = y 2עבור x, y ∈ S7מסדר ,4והראה שלא יתכן ש־ .yxy −1 = x−1ראה פתרון אחר לחלק זה בתרגיל .8.3.19
תרגיל (-***) 6.3.9תהי Gחבורה ו־ mמספר זר ל־| .|Gהוכח שההעתקה g 7→ g mהיא חד־חד־ערכית
ועל) .זהו הומומורפיזם אם החבורה אבלית ,אבל תרגיל 1.6.10אינו חל במקרה הכללי (.הדרכה .העזר
בשיכון של Gלחבורת תמורות.
תרגיל (***) 6.3.10מצא את כל החבורות Gשעבורן התמונה של שיכון קיילי ב־ SGהיא תת־חבורה
נורמלית .הדרכה .התמונה נורמלית אם ורק אם ,∀a∀σ∃b : σℓa = ℓb σכלומר ) ;∀a∀σ∃b∀x : σ(ax) = bσ(xהראה שמזה נובע
) .∀a∀σ∀x : σ(ax) = σ(a)σ(1)−1 σ(xבחר ) σ = (1tכאשר ;t ̸= 1בחר ,a ̸= 1, tאז
}
1, t, a−1 , a−1 t
{
⊆ ,Gובפרט ;|G| ≤ 4
עובדה זו נובעת כמובן גם ממשפט .5.4.9
להצגה של חבורה נתונה כחבורת
מטריצות יש שימושים תאורטיים
מרחיקי לכת ,הרבה מעבר
למשפט קיילי .מעל שדה מתאים,
כל הצגה אפשר לפרק באופן
יחיד לסכום ישר של "הצגות אי־
פריקות".
תרגיל (**) 6.3.11לכל שדה ,Fכל חבורה סופית Gהיא תת־חבורה של ) GLn (Fעבור nמתאים.
הדרכה .לפי משפט קיילי די להראות ש־) ;Sn ⊆ GLn (Fהתבונן במטריצות התמורה eσ(i),i
∑
= .pσ
תרגיל (-***) 6.3.12מצא שיכון ) .Sn ,→ GLn−1 (Fהדרכה .קח } ,V0 = span{vi − vj } ⊂ span{e1 , . . . , enוהגדר
∑ ∑n−1
∑
→(.σ 7
i<σ(j+1) eij −
פעולה של Snעל V0לפי )) .σ(vi − vj ) = vσ(i) − vσ(jלחילופין ,פתרון מפורשi<σ(j) eij ) :
( j=1
6.3.2
העידון של משפט קיילי
נסמן ב־ G/Hאת אוסף הקוסטים }) {xHגם כאשר Hאינה נורמלית(.
תרגיל (+**) 6.3.13הראה ש־ Gפועלת על G/Hלפי .g : (xH) 7→ (gx)Hזוהי פעולת הכפל משמאל
על מרחב הקוסטים.
הגדרה 6.3.14חבורה של תמורות היא מאוזנת אם כל איבר שלה הוא מכפלה של מחזורים זרים שכולם מאותו אורך) .נקודות
השבת נכללות בדיון :התמורה ) (12)(34)(56מאוזנת ב־ S6אבל לא ב־ (.S8
תרגיל (**) 6.3.15תהי H ≤ Snתת־חבורה .נניח שלאף איבר לא טריוויאלי ב־ Hאין נקודות שבת.
הוכח ש־ Hמאוזנת.
תרגיל (**) 6.3.16הראה שהתמונה של ההומומורפיזם ,Ψ : G→SS/Hהמוגדר על־ידי הפעולה
שבתרגיל ,6.3.13היא מאוזנת.
62
.6.4פעולת ההצמדה
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
תרגיל (**) 6.3.17עבור הפעולה שמשרה תרגיל 6.3.13וההומומורפיזם Ψ : G→SG/Hהמתאים לה,
הראה שהמייצב של הקוסט xHהוא x−1 Hxוש־)) Ker(Ψ) = CoreG (Hראה תרגיל .(3.3.22
אם Gחבורה גדולה ,משפט קיילי המספק שיכון שלה ל־ | S|Gאינו נוח ואינו יעיל .נניח שיש ל־ Gתת־חבורה
,Hמאינדקס .n
משפט ) 6.3.18העידון של משפט קיילי( תהי Gחבורה ותהי Hתת־חבורה מאינדקס ] .n = [G : Hאז יש שיכון
.G/CoreG (H) ,→ Sn
תרגיל (**) 6.3.19הוכח את המשפט.
הדרכה .תרגילים .6.3.17 ,6.3.13
תרגיל (-***) 6.3.20אם יש ל־ Gתת־חבורה Hמאינדקס ,nאז יש לה תת־חבורה נורמלית מאינדקס
המחלק את !) nהמוכלת ב־.(H
כזכור חבורה שאין לה תת־חבורות נורמליות נקראת פשוטה )הגדרה .(4.1.4
תרגיל (**) 6.3.21כל חבורה פשוטה עם תת־חבורה מאינדקס nהיא תת־חבורה של ) Snראו
תרגיל (.6.3.22
תרגיל (**) 6.3.22תהי Gתת־חבורה פשוטה של .Snאם |G| > 2אז .G ⊆ An
הדרכה .תרגיל ;5.1.17השווה
לתרגיל .6.3.21
תרגיל (**) 6.3.23אם לחבורה פשוטה G ̸= Z2יש תת־חבורה מאינדקס ,nאז | |Gמחלק את !. 21 n
הדרכה .תרגיל .6.3.22
תרגיל (**) 6.3.24נניח .5 ≤ n
.1ל־ Anאין תת־חבורות מאינדקס קטן מ־ .n
.2תת־החבורה היחידה של Snשהאינדקס שלה קטן מ־ nהיא .An
תרגיל (+**) 6.3.25הראה שאין שיכון של Snב־ ;n ≥ 2) An+1השווה לתרגיל (.5.1.18
תרגיל (-***) 6.3.26תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס ,pכאשר pהראשוני הקטן ביותר המחלק את
| .|Gהוכח ש־ .H▹Gהערה .זוהי הכללה של תרגיל .3.3.13
2
תרגיל G (-***) 6.3.27חבורה סופית פשוטה עם תת־חבורה .Hהוכח ש־ ] .log |G| ≤ [G : Hמצא את
החסם על ] [G : Hאם .|G| = 230
תרגיל (-***) 6.3.28לחבורה נוצרת סופית )הגדרה (1.4.23יש מספר סופי של תת־חבורות מאינדקס
.nהדרכה .תת־חבורה H ≤ Gמאינדקס nמשרה פעולה של Gעל קבוצת הקוסטים של ,Hוניתנת לשחזור כמייצב של עצמה .לכן מספר
החבורות אינו עולה על מספר ההומומורפיזמים .G→Sn
6.4
פעולת ההצמדה
בסעיף הקודם עסקנו בפעולה של חבורה Gעל עצמה ועל הקוסטים של תת־חבורה לפי כפל .בסעיף זה נבחן
פעולה חדשה :הצמדה.
הגדרה 6.4.1הפעולה של חבורה Gעל עצמה לפי g : x 7→ gxg −1נקראת הצמדה .נגדיר γg : G→Gלפי = )γg (x
;gxg −1פעולת ההצמדה מתאימה איבר gלפעולה .γg
תרגיל (**) 6.4.2קבע מתי g : x 7→ g −1 xgמגדיר פעולה של Gעל עצמה.
63
.6.4פעולת ההצמדה
6.4.1
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
מחלקות צמידות
הגדרה 6.4.3שני אברים x, y ∈ Gהם צמודים אם קיים g ∈ Gכך ש־ .y = gxg −1לפעמים מסמנים .x ≈ y
תרגיל (*) 6.4.4הראה שיחס הצמידות הוא יחס שקילות.
הדרכה .אברים הם צמודים אם ורק אם הם שייכים לאותו מסלול
של פעולת ההצמדה; אפשר גם להוכיח ישירות.
תרגיל x ∈ Z(G) (*) 6.4.5אם ורק אם מחלקת הצמידות של xהיא היחידון }.[x] = {x
תרגיל (*) 6.4.6תת־חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא מהווה איחוד של מחלקות צמידות )אבל
איחוד של מחלקות צמידות הוא תת־חבורה נורמלית רק אם הוא סגור לכפל(.
תרגיל (*) 6.4.7חשב את מחלקת הצמידות של .(g, h) ∈ G × H
(
)
0
, 10 −1
תרגיל (***) 6.4.8הוכח שבחבורה ) ,GL2 (Zכל איבר מסדר 2צמוד לאחת מן המטריצות
(
( )
)
1 1ו־ 0
. −1
0 −1
0 −1
תרגיל (**) 6.4.9מחלקות הצמידות בחבורה הדיהדרלית Dnהן:
• אם nזוגי n/2 + 3 ,המחלקות
{
{ }
{ }
{
}
{ }
}
{1}, σ, σ −1 , . . . , sn/2−1 , σ n/2+1 , σ n/2 , τ, σ 2 τ, σ 4 τ, . . . , σ n−2 τ , στ, σ 3 τ, σ 5 τ, . . . , σ n−1 τ .
• ואם nאיזוגי (n + 3)/2 ,המחלקות
{
}
{
{ }
}
{
}
{1}, σ, σ −1 , σ 2 , σ −2 , . . . , σ (n−1)/2 , σ (n+1)/2 , τ, στ, σ 2 τ, . . . , σ n−1 τ .
תרגיל (**) 6.4.10תהי Gחבורה )אינסופית( .נסמן ב־) ∆(Gאת קבוצת האברים שמחלקת הצמידות
שלהם סופית .הראה ש־) ∆(Gהיא תת־חבורה נורמלית של .G
תרגיל (-***) 6.4.11בהמשך לתרגיל ,6.4.10נסמן ב־) ∆+ (Gאת קבוצת האברים מסדר סופי ב־).∆(G
הוכח ש־) ∆(G)/∆+ (Gהיא חבורה אבלית חסרת פיתול )למושג האחרון ,ראה הגדרה .(9.5.2
תרגיל (-***) 6.4.12לכל תת־חבורה נוצרת סופית ) [H, H] ,H ⊆ ∆(Gהיא חבורה מפותלת )ראו
הגדרה .(9.5.2
תרגיל ∆(G) (+**) 6.4.13אבלית חסרת פיתול אם ורק אם אין ל־ Gתת־חבורות נורמליות סופיות.
מרכזים
ְּ
6.4.2
המרכז של aהוא קבוצת האברים
ֵּ
הגדרה 6.4.14תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ G
{
}
CG (a) = x ∈ G : xax−1 = a .
המרכז הוא המייצב של aבפעולת ההצמדה של Gעל עצמה.
ֵּ
תרגיל (*) 6.4.15המרכז של איבר הוא תת־חבורה של .G
תרגיל .CG (gag −1 ) = gCG (a)g −1 (*) 6.4.16
תרגיל (**) 6.4.17אם φ : G → Hאיזומורפיזם ,אז )).CH (φ(x)) = φ(CG (x
64
.6.4פעולת ההצמדה
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
תרגיל (+*) 6.4.18מספר האברים במחלקת הצמידות של a ∈ Gשווה לאינדקס ]) .[G : CG (aבפרט,
מספר האברים במחלקת הצמידות מחלק את סדר החבורה.
תרגיל (*) 6.4.19מחלקת הצמידות של איבר aבחבורה היא בגודל .2הוכח :יש לחבורה תת־חבורה
נורמלית לא טריוויאלית.
תרגיל (***) 6.4.20תהי Gחבורה סופית .מגרילים g, g ′ ∈ Gבאקראי לפי התפלגות אחידה.
.1חשב את תוחלת מספר הפתרונות למשוואה .xgx−1 = g ′
.2חשב את תוחלת מספר הפתרונות למשוואה .xgx−1 = g ′ gg ′−1
תרגיל (*) 6.4.21רשום את אברי המרכז של ) (123ב־ .S3
תרגיל (**) 6.4.22רשום את אברי המרכז של ) (12)(34ב־ .S4
תרגיל (**) 6.4.23מצא את המרכז של ) (12)(34בחבורה .S5כמה אברים יש במחלקה ])?[(12)(34
תרגיל (**) 6.4.24מצא את ) CSn (σכאשר ).σ = (123 . . . n
הדרכה .חשב את |].|[σ
תרגיל (*) 6.4.25מה גודלה של מחלקת הצמידות של ) (123)(45ב־ ?A5
תרגיל (**) 6.4.26רשום את אברי המרכז של ) (123ב־ .A4
תרגיל (***) 6.4.27החבורה ) G = SL2 (Z3של מטריצות 2 × 2מעל Z3מדטרמיננטה ,1היא מסדר .24
.1מצא איבר לא טריוויאלי במרכז של .G
(
)
1
0
.2חשב את המרכז ) ,CG ( 1 1וזהה את החבורה עד כדי איזומורפיזם.
)
.3הסק -כמה מטריצות צמודות ל־ 1 0
1 1
6.4.3
(
בחבורה הזו?
מחלקות צמידות בתת־חבורה
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
בסעיף זה נלמד מה קורה למחלקות צמידות כאשר יורדים לתת־חבורה .תהי Gחבורה עם תת־חבורה
נורמלית ,Nותהי Γמחלקת צמידות של ,Gהמוכלת ב־ ) .Nדוגמה חשובה במיוחד G = Sn :ו־ (.N = An
תרגיל Γ (*) 6.4.28היא איחוד של מחלקות צמידות ב־ ) Nכלומר :אם g1 , g2צמודים ב־ ,Nהם צמודים
ב־.(G
תרגיל (+**) 6.4.29אם Γ = Γ1 ∪ · · · ∪ Γsכאשר Γiמחלקות של ,Nאז Γiשווי־גודל ו־ |Γ| = s · Γ1
עבור sמתאים.
תרגיל (**) 6.4.30הראה ש־) (123), (124צמודים ב־ S4אבל אינם צמודים ב־ .A4
(
)
(
)
תרגיל (**) 6.4.31הראה ש־ 0 1
−A = 01 −1צמודות ב־) GL2 (Rאבל אינן צמודות
ו־
A
=
0
−1 0
ב־) .SL2 (Rהראה שכל מטריצה הצמודה ל־ Aב־) GL2 (Rצמודה לאחת המטריצות A, −Aב־).SL2 (R
המרכזים .נבחר .g ∈ Γ
ְּ
כדי לבדוק האם מחלקה Γהיא מחלקת צמידות של ,Nנשווה את
תרגיל .CN (g) = N ∩ CG (g) (*) 6.4.32
תרגיל Γ (**) 6.4.33מתפצלת
] [G:N
ל־ ])[CG (g):CN (g
מחלקות צמידות של .Nבפרט:
Γ .1מחלקת צמידות של Nאם ורק אם ]).[G : N ] = [CG (g) : CN (g
Γ .2מתפצל ל־] [G : Nמחלקות לכל היותר Γ .מתפצל ל־] [G : Nמחלקות אם ורק אם .CG (g) ⊆ N
65
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.4פעולת ההצמדה
תרגיל (**) 6.4.34נסח את תוצאות התרגיל האחרון במקרה .[G : N ] = 2
תרגיל (**) 6.4.35מצא את מחלקות הצמידות ב־ .A4
תרגיל (**) 6.4.36האם כל שני אברים מסדר 7ב־ A7הם צמודים? מה בדבר כל שני אברים מסדר
?2כל שני אברים מסדר ?3
תרגיל (-***) 6.4.37מצא את מחלקת הצמידות היחידה של S6המוכלת ב־ A6ומתפצלת שם לשתי
מחלקות.
מרכזים של תת־חבורות.
ְּ
6.4.4
המרכז של Hהוא קבוצה האברים
ֵּ
הגדרה 6.4.38תהי H ≤ Gתת־חבורה.
{
}
CG (H) = x ∈ G : ∀a ∈ H : xax−1 = a .
המרכז של איבר )הגדרה (6.4.14משום ש־).CG (⟨g⟩) = CG (g
ֵּ
זוהי הכללה של
תרגיל CG (H) (*) 6.4.39תת־חבורה של .G
תרגיל H ⊆ CG (H) (*) 6.4.40אם ורק אם Hאבלית.
תרגיל (*) 6.4.41אם Hאבלית ,אז ) S = CG (Hהיא תת־החבורה המקסימלית כך ש־).H ⊆ Z(S
תרגיל .Z(H) = H ∩ CG (H) (*) 6.4.42
תרגיל .Z(G) = CG (G) (*) 6.4.43
תרגיל .CG (xHx−1 ) = xCG (H)x−1 (+*) 6.4.44לכן ,אם H▹Gאז .CG (H)▹G
תרגיל (*) 6.4.45אם A ⊆ Bאז ).CG (B) ⊆ CG (A
תרגיל A, B ≤ G (**) 6.4.46תת־חבורות .הראה ש־).CG (AB) = CG (A) ∩ CG (B
תרגיל (**) 6.4.47לכל תת־חבורה .H ⊆ CG (CG (H)) ,H
תרגיל (-***) 6.4.48יהי Ψ : L→Lאופרטור מקבוצה סדורה לעצמה ,המקיים את שני התנאים
.1אם A ≤ Bאז ),Ψ(A) ≥ Ψ(B
.2לכל ;A ≤ Ψ2 (A) ,A ∈ L
אז ,Ψ3 = Ψכלומר Ψ(Ψ(Ψ(A))) = Ψ(A) ,לכל .A
תרגיל (-***) 6.4.49לכל תת־חבורה H ≤ Gמתקיים )CG (CG (CG (H))) = CG (H
הדרכה .תרגיל .6.4.48
תרגיל (+**) 6.4.50תהיינה H ≤ Gחבורות ,אז ).Z(H) · Z(G) = H · Z(G) ∩ CG (H
תרגיל (***) 6.4.51תהי Gחבורה שבה ⟩ CG (x) = ⟨xלכל .x ̸= 1הוכח שלכל איבר ב־ Gיש סדר
ראשוני .תן דוגמה לחבורה כזו שאינה מסדר .pn
תרגיל (*) 6.4.52חשב את ) CG×H (G × 1ואת ).Z(G × H
66
.6.4פעולת ההצמדה
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
6.4.5מנרמלים
יהי Sאוסף כל תת־החבורות של .G
תרגיל (**) 6.4.53הנוסחה g : H 7→ gHg −1מגדירה פעולה של Gעל האוסף .S
הגדרה 6.4.54תהי H ≤ Gתת־חבורה .המנרמל של Hב־ Gהוא הקבוצה
{
}
NG (H) = x ∈ G : xHx−1 = H .
כלומר ,כמקודם ,זהו המייצב של Hבפעולת ההצמדה על .S
{
}
תרגיל (**) 6.4.55הראה שהקבוצה x ∈ G : xHx−1 ⊆ Hאינה בהכרח תת־חבורה.
)
Q
1
× ( )
Q0ו־
Z
1
1
0
(
הדרכה .קח = G
= .H
תרגיל (*) 6.4.56המנרמל ) NG (Hהוא תת־חבורה של ,Gהמכילה את המרכז ).CG (H
תרגיל ,H▹NG (H) (*) 6.4.57ולמעשה ) NG (Hהיא תת־החבורה הגדולה ביותר של Gשבה H
נורמלית :לכל ,H▹K ,H ≤ K ≤ Gאז ורק אם ).K ⊆ NG (H
תרגיל NG (H) = G (*) 6.4.58אם ורק אם .H▹G
תרגיל .NG (xHx−1 ) = xNG (H)x−1 (*) 6.4.59
תרגיל H · CG (H) (*) 6.4.60היא תת־חבורה נורמלית של ).NG (H
תרגיל (*) 6.4.61אם ,H ⊆ K ⊆ Gאז .NK (H) = NG (H) ∩ K
תרגיל (**) 6.4.62נניח ש־ .K▹G ,K ⊆ H ≤ Gאז .NG/K (H/K) = NG (H)/K
הגדרה 6.4.63שתי תת־חבורות H, H ′של Gהן צמודות אם קיים g ∈ Gכך ש־ .H ′ = gHg −1
תרגיל (*) 6.4.64אם H1 , H2צמודות ,אז הן איזומורפיות .תן דוגמא המראה שההיפך אינו נכון.
תרגיל (+**) 6.4.65מספר תת־החבורות הצמודות ל־ Hשווה ל־]).[G : NG (H
הראה שלתמורה
תרגיל (**) 6.4.66נניח ש־ X, Yהם מרחבי־ Gאיזומורפיים )הגדרה .(6.2.15
המתאימה לאיבר g ∈ Gבפעולה שלו על Xיש אותו מבנה מחזורים כמו בפעולה שלו על .Y
תרגיל (+**) 6.4.67תהי H ≤ Gתת־חבורה .הראה שקבוצת הקוסטים של המנרמל ) ,G/NG (Hעם
פעולת הכפל של Gמשמאל ,איזומורפית )כמרחב־ (Gלקבוצת תת־החבורות הצמודות ל־ ,Hשהוגדרה
בתרגיל .6.3.13בפרט ,הראה שמספר נקודות השבת בפעולה של g ∈ Gשווה למספר הצמודים של
) NG (Hשאליהם gשייך.
תרגיל (+**) 6.4.68תהי H ≤ Gתת־חבורה .הפעולה של Gעל תת־החבורות הצמודות ל־ ,Hעל־ידי
הצמדה ,משרה פעולת הצמדה של כל תת־חבורה .K ≤ Gהראה שאם יש בפעולה של Kנקודת
שבת משותפת ,אז ) NG (Hמכיל תת־חבורה הצמודה ל־.K
תרגיל (+**) 6.4.69תהי ) ,G = GLn (Fו־) ,T = Tn (Fכפי שהוגדרו בתרגיל .3.5.20מצא את המנרמל
∼ .NG (T )/T
) NG (Tוהוכח ש־ = Sn
תרגיל (**) 6.4.70תהי Gחבורה סופית עם תת־חבורה אמיתית .Hהוכח שיש ב־ Gאברים שאף צמוד
∪
||G
שלהם אינו שייך ל־ .Hהדרכה .הראה ש־ ]. x∈G xHx−1 < [N (H):H
G
תרגיל (***) 6.4.71תהי Gחבורה פשוטה סופית ,שאינה ציקלית.
.1נניח שכל תת־חבורה אמיתית של Gהיא אבלית.
67
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.5הלמה של ברנסייד
)א( החיתוך של שתי תת־חבורות מקסימליות הוא טריוויאלי.
הדרכה .תהיינה H1 , H2תת־חבורות מקסימליות,
ונסמן .K = H1 ∩ H2מכיוון ש־ NG (K) ⊇ H1 , H2 ,K▹Hiולכן NG (K) = Gו־ ,K▹Gאבל Gפשוטה.
)ב( תהי Hתת־חבורה מקסימלית .נסמן }xHx−1 − {1
∪
x
= ) .V (Hאז
1
|2 |G
≥ |).|V (H
הדרכה |V (H)| = |G| − [G : H] .לפי סעיף )א(.
)ג( תהי Hתת־חבורה מקסימלית .אז יש תת־חבורה מקסימלית שאינה צמודה ל־.H
הדרכה .לפי
תרגיל 6.4.70יש איבר של Gשאינו באף צמוד של .H
)ד( תהיינה H1 , H2תת־חבורות מקסימליות שאינן צמודות ,אז |) ,|G| ≤ |V (H1 ) ∪ V (H2וזו
סתירה לכך ש־) .1 ̸∈ V (Hi
.2יש ל־ Gתת־חבורה לא אבלית.
6.5
הלמה של ברנסייד
דוגמא 6.5.1בונים ריבועים ממוטות עץ בשלושה צבעים .שני ריבועים שאפשר לקבל אחד מהם מן השני על־ידי
סיבוב או שיקוף הם שקולים .כמה ריבועים לא שקולים אפשר לבנות?
בשאלה זו יש חבורה ) (D4הפועלת על אוסף הריבועים הבנויים ,כלומר 34הרביעיות הסדורות של מוטות
משלושה צבעים .הלמה של ברנסייד מאפשרת לספור כמה מסלולים יש בפעולה הזו.
הגדרה 6.5.2תהי Gחבורה הפועלת על .Xלכל ,σ ∈ Gנסמן ב־|} fp(σ) = |{x : σ(x) = xאת מספר נקודות השבת
של .(fixed points) σ
משפט ) 6.5.3הלמה של ברנסייד( מספר המסלולים בפעולה של חבורה Gעל קבוצה Xשווה לערך הממוצע של מספר
נקודות השבת:
∑ 1
fp(σ).
= ||X/G
||G
σ∈G
∑
∑
∑
מצד שני אותו סכום שווה ל־
= ). σ∈G x∈X δx,σ(x
הוכחה .מצד אחדσ∈G fp(σ) ,
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
||G
1
· O1
= ) , x∈X σ∈G δx,σ(xכאשר
· |x∈X |[x]| = |G
= | x∈X |Gx
O
|x∈O |O| = |G
∑
הסכום Oמחושב על־פני המסלולים .O ⊆ X
תרגיל (+*) 6.5.4תהי Gחבורה הפועלת על קבוצה .Xאם σ, σ ′ ∈ Gצמודות אז |).|fp(σ ′ )| = |fp(σ
לכן
∑ 1
)|C| · fp(C
= ||X/G
||G
C⊆G
כאשר ) fp(Cהוא מספר נקודות השבת של איבר כלשהו ממחלקת הצמידות .C
תרגיל (*) 6.5.5חשב באמצעות הלמה של ברנסייד את מספר נקודות השבת הממוצע של תמורות
מ־ .Sn
תרגיל (-***) 6.5.6תהי Gחבורה סופית .הראה שההסתברות לכך ששני אברים מקריים יתחלפו ,שווה
∑
1
למספר מחלקות הצמידות חלקי סדר החבורה.
| ; |Gיישם את הלמה של
2
הדרכה .ההסתברות היא |)g∈G |CG (g
ברנסייד לפעולת ההצמדה של החבורה על עצמה.
תרגיל (+**) 6.5.7יהי pמספר ראשוני .החבורה הדיהדרלית Dpפועלת על מצולע משוכלל בן p
צלעות .כמה משולשים יש במצולע ,עד כדי שקילות?
מתי שתי צביעות של
קודקודי ריבוע נחשבות
שקולות זו לזו?
הלמה של ברנסייד מאפשרת לספור את הדרכים השונות לצבוע קבוצה ,Xבאופן הבא .תהי Bקבוצת
הצבעים .צביעה של Xהיא פונקציה .f : X→Bנניח שחבורה Gפועלת על ;Xהחבורה פועלת גם על קבוצת
הצביעות B Xלפי הנוסחה )).(σ(f ))(x) = f (σ(x
)c(σ
| |Bכאשר ) c(σהוא
תרגיל (**) 6.5.8מספר נקודות השבת של σ ∈ Gבפעולה על B Xשווה ל־
∑
)c(σ
1
|. |G| σ∈G |B
מספר המחזורים של σכאיבר של .SXלכן מספר הצביעות השונות הוא
68
.6.6טרנזיטיביות
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
תרגיל (**) 6.5.9בכמה דרכים שונות עקרונית אפשר לצבוע קודקודים של ריבוע ,אם אפשר להשתמש
בששה צבעים? )שתי צביעות הן שקולות אם אפשר לסובב ולשקף את הריבוע הצבוע באחת מהן אל
השניה(.
תרגיל (***) 6.5.10במאגר יש מספר גדול של כדורים בכל אחד מעשרה צבעים .השתמש בלמה של
ברנסייד כדי לספור כמה אפשרויות יש לבחור קבוצה בת ארבעה כדורים.
תרגיל (+**) 6.5.11כמה מחרוזות באורך nאפשר ליצור מחרוזים בשני צבעים?
הדרכה .בפעולה של σ iיש
) 2(n,iנקודות שבת.
תרגיל (**) 6.5.12חבורה Gפועלת על־ידי כפל משמאל על זוגות לא סדורים של אברים של עצמה.
n
כמה מסלולים יש? הדרכה .נסמן ב־ nאת גודל החבורה .נסמן ב־ d2את מספר האברים מסדר 2בחבורה; לכל איבר מסדר 2יש 2
אברים ,ולאיברים שאינם מקיימים g 2 = 1אין נקודות שבת .לכן מספר המסלולים הוא ) . 12 (n − 1 + d2ספור את המסלולים ישירות תוך שימוש
בעובדה שכל זוג שקול לזוג מהצורה }) {1, gהשווה לתרגיל .(2.1.13
תרגיל (**) 6.5.13ריבוע סודוקו מסדר 2הוא ריבוע של 4 × 4משבצות ,שבכל שורה ובכל עמודה שלו
כתובים המספרים ,1, 2, 3, 4וכך שבכל רבע של הריבוע מופיעים כל ארבעת המספרים .הגדר שלוש
פעולות שונות של D4על האוסף Σשל כל ריבועי סודוקו מסדר .2הגדר פעולה טבעית של .S4כמה
ריבועי סודוקו מסדר 2יש ,עד כדי הפעולה המשותפת של כל החבורות האלה?
6.6טרנזיטיביות
הגדרה 6.6.1הפעולה של Gעל Xהיא פעולה טרנזיטיבית אם לכל x, y ∈ Xקיים g ∈ Gכך ש־ .g(x) = yכלומרX ,
היא מסלול יחיד תחת הפעולה.
תרגיל (**) 6.6.2אם Gפועלת טרנזיטיבית אז כל המייצבים Gxצמודים זה לזה.
הסק ש־ ,CoreG (Gx ) = 1ולכן המייצב של נקודה אינו מכיל אף תת־חבורה נורמלית של .G
)הדרכה .תרגיל
(.6.2.11
תרגיל (**) 6.6.3החבורה ) GLn (Fפועלת על המרחב V = F nבדרך הרגילה .A : x 7→ Ax ,כמה
מסלולים יש בפעולה הזו? )ראה תרגיל (.6.8.7
תרגיל (**) 6.6.4אם Gפועלת על Xויש נקודה x ∈ Xכך ש־| [G : Gx ] = |Xאז הפעולה טרנזיטיבית.
6.6.1
טרנזיטיביות מרובה
הגדרה 6.6.5פעולה על מרחב Xשיש בו לפחות kנקודות נקראת k־טרנזיטיבית אם לכל x1 , . . . , xkשונים ,ולכל
y1 , . . . , ykשונים ,קיים g ∈ Gכך ש־ ) .g(xi ) = yiפעולה 1־טרנזיטיבית נקראת ,כפי שהוגדר לעיל ,סתם ''טרנזיטיבית''(.
תרגיל (*) 6.6.6כל פעולה k־טרנזיטיבית היא בפרט )(k − 1־טרנזיטיבית.
תרגיל (*) 6.6.7אם Gפועלת k־טרנזיטיבית על ,Xאז Gxפועלת )(k − 1־טרנזיטיבית על הקבוצה
}.X − {x
תרגיל (-***) 6.6.8נניח ש־ Gפועלת טרנזיטיבית .אם Gxפועלת )(k − 1־טרנזיטיבית על הקבוצה
} ,X − {xאז Gהיא k־טרנזיטיבית.
) (X
d
][d
הגדרה 6.6.9תהי Xקבוצה .נסמן ב־ Xאת קבוצת הוקטורים (x1 , . . . , xd ) ∈ Xשכל רכיביהם שונים זה מזה; וב־ d
!n
][d
את קבוצת תת־הקבוצות בנות dאברים של .Xנסמן גם ).n = (n−d)! = n(n − 1) · · · (n − d + 1
) ( ) (
] [d
][d
||X
. X
=
וש־
||X
תרגיל (*) 6.6.10הראה ש־ | = |X
d
d
תרגיל (**) 6.6.11אם Gפועלת k־טרנזיטיבית על קבוצה בגודל ,nאז | |Gמתחלק ב־ ].n[k
תרגיל (**) 6.6.12תהי Gחבורה הפועלת על קבוצה ,Xויהי d ∈ Nכלשהו .הגדר פעולה של Gעל
) (
][d
. X
הקבוצות
Xו־ d
69
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.6טרנזיטיביות
תרגיל (**) 6.6.13החבורה הדיהדרלית Dnפועלת באופן טבעי על קודקודי המצולע בן nצלעות .כתוב
את המסלולים של פעולת D8על הזוגות של קודקודי המתומן; על האלכסונים; על שלשות לא סדורות
של קודקודים.
תרגיל G (**) 6.6.14פועלת d־טרנזיטיבית על Xאם ורק אם היא פועלת טרנזיטיבית על ]X [d
)הגדרה .(6.6.9
)(n
תרגיל (***) 6.6.15יהיו n, kמספרים זרים .הוכח ש־ .n | kהדרכה .תהי Gחבורה כלשהי מסדר .nהתבונן בפעולה
) (
X = Gעל־ידי כפל משמאל .הראה שהמייצב של כל A ∈ Xהוא טריוויאלי .לכן Xמתפרק לאיחוד זר של מסלולים שגודל כל
של Gעל k
)(n−1
אחד ואחד מהם הוא .nהסק מכאן שגם .k | k−1
תרגיל (*) 6.6.16הפעולה של Anעל } {1, . . . , nהיא )(n − 2־טרנזיטיבית.
תרגיל (**) 6.6.17כל תת־חבורה של Snהפועלת n־טרנזיטיבית על } ,X = {1, . . . , nשווה ל־ .Snכל
תת־חבורה שהיא )(n − 2־טרנזיטיבית מכילה את ) Anשהיא תת־החבורה היחידה של Snמאינדקס ,2
ראו הגדרה .(5.1.12
תרגיל (***) 6.6.18תהי Gחבורה .נתבונן בפעולה של ) Aut(Gעל }) G# = G−{1להגדרה ראה
סעיף .(7.1
.1אם הפעולה טרנזיטיבית אז כל האברים ב־ Gמאותו סדר ,שהוא ראשוני .p
.2אם הפעולה 2־טרנזיטיבית אז G = Z3או ש־) p = 2ו־ Gאבלית לפי תרגיל .(2.1.10
.3אם הפעולה 3־טרנזיטיבית אז .G = Z2 × Z2
.4הפעולה אינה יכולה להיות 4־טרנזיטיבית.
אם הפעולה 2־טרנזיטיבית ו־ g ̸= g −1אז יש אוטומורפיזם המעביר g 7→ gו־
הדרכה .פעולת החבורה שומרת על סדר של אברים.
{
}
,g −1 7→ h ̸= g, g −1אלא אם .G = 1, g, g −1נניח שהפעולה 3־טרנזיטיבית וניקח a ̸= bב־ ;Gאם יש } c ̸∈ {1, a, b, abאז יש
#
→ ,abבסתירה לשמירה על הכפל .לכן G = 3וזה מוכיח את הסעיף האחרון.
אוטומורפיזם המעביר b 7→ b ,a 7→ aו־7 c
תרגיל (**) 6.6.19מספר נקודות השבת של g ∈ Gבפעולה על ] X [dהוא
המומנטים של מספר
נקודות השבת אינם
תלויים בחבורה ,אלא
במידת הטרנזיטיביות
שבה היא פועלת.
][d
).fp(g
תרגיל (***) 6.6.20נסמן ב־) Y = fp(gאת המשתנה המקרי השווה למספר נקודות השבת של איבר
gהנבחר באקראי ובהתפלגות אחידה מן החבורה ) .Gהלמה של ברנסייד קובעת שאם הפעולה
טרנזיטיבית אז (.E(Y ) = 1הראה שלכל ,dאם הפעולה d־טרנזיטיבית אז .E(Y [d] ) = 1בפרט אם
הפעולה 2־טרנזיטיבית אז .V(Y ) = 1הדרכה .השתמש בלמה של ברנסייד עבור הפעולה של Gעל ].X [d
תרגיל (***) 6.6.21תהי Gחבורה הפועלת d־טרנזיטיבית על קבוצה .Xמספר המסלולים בפעולה של
Gעל ] ,X [d+1שאותו נסמן ב־ ,mשווה למספר המסלולים בפעולה של Gx1 ,...,xdעל } .X−{x1 , . . . , xd
הראה ש־.E(Y [d+1] ) = m
פעולה 2־טרנזיטיבית
תרגיל (**) 6.6.22נניח ש־ Gפועלת 2־טרנזיטיבית על קבוצה Xבגודל < .2אז מייצבי הנקודות )שהם
צמודים זה לזה לפי תרגיל (6.6.2יוצרים את .Gהדרכה .יהי .σ ∈ Gקח a ∈ Xו־ .b ̸= a, σaיש σ ′ ∈ Gכך
ש־ σ ′ σa = σaו־ ,σ ′ b = σbואז .σ = σ ′ (σ ′−1 σ) ∈ Gσa Gb
תרגיל (**) 6.6.23תהי Gחבורה הפועלת 2־טרנזיטיבית על קבוצה .Xאז לכל .NG (Gx ) = Gx ,x ∈ X
תרגיל (**) 6.6.24בעידון של משפט קיילי )תרגיל G (6.3.13פועלת על אוסף הקוסטים G/Hעל־ידי
כפל משמאל .הראה שפעולה זו 2־טרנזיטיבית אם ורק אם כל קוסט ימני של Hחותך כל קוסט שמאלי.
תרגיל (**) 6.6.25תהי Gחבורה הפועלת 2־טרנזיטיבית על .X
טריוויאלית שלה פועלת טרנזיטיבית.
אז כל תת־חבורה נורמלית לא־
הדרכה .תהי H▹Gעם .1 ̸= h ∈ Hאז יש a ∈ Xכך ש־ .h(a) ̸= aיהיו ,x, y ∈ Xאז
קיים σ ∈ Gכך ש־ σa = xו־ ;σha = yכך σhσ −1 ∈ Hמקיים .σhσ −1 x = σha = y
שאינה 2־טרנזיטיבית ,מוכלת
טרנזיטיבית של p) Spראשוני(
{
הערה 6.6.26לפי משפט ברנסייד ,כל תת־חבורה }
×. x 7→ ax + b : a ∈ F
,
b
∈
F
)לאחר מספור מתאים( בחבורת ההעתקות האפיניות p
p
70
.6.6טרנזיטיביות
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
קוסטים כפולים
הגדרה 6.6.27תהיינה H, K ≤ Gתת־חבורות .הקוסטים הכפולים של H, Kהם הקבוצות מהצורה .g ∈ G ,HgK
תרגיל (*) 6.6.28הקוסטים הכפולים הם המסלולים של פעולת Hמשמאל על מרחב הקוסטים הימניים
;G/Kוגם של פעולת Kמימין על מרחב הקוסטים השמאליים .B\Gאת מרחב הקוסטים הכפולים
מסמנים ב־.B\G/K
תרגיל (*) 6.6.29קוסטים כפולים שונים של Gהם זרים.
תרגיל (-***) 6.6.30
||H|·|K
||gHg −1 ∩K
= | .|HgKהערה .שים לב במיוחד למקרה .g = 1
תרגיל (**) 6.6.31חשב את הקוסטים הכפולים של ⟩) ⟨(123)⟩, ⟨(124בחבורה .A4
תרגיל (+**) 6.6.32תהי Gחבורה עם תת־חבורות .A, Bהראה שמספר הקוסטים הכפולים A\G/B
שווה למספר המסלולים של Gבפעולת הכפל משמאל על .G/A × G/B
הדרכה .יש איזומורפיזם של קבוצות
G\(G/A × G/B)→A\G/Bהמוגדר לפי .G(xA, yB) 7→ Ax−1 yB
תרגיל (***) 6.6.33לכל תת־חבורה ,B ≤ Gהפעולה של Gעל מרחב הקוסטים G/Bהיא טרנזיטיבית.
הפעולה של ,Bלעומת זאת ,אינה טרנזיטיבית .הוכח שהפעולה של Gעל G/Bהיא 2־טרנזיטיבית,
אם ורק אם בפעולה של Bיש שני מסלולים ,כלומר קיים ) x ̸∈ Bשקול לזה :לכל ,(x ̸∈ Bכך
ש־) .G = B ∪ BxBהשווה לתרגיל (.6.6.69
תרגיל (**) 6.6.34תהי Gחבורה הפועלת 2־טרנזיטיבית על קבוצה ,Xויהי .a ∈ Xהראה שלכל
.G = Ga ∪ Ga xGa ,x ̸∈ Gaהדרכה .זו גרסה של תרגיל .6.6.33
תרגיל (+**) 6.6.35תהיינה A, B ≤ Gתת־חבורות .נסמן ב־ Pאת קבוצת החיתוכים של תת־חבורה
הצמודה ל־ Aעם תת־חבורה הצמודה ל־ .Bהחבורה Aפועלת על Pעל־ידי הצמדה .הראה
ש־] AgB 7→ [A ∩ gBg −1היא פונקציה מוגדרת היטב מ־ A\G/Bל־.P/A
תרגיל (+**) 6.6.36בתרגיל ,6.6.35נניח ש־ Gפועלת על קבוצה Xו־ B = Gxהיא המייצב של נקודה.
כך פועלת Aעל .Xהראה שהפונקציה המתוארת שם מתאימה מסלול ב־ Xתחת פעולת ,Aלמייצב
של נקודה במסלול )תחת פעולת (Aעד כדי הצמדה.
תרגיל (**) 6.6.37נניח שחבורות A, Bפועלות על מרחב .Xהפעולות מתחלפות אם לכל a ∈ A
ו־ ,b ∈ Bולכל ,x ∈ Xמתקיים )) .a(b(x)) = b(a(xבמקרה זה החבורה A × Bפועלת על Xלפי
)).(a, b)x = a(b(x
תרגיל (**) 6.6.38תהיינה A, B ≤ Gתת־חבורות; אז Aפעולת על Gעל־ידי כפל משמאל ,ו־B
פועלת על־ידי כפל מימין ) .(b : x 7→ xb−1הראה שהפעולות מתחלפות ,כך ש־ A × Bפועלת על ,G
לפי .(a, b) : x 7→ axb−1הראה שמסלולי הפעולה הזו הם הקוסטים הכפולים .A\G/B
תרגיל (**) 6.6.39החבורה Gפועלת על G × Gמימין ומשמאל.
G\(G × G)/Gאיזומורפי למרחב מחלקות הצמידות של .G
הראה שמרחב המסלולים
פעולה סימטרית
הגדרה 6.6.40פעולת חבורה Gעל קבוצה Xהיא סימטרית אם לכל x, y ∈ Xיש g ∈ Gכך ש־ gx = yו־.gy = x
הגדרה 6.6.41פעולת חבורה Gעל קבוצה Xהיא 2־טרנזיטיבית חלש אם היא טרנזיטיבית על אוסף הזוגות הלא סדורים
} .{{x, y} : x, y ∈ X, x ̸= yכלומר ,לכל x ̸= x′ולכל y ̸= y ′קיים g ∈ Gכך ש־ gx = yו־ ,gx′ = y ′או
ש־ gx = y ′ו־.gx′ = y
תרגיל (*) 6.6.42פעולת Gעל Xהיא 2־טרנזיטיבית אם ורק אם היא 2־טרנזיטיבית חלש וסימטרית.
תרגיל (**) 6.6.43כל פעולה סימטרית היא טרנזיטיבית.
תרגיל (**) 6.6.44כל פעולה 2־טרנזיטיבית חלש היא פרימיטיבית.
הדרכה .נניח ש־ B ⊂ Xהוא בלוק עם יותר מנקודה
{
}
אחת ,וניקח x, y ∈ Bו־ .y ′ ̸∈ Bלפי ההנחה אפשר להזיז את } {x, yל־ , x, y ′וזה שובר את הבלוק.
71
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.6טרנזיטיביות
תרגיל (**) 6.6.45תנאי הכרחי ומספיק לכך שכל פעולה טרנזיטיבית של Gתהיה סימטרית ,הוא ש־
2
g = 1לכל .g ∈ Gהדרכה .הפעולה הרגולרית.
תרגיל (**) 6.6.46הראה שפעולת Znעל עצמה היא תמיד טרנזיטיבית ,פרימיטיבית לכל pראשוני,
2־טרנזיטיבית חלש רק אם ,n = 2, 3ו־2־טרנזיטיבית רק אם .n = 2
תרגיל (**) 6.6.47בעידון של משפט קיילי )תרגיל G (6.3.13פועלת על אוסף הקוסטים G/Hעל־ידי
כפל משמאל .הראה שפעולה זו סימטרית אם ורק אם בכל קוסט zHיש שני אברים הפוכים זה לזה.
תת־חבורות של Sn
6.6.2
תרגיל (**) 6.6.48החבורה Sn × Z2פועלת על } {(i, j) : 1 ≤ i ̸= j ≤ nעל־ידי )σ(i, j) = (σi, σj
לכל ,σ ∈ Snכאשר ) ω(i, j) = (j, iיוצר את המרכיב מסדר .2הראה שפעולה זו היא פרימיטיבית.
תרגיל (**) 6.6.49מצא את כל תת־החבורות של S4הפועלות באופן 2־טרנזיטיבי על }.{1, . . . , 4
הדרכה.
מצא את הגודל של תת־חבורה שכזו ,והראה שהיא נורמלית .העזר במבנה מחלקות הצמידות של .S4
תרגיל (-***) 6.6.50מה יכול להיות הסדר של תת־חבורה של ,S5הפועלת 2־טרנזיטיבית על
} ?{1, . . . , 5מצא תת־חבורה כזו מסדר .20הדרכה .תרגיל .6.6.11
תרגיל (***) 6.6.51
כולה.
.1הוכח שכל תת־חבורה 2־טרנזיטיבית של Snהמכילה חילוף היא החבורה
.2נתבונן בתת־החבורות
⟨
⟩
)A = S{1,3,5} , S{2,4,6} , (14)(25)(36
ו־
⟩)B = ⟨(14), (25), (36), (123)(456
של .S6הראה שהן טרנזיטיביות אבל אינן פרימיטיביות )פרימיטיביות מוגדרת בתת־סעיף .6.7
בתרגיל 10.2.7אנו מוכיחים תכונה מעניינת נוספת של תת־החבורות האלו(.
A = ⟨(13), (123456)⟩ .3היא חבורה מסדר B = ⟨(14), (123456)⟩ ;72היא חבורה מסדר .24
.4כל תת־חבורה טרנזיטיבית של S6המכילה חילוף מכילה עותק צמוד של Aאו .B
תרגיל (***) 6.6.52הראה שיש שני טיפוסי איזומורפיזם של תת־חבורות
הראה שכל שתי תת־חבורות איזומורפיות הן צמודות .כמה יש מכל
מסדר 12של A4 :S5ו־ .Z2 × S3
סוג? הדרכה .מבני המחזורים האפשריים
לאברי תת־החבורה הם ] .[11111], [2111], [221], [311], [32], [41כתוב את המשוואות הנובעות מן הלמה של ברנסייד בפעולת החבורה על
נקודות ,על זוגות סדורים ,על שלשות סדורות ועל זוגות לא סדורים .הסק שיש שמונה אברים עם מבנה ] [311ושלושה עם מבנה ] .[221לכן יש
שני מסלולים בפעולה על נקודות.
תרגיל (***) 6.6.53נראה כיצד מסייעת הלמה של ברנסייד למצוא את התפלגות מבני המחזורים בתת־
חבורה של .A6
.1מבני המחזורים של אברים ב־ A6הם ].[111111], [2211], [3111], [33], [42], [51
.2הראה שמספר נקודות השבת בפעולה הטבעית של S6על } ,X = {1, 2, . . . , 6בהתאמה
לרשימת מבני המחזורים ,הוא .6, 2, 3, 0, 0, 1באותו אופן יש 30, 2, 6, 0, 0, 0נקודות שבת בפעולה
על זוגות סדורים )של אברים שונים(; 120, 0, 6, 0, 0, 0נקודות שבת בפעולה על שלשות סדורות
)של אברים שונים(; ו־ 15, 3, 3, 0, 1, 0נקודות שבת בפעולה על זוגות לא סדורים.
.3בחבורה ,G ≤ A6נסמן ב־ k2 , k3 , k3′ , k4 , k5את מספרי האברים מן המחלקות השונות ,בהתאמה,
פרט לאיבר היחידה .אז ,1 + k2 + k3 + k3′ + k4 + k5 = nו־ nמחלק את ,6 + 2k2 + 3k3 + k5
120 + 6k3 ,30 + 2k2 + 6k3ו־ .15 + 3k2 + k3 + k4הדרכה .הלמה של ברנסייד.
.4לתת־חבורה G ≤ A6מסדר n = 40יש 5אברים מסדר 10 ,2מסדר 4ו־ 24מסדר .5
הדרכה.
פתור )או תן למחשב לפתור( את המשוואות ,30 + 2k2 + 6k3 = βn ,6 + 2k2 + 3k3 + k5 = αn ,k2 + · · · + k5 + 1 = n
,15 + 3k2 + k3 + k4 = δn ,120 + 6k3 = γnלכל הערכים האפשריים של .α, β, γ, δ
72
.6.6טרנזיטיביות
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.5לתת־חבורה G ≤ A6מסדר 18יש תשעה אברים מסדר ,2וארבעה אברים מכל אחת משתי
∼ .G
מחלקות הצמידות של אברים מסדר .3פעולת Gעל Xאינה טרנזיטיבית .הסק ש־ = Z3 × S3
הדרכה .לפני פתרון המשוואות יש להציב ,k4 = k5 = 0שהרי 4, 5אינם מחלקים את .18
.6אין ל־ A6תת־חבורות מסדר .30
הדרכה .בשני הפתרונות היחידים למערכת ,אין אברים מסדר ,2וזו סתירה לתרגיל .2.1.13
סגור Wielandt
הגדרה 6.6.54תהי Gחבורה הפועלת על קבוצה .Xאומרים שתמורה k σ ∈ SX־מסכימה עם ,Gאם לכל x1 , . . . , xk ∈ X
יש g ∈ Gכך ש־) σ(xi ) = g(xiלכל ְ .iסגור Wielandtה־ kשל Gהוא החבורה ) Wk (Gשל כל התמורות ש־k־מסכימות
עם .G
תרגיל (*) 6.6.55הוכח ש־) Wk (Gהיא חבורה.
תרגיל .Wk (G) = ∩x1 ,...,xk (G · SX−{x1 ,...,xk } ) (+*) 6.6.56
תרגיל (**) 6.6.57הראה ש־.W1 (G) ⊇ W2 (G) ⊇ · · · ⊇ G
תרגיל (*) 6.6.58אם H ⊆ Gאז לכל .Wk (H) ⊆ Wk (G) ,k
תרגיל (**) 6.6.59לכל .Wk (Wk′ (G)) = Wmin {k,k′ } (G) ,k, k ′
הדרכה .הוכח ש־) ,Wk (Wk (G)) = Wk (Gוחלק
למקרים.
תרגיל (-**) 6.6.60פעולת k G־טרנזיטיבית אם ורק אם .Wk (G) = SX
תרגיל (-**) 6.6.61הראה ש־) W1 (Gאינה אלא מכפלה ישרה של חבורות סימטריות ,Sm1 × · · · × Smt
כאשר miהם גדלי המסלולים בפעולה.
תרגיל (-***) 6.6.62לכל .Wk (G)x = Wk−1 (Gx ) ,x ∈ X
תרגיל (**) 6.6.63נניח ש־ Gטרנזיטיבית .הראה ש־ Wk (G) = Gאם ורק אם .Wk−1 (Gx ) = Gx
תרגיל (**) 6.6.64מצא את ) Wk (Gלכל ,kכאשר G = D8עם הפעולה הרגילה על קודקודי המתומן.
6.6.3
פעולה רגולרית
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הגדרה 6.6.65הפעולה של Gעל Xהיא רגולרית )נקראת גם טרנזיטיבית חדה( אם לכל x, yיש איבר יחיד g ∈ Gכך
ש־.g(x) = y
תרגיל (*) 6.6.66אם Gפועלת רגולרית על Xאז |.|G| = |X
תרגיל (**) 6.6.67פעולת קיילי של חבורה על עצמה לפי כפל משמאל ,היא רגולרית.
תרגיל (-**) 6.6.68פעולה טרנזיטיבית היא רגולרית אם ורק אם לאף איבר g ̸= 1אין נקודות שבת.
כלומר Gx = 1 ,לכל .x ∈ X
בפרט ,אם H ≤ Gתת־חבורה הפועלת טרנזיטיבית ,אז הפעולה של Hרגולרית אם ורק אם
H ∩ Gx = 1לכל .x ∈ X
תרגיל (**) 6.6.69תהיינה .A, B ≤ Gהפעולה של Aעל ,G/Bלפי כפל משמאל ,היא טרנזיטיבית אם
ורק אם ,AB = Gורגולרית אם ורק אם A, Bמשלימות.
תרגיל (**) 6.6.70תהי Gחבורה הפועלת על קבוצה ,Xותהי H▹Gתת־חבורה נורמלית רגולרית.
יהי .x ∈ Xהראה שהפעולה של Gxעל } X−{xאיזומורפית לפעולת ההצמדה של Gxעל = H #
} .H−{1הדרכה .נתאים ) ,h 7→ h(xאז לכל .σhσ −1 7→ σ(hx) ,σ ∈ Gx
73
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.7פעולה פרימיטיבית
תרגיל (***) 6.6.71תהי Gחבורה הפועלת באופן 4־טרנזיטיבי על קבוצה .Xאם יש לה תת־חבורה
נורמלית רגולרית אז .G = S4הדרכה .נקבע ,x ∈ Xותהי H▹Gנורמלית רגולרית .לפי תרגיל ,6.6.70פעולת ההצמדה של Gx
על } H # = H−{1איזומורפית לפעולה של Gxעל } ,X−{1שהיא 3־טרנזיטיבית לפי תרגיל .6.6.7מקל וחומר ,גם פעולת ) Aut(Hעל H #
היא 3־טרנזיטיבית ,ולפי תרגיל .H = Z2 × Z2 ,6.6.18אבל אז ) |X| = 4תרגיל (6.6.66ו־ G = S4לפי ההנחה.
משפט 6.6.72תהי Gחבורה הפועלת באופן 4־טרנזיטיבי על קבוצה .Xאם ל־ Gיש מייצב פשוט ,אז Gפשוטה.
הוכחה .נקבע .x ∈ Xתהי ,H▹Gאז ,H ∩ Gx ▹Gxולפי ההנחה יש שתי אפשרויות :או ש־ ,Gx ≤ Hואז
H = Gלפי תרגיל ,6.6.22או ש־ .Gx ∩ H = 1אם H = 1סיימנו ,ואחרת Hטרנזיטיבית לפי תרגיל ,6.6.25
ורגולרית )תרגיל .(6.6.68מתרגיל 6.6.71יוצא ש־ ,G = S4אבל אז Gx = S3שאינה פשוטה ,בסתירה להנחה.
תרגיל (**) 6.6.73הוכח ממשפט 6.6.72ש־ Anפשוטה לכל .5 ≤ nהדרכה .באינדוקציה על ,nכשהבסיס n = 5
הוא תרגיל .5.4.4לכל An ,n ≥ 6היא )(n − 2־טרנזיטיבית לפי תרגיל 6.6.16ולכן 4־טרנזיטיבית ,והמשפט חל משום שהמייצב של הנקודה n
הוא .An−1
הערה .להוכחה ישירה ,ראה .5.4.5
תרגיל (-***) 6.6.74תהי Gחבורה הפועלת באופן 2־טרנזיטיבי )או3 :־טרנזיטיבי( על קבוצה .Xאם יש
לה תת־חבורה נורמלית רגולרית אז | |Xהוא חזקת ראשוני )או |X| = 3 :או .(|X| = 2n
הדרכה .הוכחת
תרגיל 6.6.71תקפה ,עד לשורה האחרונה.
תרגיל (+**) 6.6.75כל חבורה אבלית הפועלת טרנזיטיבית ,היא רגולרית.
הדרכה .אחרת יש x ∈ Gעם x(a) = a
ו־ .x(b) ̸= bקח yכך ש־ ,y(a) = bאז ) xy(a) = x(bבעוד ש־.yx(a) = y(a) = b
תרגיל (**) 6.6.76תת־חבורה אמיתית של חבורה רגולרית אינה יכולה להיות רגולרית.
תרגיל (-***) 6.6.77תהי Gחבורה הפועלת רגולרית .הראה ש־) W2 (G) = Gראה הגדרה .(6.6.54
הדרכה W2 (G)x = W1 (Gx ) = W1 (1) = 1 .לפי תרגיל ,6.6.62ולפי תרגיל W2 (G) ,6.6.68רגולרית .סיים בעזרת תרגיל .6.6.76
תרגיל (+**) 6.6.78תהי A ≤ SXחבורה אבלית הפועלת רגולרית .אז .CSX (A) = A
הדרכה .אם xמרכז
את Aאז ⟩ ⟨A, xרגולרית לפי תרגיל ;6.6.75הפעל את תרגיל .6.6.76
הגדרה 6.6.79פעולה היא k־טרנזיטיבית חדה אם לכל x1 , . . . , xkשונים ולכל y1 , . . . , ykשונים ,יש g ∈ Gיחיד כך
ש־ .g(xi ) = yi
תרגיל (**) 6.6.80אם Gפועלת k־טרנזיטיבית בחדות על קבוצה ,Xאז
][d
|.|G| = |X
תרגיל (**) 6.6.81נניח ש־ Gפועלת 2־טרנזיטיבית בחדות על קבוצה .|X| > 1 ,Xהראה שיש לה
אברים מסדר .2הראה שכולם צמודים זה לזה .הדרכה .אם t, t′מסדר ,2קח x ∈ Xובחר s ∈ Gכך ש־s · x = x
ו־.s · (t · x) = t′ · x
6.7
פעולה פרימיטיבית
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הגדרה 6.7.1אומרים שחלוקה X = X1 ∪ · · · ∪ Xtנשמרת על־ידי הפעולה של חבורה Gאם לכל g ∈ Gולכל ,i
g(Xi ) = Xjלאיזשהו .jחלוקה שיש בה רק בלוק אחד ,או שכל הבלוקים שלה הם יחידונים ,היא חלוקה טריוויאלית )כל
פעולה שומרת על כל חלוקה טריוויאלית( .הפעולה של חבורה Gעל קבוצה Xאינה פרימיטיבית אם היא שומרת חלוקה לא
טריוויאלית כלשהי; כלומר ,הפעולה פרימיטיבית אם אינה שומרת אף חלוקה לא־טריוויאלית.
תרגיל (+*) 6.7.2כל פעולה על קבוצה בגודל 1או 2היא פרימיטיבית .לכל קבוצה בגודל < ,2מצא
פעולה עליה שאינה פרימיטיבית.
תרגיל (***) 6.7.3כל פעולה 2־טרנזיטיבית היא פרימיטיבית.
תרגיל (-***) 6.7.4כל פעולה פרימיטיבית היא טרנזיטיבית )למעט פעולת החבורה הטריוויאלית על
קבוצה בגודל (.2
תרגיל (***) 6.7.5כל תת־חבורה נורמלית של חבורה הפועלת פרימיטיבית ,פועלת בעצמה באופן
טרנזיטיבי) .זו הכללה של תרגיל ,6.7.4ולפי תרגיל 6.7.3גם של תרגיל (.6.6.25
תרגיל (***) 6.7.6תהי Gחבורה הפועלת טרנזיטיבית .הפעולה פרימיטיבית אם ורק אם המייצב של
נקודה ,Gx ,הוא תת־חבורה מקסימלית.
)משפט :Wielandtתת־החבורות הפרימיטיביות היחידות של ∞ Sמתרגיל 5.4.18הן ∞ Sו־ ∞(.A
74
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
6.8
.6.8החבורות הלינאריות
החבורות הלינאריות
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
ההומומורפיזם מתרגיל 2.7.6וב־ φ : C→R2את
תרגיל (*) 6.8.1נסמן ב־) f : C × →GL2 (Rאת
) (
האיזומורפיזם של מרחבים וקטוריים מעל .φ(a + bi) = ab ,Rיש פעולות טבעיות ,של × Cעל
Cושל ) GL2 (Rעל .R2הראה ש־).φ(α · z) = f (α) · φ(z
הגדרה 6.8.2נסמן ב־ F × Iאת חבורת המטריצות הסקלריות ב־) .GLn (F
תרגיל .Z(GLn (F )) = F × I (** ) 6.8.3
מגדירים PGLn (F ) = GLn (F )/F × Iו־).PSL2 (F ) = SLn (F )/(SLn (F ) ∩ F × I
(**) 6.8.4הראה שכל מטריצה לא סקלרית ב־) GL2 (Fצמודה למטריצה יחידה מהצורה
תרגיל (
)
(
)
(
)
∗ 0
−∆x
−∆y
a b
= ,Pכאשר ).∆ = det(A
מהצורה
הפיכה
במטריצה
A
=
את
הצמד
הדרכה.
.
ax + cy bx + dy
c d
∗ 1
היחידות לפי הדטרמיננטה והעקבה.
.1כל מטריצה לא )סקלרית( ב־) SL2 (Fשקולה ,תחת פעולת ההצמדה של
תרגיל (+**) 6.8.5
) ,GL (Fלמטריצה יחידה מהצורה 0 −1
2
1 t
(
)
(
)
0
−1
0
1
. 1 t
.2עם זאת ,המטריצה −1 1אינה צמודה ב־) SL2 (F3לאף מטריצה מהצורה
)
.3הסדר של
0 −1
1 t
(
)בהנחה שהוא סופי( שווה ל־ nהמינימלי כך ש־).(x − tx + 1) | (x − 1
n
2
פעולת ) PGL2 (Fלאיבר מהצורה
(+**) 6.8.6כל איבר לא טריוויאלי ב־) PSL2 (Fשקול
) תחת (
תרגיל (
)
0
−1
0
−1
) 1 tבהנחה שהוא סופי( שווה ל־n
, 1 tכאשר t ∈ Fיחיד עד־כדי סימן .הסדר של
המינימלי כך ש־).(x2 − tx + 1) | (xn ± 1
תרגיל (**) 6.8.7יהי Fשדה ,ו־ V = F nהמרחב הוקטורי ה־n־ממדי מעליו.
.1הפעולה הטבעית של ) G = GLn (Fעל Vהיא טרנזיטיבית על }.V −{0
.2הפעולה היא 2־טרנזיטיבית אם ורק אם .|F | = 2
.3הפעולה היא 3־טרנזיטיבית אם ורק אם |F | = 2ו־.n ≤ 2
)השווה לתרגיל (.6.6.18
תרגיל (**) 6.8.8הפעולה הטבעית של ) GLn (Fעל F nמגדירה פעולה נאמנה של ) PGLn (F
)הגדרה (6.8.2על אוסף תת־המרחבים החד־ממדיים של ,F nלפי ).[A] : F x 7→ F (Ax
.1פעולה זו של ) PGLn (Fהיא תמיד 2־טרנזיטיבית.
.2הפעולה של ) PGLn (Fאינה 3־טרנזיטיבית כאשר .n > 2
תרגיל
PGLשהוגדרה בתרגיל .6.8.8
( 2 (F
( (**) 6.8.9נתבונן בפעולה של ) )
)
0
F z1עם z ∈ Fואת תת־המרחב F 1עם ∞ ,כך שמתקבלת פעולה של ) PGL2 (Fעל
(
)
a
b
, c d z = az+bכאשר הערך של שבר שהמכנה שלו
}∞{ ∪ .Fהראה שפעולה זו מוגדרת על־ידי cz+d
נזהה את תת־המרחב
a
. a∞+b
הוא 0הוא ∞ ,ו־ c∞+d = c
75
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.8החבורות הלינאריות
תרגיל (**) 6.8.10הראה שפעולת ) PGL2 (Fעל }∞{ ∪ Fהיא 3־טרנזיטיבית )בחדות(.
הדרכה .הראה
שלכל x, y, zשונים יש איבר )יחיד( המעביר .∞ 7→ z ,1 7→ y ,0 7→ x
תרגיל (-***) 6.8.11הראה שהחבורה ) PGL2 (Fנוצרת על־ידי הפעולות z 7→ z + a ,z 7→ −1/z
ו־.(α ∈ F × ,a ∈ F ) z 7→ αz
תרגיל (-***) 6.8.12הראה שהחבורה ) PSL2 (Fנוצרת על־ידי הפעולות z 7→ z + a ,z 7→ −1/z
) .(a ∈ F
הדרכה .העזר בתרגיל 6.8.11כדי להראות שהחבורה נוצרת על־ידי הפעולות z 7→ z + a ,z 7→ −1/zו־ ;z 7→ α2 zבנוסף
= α2 z
1
1
α−1 −
α− 1
z
.α −
תרגיל (+**) 6.8.13ל־}∞{ ∪ a, b, c ∈ Fשונים ,נסמן )) ∆(a, b, c) = (a − b)(b(− c)(c)− aכאשר
β
σ = αמקיימת
.(∆(∞, a, b) = ∆(a, ∞, b) = ∆(a, b, ∞) = b − aהראה ש־ γ δ
∆(σa, σb, σc) = det(σ)3 (γa + δ)−2 (γb + δ)−2 (γc + δ)−2 ∆(a, b, c).
2
מגדירים את הכיוון של שלשה a, b, cלהיות הקוסט של ) ∆(a, b, cבחבורת המנה × .F × /Fהראה
שפעולת ) PSL2 (Fשומרת על הכיוון ,ושהיא טרנזיטיבית על קבוצת השלשות מאותו כיוון.
תרגיל (**) 6.8.14בפעולה של ) G = PGL2 (Fעל }∞{∪ ,Fהמייצב של נקודה איזומורפי ל־ × F + o F
×
)ראה תרגיל ,(7.3.8והמייצב של שתי נקודות איזומורפי ל־ .Fהסק שהפעולה נאמנה .הדרכה .חשב את
∞ Gואת .G∞,0
משפט ) 6.8.15לא נוכיח כאן( כל החבורות ) PSLn (Fפשוטות ,למעט ) PSL2 (F2ו־) .PSL2 (F3
מטריצות מעל שדות סופיים
הגדרה 6.8.16עבור qשהוא חזקת ראשוני ,נסמן ב־ Fqאת השדה היחיד מסדר .qידוע
∼ ×2
×.F
ולכן ,אם qאי־זוגיq /Fq = Z2 ,
×F
ש־ q
ציקלית )הוכחה בתרגיל (9.1.12
להמשך הסעיף יש להכיר את תת־החבורה An ≤ Snמהגדרה .5.1.12
תרגיל (**) 6.8.17בדוק ש־) .|PGL2 (Fq )| = (q + 1)q(q − 1והסק מן השיכון PGL2 (Fq ) ,→ Sq+1של
תרגיל ,6.8.9על־ידי השוואת סדרים ,ש־
∼ ) GL2 (F4 ) = PGL2 (F4
= A5 .
∼ ) PGL2 (F3
= S4 ,
∼ ) GL2 (F2 ) = PGL2 (F2
= S3 ,
1
) ,|PSL2 (Fq )| = (2,q−1ובפרט ) PSL2 (F2 ) = PGL2 (F2ו־= ) PSL2 (F4
תרגיל (q+1)q(q−1) (**) 6.8.18
) .PGL2 (F4בהמשך לתרגיל ,6.8.17הראה ש־
∼ ) PSL2 (F3
= A4 .
תרגיל (**) 6.8.19היחס הכפול של רביעיה סדורה של אברים שונים }∞{ ∪ x1 , x2 , x3 , x4 ∈ F
x1 −x3 x2 −x3
x3 −x1 x4 −x1
. ∞−aהראה
מוגדר לפי ,[x1 , x2 ; x3 , x4 ] = x1 −x4 / x2 −x4 = x3 −x2 / x4 −x2כאשר מגדירים ∞−b = 1
ש־} ,[x1 , x2 ; x3 , x4 ] ∈ F × −{1ויכול לקבל כל ערך שם .הראה ש־) PGL2 (Fשומרת על היחס הכפול,
כלומר ,לכל ) .[σx1 , σx2 ; σx3 , σx4 ] = [x1 , x2 ; x3 , x4 ] ,σ ∈ PGL2 (F
תרגיל (**) 6.8.20בהמשך לתרגיל 6.8.10ולתרגיל ,6.8.19הראה ששמירת היחס הכפול מגדירה את
הפעולה של ) PGL2 (Fעל }∞{ ∪ ,Fבמובן הבא :לכל x1 , x2 , x3שונים קיים ) σ ∈ PGL2 (Fיחיד
כך ש־ .σ(x3 ) = ∞ ,σ(x2 ) = 1 ,σ(x1 ) = 0איבר זה מוגדר לכל y ̸= x1 , x2 , x3לפי הנוסחה
]).[x1 , x2 ; x3 , y] = [0, 1; ∞, σ(y
76
.6.8החבורות הלינאריות
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
תרגיל (**) 6.8.21בהמשך לתרגיל ,6.8.19הראה שבפעולה של S4על הביטויים מהצורה
] ,[xi , xj ; xk , xℓעל־ידי החלפת המשתנים ,היוצרים ) (12), (23), (34פועלים על ] λ = [x1 , x2 ; x3 , x4
לפי .(23) : λ 7→ 1 − λ ,(12), (34) : λ 7→ λ−1בפרט ,הפעולה של חבורת הארבעה של קליין
K ⊆ S4היא טריוויאלית .[x2 , x1 ; x4 , x3 ] = [x4 , x3 ; x2 , x1 ] = [x1 , x2 ; x3 , x4 ] :בדוק שהערך של
)(λ3 −3λ+1)(λ3 −3λ2 +1
λ2 (1−λ)2
אינו תלוי בסדר המשתנים.
תרגיל (**) 6.8.22נניח שהמאפיין של Fהוא .3נאמר שרביעיה לא סדורה } {x1 , x2 , x3 , x4היא סימטרית
אם .[x1 , x2 ; x3 , x4 ] = −1הראה שהתנאי אינו תלוי בסדר הנקודות) .אבל אין זה כך מעל שדה ממאפיין
∑ [x1 , x2 ; x3אם ורק אם ,s2 (x1 , . . . , x4 ) = 0
מחליפים את −1בערך אחר (.בדוק ש־, x4 ] = −1
אחר ,או אם
∑
כאשר xi xj
i<j
)חזקה של (3יש
= ) s2 (x1 , . . . , x4לערכים ב־ Fו־ xi
)q(q 2 −1
24
= )∞ .s2 (x1 , x2 , x3 ,מעל שדה מסדר q
רביעיות סימטריות.
תרגיל (+**) 6.8.23בהמשך לתרגיל ,6.8.22הראה ש־) PGL2 (Fפועלת טרנזיטיבית על הרביעיות
2
הסימטריות .נניח ש־ × .−1 ∈ Fהראה שהכיוון ) ∆(x1 , x2 , x3של רביעיה סימטרית )כפי שהוגדר
בתרגיל ,(6.8.13מוגדר היטב )ואינו תלוי בבחירת השלשה( .הראה ש־) PSL2 (Fפועלת טרנזיטיבית
על הרביעיות הסימטריות מאותו כיוון.
∼ ) .PSL2 (F9בהמשך לתרגיל ,6.8.23יהי F = F9השדה מסדר 9
תרגיל (***) 6.8.24נוכיח ש־ = A6
) −1אינו ריבוע ב־ ,F3ולכן ] F9 = F3 [iכאשר .(i2 = −1רביעיה סימטרית היא חיובית אם הכיוון שלה
.+1
.1הראה שיש 15רביעיות סימטריות חיוביות )והן
0158, 0247, 0378, ∞012, ∞036
0456, 1236, 1357, ∞147, ∞258
1468, 2348, 2567, ∞345, ∞678
,כאשר האינדקס
a + 3bמייצג את האיבר a + biשל השדה; למשל ∞147מייצג את } .({∞, 1, 1 + i, 1 − iהבחן
שכל שתי רביעיות נחתכות בנקודה או בשתיים.
.2הראה ש־) PSL2 (F9פועלת טרנזיטיבית על 90הזוגות הסדורים של רביעיות שנחתכות בשתי
נקודות )הדרכה .המייצב של ∞012, ∞036הוא ⟩ (⟨z 7→ −z, z 7→ −1/zועל 120זוגות הרביעיות שנחתכות
בנקודה )הדרכה .המייצב של ∞012, ∞345הוא ⟩ ,(⟨z 7→ z + 1ופועלת טרנזיטיבית בחדות על 360השלשות
הסדורות של רביעיות שכל שתיים מהן נחתכות בנקודה אבל אין להן נקודה משותפת )הדרכה.
המייצב של ∞012, ∞345, 0378טריוויאלי(.
.3מניפה היא חמישיה )לא סדורה( של רביעיות ,שכל שתיים מהן נחתכות בנקודה אחת ,אבל לאף
שלוש מהן אין נקודה משותפת .הראה שכל שלשה של רביעיות שכל שתיים מהן נחתכות בנקודה
ואין להן נקודה משותפת ,מוכלת במניפה יחידה) .הדרכה .לפי הסעיף הקודם די להוכיח טענה זו עבור שלשה אחת(.
הראה שיש בדיוק שש מניפות) .הדרכה .כל מניפה מכילה 60שלשות סדורות של רביעיות כנ"ל(.
הראה שכל שתי מניפות נפגשות ברביעיה משותפת אחת.
התבונן בגרף השלם )המופיע באיור משמאל( שקודקודיו הם
המניפות ,וכל צלע שלו מתוייגת ברביעיה היחידה המשותפת
לשני הקודקודים .הראה שהתגיות של כל שתי קשתות זרות
.4נחתכות בשתי נקודות )התגיות של קשתות בעלות קודקוד
משותף נחתכות בנקודה אחת לפי הגדרת המניפות (.הראה
שכל נקודה ω ∈ Fˆ9מתאימה לחלוקה של הגרף לזוג
משולשים זרים )קח את הקשתות שהתגית שלהן כוללת
את ,(ωוכל חלוקה כזו מתאימה לנקודה אחת ויחידה.
??••/O/OO 0456 oo
???? // OoOoOoOoOo
//o
OOO
∞012 oo
?
oooo 1357
OOO∞147
/
??? O
/
0378
?? o ∞678 / ∞258 2348OOO
?OO
ooo
//
•o?O?oO?OO 2567
•o
//
ooo
o
??OO
0158
//
??1468OOO 1236
o
o
?
OO
/ ooo
?? O OOO ooo/o/ ∞036
∞345
?? oooOOO /
O/
?ooo
•• 0247 O
.5הראה שפעולת ) PSL2 (F9על }∞{ ∪ Fˆ9 = F9משרה פעולה נאמנה על הגרף ,ודרך כך
∼ ) .PSL2 (F9
איזומורפיזם = A6
.6ל־ A6יש שבע מחלקות שקילות .המסלולים תחת פעולת S6מאופיינים במבנה המחזורים,
והפעולה מאחדת שתי מחלקות )תרגיל .(6.4.37המסלולים תחת פעולת ההצמדה של
77
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.8החבורות הלינאריות
) ) PGL2 (F9פרט לזה של איבר היחידה( מאופיינים על־ידי העקבה ,עד־כדי סימן )תרגיל ;(6.8.6
פעולה זו מאחדת שתי מחלקות אחרות .תכונותיהן של המחלקות מסוכמות בטבלה להלן.
מבנה מחזורים
מסלולי
נציגים של
מסלולי :S6
בפעולה
) :PGL2 (F9
מבנה מחזורים מחלקות הצמידות
גודל
סדר
ˆ
על F9
עקבה
ב־) PSL2 (F9
האברים המחלקה
}
−1
] [52
)±(1 + i
72
5
z+1+i
][51
−1
] [52
)±(1 − i
72
5
z+1−i
] [42 12
±i
iz
][42
90
4
{
{
2
z
+
1
+
i
[3
]
40
3
][33 1
±1
z+1
] [313
40
3
] [24 12
0
−z
] [22 12
45
2
] [110
z
] [16
1
1
.1יהי Fשדה ממאפיין ≠ .2נאמר ששני זוגות זרים } {α′ , β ′ } ,{α, βהם שכנים
תרגיל (***) 6.8.25
אם .[α, β; α′ , β ′ ] = −1הראה שיחס השכנות מוגדר היטב )כלומר ,אינו מושפע מהחלפת αו־β
או α′ו־ (β ′וסימטרי.
.2הראה שלכל ,a ̸= bקיים ) ) τa,b ∈ PGL2 (Fמסדר ,2עם נקודות שבת a, bבלבד( ,כך ש־}{x, y
q−1שכנים( .עבור
שכן של } {a, bאם ורק אם ) y = τa,b xולכן אם |F | = qאז לכל זוג יש בדיוק 2
}∞ .τ0,∞ x = −x ,{a, b} = {0,
תרגיל (***) 6.8.26בהמשך לתרגיל ,6.8.25נניח ש־ .F = F5
.1הראה שיחס השכנות על 15הזוגות של אברים ב־}∞{ ∪ Fהוא יחס שקילות.
הטענה עבור השכנים של }∞ {0,והעזר ב־2־טרנזיטיביות; אשר שתכונה זו מיוחדת לשדה (.F5הראה שכל מחלקת שקילות
מהווה חלוקה של }∞{ ∪ Fלשלושה זוגות זרים.
)הדרכה .בדוק את
.2הראה ש־) PGL2 (F5פועלת נאמנה על חמש מחלקות השקילות .הסק ,מהשוואת סדרים ,ש־
∼ ) .PSL2 (F5
∼ ) .PGL2 (F5הסק מכאן ש־ = A5
= S5
.3לפי תרגיל ,PGL2 (F5 ) ,→ S6 ,6.8.9דרך הפעולה על }∞{ ∪ .Fהראה שהתמונה היא עותק לא
סטנדרטי של ) S5מייצב של נקודה בפעולה הטבעית של S6הוא עותק סטנדרטי(.
∼ ) ) PSL2 (F7זוהי החבורה הפשוטה היחידה מסדר ,168ראה
תרגיל (***) 6.8.27נוכיח ש־) = GL3 (F2
תרגיל .(8.5.61
.1תהיינה }∞{ ∪ x1 , . . . , x4 ∈ F̂ = F7נקודות שונות .נסמן ] .λ = [x1 , x2 ; x3 , x4הראה )בעזרת
תרגיל (6.8.21שהתכונה λ + λ−1 = 1אינה תלויה בסדר הנקודות .נאמר שרביעיה בעלת תכונה
זו היא מאוזנת.
.2הראה שבפירוק של ̂ Fלאיחוד של שתי רביעיות ,אם אחת מהן מאוזנת ,כך גם השניה) .אינני מכיר
הוכחה מחוכמת לטענה זו(.
2·8·7·6חלוקות של ̂ Fלרביעיות מאוזנות .הראה ש־) PGL2 (F7פועלת נאמנה על קבוצת
.3יש 2·24 = 14
החלוקות המאוזנות .הראה שהפעולה טרנזיטיבית ,ושבפעולת ) PSL2 (F7יש שני מסלולים.
.4המסלולים של ) PSL2 (F7מן הסעיף הקודם ,שנסמן ב־ X, X ′בהתאמה ,הם המסלולים של
} {0124|∞356ושל } {0356|∞124תחת הפעולה 1, 2, 4) z 7→ z + 1הם הריבועים בשדה .(F7
.5הראה שלכל שתי חלוקות ,|a ∩ a′ | = 2 ,(a|b), (a′ |b′ ) ∈ Xולכן הפעולה = ) (a|b) + (a′ |b′
) ) (a∆a′ |b∆b′כאשר ∆ הוא ההפרש הסימטרי( מוגדרת היטב .הראה שהיא אסוציאטיבית.
.6נסמן ב־ Vאת המרחב הוקטורי {0} ∪ Xמעל ,F2שממדו .3הראה שפעולת ) PSL2 (F7על V
היא לינארית ,והסק את האיזומורפיזם הדרוש.
∼ ) .PSL4 (F2
תרגיל (+***) 6.8.28הוכח ש־ = A8
ההוכחה
)ההוכחה ב־ Rotman, Thm 9.71משתמשת בתכונות של ''חבורת מתיו'' .M24
ב־ http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/A8.pdfמגדירה פעולה של A7על המרחב ,F42
שהנקודות הלא־טריוויאליות שלו מוגדרת כאוסף 15הקוסטים של ( .GL3 (F2 ) ,→ A7
אגב ,יש עוד חבורה פשוטה מסדר ! , 12 8שאינה איזומורפית ל־ .PSL3 (F4 ) :A8
78
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
6.9
.6.9סימטריות של גרפים
סימטריות של גרפים
הגדרה 6.9.1גרף על קבוצת קודקודים Vהוא אוסף של זוגות לא סדורים ,הקרוים קשתות .סימטריה של הגרף הוא תמורה
,σ ∈ SVהמעבירה כל קשת לקשת בגרף.
תרגיל (+*) 6.9.2חבורת הסימטריות של גרף היא החבורה הגדולה ביותר הפועלת עליו בצורה נאמנה.
תרגיל (*) 6.9.3חבורת הסימטריות של הגרף הריק על nנקודות היא .Sn
תרגיל (*) 6.9.4חבורת הסימטריות של גרף שווה לחבורת הסימטריות של הגרף המשלים )זה
שהקשתות שלו הם הזוגות שאינם מהווים קשתות בגרף המקורי(.
תרגיל (**) 6.9.5חבורת הסימטריות של טבעת עם nקודקודים היא .Dn
תרגיל (**) 6.9.6שרטט שניים־שלושה גרפים נאים למראה ומצא את חבורות הסימטריות שלהם.
j•TT
תרגיל (***) 6.9.7הראה שהגרף משמאל מתאר את 14הטריאנגולציות של
?•jjjj •? TTTTT
j
?
j
•
?
משושה משוכלל ,כאשר זוג טריאנגולציות מחובר בקשת אם ניתן לעבור ביניהן ?? ?? ?
על־ידי הזזת קו אחד .הוכח שחבורת הסימטריות של הגרף היא .Sמצא את • ???• • ???• • ???•
3
••TTTTTT • jjjjj
חבורת הסימטריות של הגרף המתקבל ממחיקת שלוש הקשתות המעוגלות.
T•jj
תרגיל (***) 6.9.8הראה שחבורת הסימטריות ) Aut(Cשל קוביה קשיחה איזומורפית ל־ S4
על ארבעת האלכסונים הראשיים מגדירה הומומורפיזם ;H→S4הראה ש־ |H| = 24וכדי לסיים בדוק למשל שסיבוב ב־ ◦ 180סביב חתך אלכסוני
הדרכה .הפעולה
מחליף שני אלכסונים.
הראה שחבורת הסימטריות של גרף המקצועות של הקוביה היא ) S4 × Z2העזר בתרגיל .(4.3.22
תרגיל (-***) 6.9.9הראה שהשיכון ψ : S4 →S6המתקבל מפעולת ) Aut(Cשל תרגיל 6.9.8על שש
הפאות מוגדר )תחת מספור מתאים( לפי
(34) 7→ (14)(23)(56).
(23) 7→ (12)(36)(45),
(12) 7→ (13)(24)(56),
מצא את מבנה המחזורים ב־ S6של ) ψ(σלפי מבנה המחזורים של .σ ∈ S4
תרגיל (+**) 6.9.10הוכח את נכונות הטענות בטבלה הבאה ,עבור הפעולה של S4על קוביה קשיחה.
תאור
האברים
הזהות
סיבוב סביב חתך אלכסוני
שליש סיבוב סביב פינה
רבע סיבוב של פאה
חצי סיבוב של פאה
מבנה מחזורים מבנה מחזורים מבנה מחזורים מבנה מחזורים
מספרם בפעולה על בפעולה על בפעולה על בפעולה על
צלעות
קודקודים
פאות
אלכסונים
] [112
] [18
] [16
] [14
1
2 5
4
3
] [1 2
] [2
] [2
] [21 12
6
] [34
] [12 32
] [32
] [31 11
8
] [43
] [42
] [12 41
] [41
6
] [26
] [24
] [12 22
] [22
3
תרגיל (***) 6.9.11חבורת הסימטריות של האיקוסהדרון )בן עשרים פאות משולשות( היא .A5נתח
באופן דומה לתרגיל 6.9.10את הפעולות הטבעיות של A5על האיקוסהדרון.
תרגיל (-***) 6.9.12כמה קוביות שונות אפשר ליצור אם צובעים כל פאה באחד מבין nצבעים? פתרון.
)n2 (n+1)(n3 −n2 +4n+8
24
קוביות )בפרט יש 10קוביות בשני צבעים(.
הדרכה .הפעל את הלמה של ברנסייד מתרגיל 6.5.8על
תרגיל ) 6.9.9או השורה המתאימה מתרגיל .(6.9.10
הגדרה 6.9.13גאומטריה פרוייקטיבית היא מערכת של נקודות וישרים המקיימת את האקסיומות הבאות :דרך
כל שתי נקודות עובר ישר יחיד; כל שני ישרים נפגשים בנקודה; על כל ישר לפחות 3נקודות; יש ישר ונקודה מחוץ
לו.
79
פרק .6פעולה של חבורה על קבוצה
.6.9סימטריות של גרפים
•
•
תרגיל (**) 6.9.14הראה שהאיור משמאל מתאר גאומטריה פרוייקטיבית ,שהיא
היחידה עם 7נקודות) .זהו מישור פאנו(
•
•
•
•
•
תרגיל ) (**) 6.9.15בניה אלגברית של גאומטריה פרוייקטיבית( יהי Fשדה .נתבונן במרחב הוקטורי
;V = F 3לתת־מרחבים מממד 1נקרא נקודות ,ולתת־מרחבים מממד 2נקרא ישרים .נאמר שנקודה
נמצאת על ישר אם היא מוכלת בו )כלומר ,המרחב המתאים לה מוכל במרחב המתאים לו(.
.1הראה שהמבנה המתקבל ,שאותו נסמן ב־ ,P2 Fהוא אכן גאומטריה פרוייקטיבית.
.2אם ,|F | = qיש בה q 2 + q + 1נקודות וכמספר הזה ישרים; יש q + 1נקודות על כל ישר ,ו־q + 1
ישרים דרך כל נקודה.
.3אם F = F2מתקבלת הגאומטריה של תרגיל .6.9.14
תרגיל (**) 6.9.16סימטריה של גאומטריה פרוייקטיבית היא זוג תמורות σ ,של הנקודות ו־ σ ′של הישרים,
השומרות על יחס החילה σ(x) ∈ σ ′ (ℓ) :אם ורק אם .x ∈ ℓהראה שכל סימטריה של הגאומטריה
נקבעת לפי הפעולה שלה על הנקודות.
תרגיל (+**) 6.9.17
.1החבורה ) PGL3 (Fפועלת נאמנה על הגאומטריה .P2 F
.2הפעולה היא טרנזיטיבית בחדות על מרובעים )מרובע הוא רביעיה סדורה של נקודות שאף שלוש
מהן אינן על ישר אחד(.
תרגיל (+**) 6.9.18עבור GL3 (F ) = PGL3 (F ) ,F = F2הפועלת כבתרגיל ,6.9.17היא חבורת
הסימטריות המלאה של .P2 F
גרפי קיילי
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
אם מוגדרים מספר גרפים על אותן נקודות ,חבורת הסימטריות של המבנה היא החבורה של תמורות שהן
סימטריות של כל אחד ואחד מהגרפים .תהי Gחבורה עם יוצרים .g1 , . . . , gtבסעיף 3.6בנינו tגרפים על
הקבוצה : Gלכל ,iהגרף Tiכולל את הזוגות ) .(x, xgiמבנה זה נקרא גרף קיילי של ) Gביחס ליוצרים
(.g1 , . . . , gt
⟨
⟩
גרף קיילי של S3 = σ, τ | σ 3 = τ 2 = (στ )2 = 1ושל = Z6
⟩תרגיל (**) 6.9.19צייר את ⟨
. σ, τ | σ 3 = τ 2 = 1, στ = τ σ
תרגיל (***) 6.9.20הוכח שחבורת האוטומורפיזמים של גרף קיילי פועלת על קבוצת הקודקודים באופן
רגולרי והיא איזומורפית ל־.G
80
פרק 7
אוטומורפיזמים
בפעולה על קבוצה נטולת מבנה ,הדרישה היחידה היא שאברי החבורה הפועלת יהיו הפיכים .אם לקבוצה יש
מבנה נוסף ,הגיוני לדרוש שהפעולה תשמור על המבנה הזה .לדוגמא ,בפעולות על הישר הממשי Rנצפה שאברי
החבורה יהיו פונקציות רציפות הפיכות ,ולא סתם פונקציות הפיכות .בפרק זה נבדוק בעיקר את הפעולות על
קבוצה שהיא בעצמה חבורה.
בעוד שהפרק הקודם עוסק בפעולה של Gעל מרחבים מתאימים ,חבורת האוטומורפיזמים של Gהיא
החבורה הגדולה ביותר הפועלת על Gעצמה ,תוך שמירה על פעולת הכפל שלה .בנייה של אוטומורפיזמים
עשויה להיות אתגר לא פשוט; אנו מסתפקים ברעיון הבסיסי של אוטומורפיזמים פנימיים .הפאשרות של חבורה
אחת לפעול על חבורה אחרת )כחבורת אוטומורפיזמים( מוליך לבניה של מכפלה ישרה למחצה ,המכליל את
המכפלה הישרה .כמו במכפלה ישרה ,המושגים של מכפלה ישרה למחצה חיצונית ופנימית מתלכדים .סעיף ,7.4
שבדרך כלל אינו שייך לקורס ראשון בתורת החבורות ,מראה כיצד אפשר לארגן את כל המכפלות הישרות
למחצה ,ואת כל ההרחבות מודולו המכפלות הישרות למחצה ,במבנה של חבורות אבליות.
7.1
חבורת האוטומורפיזמים
הגדרה 7.1.1תהי Gחבורה .איזומורפיזם G→Gנקרא אוטומורפיזם .אוסף האוטומורפיזמים הוא חבורת האוטומורפיזמים
של ,Gומסמנים אותו ב־).Aut(G
תרגיל (+*) 7.1.2הראה ש־) Aut(Gפועלת על ,Gולכן היא תת־חבורה של חבורת התמורות .SG
)ידוע שאם Gחבורה סופית אז הסדר של כל ) σ ∈ Aut(Gקטן מ־| .|Gמשפט זה אינו נובע מן התרגיל,
כמובן; זהו משפט 2ב־M.V. Horosevskii, ”On Automorphisms of finite groups”, Mat. Sbornik 22(4),
) ;(1974ההוכחה מבוססת על שימוש ברדיקל הפתיר ,המוגדר בתרגיל (.10.3.54
תרגיל (**) 7.1.3תהי Gחבורה הנוצרת על־ידי אברים .g1 , . . . , gtאם ) φ, ψ ∈ Aut(Gו־) ,φ(gi ) = ψ(gi
אז .φ = ψכלומר ,כדי להגדיר אוטומורפיזמים ,די להגדיר אותו על קבוצת יוצרים )בדומה ל'משפט
ההגדרה' על העתקות לינאריות(.
∼ ) .Aut(Zn
תרגיל (**) 7.1.4הוכח ש־ = Un
הדרכה .הגדר Φ : Aut(Zn ) → Unלפי ).Φ(ϕ) = ϕ(1
∼ ) ) .Aut(Z2 × Z2ראה תרגיל (.6.8.17
תרגיל = S3 (**) 7.1.5
∼ ).Aut(Z
תרגיל = Z2 (**) 7.1.6
∼ ) .Aut(S3
תרגיל (**) 7.1.7הוכח ש־ = S3
תרגיל (+**) 7.1.8חבורת האוטומורפיזמים של Znp = Zp × · · · × Zpהיא חבורת המטריצות ) .GLn (Fp
הדרכה .זו בעיה באלגברה לינארית.
תרגיל (+**) 7.1.9הראה שהסדר של ) Aut(Z4 × Z4הוא .96
תרגיל (-**) 7.1.10
הדרכה .מצא התאמה ) .Aut(Z24 ) → M2 (Z4
.1לכל G, Hיש שיכון ).Aut(G) × Aut(H) ,→ Aut(G × H
81
פרק .7אוטומורפיזמים
.7.2אוטומורפיזמים פנימיים
∼ ).Aut(G × H
.2כאשר ,(|G|, |H|) = 1השיכון הזה הוא איזומורפיזם ,ולכן )= Aut(G) × Aut(H
תרגיל (-***) 7.1.11תהי Gחבורה סופית ,ו־) φ ∈ Aut(Gאוטומורפיזם שנקודת השבת היחידה שלו היא
איבר היחידה.
.1הוכח :לכל gקיים xכך ש ).g = x−1 φ(x
.2אם ,φ ◦ φ = IGאז Gאבלית.
∼ ) .Aut(Q4
תרגיל (-***) 7.1.12הוכח ש־ = S4
הדרכה .כתוב את האברים k, −k ,j, −j ,i, −iעל הפאות המנוגדות של קוביה
∼ )) Aut(Q4 )→Aut(Cבתרגיל .(6.9.8הראה ש־ i ↔ j, k 7→ −kהוא אוטומורפיזם המחליף שני אלכסונים בקוביה,
,Cוהראה שיש שיכון = S4
ולכן השיכון הוא על.
תרגיל (***) 7.1.13חשב את ) .Aut(Z2 × Z4
∼ ).Aut(Z2 × Z
תרגיל (+**) 7.1.14הוכח ש־ = Z2 × Z2
הדרכה .מהם האיברים מסדר 2של ?Z2 × Z
תרגיל (+***) 7.1.15נזכיר ש־ Fnהיא החבורה החופשית על nיוצרים .הוכח ש־) Aut(Fn × Fnנוצרת
על־ידי האוטומורפיזמים על שני המרכיבים ועל־ידי האוטומורפיזם ) .(x, y) 7→ (y, xהדרכה .חשב מרכזים של
איברים.
הגדרה 7.1.16תהי Gחבורה .נסמן ב־ µm : G → Gאת פעולת ההעלאה בחזקה .µm : g 7→ g m
תרגיל (**) 7.1.17אם Gאבלית ו־ ,(m, |G|) = 1אז µmהוא אוטומורפיזם.
הגדרה 7.1.18תהי Gחבורה אבלית .נסמן ב־) exp(Gאת הכפולה המשותפת המינימלית של כל הסדרים של אברים ב־.G
)נחזור לנושא זה בסעיף (.9.1
תרגיל (**) 7.1.19אם Gאבלית סופית אז יש שיכון ) .Uexp(G) ,→ Aut(Gהראה שהתמונה נורמלית
ב־).Aut(G
תרגיל Inv : g 7→ g −1 (+*) 7.1.20הוא אוטומורפיזם אם ורק אם Gאבלית ,ואם Gאבלית סופית הוא
מהצורה µmעבור mמתאים.
7.2
אוטומורפיזמים פנימיים
בסעיף זה נכיר את אחת הדרכים הקלות לבנות אוטומורפיזמים של חבורה נתונה :הלא החבורה פועלת על
עצמה בהצמדה ,כפי שראינו בסעיף .6.4
הגדרה 7.2.1תהי Gחבורה .לכל איבר ,g ∈ Gנגדיר אוטומורפיזם γg : G → Gלפי .γg (h) = ghg −1כל אוטומורפיזם
כזה נקרא אוטומורפיזם פנימי .האוסף } Inn(G) = {γg : g ∈ Gהוא חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של .G
תרגיל .γg ◦ γh = γgh (*) 7.2.2
תרגיל (*) 7.2.3הוכח.γg ∈ Aut(G) :
תרגיל (*) 7.2.4יהיו .φ ∈ Aut(G) ,g ∈ Gהוכח ש־ ) .φ ◦ γg ◦ φ−1 = γφ(gהסק.Inn(G)▹Aut(G) :
תרגיל (**) 7.2.5נגדיר ) Γ : G → Aut(Gלפי .Γ(g) = γg
.1הוכח ש־ Γהומומורפיזם )זהו תרגיל .(7.2.2
∼ ).Inn(G
.2הראה ש־) ,Ker(Γ) = Z(Gוהסק ש־)= G/Z(G
∼ ) .Aut(S4
תרגיל (-***) 7.2.6הוכח ש־ = S4
∼ ) .Aut(A4
תרגיל (-***) 7.2.7הוכח ש־ = S4
∼ ).Aut(G
תרגיל (***) 7.2.8לאף חבורה סופית Gלא יתכן ש־ = Z3
82
.7.2אוטומורפיזמים פנימיים
פרק .7אוטומורפיזמים
∼ ).Inn(G × H
תרגיל (**) 7.2.9לכל = Inn(G) × Inn(H) ,G, H
תרגיל (**) 7.2.10נסמן .H = ⟨(123), (456)⟩ ≤ S6
∼ ).NS6 (H)/CS6 (H
= D4
תאר את ) NS6 (Hואת ) ,CS6 (Hוהוכיח ש־
משפט ) 7.2.11משפט (N/Cתהי H ≤ Gתת־חבורה .אז קיים שיכון ).NG (H)/CG (H) ,→ Aut(H
תרגיל (**) 7.2.12הוכח את המשפט.
הדרכה .ההצמדה ב־ g ∈ Gמשרה אוטומורפיזם של Hאם ורק אם ) .g ∈ NG (Hהגדר
) φ : NG (H) → Aut(Hלפי .φ : g 7→ γg |Nחשב את הגרעין של ההעתקה.
תרגיל (*) 7.2.13נסח את משפט N/Cבמקרה .H = G
תרגיל (**) 7.2.14תהי Gחבורה )אינסופית( ,ו־ N ▹Gתת־חבורה נורמלית סופית .הראה ש־) CG (N
מאינדקס סופי ב־.G
תרגיל (**) 7.2.15הראה ש־) .Inn(G)▹Aut(Gאת חבורת המנה מסמנים ב־),Out(G) = Aut(G)/Inn(G
והיא נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של Gלמרות שאבריה אינם אוטומורפיזמים.
תרגיל (+**) 7.2.16לכל G, Hיש שיכון ).Out(G) × Out(H) ,→ Out(G × H
הדרכה .תרגילים 7.1.10ו־.7.2.9
∼ ) .Out(Q4על איזו קבוצה בגודל 3פועלת
תרגיל (+**) 7.2.17בהמשך לתרגיל ,7.1.12הראה ש־ = S3
חבורה זו?
תרגיל
פנימי.
(**) 7.2.18הראה שכל אוטומורפיזם של Snהשומר את מחלקת הצמידות של החילופים ,הוא
הדרכה .נקרא לקבוצת חילופים כוכב אם היא מהצורה } {(1i), (2i), (3i), . . .לאיזשהו ,iוקדם־כוכב אם אף שניים מאיבריה אינם
מתחלפים זה עם זה .הראה שכל קדם־כוכב מקסימלי ביחס להכלה ,עם יותר משלושה חילופים ,הוא כוכב .הסק שהאוטומורפיזם הנתון פועל על
קבוצת הכוכבים ,ולכן פועל על }.{1, . . . , n
תרגיל (**) 7.2.19לכל ,n ̸= 6כל אוטומורפיזם של Snהוא פנימי.
הדרכה .תרגילים 5.2.19ו־.7.2.18
הערה .הסדר
של ) Out(S6הוא .2
תרגיל (**) 7.2.20נניח ש־ .Z(G) = 1הוכח ש־ ,CAut(G) (Inn(G)) = 1ובפרט גם .Z(Aut(G)) = 1
כלומר ,לחבורה חסרת מרכז גם חבורת האוטומורפיזמים חסרת מרכז.
תרגיל σ ∈ CAut(G) (Inn(G)) (+**) 7.2.21אם ורק אם α(g) = σ(g)g −1הוא הומומורפיזם → α : G
)) .Z(Gזו הכללה של תרגיל (.7.2.20
תרגיל (**) 7.2.22אם קיים gכך ש gxg −1 = x−1לכל ,xאז Gאבלית.
תרגיל (***) 7.2.23נניח שבחבורה סופית Gיש אוטומורפיזם ) σ ∈ Aut(Gכך שההסתברות ל־= )σ(x
−1
,G = D4 × Znעם ,σ = 1ההסתברות
xגדולה מ־ .3/4הראה ש־ Gאבלית ו־ .σ = 1הערה .בחבורות 2
שווה .3/4
תרגיל (-***) 7.2.24לכל חבורה אבלית עם .Out(A) = Aut(A) ̸= 1 ,|A| > 2
הדרכה .אם x 7→ x−1טריוויאלי,
אז Aמרחב וקטורי מעל .F2
תרגיל (-***) 7.2.25לכל חבורה ,פרט ל־} {1ול־ ,Z2יש אוטומורפיזם לא טריוויאלי.
והחבורה אבלית; תרגיל .7.2.24
7.2.1
אוטומורפיזמים יחסיים
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הגדרה 7.2.26תהי H ≤ Gתת־חבורה .נסמן
}Aut(G, H) = {ϕ ∈ Aut(G) : ϕ(H) = H
ו־
Aut1 (G, H) = {ϕ ∈ Aut(G) : ∀h ∈ H, ϕ(h) = h}.
83
הדרכה .אחרת Inn(G) = 1
פרק .7אוטומורפיזמים
.7.3מכפלה ישרה למחצה
תרגיל (**) 7.2.27נסמן ב־) Γ : G→Inn(Gאת ההטלה הסטנדרטית ,המוגדרת לפי .g 7→ γgהוכח
ש־)) Aut(G, H) ∩ Inn(G) = Γ(NG (Hו־)).Aut1 (G, H) ∩ Inn(G) = Γ(CG (H
תרגיל (**) 7.2.28הוכח.Aut1 (G, H)▹Aut(G, H) :
תרגיל (***) 7.2.29הוכח את ההכללה הבאה של משפט ) N/Cמשפט :(7.2.11לכל ,H ≤ G
).NG (H)/CG (H) ,→ Aut(G, H)/Aut1 (G, H) ,→ Aut(H
תרגיל (-***) 7.2.30הראה שבשיכון של תרגיל 7.2.29לעיל.NG (H)/CG (H)▹Aut(G, H)/Aut1 (G, H) ,
7.2.2
תת־חבורות אופייניות
הגדרה 7.2.31תת־חבורה H ≤ Gנקראת תת־חבורה אופיינית אם לכל ) .φ(H) = H ,φ ∈ Aut(Gנסמן H ⊑ G
)הסימון המקובל בספרות הוא .(KcharG
תרגיל (*) 7.2.32כל תת־חבורה אופיינית היא נורמלית.
תרגיל (*) 7.2.33אם H ≤ Gואין עוד תת־חבורות מאותו סדר ,אז Hאופיינית ב־.G
תרגיל (**) 7.2.34כל תת־החבורות של חבורה ציקלית הן אופייניות.
תרגיל (*) 7.2.35המרכז הוא תת־חבורה אופיינית.
תרגיל (***) 7.2.36תהי Gחבורה שאין לה תת־חבורות אופייניות לא טריוויאליות .הוכח ש־ Gמכפלה
ישרה של עותקים איזומורפיים של אותה חבורה פשוטה .הדרכה .התבונן באוסף תת־החבורות הנורמליות המינימליות של
.Gהערה .האנלוגיה בין חבורות פשוטות למספרים הראשוניים )שיש להודות שאינה חזקה במיוחד( מתאימה לפי
התרגיל הזה חבורות ללא תת־חבורות אופייניות לחזקות של מספרים ראשוניים.
תרגיל (**) 7.2.37אופייניות אינה תורשתית :יהיו N ≤ K ≤ Gתת־חבורות .מ־ N ⊑ Gלא נובע N ⊑ K
)השווה לתרגיל (3.3.14הצעה.N = Z(D4 ) ,G = D4 .
תרגיל ) (**) 7.2.38נורמליות אינה טרנזיטיבית( מ־ N ▹K ⊑ Gלא נובע ) .N ▹Gהשווה לתרגיל (3.3.15
הצעה.N = ⟨(12)(34)⟩ ,K = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩ ,G = A4 .
תרגיל ) (**) 7.2.39אופייניות היא טרנזיטיבית( נניח .N ⊑ K ≤ G
.1אם K▹Gאז .N ▹G
.2אם K ⊑ Gאז .N ⊑ G
תרגיל (+**) 7.2.40תת־חבורה של תת־חבורה ציקלית נורמלית ,גם היא נורמלית.
תרגיל (**) 7.2.41נניח ש־ ,K ≤ H ≤ Gו־ Kאופיינית ב־ .Hהראה ש־).NG (H) ⊆ NG (K
7.3
מכפלה ישרה למחצה
7.3.1
מכפלה ישרה למחצה פנימית
כשהגדרנו מכפלה ישרה )פנימית( בסעיף ,4.3קראנו לתת־חבורות K, Q ≤ Gמשלימות אם K ∩ Q = 1
ו־ .KQ = Gלפי תרגיל ,4.3.3נובע מכאן שכל איבר של Gאפשר להציג באופן יחיד כאיבר במכפלה .KQ
הגדרה 7.3.1אם K, Q ≤ Gמשלימות ו־ ,K▹Gאומרים ש־ Gהיא מכפלה ישרה למחצה )פנימית( של Kב־.Q
כדי לציין ש־ Gמכפלה ישרה למחצה של Kב־ ,Qכותבים ) G = K o Qהצד הפתוח של הסימן o
מופנה כלפי תת־החבורה הנורמלית( .כפי שנראה בהמשך ,ידיעת ) K, Qעד כדי איזומורפיזם( לא מספיקה
כדי להגדיר מהי בדיוק החבורה .G = K o Q
תרגיל (*) 7.3.2כל מכפלה ישרה היא בפרט ישרה למחצה.
84
.7.3מכפלה ישרה למחצה
פרק .7אוטומורפיזמים
∼ .G
תרגיל (*) 7.3.3נניח ש־ .G = K o Qאם Q▹Gאז = K × Q
∼ .G/K
תרגיל (**) 7.3.4נניח ש־ .G = K o Qהוכח ש־= Q
הדרכה .התבונן בתמונת Qתחת ) g 7→ Kgהעזר במשפט
האיזומורפיזם השני(.
∼ .G/Kהוכח
תרגיל (**) 7.3.5תהי ,K▹Gונניח שיש תת־חבורה סופית Q ≤ Gכך ש־ Q∩K = 1ו־= Q
ש־ .G = K o Qהערה .חשוב :האם חיוני להניח ש־ Qסופית?
תרגיל (-***) 7.3.6נניח ש־ .G = K o Qאז q 7→ γq |Kמגדיר הומומורפיזם ).Q→Aut(K
תרגיל (**) 7.3.7בתרגיל ,7.3.5אם מוותרים על ההנחה ,Q ∩ K = 1יתכן ש־ Gאינה מכפלה ישרה
למחצה של Kבאף תת־חבורה .הצעה.G = Z4 .
({
)
}
α
x
×
היא מכפלה ישרה למחצה
תרגיל (**) 7.3.8חבורת המטריצות
0 1 : α ∈ F ,x ∈ F
× ,F + o Fכאשר F +היא החבורה החיבורית של השדה ,ו־ × Fפועלת על F +באופן הטבעי.
תרגיל Sn (*) 7.3.9היא מכפלה פנימית ישרה למחצה של Anב־⟩).⟨(12
תרגיל (**) 7.3.10גם Z6וגם S3הן מכפלות ישרות למחצה של )תת־חבורה איזומורפית ל־( Z3ב)תת־
חבורה איזומורפית ל־( .Z2עם זאת S3 ,אינה מכפלה ישרה־למחצה של Z2ב־ .Z3
תרגיל (**) 7.3.11נניח ש־ ψ : G → H ,φ : H → Gהומומורפיזמים כך ש־ .ψ ◦ φ = idH
φ .1חד־חד־ערכית ψ ,על.
.G = Ker(ψ) o Im(φ) .2
תרגיל ] (**) 7.3.12הכיוון ההפוך לתרגיל [7.3.11נניח ש־ .G = K o Qהראה שקיימים הומומורפיזמים
ψ : G → Q ,φ : Q → Gהמקיימים ,ψ ◦ φ = idQכך ש־ K = Kerψו־.Q = Imφ
תרגיל (-***) 7.3.13תהי Gחבורה סופית ,ויהי ψ : G→Gהומומורפיזם .אם ,Ker(ψ) ∩ Im(ψ) = 1אז
) G = Ker(ψ)Im(ψולכן ) .G = Ker(ψ) o Im(ψהדרכה .הראה ש־).Im(ψ)Ker(ψ)/Ker(ψ) = G/Ker(ψ
תרגיל (-***) 7.3.14תהי Gחבורה ,ותהי ψ : G→Gהטלה ,כלומר הומומורפיזם המקיים .ψ ◦ ψ = ψ
.Ker(ψ) ∩ Im(ψ) = 1 .1
.G = Ker(ψ)Im(ψ) .2
.G = Ker(ψ) o Im(ψ) .3
תרגיל (**) 7.3.15תהי ψ : G→Gהטלה.
{
}
.1הוכח ש־ ) Ker(ψ) = x · ψ(x)−1 : g ∈ Gהשווה לתרגיל .(7.1.11
.2נניח ש־⟩ .G = ⟨g1 , . . . , gnהוכח ש־) Ker(ψהיא תת־החבורה הנורמלית הנוצרת על־ידי האיברים
.gi · ψ(gi )−1
תרגיל (**) 7.3.16הצגה נוספת של S4כמכפלה ישרה למחצה:
.1הראה ש־} S = {σ : σ(4) = 4הוא עותק של S3בתוך .S4
.2הראה ש K4 = ⟨(12)(34), (13)(24)⟩−תת־חבורה נורמלית של .S4
.3הראה ש־ S4מכפלה פנימית ישרה למחצה של Kב־.S
}
)
({
a x : a∈U ,x∈Z
תרגיל (***) 7.3.17תהי nחזקת־ 2המתחלקת ב־ .8נתבונן בחבורה
n
n
0 1
השמאלית העליונה )השווה
⟨
שהיא מכפלה ישרה למחצה ,Zn o Unכאשר Unמשוכנת בפינה ⟩
2
) −1,כך שהתמונה היא
U
n
(
לתרגיל .(7.3.23נסמן ב־ ϕ : Un →Znאת ההטלה )שהגרעין שלה(הוא )
a
x
; n Zראה תרגיל .(9.4.31נגדיר ) σ ∈ Aut(Gלפי )x + ϕ(a
.σ : 0 1 7→ a
2 n
0
1
=G
85
פרק .7אוטומורפיזמים
.7.3מכפלה ישרה למחצה
.1הראה ש־ σאוטומורפיזם של .G
.2הראה ש־ σאינו פנימי.
.3הראה ש־ σשומר על מחלקות הצמידות של ) .Gזהו חלק מפתרון של Wall, 1947לשאלה של
ברנסייד מ־ :1911האם יתכן אוטומורפיזם שאינו פנימי ושומר על מחלקות צמידות; ברנסייד מצא לכך דוגמא
נגדית ב־(.1913
.4הראה ש־ σהוא האוטומורפיזם היחיד מודולו ) Inn(Gהשומר על מחלקות צמידות.
⟩
.
5
=γ
−1
, βγβ
−1
=γ
−1
= 1, αβ = βα, αγα
מחלקת הצמידות של γהיא } .{γ a : a ∈ Un
n
= 1, γ
n/4
2
α, β, γ | α = 1, β
הדרכה .הראה ש־
⟨
=G
} { 4j } { 2i
βγ
αγו־
הראה שמחלקות הצמידות של α, βהן
בהתאמה ,והראה
ש־ αγ 2i βγ 4j = βγ 4j αγ 2iאם ורק אם .8j = −8iהראה שאם 4j = −4iאז האוטומורפיזם פנימי.
7.3.2
מכפלה ישרה למחצה חיצונית
תהיינה K, Qחבורות .בסעיף זה נבנה מכפלות ישרות למחצה של Kב־ .Qלפי תרגיל ,7.3.6כל מכפלה ישרה
למחצה מגדירה הומומורפיזם )) θ : Q→Aut(Kשנסמן ,(θ : q 7→ θqכך ש־.qk = θq (k)q
בבניית
המצרכים
מכפלה ישרה למחצה:
גרעין ,Kחבורת מנה
,Qופעולה θשל Q
של .K
הגדרה 7.3.18יהי ) θ : Q → Aut(Kהומומורפיזם .המכפלה הישרה למחצה )החיצונית( של Kב־ ,Qביחס ל־ ,θהיא
הקבוצה K × Qעם פעולת הכפל ) .(k, q)(k ′ , q ′ ) = (k · θq (k ′ ), qq ′את החבורה שהגדרנו מסמנים .K oθ Qלשם
הבהירות ,נכתוב את האברים בצורה kqבמקום ) ;(k, qההצגה יחידה לפי ההגדרה.
תרגיל (**) 7.3.19הוכח ש־ K oθ Qחבורה.
תרגיל (*) 7.3.20ההטלה γ : K oθ Q → Qהמוגדרת לפי γ(kq) = qהיא הומומורפיזם ,שהגרעין שלו
הוא .K
תרגיל (***) 7.3.21נתבונן בתת־החבורות Q∗ = Q × 1ו־ K ∗ = 1 × Kשל ;G = K oθ Qכמובן
∼ .Kהראה ש־ ∗ ,G = K ∗ o Qכלומר )הגדרה ,K ∗ Q∗ = G ,K ∗ ∩ Q∗ = 1 :(7.3.1
∼ Qו־ ∗ = K
∗= Q
.K ∗ ▹Gבמלים אחרות ,מכפלה ישרה למחצה חיצונית היא גם מכפלה ישרה למחצה פנימית של אותן
חבורות.
תרגיל (***) 7.3.22תהי G = K o Qמכפלה ישרה למחצה פנימית של Kב־ .Qנגדיר הומומורפיזם
∼ ;Gכלומר ,כל מכפלה ישרה פנימית היא גם
) θ : Q→Aut(Kלפי תרגיל .7.3.6הראה ש־= K oθ Q
מכפלה ישרה למחצה חיצונית של אותן חבורות.
תרגיל (**) 7.3.23יהי Rחוג )קבוצה עם פעולות חיבור וכפל ,שהיא חבורה אבלית ביחס לחיבור ומונויד
ביחס לכפל המקיימת את חוקי מימין ומשמאל( .יהי Kאידיאל שמאלי של ) Rתת־חבורה ביחס
ביחס לכפל של חבורת
} ×Q ≤ R
לחיבור ,הסגורה לכפל משמאל בכל איבר( ,ותהי
תת־חבורה ({
)
q
k
איזומורפית למכפלה
האברים ההפיכים .הראה שחבורת המטריצות 0 1 : q ∈ Q, k ∈ K
הישרה למחצה K o Qביחס לפעולה ) θ : Q→Aut(Kהמוגדרת לפי .θq : k→qkקבל את תרגיל 7.3.8
כמקרה פרטי ) R = K = Fו־ × .(Q = F
תרגיל (+**) 7.3.24בכל המקרים הבאים ,המכפלה הישרה למחצה K o Qהיא ביחס להומומורפיזם
) Q→Aut(Kשאינו טריוויאלי .הוכח:
∼ Zn o Z2לכל ) nהאיבר הלא־טריוויאלי של Z2הופך את אברי .(Zn
= Dn .1
∼ .(Z2 × Z2 ) o Z2
= D4 .2
∼ ) (Z2 × Z2 ) o Z3בדוק שזו החבורה × F + o Fמתרגיל ,7.3.8עם ,F = F4השדה בן
= A4 .3
ארבעה אברים(.
תרגיל (-***) 7.3.25תהי .G = K oθ Qנסמן }.K Q = {k ∈ K : (∀q ∈ Q)θq (k) = k
.NG (Q) = K Q Q .1בפרט ,אם פעולת Qעל Kנאמנה ,אז .NG (Q) = Q
86
.7.3מכפלה ישרה למחצה
פרק .7אוטומורפיזמים
.CG (Q) = K Q Z(Q) .2
∼ ).NG (Q)/CG (Q
= Inn(Q) .3
תרגיל (*) 7.3.26הראה ש־ Qנורמלית ב־ K oθ Qאם ורק אם θהיא הפעולה הטריוויאלית θq = id
∼ .K oθ Q
לכל .qבמקרה זה = K × Q
תרגיל (+**) 7.3.27נניח ש־ Q = Q1 × Q2פועלת באמצעות ) θ : Q1 × Q2 →Aut(Kעל ,Kבאופן
ש־ θ(q2 ) = 1לכל .q2 ∈ Q2אז .K oθ (Q1 × Q2 ) = (K oθ Q1 ) × Q2
תרגיל (**) 7.3.28נניח ש־ Qפועלת על Kבאמצעות ) ,θ : Q→Aut(Kו־).Q0 = Ker(θ
∼ .(K oθ Q)/Q0
) Q0 ▹(K oθ Qוהמנה היא ) = K oθ (Q/Q0
אז
תרגיל (-***) 7.3.29יהיו ) θ′ , θ : Q → Aut(Kשני הומומורפיזמים .נבדוק מתי פונקציה → K oθ Q
K oθ′ Qהשומרת את Kו־) Qכקבוצות( ,היא איזומורפיזם.
.1העתקה ) (k, q) 7→ (ϕk, σqהיא איזומורפיזם K oθ Q → K oθ′ Qאם ורק אם ),ϕ ∈ Aut(K
) ,σ ∈ Aut(Qו־ γϕ ) θ = γϕ ◦ θ′ ◦ σ −1הוא האוטומורפיזם הפנימי ב־) Aut(Kשל הצמדה ב־.(ϕ
.2יש איזומורפיזם K oθ Q → K oθ′ Qהקובע את אברי Qושומר על ) Kכקבוצה( ,אם ורק אם
יש ) ϕ ∈ Aut(Kקבוע המצמיד כל θqל־ .θq′
אז יש
.3נניח שפעולת Qעל Kהיא פועלה נאמנה )כלומר θחד־חד־ערכית(.
שיכון ) NAut(K) (Imθ) ,→ Aut(K oθ Qהמתאים ל־) ϕ ∈ Aut(Kאת הפונקציה →(k, q) 7
).(ϕk, (θ−1 γϕ θ)q
תרגיל (+**) 7.3.30
).Aut(K
.1המכפלה הישרה למחצה K oθ Znתלויה רק ב־ ,n ,Kוהאוטומורפיזם ∈ )θ(1
∼ K oθ Znהשומר את K, Znכקבוצות אם ורק אם יש i ∈ Unכך
.2יש איזומורפיזם = K oθ′ Zn
′
i
ש־) θ(1צמוד ב־) Aut(Kל־ ) .θ (1הדרכה .זהו תרגיל 7.3.29כאשר Qציקלית.
תרגיל (+**) 7.3.31תהי Aחבורה כך ש־) Aut(Aציקלית מסדר המתחלק ב־ .pאז יש בדיוק שתי
מכפלות ישרות למחצה :A o Zpבאחת הפעולה טריוויאלית ,ובשניה הפעולה אינה טריוואלית .הדרכה.
תרגיל .7.3.30
ל־ ,pו־) T ∈{ End(Vהעתקה
תרגיל (-***) 7.3.32יהיו pראשוני V ,מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין זר }
שהפולינום המינימלי שלה הוא ) 1 + λ + · · · + λpבפרט .(T p = 1הראה ש־ ,V o Zp = vxi : i ∈ Zp
המוגדרת לפי הפעולה ,xv = T (v)xהיא חבורה מסדר | ,p|Vשיש בה | |Vתת־חבורות מסדר .p
∼ )) Aut(Kתרגיל .(7.1.7רשום את כל
תרגיל (***) 7.3.33יהיו K = S3ו־ .Q = Z2 × Z2ידוע ש־= K
ההומומורפיזמים ) .Q → Aut(Kהראה שיש בדיוק שתי מכפלות ישרות למחצה )חיצוניות( של Kב־,Q
ותאר אותן .איזו מהן היא ?S4
תרגיל (***) 7.3.34
.1נניח ש־ ,Z(K) = 1והפעולה של Qעל Kהיא פנימית ,כלומר.θ : Q→Inn(K) ,
∼ .K oθ Qהדרכה .חפש בעזרת תרגיל 7.3.29איזומורפיזם הקובע את אברי .K
K
×
הוכח ש־Q
=
.2הראה ,על־ידי דוגמה נגדית ,שהתנאי Z(K) = 1בסעיף הקודם הכרחי.
∼
=
הדרכה .למשל קח ,Q = Z2 × Z2
) K = Q4חבורת הקווטרניונים מסדר ;θ : Q → K/⟨−1⟩ ,(8המרכז של K o Qבגודל ,2ואילו זה של K × Qמסדר .8
7.3.3
חבורות שלמות
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
87
פרק .7אוטומורפיזמים
.7.3מכפלה ישרה למחצה
ההולומורף
הגדרה 7.3.35תהי Gחבורה .העתקת הזהות ) Aut(G) → Aut(Gמגדירה את הפעולה הטבעית של ) Aut(Gעל .G
המכפלה הישרה למחצה ) Hol(G) = G o Aut(Gהמתאימה לפעולה זו נקראת ההולומורף של .G
תרגיל H × 1 (**) 7.3.36היא תת־חבורה נורמלית של ) Hol(Gאם ורק אם Hאופיינית ב־.G
תרגיל (**) 7.3.37כל אוטומורפיזם של Gמושרה על־ידי אוטומורפיזם פנימי של ).Hol(G
∼ ) .Hol(Z2 × Z2
∼ ) .Hol(Z4הראה ש־ = S4
תרגיל (+**) 7.3.38הראה ש־ = D4
∼ ) .Aut(Dn
תרגיל (+**) 7.3.39הראה שלכל = Hol(Zn ) ,n > 2
תרגיל (-***) 7.3.40נתבונן בחבורה Gכתת־חבורה של חבורת הסיטריות ,SGלפי שיכון קיילי .המנרמל
שלה הוא ).NSG (G) = Hol(G
חבורות שלמות וכמעט שלמות
הגדרה 7.3.41חבורה Kנקראת חבורה שלמה אם Z(K) = 1ו־.Out(K) = 1
∼ ).Aut(G
תרגיל (*) 7.3.42אם Gשלמה אז = G
תרגיל (**) 7.3.43לכל ,n ̸= 2, 6החבורה הסימטרית Snהיא שלמה.
הדרכה .תרגילים 5.3.18ו־.7.2.19
תרגיל (**) 7.3.44אם Kשלמה אז כל מכפלה ישרה למחצה K oθ Qהיא מכפלה ישרה.
תרגיל .7.3.34
הדרכה.
הערה .תרגיל 7.4.29מספק תוצאה חזקה עוד יותר.
תרגיל (**) 7.3.45נאמר ש־ Gכמעט שלמה אם Out(G) = 1ו־ G = Z2 × Xכאשר .Z(X) = 1הראה
שבמקרה זה Xשלמה.
∼ ).Hol(G
תרגיל (+**) 7.3.46אם Gשלמה או כמעט שלמה אז )= G × Aut(G
הדרכה .תרגיל 7.3.44כש־G
שלמה; מתקבל האיזומורפיזם ) (g, γx ) 7→ (gx, γxהפועל גם כש־ Gכמעט שלמה.
תרגיל (-***) 7.3.47נניח שיש איזומורפיזם ) Hol(G)→G×Aut(Gהשומר על אברי Gומשרה את הזהות
על המנה ) .Aut(Gאז Gשלמה או כמעט שלמה .הדרכה .לפי ההנחה האיזומורפיזם הוא ) T : gφ 7→ (gxφ , φכאשר
.xφ ∈ Gמהשוואת ) T (gφ) · T (g ′ φ′ ) = (gxφ g ′ xφ′ , φφ′ו־) T (gφ · g ′ φ′ ) = (gφ(g ′ )xφφ′ , φφ′נובע ,על־ידי בחירת g ′ = 1בתחילה,
′
′ −1
,gx−1
ש־ xφφ′ = xφ xφ′ו־ .φ(g ) = xφ g xφבפרט כל ) φ ∈ Aut(Gהוא פנימי .נסמן ) Z = Z(Gו־} .X = {xφלכל γg ∈ Z ,g ∈ G
ולכן .G = ZXזוהי מכפלה ישרה כי Z ∩ X = 1ו־ .X▹Gלפי תרגיל ,Out(Z) × Out(X) ,→ Out(G) = 1 ,7.2.16ולכן .Out(X) = 1
אם x ∈ Z(X) ⊆ Z(G) = Zאז ,x = 1ומכאן ש־ Xשלמה .בנוסף Out(Z) = 1ולפי תרגיל Z = 1 ,7.2.24או .Z = Z2
∼ ) .Out(Z2 × Xבפרט Z2 × Xכמעט שלמה
תרגיל (***) 7.3.48נניח ש־ Xשלמה .אז ) = Hom(X, Z2
אם ורק אם אין ל־ Xתת־חבורות מאינדקס .2
7.3.4
מכפלת זר
B
הגדרה 7.3.49תהיינה A, Bחבורות .נסמן ב־ Aאת החבורה של פונקציות ,f : B→Aעם פעולת הכפל לפי רכיבים,
כלומר ) .(f g)(b) = f (b)g(bהחבורה Bפועלת על ABלפי ) .(bf )(b′ ) = f (bb′המכפלה הישרה למחצה המתקבלת,
,B ≀ A = B o ABנקראת מכפלת זר של Aו־.B
תרגיל |B| (*) 7.3.50
||B
|.|A ≀ B| = |A
משפט 7.3.51כל הרחבה של Bעל־ידי Aהיא תת־חבורה של .A ≀ B
תרגיל (*) 7.3.52זהה את החבורה .Z2 ≀ Z2
∼ ?Z2 ≀ Z3
תרגיל (**) 7.3.53האם = S4
88
.7.4מבוא לקוהומולוגיה
פרק .7אוטומורפיזמים
7.4
מבוא לקוהומולוגיה
7.4.1
משלימים והקוהומולוגיה הראשונה
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
לאורך כל הסעיף נניח ש־ K▹Gהיא תת־חבורה נורמלית ,עם תת־חבורה משלימה ) Q ≤ Gכלומר
KQ = Gו־ ,(K ∩ Q = 1וכך שהצמדה משרה פעולה ) θ : Q→Aut(Kשל Qעל .Kכך G = K oθ Q
∼ .G/Kלשם הקיצור נסמן ).(θ(q))(k) = θq (k) = q(k
היא מכפלה ישרה למחצה ,ולפי תרגיל = Q ,7.3.20
1־קו־מעגלים
תרגיל (**) 7.4.1תהי Q1 ≤ Gמשלימה כלשהי של .Kהראה שקיימת פונקציה ) a : Q→Kשאת ערכיה
נסמן ב־ (a : q 7→ aq ∈ Kכך ש־}.Q1 = {aq q : q ∈ Q
תרגיל (**) 7.4.2הראה שקבוצה מהצורה } (a : Q→K) {aq q : q ∈ Qהיא תת־חבורה של Gאם ורק
′
(.q(aq−1 ) = a−1
אם ) aqq ′ = aq · q(aq ′לכל ) .q, q ∈ Qהראה שמנוסחה זו נובע a1 = 1ו־ q
הגדרה 7.4.3פונקציות a : Q→Kהמקיימות את התנאי ) aqq′ = aq · q(aq′קרויות )מסיבות שלא נסביר כאן( 1־קו־מעגלים.
עבור פעולה נתונה של Qעל ,Kנסמן
Z1(Q, K) = {a : Q→K : aqq′ = aq · q(aq′ )}.
לפי תרגיל ,7.4.2יש התאמה חד־חד־ערכית בין ) Z1(Q, Kלבין קבוצת המשלימים של ,Kכאשר האיבר
1q = 1מתאים ל־.Q
תרגיל (**) 7.4.4בדומה לתרגיל ,1.6.12אם שני 1־קו־מעגלים מסכימים זה עם זה על קבוצת יוצרים
של ,Qאז הם שווים.
שקילות של 1־קו־מעגלים
−1
a′q
)= uaq q(u
תרגיל (*) 7.4.5לכל ,u ∈ Kאם ) a ∈ Z (Q, Kאז
פתרון.a′qq′ = uaqq′ qq ′ (u)−1 = uaq q(aq′ )qq ′ (u)−1 = (uaq q(u)−1 )q(uaq′ q ′ (u)−1 ) = a′q q(a′q′ ) .
1
′
מגדיר איבר ).a ∈ Z (Q, K
1
הגדרה 7.4.6נאמר ששני 1־קו־מעגלים a, a′ : Q→Kהם קוהומולוגיים זה לזה אם קיים ) u ∈ Kקבוע( כך ש־= a′q
.uaq q(u)−1במקרה זה נסמן .a′ ∼ a
תרגיל (**) 7.4.7הראה שיחס הקוהומולוגיות בין 1־קו־מעגלים הוא יחס שקילות.
תרגיל a ∈ Z1(Q, K) (*) 7.4.8קוהומולוגי לפונקציה הטריוויאלית 1אם ורק אם קיים u ∈ Kכך ש־
aq = uq(u)−1לכל .q ∈ Q
תרגיל (*) 7.4.9נניח שפעולת Qעל Kטריוויאלית ,כלומר q(k) = kלכל q ∈ Qולכל .k ∈ Kאז
) Z1(Q, K) = Hom(Q, Kהיא קבוצת ההומומורפיזמים ,ו־ a ∼ a′אם ורק אם הפונקציות צמודות ,כלומר
יש u ∈ Kכך ש־ .a′q = uaq u−1בפרט ,ה־1־קו־מעגל 1q = 1קוהומולוגי רק לעצמו.
תרגיל (**) 7.4.10תהי Q1תת־חבורה משלימה של ,Kהמתאימה ל־).a ∈ Z1(Q, K
.1יהי .k ∈ Qהראה ש־ kQ1 k −1הוא המשלים המתאים ל־) a′ ∈ Z1(Q, Kהמוגדר לפי = a′q
{
}
{
}
−1
) .kaq q(kהדרכה.kQ1 k−1 = kaq qk−1 = kaq q(k)−1 · q .
המתאים ל־) a′ ∈ Z1(Q, Kהמוגדר לפי = a′q
.2יהי .x ∈ Qהראה ש־ xQ1 x−1הוא }המשלים
{
{
}
{
}
{
}
−1
−1
−1
−1
.xQ1 x
= xaq qx
= x(aq ) · xqx
= x(ax−1 qx ) · q = a−1
) .ax aq q(axהדרכה.
x aq q(ax ) · q
.3תת־החבורות המשלימת המתאימות ל־) a, a′ ∈ Z1(Q, Kהן צמודות אם ורק אם a, a′
קוהומולוגיות.
לסיכום ,יש התאמה בין ) Z1(Q, Kלבין קבוצת תת־החבורות המשלימות את ,Kוהתאמה בין מחלקות
הקוהומולוגיה של קו־מעגלים ,היינו קבוצת המנה ∼ ,Z1(Q, K)/לבין קבוצת תת־החבורות המשלימות עד־כדי
הצמדה.
89
פרק .7אוטומורפיזמים
.7.4מבוא לקוהומולוגיה
קוהומולוגיה ראשונה עם מקדמים אבליים
נניח ש־ Kאבלית .במקרה זה ,על אף ש־ ,K ≤ Gמקובל לכתוב את Kבכתיב חיבורי ,כך ש־
Z1(Q, K) = {a : Q→K : aqq′ = aq + q(aq′ )},
והאיבר הנייטרלי )המתאים למשלימה (Qהוא קו־מעגל האפס.0q = 0 ,
תרגיל (**) 7.4.11נניח ש־ Kאבלית .הראה ש־) Z1(Q, Kהיא חבורה )אבלית( ביחס לפעולת החיבור
לפי רכיבים .(a + b)q = aq + bq ,הראה שאוסף הפונקציות הקוהומולוגיות ל־B1(Q, K) = ,1
} ,{aq = u − q(u) : u ∈ Kהוא תת־חבורה .הראה ש־) a, a′ ∈ Z1(Q, Kקוהומולוגיים אם ורק אם
הם שייכים לאותו קוסט של ) .B1(Q, Kבמקרה זה מגדירים
)H1(Q, K) = Z1(Q, K)/B1(Q, K
חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של Qעם מקדמים ב־ ;Kזו קבוצת מחלקות הקוהומולוגיה של1־קו־מעגלים.
תרגיל (+**) 7.4.12תהי Qחבורה הפועלת על חבורה אבלית .K
המשלימות את Kצמודות ל־ Qאם ורק אם .H1(Q, K) = 0
כל תת־החבורות של K o Q
הדרכה .לפי ההתאמה לעיל.
תרגיל (+*) 7.4.13נניח שפעולת Qעל Kטריוויאלית ,כאשר Kאבלית.
).H1(Q, K) = Z1(Q, K) = Hom(Q, K
תרגיל .|K| · Z1(Q, K) = 0 (+*) 7.4.14
אז B1(Q, K) = 0ו־
הדרכה |K|k = 0 .לכל .k ∈ K
תרגיל (***) 7.4.15נניח ש־ Kאבלית .אז ) .|Q| · H1(Q, K) = 0כלומר ,לכל ) ,a ∈ Z1(Q, Kהסכום
∑
|Q| · a = a + · · · + aקוהומולוגי לקו־מעגל האפס (.פתרון .נסמן .u = g∈Q agלכל u − q(u) = ,q ∈ Q
− aq ) = |Q|aq
g (agq
∑
ag −
∑
g
= ) q(ag
∑
g
ag −
∑
g
; הראינו ש־ |Q|aהומולוגי לאפס.
התרגיל הבא הוא עילת כל המאמץ הטכני שעשינו בסעיף הזה.
תרגיל (***) 7.4.16נניח ש־ K▹Gאבלית ו־ ,([G : K], |K|) = 1ושיש ל־ Kתת־חבורה משלימה .Qאז
כל תת־החבורות של Gהמשלימות את Kצמודות זו לזו .הדרכה .כמובן .|Q| = [G : K] ,מתרגילים 7.4.14ו־7.4.15
וקיומו של צירוף ,α|Q| + β|K| = 1נובע ש־ .H1(Q, K) = 0תרגיל 7.4.12מסיים את המלאכה.
תרגיל (***) 7.4.17תהי Aחבורה אבלית.
.1כל פעולה של } Q = Z2 = {1, xעל Aמוגדרת לפי אוטומורפיזם τ : A→Aהמקיים .τ = id
2
∼ A oτ Z2הקובע את העותקים של ,Z2אם ורק אם )τ, τ ′ ∈ Aut(A
.2יש איזומורפיזם = A oτ ′ Z2
צמודים .כלומר ,יש התאמה בין המכפלות הישרות למחצה של K = Aב־ ,Q = Z2עד כדי
איזומורפיזם ,לבין מחלקות צמידות של אברים מסדר 1או 2ב־)) Aut(Aיתכן ששתי מחלקות
תתאמנה לחבורות איזומורפיות( .הדרכה .זהו ניסוח מחדש את תרגיל .7.3.29
.3נקבע ) τ ∈ Aut(Aכך ש־ ,τ 2 = idו־⟩ G = ⟨A, xעם הפעולה .x2 = 1 ,xa = τ (a)xאז
⟩ CG (x) = Aτ ⟨xכאשר } .Aτ = {a ∈ A : τ (a) = aבפרט A oτ Z2 ,אבלית )ושווה למכפלה
הישרה (A × Z2אם ורק אם .τ = 1
.4אפשר לזהות קו־מעגל a : Q = {1, x}→Aעם הערך ) axממילא .(a1 = 0
) ,H1(Z2 , A) = Ker(1 + τ )/Im(1 − τואשר שזהו מרחב וקטורי מעל .F2
) {ax : τ (ax ) + ax = 0} = Ker(1 + τו־) .B1(Z2 , K) = {ax = u − τ (u)} = Im(1 − τלמשל ,אם ,τ = −idאז
,H1(Z2 , A) = A/2Aואם τ = idאז H1(Z2 , A) = A2היא תת־החבורה של אברים מסדר 2
ב־.A
הראה ש־
הדרכהZ1(Z2 , A) = .
.5לדוגמא ,אם A = Z2pאז יש שתי פעולות אפשריות τ = id ,ו־ .τ = −idהמכפלה הישרה
למחצה היא Z2p × Z2במקרה הראשון ו־ D2pבשני .במקרה האבלי יש למרכיב Aמשלים
בודד )הלוא הוא המרכיב ה( ,ובמקרה G = D2pיש לתת־החבורה ⟩ A = ⟨σשני משלימים לא
צמודים Q = ⟨τ ⟩ :ו־⟩ ) ⟨στאת המרכיב השני ,{1, aτ τ } ,אפשר למצוא מן הקו־מעגל הלא טריוויאלי
(.0 ̸= aτ ∈ A/2A
90
פרק .7אוטומורפיזמים
7.4.2
.7.4מבוא לקוהומולוגיה
הרחבות והקוהומולוגיה השניה
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
∼ .G/K
הגדרה 7.4.18נאמר שחבורה Gהיא הרחבה של Qעל־ידי Kאם K▹Gו־= Q
)לפי משפט ,7.3.51כל הרחבה של Bעל־ידי Aהיא תת־חבורה של מכפלת הזר (.A ≀ B
תרגיל (*) 7.4.19כל מכפלה ישרה למחצה של Kב־ Qהיא הרחבה של Qעל־ידי .K
תרגיל Z4 (*) 7.4.20היא הרחבה של Z2על־ידי Z2שאינה מכפלה ישרה למחצה שלהן.
תרגיל (***) 7.4.21הרחבה Gשל Qעל־ידי Kנקראת מפוצלת אם יש הומומורפיזם p : Q→Gכך ש־
π ◦ p = 1כאשר π : G→Qהיא ההטלה הטבעית .הוכח שהרחבה מפוצלת היא מכפלה ישרה למחצה
∼ ) .p(Qהדרכה .תרגיל .7.3.11
של Kו־= Q
כשטיפלנו במכפלות ישרות למחצה ,המרכיב החיוני של פעולת Qעל Kהוגדר על־ידי הצמדה באברים של
.Qמתברר שאם Kאבלית ,אפשר לשמור על המרכיב הזה גם במקרה הכללי יותר:
תרגיל (**) 7.4.22תהי Gהרחבה של Qעל־ידי חבורה .Kאז הפעולה (gK) : k 7→ gkg −1היא
∼ ) Inn(Kולכן
הומומורפיזם מוגדר היטב ) .Q→Out(Kבפרט ,אם Kאבלית ,אז = K/Z(K) = 1
) Out(K) = Aut(Kומתקבלת פעולה על .K
נניח אם כך שנתונות חבורה אבלית Kוחבורה Qהפועלת עליה .גם כאן נאמץ כתיב חיבורי לאברים של
.K
הגדרה 7.4.23פונקציה c : Q × Q→Kהמקיימת את התנאי cq,q′ + cqq′ ,q′′ = q(cq′ ,q′′ ) + cq,q′ q′′קרויה 2־קו־מעגל.
נסמן
Z2(Q, K) = {c : Q × Q→K : cq,q′ + cqq′ ,q′′ = q(cq′ ,q′′ ) + cq,q′ q′′ }.
תרגיל Z2(Q, K) (*) 7.4.24היא חבורה )אבלית( ,ביחס לפעולה ,(c + c′ )q,q′ = cq,q′ + c′q,q′ועם האיבר
הנייטרלי .cq,q′ = 0הערה .כמקודם ,ההנחה ש־ Kאבלית הכרחית.
תרגיל (+*) 7.4.25הראה שלכל ) c1,q = c1,1 ,c ∈ Z2(Q, Kו־) cq,1 = q(c1,1לכל .q
הדרכה .אלו הזהויות
הנובעות מהצבת q ′ = 1 ,q = 1או .q ′′ = 1
תרגיל (**) 7.4.26תהי Gהרחבה של Qעל־ידי ) Kהמשרה את הפעולה הנתונה של Qעל .(K
נבחר נציגים ) zq ∈ Gלכל (q ∈ Qכך ש־ ;G = ∪Kzqכלומר ,בהטלה .zq 7→ q ,G→Qנסמן
−1
′
.cq,q ′ = zq zq ′ zqq ′הראה ש־ c : (q, q ) 7→ cq,q ′היא 2־קו־מעגל .הדרכה .ראשית הראה ש־ .cq,q′ ∈ Kאת תנאי
הקו־מעגליות הסק משוויון האסוציאטיביות ) .(zq zq′ )zq′′ = zq (zq′ zq′′
תרגיל (**) 7.4.27בתרגיל ,7.4.26הנציגים } {zq : q ∈ Qמהווים תת־חבורה )איזומורפית ל־ (Qשל G
אם ורק אם cq,q′ = 0זהותית .במקרה זה Q ,היא תת־חבורה משלימה של ,Kו־.G = K o Q
תרגיל (**) 7.4.28תהי Gהרחבה של Qעל־ידי החבורה האבלית ,Kהמשרה פעולה טריוויאלית על
−1
.cq,q′ = zq zq′ zqqהראה ש־ Z(G) = KQ0כאשר
.Kלאחר בחירת נציגים zq ∈ Gלכל ,q ∈ Qנגדיר ′
} .Q0 = {q0 ∈ Q | ∀q : cq0 ,q = cq,q0
תרגיל (+**) 7.4.29תהי Gהרחבה של Qעל־ידי חבורה שלמה ) Kהגדרה ;(7.3.41איננו מניחים ש־K
∼ .Gהדרכה .כמו בתרגיל 7.4.26נבחר נציגים zq ∈ Gכך
אבלית )ולכן לא נעבור לכתיב חיבורי( .הראה ש־= K × Q
שההטלה G→Qשולחת ,zq 7→ qנכתוב .G = ∪Kzqכמו בתרגיל ,7.3.34מכיוון שההצמדה ב־ zqמשרה אוטומורפיזם של ,Kאפשר להחליף
−1
cq,q′ = zq zq′ zqqומתחלף עם כל אברי ,Kולכן .cq,q′ = 1לכן } {zq : q ∈ Qהיא
את zqבנציג )יחיד( המתחלף עם .Kכעת ′ ∈ K
תת־חבורה איזומורפית ל־ ,Qובהתחלפה עם אברי Kהיא נורמלית.
הערה .תרגיל זה מכליל את תרגיל .7.3.44
91
פרק .7אוטומורפיזמים
.7.4מבוא לקוהומולוגיה
הגדרה 7.4.30נאמר ששני 2־קו־מעגלים c, c′ : Q→Kהם קוהומולוגיים זה לזה אם יש פונקציה a : Q→Kכך ש־= c′q,q′
.aq + q(aq′ ) + cq,q′ − aqq′כמו במקרה של 1־קו־מעגלים ,במקרה זה כותבים .c′ ∼ cאוסף המעגלים הקוהומולוגיים
לאפס הוא תת־חבורה } .B2(Q, K) = {cq,q′ = aq + q(aq′ ) − aqq′ : a : Q→Kחבורת המנה
)H2(Q, K) = Z2(Q, K)/B2(Q, K
היא חבורת הקוהומולוגיה השניה של Qעם מקדמים ב־.K
תרגיל (*) 7.4.31כל 2־קו־מעגל ) c ∈ Z2(Q, Kקוהומולוגי לקו־מעגל c′שבו .c′1,q = c′q,1 = 0
הדרכה.
בחר a1 = c1,1ו־ aq = 0לכל ;q ̸= 1העזר בתרגיל .7.4.25
תרגיל (**) 7.4.32בתרגיל ,7.4.26החלפת הנציגים zqבנציגים (aq ∈ K) zq′ = aq zqמגדירה קו־מעגל
′−1
,c′ = zq′ zq′ ′ zqqשהוא קוהומולוגי ל־.c
′
תרגיל (***) 7.4.33יהי ) ,[c] ∈ H2(Q, Kהמוגדר על־ידי פונקציה ) .c ∈ Z2(Q, Kנגדיר על K × Q
פעולת כפל לפי ) .(k, q)(k ′ , q ′ ) = (k + q(k ′ ) + cq,q′ , qq ′הראה שמתקבלת חבורה שהיא הרחבה של
Kעל־ידי .Qבחירת c′ ∼ cמגדירה חבורה איזומורפית.
לפי תרגיל ,7.4.32כל הרחבה של Qעל־ידי Kמתאימה לאיבר מוגדר היטב של ) .H2(Q, Kתרגיל 7.4.33
מספק בניה ,מוגדרת היטב ,של הרחבה המתאימה ל־2־קו־מעגל ,וכך מתקבלת התאמה חד־חד־ערכית בין
קבוצת ההרחבות לבין חבורת הקוהומולוגיה השניה.
תרגיל (-***) 7.4.34תהי Qחבורה הפועלת על חבורה אבלית .Kכל הרחבה של Qעל־ידי Kהיא
מכפלה ישרה למחצה ,K o Qאם ורק אם .H2(Q, K) = 0
תרגיל (***) 7.4.35יהיו ) θ′ , θ : Q → Aut(Kשני הומומורפיזמים .תהי Gההרחבה של Qעל־ידי K
ביחס לפעולה θהמוגדרת על־ידי ) ,c ∈ Z2θ(Q, Kותהי G′ההרחבה של Qעל־ידי Kביחס לפעולה
θ′המוגדרת על־ידי ).c′ ∈ Z2θ′ (Q, K
′
) kzq 7→ ϕ(k)zσ(qהיא איזומורפיזם G→G′אם ורק אם ),σ ∈ Aut(Q) ,ϕ ∈ Aut(K
.1העתקה
′
−1
−1
,θ = γϕ ◦ θ′ ◦ σ −1ו־) .c = ϕ ◦ c ◦ (σ × σ
.2נניח ש־ .θ′ = θיש איזומורפיזם G → G′המשרה את הזהות על ,Qאם ורק אם יש ∈ ϕ
)) CAut(K) (Im(θכך ש־) c′q,q′ = ϕ(cq,q′לכל .q, q ′ ∈ Q
תרגיל ) .|Q| · H2(Q, K) = 0 (***) 7.4.36כלומר ,לכל ) |Q| · a ,a ∈ Z2(Q, Kקוהומולוגי לאפס (.פתרון.
∑
∑
∑
′
′
= .aqלכל q ′ ∈ Q
= aq + q(aq′ ) − aqq′
נסמן g∈Q cq,g
,q,מתקיים = ) g (q(cq ,g ) − cqq ,g
g cq,g +
∑
∑
. g cq,g + g (cq,q′ − cq,q′ g ) = |Q|cq,q′
גם כאן ,פירות המאמץ הם תוצאה חשובה על המבנה של חבורות סופיות.
תרגיל (***) 7.4.37נניח ש־ Kאבלית ו־ .(|Q|, |K|) = 1אז כל הרחבה של Qעל־ידי Kהיא מכפלה
ישרה למחצה .הדרכה .מתרגיל 7.4.36וקיומו של צירוף ,α|Q| + β|K| = 1נובע ש־ .H2(Q, K) = 0לכן תקפה מסקנת תרגיל .7.4.34
בניסוח אחר :לכל תת־חבורה אבלית נורמלית ,שהסדר שלה זר לאינדקס ,יש משלים .במשפט 8.4.57
נתבסס על התוצאה הזו כדי להסיר את ההנחה ש־ Kאבלית.
∼ } Q = {1, xלפי ) τ ∈ Aut(Aהמקיים
תרגיל (**) 7.4.38תהי Aחבורה אבלית ,עם פעולה של = Z2
2
2
.τ = idהראה ש־) .H (Z2 , A) = Ker(1 − τ )/Im(1 + τהדרכה .על־פי תרגיל 7.4.31אפשר להניח ש־)[c] ∈ H2(Q, A
מיוצג על־ידי ) c ∈ Z2(Q, Aעם ,c1,1 = c1,x = cx,1 = 0וכך לזהות את cעם .cx,x ∈ A
הערה .בתרגיל ) 7.4.17.(4הראינו
ש־) .H1(Z2 , A) = Ker(1 + τ )/Im(1 − τ
תרגיל (***) 7.4.39נניח ש־ Q = Znפועלת באופן טריוויאלי על החבורה האבלית .K
.H2(Zn , K) = K/nK
⟨
⟩
∼ .A = y | y 4 = 1תאר את החבורות Gעם A▹Gו־
תרגיל (**) 7.4.40תהיינה Q = Z2ו־ = Z4
⟨
⟩
∼ ,G/Aשבהן פעולת Qעל Aטריוויאלית .הדרכה .לפי תרגיל .H2(Q, A) = A/2A = y | y 2 = 1 ,7.4.38
=Q
הראה ש־
2
;zxזוהי אם כך החבורה
לכן יש הרחבה אחת טריוויאלית ,Z4 × Z2 ,ואחת שבה G = A ∪ Azxעם z1 = 1ו־= cx,x zx2 = y
⟨
⟩
∼ .G = y, x | y 4 = 1, xyx−1 = y, x2 = y
= Z8
92
.7.4מבוא לקוהומולוגיה
פרק .7אוטומורפיזמים
תרגיל (**) 7.4.41חזור על תרגיל 7.4.40עם הפעולה הלא־טריוויאלית היחידה.x : y 7→ y −1 ,
הדרכה .לפי
⟨
⟩⟨ 2
⟩
2
∼ ,Z4 o−1 Z2 = y, x : y 4 = x2 = 1, xyx−1 = y −1
תרגיל ,7.4.38
.H (Q, A) = A2 = yלכן יש הרחבה אחת טריוויאלית= D4 ,
⟨
⟩
4
−1
−1
2
∼ 2
2
2
.G = y, x | y = 1, xyx
ואחת שבה G = A ∪ Azxעם z1 = 1ו־ ,zx = cx,x zx2 = yהיינו = y , x = y = Q
תרגיל (**) 7.4.42תהי K▹Gתת־חבורה נורמלית .הראה ש־ σ(gK) = σ(g)Kמגדיר הומומורפיזם
)) Aut(G, K)→Aut(G/Kראה הגדרה .(7.2.26
הרחבה Gשל Qעל־ידי Kנקראת מרכזית אם )) .K ⊆ Z(Gזהו בדיוק המקרה שבו פעולת Qעל K
טריוויאלית(.
תרגיל (-***) 7.4.43תהי Gהרחבה מרכזית של Qעל־ידי חבורה .Kנסמן ב־) Aut(G; K, Qאת
∼ ) .Aut(G; K, Qהדרכה .בהנתן ∈ σ
הגרעין של ההומומורפיזם מתרגיל .7.4.42הראה ש־)= Hom(Q, K
) ,Aut(G; K, Qהגדר ψσ : Q→Kלפי ;ψσ (gK) = σ(g)g −1הראה ש־) ψσ (gKמוגדר היטב ,ש־ ψσהוא הומומורפיזם ,וש־ Ψ : σ 7→ ψσ
הומומורפיזם עם גרעין טריוויאלי .הראה שלכל ) ,ψ ∈ Hom(Q, Kהפונקציה σ : G→Gהמוגדרת על־ידי σ(g) = ψ(gK)gהיא אוטומורפיזם,
ולכן Ψעל.
∼ ) A4תרגיל (6.8.18על־ידי
תרגיל (-***) 7.4.44הראה שיש שתי הרחבות מרכזיות של ) = PSL2 (F3
,Z2והן A4 × Z2ו־) .SL2 (F3
הדרכה .תחילה אשר ש־ A4 × Z2ו־) SL2 (F3הן אכן הרחבות מרכזיות .לפי ההנחה והייצוג מתרגיל 3.6.23ל־ ,A4יש i, j, kכך ש־
⟩
3
i
3
j
2
k
2
x, y, z | x = z , y = z , (xy) = z , xz = zx, yz = zy, z = 1 .
⟨
=G
החלף את x, yב־ xz i , yz jבעזרת תרגיל ,3.6.16והסק שיש לכל היותר שתי הרחבות מרכזיות.
∼ ) A5תרגיל (6.8.26על־ידי ,Z2
תרגיל (***) 7.4.45הראה שיש שתי הרחבות מרכזית של ) = PSL2 (F5
והן A5 × Z2ו־) .SL2 (F5הדרכה .כמו בתרגיל ,7.4.44יש i, j, kכך ש־
⟩
3
i
5
k
2
k
2
x, y, z | x = z , y = z , (xy) = z , xz = zx, yz = zy, z = 1 .
⟨
=G
החלף את x, y, zב־ x−1 z i , y −1 z k , zבעזרת תרגיל .3.6.16
∼ ) .H2(A5 , Z2
תרגיל (***) 7.4.46הראה ש־ = Z2
הדרכה .תרגיל .7.4.45
תרגיל (***) 7.4.47הראה שיש ארבע הרחבות מרכזיות של S4על־ידי ,S4 × Z2 :Z2
⟨
⟩
x, y | x3 = 1, y 4 = 1, (xy)4 = 1, (xy)2 = (yx)2 ,
⟨
⟩
∼ x, y | x3 = 1, y 8 = 1, (xy)2 = 1, [y 4 , x] = 1
= GL2 (F3 ),
⟨
⟩
3
8
2
4
4
x, y | x = 1, y = 1, (xy) = y , [y , x] = 1 .
הראה שכולן שונות זו מזו.
הדרכה .למשל על־ידי חישוב האבליזציה )משפט (4.8.6וקיומם של אברים מסדר .8
נסיים בבניה הקושרת את החבורות שפגשנו בשני הסעיפים הקודמים ,ורומזת לתאוריה כללית הנקראת
קוהומולוגיה של חבורות.
הגדרה 7.4.48תהי Qחבורה הפועלת על חבורה אבלית .Kנסמן } ,C i (Q, K) = {f : Q × · · · × Q→Kכאשר
המכפלה כוללת iעותקים של .Qבפרט .C 0 (Q, K) = K ,נגדיר פונקציות
)∂ i : C i (Q, K)→C i+1 (Q, K
לפי ) ;(∂ 1 a)q,q′ = aq + q(aq′ ) − aqq′ ;(∂ 0 u)q = u − q(uו־(∂ 2 c)q,q′ ,q′′ = cq,q′ + cqq′ ,q′′ − q(cq′ ,q′′ ) −
.cq,q′ q′′
תרגיל .∂ 2 ∂ 1 = 0 ,∂ 1 ∂ 0 = 0 (**) 7.4.49
תרגיל .B1(Q, K) = Im(∂ 0 ) ,Z1(Q, K) = Ker(∂ 1 ) (**) 7.4.50
תרגיל .B2(Q, K) = Im(∂ 1 ) ,Z2(Q, K) = Ker(∂ 2 ) (**) 7.4.51
93
.7.4מבוא לקוהומולוגיה
7.4.3
פרק .7אוטומורפיזמים
כיסויים
∼ Qעם ) ,K ⊆ G′ ∩ Z(Gוכך ש־| |Gמקסימלי
כיסוי של חבורה Qהוא הרחבה Gשל ,Qכך ש־= G/K
בכפוף לתנאים אלה )לכל חבורה סופית יש כיסוי ,שאינו בהכרח יחיד(.
תרגיל (***) 7.4.52נניח ש־ Qנתונה על־ידי ייצוג .Q = F/Rהראה ש־ G = F/R1היא כיסוי של Qאם
ורק אם ,R ⊆ F ′ R1 ,[R, F ] ⊆ R1 ⊆ Rו־| |F/R1מקסימלית בכפוף לתנאים אלה.
תרגיל (**) 7.4.53מימוש אלגוריתמי של תרגיל :7.4.52נניח שהחבורה Qמוצגת כמנה של החבורה
F
החופשית ⟩ F = ⟨x1 , . . . , xnמודולו חבורת היחסים ⟩ .R = ⟨r1 , . . . , rtאם G = F/R1כיסוי של
F
,Qאז יש ω1 , . . . , ωt ∈ F ′ ∩ Rכך ש־ ⟩] .R1 = ⟨ωj rj , [xi , rjבאופן עוד יותר קונקרטי ,נסמן ב־
⟩] Q̂ = F/[R, F ] = ⟨x1 , . . . , xn | [xi , rjאת ההרחבה המרכזית המקסימלית של Qשבה היחסים rj
מרכזיים .כל כיסוי של Qהוא מהצורה ⟩ Q̂/⟨ω1 r1 , . . . , ωt rtכאשר ⟩ .ωj ∈ Q̂′ ∩ ⟨r1 , . . . , rt
תרגיל (-***) 7.4.54הראה שהכיסויים של Z2 × Z2הם החבורות הלא אבליות מסדר .8
הדרכה .הראה
שהחבורות D4 , Q4אכן מכסות את .Z2 × Z2
7.4.53שהכיסויים של D4הם החבורות הבאות מסדר :16
תרגיל (-***) ⟩7.4.55הראה בעזרת תרגיל
⟨
Q8 ,D8ו־ .Z8 o3 Z2 = x, y | x8 = 1, yxy −1 = x3 , y 2 = 1
⟨
⟩
ההרחבה המרכזית היא = ̂Q
נבחר ייצוג ,D4 = x, y | x4 = y 2 = yxy −1 x = 1ונפעיל את תרגיל .7.4.53
הדרכה.
⟨
⟩
⟨
⟩
4
−1
−1
∼ ⟩ ,Q̂′ = ⟨ωותמונת Rהיא . x4 , y 2 , ωx2לכן = Q̂′ ∩ R
Z
הזו
בחבורה
;
x,
y,
ω
|
ω
=
[x,
]ω
=
1,
yωy
=
ω
,
yx
= ωxy
= 4
⟨
⟩
⟨
⟩
. ω 2מכאן שהכיסויים של Qהם מהצורה x, y, ω | ω 4 = [x, ω] = 1, yωy −1 = ω −1 , yx = ωxy, ω 2i x4 = ω 2j y 2 = ω 2k+1 x2 = 1
סימטריות משאירות רק חמישה ייצוגים ,שאחד מהם ,של ,D4אינו מסדר מקסימלי.
עבור }.i, j, k ∈ {0, 1
⟨
⟩
x, y | x8 = 1, yxy −1 = x4a−1 , y 2 = x4b
שאר החבורות הן
עבור }) a, b ∈ {0, 1אם a = 1המקרים b = 0, 1איזומורפיים( ,שכולן הרחבות של
D4על־ידי ) Z2וגם הרחבות של Z2על־ידי .(Z8
94
פרק 8
משפטי סילו
משפט לגרנז' מראה שהסדר של איברים מחלק תמיד את סדר החבורה .משפט קושי הופך את הכיוון ,ומראה
שאם סדר החבורה מתחלק בראשוני ,pאז יש לה איברים מסדר .pההוכחה מבוססת על שוויון המחלקות.
משפט קושי מראה שהסדר של חבורה הוא חזקה של ראשוני pאם ורק אם כל האברים שלה הם מסדר חזקה
של אותו ;pחבורות העונות לתנאי הזה נקראות חבורות־ .pלחבורות־ pיש כמה תכונות מעניינות .המרכז של
חבורת־ pלעולם אינו טריוויאלי .נובע מכאן שהמנרמל של תת־חבורה תמיד מכיל אותה ממש.
משפטי סילו ממשיכים את הכיוון של משפט קושי ,בכך שהם מספקים תת־חבורה מסדר השווה לכל
חזקת ראשוני המחלקת את סדר החבורה .סעיף 8.5מציג בפרוטרוט מספר דרכים להעזר במשפטי סילו ,עם
משפטים אחרים ובראשם העידון של משפט קיילי ,על־מנת לנתח מבנה של חבורה בעלת סדר נתון .היעד
העיקרי במקרים רבים הוא להראות שהחבורה אינה פשוטה ,משום שאז היא נחשפת לניתוח כהרחבה של שתי
חבורות מסדר קטן יותר.
8.1
שוויון המחלקות
סעיף זה מציג את שוויון המחלקות של חבורה סופית .השימושים מופיעים בשני הסעיפים הבאים.
הגדרה 8.1.1שוויון המחלקות של חבורה סופית Gהוא השוויון
∑
|G| = |Z(G)| +
|C|,
C⊆G,|C|>1
כאשר הסכום הוא על כל מחלקות הצמידות הלא־מרכזיות של החבורה.
חשיבותו של השוויון הזה ,הנובע מפירוק החבורה כאיחוד מחלקות הצמידות שלה ,היא בכך שלפי
תרגיל 6.4.18המחוברים באגף ימין הם מחלקים אמיתיים )גדולים מ־ (1של סדר החבורה.
תרגיל (*) 8.1.2הוכח את שוויון המחלקות.
הדרכה .העזר בתרגיל .6.4.5
תרגיל (*) 8.1.3אם Gאבלית מסדר ,nשוויון המחלקות שלה הוא הזהות הטריוויאלית .n = n
תרגיל (**) 8.1.4כתוב את שוויונות המחלקה של .S5 ,S4 ,S3
תרגיל (**) 8.1.5כתוב את שוויונות המחלקה של החבורות הלא אבליות מסדר D4 :8והקווטרניונים .Q4
תרגיל (**) 8.1.6הראה ששוויון המחלקות של החבורה הדיהדרלית D6הוא .12 = 2 + 3 + 3 + 2 + 2
נזכיר שהגודל של מחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה ,ולכן שוויון המחלקות הוא פירוק של ||G
לסכום של מחלקים של |.|G
תרגיל (**) 8.1.7מצא את כל החבורות שיש להן בדיוק 2מחלקות צמידות.
תרגיל (***) 8.1.8
∼ .G
∼ Gאו = S3
.1הוכח שאם לחבורה יש בדיוק 3מחלקות צמידות אז = Z3
95
פרק .8משפטי סילו
.8.2משפט קושי
.2אם לחבורה Gיש בדיוק 4מחלקות צמידות ,אז }.|G| ∈ {4, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 42
תרגיל (+**) 8.1.9תהי Gחבורה לא אבלית מסדר .p < q ,pq
,Z(G) = 1 .1ולכן שוויון המחלקות של ) Gבכתיב מקוצר( הוא .pq = 1 + αp + βq
.2במחלקות מגודל pיש אברים מסדר ,qולהיפך.
) .3בכל חבורה( מספר האברים מסדר pמתחלק ב־).(p − 1
,(p − 1) | β .4ולכן .β = p − 1מכאן ש־ .α = (q − 1)/pבפרט ).q ≡ 1 (mod p
.5ל־ Gיש תת־חבורה יחידה מסדר ) qו־ qתת־חבורות מסדר .(p
∼ Gעם הומומורפיזם לא טריוויאלי .θ : Zp →Uq
= Zq oθ Zp .6
תרגיל (**) 8.1.10נניח ש־ p, qראשוניים⟨כך ש־) .q ≡ 1 (mod pאז יש שתי חבורות מסדר Zp × Zp :pq
⟩
∼ Gכאשר t ∈ Uqאיבר )כלשהו( מסדר .pהדרכה .תרגיל .8.1.9
ו־ = x, y : xq = 1, y p = 1, yxy −1 = xt
⟨
⟩
תרגיל (**) 8.1.11יש שתי חבורות לא אבליות מסדר Z3 ×Z7 :21ו־ . x, y | x7 = y 3 = 1, yxy −1 = x2
הדרכה .תרגיל .8.1.10
∑) (**) 8.1.12הכללה של שוויון המחלקות( לכל תת־חבורה נורמלית Hשל Gמתקיים = ||H
תרגיל
| |Z(G) ∩ H| + |Cכשהסכום הוא על מחלקות הצמידות הלא מרכזיות של Gהמוכלות ב־) Hהזכר
בתרגיל .(6.4.6כרגיל ,אם ] C = [xאז ]).|C| = [G : CG (x
8.2
משפט קושי
לפי משפט לגרנז' ,הסדר של תת־חבורה מחלק תמיד את סדר החבורה .הכיוון ההפוך נכון בחבורות ציקליות:
תרגיל (*) 8.2.1לכל ,dאם Gציקלית מסדר המתחלק ב־ ,dאז יש ב־ Gאיבר מסדר .d
אבל הוא אינו נכון באופן כללי:
תרגיל (**) 8.2.2ל־ A4אין תת־חבורה מסדר ) 6ובפרט אין בה איברים מסדר זה(.
משפט קושי )שנוכיח מיד( מראה שהטענה ההפוכה למשפט לגרנז' נכונה בכל־זאת ,כשמדובר במחלק
ראשוני )הוכחנו זאת עבור p = 2בתרגיל .(2.1.13
טענה ) 8.2.3משפט קושי לחבורות אבליות( אם ראשוני pמחלק את הסדר של חבורה אבלית ,Aאז יש ב־A
איבר מסדר .p
הוכחה .יהי .1 ̸= x ∈ Aאם ) p | e = ord(xאז xe/pאיבר מסדר .pאחרת לפי הנחת האינדוקציה יש קוסט
⟩ y⟨x⟩ ∈ A/⟨xמסדר ,pואז ⟩ y p ∈ ⟨xו־).p | ord(y
משפט ) 8.2.4משפט קושי( אם ראשוני pמחלק את הסדר של חבורה ,Gאז יש ב־ Gאיבר מסדר .p
∑
הוכחה .כתוב את שוויון המחלקות של ,|G| = |Z(G)| + [G : CG (x)] :Gכאשר הסכום הוא על נציג x
מכל מחלקת צמידות לא מרכזית .אם הסדר של ) Z(Gמתחלק ב־ ,pגמרנו לפי טענה .8.2.3אחרת יש x ∈ G
המרכז ) CG (xמתחלק ב־ ;pלפי הנחת האינדוקציה יש
ֵּ
שעבורו האינדקס ]) [G : CG (xזר ל־ ,pולכן סדר
ב־) CG (xאיבר מסדר .p
תרגיל (***) 8.2.5הוכח את משפט קושי בעזרת פעולה של Zpעל קבוצת וקטורים באורך pב־.G
הדרכה .התבונן בקבוצה }.X = {(g0 , . . . , gp−1 ) : gi ∈ G, g0 g1 . . . gp−1 = 1
Zp = ⟨σ⟩ .1פועלת על Xלפי ) .σ(g0 , . . . , gp−1 ) = (g1 , . . . , gp−1 , g0
.2המסלולים ב־ Xהם בגודל 1או .p
,|X| = |G|p−1 .3ולכן ).|X| ≡ 0 (mod p
.4קיים ב־ Aלפחות מסלול אחד בגודל ,1ולכן קיימים לפחות pכאלה.
96
.8.3חבורות־p
פרק .8משפטי סילו
תרגיל (+**) 8.2.6כתוב את ההוכחה שבתרגיל 8.2.5במקרה ,p = 2והסבר כיצד היא חוזרת על
ההוכחה של תרגיל .2.1.13
אם ) ϕ ∈ Aut(Gאוטומורפיזם מסדר סופי ,nנגדיר את הנורמה ביחס ל־ ϕלפי = )Nϕ (x
).xϕ(x)ϕ2 (x) · · · ϕn−1 (x
תרגיל (+*) 8.2.7בדוק ש־.Nϕ (ϕ(x)) = ϕ(Nϕ (x)) = x−1 Nϕ (x)x
תרגיל (**) 8.2.8עבור ) ,γg ∈ Aut(Gחשב ש־ .Nγg (x) = (xg)n g −n
תרגיל (**) 8.2.9הראה שכל איבר מהצורה ) x = t−1 ϕ(tהוא פתרון למשוואה ) .N (x) = 1פתרונות
אלו הם טריוויאליים(.
תרגיל (+**) 8.2.10תהי Gחבורה עם אוטומורפיזם ϕמסדר .pבהמשך להגדרות 7.4.3ו־ ,7.4.6הראה
שיש התאמה בין 1־קו־מעגלים )אברי ) (Z1(Zp , Gלפתרונות של המשוואה ,N (x) = 1כך שה־1־קו־
מעגלים השקולים לאיבר היחידה מתאימים לפתרונות הטריוויאליים.
תרגיל (***) 8.2.11תהי Gחבורה שהסדר שלה מתחלק בראשוני .pנניח ש־ ϕ, ψאוטומורפיזמים
מתחלפים של ,Gושניהם מסדר .pאז יש איברים x ̸= 1כך ש־ .Nϕ (x) = Nψ (x) = 1הכלל
את הטענה לכל מספר סופי של אוטומורפיזמים .הדרכה .ראשית הכלל את הפתרון לתרגיל 8.2.5כדי להראות שאם ||G
מתחלק ב־ pו־) ϕ ∈ Aut(Gאוטומורפיזם מסדר ,pאז יש בחבורה איברים x ̸= 1עם ) .Nϕ (x) = 1זו טענה שאפשר להוכיח ישירות ,על־ידי
הפתרונות הטריוויאליים מתרגיל (.8.2.9
הכלל פתרון זה ,עם פעולה של Z2pעל אוסף המטריצות ) (gijשבהן המכפלה של כל שורה ועמודה היא .1
תרגיל (***) 8.2.12אם pמחלק את | |Gו־) ϕ ∈ Aut(Gמסדר ,pאז קיים xמסדר pכך ש־
i
2i
(p−1)i
xϕ (x)ϕ (x) · · · ϕלכל .iהדרכה .קח 1, ϕ, ϕ2 , · · · , ϕp−1בתרגיל .8.2.11
(x) = 1
תרגיל (***) 8.2.13נניח ש־| |Gמתחלק ב־ ,3ו־) ϕ ∈ Aut(Gאוטומורפיזם מסדר .3אז יש איבר xמסדר
3כך ש־ .[x, ϕ(x)] = 1הדרכה .מתרגיל 8.2.12נובע ש־ xϕ(x)ϕ2 (x) = xϕ2 (x)ϕ(x) = 1עבור xמתאים.
8.3
חבורות־p
הגדרה 8.3.1יהי pראשוני .חבורה נקראת חבורת־ pאם הסדר של כל איבר הוא חזקה של .p
תרגיל (***) 8.3.2חבורה סופית היא חבורת־ pאם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של .p
הדרכה .כיוון אחד
נובע ממשפט לגרנז' ,והשני ממשפט קושי.
באופן טיפוסי ,יש יותר חבורות מסדר pnמאשר מכל גודל דומה )למשל ,יש 2328חבורות לא איזומורפיות
מסדר ,128 = 27ורק 47מסדר .(120עם זאת ,לכל חבורות־ pיש מאפיינים משותפים ,שנציג בסעיף זה
ובסעיפים הבאים.
מרָכז לא טריוויאלי.
משפט 8.3.3לכל חבורת־ pסופית יש ְ
הוכחה .שוויון המחלקות כותב את |G| = ptכסכום של |) |Z(Gומחלקים של ptשהם כולם חזקות pלא
טריוויאליות ,ולכן מתחלקים ב־ .pלכן גם הסדר של ) Z(Gמתחלק ב־.p
)M.L. Sylow, Théorémes sur les groupes de substitutions, Mathematische Annalen 5, (1872),
(.Théorème III
תרגיל (+*) 8.3.4לחבורת־ pסופית יש תת־חבורה מרכזית מסדר .p
תרגיל (**) 8.3.5כל חבורת־) pסופית( פשוטה Gהיא ציקלית מסדר .p
הדרכה .אחרת Z(G) = Gולכל
.⟨x⟩ = G ,1 ̸= x ∈ G
תרגיל (**) 8.3.6תהי Gחבורת־ pעם תת־חבורה נורמלית Hמסדר .pהוכח ש־).H ⊆ Z(G
הדרכה.
משפט .N/C
תרגיל (***) 8.3.7לכל תת־חבורה אמיתית H < Gשל חבורת־.H < NG (H) ,p
הדרכה .באינדוקציה על
הסדר .נסמן ) .Z = Z(Gכמובן ;ZH = HZ ,לכן ,אם ,Z ̸⊆ Hאז H < ZHוסיימנו .נניח אם כן ש־ ,Z ⊆ Hונתבונן בחבורות המנה
.H/Z < G/Zלפי הנחת האינדוקציה H/Z < NG/Z (H/Z) = NG (H)/Zכשהשתמשנו בתרגיל ,6.4.62ולכן ).H < NG (H
97
פרק .8משפטי סילו
.8.3חבורות־p
תרגיל (-***) 8.3.8פתור את תרגיל 8.3.7על־ידי פעולת Hעל תת־החבורות הצמודות לה.
הדרכה.
Hפועלת על־ידי הצמדה על הקבוצה Ωשל תת־החבורות הצמודות ל־ ,Hשיש בה ]) [G : NG (Hנקודות .מכיוון ש־ Hמנרמלת את עצמה,
} {Hמהווה מסלול ,ומכיוון שגדלי כל המסלולים מחלקים את | ,|Hיש תת־חבורה צמודה H1 = aHa−1 ̸= Hשגם היא מהווה מסלול .בפרט
H1 ▹HH1 = H1 Hולכן HaHa−1 = HH1 ≤ NG (H1 ) = aNG (H)a−1ו־ ).H < a−1 HaH ≤ NG (H
תרגיל (**) 8.3.9כל תת־חבורה מאינדקס pשל חבורת־ pהיא נורמלית.
הדרכה H < NG (H) ≤ G .לפי
תרגיל .8.3.7
תרגיל (***) 8.3.10כל תת־חבורה מקסימלית של חבורת־ pהיא מאינדקס .p
הדרכה .תהי Mתת־חבורה
מקסימלית .לפי תרגיל ,M < NG (M ) ≤ G ,8.3.7ולכן .M ▹NG (M ) = Gיהי ) xM ∈ Z(G/Mאיבר מסדר ,pאז ⟩ M < ⟨M, xולכן
.[G : M ] = [⟨M, x⟩ : M ] = p
תרגיל (-***) 8.3.11כל תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית Nשל חבורת־ G pכולל איבר מרכזי
חותכת את המרכז ) .Z(Gהערה .זו הכללה של משפט .8.3.3הדרכה .שוויון המחלקות המוכלל ,תרגיל .8.1.12
תרגיל (**) 8.3.12חבורה מסדר p2היא אבלית ,ואיזומורפית ל־ Zp2או ל־ .Zp × Zp
הדרכה .הסק מתרגיל 4.7.5
שהחבורה אבלית .אם אין לה איבר מסדר ,p2אז היא מרחב וקטורי מעל השדה .Fp
תרגיל G (**) 8.3.13לא אבלית מסדר .2197זהה את ) G/Z(Gעד כדי איזומורפיזם.
תרגיל (***) 8.3.14תהי Gחבורת־ pהפועלת על קבוצה Xמגודל שאינו מתחלק ב־ .pהראה שיש
נקודת־שבת המשותפת לכל אברי .Gהדרכה .הגודל של כל מסלול שאינו נקודת שבת הוא חזקה של pולכן מתחלק ב־.p
תרגיל (***) 8.3.15נניח שלחבורה Gיש תת־חבורה מינימלית יחידה ,כלומר ,יש תת־חבורה לא
טריוויאלית G0המוכלת בכל תת־חבורה של ) .Gתנאי זה שקול לכך שחיתוך כל תת־החבורות
הציקליות אינו טריוויאלי(.
.1הראה ש־ Gחבורת־ pוש־) G0 ⊆ Z(Gהיא תת־חבורה מסדר .p
.2הראה שכל תת־חבורה אבלית של Gהיא ציקלית.
.3אם G/G0ציקלית אז גם Gציקלית.
הדרכה .יהי x ∈ Gאיבר כך ש־⟩ ,G/G0 = ⟨G0 xמסדר ;nאז = ⟩G0 = G0 ∩⟨x
⟩ ⟨xnולכן xמסדר pnו־⟩.G = ⟨x
.4
נניח ש־ pאי־זוגי .הראה שגם ל־ G/G0יש תת־חבורה מינימלית .הדרכה .יהי z ∈ Gאיבר כך ש־G0 z
מרכזי מסדר pב־ .G/G0כך ,z p ∈ G0ו־ ϵ = z pהוא יוצר של .G0יהי x ∈ Gכך ש־ .x ̸∈ G0הסדר של G0 x ∈ G/G0
הוא חזקת־ pולכן מתחלק ב־ ;pנסמן את הסדר הזה ב־ .pmכך ,xpm ∈ G0אבל xpm ̸= 1ועל־ידי העלאת xבחזקה זרה
מכיוון ש־ G0 zמרכזי ,אפשר לכתוב ,zxz −1 = ϵj xואז .zx−m z −1 = ϵ−jm x−m
ל־ pאפשר להניח ש־.xpm = ϵ
= ϵ−pmj(p−1)/2 ϵ−1 ϵ = 1
−mp p
z
x
))−mj(1+2+···+(p−1
= ϵ
p
)z
−m
(xולכן z ∈ G0
−m
כעת
,xומכאן ש־≤ ⟩ z ∈ ⟨ϵ, x
m
⟩ ⟨G0 , xו־⟩.G0 z ∈ ⟨G0 x
.5נניח ש־ pאי־זוגי .הראה ש־ Gציקלית.
הדרכה .באינדוקציה לפי הסעיף הקודם.
.6מצא חבורה לא ציקלית שיש לה תת־חבורה מינימלית יחידה.
תרגיל (**) 8.3.16תהי Gחבורת־ pעם תת־חבורה יחידה מסדר .pהראה שיש לה תת־חבורה מינימלית
יחידה )במובן של תרגיל (.8.3.15
תרגיל (+**) 8.3.17לחבורה Gיש תת־חבורה מינימלית יחידה )תרגיל .(8.3.15הראה ש־ Gאינה יכולה
לפעול נאמנה על קבוצה בגודל > |.|G
תרגיל (**) 8.3.18הראה שמבין החבורות מסדר ,8רק ב־ Z8ו־ Q4יש איבר יחיד מסדר .2
תרגיל (+**) 8.3.19הראה שאין שיכון .Q4 ,→ S7
הדרכה .תרגיל .8.3.17ראה גם תרגיל .6.3.8
תהי Gחבורת־ .pנסמן ב־⟩ Gp = ⟨xp : x ∈ Gאת תת־החבורה הנוצרת על־ידי כל האברים מהצורה
.xp
תרגיל (**) 8.3.20תהי Gחבורת־ .pאז .Gp ▹G
98
.8.3חבורות־p
פרק .8משפטי סילו
תרגיל (+**) 8.3.21אם G ̸= 1חבורת־ ,pאז .Gp < G
הדרכה .אינדוקציה על |.|G
n
תרגיל (**) 8.3.22תהי .G = D8חשב את .G2חשב את G2לכל .n
תרגיל (+**) 8.3.23תהי Gחבורת־ pשכל תת־החבורות האבליות שלה מסדר pלכל היותר .הוכח
∼ .Gהדרכה .יהי ) .z ∈ Z(Gאם ) ,x ̸∈ Z(Gאז ⟩ ⟨z, xאבלית.
ש־ = Zp
תרגיל (***) 8.3.24אם Tהעתקה לינארית מסדר pשל מרחב וקטורי V ̸= 0מעל שדה ממאפיין ,pאז
⟩ ⟨T
.Vהדרכה .לפי ההנחה T p = Iולכן Tמאפסת את הפולינום ) .λp − 1 = (λ − 1)pראה
= {v ∈ V : T (v) = v} ̸= 0
הכללה בתרגיל (.8.3.25
תרגיל (***) 8.3.25אם Gחבורת־ pו־) A ≤ Aut(Gחבורת־ ,pאז יש נקודת שבת משותפת לא
A
.(Gהדרכה .לפי משפט 8.3.3אפשר להניח ש־ Gאבלית .המשך
טריוויאלית בפעולה של Aעל ) Gהיינו ̸= 1
באינדוקציה על | |Aלפי אותו משפט ,והפעל את תרגיל .8.3.24
תרגיל (**) 8.3.26יהי pראשוני .נסמן ב־) Un (Fpאת חבורת המטריצות המשולשיות עליונות עם אלכסון
n
)) diag(1, 1, . . . , 1ראה גם תרגיל .(3.5.20הראה ש־) Un (Fpהיא חבורת־) pמסדר ) ,(p( 2ומצא את
המרכז שלה.
∪
תרגיל (***) 8.3.27נסמן ) U∞ (Fpאת האיחוד ) ) Un (Fpכאשר ) Un (Fpהן החבורות מתרגיל ,(8.3.26
כלומר חבורת המטריצות האינסופיות ,עם 1באלכסון ,וכמעט כל איבר אחר שווה לאפס .הראה שזו
חבורת־) pאינסופית( ,עם מרכז טריוויאלי.
תרגיל (**) 8.3.28הראה שהאוסף Ppשל חבורות־ pסגור לתת־חבורות ,לחבורות מנה ,למכפלות
ולהרחבות )ראה הגדרה .(4.9.1הסק שלכל חבורה יש תת־חבורה נורמלית מינימלית יחידה Nביחס
לתכונה ש־ G/Nהיא חבורת־ .pהדרכה .תרגיל .4.9.8
8.3.1
משפט מילר
תרגיל (+**) 8.3.29תהי Gחבורת־ pעם תת־חבורה נורמלית אבלית .A▹Gאם ) A ⊂ CG (Aאז יש
תת־חבורה נורמלית אבלית A ⊂ A1כך ש־|) [CG (A) : CG (A1 )] ≤ |Aואפשר להניח ש־= ][A1 : A
.(pהדרכה .תת־החבורה ) H = CG (Aנורמלית לפי תרגיל .6.4.44נתבונן במנה .G/Aלפי תרגיל 8.3.11יש איבר לא טריוויאלי
) .xA ∈ H/A ∩ Z(G/Aנסמן ⟩) A1 = ⟨A, xאפשר להניח ש־ ord(xA) = pולקבל .([A1 : A] = pכיוון ש־ A1 ,x ∈ Hאבלית.
ההנחה ) xA ∈ Z(G/Aפירושה ש־ ,[x, G] ⊆ Aולכן gxg −1 ∈ Axלכל g ∈ Gו־ .A1 ▹Gמכיוון ש־) ,A ⊆ Z(Hלכל h, h′ ∈ H
מתקיים ] ,[x, hh′ ] = [x, h][x, h′ולכן ] adx : h 7→ [x, hהוא הומומורפיזם ;G→Aהגרעין שלו הוא ) ,H1 = Ker(adx ) = CG (A1ולכן
|.[H : H1 ] ≤ |Im(adx )| ≤ |A
תרגיל (+**) 8.3.30תהי Gחבורת־ pעם מרכז ) .Z = Z(Gאם Gאינה אבלית ,אז יש תת־חבורה
H▹Gכך ש־) Z(G) ⊂ Z(Hו־| .[G : H] ≤ |Zהדרכה .קח ) A = Z(Gבתרגיל ,8.3.29ו־) .H = CG (A1
m
c
תרגיל (+**) 8.3.31בכל חבורת־ pעם מרכז מסדר ,pcשהסדר שלה גדול מ־ ) ,p( 2 )−(2יש תת־חבורה
m
נוכיח טענה מעט חזקה יותר :בחבורה Gכנ"ל יש תת־חבורה נורמלית אבלית מסדר
.pהדרכה.
אבלית מסדר
נורמלית
) ( ) (
pmכך ש־
m
c
−
2
2
.[G : CG (A)] ≤ pההוכחה באינדוקציה על .mעבור m ≤ cאין מה להוכיח )קח ) .(A ⊆ Z(Gנניח שהטענה
) .mאז (יש תת־חבורה נורמלית אבלית Aמסדר
נכונה ל־− 1
) (
m
c
−
2
]2 [CG (A) : A
(
) ( )
m+1
c
−
ש־ |A1 | = pm+1ו־ 2
p 2
m−1
pעם
(
) ( )
m−1
c
−
2
p 2
≤ ]) .[G : CG (Aלכן = |< |G
) ( ) (
m
c
−
2
p 2
,[G : CG (A)][CG (A) : A]|A| = pו־) .A ⊂ CG (Aלפי תרגיל ,8.3.29יש תת־חבורה נורמלית אבלית A1 ▹Gכך
=
) ( ) (
m
c
m+
−
2
2
p
≤ ]) .[G : CG (A1 )] ≤ [G : CG (A)][CG (A) : CG (A1
m
2
תרגיל ) (***) 8.3.32משפט מילר( לכל חבורת־ pשסדרה גדול מ־ ) ( pיש תת־חבורה אבלית מסדר
m
pלפחות .הדרכה .תרגיל ;8.3.31הרי .c ≥ 1
α
[G.A. Miller, On an important theorem with respect to the operation groups of order p , p
].being any prime number, Messenger Math 27, (1898), p. 120
)(m+1
m
≤ .nהדרכה .זהו
תרגיל (**) 8.3.33לחבורת־ pמסדר pnיש תת־חבורה אבלית מסדר pכאשר
2
תרגיל .8.3.32
תרגיל (+**) 8.3.34נתבונן בחבורה ) Un (Fpמתרגיל .8.3.26מצא תת־חבורה נורמלית אבלית מסדר
.pn−1הדרכה.A = ⟨1 + e1j : 1 < j⟩ .
תרגיל (+***) 8.3.35הראה שהחסם של משפט מילר )תרגיל (8.3.32הדוק :לחבורה ) ,Un (Fpמסדר
n
) ,p( 2אין תת־חבורה נורמלית אבלית מסדר .pn
99
.8.4משפטי סילו
8.3.2
פרק .8משפטי סילו
מספר תת־החבורות
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
)על־פי סעיפים 59–61בספר (.1897 ,William Burnside ,Theory of groups of finite order
תהי Gחבורה מסדר .pnנסמן ב־) di (Gאת מספר תת־החבורות מסדר piב־ ;Gולכל תת־חבורה ,P ≤ G
uGאת מספר תת־החבורות מסדר pjשל Gהמכילות את .Pבתת־סעיף זה נוכיח שכל המספרים
נסמן ב־) j (P
האלה שקולים ל־ 1מודולו .p
תרגיל (-***) 8.3.36הראה ש־).dn−1 (G) ≡ 1 (mod p
נקבע תת־חבורה כזו) H ,קיימת לפי תרגיל .(8.3.10לכל H ̸= H1 < Gמאינדקס N = H ∩ H1 ,pהיא נורמלית מאינדקס ,p2עם
∼ ;G/Nל־ G/Nיש p + 1תת־חבורות אמיתיות ,ולכן יש בדיוק pתת־חבורות H1עם חיתוך השווה ל־ .Nנפרק את אוסף
מנה = Zp × Zp
הדרכה .תת־החבורות מאינדקס pהן נורמליות לפי תרגיל .8.3.9
תת־החבורות מאינדקס pלמחלקות לפי החיתוך עם ;Hאז פרט ל־ ,Hבכל מחלקה יש בדיוק pתת־חבורות.
.uG
תרגיל (-***) 8.3.37הראה ש־)1 (1) ≡ 1 (mod p
הדרכה .מכיוון שבמר כז ) Z(Gשל Gיש אברים מסדר ,pאוסף
הפתרונות למשוואה xp = 1במרכז הוא תת־חבורה מסדר המתחלק ב־ ,pולכן מספרם של האברים מסדר pשקול ל־ −1מודולו .pהאברים
מסדר pשאינם במרכז שייכים למחלקות צמידות ,שגודל כל אחת מהן מתחלק ב־ .pמכיוון ששתי תת־חבורות שונות מסדר pנחתכות באופן
G
.uG
טריוויאלי ,יש p − 1אברים שונים מסדר pבכל חבורה ,ולכן )1 (1) ≡ −(p − 1)u1 (1) = −m ≡ 1 (mod p
i
.uG
תרגיל (-***) 8.3.38לכל תת־חבורה P ̸= Gמסדר i+1 (P ) ≡ 1 (mod p) ,p
הדרכה .נסמן .|P | = piלפי
תרגיל P ,8.3.9נורמלית בכל תת־חבורה P1מסדר pi+1המכילה אותה ,ולכן כל P1כזו מוכלת במנרמל ) .N = NG (Pכמובן ;P ▹N ,לכן
יש התאמה בין החבורות P1לבין תת־חבורות מסדר pב־ ,N/Pשמספרן שקול ל־ 1מודולו pלפי תרגיל .8.3.37
תרגיל (**) 8.3.39כל תת־חבורה מסדר (0 < i < n) piמוכלת בתת־חבורה מסדר ,pi+1וכל תת־
i
i+1
pמכילה תת־חבורה מסדר .pהדרכה .תרגיל 8.3.10ותרגיל :8.3.38אפס אינו שקול ל־ 1מודולו
חבורה מסדר
.p
תרגיל (-***) 8.3.40הוכח שלכל .di (G) ≡ di+1 (G) ,0 ≤ i < nהדרכה .נסמן ב־ X0את אוסף תת־החבורות מסדר
,piב־ X1את אוסף תת־החבורות מסדר ,pi+1וב־ Xאת קבוצת הזוגות (P0 , P1 ) ∈ X0 × X1כך ש־ .P0 < P1לפי תרגילים 8.3.36ו־,8.3.38
(mod p).
| 1 = |P0
∑
G
≡ ) ui+1 (P0
P0 ∈X0
∑
= |di (P1 ) = |X
P0 ∈X0
∑
P1 ∈X1
≡1
∑
= | |P1
P1 ∈X1
תרגיל (-**) 8.3.41מספר תת־החבורות מסדר piשל חבורה מסדר pnשקול ל־ 1מודולו ) pכלומר
) .(di (G) ≡ 1 (mod pהדרכה .אינדוקציה על iבתרגיל .8.3.40
תרגיל (**) 8.3.42מספר תת־החבורות הנורמליות מסדר piשל חבורה מסדר pnשקול ל־ 1מודולו .p
הדרכה .תת־החבורות מסדר piמשתייכות למחלקות צמידות ,שגודלן 1עבור תת־החבורות הנורמליות ,וחזקת־ pאמיתית בשאר המקרים.
תרגיל (***) 8.3.43מספר תת־החבורות מגודל קבוע המכילות תת־חבורה Pשל Gשקול ל־ 1מודולו
G
i
) .pהיינו :נניח ש־ |P | = pו־ ,j ≤ n − iאז ) .(ui+j (P ) ≡ 1 (mod pהדרכה .בדומה לתרגיל ,8.3.40נסמן ב־ Nאת
מספר הזוגות ) (P1 , Qכך ש־ [P1 : P ] = p ,P < P1 < Q < Gו־ .[Q : P ] = pjספירת הזוגות בשתי דרכים מראה לפי תרגיל 8.3.41ש־
(mod p).
G
) ui+j (P1
∑
= dj+i−1 (Q) = N
P1
∑
Q
≡1
∑
G
= ) ui+j (P
Q
כעת נוכיח את הטענה ,באינדוקציה על .jאת המקרה j = 1כיסינו בתרגיל .8.3.38מכיוון ש־ ,|P1 | = pi+1הנחת האינדוקציה נותנת
∑
∑
G
G
G
,uGשוב לפי תרגיל .8.3.38
≡ ) i+j (P
≡ ) P ui+j (P1
,ui+j (P1 ) ≡ 1ולכן )P 1 = ui+1 (P ) ≡ 1 (mod p
1
8.4
1
משפטי סילו
הגדרה 8.4.1יהי pראשוני .נסמן pt || nאם pt | nאבל .pt+1 ̸ | n
הגדרה 8.4.2יהי pראשוני ,ונניח ש־| .pt || n = |Gתת־חבורה של Gשהסדר שלה ptנקראת תת־חבורת p־סילו של .G
תרגיל (*) 8.4.3תהי P ≤ Gתת־חבורה שהיא חבורת־ .pאז Pהיא תת־חבורת p־סילו אם ורק אם
] [G : Pזר ל־.p
100
פרק .8משפטי סילו
8.4.1
.8.4משפטי סילו
קיומן של חבורות p־סילו
תרגיל (*) 8.4.4אם Pתת־חבורת p־סילו של Gו־ ,P ⊆ H ⊆ Gאז Pהיא גם חבורת p־סילו של .H
תרגיל (**) 8.4.5אם P ▹Gתת־חבורה נורמלית שהיא חבורת־ ,pול־ G/Pיש תת־חבורת p־סילו ,אז
גם ל־ Gיש תת־חבורת p־סילו .הדרכה .כל תת־חבורה של G/Pהיא מהצורה B/Pעבור .B ≤ G
תרגיל (**) 8.4.6הראה שלחבורת הקווטרניונים המוכללת ) Q6מסדר (12יש שלוש תת־חבורות 2־סילו,
והחיתוך שלהן הוא תת־חבורה מסדר ,2שהיא מרכז החבורה.
תרגיל (-***) 8.4.7תהי Aחבורה אבלית מסדר המתחלק ב־ .pאז יש לה תת־חבורת p־סילו.
הדרכה.
נניח ש־| .pt || n = |Aלפי משפט קושי )לחבורות אבליות( יש ל־ Aאיבר x ∈ Aמסדר .pלפי הנחת האינדוקציה ל־⟩ A/⟨xתת־חבורה מסדר
,pt−1וסיימנו לפי תרגיל .8.4.5
משפט ) 8.4.8משפט סילו הראשון( לכל חבורה סופית שהסדר שלה מתחלק בראשוני pיש תת־חבורות p־סילו.
מרכז לא טריוויאלי שהסדר שלו מתחלק
ֵּ
הוכחה .ההוכחה דומה לזו של משפט קושי )משפט .(8.2.4אם יש
המר ָכז
ְ
ב־ ,ptגמרנו באינדוקציה .אחרת ,האינדקסים של כל המרכזים מתחלקים ב־ ,pולכן גם הסדר של
מתחלק ב־ ,pולפי משפט קושי יש בו איבר xמסדר .pלפי הנחת האינדוקציה ל־⟩ G/⟨xיש תת־חבורת
p־סילו ,ולפי תרגיל 8.4.5די בכך.
תרגיל (**) 8.4.9יהיו pראשוני ו־ mזר ל־.p
pk m−i
pk −i
∏pk −1
i=0
) ( k
הראה ש־). ppkm ≡ m (mod p
; לכל ) 0 < i < pkמתחלק ב־ pאו זר לו(≡ 1 (mod p) ,
הדרכה.
=
)(pk m
pk
k m−i
pk −i
.p
) (
2
. 2p
תרגיל (+**) 8.4.10יהי p > 2ראשוני .הראה ש־) p ≡ 2 (mod p
תת־הקבוצות בגודל pשל } ,{1, . . . , 2pוחשב את גדלי המסלולים) .השווה לתרגיל (.8.4.10
) (
3
) . 2pהשווה לתרגיל (.8.4.10
תרגיל (***) 8.4.11עבור p ≡ 2 (mod p ) ,p > 3
הדרכה .מצא פעולה של Zp × Zpעל מרחב
תרגיל (***) 8.4.12תן הוכחה של משפט סילו הראשון המבוססת על פעולה של Gעל תת־קבוצות.
הדרכה) .הוכחת (Wielandtיהי
)(G
pt
= Ωאוסף תת־הקבוצות בגודל ptשל .Gהחבורה Gפועלת על Ωלפי .g : B 7→ gBמכיוון ש־ pאינו
מחלק את |) |Ωתרגיל ,(8.4.9יש מסלול שגודלו זר ל־ ;pיהי B ∈ Ωאיבר בכזה מסלול .יהי Hהמייצב של .Bמחד [G : H] = |[B]| ,זר ל־,p
ולכן | .pt | s = |Hמאידך נקבע ,b0 ∈ Bאז Hb0 ⊆ HB = Bולכן
H ⊆ Bb−1כך ש־ .s ≤ ptלכן Hתת־חבורת p־סילו.
0
תרגיל (**) 8.4.13תהי Gחבורה ,עם חבורת p־סילו .Pהראה שהמנה המקסימלית של Gשהיא
חבורת־) pתרגיל ,(8.3.28איזומורפית לחבורת מנה של .P
הדרכה .נסמן את המנה המקסימלית שהיא חבורת־p
∼ ) .P P/(P ∩ Npאבל מכיוון שהאינדקס ] [G : P Npמחלק גם את ] [G : Npוגם את | ,|P
ב־ .G/Npאז יש אפימורפיזם = P Np /Np ≤ G
.G = P Np
8.4.2
תת־חבורות סילו צמודות זו לזו
תרגיל (***) 8.4.14תהי Pתת־חבורת p־סילו של חבורה .Gלכל תת־חבורה N ≤ Gשהיא חבורת־,p
אם N P = P Nאז .N ≤ Pהדרכה .לפי טענה P N 4.2.10היא חבורת־ ,pוסדרה אינו יכול לעלות על זה של .P
תרגיל (**) 8.4.15תהי Pתת־חבורת p־סילו של .G
חבורת־ ,pמוכלת ב־ .Pהדרכה .תרגיל .8.4.14
כל תת־חבורה של המנרמל ) NG (Pשהיא
תרגיל (***) 8.4.16לכל תת־חבורת p־סילו P ≤ Gמתקיים ) .NG (NG (P )) = NG (P
הדרכה .יהי ∈ a
)) .NG (NG (Pאז ) ,aP a−1 ⊆ NG (aP a−1 ) = aNG (P )a−1 = NG (Pולפי תרגיל .aP a−1 ⊆ P ,8.4.15
תרגיל (***) 8.4.17תהי P ≤ Gתת־חבורת p־סילו ,ותהי ) N ⊆ Z(Gתת־חבורה מרכזית .אם P N ▹G
אז גם .P ▹Gהדרכה) .השווה לתרגיל (.8.4.14מכיוון ש־ Nמרכזית .N P ⊆ NG (P ) ,לפי ההנחה ,לכל x ∈ Gמתקיים ⊆ xP x−1
) ;xP N x−1 = P N ⊆ NG (Pאבל ) ,P ▹NG (Pולכן זו חבורת p־סילו יחידה של ) ,NG (Pו־ .xP x−1 = P
תרגיל (**) 8.4.18תהי Pתת־חבורת p־סילו של חבורה .Gהראה שפעולת Gלפי הצמדה על המסלול
של ) ,NG (Pאיזומורפית לפעולה של Gעל הקוסטים של ) .NG (Pהדרכה .תרגילים 6.4.67ו־.8.4.16
משפט 8.4.19תהי Gחבורה סופית.
101
פרק .8משפטי סילו
.8.4משפטי סילו
.1כל תת־חבורות p־סילו של Gצמודות זו לזו) .משפט סילו השני(
.2מספרן )) .np ≡ 1 (mod pמשפט סילו השלישי(
הוכחה .החבורה Gפועלת על־ידי הצמדה על הקבוצה Ωשל תת־חבורות p־סילו של ,Gשאינה ריקה לפי
משפט .8.4.8תהי .Q ∈ Ωהמסלולים תחת פעולת Qעל Ωהם בגודל המחלק את | ,|Qכלומר חזקות של
.pאם Pנקודת שבת של Qאז ) Q ⊆ NG (Pולפי תרגיל 8.4.15נובע מכאן ש־ ;Q = Pלכן Ωהיא איחוד
של מסלולים בגודל המתחלק ב־ pעם המסלול } ,{Qומכאן ) .np ≡ 1 (mod pנימוק זה תקף גם אם נחליף
את Ωבמסלול ] [Qשל Qתחת פעולת .Gאם Q′ ∈ Ωאינה שייכת למסלול הזה ,אז בפעולתה על ] [Qאין
נקודות שבת ,בסתירה לכך שגודל המסלול זר ל־ ;pמכאן ש־].Q′ ∈ [Q
משפט 8.4.20כל תת־חבורה של Gשהיא חבורת־ pמוכלת בתת־חבורת p־סילו.
הוכחה .בהמשך להוכחת משפט סילו השני ,תהי Pתת־חבורת־ pשל .Gבפעולה שלה על Ωיש נקודת שבת
,Qו־ P ≤ Qלפי תרגיל .8.4.15
תרגיל (**) 8.4.21תהי Qתת־חבורת p־סילו של .Gכל תת־חבורת p־סילו של ) NG (Qמוכלת ב־.Q
בפרט ,אם גם Pתת־חבורת p־סילו ,אז .P ∩ NG (Q) = P ∩ Q
תרגיל ) (***) 8.4.22לכל (i ≥ 1אם np ̸= 1ו־) ,np ̸≡ 1 (mod piאז יש תת־חבורות p־סילו שונות P, Q
i
עם .[P : P ∩ Q] < pהדרכה .נוכיח את הטענה השקולה :אם לכל שתי תת־חבורות p־סילו P, Qשונות מתקיים ,[P : P ∩ Q] ≥ piאז
) .np ≡ 1 (mod piבדומה למשפט ,8.4.19נתבונן בפעולה של תת־חבורת p־סילו Pעל אוסף תת־חבורות p־סילו .Ω ,המייצב של Q ∈ Ω
∑
,np = 1 +כאשר הסכום הוא על נציג אחד מכל מסלול מלבד המסלול של
הוא ,P ∩ NG (Q) = P ∩ Qוכך מתקבל הפירוק ][P : P ∩ Q
.P
תרגיל (***) 8.4.23תהי H ≤ Gתת־חבורה המכילה מנרמל של תת־חבורת p־סילו .אז .NG (H) = H
הדרכה) .זוהי הכללה של תרגיל (.8.4.16יהי ) ,t ∈ NG (Hאז ,tP t−1 ⊆ tNG (P )t−1 ⊆ tHt−1 = Hולכן tP t−1היא חבורת p־סילו של
.Hלכן יש h ∈ Hכך ש־ hP h−1 = tP t−1ואז ) ,h−1 t ∈ NG (Pו־.t ∈ hNG (P ) ⊆ H
כדאי להשוות בין תרגילים 8.3.7ו־ :8.4.23בחבורת־ pהמנרמל של תת־חבורה תמיד גדול ממנה ,ואילו
המנרמל של תת־חבורה המכילה תת־חבורת סילו ,שווה לה.
תרגיל (-**) 8.4.24הראה שהאיחוד של כל תת־חבורות p־סילו של Gשווה לאוסף האברים מסדר
חזקת־ pשל החבורה.
תרגיל (**) 8.4.25זהה את תת־חבורות 2־סילו של .S4מה החיתוך שלהן? מה האיחוד שלהן?
השווה לתרגיל .6.1.9
תרגיל (*) 8.4.26נניח ש־ |G| = pt mכאשר .(p, m) = 1אז .np | m
הדרכה.
הדרכה.
מספר תת־חבורות p־סילו של ,G
) ,np = np (Gמקיים ) np ≡ 1 (mod pלפי המשפט השני .מאידך ]) ,np = [G : NG (Pולכן הוא מחלק את | .|Gאם |G| = p mכאשר
t
,p̸ | mנובע מכך ש־.np | m
תרגיל np = 1 (**) 8.4.27אם ורק אם תת־חבורת p־סילו היא נורמלית.
תרגיל (-***) 8.4.28תהי Pחבורת סילו של .Gאם ) a, b ∈ CG (Pצמודים ב־ ,Gאז הם צמודים גם
ב־) .NG (Pהדרכה .נניח ש־ ,b = gag −1ונתבונן במרכז ) .H = CG (aלפי ההנחה P ⊆ Hוגם ,P ⊆ CG (b) = gHg −1כלומר
.P, g −1 P g ⊆ Hלפי משפט סילו ,קיים h ∈ Hכך ש־ ,g −1 P g = h−1 P hואז ) gh−1 ∈ NG (Pו־.(gh−1 )a(gh−1 )−1 = b
תרגיל (**) 8.4.29תהי Pחבורת סילו אבלית של .Gאם a, b ∈ Pצמודים ב־ ,Gאז הם צמודים גם
ב־) ] NG (Pמשפט זה של ברנסייד הוא תוצאה ראשונה בתחום הקרוי היום .[Fusion Theoryהדרכה.
תרגיל .8.4.28
תרגיל (***) 8.4.30תן דוגמה נגדית לתרגיל 8.4.29ללא ההנחה ש־ Pאבלית.
הדרכה .קח P = D4בתוך
.G = S4
תרגיל (**) 8.4.31נניח ש־ P1 , . . . , Ptהן תת־חבורות סילו של ) Gלראשוניים שונים( ,וכולן נורמליות .אז
⟩ ⟨P1 , . . . , Ptהיא מכפלה ישרה של החבורות.
102
.8.4משפטי סילו
פרק .8משפטי סילו
תרגיל (**) 8.4.32נניח שכל תת־חבורות סילו של חבורה סופית Gהן נורמליות .אז Gהיא מכפלה
ישרה שלהן.
תרגיל (***) 8.4.33הוכח שהשיכון G ,→ Snשמספק משפט קיילי אינו לתוך ,Anאם ורק אם תת־חבורת
2־סילו של Gהיא ציקלית ולא טריוויאלית) .ראה גם תרגיל ;10.2.20הכללה ל־ p > 2מופיעה
בתרגיל (.8.4.70
תרגיל (-***) 8.4.34
.1ל־ S5יש 15חבורות 2־סילו.
.2ל־ A5יש 5חבורות 2־סילו.
הדרכה .נסמן G = S5ו־) .a = (12)(34הראה ש־ } P = CG (a) ⊆ S4 = S{1,2,3,4היא תת־חבורת 2־סילו ,וש־ NG (P ) ⊆ S4ולכן
.NG (P ) = Pמאידך ,עבור .NH (P ∩ H) = A4 ,H = A5
תרגיל (**) 8.4.35תאר את חבורות 5־סילו של .S17
תרגיל (-***) 8.4.36הראה שתת־חבורת 2־סילו של S6איזומורפית ל־ ,Z2 × D4ושתת־חבורת 2־סילו
של S8איזומורפית ל־ ) Z2 ≀ D4ראה הגדרה .(7.3.49
תרגיל (+**) 8.4.37מצא למה איזומורפיות תת־חבורות 2־סילו של ) .SL2 (F5
הדרכה .תרגיל 3.6.39נותן פתרון
מלא .לחילופין ,הראה שב־) SL2 (F5יש איבר יחיד מסדר 2והשלם את הפתרון בעזרת תרגיל .8.3.18
תרגיל ) (-***) 8.4.38דוגמה נגדית למשפטי סילו עבור חבורות אינסופיות( יהי T : Z2 →Z2האוטומורפיזם
הראה ש־= T 4
המוגדר לפי T (x) = y −1ו־ T (y) = xכאשר x, yיוצרים את .Z2
2
נגדיר ) θ : Z4 →Aut(Z2לפי ⟨ .θ(1) = Tנתבונן בחבורה = G = Z oθ Z4
⟩.1
. x, y, σ | xy = yx, σxσ −1 = y −1 , σyσ −1 = x, σ 4 = 1הראה שמחוץ לתת־החבורה הנורמלית
⟩ ,⟨x, yכל איבר של Gצמוד בדיוק לאחד מהאברים .σ, xσ, σ −1 , xσ −1 , σ 2 , xσ 2 , yσ 2 , xyσ 2הראה
שתת־חבורות־ 2המקסימליות של Gשייכות לשלוש מחלקות צמידות )באחת חבורות מסדר ,2ובשתיים
חבורות מסדר .(4
8.4.3
תת־חבורות סילו של תת־חבורות וחבורות מנה
כדי לנסח בקלות טענות על תת־חבורות p־סילו של חבורות שונות ,נסמן ב־) Sylp (Gאת קבוצת תת־חבורות
p־סילו של .G
תרגיל (**) 8.4.39תהי .H ≤ Gלכל ) P0 ∈ Sylp (Hיש ) P ∈ Sylp (Gכך ש־.P0 = P ∩ H
P0 ≤ Hתת־חבורת p־סילו; זוהי חבורת־ pולכן יש תת־חבורת p־סילו P ≤ Gכך ש־ ;P0 ⊆ Pאז ,P0 ⊆ P ∩ Hומכיוון ש־ P ∩ Hהיא
הדרכה .תהי
חבורת־ pמתקיים שוויון.
תרגיל (+**) 8.4.40
.1תהי .H▹Gלכל ).P ∩ H ∈ Sylp (H) ,P ∈ Sylp (G
הדרכה[H : P ∩ H] = .
] [HP : P ] | [G : Pוהאינדקס ] [G : Pזר ל־.p
.2הנחת הנורמליות בסעיף הקודם -הכרחית .תן דוגמה לתת־חבורה H ≤ Gשהסדר שלה
מתחלק ב־ ,pעם ) P ∈ Sylp (Gכך ש־.P ∩ H = 1
תרגיל (***) 8.4.41תהי .N ▹Gלכל ).N P/N ∈ Sylp (G/N ) ,P ∈ Sylp (G
תרגיל (+**) 8.4.42אם תת־חבורת p־סילו של Gמוכלת בתת־חבורה נורמלית Nשל ,Gאז כל
חבורות p־סילו מוכלות ב־ .Nבפרט.np (N ) = np (G) ,
תרגיל (+**) 8.4.43אם תת־חבורת p־סילו Pשל Gמוכלת בתת־חבורה Hשל ,Gאז ≤ )np (H
) .np (Gהדרכה NH (P ) = H ∩ NG (P ) .ולכן ]) .np (H)[G : H] = [G : NH (P )] ≤ [G : H][G : NG (P
תרגיל (**) 8.4.44תהי Pתת־חבורת p־סילו של .Gלכל NG (P ) ≤ H ≤ Gמתקיים היחס [G : H] ≡ 1
) .(mod pהדרכה .לפי משפט סילו השני ותרגיל .[G : NG (P )] ≡ [G : H] ≡ 1 (mod p) ,8.4.4
תרגיל (***) 8.4.45מספר תת־החבורות מסדר piשל ) Gכאשר | (pi | |Gשקול ל־ 1מודולו .pהערה.
i
זוהי כמובן הכללה של סעיף 2במשפט סילו השני ,שם | .p || |Gהדרכה .תהי Qחבורת p־סילו של .Gבדומה להוכחת משפט
סילו השני Q ,פועלת על האוסף Ωשל תת־החבורות מסדר piב־ .Gכל נקודת שבת היא תת־חבורה Pהמוכלת ב־ Qלפי תרגיל ,8.4.14
ומספרן של אלה שקול ל־ 1לפי תרגיל .8.3.41שאר תת־החבורות שייכות למסלולים שגודלם מתחלק ב־ pככל מחלק גדול מ־ 1של |.|Q
103
פרק .8משפטי סילו
.8.4משפטי סילו
תרגיל (+**) 8.4.46החיתוך של כל תת־חבורות p־סילו הוא תת־חבורת־ pנורמלית מקסימלית של .G
כלומר :החיתוך נורמלי ,וכל תת־חבורת p־סילו נורמלית מוכלת בו.
תרגיל (**) 8.4.47תן דוגמה נגדית'' :אם P ≤ Gתת־חבורת p־סילו ו־ ,H ≤ Gאז H ∩ Pתת־חבורת
p־סילו של ) ''.Hלפי תרגיל 8.4.41הטענה נכונה אם Hנורמלית(.
תרגיל ") (***) 8.4.48טיעון פרטיני"( תהי N ▹Gו־ Pתת־חבורת סילו של .Nאז ) .G = N · NG (P
הדרכה .לכל g ∈ Gמתקיים ;gP g −1 ⊆ gN g −1 = Nלכן gP g −1תת־חבורת p־סילו של ,Nולכן קיים x ∈ Nכך ש־ .xgP g −1 x−1 = P
כלומר.g = x−1 (xg) ∈ N · NG (P ) ,
תרגיל (**) 8.4.49אם H▹Gו־ P ▹Hהיא תת־חבורת p־סילו )יחידה( של ,Hאז .P ▹G
הדרכה .טיעון פרטיני.
הערה .השווה לתרגיל ;3.3.15אכן אצלנו Pאופיינית ב־.H
8.4.4
תת־חבורות הול
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
תהי πקבוצה של ראשוניים .חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא מכפלה של ראשוניים ) p ∈ πלאו
דווקא שונים( נקראת חבורת־.π
תרגיל (**) 8.4.50האוסף של חבורות־ πסגור לתת־חבורות ,לחבורות מנה ,למכפלה של תת־חבורות
נורמליות ולאיחוד שרשראות )ראה הגדרה (.4.9.1
תרגיל (***) 8.4.51בכל חבורה מפותלת ) Gכל האברים בעלי סדר סופי( יש תת־חבורת־ πנורמלית
גדולה ביותר )היינו היא מכילה כל תת־חבורת־ πנורמלית בחבורה( .מסמנים אותה ב־) .Oπ (Gהדרכה.
תרגיל .4.9.11
תרגיל (-***) 8.4.52בכל חבורה מפותלת Gיש תת־חבורה נורמלית מסדר אי־זוגי גדולה ביותר )ככזו(.
מסמנים אותה ב־) .O2′ (Gהדרכה .זהו מקרה פרטי חשוב של תרגיל .8.4.51
הגדרה 8.4.53תת־חבורה שהסדר והאינדקס שלה זרים ,נקראת תת־חבורת הול )על שם .(Phillip Hall
תרגיל (*) 8.4.54כל תת־חבורת סילו היא תת־חבורת הול.
תרגיל (**) 8.4.55תהי N ≤ Gתת־חבורת הול .כל תת־חבורה מסדר ] [G : Nשל Gהיא תת־חבורה
משלימה של ) .Nראה הגדרה (.4.3.1
תרגיל (**) 8.4.56תת־חבורת הול נורמלית Nמכילה כל תת־חבורה של Gמסדר המחלק את | .|N
′
′
′
∼ N N ′ /Nולכן ] [N N ′ : Nהמחלק את ] [G : Nשווה ל־] [N ′ : N ∩ N ′המחלק
הדרכה .תהי Nתת־חבורה מאותו סדר .אז ) = N /(N ∩ N
′
′
את | ;N = |Nאבל מספרים אלו זרים ולכן .N ⊆ N
משפט ) 8.4.57משפט שור־זסנהאוז( לכל תת־חבורת הול נורמלית יש משלים.
הוכחה .באינדוקציה על הסדר של .Gתהי N ▹Gתת־חבורת הול ,כלומר | |Nזר ל־] .m = [G : Nראשית
נניח ש־ Nמכילה תת־חבורה 1 < K < Nשהיא נורמלית ב־ ;Gנתבונן בתת־החבורה N/Kשל .G/Kהיא
נורמלית ,וסדרה | |N/Kמחלק את | |Nולכן זר לאינדקס ] .[G/K : N/K] = [G : Nלפי הנחת האינדוקציה,
יש ב־ G/Kמשלים L/Kל־ ;N/Kכלומר N L = G ,ו־ .N ∩ L = Kלפי משפט האיזומורפיזם השני
∼ ) ,L/K = L/(N ∩ Lולכן ] [L : Kזר ל־| ,|Nובפרט זר ל־| .|Kשוב לפי הנחת
= N L/N = G/N
האינדוקציה יש ב־ Lמשלים ל־ ,Kוזוהי תת־חבורה מסדר mהמוכלת ב־.G
מעתה נוכל להניח שאין ל־ Nתת־חבורות לא טריוויאליות שהן נורמליות ב־ ,Gפרט לעצמה .אם N
אבלית ,יש לה משלים לפי תרגיל .7.4.37נניח ש־ Nאינה אבלית .יהי pראשוני המחלק את | ,|Nותהי P ≤ N
תת־חבורת p־סילו .אם P = Nאז Nחבורת־ pולכן Z(N )▹Nהיא תת־חבורה אמיתית לפי ההנחה ,לא
טריוויאלית לפי משפט ,8.3.3וזו תת־חבורה נורמלית של Gלפי תרגיל .3.3.10זוהי סתירה להנחה שאין ל־ N
תת־חבורות אמיתיות נורמליות ב־.G
אם כך ,P < N ,ולפי ההנחה Pאינה נורמלית ב־ ;Gלכן .NG (P ) < Gמכיוון ש־ ,N ▹Gגם
) .NN (P ) = N ∩ NG (P )▹NG (Pלפי טיעון פרטיני )תרגיל ,G = N · NG (P ) ,(8.4.48ומכיוון ש־
∼ ) NG (P )/NN (Pמסדר NN (P ) ,mהיא תת־חבורת הול של ) .NG (Pלפי הנחת
= N · NG (P )/N = G/N
האינדוקציה יש לה משלים )מסדר ,(mשהוא גם תת־חבורה של .G
104
.8.4משפטי סילו
פרק .8משפטי סילו
תרגיל (*) 8.4.58הראה שאם n, mאינם זרים ,אז לתת־החבורה מסדר nשל Znmאין משלים.
תרגיל (***) 8.4.59יהי pראשוני המחלק את הסדר של חבורה .Gנניח שמתקיים החוק (ab)p = ap bp
)השווה לתרגיל .(2.1.16
.1הוכח :תת־חבורת p־סילו ,P ,נורמלית ב־.G
.2הראה שיש ל־ Pמשלים נורמלי )כלומר תת־חבורה נורמלית Nכך ש־ P ∩ N = eו־(.N P = G
∼ ,Gובפרט .Z(G) ̸= e
.3הראה ש־ = P × N
הדרכה φ : x 7→ xp .הוא הומומורפיזם .חשוב על φtכאשר |.pt || n = |G
8.4.5הטרנספר
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הקוסטים G/Hעל־ידי
תהיינה H ≤ Gחבורה ותת־חבורה .כפי שראינו בסעיף G ,6.3.2פועלת על מרחב
∪
כפל משמאל .באופן מפורש ,אם נבחר ] n = [G : Hנציגים g1 , . . . , gn ∈ Gכך ש־ ,G = gi Hאז יש
הומומורפיזם ϕ : G→Snכך שלכל ,x ∈ Gהתמורה ) σ = ϕ(xמקיימת xgi H = gσ(i) Hלכל .i
הגדרה 8.4.60תהי Gחבורה עם תת־חבורה Hמאינדקס nכמתואר לעיל .מגדירים T = TG/H : G→H/H ′לפי
∏n
−1
) x 7→ i=1 gσiהמכפלה אינה תלויה בסדר משום ש־ H/H ′אבלית( .העתקה זו נקראת הטרנספר מ־ Gל־.H
xgi
תרגיל (+**) 8.4.61הראה ש־ TG/Hמוגדרת היטב )כלומר אינה תלויה בבחירת הנציגים .(gi
תרגיל (+**) 8.4.62הראה ש־ T : G→H/H ′הוא הומומורפיזם ,והסק שהוא משרה הומומורפיזם
.G/G′ →H/H ′
תרגיל (-***) 8.4.63נניח ש־ .K ⊆ H ⊆ Gהראה ש־ .TG/K = TH/K ◦ TG/H
תרגיל (**) 8.4.64אם Kתת־חבורה משלימה של ,Hאז ) .K ⊆ Ker(TG/H
ואפשר לבחור את Kכקבוצת הנציגים בפירוק ;G = ∪gi Hכך ,לכל kgi = gσ(i) ,k ∈ Kו־) TG/H (kהיא מכפלה של אברי היחידה.
הדרכה .לפי ההנחה ,G = KH
תרגיל (**) 8.4.65אם Hאבלית והצמצום של TG/Hל־ Hחד־חד־ערכי ,אז ) Q = Ker(TG/Hהוא
משלים נורמלי של .Hהדרכה .לפי ההנחה Q ∩ H = 1ולכן | ;|QH| = |Q||Hהסק .G = QH
אומרים שהטרנספר מעריכי )או מעריכי על (Hאם ] TG/H (g) = g [G:Hלכל ) g ∈ Gאו לכל .(g ∈ H
זהו המקרה שבו הטרנספר שימושי במיוחד .נזכיר שאם Qהוא משלים נורמלי של ,Hאז G = Q o Hביחס
לפעולה מתאימה של Hעל .Q
תרגיל (+*) 8.4.66אם Hהיא תת־חבורת הול )כלומר ((|H|, [G : H]) = 1והטרנספר מעריכי על ,H
אז הצמצום של TG/Hל־ Hחד־חד־ערכי )ולפי תרגיל 8.4.65יש ל־ Hמשלים נורמלי(.
משפט ) 8.4.67משפט המשלים הנורמלי של ברנסייד( תהי P ≤ Gתת־חבורת p־סילו עם ) .NG (P ) = CG (P
אז יש ל־ Pמשלים נורמלי.
∏ −1
)∏ −1 d(C
TG/P (x) = gσ(i) xgi = C gC xכאשר
הוכחה .נכתוב .G = ∪gi Pיהי .x ∈ Pלפי ההגדרהgC ,
המכפלה השניה היא על המחזורים בפעולת xעל ,G/Pו־) d(Cהוא אורך המחזור .Cכמכפלה של אברים
)−1 d(C
;gCאבל גם ) ,xd(C) ∈ CG (Pולפי תרגיל ,8.4.28
x
ב־ ,Pלכל מחזור gC ∈ P ⊆ NG (P ) = CG (P ) ,C
)−1 d(C
) xd(Cבמרכז של ) ,NG (P ) = CG (Pהוכחנו למעשה
ש־
gCצמוד ל־ ) xd(Cב־) .NG (Pמכיוון
x
gC
)∏ d(C
)−1 d(C
] [G:P
,TG/P (x) = C xוהטרנספר מעריכי על .Pסיימנו לפי
=x
.gC xאם כך
ש־ )gC = xd(C
תרגילים 8.4.66ו־.8.4.65
תרגיל (**) 8.4.68אם קיימת תת־חבורה Kכך ש־ G = KHו־ ,[K, H] = 1אז הטרנספר מעריכי.
)בפרט הטרנספר מעריכי אם ) ,H ⊆ Z(Gכי אז אפשר לקחת (.K = G
תרגיל (***) 8.4.69תת־חבורת סילו מרכזית היא מחובר ישר .כלומר ,אם P ≤ Gהיא תת־חבורת סילו
∼ Gעבור תת־חבורה .H▹Gהדרכה) .זו גרסה חלשה של משפט המשלים הנורמלי של ברנסייד(.
מרכזית ,אז = P × H
תרגילים 8.4.68 ,8.4.66ו־.7.3.13
105
פרק .8משפטי סילו
.8.5שימושים במשפטי סילו
תרגיל ] (+**) 8.4.70לואי פולב[ תהי Gחבורה ויהי pהמחלק הראשוני הקטן ביותר של | .|Gאם
חבורת p־סילו Pהיא ציקלית ,אז יש ל־ Gתת־חבורה )נורמלית( מאינדקס ) .pהשווה לתרגיל .(8.4.33
∼ ) NG (P )/CG (P ) ,→ Aut(Pלפי משפט ,N/Cו־]) [NG (P ) : CG (Pזר
הדרכה .לפי ההנחה ) ,P ⊆ CG (P ) ⊆ NG (Pאבל = Upt
ל־) ϕ(pt ) = pt−1 (p − 1לפי ההנחה .לכן ) NG (P ) = CG (Pולפי משפט המשלים הנורמלי של ברנסייד ,משפט ,8.4.67יש ל־ Pמשלים
∼ .G/Qהרם תת־חבורה מאינדקס pשל .P
נורמלי ,Qעם = P
תרגיל ) (+**) 8.4.71הכללה של תרגיל (8.4.70תהי P ≤ Gתת־חבורת p־סילו.
.1אם Pציקלית ו־| |Gזר ל־) (p − 1אז יש ל־ Pמשלים נורמלי.
.2אם |P | = p2ו־| |Gזר ל־) (p2 − 1אז יש ל־ Pמשלים נורמלי.
8.4.6
מכפלה של תת־חבורות
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הצגה של Gכמכפלה ,G = ABכאשר ,A, B < Gנקראת פירוק .הפירוק ) G = (gAg −1 )(gBg −1
המתקבל מהצמדה באיבר g ∈ Gנקרא פירוק צמוד לפירוק .G = AB
פירוקים
שני
כל
לתת־חבורות צמודות,
צמודים זה לזה
תרגיל (-***) 8.4.72הראה שאם G = ABו־ A′ , B ′צמודות בהתאמה ל־ ,A, Bאז G = A′ B ′ושני
הפירוקים צמודים .הדרכה .לפי ההנחה קיימים x, y ∈ Gכך ש־ A′ = xAx−1ו־ .B ′ = yBy −1נכתוב y = abכאשר a ∈ A
ו־ .b ∈ Bמכיוון ש־) AB = BAמשפט ,(4.2.6אפשר גם לכתוב a−1 xa = b1 a1כאשר a1 ∈ Aו־ .b1 ∈ Bנבחר ,g = ab1אז
−1
= xAx−1 = A′
gAg −1 = ab1 Ab−1ו־ ,gBg −1 = aBa−1 = yBy −1 = B ′ולכן .A′ B ′ = g(AB)g −1 = G
1 a
תרגיל (**) 8.4.73נניח ש־ G = A1 A2הוא פירוק של Gכמכפלה של תת־חבורות ,ו־ Pi ≤ Aiהן
תת־חבורות p־סילו.
.1אם P1 P2 ⊆ Pכאשר Pתת־חבורת p־סילו של ,Gאז P
| |P1 | · |P2ולכן הוא חזקת־ .pמאידך,
] [A1 :P1 ][A2 :P2
] [A1 ∩A2 :P1 ∩P2
= ] = [A1 A2 : P1 P2
= .P1 P2
||G
|P Pזר ל־ ,pולכן .P1 P2 = P
הדרכה .הסדר של P1 P2מחלק את
|1 2
.2אם P = P1 P2היא תת־חבורה של ,Gאז זוהי חבורת p־סילו ו־) .P = (P ∩ A1 )(P ∩ A2
הדרכה.
לפי טענה P 4.2.10היא חבורת־ ,pוהאינדקס שלה
] [A1 :P1 ][A2 :P2
] [A1 ∩A2 :P1 ∩P2
= ] [G : P ] = [A1 A2 : P1 P2זר ל־.p
השוויון
) P = (P ∩ A1 )(P ∩ A2מתקבל מהכלה בשני הכיוונים.
תרגיל (***) 8.4.74נניח ש־ .G = A1 A2אז יש תת־חבורות p־סילו P1 ≤ A1ו־ P2 ≤ A2כך ש־ P1 P2
היא תת־חבורת p־סילו של .Gהדרכה .נבחר ) P1 ∈ Sylp (A1ו־) .P2′ ∈ Sylp (A2תהיינה ) Q, Q′ ∈ Sylp (Gכך ש־P1 ⊆ Q
פירוק של החבורה
של
פירוק
משרה
תת־חבורות p־סילו
ו־ ) P2′ ⊆ Q′משפט (.8.4.20מכיוון ש־ Q′צמודה ל־ ,Qיש x ∈ Gכך ש־ ,Q = xQ′ x−1ואז ⊆ Q
,P2 = xP2′ x−1ו־ P2תת־חבורת p־סילו
של .xA2 x−1לפי תרגיל ,G = A1 (xA2 x−1 ) ,8.4.72ומכיוון ש־ P1 P2 ⊆ Qהיא מכפלה של תת־חבורות p־סילו של A1 , xA2 x−1בהתאמה,
יש שוויון לפי תרגיל .8.4.73
תרגיל (+**) 8.4.75פתור את תרגיל 8.4.74בהנחה ש־.A2 ▹G
ש־ .P ⊆ Qאז ) P2 = Q ∩ A2 ∈ Sylp (A2לפי תרגיל 8.4.40ו־ P P2 = Qלפי תרגיל .8.4.73
הדרכה .תהי ) P ∈ Sylp (A1ותהי ) Q ∈ Sylp (Gכך
8.5
שימושים במשפטי סילו
אם לחבורה Gיש תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית ,Nאפשר ללמוד אותה דרך Nוחבורת המנה G/N
) Gהיא הרחבה של G/Nעל־ידי .(Nאבני הבנין של תורת החבורות הן ,אם כן ,החבורות הפשוטות ,אלו
שאין להן תת־חבורות נורמליות.
8.5.1
נומרולוגיה
תרגיל (*) 8.5.1החבורות האבליות הפשוטות הן החבורות Zpעבור pראשוני.
תרגיל (*) 8.5.2חבורה מסדר (1 < t) ptאינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.3אם (k < p) |G| = kptאז .np = 1לדוגמא ,חבורות מסדר ,162 ,98 ,54 ,51 ,44 ,42 ,18
. . .אינן פשוטות.
106
.8.5שימושים במשפטי סילו
פרק .8משפטי סילו
תרגיל (**) 8.5.4חבורה מסדר 50אינה פשוטה.
תרגיל (***) 8.5.5תהי Gחבורה מסדר .75
.1תת־חבורת 5־סילו של Gהיא יחידה ולכן נורמלית.
.2אם תת־חבורת 3־סילו של Gהיא נורמלית ,אז Gאבלית.
.3אם תת־חבורת 5־סילו היא ציקלית ,אז היא מרכזית ו־ Gאבלית.
.4בנה חבורה מסדר 75שיש בה 25תת־חבורות 3־סילו.
הדרכה .תרגיל .7.3.32
תרגיל (**) 8.5.6חבורה מסדר 42אינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.7חבורה מסדר 130אינה פשוטה .מצא חבורה לא אבלית מסדר זה.
תרגיל (-**) 8.5.8חבורה מסדר 15היא ציקלית.
תרגיל (**) 8.5.9תהי Gחבורה מסדר .28
.1חבורת 7־סילו P7היא נורמלית.
.2אם Gלא אבלית ,אז .|G′ | = 7
∼ ).G/Z(G
.3אם Gלא אבלית ויש לה תת־חבורה נורמלית מסדר ,2אז = D7
תרגיל (**) 8.5.10יהיו p < qראשוניים כך ש־) .q ̸≡ 1 (mod pאז כל חבורה מסדר pqהיא ציקלית.
)בפרט ,חבורות מסדר . . . ,85 ,77 ,69 ,65 ,51 ,35 ,33 ,15הן ציקליות(.
תרגיל (**) 8.5.11נניח ש־ ,pt || n = pt mואין אף מחלק של ,mפרט ל־ ,1השקול ל־ 1מודולו .pאז
תת־חבורת p־סילו של כל חבורה מסדר nהיא נורמלית )ולכן חבורה כזו אינה פשוטה( .בפרט ,החבורות
מסדר . . . ,225 ,200 ,195 ,175 ,165 ,140 ,135 ,84 ,70 ,63 ,45 ,40אינן פשוטות .זוהי הכללה של תרגיל .8.5.3
תרגיל (-**) 8.5.12חבורה מסדר 45אינה פשוטה.
תרגיל (+*) 8.5.13חבורה מסדר 84אינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.14חבורה מסדר 1001 = 7 · 11 · 13היא ציקלית.
תרגיל (-***) 8.5.15אין חבורות פשוטות מסדר .p2 q
תרגיל (-***) 8.5.16יהיו p < qראשוניים כך ש־) .q ̸≡ ±1 (mod pהראה שכל חבורה מסדר p2 q 2היא
אבלית .הדרכה .תרגיל .8.4.32
תרגיל (***) 8.5.17נניח ש־ n = p1 · · · ptהוא מכפלה של ראשוניים שונים .נניח שלכל מחלק 1 ̸= d | n
מתקיים .(d − 1, n) = 1הראה שהחבורה היחידה מסדר nהיא .Znהדרכה .הראה שכל תת־חבורת סילו של Gהיא
נורמלית.
תרגיל (***) 8.5.18אם ,(n, ϕ(n)) = 1אז החבורה היחידה מסדר nהיא ציקלית.
הדרכה .תהי Gדוגמא נגדית מינימלית ,מסדר .nלכל מחלק אמיתי m | nמתקיים (m, ϕ(m)) = 1ולכן כל תת־חבורה אמיתית של G
היא ציקלית .לפי תרגיל G ,6.4.71אינה פשוטה .תהי N ▹Gתת־חבורה נורמלית .לפי הנחת האינדוקציה N ,ציקלית ולכן ) .N ⊆ CG (Nלפי
משפט G/CG (N ) ,→ Aut(N ) ,N/Cשהיא חבורה מסדר ) .ϕ(|N |) | ϕ(nמאידך |) |G/CG (Nמחלק את ,nולפי ההנחה ) ,G = CG (N
כלומר ) .N ⊆ Z(Gמכיוון ש־ G/Nציקלית לפי הנחת האינדוקציה ,גם ) G/Z(Gציקלית ולכן Gאבלית .אבל מהתנאי נובע ש־ nמכפלה של
ראשוניים שונים ,ושכל תת־חבורות סילו של Gנורמליות וציקליות .סיים בעזרת תרגיל .8.4.32
הערה .התנאי על nשקול לכך ש־ n = p1 · · · ptהוא מכפלה של ראשוניים שונים ,ו־ (pi , pj − 1) = 1לכל ;i, j
לכן זו גרסה חזקה של תרגיל .8.5.17
תרגיל (**) 8.5.19אם (n, ϕ(n)) > 1אז יש חבורה )אבלית( לא ציקלית מסדר ) nיחיד עם תרגיל ,8.5.18
יש חבורה יחידה מסדר nאם ורק אם .(.(n, ϕ(n)) = 1
תרגיל (-**) 8.5.20מצא nהמקיים את התנאי של תרגיל ,8.5.17אבל לא את זה של תרגיל .8.5.18
107
פרק .8משפטי סילו
.8.5שימושים במשפטי סילו
תרגיל (**) 8.5.21תהי Gחבורה מסדר ,(p, m) = 1 ,mpעם תת־חבורת p־סילו נורמלית .Pנניח
ש־ .(p − 1, m) = 1הראה ש־) .P ⊆ Z(Gהדרכה .משפט .N/C
תרגיל (**) 8.5.22תהי Gחבורה מסדר .385 = 5 · 7 · 11
P11 ,P7 .1נורמליות ב־.G
) P7 ⊆ Z(G) .2תרגיל .(8.5.21
Z(G) = P7 .3או ש־ Gציקלית.
8.5.2
ספירת אברים
גם אם מבחינה נומרית נראה שהערך של npעשוי להיות גדול מ־ ,1לפעמים אפשר לפסול אפשרות זו בעזרת
ספירת איברים בחבורה ,המראה שהערכים המוצעים ל־ npגדולים מכדי להיות אפשריים.
תרגיל (*) 8.5.23אם P1 , P2 ≤ Gתת־חבורות שונות מסדר , pאז .P1 ∩ P2 = 1
תרגיל (*) 8.5.24אם | ,p || n = |Gאז מספר האברים מסדר pשווה ל־ .(p − 1)np
תרגיל (**) 8.5.25חבורה מסדר 56אינה פשוטה.
הדרכה .אחרת ,n7 = 8ויש 48אברים מסדר .7שאר 8האברים מרכיבים
חבורת 2־סילו יחידה.
תרגיל (***) 8.5.26נראה שיש בדיוק 4חבורות מסדר .30תהי Gחבורה מסדר זה.
.1לפחות אחת מתת־חבורות סילו P5 ,P3של Gהיא נורמלית.
.2ל־ Gיש תת־חבורה מסדר ) 15שהיא נורמלית לפי האינדקס וציקלית לפי תרגיל .(8.5.8
G .3איזומורפית לאחת מבין החבורות הבאות Z5 × D3 ,D15 ,Z30 :או .Z3 × D5
.4הראה שארבע החבורות הללו אינן איזומורפיות זו לזו.
תרגיל (***) 8.5.27תהי Gחבורה מסדר .105
המתאימים.
נסמן ב־ P3 , P5 , P7תת־חבורות סילו מהסדרים
.1לפחות אחת מתת־החבורות P5ו־ P7נורמלית ב־.G
H = P5 P7 .2היא תת־חבורה ציקלית של ,Gמאינדקס .3
.H▹G .3
הדרכה.
תרגילים 4.2.12ו־.8.5.10
הדרכה .תרגיל .6.3.26
.4יהי x ∈ Hאיבר מסדר ,35ויהי y ∈ Gאיבר מסדר .3אז ⟩.G = ⟨x, y
{
}
−1
∼ ).Aut(H
∈ x, x11 , x16 .5
∼ = U35
.yxyהדרכה= U5 × U7 .
⟩ ⟨
הדרכה.P5 = x7 .
P5 ⊆ Z(G) .6
⟨
⟩
N = x5 , y .7היא תת־חבורה נורמלית מסדר 21של .G
∼ .G
= Z5 × N .8
.9הראה שיש שתי חבורות מסדר ,105עד כדי איזומורפיזם Z105 :ו־) .Z5 ×(Z7 o Z3
הדרכה .תרגיל .8.1.11
תרגיל (+**) 8.5.28אין חבורות פשוטות מסדר .132
תרגיל (***) 8.5.29יהי p > 2ראשוני .נוכיח שיש חבורה מסדר ) p(p + 1שחבורת p־סילו שלה אינה
נורמלית ,אם ורק אם pהוא ראשוני מרסן )כלומר p = 2r − 1עבור rמתאים ,שהוא בהכרח ראשוני(.
הערה .במקרה זה p(p + 1)/2הוא מספר משוכלל.
.1תהי Gחבורה מסדר ) p(p + 1כאשר p > 2ראשוני ,שחבורת p־סילו שלה אינה נורמלית.
)א( בחבורה יש p2 − 1אברים מסדר .p
108
.8.5שימושים במשפטי סילו
פרק .8משפטי סילו
)ב( לכל חבורת p־סילו .P = CG (P ) = NG (P ) ,P
הדרכה P ⊆ CG (P ) ⊆ NG (P ) .ו־= ]) [G : NG (P
] .p + 1 = [G : P
)ג( נסמן ב־ Xאת קבוצת האברים שאינם שייכים לאף חבורת p־סילו .אז .|X| = p
)ד( יהי .x ∈ Xאז [x] ⊆ Xו־.CG (x) ⊆ {1} ∪ X
)ה( [x] = Xו־}.CG (x) = X ∪ {1
הדרכה x .אינו מרכז אף איבר של חבורת p־סילו.
הדרכה.|CG (x)| · |[x]| = |G| .
)ו( } H = X ∪ {1היא תת־חבורה נורמלית מסדר ,p + 1שכל אבריה הלא־טריוויאליים צמודים
ב־.G
r
∼
)ז( pהוא ראשוני מרסן; ולמעשה H = Z2עבור rמתאים .הדרכה .משפט קושי על .H
.2יהי p = 2r − 1ראשוני מרסן .אז יש חבורה מסדר ) p(p + 1שבה חבורת p־סילו אינה נורמלית.
הדרכה .יש ) a ∈ GLr (F2מסדר ;pהגדר G = Zr2 o Zpבעזרת .a
תרגיל (-***) 8.5.30הראה שמספר השלשות שאפשר לבחור בקבוצה בת mאברים כך שלשתי שלשות
m−1 2
שונות יש לכל היותר נקודה אחת משותפת ,אינו עולה על .( 2 ) −2הדרכה .נסמן את המספר המקסימלי ב־).g(m
.g(m) ≤ ⌊ m−1
בחר נקודה בקבוצה; יש שני סוגי שלשות -אלו העוברות דרך הנקודה הזו ,ואלו שאינן עוברות דרכה .הסק ש־)2 ⌋ + g(m − 1
תרגיל (**) 8.5.31נניח שחבורות 2־סילו של Gאיזומורפיות ל־ .Z2 × Z2הראה שהקבוצות של אברים
לא טריוויאליים בחבורות 2־סילו מהוות שלשות שאין לאף שתיים מהן יותר מנקודה√משותפת .הראה
שאם יש לחבורה n2חבורות סילו ,אז מספר האברים מסדר 2הוא לפחות .1 + 2 n2 + 2הדרכה .אם
2
.n2 ≤ ( m−1
מספר האברים הוא mאז לפי תרגיל 2 ) − 2 ,8.5.30
8.5.3
פעולה על תת־חבורות
כלי נוסף במלחמה נגד החבורות הפשוטות הוא העידון של משפט קיילי )משפט .(6.3.18
תרגיל (**) 8.5.32אם [G : H] = nו־ Gחבורה פשוטה ,אז .G ≤ An
הדרכה .העידון של משפט קיילי ,והחיתוך .G ∩ An
תרגיל (**) 8.5.33תהי Hתת־חבורה מאינדקס ,pשהוא הראשוני הקטן ביותר המחלק את הסדר של
.Gהוכח ש־ Hנורמלית.
תרגיל (***) 8.5.34תהי Pתת־חבורת p־סילו של ,Gונניח שהיא אינה נורמלית .הראה ש־ Pאינה
מוכלת ב־)) .CoreG (NG (Pהדרכה .אחרת ,לפי תרגיל P1 ⊆ CoreG (NG (P )) ⊆ NG (P ) ,8.4.42לכל תת־חבורת p־סילו
,P1 ≤ Gאבל ל־) NG (Pיש תת־חבורת p־סילו יחידה.
תרגיל (***) 8.5.35תהי Pתת־חבורת p־סילו של ,Gונניח שהיא אינה נורמלית.
])) .p | [G : CoreG (NG (Pהדרכה .תרגיל .8.5.34הערה .כידוע ]) .np = [G : NG (Pלפי העידון של משפט קיילי
ומכיוון ש־.pnp | [G : CoreG (NG (P ))] | np ! ,(p, np ) = 1
הראה ש־
תרגיל (**) 8.5.36לחבורה מסדר 24יש תת־חבורה נורמלית מסדר 4או .8
תרגיל (**) 8.5.37אם ,(m, p) = 1 ,|G| = pt mו־| |Gאינו מחלק את ! ,mאז Gאינה פשוטה .בפרט,
החבורות מסדר . . . ,160 ,108 ,80 ,48 ,36 ,24 ,12אינן פשוטות.
תרגיל (***) 8.5.38תהי Gחבורה מסדר .36נניח שחבורת 3־סילו של Gאינה נורמלית.
.1יש ל־ Gתת־חבורה נורמלית Qמסדר .3
.Q ⊆ Z(G) .2
הדרכה .משפט
N/Cותרגיל .8.4.49
.3חבורת 2־סילו של Gנורמלית.
∼ G/Qולכן יש תת־חבורה K▹Gכך ש־K/C
הדרכה .לפי העידון של משפט קיילי = A4
מסדר .4אז ,|K| = 12ו־) ;Q ⊆ Z(Kהראה שתת־חבורת 2־סילו של Kנורמלית ב־ Kולפי תרגיל 8.4.49גם ב־.G
תרגיל (+*) 8.5.39חבורה מסדר 96אינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.40אין חבורה פשוטה מסדר .150
תרגיל (**) 8.5.41אין חבורה פשוטה מסדר .216
109
פרק .8משפטי סילו
.8.5שימושים במשפטי סילו
תרגיל (**) 8.5.42חבורה מסדר 108אינה פשוטה :הראה שיש לה תת־חבורה נורמלית מסדר 9או .27
תרגיל (**) 8.5.43חבורה מסדר 224 = 25 · 7אינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.44אם | |Gאינו מחלק את ! npאז Gאינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.45חבורה מסדר 72 = 23 · 32אינה פשוטה.
תרגיל (**) 8.5.46חבורה מסדר 300אינה פשוטה.
הדרכה .תרגיל .8.5.44
תרגיל (-***) 8.5.47אין חבורות פשוטות מסדר .120
תרגיל (***) 8.5.48חבורה מסדר 90אינה פשוטה.
הדרכה .תרגיל .8.5.44
הדרכה .אחרת ,n5 = 6ואז ) .G ≤ S6השווה לתרגיל (.10.2.10
הדרכה .אחרת ,n5 = 6ואז .G ≤ S6אם G ≤ A6אז .[A6 : G] = 4
תרגיל (***) 8.5.49חבורה מסדר 112אינה פשוטה.
הדרכה .אחרת n2 = 7ו־ .G ≤ S7חשב את ) ) NG (P7עד כדי
איזומורפיזם( ,והראה שלא יתכן .G ≤ A7
תרגיל (***) 8.5.50נניח ש־ 2tהיא חזקת 2המקסימלית המחלקת את ! ,mכאשר mאיזוגי .הוכח
t
שחבורה מסדר 2 mאינה פשוטה .הדרכה .אם כן ,קיים שיכון של Gב־ ,Smשאינו מוכל ב־ .Am
תרגיל (**) 8.5.51תהי Gחבורה מסדר p2 mכאשר .(p, m) = 1אם יש ל־ Gשתי תת־חבורות p־
m
סילו P1 , P2שהחיתוך שלהן ,Q = P1 ∩ P2 ̸= 1אז [G : C] ≤ p+1כאשר ) .C = CG (Qהדרכה .מכיוון
ש־) [C : P1 ] ≥ [P2 : Q] = p ,P1 , P2 ⊆ CG (Qלפי תרגיל ) ,4.5.1.(2ו־] [C : P1זר ל־ .pלמעשה ) ,[C : P1 ] | [C : NC (P1 )] = np (Cכאשר
) np (Cהוא מספר תת־חבורות p־סילו של ,Cו־ np (C) > 1שהרי .P2 ⊆ C
הערה .לפי תרגיל ,8.4.22אם ) np ̸≡ 1 (mod p2
אז יש תת־חבורות p־סילו שונות שהחיתוך ביניהן מסדר .p
תרגיל (**) 8.5.52אם תת־חבורת p־סילו P ≤ Gהיא אבלית ,אז הסדר של המנה ) NG (P )/CG (Pזר
ל־ .pהדרכה .P ⊆ CG (P ) ⊆ NG (P ) .זהו עידון של משפט .7.2.11
תרגיל (-***) 8.5.53בהמשך לתרגיל ,8.5.51נניח שתת־חבורות p־סילו של Gהן ציקליותQ = P1 ∩ P2 ,
p−1
∼ ) Aut(Pמסדר
מסדר ,pו־) .C = CG (Qאז ) .[G : C] ≤ p+1 np (Gהדרכה .נסמן ) .C1 = CG (P1לפי הנתון = Up2
) ,p(p − 1ולפי תרגיל [NG (P ) : C1 ] ,8.5.52מחלק את .p − 1כמו בתרגיל ,p + 1 ≤ np (C) = [C : NC (P )] | [C : C1 ] ,8.5.51ולכן
).(p + 1)[G : C] ≤ [G : C] · [C : C1 ] = [G : C1 ] = np (G) · [NG (P ) : C1 ] | (p − 1)np (G
תרגיל (***) 8.5.54תהי Gחבורה מסדר .180נוכיח שהיא אינה פשוטה .נניח שכן.
.1אין ל־ Gתת־חבורות מאינדקס ≥ .6
n3 = 10 .2ו־.n5 = 36
.3כל שתי תת־חבורות 3־סילו נחתכות באופן טריוויאלי.
הדרכה .אחרת יש Q = P ∩ P ′מסדר ,3והאינדקס של
) N = CG (Qהוא לכל היותר ;5ראה תרגיל .8.5.51
.4קבל סתירה על־ידי ספירת אברים.
תרגיל (***) 8.5.55תהי Gחבורה מסדר .400נוכיח שהיא אינה פשוטה.
.1אם יש יותר מתת־חבורת 5־סילו אחת אז מספרן .n5 = 16
.2אם החיתוך של כל שתי תת־חבורות 5־סילו טריוויאלי ,אז חבורת 2־סילו נורמלית.
.3אם Qהוא חיתוך לא טריוויאלי של שתי תת־חבורות 5־סילו אז ) Q ⊆ Z(Gאו .[G : CG (Q)] ≤ 2
הדרכה .תרגיל .8.5.51
תרגיל (***) 8.5.56תהי Gחבורה מסדר .144
.1אם יש ל־ Gתת־חבורה Hמסדר ≤ ,24אז Gאינה פשוטה.
.2נניח ש־ .n3 = 1אז יש תת־חבורה נורמלית Pמסדר .9אם Pציקלית ,אז .[G : CG (P )] ≤ 2
110
.8.5שימושים במשפטי סילו
פרק .8משפטי סילו
.3נניח ש־ .n3 = 4אז ) NG (Pמסדר ,36עם חבורת 3־סילו יחידה .Pהוכח שקיימת תת־חבורה H
מסדר .P ⊂ H ⊂ NG (P ) ,18
.4נניח ש־.n3 = 16
)א( אם החיתוך של כל שתי תת־חבורות 3־סילו טריוויאלי ,אז תת־חבורת 2־סילו היא נורמלית.
)ב( אם Q = P1 ∩ P2 ̸= 1חיתוך של שתי חבורות 3־סילו ,אז |).36 ≤ |CG (Q
הדרכה .תרגיל .8.5.51
)ג( הראה שאם לא קיימת תת־חבורה מסדר 72של ,Gאז ).NG (Q) = CG (Q
∼ .NG (Q)/Q
)ד( אם Qאינה במרכז של ,Gאז )) ,Q ⊆ Z(NG (Qו־ = A4
תרגיל (***) 8.5.57תהי Gחבורה מסדר .210
.1אם n7 ̸= 15או n5 ̸= 21אז יש תת־חבורה נורמלית מסדר 7 ,5או .35
.2
אם ,n3 = 7אז .n5 = 1הדרכה .נניח ש־ ;n3 = 7אז .|NG (P3 )| = 30נסמן )) .C = CoreG (NG (P3לפי תרגיל ,8.5.34
,P3 ̸⊆ Cולכן | |Cמחלק את .10אם |C| = 5סיימנו; אם |C| = 10אז תת־החבורה מסדר 5היא אופיינית ב־ Cושוב סיימנו
)תרגיל .(7.2.39נניח ש־} ;|C| ∈ {1, 2לפי העידון של משפט קיילי יש שיכון ,G/C ,→ S7אבל NG (P3 )/Cמסדר 15או מכילה
תת־חבורה מסדר זה ,ולפי תרגיל 8.5.8יש ב־ S7איבר מסדר ,15מה שאינו נכון.
.3נניח ש־ .n7 = 15 ,n5 = 21תהי P3תת־חבורת 3־סילו של .G
)א( הראה ש־.n3 ̸= 70
)ב(
הדרכה.
ספירת אברים.
הראה ש־.n3 ̸= 10
) NG (P3 ) ≤ NG (P7בסתירה לסדרים.
הדרכה .אחרת ) NG (P3מסדר 21ויש תת־חבורת 7־סילו P7שהיא נורמלית ב־) ,NG (P3אבל אז
)ג( .n3 ̸= 7
הדרכה .סעיף .2
)ד( הסק ש־.P3 ▹G
)ה( קיימת תת־חבורה A ≤ Gמסדר .105
)ו( הוכח ש־ Aציקלית
הדרכה .תת־חבורות סילו של
)הדרכה .תרגיל 8.5.10עבור
.G/P3
.(A/P3
)ז( יש שמונה חבורות )לא איזומורפיות( מסדר 210עם תת־חבורה ציקלית מאינדקס .2
תרגיל (***) 8.5.58תהי Gחבורה מסדר .240נראה שיש לה תת־חבורה נורמלית מאחד הסדרים
.2, 4, 8, 16, 5, 10, 20
.n5 ∈ {1, 6, 16} .1אם n5 = 1אז יש־ Gתת־חבורה נורמלית מסדר .5
.2אם n5 = 6אז |)) |CoreG (NG (Pמחלק את .8
.3
אם np = 16אז }.n3 ∈ {1, 4, 16
יחידה .מכיוון שכל אלו צמודות זו לזו.n3 | n5 ,
הדרכה .תרגיל .8.5.35
הדרכה .המנרמל של תת־חבורת סילו מסדר 5הוא מסדר ,15ומכיל תת־חבורת 3־סילו
)א( אם n3 = 1יש תת־חבורה נורמלית מסדר .9
)ב( אם n3 = 4יש תת־חבורה נורמלית מסדר 10או .20
)ג( אם n3 = 16אז .n2 = 1
הדרכה .תרגיל .8.5.35
הדרכה 16 .החבורות מסדר 15נחתכות באופן טריוויאלי; ספור אברים.
תרגיל (***) 8.5.59תהי Gחבורה מסדר .540 = 22 33 5נראה שהיא אינה פשוטה.
.1כרגיל npהוא מספר תת־חבורות p־סילו .אז ,n3 = 1, 4, 10ו־.n5 = 1, 6, 36
.2אם n3 = 1או ,n5 = 1אז יש ל־ Gתת־חבורה נורמלית מאינדקס 3או .5
.3אם n3 = 4או n5 = 6אז יש ל־ Gתת־חבורה נורמלית מאינדקס 30 ,12 ,6 ,4או .60
.4נניח ש־ n3 = 10ו־ .n5 = 36נסמן את הקבוצה של תת־חבורות 3־סילו ב־ .Ω3
)א( תהי Pתת־חבורת 5־סילו .אז ) T = NG (Pמסדר ,15ולכן Tאינו מוכל במנרמל של אף
.Q ∈ Ω3הסק שבפעולת ההצמדה של Tעל Ω3יש שני מסלולים בגודל .5הדרכה .לפעולה
אין נקודות שבת לפי תרגיל .6.4.68
111
פרק .8משפטי סילו
.8.5שימושים במשפטי סילו
)ב( תהי Q0תת־חבורת 3־סילו של ) Tשהיא מסדר .(3פעולת ההצמדה של Q0על Ω3היא
טריוויאלית )הדרכה .העלה יוצר של Tבחזקת ,(5ולכן היא מנרמלת כל .Q ∈ Ω3הסק ש־ Q0מוכלת
בכל ) Q ∈ Ω3תרגיל .(8.4.15
)ג( ל־ Gיש תת־חבורה נורמלית מסדר 3או .9
הדרכה .תרגיל .8.4.46
∼ .G
תרגיל (+**) 8.5.60אם Gחבורה פשוטה מסדר ,60אז = A5
הדרכה .לפי תרגילים 6.3.22ו־ ,6.3.23אם יש ל־G
∼ Gוגמרנו ,ובכל מקרה אין לה תת־חבורה מאינדקס קטן מ־ .5לכן n3 = 10 ,n2 = 15ו־) n5 = 6ולכן
תת־חבורה מאינדקס 5אז = A5
.(G ⊆ A6מכאן שיש לחבורה 20אברים מסדר 3ו־ 24מסדר .5לכן יש לה לכל היותר 15אברים מסדר חזקת ,2ומכאן שיש חבורות 2־סילו
עם חיתוך Qלא טריוויאלי .לפי תרגיל ,8.5.51המרכז ) CG (Qהוא מאינדקס ≥ .5
תרגיל (***) 8.5.61תהי Gחבורה פשוטה מסדר .168 = 23 · 3 · 7נראה ש־) ∼ PSL3 (F2
= .Gהערה.
הרעיון הוא למצוא מבנה גאומטרי שעליו החבורה פועלת ,כפי שעושה ) PSL3 (F2לפי תרגיל .6.9.18
.1לכל תת־חבורה H < Gיש סדר .|H| ≤ 24
הדרכה .האינדקס .[G : H] ≥ 7
.2כרגיל נסמן ב־ npאת מספר תת־חבורות p־סילו של .Gאז .n7 = 8לכן יש שיכון ,G ⊆ A8
המוגדר לפי פעולת ההצמדה של Gעל 8תת־חבורות 7־סילו.
.3נראה ש־.n3 = 28
)א( }.n3 ∈ {7, 28
)ב( הראה שכל תת־חבורה Hמסדר 21של A8צמודה לחבורה ⟩).⟨(1234567), (235)(476
הדרכה .אפשר להניח ש־ .σ = (1234567) ∈ Hתת־החבורה מסדר 7היא נורמלית ,אבל Hאינה אבלית או שהיה בה איבר
מסדר ,21ולפי משפט N/Cיש איבר τ ∈ Hמסדר 3המקיים .τ στ −1 = σ 2
)ג( Gמכילה תת־חבורה מסדר ,21ולכן לכל האברים מסדר 3ב־ Gיש מבנה המחזורים
2 2
] .[3 1הדרכה .לטענה הראשונה התבונן במנרמל של תת־חבורת 7־סילו .כל תת־החבורות מסדר 3צמודות זו לזו.
)ד(
.n3 = 28
מסדר .3לכן מספר הזוגות )איבר מסדר ,3מנרמל של חבורת 7־סילו המכילה אותו( הוא .2n3 · 2 = 8 · 14
הדרכה .כל איבר מסדר 3מייצב שתי תת־חבורות 7־סילו ולכן שייך לשני מנרמלים .בכל מנרמל יש 14אברים
.4נראה ש־.n2 = 21
)א( }.n2 ∈ {7, 21
)ב( סדרי האברים בחבורה הם )לכל היותר( .1, 2, 3, 4, 6, 7
)ג( יש בחבורה 1, 56, 48אברים מסדר ,1, 3, 7בהתאמה; נסמן ב־ k2 , k4 , k6את מספר האברים
מסדר ,2, 4, 6בהתאמה .אז .k2 + k4 + k6 = 63
)ד(
.k6 = 0
רק 7 = 63 − 56אברים מסדר חזקת־ ,2ותת־חבורת 2־סילו תצטרך להיות אבלית.
הדרכה .אם k6 > 0אז יש איבר מסדר 3שהוא ריבוע ,אבל אז כולם כאלה כי הם צמודים ולכן ;k6 ≥ 56זה משאיר
)ה( יש 63אברים מסדר חזקת־ ,2ואם n2 = 7יש לכל היותר 7 · (8 − 1) = 49אברים כאלה.
לכן .n2 > 7
.5נראה שיש תת־חבורות 2־סילו ,S, S ′ ,עם חיתוך בגודל .4
)א( יש ) S, S ′ ∈ Syl2 (Gכך ש־}.U = S ∩ S ′ ∈ {2, 4
הדרכה .אחרת יש 21 · (8 − 1) = 147אברים מסדר
חזקת .2
)ב( נניח ש־ |U | = 2ונסמן ) .N = NG (Uנראה ש־}.|N | ∈ {8, 24
.|N | ∈ {8, 12, 24} .i
הדרכה .מחד NS (U ) ≤ N ,ולכן | |Nמתחלק ב־ ,4והסדר אינו 4כי גם ;NS ′ (U ) ≤ N
מאידך .[G : N ] ≥ 7
.ii
לא יתכן ש־ .|N | = 12הדרכה .המנרמל של תת־חבורת 3־סילו ב־ Gהוא מסדר ,6ולכן אין ל־ Nתת־
חבורה נורמלית מסדר ;3מכאן שיש לה תת־חבורה נורמלית מסדר ,4אבל אז מ־ |N ∩ S| = N ∩ S ′ = 4נובע
N ∩ S = N ∩ S ′בסתירה להנחה ש־.|U | = 2
)ג( אם |N | = 24אז יש תת־חבורות 2־סילו עם חיתוך מסדר .4
הדרכה N .אינו יכול להכיל את SS ′שיש
בה |S|S ′ /S ∩ S ′ = 32אברים; נניח ש־ ,S ̸⊆ Nאז ) S ∩ N = NS (Uמסדר ,4ולכן יש )S ′′ ∈ Syl2 (N ) ⊆ Syl2 (G
כך ש־ ,S ∩ N ⊆ S ′′ואז S ∩ S ′′מסדר .4
)ד( אם |N | = 8אז ,|N ∩ S| = 4כפי שרצינו.
112
.8.5שימושים במשפטי סילו
פרק .8משפטי סילו
.6לכל תת־חבורה C ≤ Gמסדר 24יש שבעה צמודים ,ויש בה שלוש תת־חבורות 2־סילו וארבע
תת־חבורות 3־סילו של .Gהדרכה NG (C) = C .כי Cאינה נורמלית ב־ ,Gוהיא תת־חבורה מקסימלית .חבורות 2־ או
3־סילו של Gאינן יכולות להיות נורמליות ב־ Cמשום שהמנרמלים שלהן ב־ Gהם מסדר 8או ,6בהתאמה.
.7נבחר ) S, S ′ ∈ Syl2 (Gעם L = S ∩ S ′מסדר ,4ונסמן ) .A = NG (Lאז .|A| = 24
הדרכה.
) S, S ′ ≤ NG (Lכי ,L▹S, S ′אבל ,NG (L) ̸= Gולכן |) |NG (Lמתחלק ב־ ,8גדול מ־ ,8ואינו עולה על .24
.8החיתוך של כל שני צמודים של Aהוא מסדר .4
הדרכה .יש 28תת־חבורות 3־סילו ,ולפי התכונות של Aבסעיף ,6כל
אחת מהן שייכת לצמוד אחד בדיוק של ,Aומכאן שהחיתוך אינו מכיל חבורה מסדר 3ולכן הוא חבורת־ .2אותו נימוק )יש 21תת־חבורות
2־סילו של ,Gוב־ Aיש שלוש תת־חבורות 2־סילו( מראה שהחיתוך אינו מסדר .8מצד שני לכל צמוד .7 = [G : A] ≥ [A′ : A ∩ A′ ] ,A′
.9נבחר A′צמוד ל־ Aו־ .T = A ∩ A′אז ) B = NG (Tהוא מסדר .24לכן Tמוכלת בשלוש
תת־חבורת 2־סילו של ,Bששתיים מהן הן A ∩ Bו־.A′ ∩ B
.10נתבונן במערכת שהנקודות שלה הן הצמודים של ,Aוהישרים הם הצמודים של ;Bנאמר שנקודה
נמצאת על ישר אם החיתוך של החבורות המתאימות הוא חבורת 2־סילו של .Gהראה שזוהי
גאומטריה פרוייקטיבית ,שהופיעה בתרגיל .6.9.14
G .11פועלת על הגאומטריה לפי הצמדה ,ומהווה חבורת הסימטריות המלאה שלה.
∼ .G
= GL3 (F2 ) .12
הדרכה .תרגיל .6.9.18
הערה 8.5.62הטבלה הבאה מסכמת את הנימוקים לכך שחבורה מסדר nאינה יכולה להיות פשוטה ,כמפורט
במקרא )המספרים מציינים סדרים שהנימוקים עבורם לא הושלמו; השלם אותם(.
19
p
m
p
p
m
m
p
m
p
p
m
p
18
m
m
m
m
m
m
m
m
m
y
m
m
− p
− pt
− m
− y
− c
− c′
− s
− s′
− s+
− n
∗ −
17
p
p
m
m
p
m
p
p
m
p
m
m
16
pt
s
c
m
s
m
m
m
s
m
s
m
15
m
m
m
m
m
m
y
m
y
y
m
m
14
m
m
m
m
m
m
m
y
m
m
m
y
13
p
m
p
p
m
p
m
m
p
p
m
p
12
c
pt
m
s
m
s′
c′
m
m
s
m
m
11
p
p
m
p
m
m
p
p
m
p
p
s
8 9 10
pt pt m
m p c′
s pt m
m m y
m p s′
s p m
pt m m
m p s
∗ pt m
m s m
s m n
m p m
7
p
pt
p
p
m
p
p
m
p
m
m
p
6
m
m
m
m
m
m
s
m
m
m
m
m
5
p
pt
y
m
m
c′
pt
m
y
m
m
y
3
4
p pt
p
s
p m
y pt
p y
p m
m m
m s+
p m
m m
m m
p
s
1
2
p
m m
p m
p m
pt m
p m
pt m
m m
m m
p s
m m
m m
0
m
y
∗
s
m
s′
y
s
s+
y
y
0+
20+
40+
60+
80+
100+
120+
140+
160+
180+
200+
220+
החבורה ציקלית מסדר ראשוני
nהוא חזקת ראשוני
n = pt mכאשר m < pולכן ת"ח p־סילו נורמלית
תרגיל :8.5.11יש ת"ח סילו נורמלית
n = pq tכאשר ) ord(qב־ Upהוא ;tספירת אברים מסדר pמראה שיש ת"ח נורמלית מסדר pאו q t
ספירת אברים מראה שיש תת־חבורת סילו נורמלית
תרגיל :8.5.44עידון משפט קיילי
עידון משפט קיילי והעדר שיכון לתוך An
עידון משפט קיילי +ספירת אברים +חיתוך של ת"ח סילו והמרכז שלו
תרגיל 8.5.57על חבורות מסדר 210
יש חבורה פשוטה מסדר זה
משפט 8.5.63אין חבורות פשוטות לא אבליות מסדר ≥ 240פרט ל־ A5ו־) .PSL3 (F2
113
פרק .8משפטי סילו
.8.6החבורות הקטנות
הוכחה .ראשית פוסלים את הסדרים הראשוניים ואת אלו שהם חזקת ראשוני .כשתרגילים 8.5.3או 8.5.11
חלים ,הם מוכיחים שיש לחבורה תת־חבורת סילו נורמלית .מן הסדרים הנותרים ,תרגיל 8.5.44מראה שאין
חבורות פשוטות מסדר 192 ,160 ,108 ,96 ,80 ,72 ,48 ,36 ,24 ,12או .224נותרים הסדרים ,90 ,56 ,30
,240 ,216 ,210 ,180 ,150 ,144 ,132 ,120 ,112 ,105שכל אחד מהם טופל בתרגיל נפרד במהלך הפרק,
והסדרים 60ו־ 168שמהם אכן יש חבורות פשוטות .תרגילים 8.5.60ו־ 8.5.61משלימים את המלאכה.
∼ ) ) PSL2 (F4שהיא מסדר ;60תרגילים ,6.8.17
∼ ) = PSL2 (F5
החבורות הפשוטות הקטנות ביותר הן = A5
∼ ) ) PSL2 (F9סדר ,360
A
,(6.8.27
תרגיל
ראה
,168
)סדר
∼ ) PSL2 (F7
= 6
,6.8.18ו־= GL3 (F2 ) ;(6.8.26
תרגיל ;(6.8.24ו־) ) PSL2 (F11סדר .(660
8.6
החבורות הקטנות
בסעיף זה ניתן רשימה של כל החבורות הקטנות ,עד כדי איזומורפיזם ,לפעמים עם סריגי תת־החבורות שלהן.
הרשימה מכסה את הגדלים עד .15
תרגיל (*) 8.6.1כל חבורה מסדר pראשוני היא ציקלית ,ואיזומורפית ל־ .Zp
תרגיל (+**) 8.6.2בחבורה מסדר 2pיש איבר מסדר .p
הדרכה .אין צורך במשפט קושי .אם הטענה אינה נכונה אז לכל
איבר לא טריוויאלי יש סדר .2אבל אז ,קח a ̸= bמסדר ,2וקבל )בעזרת תרגיל (2.1.10את הסתירה .4 | 2p
תרגיל (***) 8.6.3כל חבורה מסדר 2pאיזומורפית ל־ Z2pאו ל־ p > 2) Dpראשוני(.
יש בחבורה איבר yמסדר .pנסמן ⟩ ,N = ⟨yאז N ▹Gלפי תרגיל .3.3.13יהי - x ̸∈ Nאז .x2 ∈ Nאם x2 ̸= 1אז o(x) = 2pו־ Gציקלית.
הדרכה .לפי תרגיל 8.6.2
לכן אפשר להניח .x2 = 1לפי הנורמליות xyx−1 = y iלאיזשהו ,iאבל
−1
∼ .G
=y
xyxאז .o(xy) = 2pאחרת= Dp ,
2
,y = x2 yx−2 = y iולכן )תרגיל .xyx−1 = y ±1 (2.4.10אם
תרגיל (**) 8.6.4כל חבורה מסדר p2היא אבלית ,ואיזומורפית ל־ Zp2או ל־ .Z2p
הדרכה.
משפט 8.3.3
ותרגיל .4.7.5
תרגיל (**) 8.6.5חבורה מסדר ,pqכאשר p < qו־) ,q ̸≡ 1 (mod pהיא ציקלית.
⟩תרגיל (+**) 8.6.6חבורה מסדר ⟨ ,pqכאשר ) ,q ≡ 1 (mod pהיא או ציקלית או איזומורפית ל־
x, y : xp = y q = 1, xyx−1 = y θעבור θ ∈ Uqמסדר ) pכל הבחירות של θנותנות חבורות
איזומורפיות( .הערה .ראה תרגיל .8.1.9
תרגיל (**) 8.6.7יש שלוש חבורות אבליות מסדר .Z2 × Z2 × Z2 ,Z8 , Z4 × Z2 :8
תרגיל (**) 8.6.8בחבורה Z2 × Z2 × Z2יש 7תת־חבורות מסדר 2ו־ 7תת־חבורות מסדר ,4כולן
איזומורפיות ל־ .Z2 × Z2כל תת־חבורה מסדר 2מוכלת ב־ 3תת־חבורות מסדר ,4וכל תת־חבורה
מסדר 4מכילה 3תת־חבורות מסדר .2
תרגיל (**) 8.6.9תהי Gחבורה לא אבלית מסדר .8
.1קיים איבר x ∈ Gמסדר ,4ולכן תת־חבורה ציקלית נורמלית Nמסדר .4
.2יהי .y ̸∈ Nאז .yxy −1 = x−1
∼ .G
.3אם קיים yכנ"ל ,כך ש־ ,y 2 = 1אז = D4
∼ ) Gחבורת הקווטרניונים(.
.4אחרת ,y 2 = x2ואז = Q4
תרגיל ) (-***) 8.6.10מיון החבורות מסדר - 8גישה נוספת (.תהי Gחבורה לא אבלית מסדר .8
∼ ).G/Z(G
= Z2 × Z2 .1
הדרכה .לפי תרגיל ,Z(G) ̸= 1 ,8.3.3ולכן ) G/Z(Gמסדר 2או ;4סיים בעזרת תרגיל .4.7.5
.2נסמן } ,Z = Z(G) = {1, zויהיו x, y ∈ Gאברים כך ש־} .G/Z = {Z, Zx, Zy, Zxyכל איבר של
Gאפשר להציג באופן יחיד בצורה .0 ≤ i, j, k ≤ 1 ,xi y j z kבפרט ⟩.G = ⟨x, y, z
.x2 , y 2 , yxy −1 x−1 ∈ Z .3הראה ש־.yxy −1 x−1 = z
114
הדרכה .אחרת ) ,x ∈ Z(Gבסתירה להנחה.
.8.6החבורות הקטנות
פרק .8משפטי סילו
,x2 (xy)2 y 2 = z .4ולכן ,על־ידי החלפת משתנים ,אפשר להניח ש־.x2 = z
∼ .G
∼ ,Gואם y 2 = zאז = Q
.5אם y 2 = 1אז = D4
תרגיל (-***) 8.6.11תהי Gחבורה מסדר .12
.1המספר של תת־חבורות 3־סילו של Gהוא 1או .4
.2נניח ש־ .n3 = 1אז C = P3 ▹Gהיא חבורת 3־סילו יחידה )ונורמלית(.
)א(
)ב(
)ג(
)ד(
קיים איבר מסדר .6הדרכה .משפט .N/C
∼ .G
∼ Gאו = D6
יהי x ∈ Gמסדר .6אם קיים איבר מסדר 2פרט ל־ ,x3אז = Z2 × Z6
נניח שלא קיימים אברים מסדר 2פרט ל־ .x3הוכח שקיים איבר yמסדר ,4וש־ .y 2 = x3
∼ ) Gחבורת
∼ ,Gואם yxy −1 = x−1אז = Q6
.yxy −1 = x±1אם yxy −1 = xאז = Z12
הקווטרניונים המוכללת מסדר .(12
∼ .G
.3מקרה שני .יש ארבע חבורות 3־סילו .אז G ⊆ S4ולכן = A4
הדרכה .העידון של משפט קיילי.
תרגיל (***) 8.6.12נתאר את תת־החבורות מסדר 20של .S5
.1
)א(
)ב(
)ג(
)ד(
)ה(
מצא )כלומר :רשום יוצרים של( תת־חבורה Gמסדר 20של .S5
להכיל איבר σמסדר .5הראה ש־ ,⟨σ⟩▹Gולכן ).G ⊆ NS5 (σ
הראה שחבורת 2־סילו של Gהיא ציקלית .כמה תת־חבורות מסדר 4יש ל־?G
חשב )בלי לספור( כמה איברים מסדר 5יש ב־ .Gכמה מסדר ?4ומסדר ?2
הסק שהחיתוך של כל שתי תת־חבורות ציקליות של Gהוא טריוויאלי.
הוכח של־ Gיש תת־חבורה יחידה מסדר ) 10ושהיא איזומורפית ל־ .(D5
הדרכה .חבורה מסדר 20חייבת
.2כמה תת־חבורות מסדר 20יש ל־ ) ?S5כולן איזומורפיות זו לזו(.
.3הוכח שהפעולה של S5על הקוסטים של Gמגדירה שיכון S5 ,→ S6שאינו קנוני )כלומר ,שאינו
מייצב את אחת הנקודות(.
תרגיל (***) 8.6.13תהי Gחבורה מסדר .2p2
.1נסמן ב־ Pאת תת־חבורת p־סילו של .Gאז ,P ▹Gואיזומורפית ל־ Zp2או ל־ .Zp × Zp
∼ ,Pאז Gאיזומורפית ל־ Zp2או ל־ .Dp2
.2אם = Zp2
∼ .Pיהי y ∈ Gמסדר .2
.3אחרת = Z2p
∼ .G
.4אם קיים x ∈ Pכך ש־ ,yxy −1 = xאז = Zp × Dp
∼ .G
.5אם⟩ קיים x ∈⟨ Pכך ש־⟩ ⟨xאינה נורמלית ,אז = Zp × Dp
הדרכה .קח x2 = yx1 y −1והתבונן ב־⟩ ⟨x1 x2
. y, x1 x−1
וב־
2
∼ ,Pולכל x ∈ Pמתקיים .yxy −1 = x−1חבורה זו נסמן ב־) .Di(Zp × Zp
= Z2p .6
.7הוכח ש־) Di(Zp × Zpהיא חבורת מנה של .Dp × Dp
תרגיל (***) 8.6.14ל־ S4יש תת־החבורות הבאות) Z2 :ששה עותקים צמודים ,ועוד שלושה צמודים(Z3 ,
)ארבעה עותקים צמודים() Z22 ,עותק אחד() Z4 ,שלושה עותקים() S3 ,ארבעה עותקים() D4 ,שלושה
עותקים(.A4 ,
תרגיל (***) 8.6.15יהי pראשוני אי־זוגי .נראה שיש בדיוק שתי חבורות לא אבליות מסדר .p3תהי
∼ ) .G/Z(Gנכתוב ⟩ Z{= ⟨αונבחר x, y ∈ Gכך
∼ ) ,Z = Z(Gו־ = Zp }× Zp
Gחבורה כזו .אז = Zp
i j k
∼ .G/Zאז ,xp , y p , [y, x] ∈ Zולכן .G = α x y : i, j, k = 0, . . . , p − 1
ש־⟩= ⟨x, y
.1אם xp = y p = 1אז אפשר להניח .[y, x] = αבמקרה זה
G = ⟨x, y, α | xp = 1, y p = 1, αp = 1, [y, x] = α, [x, α] = [y, α] = 1⟩,
ומתקיים wp = 1לכל .w ∈ G
.2אחרת ,על־ידי החלפת ,x, yאפשר להניח ש־ .y p ̸= 1אפשר לבחור .α = y pעל־ידי החלפת x
באיבר מהצורה xy −tאפשר להניח ש־ .xp = 1על־ידי החלפת xבחזקה מתאימה אפשר להניח
ש־ .[y, x] = αכלומר ⟩.G = ⟨x, y, α | xp = 1, y p = α, αp = 1, [y, x] = α, [x, α] = [y, α] = 1
115
פרק .8משפטי סילו
.8.6החבורות הקטנות
116
פרק 9
חבורות אבליות
בפרק זה נשתמש בכלים שבנינו עד כאן ,ובעוד כמה פטנטים המיוחדים לחבורות אבליות ,על־מנת לתת מיון
שלם של החבורות האבליות הסופיות.
כלי העבודה הבסיסי הוא האקספוננט ,שהוא המכפלה המשותפת המינימלית של סדרי האברים בחבורה.
האקספוננט מאפשר לפרק כל חבורה פירוק פרימרי ,שהוא פירוק כמכפלה ישרה של חבורות־ pאבליות
)לראשוניים pשונים( .מכאן אפשר לקבל הצגה קנונית יחידה של כל חבורה אבלית סופית .כשלומדים פיתול
וחוסר פיתול ,אפשר להרחיב את הטכניקה כך שתכסה כל חבורה אבלית נוצרת סופית.
9.1
האקספוננט
הגדרה 9.1.1האקספוננט של חבורה Gהוא המספר החיובי הקטן ביותר Nכך ש־ aN = 1לכל .a ∈ Gמסמנים מספר זה
ב־).exp(G
תרגיל (*) 9.1.2האקספוננט של Gהוא הכפולה המשותפת המינימלית של סדרי האיברים בה.
תרגיל exp(G) (+*) 9.1.3מחלק את |.|G
הדרכה .תרגיל 3.2.4
תרגיל .exp(Z/nZ) = n (*) 9.1.4
תרגיל (+**) 9.1.5חשב את ) .exp(S7 ) ,exp(S6הוכח שלכל ,nהאקספוננט של Snהוא }.lcm{1, . . . , n
תרגיל (+*) 9.1.6הראה שהאקספוננט של החבורה הראשונה מתרגיל 8.6.15הוא .p
תרגיל (**) 9.1.7ל־) exp(Gיש אותם גורמים ראשוניים כמו ל־|.|G
תרגיל ) exp(A × B) = [exp(A), exp(B)] (-**) 9.1.8ראה הגדרה .(2.2.24
תרגיל (+**) 9.1.9אם Gחבורה אבלית עם | ,exp(G) = |Gאז היא ציקלית.
הדרכה .פרק את | |Gלגורמים
והפעל את תרגיל .2.3.27
תרגיל (**) 9.1.10תן דוגמה לחבורה לא ציקלית עם |.exp(G) = |G
תרגיל ) (**) 9.1.11השווה לתרגיל (2.4.21תהי Gחבורה סופית מסדר .nאם לכל d | nיש לכל היותר
d
dפתרונות למשוואה ,x = 1אז החבורה ציקלית .הדרכה .הפעל את תרגיל 9.1.9עם ).d = exp(G
תרגיל (**) 9.1.12ידוע )ולא נוכיח זאת כאן( שמעל שדה מספר השורשים של פולינום אינו יכול לעלות
על המעלה שלו .הראה שתת־חבורה סופית של החבורה הכפלית × ) Fראה הגדרה (2.5.1היא תמיד
×
ציקלית ,ובפרט החבורות הכפליות Fqהן ציקליות לכל שדה סופי .Fqהדרכה .תרגיל .9.1.11
תרגיל (**) 9.1.13תן הוכחה קצרה למשפט .2.3.29
הדרכה .לכיוון אחד חשב את האקספוננט וסיים לפי תרגיל .9.1.9לכיוון
השני הצג את Znmכמכפלה ישרה פנימית.
תרגיל (**) 9.1.14אם Gאבלית אז יש שיכון ) .Uexp(G) ,→ Aut(Gהראה שהתמונה נורמלית ב־).Aut(G
117
.9.2הפירוק הפרימרי
9.2
פרק .9חבורות אבליות
הפירוק הפרימרי
הזכר בהגדרה :7.1.16אם Aחבורה אבלית ,אז µn : A→Aהמוגדרת לפי µn (a) = anהיא הומומורפיזם.
הגדרה 9.2.1תהי Aחבורה אבלית ויהי µn : A→Aההומומורפיזם של העלאה בחזקה .נסמן
An = Im(µn ) = {an : a ∈ A},
An = Ker(µn ) = {a ∈ A : an = 1}.
אין קשר בין הסימון Anלחבורת התמורות הזוגיות של הגדרה .5.1.12
תרגיל (-**) 9.2.2אם ,(n, |A|) = 1אז An = Aו־.An = 1
∼ .Adחשב את Amואת Am
∼ Adו־ = Zn/d
תרגיל (**) 9.2.3תהי .A = Znהראה שלכל = Zd ,d | n
עבור mכלשהו.
תרגיל .exp(An ) | n (+*) 9.2.4
תרגיל (**) 9.2.5נניח ש־ .exp(A) | nmאז .An ⊆ Am
תרגיל (**) 9.2.6אם exp(A) = nmו־ n, mזרים ,אז .An = Am
∼ .A
משפט 9.2.7אם exp A = nmכאשר n, mזרים ,אז = An × Am
תרגיל (-***) 9.2.8הוכח את המשפט.
הדרכה .כתוב 1 = αn + βmוהראה ש־ An ∩ Am = 1וש־ .A ⊆ Am An ⊆ An Am
∼B
תרגיל (+**) 9.2.9נניח ש־ A = B × Cכאשר ) n = exp(Bו־) m = exp(Cזרים .הראה ש־ = Am
∼ .Cבפרט ,הפירוק לחבורות עם אקספוננטים )זרים( נתונים הוא יחיד.
ו־ = An
תרגיל (+**) 9.2.10חבורה סופית היא חבורת־ pאם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של ,pאם ורק אם
האקספוננט שלה חזקת־.p
משפט 9.2.11כל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות־ ,pשהן יחידות עד־כדי איזומורפיזם.
תרגיל (**) 9.2.12הוכח את המשפט.
הדרכה .קיום הפירוק באינדוקציה על משפט ,9.2.7לפי תרגיל .9.2.4היחידות לפי תרגיל .9.2.9
תרגיל (**) 9.2.13פרק למכפלה ישרה פנימית של תת־חבורות ,שהן חבורות־ ,pאת Z24ואת .U126
תרגיל (**) 9.2.14אם mמחלק את | ,|Aאז µmאינו חד־חד־ערכי.
9.3חבורות־ pאבליות
ראו סעיף .8.3
טענה 9.3.1בחבורת־ pיש איבר שסדרו שווה לאקספוננט.
תרגיל (**) 9.3.2הוכח את הטענה.
הדרכה .אחרת הסדר של כל האברים מחלק את .exp(A)/p
בסעיפים 1.5ו־ 4.3עסקנו במכפלות ישרות של מספר סופי של מרכיבים.
ישרות של מספר כלשהו של מרכיבים ,וגם סכומים ישרים;
הגדרנו מכפלות
באופן כללי יש הבדל )גדול( בין
שני המושגים ,אבל עבור מספר סופי של מחוברים ,הם מתלכדים.
כשמדובר בחבורות אבליות,
מעדיפים להשתמש בסכום ישר )כמו למשל במרחבים וקטוריים( ,וכך נעשה גם כאן.
את הסכום הישר של החבורות B, Cמסמנים .B ⊕ Cנבהיר שוב ש־ ,B ⊕ C = B × Cואנו משתמשים
בסימון החיבורי משום שהחבורות אבליות.
118
.9.4משפט המיון לחבורות אבליות סופיות
פרק .9חבורות אבליות
הגדרה 9.3.3תת־חבורה H ≤ Aנקראת מחובר ישר ,אם יש תת־חבורה H1כך ש־ Aהוא סכום ישר של Hו־ ) H1במלים
אחרות ,יש ל־ Hמשלים נורמלי; אבל כל תת־חבורה של Aנורמלית( .ראה תרגיל .4.3.7
תרגיל (+**) 9.3.4תהי Aחבורה עם תת־חבורות Q, H, B▹Aכך ש־ Q ⊆ Bו־ .Q ∩ H = 1נניח ש־
∼ .Aהדרכה .לפי ההנחה ,HB = HQB = Aו־.H ∩B = H ∩QH ∩B = H ∩Q = 1
∼ .A/Qאז = B ⊕H
= B/Q⊕QH/Q
משפט 9.3.5יהי gהוא איבר מסדר השווה לאקספוננט בחבורת־ pאבלית .Aאז תת־החבורה הציקלית שהוא יוצר היא מחובר
ישר ב־.A
תרגיל (***) 9.3.6הוכח את המשפט.
הדרכה .באינדוקציה .נניח ש־ .H = ⟨g⟩ ̸= Aראשית ,יהי xH ∈ A/Hאיבר מסדר ,pאז
קיים iכך ש־ ;xp = g iאם iזר ל־ pאז ) ord(x) = p · ord(gוזה לא יתכן .לכן אפשר לכתוב i = pjואז xg −jהוא איבר מסדר pמחוץ ל־.H
∼ .HQ/Qבאינדוקציה קיים Q ⊆ K ≤ Aכך
נחליף את xבאיבר הזה .כעת ⟩ Q = ⟨xמקיים Q ∩ H = 1ו־) exp(A/Q) = exp(Aכי = H
∼ .Aהערה .טענת התרגיל היא שלתת־החבורה ⟩ ⟨gיש
ש־ A/Q = (HQ/Q) ⊕ K/Qסכום ישר ,ולפי תרגיל = B ⊕ H ,9.3.4
משלים .השווה את ההוכחה למשפט שור־זסנהאוז ,משפט .8.4.57
תרגיל .A = Z4 × Z8 (-***) 9.3.7הראה שתת־החבורה הציקלית H = ⟨(0, 2)⟩ ≤ Aחותכת כל
תת־חבורה מסדר 8של ,Aוהסק שהיא אינה מחובר ישר .מדוע אין עובדה זו סותרת את משפט ?9.3.5
תרגיל (***) 9.3.8תהי .G = Zpα1 ⊕ · · · ⊕ Zpαtהראה ש־ |} .[pm−1 G : pm G] = p|{i:αi ≥mבפרט ,אפשר
לקרוא את קבוצת הערכים α1 , . . . , αtמתוך .G
משפט 9.3.9לכל חבורת־ pאבלית סופית יש פירוק יחיד לסכום ישר של חבורות ציקליות G = Zpα1 ⊕ · · · ⊕ Zpαt ,כאשר
.α1 ≤ · · · ≤ αt
תרגיל (**) 9.3.10הוכח את המשפט.
הדרכה .הקיום באינדוקציה לפי משפט ,9.3.5והיחידות היא תרגיל .9.3.8
תרגיל (**) 9.3.11מצא כמה אברים מכל סדר יש בחבורות Zp3 , Zp2 ⊕ Zpו־ .Zp ⊕ Zp ⊕ Zp
תרגיל (**) 9.3.12בחבורת־ pאבלית לא ציקלית יש תת־חבורה מסדר p2שאינה ציקלית.
תרגיל (**) 9.3.13האם קיימת חבורה אבלית ,Gכך ש־ ,|G| = 32 ,exp(G) = 4ו־?[G : G2 ] = 4
תרגיל (**) 9.3.14מצא את כל החבורות האבליות Aשהסדר שלהן ,310האקספוננט ,35וכך ש־
∼ .A/9A
= Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z9 ⊕ Z9
תרגיל (***) 9.3.15תת־חבורה ציקלית של Aהיא ציקלית מקסימלית אם היא אינה מוכלת באף תת־
חבורה ציקלית אחרת .הוכח שאם A = A0 ⊕ A1היא חבורת־ pאבלית אז כל תת־חבורה ציקלית
מקסימלית של A0היא ציקלית מקסימלית ב־ .Aהדרכה .תהי ⟨a0 ⟩ ⊆ A0תת־חבורה ציקלית מקסימלית של ,A0ונניח
ש־⟩ a0 ∈ C = ⟨b0 + b1כאשר .bi ∈ Aiלכן אפשר לכתוב a0 = n(b0 + b1 ) = nb0 + nb1ומכיוון שזהו סכום ישר nb1 = 0 ,ו־⟩ .a0 ∈ ⟨b0
לפי המקסימליות nזר ל־ ,pולכן ) .b1 = 0האם תכונה זו מספיקה כדי להסיק ש־ A0מחובר ישר ב־(?A
9.4
משפט המיון לחבורות אבליות סופיות
משפט 9.4.1כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה
Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdt ,
כאשר .d1 | · · · | dt
צורה זו של החבורה נקראת הצורה הקנונית.
תרגיל (***) 9.4.2הוכח את המשפט.
הדרכה .קיום :פרק את החבורה למכפלה של חבורות־ pלפי משפט ,9.2.11ופרק כל אחת
מאלה לסכום של tחבורות ציקליות לפי משפט .9.3.9אסוף ל־ ) Zdtתרגיל (2.3.29את המרכיב הגדול ביותר בכל קבוצה ,וכן הלאה .יחידות:
בחר הצגה קנונית כלשהי של .Aהראה ש־| ,t = max logp |A/pAכאשר המקסימום על־פני כל הראשוניים המחלקים את | ,|Aולכן האורך
ℓ(A) = tמוגדר היטב .הראה ש־) ℓ(δA) = ℓ(Aלכל ,1 < δ < d1בעוד ש־) ,ℓ(d1 A) < ℓ(Aולכן d1מוגדר היטב .סיים באינדוקציה על .t
n
תרגיל (**) 9.4.3הראה ש־
∼ .mZn
)= Z (n,m
119
פרק .9חבורות אבליות
.9.4משפט המיון לחבורות אבליות סופיות
תרגיל (**) 9.4.4הראה שאם ,A = Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdtאז לכל ,mהצורה הקנונית של .mA
) .Z d1 ⊕ · · · ⊕ Z dtהעזר בתרגיל .(2.2.23
)(dt ,m
היא
)(d1 ,m
תרגיל (***) 9.4.5אם לשתי חבורות אבליות סופיות יש אותו מספר איברים מכל סדר ,אז הן איזומורפיות.
הדרכה .צריך להוכיח שמספר האברים מכל סדר קובע את החבורה .כתוב את החבורה בצורה הקנונית .לכל ראשוני ,pמספר האברים מסדר p
שווה ל־ pm − 1עבור mמתאים; בחר pעם mמקסימלי; אז ,p | d1ו־ mהוא אורך ההצגה .מספר האברים מכל סדר ב־ Aקובע את מספר
האברים מכל סדר ב־ ,Apובאינדוקציה ,את המבנה של .Aמהאורך p ,ו־ Apאפשר לשחזר את .A
תרגיל (-***) 9.4.6לחבורה אבלית סופית יש איבר מכל סדר המחלק את סדר החבורה) .השווה
לתרגיל .(8.2.2
תרגיל (**) 9.4.7הראה שאם ,A = Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdtכאשר ,d1 | · · · | dtאז לכל m | dtמתקיים = m
) .exp(A)/ exp(Amבפרט .exp(A) = dt
תרגיל (**) 9.4.8מיין ,עד כדי איזומורפיזם ,את החבורות האבליות מהסדרים הבאים.560, 320, 625, 210 :
תרגיל (**) 9.4.9מיין ,עד כדי איזומורפיזם ,את החבורות האבליות מהסדרים הבאים.8085, 22 32 5 :
תרגיל (+**) 9.4.10מצא את הצורה הקנונית של .Z12 ⊕ Z40 ⊕ Z15
תרגיל (+**) 9.4.11כתוב איזומורפיזם מפורש .Z40 ⊕ Z30 ⊕ Z4 →Z2 ⊕ Z20 ⊕ Z120
תרגיל (**) 9.4.12כתוב איזומורפיזם מפורש .Z12 ⊕ Z7 →Z14 ⊕ Z6
תרגיל (**) 9.4.13מצא את כל החבורות האבליות מסדר 324ואקספוננט .18
תרגיל (**) 9.4.14מצא איבר מסדר 33ב־ .Z15 ⊕ Z55
∼ .Z200 ⊕ Z20
תרגיל (+*) 9.4.15הוכח ש־ = Z100 ⊕ Z40
∼ .Z12 ⊕ Z12 ⊕ Z20
∼ = Z30 ⊕ Z6 ⊕ Z16 ,Z4 ⊕ Z15
תרגיל (+*) 9.4.16הוכח או הפרך = Z3 ⊕ Z20 -
∼ G/H
תרגיל (***) 9.4.17תהי G = Zab ⊕ Zbcעם תת החבורה ⟩) .H = ⟨(a, bמצא r, sכך ש־ ⊕ = Zr
.Zsהדרכה .ראשית מצא איזומורפיזם .ϕ : G→Zb ⊕ Zabcמהי התמונה של Hתחת ?ϕ
9.4.1
חבורות אוילר
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
הטלות ופירוק
תרגיל (**) 9.4.18נניח .m | nההעתקה [a]n 7→ [a]mהיא הומומורפיזם .Un → Um
∼ .Unm
תרגיל (***) 9.4.19אם (n, m) = 1אז = Un × Um
הדרכה .ההעתקה Unm → Un × Umהיא חד־חד־ערכית,
ולפי תרגיל 2.4.13היא גם על .לחילופין ,העזר במשפט 2.3.29ובכך שלכל שני מונוידים M, Nמתקיים ) .U (M × N ) = U (M ) × U (N
תרגיל (**) 9.4.20הסק מתרגיל 9.4.19שאם ,(m, n/m) = 1אז ההעתקה Un →Umלפי [a]n 7→ [a]m
היא על.
תרגיל (***) 9.4.21הוכח שההעתקה Un →Umלפי ) [a]n 7→ [a]mכאשר (m | nהיא על.
,[a]m ∈ Umכלומר .(a, m) = 1 ,צריך להראות שקיים ) b ≡ a (mod mכך ש־ .(b, n) = 1כתוב ,b = a + mxובחר )x ≡ 1 (mod p
הדרכה .יהי
לכל p | nכך ש־ .(p, m) = 1סיים לפי משפט השאריות הסיני.
תרגיל (**) 9.4.22חשב את הגרעין של ההעתקה .U30 → U6מה המבנה של הגרעין?
תרגיל (**) 9.4.23הוכח שהגרעין של ההעתקה Up2 → Upאיזומורפי ל־ .Zp
120
.9.4משפט המיון לחבורות אבליות סופיות
פרק .9חבורות אבליות
שיכונים
תרגיל (**) 9.4.24מצא שיכון מפורש .U5 → U25
תרגיל (**) 9.4.25הוכח שקיים שיכון ,Up → Up2כאשר pראשוני.
תרגיל (+**) 9.4.26הוכח שקיימים שיכונים Upα → Upα+1לכל .1 < α
תרגיל (***) 9.4.27אם m | nאז קיים שיכון .Um → Un
חבורות אוילר ציקליות
תרגיל Up (-***) 9.4.28חבורה ציקלית לכל pראשוני.
הדרכה Up .היא חבורת האיברים ההפיכים בשדה ;Zpהפעל את
תרגיל .9.1.11
תרגיל (**) 9.4.29לכל pראשוני.exp(Up ) = p − 1 ,
הדרכה.
תרגיל .9.4.28
תרגיל (***) 9.4.30אם pראשוני אי־זוגי אז ,exp(Upn ) = ϕ(pn ) = (p − 1)pn−1ולכן Upnציקלית מסדר
n−1
.(p − 1)pהדרכה .לפי תרגיל 9.4.29והאפימורפיזם Upn → Upשל תרגיל .(p − 1) | exp(Upn ) ,9.4.21נשאר לחשב שהסדר של
1 + pבחבורה הוא .pn−1
∼ .U2n
תרגיל exp(U2n ) = 2n−2 (***) 9.4.31ולכן = Z2 ⊕ Z2n−2
הדרכה .הוכח ש־ U2nנוצרת על־ידי ,5, −1על־ידי
חישוב הסדר של 5מודולו ,2nוהחיתוך ⟩.⟨−1⟩ ∩ ⟨5
תרגיל (+***) 9.4.32הוכח ש־ Unציקלית אם ורק אם nשווה ל־ ,4 ,2 ,1או הוא מהצורה pαאו 2pα
עבור pאיזוגי.
תרגיל (**) 9.4.33מצא יוצר לחבורת אוילר .U49
∗
תרגיל (**) 9.4.34הראה ש־ ,exp(Upt ) = (p − 1)pt−1כאשר 1∗ = 1אם pאיזוגי ,ו־ 1∗ = 2עבור
.p = 2הדרכה .תרגילים 9.4.30ו־.9.4.31
פירוק קנוני
תרגיל (**) 9.4.35כתוב את U144כמכפלת חבורות ציקליות בצורה מפורשת.
תרגיל (**) 9.4.36כתוב את U1800כסכום ישר של חבורות ציקליות.
∼ U1800
פתרון 1800 = 8 · 9 · 25 .ולכן ⊕ = U8
3
∼ .U9 ⊕ U25
∼ = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z20
= Z2 ⊕ Z60
תרגיל (**) 9.4.37כתוב את U100כסכום ישר של חבורות ציקליות.
תרגיל (**) 9.4.38כתוב את החבורות הבאות כסכום ישר של חבורות ציקליות.U504 ,U30 ,U15 ,U8 :
תרגיל (**) 9.4.39מצא את הקוסטים של ⟩ ⟨13, 27בחבורה ,U56והצג את חבורת המנה כמכפלה ישרה
של חבורות ציקליות.
האקספוננט של חבורת אוילר
מסמנים ) .λ(n) = exp(Un
תרגיל .λ(n) | ϕ(n) (*) 9.4.40
תרגיל (+*) 9.4.41הוכח את העידון הבא של משפט אוילר ) :(3.2.6לכל aזר ל־.aλ(n) ≡ 1 (mod n) ,n
∏
תרגיל (**) 9.4.42אם ptii
אחרת .הדרכה .תרגילים 9.4.19ו־.9.4.34
תרגיל (***) 9.4.43
∗
= ,λ(n) = lcmi ((pi − 1)ptii −1 ) ,nכאשר 1∗ = 2אם pi = 2ו־1∗ = 1
.1מצא את כל ה־n־ים עבורם ) exp(Un ) = 2ראה גם תרגיל .(2.4.17
.2מיין את החבורות Unהמתקבלות ,עד כדי איזומורפיזם.
121
פרק .9חבורות אבליות
.9.5חבורות אבליות אינסופיות
∼ .Un
.3הראה שלא קיימת חבורת אוילר = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2
הדרכה .נניח .exp(Un ) = 2אם p | nאז
Up ⊆ Unולכן - exp(Up ) | 2הסק ש־ (5, n) = 1וש־ .n | 24
תרגיל (***) 9.4.44
.1אם ,(a, 30) = 1אז ).240 | (a4 − 1
.2לא ניתן להגדיל את המספר 240בסעיף .1
.3מצא את המספר הגדול ביותר mהמקיים ) m | (a6 − 1לכל aזר ל־.m
תרגיל (**) 9.4.45מספר nשהוא פסאודו־ראשוני ביחס לכל ) a ∈ Unכלומר )(an−1 ≡ 1 (mod n
נקרא מספר קרמייקל ]ידוע שיש אינסוף מספרי קרמייקל[.
n .1הוא מספר קרמייקל אם ורק אם .λ(n) | n − 1
561 .2הוא מספר קרמייקל.
.3אם 6k + 1, 12k + 1, 18k + 1כולם ראשוניים ,אז מכפלתם היא מספר קרמייקל .מצא את הדוגמה
הקטנה ביותר מסוג זה.
.4למספר קרמייקל יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.
מודולו pאם קיים x ∈ Upכך ש־ .x2 = aסימן לגרנז' מוגדר כ־
9.4.46איבר a ∈ Upנקרא שארית
ריבועית (
)
הגדרה ) (
a
ap = +1אם aהוא שארית ריבועית ,ו־ p = −1אחרת.
) () ( ) (
b
= ap
. ab
תרגיל (**) 9.4.47
p
p
) (
p−1
תרגיל . ap = a 2 (**) 9.4.48
תרגיל (+**) 9.4.49הראה ש־) (−1הוא שארית ריבועית מודולו p > 2אם ורק אם ).p ≡ 1 (mod 4
9.5
חבורות אבליות אינסופיות
תרגיל (**) 9.5.1אם Aנוצרת סופית ,אז כל חבורת מנה שלה נוצרת סופית.
הגדרה 9.5.2חבורה )לאו דווקא קומוטטיבית( היא מפותלת אם לכל איבר בה יש סדר סופי ,וחסרת פיתול אם לכל האיברים
)פרט לאיבר היחידה( סדר אינסופי.
תרגיל (**) 9.5.3האוסף Torשל חבורות מפותלות סגור לתת־חבורות ,לחבורות מנה ולהרחבות )ראה
הגדרה (.4.9.1
תרגיל (**) 9.5.4האוסף Tor־ Abשל חבורות אבליות מפותלות סגור לתת־חבורות ולחבורות מנה
)ראה תרגיל .(4.9.9הוא סגור גם להרחבות בתוך אוסף החבורות האבליות ,כלומר ,אם ∈ B, A/B
Tor־ Abו־ Aאבלית ,אז Tor־.A ∈ Ab
תרגיל (*) 9.5.5אם F, T ≤ Aכאשר Tמפותלת ו־ Fחסרת פיתול ,אז .F ∩ T = 0
תרגיל (+**) 9.5.6חבורה אבלית מפותלת נוצרת סופית -היא סופית.
הדרכה .הראה שהאקספוננט eסופי ,ושהחבורה
Znל־ nמתאים.
היא מנה של e
הבעיה הכללית -האם חבורה מפותלת נוצרת סופית )שאינה אבלית( היא בהכרח סופית ־
ידועה בשם בעיית ; Burnsideזוהי אחת הבעיות הפתוחות המפורסמות בתורת החבורות .
תרגיל (**) 9.5.7תן דוגמה מפורטת לחבורה מפותלת שאינה סופית.
תרגיל (-***) 9.5.8אוסף האברים מסדר אינסופי בחבורה אבלית )יחד עם איבר היחידה( אינו בהכרח
∏
תת־חבורה .הצעה.A = i∈N Z2i .
הגדרה 9.5.9אוסף האיברים מסדר סופי בחבורה Gנקרא חבורת הפיתול של ,Gומסומן ב־).t(G
122
.9.5חבורות אבליות אינסופיות
פרק .9חבורות אבליות
תרגיל G (*) 9.5.10מפותלת אם ורק אם ,t(G) = Gוחסרת פיתול אם ורק אם .t(G) = 0
תרגיל (-**) 9.5.11אם Gאבלית t(G) ,תת־חבורה של .G
תרגיל .t(A ⊕ B) = t(A) ⊕ t(B) (-**) 9.5.12
תרגיל G/t(G) (**) 9.5.13חבורה חסרת פיתול.
משפט 9.5.14כל חבורה אבלית נוצרת סופית וחסרת פיתול היא מהצורה Znעבור איזשהו .n
∑
עבור x1 , . . . , xn ∈ X
קבוצת יוצרים Xשל חבורה אבלית נקראת בסיס אם מהשוויון ai xi = 0
ומקדמים a1 , . . . , an ∈ Zנובע ש־ ai = 0לכל .iחבורה אבלית שיש לה בסיס היא חבורה אבלית חופשית.
תרגיל (-**) 9.5.15ל־ Znיש בסיס בגודל .n
∼ Znאז .n = m
תרגיל (**) 9.5.16אם = Zm
הדרכה .חשוב על .A/A2
תרגיל (**) 9.5.17חבורה אבלית שיש לה בסיס בן nאברים איזומורפית ל־ .Zn
תרגיל (***) 9.5.18קבוצת יוצרים בגודל מינימלי של חבורה אבלית חסרת פיתול היא בסיס.
הדרכה .נאמר
∑
∑
הוא | . |aiנוכיח את הטענה באינדוקציה על המשקל מינימלי של יחס שהיוצרים מקיימים .לא יתכן שכל ה־ ai
שהמשקל של יחס ai xi = 0
השונים מאפס בעלי אותו ערך מוחלט ,משום שאז אפשר לצמצם ולקבל ,ai = 1בסתירה למינימליות .מכיוון שהחבורה חסרת פיתול ,לא יתכן
גם שביחס משתתף יוצר יחיד .לכן יש i, jכך ש־| ;|ai | < |ajנציב xi = x′i + xjאו xi = x′i − xjבהתאם לסימן של .ai ajהיוצרים
x1 , . . . , xi−1 , x′i , xi+1 , . . . , xnמקיימים יחס שבו ajמוחלף ב־ aj + aiאו ב־ ,aj − aiשמשקלו קטן יותר ,ולפי הנחת האינדוקציה ,הם מהווים
בסיס; לכן גם x1 , . . . , xnבסיס.
תרגיל (***) 9.5.19הוכח את המשפט.
הדרכה .קבוצת יוצרים בגודל מינימלי היא בסיס לפי תרגיל ,9.5.18והטענה נובעת
מתרגיל .9.5.17
תרגיל (**) 9.5.20חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול היא חופשית.
תרגיל (+**) 9.5.21תהי Aחבורה אבלית עם אברים .x1 , . . . , xnאם הקוסטים x1 + N, · · · , xn + N
מהווים בסיס של חבורת מנה ,A/Nאז x1 , . . . , xnבסיס של תת־החבורה שהם יוצרים ב־.A
משפט 9.5.22חבורה אבלית נוצרת סופית היא סכום ישר של חבורה מפותלת וחבורה חסרת פיתול.
תרגיל (***) 9.5.23הוכח את המשפט.
הדרכה .תהי Aאבלית נוצרת סופית .לפי תרגילים 9.5.1ו־ A/t(A) ,9.5.13נוצרת סופית
וחבאת פיתול .לפי משפט ,9.5.14ל־) A/t(Aיש בסיס ,שלפי תרגיל 9.5.21כל הרמה שלו יוצרת תת־חבורה חסרת פיתול .A0 ,לפי תרגיל ,9.5.5
.A0 ∩ t(A) = 0הוכח ש־) A = A0 + t(Aוהסק שהחבורת משלימות ,ו־ Aהוא סכום ישר לפי תרגיל .4.3.7
∼ .T1
∼ T1 ⊕ A1כאשר Tiמפותלות ו־ Aiחסרות פיתול ,אז = T2
תרגיל (**) 9.5.24אם = T2 ⊕ A2
משפט 9.5.25ההצגה של חבורה כסכום ישר של חבורה מפותלת עם אקספוננט סופי וחבורה חסרת פיתול נוצרת סופית ,אם
קיימת כזו ,היא יחידה.
תרגיל (***) 9.5.26הוכח את המשפט .הדרכה .נניח ש־ G = T ⊕ Aהוא פירוק כנ"ל .לפי תרגיל T ,9.5.24נקבעת על־ידי .G
e
n
∼ ;Geסיים לפי תרגיל .9.5.16
∼ =A
קח ) .e = exp(Tלפי משפט A = Z 9.5.14עבור nמתאים ,ולכן = A
משפט 9.5.27כל חבורה אבלית נוצרת סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה ,Zd1 ⊕ · · · ⊕ Zdtכאשר ;d1 | · · · | dt
מותרים ) ds+1 = · · · = dt = 0כאן .(Z0 = Z
∼ .A, B
∼ ,A, B ̸= 0 ,A ⊕ Bאז = Z
תרגיל (-***) 9.5.28הראה שאם = Z ⊕ Z
תרגיל (**) 9.5.29הראה ש־ Qאינה חופשית )כחבורה אבלית(.
תרגיל (**) 9.5.30הראה שכל תת־חבורה אמיתית של
123
∞∪
1
n=0 5n Z)/Z
( היא ציקלית סופית.
.9.5חבורות אבליות אינסופיות
9.5.1
פרק .9חבורות אבליות
חבורות סדורות
הגדרה 9.5.31חבורה )שאינה דווקא אבלית( היא סדורה אם מוגדר עליה יחס סדר לינארי )שלם( ,כך שאם a < bאז לכל c
מתקיים ac < bcו־ .ca < cbחבורה ניתנת לסידור אם קיים יחס סדר ההופך אותה לחבורה סדורה.
תרגיל (**) 9.5.32כל חבורה אבלית חופשית )נוצרת סופית( ניתנת לסידור.
תרגיל (*) 9.5.33כל חבורה סדורה היא חסרת פיתול.
9.5.2
חבורות שאינן נוצרות סופית
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
תרגיל (+**) 9.5.34החבורה החיבורית ) (Q, +חסרת פיתול ,ואינה איזומורפית לשום חזקה של .Z
תרגיל (-***) 9.5.35תן דוגמה לחבורה מסדר אינסופי שכל האיברים שלה מסדר המחלק את .n
תרגיל (***) 9.5.36תן דוגמה לחבורה אבלית אינסופית ,כך ש־ Anסופית לכל .n
תרגיל (**) 9.5.37הוכח שכל תת־חבורה נוצרת סופית של Q+היא ציקלית
תרגיל (**) 9.5.38הוכח שהחבורות האבליות Q× ,Q+אינן נוצרות סופית.
×
+
× Qאינן איזומורפיות.
תרגיל (**) 9.5.39הוכח שהחבורות >0 ,Q ,Q
תרגיל (+**) 9.5.40החבורה החיבורית ) (Q, +חסרת פיתול ,ואינה איזומורפית לשום חזקה של .Z
∼ .B
תרגיל (+**) 9.5.41תנו דוגמא לחבורה Aעם תת־חבורה אמיתית B < Aכך ש־= A
∼ .B
∼ Cאבל ̸ A
=
תנו דוגמא לחבורות C < B < Aכך ש־= A
124
פרק 10
חבורות פתירות ונילפוטנטיות
הפרק האחרון עוסק בסדרות תת־נורמליות וסדרות הרכב .לפי משפט ז'ורדן-הולדר ,גורמי ההרכב של חבורה
אינם תלויים בסדרת ההרכב .סדרות ההרכב מגדירות את המחלקה החשובה של חבורות פתירות ,שאותה
אפשר לאפיין ישירות גם דרך הסדרה הנגזרת .חבורה שיש לה סדרה מרכזית נקראת חבורה נילפוטנטית.
משפט 10.3.49מאפיין חבורות נילפוטנטיות ככאלו שהן מכפלה ישרה של חבורות־) pומספק להן אפיונים
נוספים(.
10.1
סדרות תת־נורמליות וסדרות הרכב
הגדרה 10.1.1סדרה תת־נורמלית של חבורה Gהיא סדרה
1 = Gn < Gn−1 < · · · < G1 < G0 = G
של תת־חבורות ,שבה .(i ≥ 1) Gi ▹Gi−1החבורות Gi−1 /Giנקראות המנות של הסדרה.
סדרה תת־נורמלית המתקבלת על־ידי הכנסת תת־חבורה לא טריוויאלית ) Gi ▹G∗i ▹Gi−1פעם אחת או
יותר( ,נקראת עידון של הסדרה המקורית.
תרגיל G/N (*) 10.1.2פשוטה אם ורק אם Nנורמלית מקסימלית )כלומר ,אינה מוכלת באף תת־
חבורה נורמלית אמיתית(.
תרגיל (**) 10.1.3אם אחת המנות בסדרת הרכב אינה פשוטה ,אז אפשר לעדן את הסדרה.
הגדרה 10.1.4סדרה תת־נורמלית שכל המנות בה פשוטות ,נקראת סדרת הרכב.
תרגיל (*) 10.1.5סדרה תת־נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם כל המנות שלה פשוטות.
תרגיל (**) 10.1.6לכל חבורה סופית יש סדרת הרכב.
תרגיל (***) 10.1.7תהי 1 = Gn < · · · < G1 < G0 = Gסדרת הרכב של .G
.1תהי H ≤ Gתת־חבורה .הראה ש־) Hi = Gi ∩ Hבהשמטת הצעדים השווים( מגדיר סדרת
הרכב של .H
.2תהי N ▹Gתת־חבורה נורמלית .הראה ש־ ) Ti = N Gi /Nבהשמטת הצעדים השווים( מגדיר
סדרת הרכב של .G/N
תרגיל (-***) 10.1.8האוסף Decשל החבורות שיש להן סדרות הרכב ,סגור לתת־חבורות ,לתמונות
הומומורפיות ולהרחבות )ראה הגדרה ;4.9.1ותרגיל (.10.1.7הראה שהוא אינו סגור למכפלה ישרה
אינסופית.
תרגיל (**) 10.1.9מצא סדרת הרכב של S4ושל .S5
תרגיל (**) 10.1.10מצא את כל סדרות ההרכב של .Z18
125
⇒=
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
.10.2חבורות פתירות
תרגיל (**) 10.1.11מצא את כל סדרות ההרכב של ,Sn × Snכאשר ;5 ≤ nמצא גם את כל סדרות
ההרכב של .S4 × S4
תרגיל (**) 10.1.12המנות בסדרת הרכב של חבורת־ pסופית הן ציקליות מסדר .p
הדרכה .תרגיל 8.3.5או
תרגיל .8.3.39
תרגיל (**) 10.1.13רשום את כל סדרות ההרכב של החבורות D4ו־.Q
הדרכה.
תרגיל (***) 10.1.14חשב סדרת הרכב מפורשת עבור החבורה ) .G = GL2 (F3
)
1
1
1
0
)
(
= ,σ
1
0
0
−1
)
(
= ,τ
1
1
−1
1
(
יש 7ו־ ,3בהתאמה.
)
הדרכה .נסמן
0
−1
1
0
(
= ,a
= .cחשב את תת־החבורות ⟩.⟨c⟩ ⊆ ⟨c, τ ⟩ ⊆ ⟨c, τ, σ
תרגיל (**) 10.1.15מה יכולים להיות גורמי ההרכב של חבורה מסדר ?240
משפט ז'ורדן-הולדר
תרגיל (-**) 10.1.16נניח ש־ A, B▹Gנורמליות מקסימליות ושונות זו מזו .הראה ש־ G = ABוש־
) A/(A ∩ Bפשוטה.
משפט ) 10.1.17משפט ז'ורדן-הולדר( כל סדרות ההרכב של חבורה Gהן באותו אורך ,ולכולן אותן מנות הרכב עד כדי
סדר.
הוכחה .נאמר ששתי סדרות הרכב הן שקולות אם הן בעלות אותו אורך ויש להן מנות שוות עד כדי סדר
)ברור שזה אכן יחס שקילות( .ההוכחה היא באינדוקציה על האורך של הקצרה מבין שתי הסדרות.
תהיינה
1 = An < An−1 < · · · < A1 < A0 = G
ו־
1 = Bm < Bm−1 < · · · < B1 < B0 = G
שתי סדרות הרכב .אם A1 = B1אז הסדרות 1 < · · · < A1ו־ 1 < · · · < B1שקולות לפי הנחת
האינדוקציה .אחרת ניקח C2 = A1 ∩ B1ונתבונן בסדרת הרכב
1 = Ct < Ct−1 < · · · < C2
)סדרה כזו קיימת לפי תרגיל .(10.1.7לפי הנחת האינדוקציה ,הסדרות 1 = Ct < · · · < C2 < A1ו־= 1
An < An−1 < · · · < A1שקולות ,והסדרות 1 = Ct < · · · < C2 < B1ו־ 1 = Bm < Bm−1 < · · · < B1
שקולות .לפי תרגיל 10.1.16הסדרות C2 < A1 < Gו־ C2 < B1 < Gשקולות ולכן גם הסדרות המקוריות
שקולות זו לזו.
חבורות המנה בסדרת הרכב )כלשהי( של חבורה סופית Gהם גורמי ההרכב של החבורה.
תרגיל (+**) 10.1.18הראה שלחבורות S6ו־) ,PGL2 (F9שאינן איזומורפיות ,יש אותם גורמי הרכב )העזר
בתרגיל .(6.8.24
10.2
חבורות פתירות
הגדרה 10.2.1חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה תת־נורמלית שכל המנות בה אבליות.
)יש בספרות הגדרות שונות לפתירות ,שכולן מתלכדות עבור חבורות סופיות(.
תרגיל (*) 10.2.2כל חבורה אבלית היא פתירה.
תרגיל (**) 10.2.3חבורה סופית היא פתירה אם ורק אם גורמי ההרכב שלה הם חבורות ציקליות מסדר
ראשוני.
תרגיל (-***) 10.2.4האוסף Solשל החבורות הפתירות סגור לתת־חבורות ,לתמונות הומומורפיות
ולהרחבות )ראה הגדרה (.4.9.1הראה שהוא אינו סגור למכפלה ישרה אינסופית.
תרגיל (*) 10.2.5החבורה G × Hפתירה אם ורק אם G, Hפתירות.
126
.10.2חבורות פתירות
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
תרגיל (**) 10.2.6כל החבורות הדיהדרליות Dnהן פתירות.
תרגיל (+**) 10.2.7החבורות A, Bמתרגיל 6.6.51פתירות.
תרגיל (+*) 10.2.8כל חבורה Gמסדר 88היא פתירה.
תרגיל (+*) 10.2.9כל חבורה מסדר 1089 = 32 · 112היא פתירה.
תרגיל (***) 10.2.10תהי Gחבורה לא פתירה מסדר 120שתת־חבורת 2־סילו שלה היא חבורת
∼ .G
הקווטרניונים .Q4נוכיח ש־) = SL2 (F5
.1ראשית נראה ש־ Gהיא הרחבה מרכזית של A5בחבורה מסדר .2
)א( כל תת־חבורה נורמלית של Gהיא מסדר 2או .60אין ל־ Gתת־חבורות מאינדקס 3או .4
הדרכה .משפט .8.5.63
)ב( ל־ Gיש 6תת־חבורות 5־סילו ,ולכן 24איברים מסדר .5
)ג( נניח שאין ל־ Gתת־חבורה מאינדקס .5אז יש לה שתי תת־חבורות 2־סילו הנחתכות באופן
לא טריוויאלי .יש להן איבר משותף מסדר .2איבר זה הוא מרכזי וחבורת המנה ביחס אליו
היא .A5
)ד( נניח שיש ל־ Gתת־חבורה מאינדקס .5אז יש הומומורפיזם ,G→S5שאינו יכול להיות שיכון
)כי חבורת 2־סילו של S5היא דיהדרלית( .לכן יש לו גרעין מסדר ,2שהמנה ביחס אליו היא
.A5
.2יש רק שתי הרחבות מרכזיות של A5בחבורה מסדר ) 2תרגיל .(7.4.45חבורת 2־סילו של
A5 × Z2היא אבלית ,ולכן .G ̸= A5 × Z2
∼ Gמשום שגם ) SL2 (F5אינה פתירה )תרגיל (6.8.26ותת־חבורת 2־סילו שלה
= SL2 (F5 ) .3
איזומורפית ל־ ) Q4תרגיל .(8.4.37
תרגיל (**) 10.2.11כל חבורת־ pסופית היא פתירה.
תרגיל (+**) 10.2.12תן דוגמה לתת־חבורה של חבורה פתירה ,שאינה נורמלית וגם אינה אבלית.
תרגיל (*) 10.2.13פרובניוס הוכיח שחבורה מסדר pa q bלעולם אינה פשוטה .הוכח שכל חבורה כזו היא
פתירה.
תרגיל (+**) 10.2.14יהי Fשדה .הוכח שהחבורה ) Bn (Fמתרגיל 2.7.5היא פתירה.
תרגיל (**) 10.2.15תן דוגמאות )נוספות( לחבורות פתירות אינסופיות שאינן אבליות.
תת־חבורה A ≤ Gהיא 2־קשורה אם יש סדרה A = A0 ≤ A1 ≤ · · · ≤ At = Gכך ש־[Ai+1 : Ai ] = 2
לכל ) iהמינוח אינו סטנדרטי(.
תרגיל (***) 10.2.16נניח ש־ A, B ≤ Gהן 2־קשורות .הוכח שגם 2 A ∩ B־קשורה.
תרגיל (**) 10.2.17תת־חבורה 2־קשורה מינימלית )כלומר ,כזו המוכלת בכל תת־חבורה 2־קשורה(
היא נורמלית.
תרגיל (**) 10.2.18לכל חבורה סופית Gיש תת־חבורה 2־קשורה מינימלית.
תרגיל (***) 10.2.19כל תת־חבורה 2־קשורה Aשל Gמכילה תת־חבורה 2־קשורה נורמלית,
1
שהאינדקס שלה ב־ Gמחלק את ] .2 2 [G:Aהדרכה .העזר בעידון של משפט קיילי [G : CoreG (A)] :מחלק את !].[G : A
תרגיל (***) 10.2.20נניח שלחבורה Gיש תת־חבורת 2־סילו ציקלית לא טריוויאלית.
.1הוכח שיש ל־ Gתת־חבורה מאינדקס .2
הדרכה .תרגיל .8.4.33
.2הראה שגם לתת־חבורה זו יש חבורת 2־סילו ציקלית.
.3הסק שיש ל־ Gתת־חבורה 2־קשורה )מינימלית ,ולכן נורמלית( מסדר אי־זוגי.
תרגיל (**) 10.2.21חבורה מסדר ,2mכאשר mאיזוגי ,אינה פשוטה.
127
הדרכה .תרגיל .10.2.20
.10.2חבורות פתירות
10.2.1
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
הסדרה הנגזרת
הגדרה 10.2.22תהי Gחבורה .מגדירים באינדוקציה ) G(n+1) = [G(n) , G(n) ] ,G(0) = Gבפרט .(G(1) = G′
הסדרה
· · · ≤ G(n) ≤ · · · ≤ G′′′ ≤ G′′ ≤ G′ ≤ G
נקראת הסדרה הנגזרת של .G
תרגיל (**) 10.2.23כל אחת מהחבורות ) G(nהיא תת־חבורה אופיינית של ) Gהגדרה .(7.2.31
תרגיל (**) 10.2.24חשב את הסדרה הנגזרת של .S4
תרגיל (+**) 10.2.25חשב את הסדרה הנגזרת של
⟨(12)(34)(56)(78), (13)(24)(57)(68), (15)(26)(37)(48)⟩ ≤ S8 .
טענה 10.2.26תהי
1 = Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G1 ≤ G0 = G
סדרה תת־נורמלית עם מנות אבליות של חבורה )פתירה( .Gאז לכל .G(i) ⊆ Gi ,i
הוכחה .אינדוקציה .עבור i = 0הטענה טריוויאלית ,ואם G(i) ⊆ Giאז ⊆ ] G(i+1) = [G(i) , G(i) ] ⊆ [Gi , Gi
Gi+1לפי משפט ,4.8.6כי המנה Gi /Gi+1אבלית.
משפט 10.2.27חבורה סופית Gהיא פתירה אם ורק אם קיים nכך ש־.G(n) = 1
הוכחה .אם G(n) = 1אז הסדרה הנגזרת היא סדרה תת־נורמלית עם מנות אבליות ,ולכן החבורה פתירה.
להיפך ,אם לחבורה יש סדרה תת־נורמלית 1 = Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G1 ≤ G0 = Gעם מנות אבליות ,אז
G(n) ⊆ Gn = 1לפי הטענה.
הגדרה 10.2.28סדרה נורמלית של חבורה Gהיא סדרה
1 = Gn < Gn−1 < · · · < G1 < G0 = G
של תת־חבורות ,שבה Gi ▹G0לכל .i
)סדרת הרכב נורמלית נקראת סדרה ראשית של החבורה(.
תרגיל (*) 10.2.29כל סדרה נורמלית היא גם תת־נורמלית ,אבל לא להיפך .הערה .המונחים "סדרה
תת־נורמלית" ו"סדרה נורמלית" נקראים בספרות גם בשמות אחרים; אצל ,Scottלמשל ,אלו "סדרה נורמלית"
ו"סדרה אינווריאנטית".
תרגיל (***) 10.2.30בחן את התנאים הבאים על חבורה :G
.1יש לחבורה סדרת הרכב עם מנות ציקליות מסדר ראשוני.
.2יש לחבורה סדרה תת־נורמלית עם מנות אבליות )"פתירה"(.
.3יש לחבורה סדרה תת־נורמלית עם מנות ציקליות )"פוליציקלית"(.
.4יש לחבורה סדרה תת־נורמלית עם מנות ציקליות מסדר ראשוני.
.5יש לחבורה סדרה נורמלית עם מנות אבליות.
.6יש לחבורה סדרה נורמלית עם מנות ציקליות )"סופר־פתירה"(.
.7יש לחבורה סדרה נורמלית עם מנות ציקליות מסדר ראשוני.
הראה שאם Gסופית ,תנאים 1-5שקולים זה לזה ,ושתנאי 7חזק מתנאי ,6החזק מתנאי .5
תרגיל (**) 10.2.31לחבורה פתירה יש תת־חבורה נורמלית אבלית.
הטכניקות של הרחבת חבורות ,עם גרעין אבלי ,תקפות לחבורות פתירות(.
הדרכה .יש nמינימלי כך ש־= 1
)(n
.G
)ולכן
תרגיל (***) 10.2.32תהי Gחבורה פתירה .כל תת־חבורה נורמלית H▹Gמכילה תת־חבורה אבלית
לא־טריוויאלית שהיא נורמלית ב־ .Gהדרכה .הכלל את הפתרון לתרגיל :10.2.31נניח ש־ mמינימלי כך ש־ ;H ∩ G(m) = 1אז
)(m−1
∼ ) H ∩ G(m−1וזו תת־חבורה אבלית ונורמלית.
))G(m) /G(m) ≤ G(m−1) /G(m
= (H ∩ G
תרגיל (***) 10.2.33חבורה Gהיא פתירה למעשה ) (virtually solvableאם יש לה תת־חבורה פתירה
∼ G/Nו־ Nפתירה למעשה ,אז גם Gפתירה למעשה.
מאינדקס סופי .הראה שאם = Z
128
.10.2חבורות פתירות
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
חבורות מושלמות
הגדרה 10.2.34חבורה Hהמקיימת את התנאי H ′ = Hנקראת מושלמת.
הסדרה הנגזרת של חבורה סופית עוצרת באחת משתי דרכים :או שעבור nמספיק גדול ,G(n) = 1או
ש־ H = G(n) ̸= 1היא חבורה מושלמת.
תרגיל (**) 10.2.35כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת.
תרגיל (+**) 10.2.36החבורה ) SL2 (F5היא מושלמת ,אבל אינה פשוטה.
תרגיל (+**) 10.2.37מכפלה ישרה של חבורות מושלמות היא מושלמת.
תרגיל (**) 10.2.38אין חבורת־ pמושלמת.
הדרכה .תרגיל .8.3.10
תהי Gחבורה .הרחבה H→Gנקראת העתקת כיסוי אם .Z(H) ≤ H ′העתקת כיסוי U →Gהיא
אוניברסלית אם כל העתקת כיסוי H→Gמפצלת את ) U →Gראה הגדרה .(3.5.17
תרגיל (+***) 10.2.39לחבורה סופית מושלמת יש העתקת כיסוי אוניברסלית.
10.2.2
תת־חבורת פרטיני
ניתן לדלג בקריאה ראשונה.
תרגיל (**) 10.2.40החבורה Zp × · · · × Zp = (Zp )nנוצרת על־ידי nאברים ,ולא פחות מזה.
הדרכה .זהו
מרחב וקטורי מעל השדה .Zp
הגדרה 10.2.41תהי Gחבורה .החיתוך של כל תת־החבורות המקסימליות של Gנקרא תת־חבורת פרטיני של ,Gומסומן
ב־).Φ(G
תרגיל Φ(G) (+*) 10.2.42תת־חבורה אופיינית של .Gבפרט.Φ(G)▹G ,
תרגיל (**) 10.2.43נניח ש־ Gחבורה סופית .לכל תת־חבורה אמיתית ,N < Gגם .⟨N, Φ(G)⟩ < G
הדרכה N .מוכלת בתת־חבורה מקסימלית של .G
תרגיל (-***) 10.2.44איבר x ∈ Gהוא לא־יוצר אם לכל קבוצת יוצרים x ∈ Aשל ,Gגם }A − {x
יוצרת את .Gהוכח ש־) Φ(Gהיא קבוצת האיברים הלא־יוצרים של .G
תרגיל (***) 10.2.45נניח ש־ Gחבורת־.p
∼ ) G/Φ(Gלאיזשהו .n
,Φ(G) = G′ Gp .1ולכן = Znp
.2בכל קבוצת יוצרים מינימלית של Gיש )) rank(G/Φ(Gאברים.
תרגיל (+**) 10.2.46תהי Gחבורת 2־סילו של .S6חשב את ) Φ(Gואת ).G/Φ(G
תרגיל (-***) 10.2.47לכל חבורה .Z(G) ∩ G′ ⊆ Φ(G) ,G
הדרכה .תהי M < Gתת־חבורה מקסימלית .נתבונן
′
ב־ .M ≤ M Z(G) ≤ Gאם M Z(G) = Gאז ,M ▹Gואז M/Gציקלית מסדר ראשוני ולכן .G ⊆ Mאחרת .Z(G) ⊆ M
10.2.3
חבורות סופר־פתירות
הגדרה 10.2.48חבורה היא סופר־פתירה אם יש לה סדרה נורמלית עם מנות ציקליות.
תרגיל (-***) 10.2.49מחלקת החבורות הסופר־פתירות סגורה לתת־חבורות ,לחבורות מנה ,לכפלה
ישרה סופית ולהרחבה בחבורה ציקלית )אבל לא להרחבות באופן כללי(.
תרגיל (***) 10.2.50כל חבורה סופר־פתירה היא הרחבה של חבורה אבלית סופית בחבורה
נילפוטנטית.
תרגיל (+**) 10.2.51כל חבורה סופר־פתירה היא פתירה.
129
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
.10.2חבורות פתירות
אבלית סופית
???
??
נילפוטנטית סופית
?
????
אבליתACC+
? ;C
?
???
סופר־פתירה סופית
?
???
??
נילפוטנטיתACC+
???
{
C
;
?
?
?
?
?
אבלית נ.ס.
???
??
סופית
פתירה
?
#
??
???
סופר־פתירה
?
?
??
{
????
????
נ.ס.
נילפוטנטית
? #
??
סופית
??
אבלית
??
פוליציקלית
??
???
?
??
?
??
?????
?
? #
??
?
נילפוטנטית
??
??
חבורת־ M
?????
??
????
פתירה נ.ס.
??
?
? #
?
??
??
??
?
ACC
??
??
??
??
??
??
פתירה
?
נוצרת סופית
איור :10.1מחלקות חשובות של חבורות
10.2.4
תנאי סופיות
חבורה מקיימת את תנאי המקסימום אם בכל קבוצה לא ריקה של תת־חבורות שלה יש איבר מקסימלי .לפי
הלמה של צורן ,תנאי המקסימום שקול לתנאי השרשרת העולה ) ,(ACCשלפיו כל שרשרת )בת־מניה( עולה
חייבת לעצור.
תרגיל (***) 10.2.52מחלקת החבורות המקיימות ACCסגורה לתת־חבורות ,לחבורות מנה ולהרחבות.
הגדרה 10.2.53חבורה נקראת חבורת־ Mאם יש לה סדרה תת־נורמלית שבה כל מנה אינסופית היא ציקלית.
תרגיל (***) 10.2.54המחלקה של חבורות־ Mסגורה לתת־חבורות ,לחבורות מנה ולהרחבות.
תרגיל (***) 10.2.55כל חבורה סופר־פתירה היא חבורת־ .M
תרגיל (-***) 10.2.56חבורת־ Mמקיימת את תנאי המקסימום.
הגדרה 10.2.57חבורה פוליציקלית היא חבורה שיש לה סדרה תת־נורמלית עם מנות ציקליות.
תרגיל (***) 10.2.58חבורה היא פוליציקלית אם ורק אם היא פתירה ומקיימת את התנאי .ACC
הערה .חבורה פתירה מוצגת סופית אינה חייבת לקיים את תנאי המקסימום אפילו על תת־חבורות נורמליות; ראה
]Mathematical notes Finitely presented solvable groups that do not satisfy the maximal condition for normal subgroups Yu. V. Sosnovskii
36(2), 577–580, (1984) of the Academy of Sciences of the USSR
.[Vol.
130
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
10.3
.10.3סדרות מרכזיות
סדרות מרכזיות
הגדרה 10.3.1סדרה תת־נורמלית
· · · ≤ Gn+1 ≤ Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G
בחבורה Gהיא סדרה מרכזית אם [G, Gi−1 ] ⊆ Giלכל .i
תרגיל (+*) 10.3.2תהי .B ≤ Gאז [G, B] ≤ Bאם ורק אם .B▹G
תרגיל (*) 10.3.3סדרה תת־נורמלית היא מרכזית אם ורק אם לכל ) Gi ▹G (1) ,iכלומר ,זו סדרה
נורמלית(.Gi−1 /Gi ⊆ Z(G/Gi ) (2) ,
תרגיל (+**) 10.3.4תן דוגמא לסדרה נורמלית שאינה מרכזית.
10.3.1
הסדרה המרכזית היורדת
הגדרה 10.3.5הסדרה המרכזית היורדת של G = G(1) ≥ G(2) ≥ G(3) ≥ · · · ,Gמוגדרת לפי ].G(n+1) = [G(n) , G
בפרט .G(2) = [G, G] = G′
סדרה זו יורדת מ־ ,Gאבל אינה מוכרחה להסתיים ב־.1
תרגיל (**) 10.3.6כל החבורות ) G(nהן תת־חבורות אופייניות של .G
תרגיל (**) 10.3.7הסדרה המרכזית היורדת היא אכן סדרה מרכזית.
תרגיל (***) 10.3.8אם G/G′ציקלית ,אז G(n) = G′לכל .2 < n
הדרכה .הוכח ש־ ) G/G(3אבלית.
תרגיל (**) 10.3.9יהי nמינימלי כך ש־) G(n) = 1אם קיים כזה( .הוכח ש־).G(n−1) ⊆ Z(G
הדרכה .עבור m = 1הטענה נכונה לפי ההגדרה .באינדוקציה,
תרגיל .[G(n) , G(m) ] ⊆ G(n+m) (-***) 10.3.10
· )[G(n) , G(m+1) ] = [G(n) , [G, G(m) ]] ⊆ [G, [G(m) , G(n) ]] · [G(m) , [G(n) , G]] ⊆ [G, G(n+m) ] · [G(m) , G(n+1) ] ⊆ G(n+m+1
) G(n+m+1) = G(n+m+1בעזרת תרגיל .4.8.21
תרגיל (-***) 10.3.11לכל .(G(n) )(m) ⊆ G(nm) ,n, m ≥ 1
תרגיל .G(n) ⊆ G(n+1) (**) 10.3.12
הדרכה .התעלם מתרגיל .10.3.10
תרגיל (+**) 10.3.13לכל n ≥ 1ולכל .(G/N )(n) = G(n) N/N ,N ▹G
תרגיל (**) 10.3.14לכל הומומורפיזם .φ(G(n) ) ⊆ H(n) ,φ : G→H
תהיינה .A, B▹G
).[G,n G] = G(n+1
מגדירים ] [A,1 B] = [A, Bובאינדוקציה ].[A,n+1 B] = [[A,n B], B
בפרט
תרגיל (**) 10.3.15נניח ש־ G = HNכאשר H ≤ Gו־ .N ▹Gאז לכל .G(n+1) = H(n+1) [N,n G] ,n
תרגיל (**) 10.3.16תהי .H ≤ Gאם ) G = HG(2אז ) G = HG(nלכל .n
ש־ ) ,G = HG(nאז ) G′ = G(2) = H(2) [G(n) , G] = H ′ G(n+1לפי תרגיל ,10.3.15ולכן ).G = HG′ = HH ′ G(n+1) = HG(n+1
הדרכה .באינדוקציה .נניח
131
.10.3סדרות מרכזיות
10.3.2
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
הסדרה המרכזית העולה
הגדרה 10.3.17אם ,N ≤ Gנסמן } N [G] = {x ∈ G : [x, G] ⊆ N
תרגיל (**) 10.3.18
.N [G] ≤ G .1
.2אם N ▹Gנורמלית אז גם ,N [G] ▹Gובמקרה זה ].N ⊆ N [G
.3אם N1 ⊆ N2אז
][G
⊆ N2
][G
.N1
תרגיל (**) 10.3.19לכל .Z(G/N ) = N [G] /N ,N ▹G
הגדרה 10.3.20הסדרה המרכזית העולה של Gהיא הסדרה · · · ≤ ) ,1 = ζ0 (G) ≤ ζ1 (G) ≤ ζ2 (Gהמוגדרת לפי
].ζn+1 (G) = ζn (G)[G
לפי תרגיל 10.3.19מתקיים )) .ζn+1 (G)/ζn (G) = Z(G/ζn (Gבפרט ) .ζ1 (G) = Z(Gסדרה זו עולה
מ־ ,1אבל היא אינה מוכרחה להסתיים ב־.G
תרגיל (*) 10.3.21תת־החבורות ) ζn (Gאופייניות ב־ ,Gובפרט נורמליות.
תרגיל N = ζn+1 (G) (+*) 10.3.22היא תת־החבורה הגדולה ביותר של Gהמקיימת ).[G, N ] ⊆ ζn (G
תרגיל (**) 10.3.23תהי .H ≤ Gאם ζn (G) ⊆ Hאז ).ζn+1 (G) ⊆ NG (H
הדרכה .יהיו ) x ∈ ζn+1 (Gו־,h ∈ H
אז .xhx−1 = [x, h]h ∈ ζn (G)H = H
תרגיל (+**) 10.3.24
.1לכל N ▹Gמתקיים ) .ζk (G)N/N ≤ ζk (G/N
.ζn (G/ζk (G)) = ζn+k (G)/ζk (G) .2
תרגיל (**) 10.3.25לכל הומומורפיזם .φ(ζn (G)) ⊆ ζn (H) ,φ : G→H
תרגיל Γ : G→Inn(G)) .Z(Inn(G)) = Γ(ζ2 (G)) (-**) 10.3.26הוגדרה בתרגיל (.7.2.5
תרגיל .[G′ , ζ2 (G)] = 1 (**) 10.3.27
הדרכה .תרגיל .4.8.22
תרגיל ) (**) 10.3.28הלמה של גרון( אם G′ = Gאז המרכז של ) G/Z(Gטריוויאלי.
הדרכה .תרגיל .10.3.27
תרגיל (-***) 10.3.29הראה ש־) g ∈ ζn (Gאם ורק אם [· · · [[[g, x1 ], x2 ], x3 ], . . . , xn ] = 1לכל
.x1 , . . . , xn ∈ G
תרגיל (-***) 10.3.30תהי Gחבורה כלשהי .האיחוד
(centerשל .Gהראה ש־.Z(G/ζ∞ (G)) = 1
∞∪
)n=1 ζn (G
= ) ζ∞ (Gנקרא העל־מרכז )hyper-
תרגיל (+**) 10.3.31לכל תת־חבורה נורמלית ,N ▹Gאם N ∩ ζ1 (G) = 1אז N ∩ ζn (G) = 1לכל .n
הדרכה .יהי ) ,x ∈ N ∩ ζn (Gויהי ;g ∈ Gאז ,[g, x] ∈ N ∩ ζn (G) = 1ולכן .x ∈ ζ1 (G) ∩ N = 1
את הגדרה 10.3.17אפשר להכליל:
הגדרה 10.3.32אם ,N, K ≤ Gנסמן } ) .N [K] = {x ∈ G : [x, K] ⊆ Nזהו מעין היפוך של הפעולה ];N 7→ [N, K
באופן כללי ] N [Kאינה בהכרח תת־חבורה(.
תרגיל .[N [K] , K] ⊆ N (**) 10.3.33
תרגיל (**) 10.3.34אם N ▹Gאז .N [K] ≤ G
תרגיל (**) 10.3.35אם ,K▹G ,K ⊆ H ≤ Gאז .CG/K (H/K) = K [H] /K
132
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
10.3.3
.10.3סדרות מרכזיות
חבורות נילפוטנטיות
הגדרה 10.3.36חבורה Gהיא נילפוטנטית אם יש סדרה מרכזית המסתיימת ב־:1
1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn−1 ≤ Gn = G
תרגיל (*) 10.3.37לחבורה נילפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי.
תרגיל (**) 10.3.38האוסף Nilשל החבורות הנילפוטנטיות סגור לתת־חבורות ,לחבורות מנה
ולהרחבות מרכזיות )ראה הגדרה ;4.9.1השווה לתרגיל (.10.2.4
תרגיל Nil (***) 10.3.39אינו סגור לאיחוד של שרשראות.
תרגיל (**) 10.3.40מכפלה ישרה סופית של חבורות נילפוטנטיות היא נילפוטנטית.
תרגיל (**) 10.3.41חבורות־ pהן נילפוטנטיות.
משפט 10.3.42תהי 1 = H0 ≤ · · · ≤ Hn = Gסדרה מרכזית של חבורה )נילפוטנטית( .Gאז לכל iמתקיים
) .G(n+1−i) ≤ Hi ≤ ζi (Gבפרט ,אם יש לחבורה סדרה מרכזית באורך ,nאז G(n+1) = 1ו־.ζn (G) = G
הוכחה .לפי ההגדרה .H0 = ζ0 (G) = 1נניח ש־) .Hi ≤ ζi (Gמכיוון שהסדרה הנתונה היא מרכזית,
) ;[Hi+1 , G] ⊆ Hi ⊆ ζi (Gלפי תרגיל .Hi+1 ≤ ζi+1 (G) ,10.3.22
לגבי ההכלה השניה ,באינדוקציה הפוכה G(1) = Hn = G ,לפי ההגדרה ,ואם G(n+1−i) ≤ Hiאז
G(n+2−i) = [Gn+1−i , G] ≤ [Hi , G] ≤ Hi−1לפי תרגיל .10.3.3
תרגיל G (**) 10.3.43נילפוטנטית אם ורק אם הסדרה המרכזית היורדת מסתיימת ב־ ,1אם ורק אם
הסדרה המרכזית העולה מסתיימת ב־.G
תרגיל (**) 10.3.44החבורה הדיהדרלית Dnנילפוטנטית אם ורק אם .n = 2m
תרגיל (-***) 10.3.45כל חבורה נילפוטנטית חסרת פיתול ניתנת לסידור) .ראה הגדרה (.9.5.31
תרגיל (**) 10.3.46תהי Gנילפוטנטית .לכל תת־חבורה אמיתית .H ⊂ NG (H) ,H
כך ש־ ,ζn (G) ⊆ Hאז לפי תרגיל ,ζn+1 (G) ⊆ NG (H) ,10.3.23והרי .ζn+1 (G) ̸⊆ Hהוכחה נוספת :נניח שלא ,H▹H · Z(G) .ולכן
הדרכה .קח nמקסימלי
.Z(G) ⊆ Hעבור למנה ).G/Z(G
תרגיל (**) 10.3.47בחבורה נילפוטנטית כל תת־חבורה מקסימלית היא נורמלית.
הדרכה .לפי תרגיל ;10.3.47
השווה לתרגיל .8.3.10
לסיכום:
משפט 10.3.48התנאים הבאים שקולים עבור חבורה סופית :G
G .1נילפוטנטית;
.2לכל תת־חבורה אמיתית Hמתקיים );H ⊂ NG (H
.3כל תת־חבורה מקסימלית היא נורמלית;
.4כל תת־חבורת סילו היא נורמלית;
.5החבורה היא מכפלה ישרה של חבורות .p
הוכחה :(2)⇐=(1) .תרגיל :(3)⇐=(2) ;10.3.47לפי ההנחה :(4)⇐=(3) ;M ⊂ NG (M ) = Gאחרת יש
תת־חבורה מקסימלית Mהמכילה את ) ,NG (Pאבל אז NG (M ) = Mלפי תרגיל ,8.4.23בעוד ש־M ▹G
לפי ההנחה; ) :(5)⇐=(4תרגיל :(1)⇐=(5) ;8.4.32תרגילים 10.3.41ו־.10.3.42
תרגיל (***) 10.3.49תת־חבורת פרטיני Fשל כל חבורה סופית Gהיא נילפוטנטית.
הדרכה.
)ראה
הגדרה (.10.2.41תהי P ≤ Fתת־חבורת p־סילו של .Fלפי טיעון פרטיני .G = F · NG (P ) ,8.4.48לפי תרגיל G = NG (P ) ,10.2.43ולכן
P ▹Gובפרט .P ▹F
133
פרק .10חבורות פתירות ונילפוטנטיות
.10.3סדרות מרכזיות
תרגיל (***) 10.3.50הסק מתרגיל ) 4.9.10ותרגיל (10.3.39שלכל חבורה סופית Gיש תת־חבורה
נורמלית נילפוטנטית מקסימלית ,Fit(G) ,הקרויה תת־חבורת פיטינג של .Gהראה ש־= ))Fit(G/Fit(G
,1כלומר ,ל־) G/Fit(Gאין תת־חבורות נורמליות נילפוטנטיות.
תרגיל (***) 10.3.51חבורת פיטינג של חבורה פתירה אינה טריוויאלית.
∏
∩ Gחבורה סופית ,אז Fit(G) = Opעבור הראשוניים pהמחלקים את |,|G
תהי
{ (-***) 10.3.52
תרגיל }
= .Opהדרכה .לכל Op ,pנורמלית כי היא שווה לליבה של כל תת־חבורת p־סילו ,ונילפוטנטית כי היא
כאשר )P ∈ Sylp (G
הדרכה .תרגיל .10.2.31
חבורת .pמאידך ,אם )) Q ∈ Sylp (Fit(Gאז יש ) P ∈ Sylp (Gכך ש־ ,Q ⊆ Pואז ) Q ⊆ CoreG (Pכי .Q▹G
תרגיל (***) 10.3.53הסק מתרגיל ) 4.9.10בעזרת תרגיל 4.9.5ותרגיל (10.2.4שלכל חבורה סופית
Gיש תת־חבורה נורמלית פתירה מקסימלית .rad(G) ,תת־חבורה זו קרויה הרדיקל של .Gהראה
ש־ ,rad(G/rad(G)) = 1כלומר ,ל־) G/rad(Gאין תת־חבורות נורמליות פתירות.
תרגיל (***) 10.3.54הראה ש־) Fit(G) ⊆ rad(Gלכל חבורה סופית .G
134
