docמבנים אלגבריים 80445 Á
download 
Report Transcription
מבנים אלגבריים 80445 Á
מבנים אלגבריים
I
80445
אור דגמיordigmi.org ,
אתר אינטרנטhttp://digmi.org :
סיכום ההרצאות של פרופסור אהוד דה־שליט
2012.םידומיל תנשב םילשוריב תירבעה הטיסרבינואב Iםיירבגלא םינבמ ירועישמ
24ביולי 2012
תוכן עניינים
Iמבוא
1
II
מבוא
1.1
1.2
1.3
3
ספרות מומלצת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מנהלות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
השלמת חומר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חבורות
4
4
4
4
5
2
חבורות
2.1פעולה בינארית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2הגדרת החבורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תת חבורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
חבורה נוצרת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
חבורת השעון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z12
2.2.2.1
6
6
6
7
9
12
3
פעולות של חבורה על קבוצה
3.1מסלולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2נקודות שבת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3פעולות של תת חבורה על חבורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1משפט לגרנז' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4חבורה לא קומוטטיבית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5משפט המסלולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6פעולה על ידי הצמדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
16
18
19
20
22
24
24
4
הומומורפיזמים
4.1הומומורפיזמים ותתי חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2חבורת המנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1תת־חבורות של . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G/N = G
27
29
32
35
5
תמורות
5.1פרוק תמורות למחזורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1כמה עובדות על מחזורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2זוגיות )סימן( של תמורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
42
43
6
חבורות pומשפטי סילו
6.1הרעיון בחקר חבורות־. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p
6.2משפטי סילו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
48
48
7
סדרות נורמליות ,סדרות הרכב ,ומשפט ז'ורדן־הולדר
54
חבורות פתירות ־
8.1קומוטטורים והחבורה הנגזרת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
58
8
Solvable
1
תוכן עניינים
תוכן עניינים
9חבורות אבליות
9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1בסיס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2חבורות חופשיות לא אבליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
62
63
69
IIIחוגים
70
.
.
.
.
71
75
76
79
82
10חוגים
10.0.0.1תוספות
10.1הומומורפיזמים . . . . . .
10.2אידיאל . . . . . . . . . .
10.3משפטי הומומורפיזם . . .
11פריקות בתחומי שלמות
11.1הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2חילוק עם שארית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
84
86
12חוג אוקלידי
12.1אי־פריקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2פריקוח חד־ערכית )פח"ע( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
90
91
13דוגמה לשימוש בכל מה שלמדנו
13.0.0.2רעיון. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :
93
93
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
חלק
I
מבוא
3
1 פרק
מבוא
ספרות מומלצת1.1
• Herstein - Topis in Algebra (h. 2) (23) - מומלץ
• Rotman - An introdution to the theory of groups (23)
• Humphreys - A ourse in group theory (23)
• Dummit + Foote - Abstrat Algebra (h. 1-6) (20)
• Artin - Algebra h. 2,5,6
מנהלות
1.2
deshalitmath.huji.ail : פשוט לפרופסור אודי )אהוד( דה־שליט במייל ולקבוע, לא ינתנו,שעות קבלה
השלמת חומר
1.3
• תבניות בילינאריות ־ פרק ט"ו בספר של עמיצור
4
חלק
II
חבורות
5
פרק 2
חבורות
31/10/2011
את השיעור היום
אלכס 2.1פעולה בינארית
העביר
לובוצקי
הגדרה 2.1.1פעולה בינארית :אם Xקבוצה ,פעולה בינארית )שתסומן (◦, ·, ∗, +, . . . :זו פונקציה:
X ·X → X
(a, b) → a · b
P
כאשר a, b ∈ Xוגם a · b ∈ X
דוגמה : 2.1.2
(R, +) .1־ מגדיר פעולה.
(R× , ·) .2־ × = Rאוסף האיברים השונים מ.0
F .3שדה (F, +) ,מגדיר פעולה.
(F× , ·) .4־ ×) = Fשוב( אוסף האיברים השונים מ.0
F .5שדהdet (A) 6= 0} ,
| ) GLn (F) = {A ∈ Mn (Fעם פעולת הרכבה.
f } X = {1, 2, . . . , n} .6חח"ע ועל | Sym (x) = {f : x → xפעולת הרכבה.
בדוגמאות שראינו ,לקבוצה עם הפעולה הבינארית גם מתקיים:
.1אסוציאטיביות )דהיינו(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z :
.2קיים איבר יחידה eכך ש x ◦ e = e ◦ x = xלכל x ∈ X
.3קיימת פונקציה ι : X → Xכך ש x ◦ i (x) = e
2.2הגדרת החבורה
הגדרה 2.2.1חבורה :חבורה היא קבוצה Gעם פעולה בינארית ◦ ,כך ש:
.1הפעולה אסוציאטיבית
.2יש איבר יחידה eכך ש e ◦ x = x ◦ e = x
.3יש פונקציה ι : G → Gכך שx ◦ ι (x) = e :
∀x ∈ G,
∀x ∈ G,
הערה 2.2.2אם מתקיים גם x ◦ y = y ◦ xאז החבורה תקרא חבורה קומוטטיבית/חילופית/אבלית.
למה 2.2.3
6
פרק .2חבורות
.2.2הגדרת החבורה
∀x ∈ G,
ι (x) .1הוא גם הופכי משמאל .ז"א ι (x) · x = e
.2כלל הצמצום :אם xa = yaעבור x, y, a ∈ Gאזי x = y :וגם אם
ax = ayאזי x = y
ι (ι (x)) = x .3
∀x ∈ g
ι (x ◦ y) = ι (y) ◦ ι (x) .4
הוכחה :יהי x ∈ gנסמן y = ι (x) :וz = ι (y) :
))x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦z ⇒ x = z = ι (ι (x
} | {z
} | {z
)y ◦ ι (y) x ◦ ι (x
} | {z } | {z
e
e
|
{z
} } | {z
x
z
ולכן קיבלנו את 3כנדרש .כמו כן ,בפרט זה מוכיח ש ιחח"ע ועל.
מאחר ש ιחח"ע ועל ,אזי כל איבר y ∈ Gהוא מהצורה ) y = ι (xעבור איזשהו .x ∈ Gאזי:
ι (y) ◦ y = ι (ι (x)) ◦ ι (x) = x ◦ ι (x) = e
ולכן ,לכל y ∈ Gקיבלנו ι (y) ◦ y = e :וזה מוכיח את 1כנדרש.
בהינתן a ◦ x = a ◦ yאזי נקבל:
= )ι (a) ◦ (a ◦ x
⇒ )ι (a) ◦ (a ◦ y
= (ι (a) ◦ a) ◦ x
= e◦x
⇒ (ι (a) ◦ a) ◦ y
e◦y
= x
y
ולכן גם 2נכון כנדרש.
הערה 2.2.4נשים לב שנובע מ 2שהגדרת ιהיא יחידה .זאת אומרת אם e = x ◦ ι (x) = x ◦ ι′ (x) :אזי
) .ι (x) = ι′ (xכלומר ההופכי )מימן או משמאל( הוא יחיד!
לכן כדי להוכיח את 4מספיק להוכיח ש:
(x ◦ y) ◦ (ι (y) ◦ ι (x)) = e
= ))(x ◦ y) ◦ (ι (y) ◦ ι (x)) = x ◦ (y ◦ (ι (y) ◦ ι (x))) = x ◦ ((y ◦ ι (y)) ◦ ι (x
x (e ◦ ι (x)) = x ◦ (ι (x)) = e
כנדרש.
הערה 2.2.5גם בחבורה כללית נסמן .ι (x) = x−1 :לא נסמן ב
קומטטיביות אנחנו לא נוכל לדעת האם מדובר ב x1 yאו .y x1
P
1
x
כיוון שאז נהוג לכתוב
y
x
וכיוון שאין
דוגמה : 2.2.6כל המקרים שהבאנו קודם לפונקציות בינאריות )בדוגמה (2.1.2נתנו למעשה חבורות.
לדוגמה .G = GLn (F) :המטריצה ההופכית ־ ι (a) = A−1
כמו כן :כל מרחב וקטורי מעל שדה Fהוא חבורה.
2.2.1
תת חבורה
הגדרה 2.2.7תת־חבורה :אם Gחבורה ,אזי H ⊆ Gתת־קבוצה לא ריקה של ,Gתקרא תת־חבורה)או חבורה
חלקית ־ ח"ח( אם לכל x, y ∈ Hמתקיים x ◦ y ∈ Hוגם .ι (x) ∈ H
7
.2.2הגדרת החבורה
פרק .2חבורות
הערה 2.2.8נשים לב שתת־חבורה היא חבורה כי האקסיומות מתקיימות ,מתוך כך שמתקיימות ב.G
אסוציאטיביות ־ ברור.
איבר יחידה קיים מאחר ו Hלא ריקה .בהינתן x ∈ Hאזי לפי הגדרה גם ι (x) ∈ Hוגם .e = x ◦ ι (x) ∈ H
קיום הפונקציה ,ιהיא אותה הפונקציה ιעבור Gאשר סגורה ב.H
P
תרגיל :בהינתן Gחבורה ו H ⊆ G :תת־חבורה אם"ם Hלא ריקה ולכל .x−1 y ∈ H x, y ∈ H
דוגמה : 2.2.9
G ≤ G .1
.2איבר היחידה{e} ≤ G .
) Z ≤ Q ≤ R .3ביחס לפעולת החיבור(
×
×) Rהחבורה כפלית(.
.4
>0 ≤ R
חבורה חלקית של )) GLn (Fכיוון ש:
F .5שדהH = SLn (F) = {A ∈ Mn (F) | det (A) = 1F } :
1
)det A−1 = det(A
det (AB) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1וגם= 11 = 1 :
G = SLn (R) .6ונגדיר }) H = SLn (Z) = {A ∈ Mn (Z) | det (A) = 1מטריצות עם קואורדינטות
שלמות(.
נשים לב כיA, B ∈ SLn (Z) :אזי A · B ∈ SLn (Z) :כי מכפלת מטריצות שלמות היא שלמה וה
detנכפלת .צריך לבדוק שאם ) A ∈ SLn (Zאזי גם ) .A−1 ∈ SLn (Zנזכור כי A−1ניתנת להגדרה
לבעזרת המינורים ולכן:
..
.
..
..
.
.
· · · Aˆi,j · · ·
..
..
.
.
.
.
.
= A−1
)det (A
אבל det (A) = 1ולכן המטריצה שלמה.
n
.7
α = (a1 , . . . , aו ) .β = (b1 , . . . bnעם מכפלה פנימית B : V × V → R
V = Rמרחב וקטוריn ) ,
P
המוגדרת באופן הבא .B (α, β) = ai biאזי:
}) = On (R) = {A ∈ GLn (R) | B (Aα, Aβ) = B (α, βהחבורה האורתוגונלית
הטענה ,זו ח"ח של ).GLn (R
צריך לבדוק g, h ∈ On (R) :אז g ◦ h ∈ On (R) :וגם ):g −1 ∈ On (R
)B (α, β
?
)B ((gh) α, (gh) β
=
}B (g (hα) , g (hβ)) |{z
)= B (hα, hβ) = B (α, β
)g∈On (R
צריך לבדוק שאם ) g ∈ On (Rאזי גם ):α, β ∈ Rn .g −1 ∈ On (R
= = B g g −1 α , g g −1 β
}|{z
)g∈On (R
02/11/2011
גם את השיעור
היום העביר אלכס
לובוצקי
)g ◦ g −1 α, g ◦ g −1 β = B (Iα, Iβ) = B (α, β
B g −1 α, g −1 β
B
תרגיל :אם H1 , H2 ≤ Gאזי .H1 ∩ H2 ≤ G
8
פרק .2חבורות
.2.2הגדרת החבורה
תזכורת 2.2.10תזכורת משיעור קודם:
הגדרה 2.2.11חבורה :חבורה זו קבוצה Gעם פעולה בינארית · (x, y) 7→ x · y :המקיימת:
.1אסוציאטיביות ∀x, y, z ∈ G x · (y · z) = (x · y) · z
.2קיים e ∈ Gכך שx · e = e · x = x :
.3לכל x ∈ Gקיים איברי x−1 ∈ Gכך שx · x−1 = e :
הערה 2.2.12אם a ∈ Gוקיים x0 ∈ Gכך ש x0 a = x0 :אזי a = e :ובפרט xa = x :לכל .x ∈ Gוזה על פי
חוק הצמצום x0 a = x0 e ⇒ a = e
טענה 2.2.13
אם Gחבורה ו {Hα }α∈Iאוסף של חבורות חלקיות של GאזיHα :
T
= Hהוא חבורה חלקית
α∈I
נבחין כי ∅ = H 6כיוון ש e ∈ Hαלכל ) .αכי כל חבורה חלקית מכילה את e־ בדוק!(
הוכחה :ראשית T
ולכן Hα ∋ e
.
α∈I
T
אם a, b ∈ Hאזי a, b ∈ Hαלכל αו Hαחבורה חלקית לכן a · b ∈ Hαלכל αולכןHα :
= a·b ∈ H
α∈I
כמו כן ,אם a ∈ Hאזי a ∈ Hαלכל Hα .αחבורה חלקית לכל a−1 ∈ Hαלכל αולכן .a−1 ∈ H
2.2.2
חבורה נוצרת
הגדרה 2.2.14חבורה נוצרת :אם Gחבורה ,ו Y ⊆ Gתת קבוצה .נסמן }{H| Y ⊆ H ≤ G
חיתוך כל החבורות החלקיות של Gהמכילות את הקבוצה .(Y
וזה יקרא החבבורה הנוצרת ע"י .Y
T
= ) hY iכלומר
הערה 2.2.15
.1נשים לב כי האוסף לא ריק כי Y ⊆ Gולכן Gבעצמו נכלל באוסף.
.2זו אכן חבורה חלקית ,כי ראינו שחתוך של חבורות חלקיות מהווה חבורה חלקית.
.3אם ∅ = Yאזי }hY i = {e
טענה 2.2.16
Y ⊆ Gקבוצה חלקית ,אזי hY iהוא אוסף כל האיברים g ∈ Gהניתנים לכתיבה כ:
g = y1ε1 · y2ε2 · . . . · ynεn
}n ∈ N ∪ {0
כאשר yi ∈ Yלכל i = 1, . . . , nוגםεi = ±1 :
הוכחה :ברור שכל "מילה" מהצורה y1ǫ1 · . . . · ynǫnמוכלת בכל חבורה חלקית המכילה את Yולכן גם ב .hY iכדי
להוכיח הכלה בכיוון השני ,נוכיח שאוסף המילים הללו מהווה חבורה חלקית )ואז זו חבורה חלקית המכילה את
Yולכן מכילה את (hY i
זו קבוצה לא ריקה )אם ∅ = Y 6ברור ,אם ∅ = Yאזי המילה באורך 0היא eע"פ הגדרה(.
מכפלת 2מילים כנ"ל זה שרשור של המילים .ולכן ,גם באוסף.
ולבסוף ,הופכי:
= yn−εn · . . . · y1−ε1
−1
) (y1ε1 · . . . · ynεn
ולכן גם היא מילה מאותה צורה.
הגדרה 2.2.17
.1נאמר ש Y ⊆ Gיוצרת את Gאם hY i = G
.2חבורה Gנקראת ציקלית אם היא נוצרת ע"י איבר אחד
9
.2.2הגדרת החבורה
P
פרק .2חבורות
דוגמה : 2.2.18
(Z, +) .1נוצרת ע"י }Y = {1
Zn = {0, 1 . . . , n − 1} .2עם חבור מודולו nזו חבורה הנוצרת גם היא ע"י }{1
C2 = {±1} .3ביחס לכפל נוצרת ע"י } .{−1נשים לב כי היא איזומורפית ל ) Z2נלמד משמעות בהמשך(
לוח כפל של חבורה מסדר nזה רבוע קסם :n × n
·
e a b c
e e a b c
a a
b
b
c c
דהיינו בכל שורה ובכל עמודה מופיע כל אחד מהאיברים בדיוק פעם אחת.
P
הערה 2.2.19לא כל ריבוע קסם מגדיר חבורה!
דוגמה : 2.2.20נרצה לראות איך נראת חבורה מסדר :2
·
e a
e e a
a a e
נשים לב שאין לנו אפשרות אחרת למלא את הטבלה ,לכן זה אומר שכל החבורה מסדר 2הן איזומורפיות.
P
דוגמה : 2.2.21עבור חבורה מסדר :3
·
e a b
e e a b
a a b e
b b e a
גם כאן ,לא הייתה לנו אפשרות לסדר את הטבלה אחרת ,נשים לב שזו טבלת החיבור של .Z3
הערה 2.2.22לסדר 4כבר יהיו 2אפשרויות.
07/11/2011
מעתה נלמד עם
אהוד דה־שליט
הגדרה 2.2.23סדר :אם Gהיא סופית ,מספר אבריה נקרא סדר החבורה ומסומן ||G
קצת חזרה על מה שנלמד עד כה:
הגדרה 2.2.24קומוטטיבית\אבלית :אם Gמקיימת בנוסף:
P
P
∀x, y x ◦ y = y ◦ x
אזי Gנקראת קומוטטיבית או אבלית.
דוגמה 2.2.25החבורה הטריוויאלית e ◦ e = e ,G = {e} :ולכן .ι (e) = e
הטריוויאלית.
חבורה זו היא החבורה
דוגמה GLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) , det (A) 6= 0} : 2.2.26עם פעולת כפל המטריצות.
נשים לב כי קיים איבר יחידה:
1 ··· 0
.. . .
.
e = I = .
. ..
1
··· 0
וכמו כן קיים איבר הופכי:
ι (A) = A−1
)קיים כי .(det (A) 6= A
ולכן זוהי חבורה.
10
פרק .2חבורות
.2.2הגדרת החבורה
עקרונית ,ניתן לתאר חבורה Gע"י "לוח הכפל" ,אבל זה לא נהוג.
כמו כן ,נכיר מספר חבורות ידועות:
)GLn (R
)SLn (R
)SOn (R
General Linear Groupמוגדרת באופן הבאGLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) , det (A) 6= 0} :
Speial Linear Groupמוגדרת באופן הבאSLn (R) = {g ∈ GLn (R) , det (g) = 1} :
Speial Orthogonal Groupמוגדרת בתור המטריצות האורתוגונליות מדטרמיננטה = ,1דהיינו:
}SOn (R) = {g ∈ SLn (R) | g t g = I
H, K ≤ Gתתי חבורות ,אזי גם החיתוך .H ∩ K ≤ G
אזהרה :איחוד של תתי חבורות בדרך כלל אינו תת חבורה!
P
דוגמה G = Z : 2.2.27עם פעולת החיבור .+
e = 0וכמו כןι (n) = −n :
נשים לב כי:
6Z ∩ 9Z = 18Z
בהנתן קבוצה S ⊆ Gקיימת תת חבורה מינימלית של Gהמכילה את כל .Sתת החבורה הזאת מסומנת hSi
ונקראת תת החבורה הנוצרת על ידי .S
אם hSi = Gאומרים ש Sקבוצה יוצרים של .G
Gנקראת חבורה ציקלית )מעגלית( אם יש לה יוצר אחד ) G = h{g}i = hgiהאיבר gאינו יחיד בדרך כלל(.
למה 2.2.28
בהינתן {Hα }α∈Iאוסף של תת חבורות של חבורה Hאזי גם Hα
T
= Hגם הוא תת חבורה.
α∈I
הוכחה :כבר הוכחנו את זה בשיעור הקודם.
טענה 2.2.29
בהנתן קבוצה S ⊆ Gקיימת תת חבורה מינימלית יחידה של Gהמכילה את כל .S
הוכחה :בהנתן S ⊆ Gנסתכל באוסף כל תת־החבורות Hα ≤ Gהמכילות את .S
זהו אוסף לא ריק )למשל ,(Gוחתוכו אם כך תת־חבורה המכילה את ,Sוהחתוך הזה שייך בעצמו לאוסף
ובהכרח הוא איבר מינימלי באוסף .ולכן:
\
= hSi
Ha ⊆ Hα
α∈I
אפשר לתאר את = hSiתת־החברוה הנוצרת על ידי Sגם על ידי בניה "מלמטה":
כלומר נסמן:
}S˜ = S ∪ ι (S) ∪ {e
כאשר:
}ι (S) = {ι (x) | x ∈ S
מילה על Sהינה ביטוי מהצורה:
x1 x2 x3 . . . xn ∈ G
כאשר ˜.xi ∈ S
טענה 2.2.30
אברי Gשהם מילים על Sמהוים בדיוק את hSi
הוכחה :הוכחנו בשיעור הקודם.
11
פרק .2חבורות
.2.2הגדרת החבורה
2.2.2.1חבורת השעון Z12
1
0
11
10
2
3
9
4
8
5
6
7
איור :2.1חבורת השעון ־ Z12
} G = {0, 1, . . . , 11עם פעולת החיבור על השעון +מודולו 12היא חבורת השעון.
איבר היחידה בחבורה הוא e = 0 :וι (x) = −x :
Gציקלית נוצרת ע"י |G| = 12 .1
תת חבורות:
n o
0־ טריויאלית )איבר בודד(
.1
o
n
0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, 11 = G .2
n
o
0, 2 , 4, 6, 8, 10 .3
n
o
0, 3 , 6, 9
.4
.5
.6
o
o
0, 4 , 8
0, 6
n
n
) 12איברים(
) 6איברים(
) 4איברים(
) 3איברים(
) 2איברים(
הערה 2.2.31האיברים הממוסגרים הם האיברים היוצרים של כל תת חבורה.
נבחין שקיימים 2איברים מסדר 2כלומר שמקיימים x2 = e :והם .0, 6
שעונים עם כמות שעות שונה אם היינו בוחנים את Z11היינו שמים לב כי תתי החבורות היחידים שאפשריים
הם{0, 1, . . . , 11} :ו } .{0כמובן שיש קשר לכך ש 11ראשוני.
12
פרק 3
פעולות של חבורה על קבוצה
תהיה Gחבורה X ,קבוצה .פעולה של Gעל Xהנה פונקציה G × X → X :המסומנת:
המקיימת ∀x e · x = x :וגם מתקייםx :
P
(g, x) 7→ g · x
·
}|{z
פעולת Gעל X
}x = g |{z
h
·
כפל חבורה
·
}|{z
פעולת Gעל X
h
·
}|{z
g
פעולת Gעל X
דוגמה X = Rn ,G = GLn (R) : 3.0.32אזי הפעולה g · x = g (x) :היא בעצם כפל של וקטור במטריצה.
נשים לב כי:
I·x=x
וכמו כן,
A (Bx) = (AB) x
P
דוגמה : 3.0.33
Xקבוצה כלשהי G = SX ,חבורת התמורות של X = {1, . . . , n} .X
הערה 3.0.34נהוג לסמן Sn = SX :וקוראים לה החבורה הסימטרית על nאיברים.
אם αתמורה )פעולה חח"ע ועל מ Xעל עצמו( ) α · x = α (xנשים לב כי e · x = xתמורת הזהות .וכמו כן:
)α (β (x)) = α (β · x) = (αβ) (x
למה 3.0.35
אם G × X → Xפעולה של חבורה על קבוצה ,אזי לכל g ∈ Gהפונקציהπg : X → X ,πg (x) = g · x :
הינה תמורה של .X
הוכחה :חח"ע :אם ) πg (x) = πg (yאזי .g · x = g · y :נפעיל g −1ונקבל:
x = e · x = g −1 g x = g −1 (gx) = g −1 (gy) = g −1 g y = ey = y
על πg (x) = y :נבחר x = g −1 yאז:
πg (x) = g · g −1 y = gg −1 · y = e · y = y
13
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
P
דוגמה : 3.0.36כל חבורה פועלת על עצמה ע"י פעולת החבורה:
X=G
G×G→G
P
)האקסיומות הן של יחידה וחוק אסוציאטיבי(
דוגמה 3.0.37חבורת המעגל:
− sin θ
cos θ
cos θ
= )G = SO2 (R
sin θ
פועלת על R2ע"י סיבוב בזוית .θ
y
~v
~v
θ
x
איור :3.1סיבוב וקטור בזוית θ
09/11/2011
הערה 3.0.38אם Gפועלת על Xו ,H ≤ G :אזי כמובן גם Hפועלת על X
14
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
P
דוגמה : 3.0.39
.1החבורה ) G = GLn (Rוהקבוצה X = Rnוהפעולה היא:
x1
a1,n
.. .. = . . . . . . . . .
. .
xn
···
..
.
···
an,n
a1,1
A · x = ...
an,1
G .2פועלת על עצמה ע"י כפל משמאל(G = X) :
G
}G × |{z
}G → |{z
X
X
X .3קבוצה כל שהיא=SX :חבורת התמורות על X
הגדרה 3.0.40תמורה של קבוצה Xהיא פונקציה חח"ע ועל .α : X → X
α ◦ πהרכבה.
))(α ◦ β) (x) = α (β (x
הערה 3.0.41צריך לבדוק שגם α ◦ βתמורה:
) α ◦ β (x2
)) α (β (x2
) β (x2
x2
=
=
⇓
=
⇓
=
) α ◦ β (x1
)) α (β (x1
) β (x1
x1
וכמו כן:
α ◦ β (x) = y
אזי קיים zכך ש) α (z) = y :כי αעל( .וכמו כן קיים xכך ש β (x) = zולכן:
α (β (x)) = α (z) = y
כמו כן ,קיים הופכי לתמורות.α−1 (x) = y ⇐⇒ α (y) = x .
הערה 3.0.42במידה ו } X = {1, 2, . . . , nנסמן Sx = Sn :ונקרא לה החבורה הסימטרית על nאברים.
!|Sn | = n
P
1
2
...
n
)α (1) α (2) . . . α (n
=α
דוגמה : 3.0.43במשולש ,כמו שראינו בתרגול 2ניתן להשתמש בתמורה על הקודקודים ופעולות סימטריות
שניתן לעשות עליו והיא שקולה ל .S3לדוגמה ,הרכבה של שיקוף וסיבוב תתן לנו:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
◦
=
2 1 3
2 3 1
1 3 2
לעומת זאת נשים לב כי:
2 3
2 1
3
1 215 3
1
◦
=
1
2 1 3
3
כלומר S3 :היא חבורה לא אבלית )קומוטטיבית(
− sin θ
cos θ
1 2
2 3
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
.3.1מסלולים
טענה 3.0.44
לכל g ∈ Gהפונקציה πg : X → X :המוגדרת באופן הבא πg = g · x :היא תמורה של .X
הערה 3.0.45אם H ≤ Gו Gפועלת על Xאז גם Hפועלת על .H × X → X :X
למשל :אם .H × G → G :H ≤ G
משפט 3.0.46
אם Gפועלת על Xומגדירים יחס על :X
∃g ∈ G y = g · x ⇐⇒ x ∼ y
אזי זהו יחס שקילות
הוכחה:
רפלקסיביות:
x=e·x⇒x∼x
סימטריות:
y ∼ x ⇒ y = g · x ⇒ g −1 y = g −1 gx = ex = x ⇒ x ∼ y
טרנזטיביות:
y ∼ x, z ∼ y ⇒ y = hx z = gy ⇒ z = g (hx) = (gh) x ⇒ z ∼ x
14/11/2011
3.1
מסלולים
מסקנה 3.1.1
Xמתחלקת לאיחוד זר של מחלקות שקילות תחת פעולת .G
מחלקת השקילות של איבר x ∈ Xנקראת המסלול ) (orbitשל xתחת הפעולה ומסומנת O (x) :או Gx
O (x) = {g · x| g ∈ G} = Gx
האיבר xעצמו נקרא נציג של המסלול .וחשוב לציין שאיננו יחיד ־ אם גם x′נציג אזי) x′ ∼ x :כלומר קיים
g ∈ Gכך ש(x′ = gx :
P
דוגמה ) G = 3Z : 3.1.2עם פעולת החיבור( פועלת על ידי הזזה על X = Z
ישנם 3מסלולים:
0 + 3Z = 3Z
1 + 3Z
2 + 3Z
16
.3.1מסלולים
P
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
דוגמה : 3.1.3דוגמאות נוספות למסלולים:
X
G
1
0
Rnעבור x = . :נשים לב כי:
)GLn (R
..
מסלולים
0
a1,n
..
.
···
..
.
···
an,n
ולכן:
a1,1
..
g= .
an,1
a1,1
gx = ...
an,1
1
0
ולכן עבור x = . נקבל שהמסלולים הם:
..
0
}Rn \ {0
כיוון שכל וקטור שנבחר )השונה מאפס( ניתן
להשלמה לבסיס ,וכך נבנה את המטריצה g
שלנו.
0
לחילופין עבור x = ... נקבל כי המסלול
0
=
− sin θ
cos θ
SO
)2 (R
cos θ
sin θ
SX
R2
X
הוא }{0
} {0ומעגלים קונצנטריים סביב האפס.
נשים לב כי זוהי תת־חבורה של )GLn (R
אבל היא משנה לגמרי את האופי הגיאומטרי
של המסלולים.
Xמסלול יחיד.
לכל x, yישנו g ∈ SX :כך ש y = gx
g (y) = x
g (x) = y,
וכמו כן g (z) = z ⇐∀z 6= x, y
זוהי טרנספוזיציה .החלפה של שני איברים
בלבד.
P
הגדרה 3.1.4פעולה טרנזטיבית :פעולת Gעל Xנקראת טרנזטיבית אם ישנו רק מסלול אחד.
דוגמה G : 3.1.5על X = Gעל ידי כפל משמאל
לכל x, y ∈ Gיש g ∈ Gכך ש:
gx = y ⇒ g = yx−1
17
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
.3.2נקודות שבת
P
x
x
דוגמה G = Z2 = {e, σ} : 3.1.6כאשר .σ y = y .X = R3
z −z
x
x
= zאו מקרים
לכן המסלולים הם מסלולים של זוגות ,כל הוקטורים מהמבנה y , y כאשר 6 0
z
−z
x
של מסלולים של איבר אחד . y
0
3.2
נקודות שבת
הגדרה 3.2.1נקודת־שבת x :נקראת נקודת־שבת ) (Fixed Pointשל פעולת Gאם } {xמסלול.
g·x=x
P
∀g
דוגמה : 3.2.2נשים לב כי ב ) GLn (Rאזי } {0היא נקודת שבת.
כמו כן גם ) {0} SO2 (Rהיא נקודת שבת.
במקרה של SXאין לנו כלל נקודות שבת.
x
x
ואילו בדוגמה "} G = Z2 = {e, σכאשר "σ y = y .X = R3נקודות השבת הן כל הנקודות
z
−z
x
במבנה . y
0
הגדרה 3.2.3פעולה נאמנה :אומרים שפעולת Gעל Xהיא נאמנה אם לכל e 6= g ∈ Gישנו x ∈ Xכך ש
.gx 6= x
יהי x ∈ Xנסמן:
}Gx = {g ∈ G| gx = x
זהו המייצב של .x
למה 3.2.4
) Gx ≤ Gתת־חבורה(
הוכחה e · x = x :ולכן ) e ∈ Gxלפעמים המייצב הוא רק (e
אם gx = xאזי x = g −1 gx = g −1 xולכן גם .g −1 ∈ Gx
אם gx = xוגם hx = xאזי:
(gh) x = g (hx) = g (x) = x
P
ולכן Gxתת חבורה.
דוגמה G = Sn .X = {1, . . . , n} : 3.2.5מהו המייצב של ?n
1
2
3
... n
=α
= Sn−1
α (1) α (2) α (3) . . . n
18
.3.3פעולות של תת חבורה על חבורה
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
P
) G = GLn (Rו X = Rn :עבור x) Gx = G ⇐x = 0נקודת שבת(
דוגמה : 3.2.6
1
0
מקרה נוסף x = . :ומרחב המטריצות:
..
0
P
∗ ∗ ...
∗ ∗ ...
.
.. . .
. ..
.
∗ ...
1
0
Gx =
..
.
0
נשים לב כי המטריצה הקטנה )המסומנת( חייבת להיות הפיכה כדי שהמטריצה הגדולה תהא הפיכה.
דוגמה G : 3.2.7פועלת על עצמה על ידי כפל משמאל:
}Gx = {g| gx = x} = {e
מכלל הצמצום )נצמצם ב x−1מימין(.
P
הגדרה 3.2.8פעולה חופשית G :פועלת חופשית ) (freelyעל Xאם } Gx = {eלכל xב.X
3.3
דוגמה : 3.2.9לדוגמה Gפועלת על עצמה על ידי כפל משמאל.
פעולות של תת חבורה על חבורה
ראינו את המקרה בו Gפעולת על עצמה ע"י כפל משמאל .כעת נבחן את המקרה בו צמצמנו את Gלתת־חבורה
.Hכלומר Hפועלת H × G → G
h, g 7→ h g
}|{z
}|{z
=x
=x
המסלול של gהינו:
P
{hg|h ∈ H} = Hg
והוא נקרא המחלקה הימנית של Hהנקבעת ע"י .g
דוגמה : 3.3.1
G = Z 3Z + i
H = 3Z,
gהינו נציג של המחלקה Hgשני אברים g1 , g2מייצגים אותה מחלקה ימנית ולכן⇐⇒ :
.Hg1 = Hg2
P
דוגמה : 3.3.2כלומר3Z + 1 = 3Z + 4 :
את אוסף המחלקות הימניות מסמנים H\Gמספרן נקרא האינדקס של Hב Hומסומן:
P
∞ ≤ ][G : H
דוגמה : 3.3.3
[Z : 3Z] = 3
19
hg1 = g2
∃h
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
.3.3פעולות של תת חבורה על חבורה
למה 3.3.4
Gחבורה סופית g ∈ G .H ≤ G ,אז.|H| = |Hg| :
הוכחה :נעתיק את Hעל H · gע"י ϕ .ϕ (h) = h · gהנה על מהגדרת המחלקה ϕ .הנה חח"ע בגלל כלל הצמצום:
h1 g = h2 g ⇒ h1 = h2
ולכן בהכרח | |H| = |Hgכיוון שיש בניהם העתקה חח"ע ועל.
3.3.1
משפט לגרנז'
משפט 3.3.5משפט לגרנז'
אם Gחבורה סופית ,הסדר של כל תת חבורה Hשלה מחלק את הסדר של Gומתקיים:
]|G| = |H| · [G : H
הוכחה :אם ] r = [G : Hו־ g1 , . . . , grנציגים של המחלקות הימניות השונות ,יש לנו איחוד זר.
G = Hg1 ∪ Hg2 ∪ . . . ∪ Hgr
)חלוקה של המרחב Gלאיחוד זר של מסלולים תחת פעולת (H
}|Hgi | |{z
]= |H| r = |H| [G : H
מהלמה
r
X
i=1
= ||G
מסקנה 3.3.6
תהיה Gחבורה מסדר ראשוני pאזי אין ל Gתת־חבורות שונות מ Gומ} {eו Gציקלית.
הוכחה :אם H ≤ Gאזי H) |H| |p :מחלק את (pאבל pראשוני⇐ |H| = 1ואז } H = {eאו |H| = pאז
.H=G
נראה ש Gציקלית .נקח g 6= eב Gונסתכל ב H = hgi
H = gi| i ∈ Z
אם |H| > 1אז H = Gכלומר Gנוצרת ע"י אבר אחד ולכן ציקלית.
הערה 3.3.7מחלקות מהמבנה Hgiהן אינן תת חבורות פרט ל gi = eכיוון ש eאינו נמצא באף אחת מהן!
הגדרה 3.3.8סדר של איבר :הסדר של איבר g ∈ Gהוא ה nהמינימלי )הטבעי( כך ש ) g n = eאם אין nכזה
אומרים שהסדר אינסופי(.
מסמנים ).o (g
טענה 3.3.9
|o (g) = |hgi
הוכחה :אם 0 ≤ i < j < nאזי e, g, g 2 , . . . , g n−1 :g i 6= g j :שונים זה מזה כי אחרת g i = g jאזיe = g j−i :
) (1 ≤ j − i < nוזוהי סתירה לבחירת .n
∞.
אם ∞ = ) = |hgi| ⇐o (g
מאידך ,אם o (g) = nסופי e, g, . . . , g n−1הוא כבר סגור לפעולות החבורה:
(
g i+j
0≤i+j <n
i
j
= g ·g
i+j−n
g
אחרת
20
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
.3.3פעולות של תת חבורה על חבורה
וכמו כן:
= g n−i
−1
gi
לכן hgi = e, g, . . . , g n−1וסדרה .n
מסקנה 3.3.10למשפט לגרנז'
לכל o (g) g ∈ Gמחלק את |.|G
הוכחה :ממשפט לגרנז' | o (g) = |hgiאבל הסדר של hgiלפי משפט לגרנז' מחלק את |.|G
מסקנה 3.3.11
n
אם |G| = nאזי g = eלכל .g ∈ G
הוכחה :אם הסדר של o (g) = mאזי n = k · mכאשר .k ∈ Nולכן:
k
g n = (g m ) = ek = e
משפט 3.3.12המשפט הקטן של פרמה
אם aטבעי זר לראשוני pאזי:
ap−1 ≡ 1 mod p
P
דוגמה : 3.3.13
35−1 = 34 = 81 ≡ 1 mod 5
או לחילופין:
47−1 = 46 ≡ 1 mod 7
הוכחה :נקח .G = Z∗p :נשים לב כי ) |G| = p − 1הורדנו את האפס(.
a ∈ Gהשארית של aמודולו .pנקבל:
ap−1 = 1
16/11/2011
הגדרה 3.3.14באופן זהה למחלקות ימניות יש לנו גם מחלקות שמאליות g ∈ G ,H ≤ G .אז המחלקה השמאלית
של Hשנקבעת ע"י gהיא:
}g · H = {g · h| h ∈ H
הגדרה 3.3.15נגדיר את הפעולה של Hעל Gע"י כפל מימין כך:
h ∗ g = gh−1
}|{z
}|{z
∈G=x
21
∈H
.3.4חבורה לא קומוטטיבית
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
הערה 3.3.16נבדוק את אקסיומת הפעולה:
.1
e ∗ g = ge−1 = ge = g
.2
= (h1 h2 ) ∗ g
−1
−1 −1
h−1
) 1 = gh2 h1 = g (h1 h2
−1
h1 ∗ (h2 ∗ g) = gh2
)נשים לב כי הסדר של האיברים כאשר איחדנו את ההופכי ,באופן לא מפתיע ,מתהפך(.
נשים לב שמעכשיו ,הכל זהה לחלוטין לכפל משמאל כיוון ש:
−1
O (g) = gh | h ∈ H = g · H
ולכן מחלקות שמאליות הנן המסלולים של Hבפעולתה על gעל ידי כפל מימין.
מסקנה 3.3.17
.1שתי מחלקות שמאליות מתלכדות או זרות
g2 = g1 h ⇐⇒ g1−1 g2 ∈ H
g1 H = g2 H ⇐⇒ ∃h
) |H| = |gH| .2אם Hסופית(
הוכחה זהה למקרה של מחלקות שמאליות.
הגדרה 3.3.18אוסף המחלקות השמאליות יסומן G) G/Hמודולו (H
מספרן = האינדקס )השמאלי(
|[G : H]ℓ = |G/H
משפט 3.3.19משפט לגרנז'
אם Gסופית אז:
||G| = [G : H]ℓ · |H
הערה 3.3.20נשים לב כי זה גורר:
][G : H]ℓ = [G : H
ולכן לא נשתמש בסימון[G : H]ℓ :
תרגיל [G : H]r = [G : H]ℓ :ולכן יסומן ] [G : Hגם אם Gאינסופית.
3.4
חבורה לא קומוטטיבית
ראינו כי חבורה מסדר 2היא קומוטטיבית כי היא מסדר ראשוני ,כמו כן גם 3ו־ .5כמו כן ראינו גם את כל
לוחות הכפל )שניים סה"כ( של 4וראינו שגם הם קומוטטיבים.
22
.3.4חבורה לא קומוטטיבית
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
החבורה הראשונה שהיא לא קומוטטיבית היא מסדר 6החבורות:
חבורת התמורות על }G = D3 = S3 = {1, 2, 3
1 2 3
1 2 3
=, τ
=σ
3 2 1
2 3 1
{z
}
{z
}
|
|
סיבוב
שיקוף
אם נשווה למשולש מדובר בפעולות שיקוף וסיבוב כמו שראינו בתרגול.
הסיבובים שלנו הם:
2 3
1 2
1
=
3
2
e, σ, σ
והשיקופים שלנו הם:
στ
3
2
{|}z
τ σ2
}|{z
σ2 T
1 2
1 3
{|}z
τ,
τσ
,
}|{z
1 2 3
2 1 3
נתבונן ב H = {e, τ } = hτ i
המחלקות השמאליות של Hעל Gהן:
2
Hσ , Hσ
}H , |{z
}|{z
}|{z
} {e,τ } {σ,τ σ} {σ2 ,τ σ2
)מצאנו 3מחלקות ,לכן מצאנו את כולן לפי משפט לגרנז'(
נמצא את המחלקות הימניות:
2
σ
H
}|{z
}H , |{z
σH ,
}|{z
} {e,τ } {σ,τ σ2 } {σ2 ,τ σ=σ2 τ
הפירוקים שונים!
כלומר ,שוב יש לנו פירוק ל 3מחלקות ,אבל
בGיש לנו חבורה נוספת N = e, σ, σ 2 = hσi :חבורת הסבובים= 2 .
נראה כי:
τ σ2
}τ σ ,|{z
}|{z
στ
נשים לב כי במקרה זהN τ = τ N :
Nτ
}|{z
σ2 τ
τ,
6
3
N ,
}|{z
} {e,σ,σ2
הגדרה 3.4.1תת חבורה N ≤ Gנקראת נורמלית אם לכל .gN = N g :g ∈ G
מסמנים N ) N ⊳ Gנורמלית (G
P
דוגמה : 3.4.2בדוגמה שלנו } H = {e, τאינה נורמלית ב .S3אבל:
S3 ⊲ N = e, σ, σ 2
21/11/2011
23
= ] [G : N
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
.3.5משפט המסלולים
3.5משפט המסלולים
תהי Gחבורה X ,קבוצה G × X → X .פעולה של Gעל .X
יהי x ∈ Xהמסלול של :x
}O (x) = Gx = {gx|g ∈ G
המייצב של :x
}G ≥ Gx = {g ∈ G| gx = x
משפט 3.5.1
קיימת התאמה חח"ע ועל ϕבין G/Gxו )O (x
הוכחה :נתאים למחלקה gGxאת האיבר ϕ (gGx ) = g · x
.1העתקה ϕמוגדרת היטב .אם) gGx = g1 Gx :כלומר g1נציג אחר של אותה מחלקה שמאלית( אזי:
h ∈ Gx . g1 = ghואז:
g1 x = ghx = gx
ϕ .2על ,כל איבר במסלול ) O (xהנו g · xעבור .g ∈ G
ϕ .3חח"ע נניח ) ϕ (gGx ) = ϕ (g1 Gxעבור g, g1 ∈ G :אז:
g · x = g1 · x
x = g −1 gx = g −1 g1 x ⇐⇒ g −1 g1 ∈ Gx ⇐⇒ gGx = g1 Gx
מסקנה 3.5.2
אם Xו G :סופית:
||O (x)| = [G : Gx ] | |G
3.6פעולה על ידי הצמדה
דרך נוספת שבה תת חבורה Hפועלת על Gהיא פעולה על ידי הצמדה.
הגדרה 3.6.1הצמדה :אם γ, g ∈ Gההצמדה של gעל ידי γהיא:
γ ∗ g = g γ = γgγ −1
טענה 3.6.2
γ, g 7→ γ ∗ g = γgγ −1 .G × G → Gהנה פעולה.
24
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
.3.6פעולה על ידי הצמדה
הוכחה:
e ∗ g = ege−1 = g
−1
γ1 ∗ (γ2 ∗ g) = γ1 γ2 gγ2−1 γ1−1 = (γ1 γ2 ) g (γ1 γ2 ) = (γ1 γ2 ) ∗ g
ניתן לצמצמה ל H × G → Gכאשר .γ ∈ H
הגדרה 3.6.3מחלקת הצמידות :המסלול של gתחת פעולת ההצמדה של כל G
γgγ −1 | γ ∈ G
נקרא מחלקת הצמידות ) (onjugay lassשל .gותסומן ).C (g
משפט המסלולים גורר כי קיימת התאמה חח"ע ועל בין מחלקת הצמידות ) C (gעם המחלקות G/Ggכאשר:
Gg = γ ∈ G| γgγ −1 = g
נשים לב כי:
γמתחלף עם γgγ −1 = g ⇐⇒ γg = gγ ⇐⇒ g
P
וכמו כן המייצב הנ"ל נקרא הרכז של (entralizer of g) g
דוגמה : 3.6.4אם gאבלית אזי כל מחלקות הצמידות הן בעלות איבר אחד כיוון ש:
Gg = G
P
γgγ −1 = γγ −1 g = g ⇒ C (g) = {g} ,
דוגמה : 3.6.5
e, σ, σ 2 , τ, στ, σ 2 τ
| {z } | {z }
כאשר:
2 3
2 1
שיקופים
סיבובים
= S3
1
=σ
2
2 3
1
=, τ
3 1
3
באופן ברור } {eהיא תמיד מחלקת צמידות כיוון שלכל :γ
γeγ −1 = γγ −1 = e
נתבונן ב:
}= τ |{z
στ = τ τ σ 2 = σ 2
τ σ2
= σ
= σ2
25
}τ σ |{z
τ −1
=τ
−i
i
σ σσ
τ σ 2 σ σ −2 τ −1
.3.6פעולה על ידי הצמדה
P
פרק .3פעולות של חבורה על קבוצה
דוגמה : 3.6.6מחלקות צמידות ב ) .G = GL2 (Cתהי Aמטריצה .מחלקת הצמידות שלה היא:
P AP −1 | P ∈ G
משפט 3.6.7ז'ורדן
בכל מחלקת צמידות ) GL2 (Cישנה מטריצה מהצורה
העצמיים של (A
0
µ
λ 1
λ
) λ, µהם הערכים
או מהצורה:
0 λ
0
נשים לב כי:
µ = λ1
λ = µ1
(
∨
λ = λ1
µ = µ1
(
0
µ1
λ1
0
µ
∼
0
⇒⇐
ואילו:
⇐⇒ λ = µ
1
µ
26
λ 1
0 λ
∼
0
µ
λ
0
פרק 4
הומומורפיזמים
הגדרה 4.0.8הומומורפיזם :העתקה ϕ : G → G′בין שתי חבורות נקראת הומומורפיזם אם:
) ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2
∀g1 , g2
מסקנה 4.0.9
ϕ (e) = e′
הוכחה:
)ϕ (g) = ϕ (g · e) = ϕ (g) ϕ (e
נצמצם משמאל ב ) ϕ (gונקבל:
′
)e = ϕ (e
מסקנה 4.0.10
−1
)= ϕ (g
הוכחה:
−1
ϕ g
−1
)= ϕ (g
P
P
P
−1
⇒ϕ g
−1
= ϕ (g) ϕ g
−1
′
e = ϕ (e) = ϕ gg
דוגמה : 4.0.11אם .H ≤ Gנסמן i : H ֒→ Gהעתקת ההכלה ) .(i (h) = hזהו הומו.
דוגמה hgi = G : 4.0.12ציקלית ,נגדיר:ϕ (n) = g n :ϕ : Z → G :
ϕ (n + m) = ϕ (n) · ϕ (m) = g n · g m = g n+m
דוגמה SO2 ) ϕ : R → SO2 : 4.0.13היא חבורת המעגל ,כלומר
נגדיר:
נשים לב כי:
) cos (θ1 + θ2 ) − sin (θ1 + θ2
=
) sin (θ1 + θ2 ) cos (θ1 + θ2
− sin θ
cos θ
− sin θ2
cos θ2
− sin θ
cos θ
cos θ
(
sin θ
cos θ
= )ϕ (θ
sin θ
cos θ2
− sin θ1
sin θ2
cos θ1
27
cos θ1
sin θ1
= ) ϕ (θ1 + θ2 ) = ϕ (θ1 ) ϕ (θ2
פרק .4הומומורפיזמים
P
דוגמה ϕ : S3 → {±1} : 4.0.14
g = e, σ, σ 2סיבוב
g = τ, στ, σ 2 τשיקוף
P
1
1
(
= )ϕ (g
)ϕ (gh) = ϕ (g) ϕ (h
דוגמה : 4.0.15בהינתן Fשדה ,אזי:
ϕ : GLn (F) → Fx
|ϕ (A) = det (A) = |A
P
P
det (AB) = det A · det B
דוגמה ϕ : F → GL2 (F) : 4.0.16
b
)= ϕ (a) ϕ (b
1
1 a
1
=
0 1
0
a
1
a+b
1
1
= )ϕ (a
0
1
= )ϕ (a + b
0
דוגמה : 4.0.17תהי Gחבורה כל שהיא ,ו γ ∈ Gאיבר קבוע .נגדיר:
ϕγ (g) = γgγ −1
) γg2 γ −1 = ϕγ (g1 ) ϕγ (g2
P
ϕγ (g1 g2 ) = γg1 g2 γ −1 = γg1 γ −1
דוגמה : 4.0.18תהי G × X → Xפעולה של Gעל .Xהגדרנו πg (x) = g (x) :וראינו כי πg ∈ Sx
ϕ
נשים לב כי ההעתקה G → Sxהמוגדרת ϕ (g) = πg :הנה הומומורפיזם.
נרצה לראות כי:
ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 ) ⇐⇒ πg1 g2 = πg1 πg2
נשים לב כי:
)πg1 g2 (x) = g1 g2 x = g1 (g2 x) = πg1 (πg2 (x)) = πg1 · πg2 (x
P
כנדרש.
דוגמה T : V1 → V2 : 4.0.19טרנספורמציה לינארית של מרחב וקטורי:
)T (v1 + v2 ) = T (v) + T (u
הגדרה 4.0.20הומומורפיזם חח"ע נקרא מונומורפיזם
הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם
הומומורפיזם שהוא גם חח"ע וגם על נקרא איזומורפיזם
28
פרק .4הומומורפיזמים
.4.1הומומורפיזמים ותתי חבורות
P
דוגמה ) ϕγ : 4.0.21הצמדה ב (γגם חח"ע וגם על.
הצמדה הנה איזומורפיזם של Gעל עצמה.
= γg2 γ −1
γ −1
γgמצמצום.g1 = g2 :
חח"ע :
1
על:
g = γ −1 hγ ⇒ γgγ −1 = h
נשים לב כי אם Gאבלית ,כל ϕγהיא הזהות.
אבל אם נקח G = Z5הכפלה במספר זר ל 5היא איזומורפיזם של Gעל עצמה.
ϕ (g) = 3g
3 (g1 + g2 ) = 3g1 + 3g2
#
ι
תרגיל :מתי g 7→ g −1 :הנו איזומורפיזם של Gעל עצמה?
תשובה :אם"ם Gאבלית
) ι (g1 g2 ) = (g1 g2 )−1 = g2−1 g1−1 = ι (g2 ) ι (g1
!
23/11/2011
"
הערה 4.0.22אם ϕ : G1 → G2איזומורפיזם ,אזי הפונקציה ההפוכה ψ = ϕ−1 : G2 → G1גם היא איזו'.
כי אם ψ (g ′ ) = g, ψ (h′ ) = h
(
ϕ (g) = g ′
⇒ ϕ (gh) = g ′ h′ ⇒ ψ (g ′ h′ ) = gh
ϕ (h) = h′
∼ .G
אם ϕאיזומורפיזם נסמן ˜ ′
.ϕ : G→Gוגם נסמן נסמן = G′
−1
כמו כן גם ψ : G′ → G :כאשר ψ = ϕאיזומורפיזם.
P
דוגמה G = Z2 × Z2 : 4.0.23ו G′ = Z4 :אינן חבורות איזומורפיות
Gיש איבר שסדרו ,4
.ϕ : G→Gב Gכל איבר מקיים.g = e :
צ"ל :לא קיים שום איזומורפיזם ˜ ′
אבל ב
′
′
2
′ 2
′
שיסומן .g ′אם היה איזו' היה צריך להיות g ∈ Gכך ש ϕ (g) = g :ואזe = ϕ (e) = ϕ g = (g ) 6= e :
סתירה.
2
מסקנה 4.0.24
P
סדר של חבורה אינו תנאי מספיק לאיזומורפיזם.
דוגמה ) S3 : 4.0.25לא אבלית( ו) Z6 :אבלית( לא איזומורפיות.
נשים לב כיg1 g2 6= g2 g1 ,g1 , g2 ∈ S3 :
ϕ : S3 →Zאיזו' אזי:
אם היה ˜ 6
) ϕ (g1 · g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2 ) = ϕ (g2 ) · ϕ (g1 ) = ϕ (g2 · g1
בסתירה לחח"ע .ϕ
לכל G, G′אפשר להגדיר את ההומו הטריויאלי.ϕ (g) → e′ ϕ : G → G′ :
4.1
הומומורפיזמים ותתי חבורות
ϕ : G → G′הומו' H ≤ G ,תת חבורה של .G
}= ϕ (H) = {ϕ (h) |h ∈ H
29
תמונת H
image
′
פרק .4הומומורפיזמים
.4.1הומומורפיזמים ותתי חבורות
ϕ (h1 ) · ϕ (h2 ) = ϕ (h1 · h2 ) , ϕ (h)−1 = ϕ h−1 , ϕ (e) = e′
כלומר קיבלנו כי אם H1 ≤ H2 ≤ G :אז מתקיים.ϕ (H1 ) ≤ ϕ (H2 ) ≤ G′ :
G′ ≤ G′תת חבורה של :G′
} = ϕ−1 (H ′ ) = {h ∈ G| ϕ (h) ∈ H ′
המקור של H ′
pre-image
גם זאת תת חובורה של .G
ϕ (h1 ) , ϕ (h2 ) ∈ H ′ ⇒ ϕ (h1 h2 ) = ϕ (h1 ) ϕ (h2 ) ∈ H ′
−1
= ϕ (h1 ) ∈ H ′
ϕ h−1
1
וגם כאן H1′ ≤ H2′ :אזϕ (H1′ ) ≤ ϕ (H2′ ) :
בבירור התמונה הכי קטנה של } Im ϕ = {e′כאשר המקור הוא רק eלדוגמה .כמו כן התמונה הכי גדולה
היא) ϕ (G) :לא בהכרח שווה ל (G′
−1
′
המקור הכי גדול הוא Gכולו ,ואילו המקור הכי קטן הוא) ϕ ({e }) :לא בהכרח רק (e
לקבוצה:
} ϕ−1 (e′ ) = {h ∈ G| ϕ (h) = e′
נקרא הגרעין של ϕומסומן.ker ϕ :
משפט ) 4.1.1על הגרעין(
יהי ϕ : G → G′הומו' של חבורות .נסמן N = ker ϕאזי:
N .1תת־חבורה נורמלית של G
ϕ .2קבועה על מחלקות )ימניות = שמאליות( .gN = N gומקבלת ערכים
שונים על מחלקות שונות )) (g1 N 6= g2 N ⇒ ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2
ϕ .3חח"ע ⇒⇐ }N = {e
הוכחה :ראשית Nתת־חבורה נורמלית ⇒⇐ לכל g ∈ Gהחבורה:
ghg −1 | h ∈ N = N
= gN g −1
} | {z
} | {z
הצמדה ב g−של N
הצמדה ב g−של h
הערה gN g −1 4.1.2הנה תמיד תת חבורה .אם h1 , h2 ∋ Nאז:
= g h−1 g −1
−1
ghg −1
gh1 g −1 · gh2 g −1 = g (h1 h2 ) g −1 ∈ gN g −1
)) (ϕg (h1 ) ϕg (h2 ) = ϕ (h1 h2
) gN g − = ϕg (Nלהומו' ϕg : G → G :של הצמדה ב.g
30
.4.1הומומורפיזמים ותתי חבורות
gN = N g
} | {z
מחלקות ־ לא ת"ח
פרק .4הומומורפיזמים
⇒⇐ ) gN g −1 = Nהכפלה מימין ב (g −1
{z
}
|
תת חבורות
נניח h ∈ ker ϕו g ∈ G :כלשהו.
ϕ ghg −1 = ϕ (g) ϕ (h) ϕ (g)−1 = ϕ (g) ϕ (g)−1 = e′ ⇒ ghg −1 ∈ N
}|{z
e′
ולכן Nתת־חבורה נורמלית.
כעת נשים לב כי אם נקח h ∈ Nאזי:
)ϕ (gh) = ϕ (g) ϕ (h) = ϕ (g
ולכן ϕקבועה על המחלקה .gN
כמו כן ,אם ) ϕ (g1 ) = ϕ (g2אזי:
′
ϕ g1 g2−1 = e ⇒ g1 g2−1 ∈ N ⇒ N g1 = N g2
ולכן ϕמקבלת ערכים שונים על מחלקות שונות.
נשאר להראות כי ϕחח"ע אם"ם }.N = {e
אם ϕחח"ע ברור כי } .N = {eאם } N = {eלפי מה שראינו:
) g1 6= g2 ⇒ ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2
P
P
דוגמה :ϕ (R) → SO2 : 4.1.3
− sin θ
cos θ
cos θ
= )ϕ (θ
sin θ
ker ϕ = 2πZ = {2πn| n ∈ Z} ⊂ R
דוגמה : 4.1.4
ϕ
G × X → Xפעולהϕ (g) = πg .G → SX :
}ker ϕ = {g| πg = e} = {g| gx = x ∀x
ϕ
28/11/2011
הפעולה של Gעל Xנאמנה ⇒⇐ ϕחח"ע .כלומר.G ֒→ SX :
למה 4.1.5
תהיה Nתת־חברה של Gאזי התנאים הבאים שקולים:
.1לכל gN = N g :g ∈ G
.2לכל ) gN g −1 = N :g ∈ Gתת החבורה המתקבלת מהצמדת Nע"י
g־ (ϕg (h) = ghg −1
.3לכל ghg −1 ∈ N ,h ∈ N
הוכחה :ראינו כבר כי .1 ⇐⇒ 2
נתבונן בתנאי .3
.g
לכל
gN g −1 ⊂ N
−1
−1
−1
h = g g hg gלפי תנאי g hg ∈ N 3ולכן:
אבל אם :h ∈ N
כנדרש.
משפט 4.1.6משפט הגרעין
ϕ : G → G′הומומורפיזם אזי:
31
h ∈ gN g −1וזה גוררN ⊆ gN g −1 :
פרק .4הומומורפיזמים
.4.2חבורת המנה
N = ker ϕ = {g| ϕ (g) = e′ } .1תת חבורה נורמלית של .G
g1 N = g2 N ⇐⇒ ϕ (g1 ) , ϕ (g2 ) .2
.3אם } N = {eאזי ϕחח"ע )מקרה פרטי של (2
4.2חבורת המנה
נתונים חבורה Gתת חבורה נורמלית .N ⊳ Gכקבוצה ,חבורת המנה = = G/Nאוסף המחלקות של .N
הגדרת הכפל נעשית ע"י בחירת נציגים) .נסמן .g = gNלמשל :אם −1 = 5 = 2 = ,N = 3Z ,G = Z
.(2 + 3Z
בהנתן שתי מחלקות ,gi , gjנגדיר את מכפלתן:
gi · gj = gi gj
צריך להראות שההגדרה לא תלויה בבחירת הנציגים .כלומר אם .gi′ = gi hi ,hi ∈ Nברור כיgj′ = :
.gj , gi′ = giנשים לב כי:
gi′ gj′ = gi hi gj hj = gi gj gj−1 hi gj hj
אבל היות ו N ⊳ G :ו hi ∈ N :אזי gj−1 hi gj ∈ N :ולכן:
= gi gj gj−1 hi gj hj ⇒ gi′ gj′ = gi gj
} | {z
∈N
}
טענה 4.2.1
{z
∈N
|
בהגדרה הנ"ל G = G/N :מהווה חבורה.
הוכחה :נראה אסוציאטיביות:
) (gi · gj ) gk = gi gj · gk = (gi gj ) gk = gi (gj gk ) = gi · gj gk = gi (gj · gk
יחידה ,נראה כי :e = eG
g · e = e · g = eg = eg = g
קיום הופכי:
g −1 · g = g −1 g = e = eG
כנדרש.
הערה 4.2.2אם ∞ < ] [G : Nאז מספר האיברים ב G/Nהינו
||G
||B
= ] [G : Nאם Gסופית.
הערה 4.2.3נגדיר כפל שתי קבוצות ) A, B ⊂ Gלאו דווקא חבורות(:
P
}A · B = {a · b| a ∈ A, b ∈ B
דוגמה : 4.2.4
15Z + 12Z = {15n + 12m| m, n ∈ Z} = 3Z
32
פרק .4הומומורפיזמים
.4.2חבורת המנה
הערה 4.2.5כפל תת חבורות H1 · H2אינו בהכרח תת חבורה.
כפל קוסטים )= מחלקות( שמאליים של G ≥ Nאינו בהכרח קוסט.h1 N · g2 N .
למה 4.2.6
אם N ⊳ Gאז (g1 N ) (g2 N ) = g1 g2 N
הוכחה :כל איבר) g1 g2 h :כאשר (h ∈ Nהוא )(g1 e) (g2 h
(g1 h1 ) (g2 ) h2 = g1 g2 g2−1 h1 g2 h2 ∈ g1 g2 N
} | {z
∈N
P
ולכן ⊆.
}
{z
∈N
|
דוגמה : 4.2.7
H = nZ .G = Z .1אזי.G/H = Zn :
1 mod 12 = 1 + 12Z = 13 + 12Z = 13 mod 12
כלומר:
1 = 13
G = R∗ .2עם הכפל.
{x ∈ R∗ | x > 0} = H = R∗+ ⊳ G
G/H = Z2
G = GLn (F) .3כאשר Fשדה N = SLn (F) .מטירצות n × nעם דטרמיננטה N ⊳ G .1כיוון ש :
det ghg −1 = det h
)דמיון מטריצות לא משנה דטרמיננטה( ולכן אם det h = 1גם det ghg −1 = 1 :ולכן ghg −1 ∈ Nולכן
Nנורמלית.
) ∗N = ker (det : G → F
ולכן נורמלית בתור גרעין )הגרעין של הדטרמיננטה ,כיוון שהדטרמיננטה מעבירה את Gלאיבר היחידה
לכפל של ,Fוהרי כל גרעין של הומומורפיזם הוא נורמלי(
) det (g1 g2 ) = det (g1 ) det (g2
ולכן יש סגירות לפעולה.
Fx ≈ GLn (F) /SLn (F) = G/N
נתאים למחלקה ) g · SLn (Fאת .det (g) ∈ Fx
33
.4.2חבורת המנה
פרק .4הומומורפיזמים
הגדרה 4.2.8הומומורפיזם קנוני :נגדיר p : G → G/Nההומומורפיזם הקנוני ,p = projection) .הטלה(
p (g) = g = gN
בדיקה:
) p (g1 g2 ) = g1 g2 = g1 · g2 = p (g1 ) p (g2
הוא על.ker p = N .
g ∈ N ⇐⇒ g · N = N
מסקנה 4.2.9
כל חבורה נורמלית הנה גרעין.
משפט 4.2.10משפט האיזומורפיזם הראשון
יהי ϕ : G → G′הומומורפיזם .G ⊲ N = ker ϕ
אזי קיים הומומורפיזם אחד ויחיד ϕ : G/N → G′ :כך ש .ϕ ◦ p = ϕ
ϕ
ψ
הערה 4.2.11אם G1 → G2 :וגם G2 → G3הומומורפיזם .אזי גם ψ ◦ ϕהומומורפיזם .כיוון ש:
))(ψ ◦ ϕ) (xy) = ψ (ϕ (xy)) = ψ (ϕ (x) ϕ (y)) = ψ (ϕ (x)) ψ (ϕ (y
הוכחה :נגדיר .ϕ (gN ) = ϕ (g) :לפי משפט הגרעין ,זו הגדרה טובה ,אינה תלויה בנציג.
כמובן:
)ϕ ◦ p (g) = ϕ (gN ) = ϕ (g
ולכן ϕ ◦ p = ϕ:ולכן הוא קיים ,וביחידות .ו ϕ :נקבעת ע"י זה ϕ .אכן הומו':
) ϕ (g 1 · g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2
משפט 4.2.12חיזוק המשפט
ϕהנ"ל חח"ע
הוכחה :אם g1 6= g2אזי g1 , g2 :במחלקות שונות של Nוממשפט הגרעין:
) ϕ (g1 ) = ϕ (g1 ) 6= ϕ (g2 ) = ϕ (g2
מסקנה 4.2.13
∼
Im ϕ = G/ ker ϕ
הוכחה :ההומורפיזם המושרה ע"י ϕמ G/ ker ϕ = G/N :ל G′הוא חח"ע ותמונתו ).Im (ϕ) = Im (ϕ
ולכן ϕחח"ע ועל )=איזומורפיזם( מ G/ ker ϕל .Im ϕ
)Im ϕ = ϕ (g) | g ∈ G = {ϕ (g) | g ∈ G} = Im (ϕ
34
.4.2חבורת המנה
4.2.1
פרק .4הומומורפיזמים
תת־חבורות של G/N = G
אם N ≤ H ≤ Gאזי ) H/N = Hכמובן (N ⊳ Hתת חבורה של .G/N = G
=
=
h1 h2
hi N ∈ G
h1 · h2
hi
)כאשר (hi ∈ Hכמו כן:
= h−1
−1
h
למה 4.2.14
העתקות הבאות הן התאמה חח"ע ועל בין כל תת החבורות N ≤ H ≤ Gוכל תת־החבורות :H ≤ GמH
מקבלים את Hע"י התהליך שתואר.
ולהפך.H = p−1 H :
הוכחה :ראינו שלכל Hכנ"ל H ,תת חבורה של ) .Gתת חבורה( p−1הינה תת חבורה )מקור של תת חבורה(
וכמובן ≤ ker ϕ = N
−1
.pולהפך ,אם נתחיל מN ≤ H ≤ G :
צריך לבדוק :אם נתחיל מ G ≥ H :אז צריך להראות H = H
אז .p−1 H = H
נראה זאת:
p−1 H = p p−1 H ⊆ H
ואם p (h) = h ∈ Hאבל:
להפך:
h ∈ p−1 Hאזי.h = p (h) :
))H ⊂ p−1 (p (H
אם )) g ∈ p−1 (p (Hאזי p (g) = p (h) :עבור .h ∈ H
אבל N ≤ Hולכן:
p gh−1 = e ⇒ gh−1 ∈ N
g = gh−1 h ∈ H
30/11/2011
P
דוגמה : 4.2.15אם W ⊂ Vשני מרחבים וקטוריים מעל שדה .Fהחבורה V /Wמוגדרת:
איבריה = } ~v = v + W = {v + w|w ∈ W
זוהי ישריה )תת מרחב אפיני(.
אוסף הישיריות הוא מרחב וקטורי שיקרא מרחב המנה.
p(H)=H
תת־חבורות →−
תת חבורות
תמונה
)(H
N ≤ H ≤ G p−1
Hשל G
←−
מקור
p : G → G/Nהיא ההעתקה הקנונית.
35
פרק .4הומומורפיזמים
למה 4.2.16
c
H
jH
−1
.4.2חבורת המנה
p pוגם (p (H)) k H
−1
p
הוכחה :הוכח בשיעור קודם.
למה 4.2.17
) H ⊳ G ⇐⇒ H ⊳ Gעבור (N ≤ H ≤ G
הוכחה :אם H ⊳ Gאזיghg −1 = ghg −1 ∈ H :
ולהפך ,אם H ⊳ Gאזי:
∀g ∈ G, h ∈ H
}ghg −1 = ghg −1 ∈ H ⇒ ghg −1 · |{z
n ∈ H ⇒ ghg −1 N = h1 N
∈N
∀g ∈ G, h ∈ H
היות ו ,N ≤ H :נכפיל ב n−1ונקבל ghg −1 ∈ H :ולכן נורמלית כנדרש.
משפט 4.2.18משפט האיזומורפיזם השלישי
נניח N ≤ H ≤ Gוגם Nוגם Hנורמליות ב .Gאזי קיים איזומורפיזם קנוני
∼ ) (G/N ) / (H/N
= G/H
הערה 4.2.19לא באמת הוכחה אבל דרך נוחה לזכור את זה:
G H
/ = G/H
N
N
הוכחה :נגדיר העתקה מ:
G/N → G/H
נסתכל בתמונה ובגרעין שלה ונפעיל את משפט האיזו' הראשון.
ההעתקה:
π (gN ) = gH
πמוגדרת היטב כי אם:
g1 N = g2 N ⇒ g2−1 g1 ∈ N ⇒ g2−1 g1 ∈ H ⇒ g1 H = g2 H
πהנו הומו'
Im (π) = G/H
ker π = {gN |g ∈ H} = H/N
ממשפט האיזומורפיזם הראשון ,אם
G/N
ker π
∼ )Im (π
=
G/N
H/N
מה קורה כאשר Hלא מכילה את Nבהכרח?
למה 4.2.20
אם H ≤ Gו N ⊳ Gאזי הקבוצה H · N :היא תת חבורה
36
∼ G/H
=
פרק .4הומומורפיזמים
.4.2חבורת המנה
הוכחה :נניח n1 , n2 ∈ N ,h1 , h2 ∈ Hנתבונן במכפלה:
n h n ∈H ·N
h1 n1 · h2 n2 = h1 h2 h−1
| {z } | 2 {z1 }2 2
∈H
∈N
וכנ"ל:
−1
= h−1 |hnh
{z } ∈ H · N
−1
)n−1 h−1 = (hn
∈n
משפט 4.2.21משפט האיזומורפיזם השני
∼ HN/N
תהי N ⊳ G ,H ≤ Gאזי N :נורמלית ב H ∩ N ,HNנורמלית ב Hומתקיים= H/ (H ∩ N ) :
מסקנה 4.2.22
אם מדובר בחבורות סופיות
| |H|·|N
| |H∩N
= | |HN
הערה 4.2.23איפה הוא היה לפני שבועיים כשהיינו צריכים את זה לתרגיל...
הוכחה :ברור כי N ⊳ HN :כי Nנורמלית בכל תת חבורה של H ∩ N ⊳ H .Gכי אם h ∈ H n ∈ H ∩ N
אזי:
∈ H
∈ N ⇐N ⊳G
hnh−1
−1
hnh
נבנה הומומורפיזם מ Hל HN/Nשיסומן .π
π (h) = hN = h
.1זהו הומו'
π .2הוא על .כל מחלקה ב HN/Nהיא:
)hnN = hN = π (h
h∈H
n∈N
.3
H ∩ N = {h ∈ H|h ∈ N } = ker π
ולכן ,ממשפט האיזומורפיזם הראשון:
∼ ) H/ (H ∩ N
= HN/N
אם N ⊳ Gיש לנו "פרוק" של Gלשתי תת חבורותN, G/N :
| |G| = |N | |G/N
לכן G/N ,Nנותנות מידע מסוים על ) Gלמשל ,סדר ,או אם אחת מהן לא אבלית ,גם Gלא אבלית(
אבל בד"כ אי אפשר להרכיב מהן בחזרה את G
37
.4.2חבורת המנה
P
פרק .4הומומורפיזמים
דוגמה : 4.2.24
Z2 × Z2
∼ })Z2 × {0} = {(0, 0) , (1, 0
= Z2
= G
=
N
∼ G/N
= Z2
במקרה הזה באמת:
P
∼G
= N × G/N
דוגמה : 4.2.25כעת נבחן את:
Z4 = 0, 1, 2, 3
∼ 0, 2
= Z2
= G
=
N
∼ G/N
=Z
אבל אנו כבר ראינו כי:
∼G 6
= N × G/N
05/12/2011
אוטומורפיזם של חבורה = Gאיזומורפיזם מ Gלעצמה.
∼ ?G1כלומר האם יש הומומורפיזם ϕ : G1 → G2חח"ע ועל?
= G2
∼ G1יש הרבה איזו' ϕכנ"ל.
בדרך כלל ,אם = G2
בהינתן 3חבורות:
ψ
ϕ
הומו'
הומו'
G1 −→ G2 −→ G3
אז ψ ◦ ϕהומו' של G1ל.G3 :
אם ϕ, ψאיזומורפיזמים⇐ ψ ◦ ϕאיזומורפיזם.
בפרט אם ϕ, ψאוטומורפיזמים של Gגם ψ ◦ ϕאוטומורפיזם של Gוכנ"ל
e (g) = gלכל ,gהנה בעליל אוטומורפיזם.
ואם ϕ, ψ, ρשלושה אוטו' אז:
.ϕ−1כמו כן ,העתקת הזהות
)(ψ ◦ ϕ) ◦ ρ = ψ ◦ (ϕ ◦ ρ
טענה 4.2.26
נסמן ב Aut (G) :את אוסף האוטו' של חבורה .Gאזי ביחס לפעולת ההרכבה וההפכי )של פונקציה(Aut (G) ,
הנה חבורה.
הערה 4.2.27נשים לב כי קיימת הקבלה עבור העתקות לינאריות בין מרחבים וקטורים ועבור הומומורפיזמים בין
חבורות.
במקרה של Vמרחב וקטורי T : V → Wטרנספורמציה לינארית:
T : V →Vאוטומורפיזם של המ"ו V = Rn .אוטו נתון ע"י )AB = .A ∈ GLn (R
˜
T : V →Wאיזו,
˜
.TA ◦ TB
∼ ) GLn (Rכחבורה.
) = Aut (V
38
פרק .4הומומורפיזמים
.4.2חבורת המנה
P
דוגמה .G = Zn : 4.2.28מה הם ) ?Aut (Zn
יהי ϕ : Zn → Znאוטו .נשים לב כי 0בהכרח עובר ל) 0איבר נייטרלי(
ϕ (1) = a
kפעמים
kפעמים
z
|}
{
{ |} z
= ϕ 1 + . . . + 1 = ϕ (1) + . . . + ϕ (1) = k · a
)ϕ (k
ולהפך ,לכל aב ϕ (k) = k · a Znהנו הומו של Znלעצמו.
ϕכזה הינו אוטו' ⇒⇐ a, bזרים זה לזה )אין מחלק משותף<(1
אוסף השאריות מודולו nהזרות ל nמסומן ב:Z∗n :
}{1, 2, 4, 5, 7, 8
}{1, 5, 7, 11
=
Z∗9
=
Z∗12
עבור :ϕa (k) = k · a
)ϕa · ϕb (k) = ϕa (kb) = kba = ϕab (k
מסקנה 4.2.29
P
ההעתקה a 7→ ϕaהנה איזומורפיזם בין
P
Z∗n
עם כפל כפעולה ) 1כיחידה( לבין החבורה ) .Aut (Zn
דוגמה : 4.2.30
∼ Z2 × Z2
= Z∗12
דוגמה : 4.2.31בכל חברה Gאם γ ∈ Gסימנו:
ϕγ (g) = g γ = γgγ −1
ול ϕγקראנו הצמדה ב .γראינו ש ) .ϕγ ∈ Aut (Gאם Gאבלית אז ϕγ = e
$
%
הגדרה 4.2.32אוטומורפיזם מהצורה ϕγנקרא אוטומורפיזם פנימי ) (inner automorphismשל .G
−1
) ϕ (A) = (Atהנה אוטומורפיזם שאיננו פנימי.
תרגיל :ב ) GLn (Rהעתקה:
−1
) .P AP −1 = (At
כלומר ,לא קיים Pכך שלכל :A
נשים לב כי P AP −1היא דומה ל Aכלומר בעלת אותם ערכים עצמיים .נשים לב כי עבור:
1
−1
0
2 0
=A
⇒ At
= 2 1
0 3
0 3
ואין לזה את אותם ערכים עצמיים לכן לא ייתכן כי היא דומה.
תרגיל :אוסף האוטו' הפנימיים שיסומן ) Inn (Gהנו תת־חבורה נורמלית של ).Aut (G
צריך רק להראות סגירות :צריך לחשב את ) ϕγ ◦ γδ (gולהראות כי קיים הופכי.
בהינתן ) ϕγ ∈ Inn (G) ,ψ ∈ Aut (Gצריך לחשב את . ψ ◦ ϕγ ◦ ψ −1
'
&
תזכורת 4.2.33אם g ∈ Gאוסף האיברים מהצורה ) γgγ −1כלומר ) (ϕγ (gנקרא מחלקת הצמידות של .gנסמנו
}) .g G = {g γ |γ ∈ Gבעבר השתמשנו ב C (g) :אבל אנו נרצה להשתמש בו לדברים אחרים(
נשים לב כי g = ege−1 :מתי .{g} = g Gאם"ם:
γg = gγ
γgγ −1 = g ⇐⇒ ∀γ
39
∀γ
פרק .4הומומורפיזמים
.4.2חבורת המנה
הגדרה 4.2.34מרכז :המרכז ) (enterשל חבורה :G
}Z (G) = {g| gh = hg ∀h ∈ G
למה 4.2.35
) Z (Gהנו תת חבורה
הוכחה :נניח ) g1 , g2 ∈ Z (Gנבחר : h ∈ G
)(g1 g2 ) h = g1 (g2 h) = g1 hg2 = h (g1 g2 ) ⇒ g1 g2 ∈ Z (g
וכמו כן:
)g1 h = hg1 ⇒ hg1−1 = g1−1 h ⇒ g1−1 ∈ Z (G
למה 4.2.36
המרכז ) Z (Gהינו:
.1אוסף ה g ∈ Gשמסלולם תחת פעולת ההצמדה)מחלקת הצמידות שלהם(
הוא בין איבר אחד )נקודות השבת של פעולת ההצמדה(
.2אוסף ה γ ∈ Gשעבורם ϕγ = e
} (γ, g) 7→ γgγ −1 G × |{zפעולה על עצמה
הערה X → X 4.2.37
G
γgγ −1 = g ⇐⇒ g ∈ Z (G) .1לכל g ⇐⇒ γ ∈ Gנקודת שבת לפעולת ההצמדה
γgγ −1 = g ⇐⇒ γ ∈ Z (G) .2לכל ϕγ = e ⇐⇒ γ ∈ G
} | {z
ϕγ g
40
פרק 5
תמורות
Sn = Snחבורת התמורות של }.{1, . . . , n
!|Sn | = n
משפט 5.0.38קיילי
אם Gחבורה סופית מסדר ,nאזי Gאיזומורפית לתת־חבורה של .Sn
הוכחה :נסתכל על } G = {g1 = e, g2 , . . . , gnאזי ,כל g ∈ Gמגדיר תמורה ϕg ∈ Snע"י הכלל ϕg (i) = j
⇒⇐ .g · gi = gj
נרצה להראות כי .ϕg′ g = ϕg′ ◦ ϕg :נניח g ′ gj = gk ,ggi = gjאז כמובן:
(g ′ g) gi = g ′ (ggi ) = g ′ gj = gk
כלומר:
))ϕg′ g (i) = k = ϕg′ (j) = ϕg′ (ϕg (i
וזה אומר שההעתקה מ Gל Snהמתאימה ל g ∈ Gאת ϕgהנה הומו' של חבורות.
=e
=e
{|}z}|{ z
נשים לב כי ) g = eG ⇐⇒ ϕg = eSnכי אם g 6= ehאז g g1 6= g1 :ולכן (ϕg (1) 6= 1
ממשפט האיזומורפיזם הראשון ,אם נסמן ב ϕאת ההומו g 7→ ϕg :אזי:
∼ G = G/ ker ϕ
= Im ϕ ⊆ Sn
5.1פרוק תמורות למחזורים
מחזור ) (yleהנו תמורה מהצורה:
. . . iℓ . . .
. . . i1 . . .
P
. . . i1
= ) (i1 , i2 , . . . , iℓ
. . . i2
...
ij
. . . ij+1
דוגמה : 5.1.1
4 5
1 5
1
= )(3, 4, 1
3
2 3
2 4
41
פרק .5תמורות
.5.1פרוק תמורות למחזורים
5.1.1כמה עובדות על מחזורים
.1אם ) σ = (i1 , i2 , . . . , iℓאזσ −1 (iℓ , iℓ−1 , . . . , i2 , i1 ) :
σ .2כנ"ל הנו איבר מסדר ℓב σ j 6= e ,σ ℓ=e ) .Snאם (1 ≤ j ≤ ℓ − 1
σ, τ .3מחזורים יקראו זרים אםτ (j1 , . . . , jm ) ,σ = (i1 , . . . , iℓ ) :ושום iαאינו .jβ
אם σ, τמחזורים זרים אזי) στ = τ σ :מתחלפים(.
צריך להוכיח στ (a) = τ σ (a) :לכל ) .αטריוויאלי מכך שכל מחזור נוגע רק באיברים הנמצאים בו(...
טענה 5.1.2
P
כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של מחזורים זרים )לפי ,3הסדר של המחזורים לא חשוב כיוון שהם מתחלפים(
דוגמה : 5.1.3
)= (1, 2, 4) (3, 5
)= (1, 2, 4) (3) (5
5
3
5
5
3 4
5 1
2
4
3 4
3 1
2
4
1
2
1
2
הוכחה :מתחילים "לקלף" מהתמורה מחזור מחזור לפי הסדר
אם כך ,כל תמורה Sn ∋ σנותנת לנו מבנה מחזורים n = ℓ1 + ℓ2 + . . . + ℓrכאשר rהוא מספר המחזורים.
ℓi ≥ 1הוא אורך המחזור ה i
ℓ1 ≥ ℓ2 ≥ . . . ≥ ℓr
הגדרה 5.1.4חלוקה (Partition) :של nעבור :5
1+1+1+1+1
2+1+1+1
= 5
=
2+2+1
3+1+1
=
=
3+2
4+1
=
=
5
=
)הוא לא באמת הגדיר ,רק הראה דוגמה(...
תרגיל :שתי התמורות σ, τשייכות לאותה מחלקת צמידות ב ) Snכלומר יש תמורה ⇐⇒ (σ = ρτ ρ−1 :ρ
החלוקות של nהמתקבלות מפרוק σו τלמחזורים זרים שוות.
P
דוגמה : 5.1.5ב S5יש 7מחלקות צמידות
הגדרה 5.1.6טרנספוזיציה :תמורה מהצורה )(i, j
משפט 5.1.7
החילופים ) (1, iכאשר 2 ≤ i ≤ nיוצרים את Sn
הוכחה:
)(1, 2, . . . , ℓ) = (1, 2) (2, 3) (3, 4) · . . . · (ℓ − 1, ℓ
42
פרק .5תמורות
.5.2זוגיות )סימן( של תמורה
הסדר חשוב )הטרנספוזיציות לא זרות(
ובאותו אופן:
) (i1 , i2 , . . . , iℓ ) = (i1 , i2 ) (i2 , i3 ) · . . . · (iℓ−1 , iℓ
ולכן כל מחזור הינו מכפלת טרנספוזיציות אבל לפי טענה קודמת כל איבר ב Snהנו מכפלת מחזורים ולכן בוודאי
מכפלת טרנספוזיציות.
לבסוף נשאר להבחין כי:
)(i, j) = (1i) (1j) (1i
07/12/2011
)מפעילים על זה את iואת jומקבלים את הנדרש באופן מיידי(
5.2
זוגיות )סימן( של תמורה
תזכורת 5.2.1בהינתן Snחבורת התמורות של } .{1, . . . nכל תמורה הנה מכפלה של חילופים מהצורה ).(1 i
המכפלה אינה יחידה
)(i j) = (1 j) (1 j) (1 i
הגדרה 5.2.2היפוך סדר :אם
P
שעבורו ).σ (j) < σ (i
... n
. . . in
1
i1
= σהנה תמורה .σ (j) = ijהיפוך סדר ב σהנו זוג i < j
דוגמה : 5.2.3
5
4
3 4
5 2
2
1
1
3
4הפיוכי סדר .מתאימים לצמתים בין הקווים המחברים את כל מספר למיקומו החדש )כלומר אם נעביר קו בין
1בשורה הישנה לשורה חדשה ,בין 2ל 2וכו' אז מספר הצמתים זה מספר היפוכי הסדר(.
הגדרה 5.2.4זוגיות/אי־זוגית :תמורה נקראת זוגית אם מספר היפוכי הסדר בה זוגי ,ונקראת אי־זוגית אם הוא
אי־זוגי.
בהינתן ) (1 2 . . . ℓמחזור.
הסימן של התמורה
... ℓ − 1 ℓ
...
ℓ
1
1 2
2 3
ℓ−1
) .(−1מחזור מאורך ℓהנו תמורה זוגית אם ℓאי־זוגי .ואי־זוגית אם ℓזוגי.
הגדרה 5.2.5סימן :הסימן של תמורה יהיה שלילי אם התמורה היא אי־זוגית וחיובי אחרת.
43
פרק .5תמורות
.5.2זוגיות )סימן( של תמורה
למה 5.2.6
.1הסימן )מספר היפוכי הסדר ב sgn (σ) = (−1) (σניתן לחישוב מפורש
i−j
)σ (i) − σ (j
Y
= )sgn (σ
1≤i<j≤n
.2אם σהנה מכפלה של kחילופים )טרנסופזיציות(
k
)sgn = (−1
הוכחה:
.1כל זוג a < bבטווח ] [1, nמופיע בערך מוחלט פעם אחת במונה ופעם אחת במכנה.
| = 1אגף ימין| .לגבי הסימן :כל כופל נותן +אם אינו היפוך ו ־ אם היפוך.
.2הוכחה באינדוקציה על מספר הטרנספוזיציות בכתיב של σכמכפלת טרנספוזיציות.
בסיס האינדוקציה ־ טרנספוזיציה אחת הנה אי־זוגית.
נותר להראות שאם ) σ ′ = σ · (i jאז.sgn σ ′ = − sgn σ :
ב.ה.כ ).σ ′ = σ (1 2) .(i j) = (1 2
1
2
|
3
...
n
1
2
|
3
...
n
=σ
= σ′
)σ (1) σ (2) | σ (3) . . . σ (n
)σ (2) σ (1) | σ (3) . . . σ (n
האם a < bהנו הפוך או לא ב σוב 3 ≤ a < b ≤ n ?σ ′־ התשובה אותה תשובה ב σוב .σ ′
אם אחד מבין a, bהנו 1, 2והשני ≤ 3אזי 1 < bהנו הפוך סדר ב 2 < b ⇐⇒ σהנו הפוך סדר ב .σ
מספר היפוכי הסדר מבין הזוגות 1 < bב =σמספר היפוכי הסדר מבין הזוגות 2 < bב σ ′ולהפך.
אם 1 < 2הנו היפוך ב ⇐⇒ σאיננו היפוך ב .σ ′
′
מסקנה 5.2.7
עבור :n ≥ 2
.1ההעתקה } sgn : Sn → {±1הנה הומו'.
An = ker (sgn) .2תת־חבורה נורמלית מאינדקס .2נקראת חבורת
התמורות הזוגיות.
מתאפיינת כתמורות שבכל פרוק שלהן למכפלת חילופים ,יופיע מספר
זוגי של חילופים.
הוכחה:
.1נכתוב את σכמכפלת rחילופים .ואת τכמכפלת sחילופים .אזי σ · τהנה מכפלת r + sחילופים .לפי
הלמה הקודמת סעיף :2
sgn (σ · τ ) = (−1)r+s = (−1)r (−1)s = sgn σ · sgn τ
.2ממשפט האיזומורפיזם הראשוןSn ⊲ An = ker (sgn) :
Sn Sn
=
An ker (sgn) = |Im (sgn)| = 2
44
פרק .5תמורות
.5.2זוגיות )סימן( של תמורה
הגדרה 5.2.8חבורה פשוטה :חבורה Gנקראת פשוטה אם אין לה איף תת חבורה נורמלית N ⊳ Gפרט לה
ול}.{e
P
דוגמה : 5.2.9חבורה ציקלית מספר pראשוני אין לה בכלל תתי חבורות .ולכן היא פשוטה.
משמעות כל הומומורפיזם ) ϕ : G → G′אם Gפשוטה( הוא או ϕ = e′או ϕחח"ע.
משפט 5.2.10
P
P
n ≥ 5 ,Anפשוטה.
דוגמה : 5.2.11
!5
2
= |A5 | = 60וזו החבורה הפשוטה )הלא ציקלית( הקטנה ביותר.
הערה Sn 5.2.12היא לא פשוטה ,כי תמיד קיים .An ⊳ Sn
דוגמה {e} ⊳ V4 ⊳ A4 ⊳ S4 : 5.2.13
}|{z} |{z} |{z
24
!12= 4
2
4
∼ })V4 = {e, (1 2) (3 4) , (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3
= Z2 × Z2
)חבורת ה 4של קליין(
12/12/2011
הערה 5.2.14לא הספקנו להוכיח את המשפט בשיעור ,נשלים שיעור הבא .בהוכחת המשפט יהיו שני שלבים:
שלב א' :אם N ⊳ An 5 ≤ nו Nמכילה 3מחזור σ = (i1 i2 i3 ) :אז .N = An
שלב ב' :אם ) N ⊳ Anכאשר (5 ≤ nו {e} 6= Nאזי Nמכילה 3מחזור.
הערה 5.2.15מעכשיו החומר צפוי להיות יותר עמוק
משפט 5.2.16
החבורה Anעבור n ≥ 5פשוטה )אין לה תת חבורות נורמליות פרט ל Anעצמה ,ול({e} :
הערה 5.2.17ראינו כי {1, (1 2) (3 4) , (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3)} = V4 ⊳ A4חבורת ה־ 4של קליין.
הוכחה :שלב א':
למה 5.2.18
אם N ⊳ Anו N :מכילה 3־מחזור מהצורה ) (i1 i2 i3אזי כברN = An :
הוכחה :בה"כ (1 2 3) ∈ Nיהי .4 ≤ kנסתכל ב 3) g = (k 3 2) :מחזור אחר ,תמורה זוגית ,ולכן .(An ∋ g
לכן:
g (1 2 3) g −1 = (k 3 2) (1 2 3) (2 3 k) ∈ N
} | {z } | {z
∈N
נשים לב כי:
∈An
)(k 3 2) (1 2 3) (2 3 k) = (1 k 2
ולכן גם (1 k 2) ∈ Nוגם (1 k 2)2 = (1 2 k) ∈ Nוכמו כן.(1 2 k)2 = (2 1 k) ∈ N :
עכשיו נתבונן ב:
(1 i j) = (2 1 i) (2 1 j) (1 2 i) ⇒ (1 i j) ∈ N
} | {z
∈N
)(1 i) (i j) = (1 j i
ולכן מכפלה של כל שתי טרנספוזיציות מהצורה ) (1 iהינה ב .N
נקח g ∈ Anכלשהו g ,ניתן לכתיבה כמכפלת טרנספוזיציות מהצורה )) (1 iהטרנספוזיצות הללו יוצרות את
(Sn
והיות ו g :תמורה זוגית ,היא מכפלה של מספר זוגי של ) (1 iכאלה ,וזה אומר שהיא ב .N
שלב ב'
45
פרק .5תמורות
.5.2זוגיות )סימן( של תמורה
למה 5.2.19
= } {eכך ש 5 ≤ nאז Nמכילה 3מחזור.
אם 6 N ⊳ An
הוכחה:
.1נניח ש (1 2 . . . k) · a · b · . . . = g ∈ Nכאשר 4 ≤ kו a, b, . . . :מחזורים זרים ל ) (1 2 . . . kנשים לב
כי:
An ∋ (1 2 3) g (3 2 1) ·g −1 ∈ N
|
{z
}
∈N
a, b, . . .זרים ל ) (1 2 3ומופיעים בהיפוך a−1 , b−1בתמורה g −1ולכן מצטמצמים )מחזורים זרים מתחלפים(
נשאר:
(1 2 3) (1 2 3 . . . k) (3 2 1) (k . . . 3 2 1) = (1 2 4) ∈ N
כלומר ,מצאנו ב 3 Nמחזור.
.2אם אין בפרוק של gשום kמחזור ל 4 ≤ kאז בפרוק של gלמחזורים מופיעים רק 3מחזורים ו 2מחזורים.
נניח שמופיעים לפחות 3 2מחזורים.
g = (1 2 3) (4 5 6) · a · b · . . .
(2 3 4) g (4 3 2) g −1 = (1 4 2 3 5) ∈ N
{z
}
|
∈Nמנורמליות
ואז חזרנו ל).(1
.3אם אנחנו לא ב) (1ולא ב) (2אז או ש g = (1 2 3) · a · b · . . .כאשר a, b, . . .טרנספוזיציות אוg = :
(1 2) (3 4) . . .מכפלת טרנספוזיציות זרות.
במקרה הראשון g 2הנו 3מחזור.
2
)g 2 = (1 2 3) a2 b2 . . . = (1 3 2
הערה 5.2.20מותר כי איברי gמתחלפים .לכן.(xy)2 = x2 y 2 :
לסיום נשתמש בהנחה ש ) n ≥ 5אם N = V4 n = 4אז באמת כל אבר N ∋ g 6= eהנו מכפלת 2טרנספוזיציות(.
נניח .g = (1 3) (2 4) . . .נשים לב כי:
(1 2 5) g (5 2 1) g −1 = (1 2 5 4 3) ∈ N
וחזרנו ל).(1
ולכן ההוכחה של המשפט נגזרת באופן ישיר מ 2הלמות הנ"ל.
46
פרק 6
חבורות pומשפטי סילו
תזכורת G × X → X 6.0.21פעולה של Gעל ) Xקבוצה(
.1אם ) O (x1 ) , . . . , O (xnהמסלולים השונים אז:
|) |O (xi
k
X
i=1
= ||X
ואם =Gxiהמייצב של {g| gxi = xi }=xiתת חבורה .אז ממשפט המסלול:
|) |X| = |Gxi | · |O (xi
מעכשיו pראשוני קבוע.
הגדרה 6.0.22חבורת־ :pחבורת־ pהנה חבורה Gשהסדר של.|G| = pk :
הערה ) 6.0.23אבחנה(
אם חבורת־ pפועלת על קבוצה סופית Xאז גודל כל מסלול הוא או 1או מספר שמתחלק ב) pלמעשה חזקה
של .(p
משפט 6.0.24
אם Gחבורת־) {e} 6= Z (G) ,pיש ב Gאיבר שונה מ eשמתחלף עם כל איברי .(G
הוכחה :נסתכל בפעולת Gעל עצמה ע"י הצמדה:
G×G→G
(γ, g) 7→ γgγ −1
המסלולים הנם מחלקות הצמידות.
C1 = {e} , C2 , . . . , Ch
מחלקת צמידות Ciהיא או יחידון } Ci = {giאו) |Ci | ≡ 0 mod p :לפי האבחנה הכללית(
| |Ci
h
X
i=1
= |G| = pk
ולכן מספר מחלקות הצמידות שהן יחידונים גם כן מתחלק ב.p
אבל:
O (g) = γgγ −1 |γ ∈ G = g G
הוא יחידון אם"ם ).g ∈ Z (G
∀γ ∈ G γgγ −1 = g ⇐⇒ γg = gγ
47
פרק .6חבורות pומשפטי סילו
.6.1הרעיון בחקר חבורות־p
בגלל ש } {eמסלול יחידון ולכן:
|)p| |Z (G
מסקנה 6.0.25
2
חבורה מסדר pהינה אבלית
הוכחה :עלינו להראות ש Z (G) = Gאחרת מן המשפט הקודם .|Z (G)| = pנבחר g ∈ Gשאיננו ב ).Z (G
נסתכל בחבורה .H = hZ (G) , gi
נשים לב כי:
Z (G) $ H ⊆ G
אבל [G : Z] = p :וגם [G : H] [H : Z] = [G : Z] = p :אבל [H : Z] = pולכן.G = H⇐[G : H] = 1 :
אבל Hאבלית כי:z1 , z2 ∈ Z :
z1 g m1 z2 g m2 = z1 z2 g m1 +m2 = z2 g m2 z1 g m1
ולכן Gאבלית ,כלומר ).G = Z (G
6.1
הרעיון בחקר חבורות־p
ראינו ש ).{e} 6= Z1 ,G ⊲ Z1 = Z (G
נסתכל על .G = G/Z1גם זו חבורת־ ,pולכן גם המרכז שלה לא טריוויאלי :יש Z1 ⊂ Z2 ⊂ Gכך ש:
.Z2/Z1 = Z G
נשים לב כי.Z2/Z1 ⊳ G/Z1 = G ⇐⇒ Z2 ⊳ G :
הערה 6.1.1
Z2
G
g ∈ G/Z1
∈
∈
=
g
γ
−1
γgγ
באינדוקציה ⇐ בכל חבורת־ pיש סדרה עולה של תת חבורות:
{e} ⊂ {Z1 } ⊂ {Z2 } ⊂ . . . ⊂ Zr = G
כאשר .Zi ⊳ Gו:
6= Z (G/Zi ) = Zi+1/Ziטריוויאלי
בפרט Zi+1/Zi :אבלית.
זו הסדרה המרכזית העולה של .G
6.2משפטי סילו
Gחבורה סופית p .ראשוני .נניח כי) p| |G| :לדוגמה |G| = 21 :ו (p = 7כלומר:
n = |G| = m · pe
כאשר .p|m
משפט 6.2.1משפט
Sylow
הראשון
48
פרק .6חבורות pומשפטי סילו
.6.2משפטי סילו
יש ב Gתת־חבורה H ⊆ Gמסדר .pe
הגדרה 6.2.2תת חבורה p־סילו :תת חבורה מסדר peשל Gנקראת תת חבורה p־סילו של .G
Hכזאת ניתנת לאפיון:
H .1חבורת־.p
[G : H] .2זר ל־.p
איך בונים את ?H
הערה 6.2.3רקע על חבורותצמודות :אם Gחבורה כלשהיא ,ו H ≤ Gתת חבורה.
ואם ghg −1 |h ∈ H = gHg −1 g ∈ Gגם תת־חבורה.
gh1 g −1 gh2 g −1 = g (h1 h2 ) g −1
וכמו כן:
= gh−1 g −1
−1
ghg −1
הגדרה 6.2.4הנורמליזטור של Hב :Gהאיברים NG (H) = g ∈ G| gHg −1 = Hיקראו הנורמליזטור של
Hב .Gברור כי H ⊆ NG (H) :לכן היא מוגדרת היטב .אם H ⊳ GאזNG (H) .NG (H) = G :הוא החבורה
הגדולה ביותר ב Gשבתוכה Hנורמלית.
−1
.
γ|γgγ
=
g
=CG (g) ,g ∈ Gהרכז שלו =
−1
=NG (H) .H ⊆ Gהנורמליזטור של . γ|γHγ = H =H
תת חבורה:
)γ1 , γ2 ∈ NG (H
γ1 γ2 H (γ1 γ2 )−1 = γ1 γ2 Hγ2−1 γ1−1 = γ1 Hγ1−1 = H
הערה 6.2.5אם =Aאוסף כל תת החבורות של Gנגדיר פעולה של Gעל .A
תת חבורה צמודה של γ ∗ H = γHγ −1 =H
המסלול של =Hכל תת החבורות הצמודות ל .Hהמייצב של NG (H) =H
14/12/2011
משפט 6.2.6משפט Sylow
הראשון
לכל pראשוני המחלק את | |Gיש ב Gתת חבורה p־סילו.
הוכחה :תהי Sמשפחת כל תת הקבוצות מסדר .pe
)n (n − 1) · . . . · (n − pe + 1
n
= ||S
=
pe (pe − 1) · . . . · 1
pe
)כאשר (|G| = n
למה 6.2.7
||Sאינו מתחלק בp
הוכחה :נסתכל ב k = pf · k0 ,0 ≤ k < peכאשר 0 ≤ f ≤ eוp|k0 :
הסדר של pב pe − kהנו בדיוק pf ) .fמחלק גם את peוגם את ,k
כנ"ל הסדר של pב n − kגם כן בדיוק ) fמאותה סיבה(.
49
f +1
e
pמחלק את pאך לא את (k
פרק .6חבורות pומשפטי סילו
.6.2משפטי סילו
ולכן המופעים של pב ) (n − kוב ) (pe − kבדיוק מצטמצמים ולכן אין חזקות pב:
|= |S
n−k
pe − k
e
pY
−1
k=0
ניתן ל Gלפעול על Sע"י .(g, S) 7→ g · S G × S → Sנראה שקיימת Sשהמייצב שלה GSהנו תת חבורה
p־סילו.
למה 6.2.8
המייצב של כל S ∈ Sהנו חבורת־p
הוכחה :אם .H = {g| ∀s ∈ S, g · s ∈ S} ,H = GSבפרט אם =H · s ⊂ S ,s ∈ Sהמחלקה הימנית .לכןS ,
היא איחוד של מחלקות ימניות ולכן:
||H| | |S
}|{z
pe
היות ו| |Sזר ל ,pחייב להיות מסלול )O (Sמסדר זר ל־.p
נשתמש בנוסחת המסלול:
|)· |O (S
} | {z
זר לp
= |pe · m = |G
| |GS
}|{z
מלמה ב' ־ חזקת p
כלומר .pe = |GS | :כלומר H = Gsחבורת p־סילו.
מסקנה 6.2.9משפט קושי
אם |p| |Gיש ב Gאיבר מספר p
הוכחה :תהי H ≤ Gחבורת p־סילו .נבחר .e 6= g ∈ Hהסדר שלו )o (gצריך לחלק את ||Hולכן הוא pk /אזי:
k−1
6= e
gp
k−1
k
אבל = g p = e
. gp
משפט 6.2.10משפט סילו השני
תהיה Gכנ"ל .(p ∤ m) |G| = pe m :תהיה K ≤ Gתת חבורה כל־שהיא H ,תת חבורה p־סילו .אזי ישנו
a ∈ Gכך ש K ∩ aHa−1 :תת חבורה p־סילו של .K
הערה pe = aHa−1 = |H| 6.2.11ולכן גם aHa−1חבורת p־סילו של .G
הוכחה :נסתכל בפעולה של Kעל X = G/Hע"י כפל משמאל ) Xהיא קבוצת הקוסטים ,כלומר = X
} .({g1 H, . . . , gm Hנשים לב כי | m = [G : H] = |Xזר ל .p
יהיה x = aHכך ש:
}Kx = {k ∈ K|kaH = aH
כלומר:
a−1 kaH = H ⇒ a−1 ka ∈ H
k ∈ aHa−1 ∩ K
Kx = aHa−1 ∩ K,
50
פרק .6חבורות pומשפטי סילו
.6.2משפטי סילו
מספר אברי Kxהנו חזקת־ pכל ≥ Kxחבורת־. aHa−1 ,p
מאידך m = |X| ,זר ל pולכן יש x = aHשהמסלול שלו ) O (xמגודל זר ל.p
ממשפט המסלול:
|)|K| = |Kx | |O (x
} |{z} | {z
זר ל pחזקת p
כלומר Kxחבורת pמאינדקס זר ל Kx ⇐pחבורת p־סילו.
מסקנה 6.2.12
אם Kבעצמה חבורת ,pאזי יש aכך שK ⊂ aHa−1 :
מסקנה 6.2.13
כל חבורות p־סילו של Gצמודות זו לזו) .במסקנה (|K| = aHa−1 = pe ,1
מסקנה 6.2.14
19/12/2011
אם Hחברות p־סילו של ,Gאזי Hיחידה ⇒⇐ .H ⊳ G
משפט 6.2.15משפט סילו השלישי
במצב המתואר לעיל ,מספר חבורות p־סילו ב Gשיסומן rpמקיים rp |m :וגם) rp ≡ 1 mod p :משאיר
שארית 1בחלוקה ב (p
הוכחה :יהיו {H1 = H, H2 , . . . , Hr } :כל חבורות pסילו של ,Gכלומר .r = rpכל Hiהנה מהצורה aHa−1
)לפי המסקנה השניה למשפט סילו השני( ולהפך ,כל חבורה מהצורה aHa−1היא חבורה pסילו .לפיכך ,נגדיר
קבוצה Xבתור כל תת־החבורות של .Gאם γ ∈ Gו γ ∗ L = γLγ −1 .L ∈ Xגם כן תת חבורה ו:
e∗L=L
−1
γ1 ∗ (γ2 L) = γ1 γ2 Lγ2−1 γ1−1 = (γ1 γ2 ) L (γ1 γ2 ) = (γ1 γ2 ) ∗ L
קבלנו פעולה של Gעל Xו:
} O (H) = {H1 , H2 , . . . , Hr
מסלול שלם .ממשפט המסלול אנו יודעים כי:
||G
GH
= |)r = |O (H
כאשר GHהוא המייצב .אבל נשים לב כי GH = γ ∈ G| γHγ −1 = H = NG (H) :כלומר הנורמליזטור של
Hב־ .Gאבל אנו יודעים כי:
≤ N (H) ≤ G
|{z} G
H
סגירות H
ולכן קיבלנו כי:
m
{ |} z
][G : NG (H)] [G : H
{z
}
|
r
כלומר קילבנו כי rp |m :כנדרש.
נוכיח את החלק השני ,נפרק את המסלול } G) {H1 , . . . , Hr־מסלול( למסלולים זרים תחת פעולת Hע"י
הצמדה.
H־מסלול אחד יהיה כמובן }.{H
51
פרק .6חבורות pומשפטי סילו
.6.2משפטי סילו
טענה 6.2.16
כל H־מסלול אחר מכיל יותר מחבורה אחת.
הוכחה :נניח ש } {Hiהנו מסלול בין אבר 1ונראה כי . i = 1נשים לב כי זה אומר:
hHi h−1 = Hi
∀h ∈ H
כלומר) H ⊆ NG (Hi ) :כלומר Hמנרמלת את (Hiמכך נקבל כי {a · b| a ∈ H, b ∈ Hi } = H · Hi :הוא
תת חבורה:
(a · b) (a1 · b1 ) = aa1 a−1
ba1 ·b1
} | 1 {z
∈Hi
ולכן היא סגורה לפעולה.
מספר האיברים ב ) HHiהיה בתרגיל( הנו:
| |H| · |Hi
חזקת = p
| |H ∩ Hi
אבל HHiחבורת־ = H ⊂pחבורת p־סילו⇐ HHi = Hובאותה צורה HHi = Hi :ולכן Hi = H :כלומר,
.i = 1
Hחבורת־ pולכן בפעולתה ע"י הצמדה על הקבוצה } {H1 , . . . , Hrמספר האברים בכל מסלול שאינו יחידון
מתחלק ב .pאם כך) :כפולת r = 1 + (pכנדרש.
P
דוגמה : 6.2.17חבורות Gמסדר |G| = p · qכאשר p 6= qראשוניים .בה"כ .p < q :אנו יודעים שיש לנו
חבורת p־סילו ב .Gנסמנה |P | = p .Pו pציקלית .כאשר היוצר שלה הוא . ap = e .hai
דבר דומה ניתן לעשות עם =Q .qחבורת q־סילו .|Q| = qעם יוצר .hbiנשים לב כי:
}P ∩ Q = {e
כי הסדר של P ∩ Qמחד גיסא מחלק את pומאידך מחלק את .qאבל שניהם ראשוניים לכן הוא בהכרח . 1
=rqמספר צמודי Qהמחלק את pוגם ) rq ≡ 1 mod qמסילו השלישי( ומכיוון ש p < qאזי .rq = 1
מסקנה 6.2.18
) Q ⊳ Gלכל = Q , a ∈ G
−1
(aQa
משפט 6.2.19
נניח בתנאים הנ"ל q 6≡ 1 mod pאזי G :ציקלית מסדר pq
הוכחה :בתנאי הזה P ⊳ G ,כי rp = 1או rp ≡ 1 mod p .rp = qאבל q 6≡ 1 mod pולכן.rp = 1 :
∈Q
|}
{
−1
aba
b
נסתכל על
} | {z
∈Q
כי Qנורמלית
באותה זורה) ba−1 b−1 ∈ P :כי Pנורמלית( ∈ P
.ab = ba
n
נסתכל על .a · bנניח (ab) = eמתחלפים.
−1
z
)הקומוטטור של aו־.(b
a · ba−1 b−1אבל } aba−1 b−1 = e ,P ∩ Q = {eולכן:
an · b n = e
bn = e
P
P ∋ an = b−n ∈ Q ⇒ an = e,
מכאן p|n ,ו ,q|nכלומר abהינו איבר מסדר pqולכן Gציקלית G = habi
דוגמה : 6.2.20חבורה מסדר 15 = 3 · 5או חבורה מסדר 77 = 7 · 11הנה ציקלית.
52
פרק .6חבורות pומשפטי סילו
.6.2משפטי סילו
P
כאשר p < qראשוניים 1 ≡ 1 mod pאז יש חבורה מסדר pqשאינה אבלית.
דוגמה .2 · 3 = 6 = |S3 | : 6.2.21מסדר ...10
נבנה מסדר b7 = e .Q = hbi ,P = hai :p = 3, q = 7 .21
.G = P · Q .Q ⊳ G
G = ai b j | 0 ≤ i < 3 0 ≤ j < 7
.a3 = e,
נשים לב כי:
ai bj ak bl = ai+k a−k bj ak bl
נשים לב כי:
j
a−k bj ak = a−k bak
די לדעת את ,a−k bakיתרה מזאת ,די לדעת את ,a−1 ba = bs :אבל מה הוא ה sהנ"ל ? נשים לב כי:
ובאינדוקציה נקבל:
s
2
s
a−2 ba2 = a−1 a−1 ba a = a−1 bs a = a−1 ba = (bs ) = bs
k
a−k bak = bs
אפשר לבדוק )תרגיל( שהאילוץ היחידי הינו כאשר k = pמקבלים ap = e
p
b = a−p bap = bs
כלומר .sp ≡ 1 mod p :נקח s = 2ונקבל:
23 = 8 = 1 mod 7
ונקבל:
a−1 ba = b2 ⇒ ba = ab2
קל להראות שהתנאי q ≡ 1 mod pמבטיח שהחבורה = Z∗qחבורת השאריות הזרות ל) qשהיא מסדר (q − 1
מכילה איבר מסדר ,pכי ) .p| (q − 1כלומר יש .sp ≡ 1 mod q
53
פרק 7
סדרות נורמליות ,סדרות הרכב ,ומשפט
ז'ורדן־הולדר
הגדרה 7.0.22סדרה נורמלית :סדרה נורמלית ב Gהיא סדרת תת חבורות:
{e} = Hr ⊳ . . . ⊳ H2 ⊳ H1 ⊳ G = H0
כאשר .Hi+1 ⊳ Hi
הסדרה נקראת לא מגמגמת אם Hi+1 ⊳ Hi
=6
הגדרה 7.0.23סדרת הרכב או סדרת ז'ורדן־הולדר :סדרה נורמלית נקראת סדרת הרכב )(Composition series
או סדרת ז'ורדן־הולדר .אם Hi/Hi+1חבורה פשוטה ־ אין לה תת חבורות נורמליות.
על פי משפט ההתאמה תת חבורות נורמליות N ⊳ Hi/Hi+1מתאימות חח"ע עם Hi+1 ⊳ N ⊳ Hi :ע"י
′
) N = N /Hi+1כאשר ) ,N ′ = p−1 (Nכלומר היא המקור של Nתחת ההעתקה הקנונית (p : Hi → Hi/Hi+1
סדרת הרכב ,היא סדרה נורמלית שאי אפשר "לשפר" אותה ע"י דחיפת תת חבורות נורמליות נוספות בין Hi
ו .Hi+1
הגדרה 7.0.24עידון :סדרה נורמלית אחרת } G = H˜0 ⊲ H˜1 ⊲ . . . ⊲ H˜s = {eתקרא עידון )(renement
של G ⊲ Hi ⊲ Hi+1 ⊲ . . .אם כל Hiהיא אישזהו .H˜j
P
סדרת הרכב = סדרה נורמלית שאי אפשר לעדן אותה שלא ע"י גמגום.
}0 |{z
}⊳ {0, 6} |{z
}⊳ {0, 3, 6, 9} |{z
דוגמה ⊳ Z12 : 7.0.25
סדר 2
סדר 2
סדר 3
וגם⊳ Z12 :
}⊳ {0, 2, 4, 6, 8, 10} |{z
}0 |{z
}⊳ {0, 4, 8} |{z
סדר 2
סדר 2
סדר 3
}0 |{z
}⊳ {0, 6} |{z
}⊳ {0, 2, 4, 6, 8, 10} |{z
וגם⊳ Z12 :
סדר 2
סדר 3
סדר 2
אלו הן סדרות הרכב שונות אבל המנות העוקבות בשלשתן Hi/Hi+1הן .Z2 , Z2 , Z3
21/12/2011
P
P
(1 2) (3 4)
)(1 3) (2 4
}0 |{z
}⊳ {(1 2) (3 4)} |{z
⊳
}= V4 |{z
}⊳ A4 |{z
דוגמה ⊳ S4 : 7.0.26
)(1 4) (2 3
סדר 2
סדר 2
סדר 3
סדר 2
לחילופין האיבר האחרון יכל להיות גם ) (1 3) (2 4או ).(1 4) (2 3
דוגמה : 7.0.27תהי Gחבורת־ .pהסדרה המרכזית העולה הנה סדרה נורמלית.
{e} = Z0 ⊳ Z1 ⊳ Z2 ⊳ . . . ⊳ Zr = G
} .Zi/Zi−1 = |{zכל .G ⊲ Zi
= Ziהחבורה ב Gכך ) Z (G/Zi−1
מרכז
54
פרק .7סדרות נורמליות ,סדרות הרכב ,ומשפט ז'ורדן־הולדר
בהנתן שתי סדרות נורמליות א' וב':
}H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e
}H˜0 ⊲ H˜1 ⊲ H˜2 ⊲ . . . ⊲ H˜r = {e
= G
= G
נרצה להשתמש בב' כדי לעדן את א' .נתבונן ב:
G ⊲ . . . ⊲ Hi ≥ Hi ∩ H˜j Hi+1 ⊲ Hi+1 ⊲ . . .
מכיוון ש Hi ∩ H˜j Hi+1 = Hi,jחלקית ל ) Hiובאופן ברור נורמלית ל (Hi+1
הערה 7.0.28אם ) N ≤ NG (Hאזי N H :תת חבורה.
נשתמש בכל ה jנקבל:
Hi = Hi,0 ⊲ Hi,1 ⊲ . . . ⊲ Hi,j ⊲ Hi,j+1 ⊲ . . . ⊲ Hi,s = Hi+1
טענה 7.0.29
Hi,j+1
⊲
Hi,j+1
} | {z
} | {z
(Hi ∩H˜j )Hi+1 (Hi ∩H˜ j+1 )Hi+1
הוכחה :להוכחת הטענה צריך להראות ש:
˜ j+1 Hi
Hi ∩ H˜j Hi+1 ≤ NG Hi ∩ H
היות והנורמליזטור הנו תת חבורה ,די לבדוק ש Hi ∩ H˜jו Hi+1 :כל אחד בנפרד מוכלים בו.
לגבי Hi+1־ ברור )הוא תת חבורה(
יהי ,g ∈ Hi ∩ H˜jויהי ˜ j+1
y ∈ Hi+1 .x ∈ Hi ∩ Hנשים לב כי:
g (xy) g −1 = gxg −1 · gyg −1
} | {z } | {z
∈Hi+1
כי Hi+1 ⊳ Hi :ו˜ j+1 ⊳ H˜j :
.H
ולכן הנדרש.
˜ j+1
∈Hi ∩H
המטרה :להראות שאם נשתמש באותו אופן בא' כדי לעדן את ב' נקבל:
˜ j+1
H
˜ j,i ⊲ H
˜ j,i+1
H
H˜j
˜ j,i = H˜j ∩ Hi H
כאשר˜ j+1 :
Hנקבל עדונים "שקולים"
למה 7.0.30הלמה של זסנהאוז
במצב הנ"ל
∼
= H˜ j,i/H˜ j,i+1
Hi,j/Hi,j+1
˜j ⊲ B = H
הוכחה :נסמן A∗ = Hi ⊲ A = Hi+1 :ו˜ j+1 :
.B ∗ = Hנרצה להראות כי:
∗
∗
∼
)= B(B ∩A )/B(B ∗ ∩A
)A(A∗ ∩B ∗ )/A(A∗ ∩B
הערה 7.0.31נשים לב כי Aבצד השני ,אבל זה חוקי כיוון שאם ) N ≤ NG (Hאזי N H = HN :מהגדרת
הנורמליות.
55
פרק .7סדרות נורמליות ,סדרות הרכב ,ומשפט ז'ורדן־הולדר
נראה כי:
∗
∗
∼
)= (A ∩B )/(A∩B ∗ )(A∗ ∩B
)A(A∗ ∩B ∗ )/A(A∗ ∩B
וזה יוכיח את הלמה כי הביטוי המתקבל מימין סימטרי ב Aו־ Bולכן שווה גם ל:
)B(B ∗ ∩A∗ )/B(B ∗ ∩A
נסמן ) N = A (A∗ ∩ Bו .K = A∗ ∩ B ∗ :כלומר A (A∗ ∩ B ∗ ) = N K :כיוון ש ) (A∗ ∩ Bמוכל ב .K
אנו רוצים לבחון את .N K/N :ממשפט ההומומורפיזם השני אנו יודעים כי:
∼
= K/K∩N
נשאר להראות כי:
)(A∗ ∩B ∗ )/(A∩B ∗ )(A∗ ∩B
=
N K/N
נשים לב כי כי הכלה ⊃ בוודאי יש .להפך ,נניח
K/K∩N
} | {z
) (A∗ ∩B ∗ )/(A∗ ∩B
איבר a · hכך ש h ∈ A∗ ∩ B ,a ∈ Aשייך גם ל ∗ .A∗ ∩ Bאזי:
∗a ∈ A ∩ B
26/12/2011
כי ∗ h ∈ B ⊂ B ∗ ,a · h ∈ Bכנדרש.
הגדרה 7.0.32סדרות שקולות :שתי סדרות נורמליות:
}G = H0 ⊲ H1 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e
)סדרה מאורך (rו:
˜0 ⊲ H
˜1 ⊲ . . . ⊲ H
}˜ s = {e
G=H
תקראנה שקולות אם r = sוקיימת תמורה αשל } {0, . . . , r − 1כך ש:
P
∼
= H˜ α(i)/H˜ α(i)+1
Hi/Hi+1
דוגמה Z12 : 7.0.33־ חבורת השעון .ניתן לדבר על הסדרה הנורמלית:
}{e
⊲
}|{z
}{e
⊲
}|{z
אבל ניתן גם:
4Z12
⊲
}|{z
6Z12
⊲
}|{z
3Z12
⊲
}|{z
חבורת המנהZ2 :
חבורת המנהZ2 :
חבורת המנהZ3 :
חבורת המנהZ2 :
2Z12
⊲
}|{z
Z12
חבורת המנהZ2 :
Z12
חבורת המנהZ3 :
אנו רואים כי זו לא אותה סדרה נורמלית ,אבל הסדרות הנורמליות הנ"ל שקולות.
סדרה נורמלית נקראת סדרת הרכב אם אין לה עידון אמיתי ־ כלומר אם כל:
משפט 7.0.34משפט העידון של שרייר
לכל שתי סדרות נורמליות בחבורה Gישנם עידונים שקולים.
הוכחה :תהינה:
}H0 ⊲ . . . ⊲ Hr = {e
˜0 ⊲ . . . ⊲ H
}˜ s = {e
H
= G
= G
שתי הסדרות הנורמליות הנתונות .נגדיר:
˜ j Hi+1
Hi,j = Hi ∩ H
56
Hi/Hi+1
חבורה פשוטה.
פרק .7סדרות נורמליות ,סדרות הרכב ,ומשפט ז'ורדן־הולדר
ראינו כבר כי זו תת חבורה ,מכיוון ש ˜ j
Hi ∩ Hמנרמל את Hi+1מכיוון שכל איבר ב Hiמנרמל את Hi+1אז
בהכרח גם כל איבר בחיתוך) .כלומר γ ∈ Hiאז(γHi+1 γ −1 = Hi+1 :
כמו כן הוכחנו כי:
Hi = Hi,0 ⊲ . . . ⊲ Hi,j ⊲ Hi,j+1 ⊲ . . . ⊲ Hi,s = Hi+1
נסדר את Hi,jלקסיקוגרפית )קודם מסתכלים על האינדקס הראשון ,אז לבא ,וכן הלאה( קודם לפי ה iואח"כ לפי
ה .jונקבל סדרה נורמלית אשר הביטוי הנ"ל הוא קטע ממנה .ונשים לב כי .Hi+1 = Hi+1,0ונבנה את ההמשך
באותו אופן כמו הנ"ל .הסדרה אשר נקבל היא עידון של } .{Hi
להפך ,נגדיר:
˜ j+1
˜ j ∩ Hi H
˜ j,i = H
H
תת חבורה .ושוב:
˜j = H
˜ j,0 ⊲ . . . ⊲ H
˜ j,r = H
˜ j+1
H
n o
שוב נסדר לקסיקוגרפית ונקבל סדרה נורמלית שהנה עידון של ˜ j
. H
נרצה להראות ששני העידונים הנ"ל שקולים .שתי הסדרות הנורמליות הנ"ל מאורך .r · sולפי הלמה של
זסנהאוז:
∼ = (Hi ∩H˜ j )Hi+1/(Hi ∩H˜ j+1 )Hi+1
= (H˜ j ∩Hi )H˜ j+1/(H˜ j ∩Hi+1 )H˜ j+1 = H˜ j+1/H˜ j,i+1
Hi,j/Hi,j+1
ולכן הסדרות הללו שקולות
משפט 7.0.35משפט ז'ורדן הולדר
.1לחבורה סופית יש סדרת הרכב
.2לכל חבורה ־ כל שתי סדרות הרכב לא מגמגמות שלה שקולות.
הוכחה:
.1באינדוקציה על | .|Gנניח שהראנו את זה לכל הסדרים הקטנים יותר ,נרצה להראות את זה עבור |G| /אם
Gפשוטה } G ⊲ {eסדרת הרכב .אחרת ,יש ל Gחבורה נורמלית:
G⊲N ⊲e
=6
=6
כך ש | |G| > |Bוגם .|G/N | < |G| :על סמך הנחת האינדוקציה ,נמצא סדרות הרכב:
}N = N0 ⊲ . . . ⊲ Nk = {e
ו:
}= G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gl = {e
תהיה P : G → G/Nההטלה ,נסמן Gi = P −1 Gi :אזי ממשפט ההתאמה:
G/N
G0 = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gl = N
נצרף את 2הסדרות הנורמליות הנ"ל ונקבל סדרה מאורך .k + lואת סדרת הרכבה ב Gכי המנות העוקבות
∼ ) Gi/Gi+1האיזומורפיזם ממשפט האיזומורפיזם השלישי( פשוטות.
Ni/Ni+1או = Gi/Gi+1
n o
.2נובע ממשפט העידון של שרייר ־ בהנתן 2סדרות הרכב לא מגמגמות } {Hiו־ ˜ i
Hבנינו להן עידוכנים
שקולים .אבל אי אפשר לעדן סדרת הרכב )הדרך היחידה ,היא להתחיל לגמגם( .לכן העידונים הללו
מתקבלים מסדרות ההרכב ע"י חזרה על איברים )גמגום( .לכן אם נמחק את האיברים החוזרים על עצמם
הסדרות עדיין יהיו שקולות ,אבל בכך חזרנו לסדרות המקוריות .ולכן הסדרות המקוריות שקולות כנדרש.
57
פרק 8
חבורות פתירות ־ Solvable
הגדרה 8.0.36חבורה פתירה G :פתירה אם יש ל Gסדרה נורמלית עם גורמים ) = (fatorsמנות עוקבות
אבליות.
P
P
Gi/Gi+1
דוגמה An : 8.0.37עבור n ≥ 5לא פתירה .כיוון שראינו כי Anכנ"ל פשוטה ,ולכן אין לה שום סדרה
נורמלית פרט ל .An ⊲ {e} :אבל Anלא אבלית.
דוגמה : 8.0.38חבורת־ p) pראשוני( הנה פתירה .בנינו את הסדרה המרכזית העולה
}G = Zr ⊲ . . . ⊲ Z1 ⊲ Z0 = {e
Ziהייתה אפילו נורמלית ב .(!)Gאפשר להסתכל על G/Ziוהמרכז שלה הוא:
Z (G/Zi ) = Zi+1/Zi
והוא לא מרכז טריוויאלי .במקרה זה
עצמם(.
P
Zi+1/Zi
בוודאי אבלית )הם מתחלפים עם כל איברי G/Ziלכן בוודאי עם
דוגמה : 8.0.39חבורת ) pqכאשר p < qראשוניים( .במקרה הזה ,תהיה Qחבורת q־סילו .ראינו
שמספר צמודי ) Qשסימנו אותו ב rq־ מספר תת חבורות qסילו( מצד אחד צריך להתקיים rq | pומצד שני:
) rq = 1 mod qמשפט סילו ה ( 3אבל p < qולכן rq = 1כלומר .Q ⊳ G :לכן יש לנו סדרה באורך :2
}G |{z
}⊲ Q |{z
}⊲ {e
p
q
המנות העוקבות G/Q, Qהן ציקליות מסדר pו qבהתאמה.
8.1קומוטטורים והחבורה הנגזרת
הגדרה 8.1.1קומוטטור :תהיה Gחבורה ויהיו . x, y ∈ Gהקומוטטור שלהם הנו.[x, y] = x−1 y −1 xy :
הערה 8.1.2אם Gאבלית ,ניתן לשנות את הסדר ולקבל כי .[x, y] = 1
הערה 8.1.3
xy = yx ⇐⇒ [x, y] = e .1
כיוון ש x−1 y −1 xy = e :אם"ם y −1 xy = xאם"ם .xy = yx
.γ [x, y] γ −1 = γxγ −1 , γyγ −1 .2אפילו יותר כללית ,לכל אוטומורפיזם ϕשל Gמתקייםϕ ([x, y]) = :
]).[ϕ (x) , ϕ (y
−1
−1
[x, y] = x−1 y −1 xy
= y −1 x−1 yx = [y, x] .3
.4אם N ⊳ Gו y ∈ G ,x ∈ Nאזי[x, y] ∈ N :
כיוון ש x−1 y −1 xy = [x, y] :מהנורמליות .ולכן הקומוטטור ב Nכנדרש.
} | {z
∈N
58
פרק .8חבורות פתירות ־ Solvable
.8.1קומוטטורים והחבורה הנגזרת
הערה 8.1.4במטריצות יש שתי הגדרות שונות לקומוטטורים .את ההגדרה הנ"ל ,כלומר:
A−1 B −1 AB = I ⇐⇒ AB = BA
והגדרה שניה:
AB − BA = 0 ⇐⇒ AB = BA
גם זה נקרא קומוטטור לפעמים .אבל לא בתחום הדיון שלנו כרגע .בגדול זה נובע מכך שהמטריצות הן לא
רק חבורה ,אלא הן חוג ,נגיע לזה בקרוב.
אזהרה מכפלת קומוטטורים אינה בהכרח קומוטטור.
הגדרה 8.1.5חבורת הקומוטטורים\חבורת הנגזרת :חבורת הקומוטטורים או חבורת הנגזרת G′של Gהנה
החבורה הנוצרת ע"י כל ] [x, yכאשר .x, y ∈ Gכלומר:
G′ = h[x, y] | x, y ∈ Gi
למה 8.1.6
.1איברי G′הנם ] [x1 , y1 ] · . . . · [xk , yk
G′ ⊳ G .2
G/G′ .3אבלית
הערה 8.1.7בהחלט ייתכן כי .G′ = Gלמשל מ 2ו 3נובע ש A′n = An :ל .5 ≤ n :מכיוון של Anכנ"ל אין
תתי חבורות נורמליות לא טריוויאליות ,ומ 3נובע כי היא חייבת להיות אבלית ,לכן בהכרח A′n = Anאחרת
) An/{e} = Anלא אבלית(.
הוכחה:
.1אברי G′מהגדרתם הם מכפלות של ] [x, yושל ]= [y, x
−1
].[x, y
.2יהי γ ∈ Gנתבונן ב:
γxi γ −1 , γyi γ −1 ∈ G′
k
Y
= γ [xi , yi ] γ −1
i=1
k
Y
!
= [xi , yi ] γ −1
i=1
.3יהיו x, y ∈ Gנתבונן ב .x, y ∈ G/G′ :נבחין כי:
[x, y] = x−1 y −1 xy = x−1 y −1 xy = e ⇒ xy = yx
למה 8.1.8
′
אם N ⊳ Gו G/Nאבלית אזי G ≤ N
הוכחה :נסמן עבור x, y ∈ Gאת x, y ∈ G/Nהמחלקות שלהם אזי:
e = [x, y] = [x, y] ⇒ [x, y] ∈ N
28/12/2011
אבל G′נוצרת על ידי ] [x, yולכן .G′ ≤ N
59
k
Y
i=1
γ
פרק .8חבורות פתירות ־ Solvable
.8.1קומוטטורים והחבורה הנגזרת
נגדיר באינדוקציה:
′
)G(n) = G(n−1
כאשר G(1) = G′ :כמובן.
איברים של G′′הם מכפלות של קומוטטורים של מכפלות של קומוטטורים .דוגמה לאיבר:
x−1 y −1 xyu−1 v −1 uvy −1 x−1 yxv −1 u−1 vu
Gהיא אבלית )מהלמות הנ"ל(.
ברור כי ) G(n) ⊳ G(n−1ו/G(n) :
אם יש rכך ש } ,G(r) = {eקבלנו סדרה נורמלית ב Gשהמנות העוקבות שלה אבליות ⇐ Gפתירה!
)(n−1
הגדרה 8.1.9הסדרה הנגזרת של :Gהסדרה:
. . . ⊳ G(n) ⊳ . . . ⊳ G′′ ⊳ G′ ⊳ G
נקראת הסדרה הנגזרת של .G
P
הערה 8.1.10בהחלט ייתכן ש G = G′
דוגמה An : 8.1.11עבור n ≥ 5אזי A′nתת־חבורה נורמלית= Anאו }) {eכיוון ש Anפשוטה( .אבל
An/A′nאבלית ,ו Anלא אבלית ⇐ . A′n = An
משפט 8.1.12
Gפתירה אם"ם הסדרה הנגזרת מסתיימת ב}{e
הוכחה ⇒ :הראינו.
⇐ נניח שיש סדרה נורמלית:
}G = G0 ⊲ G1 ⊲ G2 ⊲ . . . ⊲ Gr = {e
כאשר
Gi/Gi+1
אבלית .נוכיח באינדוקציה על iש:
G(i) ≤ Gi
וזה כמובן יגיד ש } .G(r) = {eעבור i = 0נתון:
G(i) = G0 = G
באינדוקציה:
′
= G(i−1) ≤ G′i−1
)G(i
מהנחת האינדוקציה והעבודה שאם .A′ ≤ B ′ ⇐A ≤ Bאבל
)G′i−1 ≤ G(i
כי
Gi−1/Gi
אבלית .ולכן .G(i) ≤ Gi :כנדרש.
טענה 8.1.13
G(n) ⊳ G
הוכחה :באינדוקציה.
בסיס :אנו יודעים כי .G′ ⊳ G
צעד :אם G(n−1) ⊳ Gאזי לכל γ ∈ Gולכל ) x, y ∈ G(n−1ראינו כי:
γ [x, y] γ −1 = γxγ −1 , γyγ −1
אבל ) γxγ −1 , γyγ −1 ∈ G(n−1מהנחת האינדוקציה .ולכן התוצאה ב ) G(nזה מראה ש .G(n) ⊳ G
60
פרק .8חבורות פתירות ־ Solvable
.8.1קומוטטורים והחבורה הנגזרת
טענה 8.1.14
תהיה N ⊳ Gאזי Gפתירה אם"ם גם Nוגם G/Nפתירות
הוכחה :אם Nו G/Nפתירות אז יש סדרות נורמליות:
}N0 ⊲ . . . ⊲ Ns = {e
=
}G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = {e
)כאשר (G = G/Nכאשר Ni/Ni+1וGi/Gi+1 :אבליות .נגדירGi :
הקננוית .קיבלנו:
N
= G
Gi = p−1כאשר p : G → Gההטלה
G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = N
∼
ממשפט האיזומורפיזם השלישי= Gi/Gi+1 :
Gi/Gi+1
ולכן היא אבלית .ועכשיו:
}G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gt = N ⊲ N1 ⊲ . . . ⊲ Ns = {e
ולכן Gפתירה.
הכיוון ההפוך ,נניח Gפתירה ו.N ⊳ G :
}G ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gr = {e
כאשר
Gi/Gi+1
אבליות .נבצע חיתוכים ונקבל:
}N = N0 = N ∩ G0 ⊲ G1 = N ∩ G1 ⊲ . . . ⊲ {e
ואז:
≤ Gi/Gi+1
Gi/Gi+1
נסתכל בהומו'
אבלית.
לגבי Gנשתמש ב:
N ∩Gi/N ∩Gi+1
p
→) N ∩ Gi −הקאנוני( ,גרעינו .N ∩ Gi+1 :ומכיוון שהיא תת חבורה
≥N
Gi N
}
| {z
≥G
חבורות כי Nנורמלית
Gi N ⊲ Gi+1 N
ממשפט האיזומורפיזם השני:
∼ = Gi N/Gi+1 N
= Gi/Gi+1 N ∩Gi
Gi/Gi+1
ומהמשפט האיזומורפיזם השלישי נקבל:
∼
) = (Gi/Gi+1 )/((Gi+1 N ∩Gi )/Gi+1
אבל היא אבלית ,לכן:
02/01/2012
Gi N
N
= Giתת חבורה ,וחבורת מנה של אבלית אבליות.
61
N ∩Gi/N ∩Gi+1
פרק 9
חבורות אבליות
נסמן עבור Aחבורה אבלית + ,עבור הפעולה 0 ,עבור היחידה n · g .במקום .g nאם B,Aשתי חבורות אבליות
נהוג לסמן את A × Sגם .A ⊕ B
P
דוגמה . Q∗ ,R ,Q , Zn ,Z : 9.0.15
הערה 9.0.16אם Aאבלית ו B ≤ A :אזי גם Bאבלית ולכן B ⊳ A :ואפשר לדבר על .A/B
הגדרה 9.0.17איבר פיתול :תהי Gחבורה .איבר g ∈ Gנקרא איבר פיתול ) (torsionאם הוא איבר מסדר
סופי.
בחבורה כללית האיברים מסדר סופי אינם )בדרך כלל( תת־חבורה .הסיבה לכך היא כמובן ש.hn = e , g m = e :
mn
) , (ghאבל כשהם לא מתחלפים זה לא קורה.
אם ) gh = hgכלומר מתחלפים( אז= g mn hmn = e :
אבל בחבורה אבלית כל שני איברים מתחלפים ,ולכן אוסף הפיתוליים מהווה תת־חבורה.
}Ator = {a ∈ A | ∃m ∈ N m · a = 0
תת חבורה הפיתול של .A
למה 9.0.18
Atorהינה תת־חבורה של Aוב A/Atorאין פיתול פרט ל .0
הוכחה :אם a ∈ A/Atorמסדר סופי) m · a = 0 ,כאשר .(m ∈ Nאזי ,m · a ∈ Atorכלומר יש nטבעי כך ש
n · m · A = 0אבל אז.a = 0 ,a ∈ Ator :
הגדרה 9.0.19נוצרת סופית :חבורה Gנקראת נוצרת סופית אם יש g1 , . . . , gr ∈ Gכך ש:
P
G = hg1 , . . . , gr i
דוגמה G : 9.0.20סופית.
.Z=G
אם G1 , G2נוצרות סופית גם G1 × G2
9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
משפט 9.1.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
תהיה Aחבורה אבלית נוצרת סופית אזי Aמכפלה )או סכום ישר( של מספר סופי של חבורות ציקליות.
∼A
יתרה מזאת ,ישנם r ≥ 0ומספרים טבעיים (0 ≤ k) m1 , . . . , mkכך ש mi | mi+1ו= Zr × Zm1 × :
.. . . × Zmk
האינווריאנטות r, k, m1 , . . . , mkנקבעות באופן חד־ערכי r .נקרא הדרגה של Aומסומן )r = rank (A
ואילו m1 , . . . , mkנקראים המחלקים האלמנטריים של .A
62
פרק .9חבורות אבליות
.9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
P
P
∼ .Zm × Zn
דוגמה : 9.1.2ראינו בתרגיל )ובשיעור מידי פעם( שאם gcd (m, n) = 1אזי= Zmn :
יהיו a = 1 mod mו.b = 1 mod n :
(a, b) ∈ Zm × Znהינו איבר מסדר m · nולכן יוצר.
ni
d
דוגמה Q : 9.1.3אינה נוצרת סופית .אם .Q = hq1 , . . . , qr iאזי אם dמכנה משותף של q1 , . . . , qrאזי:
= qiוכמובן כל איבר של hq1 , . . . , qr iיש לו מכנה .dסתירה.
9.1.1בסיס
Pחבורה אבלית .קבוצה A = {ai }i∈I :ב Aנקראת בסיס אם לכל α ∈ Aיש הצגה
הגדרה 9.1.4בסיס :תהי A
יחידה כסכום סופיmi αi :
= ,mi ∈ Z) αפרט למספר סופי של אינדקסים ,כולם (0
i∈I
P
P
P
0
..
.
0
r
1 ≤ i ≤ r ei = בסיס
דוגמה : 9.1.5ב 1 ← (i) ,Z
0
.
..
0
דוגמה : 9.1.6ב Aסופית אין בסיס .הצגה לא יחידה.
דוגמה = Q∗+ : 9.1.7החבורה הכפלית של המספרים הרציונליים החיוביים.
כמובן שהמספרים הראשוניים הם בסיס:
2
=
α1
3
5
=
=
α2
α3
7
=
..
.
α4
)משפט הפריקות החד־ערכית(
mk
m2
1
Qx+ ∋ α = αm
1 · α2 · . . . · αk
2
mk
1
−1 = αm
נבחין כי זה לא נכון ב ∗ Qכי ),1 = (−1
1 · . . . · αk
תרגיל :אם ל Aיש בסיס A ,חסרת־פיתול.
וגם שההפך לא נכון )דוגמה :ל Qאין בסיס ,למרות שהיא חסרת פיתול(
α1,j
, Zrמתי αj = ... 1 ≤ j ≤ sמהוים בסיס?
αr,j
בוודאי α1 , . . . , αsבת"ל מעל Zולכן גם מעל .Q
⇐⇒ 0 = m1 α1 + . . . + mαsכל ) mi = 0מיחידות הצגת ה(0
במכנה המשותף .s ≤ rבדיוק באותו אופן α1 , . . . , αs
וזה נשאר נכון גם אם mi ∈ Qכי אפשר
להכפיל
q1
יוצרים של Qrכמרחב וקטורי מעל Qכי אם ,α = ... ∈ Qrנכפיל במכנה משותף:
qr
m1 α1 + . . . + ms αs = d · α ∈ Zr
63
פרק .9חבורות אבליות
.9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
m2
m1
α1 + . . . +
αs = α
d
d
לכן ) r ≤ sקבוצה יוצרת( ,כלומר s = rו) (α1 , . . . , αrגם בסיס ל .Qr
אבן זה תנאי הכרחי אך לא מספיק.
1
1
2
= α1ו:
α2הם בסיס ל ,Qהם אכן בת"ל .אבל בכל צירוף לינארי שלהם עם
דוגמה : 9.1.8
4
2
מקדמים מ ,Zהקואורדינטה השניה שלהם זוגית ולכן .Zα1 + Zα2 6= Z2
P
משפט 9.1.9
α1,j
..
rוקטורים 1 ≤ j ≤ r ,αi = . מהוים בסיס ל Zאם ורק אם.det (αi,j ) = ±1 :
αr,j
r
תזכורת 9.1.10בסיס ל Qrאם"ם הדטרמיננטה הנ"ל =06
הוכחהαi,j ei :
r
P
i=1
r
= αjאם {αj }j=1בסיס ל Zrאז גםβj,k αj :
αi,j βj,k ei
X
j,k
r
P
j=1
= ekלכל .(βj,k ∈ Z) k
= (αi,j ) (βj,k ) = I ⇐ ek
det (αi,j ) = det (βj,k ) = 1אבל אלו מספרים שלמים ולכן יש רק שתי אפשרויות 1·1 = 1 :או = )(−1) (−1
.1
להפך :אם ,det (αi,j ) = ±1נסמן .(βj,k ) = (αi,j )−1 :מטריצה הפוכה מתקבלת ע"י לקיחת המטריצה
המצורפת )(adjoint
הנ"ל גם כן עם מקדמים שלמים ,והדטרמיננטה
המצורפת
המטריצה
אבל
.det
((α
))
ב
וחלוקה
)) adj ((αi,j
i,j
P
על פי ההנחה היא ±1ולכן גם .βj,k ∈ Zמהנוסחה αi,j βj,k ei
= ekנובע עכשיו שכל ek ∈ hα1 , . . . , αr i
j,k
ולכן כמובן:
r
P
Z = Zα1 + . . . + Zαr = hα1 , . . . , αr i
דוגמה : 9.1.11אם נתבונן בדוגמה הקודמת ,נבחין
1
=2
4
ולכן α1 , α2לא בסיס של Z2אבל:
כי:
1
2
1
= α1
2
2
= α2
3
נקבל כי:
כלומר ,כן בסיס .נבחין כי גם מתקיים:
1 2
2 3 = −1
−3α1 + 2α2
2α1 − α2
64
1
=
0
0
=
1
פרק .9חבורות אבליות
.9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
הגדרה 9.1.12חבורה אבלית חופשית :חבורה אבלית שיש לה בסיס נקראת חבורה אבלית חופשית.
ואם הבסיס הוא בן rאיברים )ואז כמובן כל בסיס הוא בן rאיברים( Aנקראת אבלית חופשית מדרגה .r
rank A = r
אזי אם α1 , . . . , αrבסיס של ,Aההעתקה ϕ : Zr → Aהמוגדרת באופן הבאmi αi :
היא איזו'.
ϕעל ־ כי α1 , . . . , αrיוצרים של A
ϕחח"ע ־ בגלל יחידות ההצגה ) αiבת"ל(
r
P
i=1
ϕ
→(m1 , . . . , mr ) 7
משפט 9.1.13המשפט על מחלקים אלמנטריים
תהיה Aחבורה אבלית חופשית מדרגה rותהי B ≤ Aאזי ניתן למצוא:
• בסיס α1 , . . . , αrשל .A
• מספר טבעי 0 ≤ k
• מספרים טבעיים 1 ≤ m1 , . . . , mkכך ש mi | mi+1
כך ש B = hm1 α1 , . . . , mk αk i
הערה 9.1.14הבסיס לא יחיד ,אבל האינוריאנטות k, m1 , . . . , mkיחידות) .תלויות רק ב Aוב־ , Bלא בבסיס(
בקואורדינטות ,אם נזהה את Aעם Zrכמו קודם ,דהיינו:
n1
.. ϕ X
ni αi
→ . 7
∼
=
nr
אזי:
})B = {(l1 m1 , l2 m2 , . . . , lk mk , 0, . . . , 0
אזי.li ∈ Z :
מסקנה 9.1.15ממשפט המבנה
הוכחה :נניח Aחבורה אבלית נוצרת סופית .יהיה nמספר היוצרים המינימלי של A
יהיו γ1′ , . . . , γn′יוצרים של .A
נגדיר ϕ : Zn ։ A :ע"י:
mi γi′
γi′
n
X
= ) ϕ (ei
= ) ϕ (m1 , . . . , mn
i=1
n
.Zאזי ישנו בסיס אחר α1 , . . . , αn :של
n
יהיה B = ker ϕוניישם את המשפט ל ≥ B
m1 , . . . , mkכך ש .B = hm1 α1 , . . . , mk αk i
נסמן ) ,γi = ϕ (αiאזי כמובן ) A = hγ1 , . . . , γn i = ϕ (Zn
מתי l1 γ1 +. . .+l2 γn = 0ב ?Aאם"ם l1 α1 +. . .+ln αn ∈ B = ker ϕאם"ם m1 | l1 , m2 | l2 , . . . , mk | lk
וגםlk+1 = . . . = ln = 0 :
∼ Zאם
ולכן l1 γ1 + . . . + ln γn = 0 ,אם"ם .m1 | l1 , . . . , mk | lkולכן = hγi i
∼ = hγi i ,1 ≤ i ≤ k Zmi
k < i ≤ nויתר מזאת:
Zומספרים
∼A
= hγ1 i × hγ2 i × . . . × hγn i
04/01/2012
) kחבורות ציקליות סופיות r = n − k .עותקים של .(Z
תרגיל :חלוקה עם שארית:
יהי ,m > 0ויהי ,n ∈ Zאזי יש q ∈ Zו 0 ≤ r < m :כך ש.n = qm + r :
נחזור למשפט על מחלקים אלמנטריים
65
.9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
פרק .9חבורות אבליות
משפט 9.1.16המשפט על מחלקים אלמנטריים
תהיה Aחבורה אבלית חופשית מדרגה nותהי B ≤ Aאזי ניתן למצוא:
• בסיס α1 , . . . , αnשל .A
• מספר טבעי 0 ≤ k ≤ n
• מספרים טבעיים m1 , . . . , mkכך ש mi | mi+1
כך ש ) B = hm1 α1 , . . . , mk αk iכלומר בסיס ל(B
הוכחה :באינדוקציה על .n
∼ Aואם 0 = Bאי מה להוכיח.
n = 1אז= Z :
אם 0 6= Bנבחר m > 0המינימלי ב Bואז.B = m · Z :
נניח שהוכחנו עבור ,n − 1נוכיח עבור .n
לכל בסיס אפשרי A = {α′1 , . . . , α′n } :של Aנסתכל בכל הוקטורים.B ∋ β = l1 α′1 + . . . + ln α′n :
יהי ) m (Aהמספר החיובי המינימלי המופיע כמקדם liכל שהוא של β ∈ Bכל־שהוא.
יהי m = m1ה ) m (Aהמינימלי כש Aעובר על כל בסיסי .A
יהי α′1 , . . . , α′nבסיס שעבורו m (A) = mויהי ) B ∋ β1 = mα′1 + m2 α′2 + . . .בה"כ m ,הנו מקדם (α′1
למה 9.1.17
m | m′iלכל 2 ≤ i ≤ nואפשר לבחור בסיס
α1 , α′2 , . . . , α′n
כך ש β = mα1
הוכחה :נחלק עם שארית את כל ה ) m′i = qi m + ri ,m′iכאשר (0 ≤ ri < mונקח:
α1 = α′1 + q2 α′2 + . . . + qn α′n
ראשית α1 , . . . α′2 , . . . , α′nגם כן בסיס ל ) Aמכיוון שמצד אחד α1 , α′2 , . . . , α′nהם צירופים לינארית של
,α′1 , . . . , α′nוגם אנו יכולים לקבל את הבסיס הישן כצירופים לינארים של הבסיס החדש ,וגם להפך ,ולכן זה
בסיס .בעיקרון מטריצת המעבר היא ב ).(GLn (Z
.β1 = mα1 + r2 α′2 + . . . + rn α′nממינימליות mנובע .ri = 0 :ולכן β1 = mα1 :כנדרש
נגדיר A = hα′2 , . . . , α′n i = Zα′2 + . . . + Zα′nונגדיר B ′ = A′ ∩ B
למה 9.1.18
B = hβi i ⊕ B ′
הוכחה :כל איבר של Bניתן להצגה יחידה כצרוף לינארי של β1עם איבר מ B ′ולהפך.
ברור שאגך ימין מוכל ב .Bגם ברור ש 0 = hβi ∩ B ′ i :כי α1 , α′2 , . . . , α′n :בסיס של ,β1 = mα1 ,A
.B ′ ⊂ hα′2 , . . . , α′n iלא ברור שכל Bמתקבל.
יהי .β ∈ Bנכתוב . β = l1 α1 + l2 α′2 + . . . + ln α′n :נרצה לראות כי .m | l1נחלק עם שארית:
l1 = mqq + rכאשר .0 ≤ r < mנסתבונן ב:
B ∋ β − qβ1 = rα1 + l2 α′2 + . . .
ולכן :r = 0
l1
l1
β = β1 + β − β1
m
| } |m{z
{z
}
∈hβ1 i
B∩A′ =B ′
מהנחת האינדוקיה יש ל = A′חופשית מדרגה ,n − 1בסיס α2 , . . . , αnוישנו kוישנם m2 , . . . , mkכך ש:
B ′ = hm2 α2 , . . . , mk αk iו. m2 | m3 | . . . | mk :
+
β1
{ |} z
m1 α1 , m2 α2 , . . . , mk αk
}|{z
=m
*
=B
נשאר להוכיח ש ,m1 | m2זה יהיה ע"י שימוש נוסף בחלוקה עם שארית m2 = qm + r .כאשר .0 ≤ r < m
נסתכל על .m1 (α1 + qα2 ) + rα2 = m1 α1 + m2 α2 ∈ Bמצד שני α1 + qα2 , α2 , . . . , αb :שוב בסיס ולכן
.r = 0
וזה מוכיח את המשפט
66
פרק .9חבורות אבליות
.9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
09/01/2012
A/B
?=
נסתכל בהומו':
ϕ : A → Zm1 × Zm2 × . . . × Zmk × Zn−k
) ϕ (a1 α1 + . . . + an αn ) = (a1 mod m1 , . . . , ak mod mk , ak+1 , . . . , an
כאשר ϕ .ai ∈ Zהנו על.ker ϕ = B ,
ממשפט ההומומורפיזם ה Iנקבל:
n−k
∼
= Zm1 × . . . × Zmk × Z
} | {z
{z
}
|
אבלית חופשית
חבורה סופית
תהיה Gחבורה אבלית נוצרת סופית כל שהיא.
יהיה =nהמספר המינימלי של יוצרים שלה.
γ1 , . . . , γnיוצרים של .Gונגדיר A = Zn
a i γi
n
X
= ) ϕ (a1 , . . . , an
i=1
ϕעל ,וגרעינה .B = ker ϕ ≤ A
∼ G = Im ϕ
= A/ker ϕ = A/B
מסקנה 9.1.19
∼
G = Zm1 × . . . × Zmk × Zrכאשר r = n − k
ומכך קיבלנו את משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית.
67
A/B
.9.1משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית
P
דוגמה : 9.1.20מהו המבנה של
4
פרק .9חבורות אבליות
2
3
?Z /Z
4+Z14
6
6
הפעולות האלמנטריות בעמודות:
2 4
4 14
6 6
• החלפת סדר עמודות
• הוספת כפולה שלמה של עמודה אחרת לעמודה נתונה
• הכפלת עמודה ב ±1
פעולות אלמנטריות בעמודות לא תשנה את .Bפעולות אמנטריות בשורות = שינוי בסיס מעל ei 7→ ei + λej .Z
ומשאירים את כל (i 6= i) ei′במקומם.
*2 2 +
B = 4 , 10
6
0
נוריד 5פעמים שורה ראשונה מהשורה השניה )אנו משנים בסיס למעשה(
* 2 2+
−6 , 0
6
0
נחסיר מהעמודה הראשונה את השניה:
*
נכפול את השורה השניה ב:−1
+
0
2
−6 , 0
6
0
*0 2+
6 , 0
6
0
לבסוף ,נפחית את השורה השלישית מהשניה ונקבל:
* 0
2 +
6 , 0
0
0
ולכן קיבלנו כי:
∼
= Z2 × Z6 × Z
A/B
מסקנה 9.1.21
חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול הנה חופשית מדרגה סופית
הוכחה :החבורה איזומורפית ל:
Zm1 × . . . × Zmk × Zr
∼ Zrולכן חופשית.
מכיוון שהיא חסרת פיתול .Zm1 × . . . × Zmk = 0 ,והיא =
68
פרק .9חבורות אבליות
.9.2חבורות חופשיות לא אבליות
מסקנה 9.1.22
תת חבורה של חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית הנה גם חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית והדרגה של
התת חבורה ≥ דרגת החבורה־האם.
הוכחה :ראינו שאם A ,B ≤ Aחופשית אבלית מדרגה ,nיש בסיס α1 , . . . , αnכך ש B = hm1 α1 , . . . , mk αk i
ואז Bאבלית חופשית מדרגה kעם בסיס:
β1 = m1 α1 , . . . , βk = mk αk
9.2
חבורות חופשיות לא אבליות
האם יכולות להיות קיימות חבורות חופשיות לא אבליות?
במקום לסמן את הבסיס ב eiנסמן אותו ב . xiנכתוב:
xni i = xεi i · . . . · xεi i
|
{z
}
| |niפעמים
כאשר .εi = ±1
εi
εi
מילים.0 ≤ k .xεi1i xi22 · . . . · xikk :
69
חלק
III
חוגים
70
פרק 10
חוגים
הגדרה 10.0.1חוג :חוג Rהנו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות
+:R×R → R
·:R×R → R
ואיבר מיוחד 0
המקימים את האקסימות הבאות:
(R, +, 0) .1חבורה אבלית )ביחס לחיבור(
.2הכל אסוציאטיבי r · (s · t) = (r · s) · t
.3דיסטריבוטיביות:
r · (s + t) = r · s + r · t
וגם:
(s + t) · r = s · r + t · r
הגדרה 10.0.2חוג קומוטטיבי :הוא חוג המקיים גםr · s = s · r :
P
P
הגדרה 10.0.3חוג עם יחידה :הוא חוג המקיים :קיים 0 6= 1 ∈ Rעבורו 1 · r = r · 1 = rלכל r
דוגמה F : 10.0.4שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה
דוגמה Z : 10.0.5גם הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה .וגם Zn = Z/nZעם חיבור וכפל מודולו .n
71
פרק .10חוגים
P
דוגמה : 10.0.6חוגי פולינומים :יהי Fשדה x ,משתנה .פולינוחם מעל Fהינו ביטוי פורמלי:
ai xi
n
X
= )f (x
i=0
ai ∈ F
אם an 6= 0נאמר שדרגת .deg (f ) = n = f
נחבין כי ) deg (0לא מוגדר ו ) ) 0 = deg (a0אם (a0 6= 0
הערה 10.0.7לא להתייחס לזה כפונקציה! אלא כביטוי פורמלי .לדוגמה מעל Z2הביטוי x2 6= xלמרות
שכפונקציות הן זהות.
נסכום אותם באופן הבא:
(ai + bi ) xi
ונכפול באופן הבא:
X
= bi xi
X
X X
= bi xi
ai bj xk
P
i+j=k
k
ai x2 +
X
X
ai xi
מתקבל חוג קומוטטיבי עם יחידה שמסומן ].F [X
דוגמה : 10.0.8חוג פולינומים ב nמשתנים
x1 , . . . , xnמשתנים .פולינום בהם הוא סכום פרומלי סופי:
ai,i2 ,...,in xi11 xi22 · . . . · xinn
X
0≤i1 ,0≤i2 ,...
ai1 ,...,in ∈ Fוכופלים ומחברים לפי הכללים הרגילים ,הכל מתחלף.
לדוגמה:
5 + 3x + 7y + x2 y + 20x7
החוג הנ"ל יסומן:
] F [x1 , . . . , xn
P
דוגמה Mn (R) : 10.0.9עם חיבור וכפל מטריצות ־
0
1 ··· 0
.. ,1 .. . .
.
. ..
. .
0
0 ··· 1
לא קומוטטיבי.
72
חוג עם יחידה
··· 0
0 = ... . . .
··· 0
X
פרק .10חוגים
P
דוגמה : 10.0.10
Vמרחב וקטורי מעל .Fנסמן ) R = End (Vהט"ל מ Vלעצמו.
(T + S) (v) = T v + Sv
חיבור
))(T ◦ S) (v) = T (S (v
הרכבה
T ◦ S1 + T ◦ S2
S1 ◦ T + S2 ◦ T
= ) T ◦ (S1 + St
=
(S1 + S2 ) ◦ T
P
אם .End (V ) = Mn (R) ,V = Rn
דוגמה : 10.0.11תהיה Γחבורה .נגדיר את חוג החבורה ] F [Γמעל שדה Fלהיות כל הצרופים הלינארים
הפורמליים )הסופיים(
X
ag g
g∈Γ
כאשר .ag ∈ F
חיבור נעשה "בקואורדינטות":
(ag + bg ) g
X
= bg g
X
ag g +
X
והכפל:
P
XX
X X
= bg g
= ag bk gh
ag bg−1 γ γ
g∈Γ
γ∈Γ
g∈Γ h∈Γ
X
ag g
X
כדי ש gh = γנדרשh = g −1 γ :
P
γ 3 = e ,Γ = e, γ, γ 2
דוגמה : 10.0.12
R [Γ] = a + bγ + cγ 2
a′ + b ′ γ + c′ γ 2
(aa′ + bc′ + cb′ ) + (ab′ + ba′ + cc′ ) γ + (. . .) γ 2 = a + bγ + cγ 2
דוגמה f } = C [0, 1] : 10.0.13רציפה | {f : [0, 1] → R
)f (x) + g (x
)f (x) · g (x
= )(f + g) (x
= )(f · g) (x
)לא הרכבה! הרכבה לא תקיים דיסטרבטיביות תמיד .בהעתקות לינאריות כן ,אבל לא בהכרח(
זהו חוג קומוטטיבי.
11/01/2012
P
דוגמה : 10.0.14אם Fשדה ו R ⊂ F :תת־קבוצה סגורה תחת ) ·, −, +לא בהכרח תחת חילוק( אזי R
חוג קומוטטיבי.
.Z ⊂ Q
אם Rתת־חוג של שדה ,0 6= x, y ∈ R ,גם .xy 6= 0
בחוג כללי הדבר לא תמיד נכון .ייתכן ש x, y 6= 0אבל .x · y = 0
73
פרק .10חוגים
P
דוגמה : 10.0.15
0 1
6= 0
0 0
=A
אבל:
AA = 0
P
דוגמה : 10.0.16נניח G = hgiחבורה ציקלית מסדר .nנתבונן ב ]) R [Gחוג החבורה מעל ,Rאבריו הם
a0 + a1 g + . . . + an−1 g n−1כאשר (ai ∈ R
ואז:
(g − 1) 1 + g + . . . + g n−1 = g n − 1 = 0
הגדרה 10.0.17מחלק אפס :איבר 0 6= xשקיים עבורו 0 6= yכך ש x · y = 0או y · x = 0נקרא מחלק אפס.
הגדרה 10.0.18תחום־שלמות )Domain
( :הנו חוג קומוטטיבי עם 1בלי מחלקי אפס.
משפט 10.0.19
Rהנו תחום שלמות אם"ם Rהנו תת חוג של שדה )עם (1
הוכחה :ראינו שכל תת־חוג של שדה הנו תח"ש )תחום שלמות(.
הבנתח תח"ש Rנבנה שדה . R ⊂ Qכמו שבונים מתוך Zאת .Q
נסתכל בכל הזוגות a, b ∈ R (a, b) :כך ש .b 6= 0
נגדיר יחס שקילות. a1 b2 = a2 b1 ⇐⇒ (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) :
נוכיח שזה יחס שקילות (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) :וגם (a2 , b2 ) ∼ (a3 , b3 ) :נבחין כי:
⇒ (a1 b3 ) b2 = a1 b2 b3 = a2 b1 b3 = a2 b3 b1 = a3 b2 b1 = (a3 b1 ) b2
(
a1 b 2 = a2 b 1
a2 b 3 = a3 b 2
⇒ (a1 b3 − a3 b1 ) b2 = 0
אבל מכיוון ש Rתח"ש ,והיות ו b2 6= 0אזי) .a1 b3 − a3 b1 = 0 ⇒ a1 b3 = a3 b1 :רפלקסיביות וסימטיות
טריוויאלית מהקומוטטיביות(.
a
ב:
(a,
)b
של
השקילות
נסמן את מחלקת
b
הערה 10.0.20לא בכל חוג יש שבר מצומצם! אין ייצוג אחד שעדיף על ייצוג אחר.
חוג מצומצם זה תכונה מאוד מיוחדת שקשורה לפריקות של ,Zנדון על כך בהמשך.
Qיהיה אוסף המחלקות הנ"ל ,נגדיר עליו חיבור וכפל:
a
c
ad ± bc
= ±
b
d
bd
וגם:
ac
a c
= ·
b d
bd
נשים לב כי bd 6= 0כי Rחוג שלמות וגם . b, d 6= 0
אפשר להוכיח בקלות ש Qהנו שדה בקלות:
a
a c
c
e
e
=
+
+
+
+
b
d
f
b
d f
74
פרק .10חוגים
צריך להראות שההגדרות טובות:
a
a′
= ′
b
b
a′
c
a′ d + b ′ c
+
=
b′
d
b′ d
a
c
ad + bc
= +
,
b
d
bd
נבחין כי:
?
b′ d (ad + bc) = (a′ d + b′ c) bd
נקבל:
?
= ′
bcdb
a′ b d2 +
b′ bcd
ab′ d2 +
המסומנים בריבוע שווים! וכן הלאה.
הערה Q 10.0.21הינו שדה השברים של .R
Qהינו השדה "הקטן ביותר" )עד כדי איזומורפיזם( המכיל את .R
P
דוגמה R [x] = R : 10.0.22תחום שלמות: ab 6= 0 .f · g 6= 0⇐f, g 6= 0 ,
n
X
ai xi
=
f
i=0
m
X
bi xi
=
g
i=0
כאשר an 6= 0וגם . bm 6= 0נחין כי:
f · g = a0 b0 + . . . + am bn xm+n
} | {z
6=0
וגם קיבלנו כי:
)deg (f · g) = deg (f ) + deg (g
=R [x] = Qשדה השברים של חוג הפוליונומים.
)(x
∈Q
) fg(xפונקציות רציונאליות .לדוגמה:
x−1
1 + 2x3
10.0.0.1
תוספות
Qשדה כי אם ,a 6= 0 , ab 6= 0אז:
וגם R ⊂ Q :ע"יa 7→ a1 :
b
a
=
a −1
b
.
הגדרה 10.0.23יחידה :יהיה Rחוג עם .1איבר a ∈ Rנקרא הפיך )יחידה של .(Rאם יש b ∈ Rכך ש
.a · b = b · a = 1
נסמן ב ∗ Rאו ב Rx :את אוסף האיברים ההפיכים R∗ .היא חבורה ביחס לכפל )לא בהכרח קומוטטיבית,
אם Rלא קומוטטיבית(.
נראה סגירות :נבדוק ,אם ∗ a, b ∈ Rאז:
aa1 = a1 a
= 1
bb1 = b1 b
= 1
נבחין כי:
ab · b1 · a1 = a1a1 aa1 = 1
75
.10.1הומומורפיזמים
פרק .10חוגים
וגם בכיוון השני:
P
b1 a1 ab = 1
דוגמה : 10.0.24
∗{1, −1} = Z
∗
)GLn (R) = Mn (R
∗
]R∗ = R [X
∗
]{f ∈ C [0, 1] | ∀x f (x) 6= 0} = C [0, 1
16/01/2012
הגדרה 10.0.25תת־חוג :תת חוג של חוג Rהנו תת קבוצה Sהמכילה את ה־) 0וגם 1אם מדובר בתת־חוג עם
(1הסגורה ביחס לפעולות · .+, −,
Sעם אותן פעולות ואותו ) 0ו־ 1במידה וקיים( מהווה חוג.
P
דוגמה .Mn (Z) ⊂ Mn (R) .Z ⊂ R : 10.0.26
למה 10.0.27
בכל חוג x · 0 = 0 · x = 0
הוכחה:
x · 0 + x · 0 = x (0 + 0) = x · 0
נפחית x · 0ונקבל.x · 0 = 0 :
10.1
הומומורפיזמים
הגדרה 10.1.1הומומורפיזם :הומומורפיזם ϕ : R → Sשל חוגים הנו הומומורפיזם של חבורות החיבוריות
שלהם ,שבנוסף מקיים:
)ϕ (x · y) = ϕ (x) · ϕ (y
P
P
ואם מדובר בחוגים עם 1דורשים גם . ϕ (1R ) = 1S
דוגמה : 10.1.2אם R ⊂ Sאזי השיכון i : R → Sהנו הומומורפיזם.
דוגמה : 10.1.3יהיה ] R = F [x1 , . . . , xnחוג הפולינומים ב nמשתנים .ויהי Sחוג קומוטטיבי כל שהו
המכיל את ) Fלמשל Fאו (R
למה 10.1.4
לכל s1 , . . . , snאיברים כלשהם של ,Sישנו הומומורפיזם אחד ויחיד ϕ : R → Sכך ש:
ϕ (a) = a .1לכל a ∈ F
ϕ (xi ) = si .2
כמו כן נבחין כי:
s2 s1 = ϕ (x2 x1 ) = ϕ (x1 x2 ) = s1 s2
הערה 10.1.5הומומורפיזם נקרא הומומורפיזם ההצבה )של siבמקום (Xi
)הלמה נשארת נכונה גם אם Sלאו דווקא קומוטטיבי אבל si sj = sj si :ו siמתחלף עם כל (F
76
פרק .10חוגים
.10.1הומומורפיזמים
הוכחה :אם ] ,f ∈ F [x1 , . . . , xnנגדיר.ϕ (f ) = f (s1 , . . . , sn ) :
צריך לבדוק:
.1
)ϕ (f ± g) = ϕ (f ) ± ϕ (g
)תרגיל ־ קל(
.2
)ϕ (f · g) = ϕ (f ) · ϕ (g
אם סעיף זה קל לבדוק בגלל הגסיטריבוטיביות ב Sעבור מונומים .נניח:
= axi11 xi22 · · · xinn
= bxj11 xj22 · · · xjnn
f
g
נבחין כי:
f · g = abx1i1 +j1 · · · xinn +jn
)ϕ (f ) ϕ (g) = asi11 si22 · · · sinn bsj11 · · · sjnn = abs1i1 +j1 · · · sinn +jn = ϕ (f · g
כי Sקומוטטיבי )או לפחות מתחלף באופן טוב מספיק(
.3יחידות:
ϕ (xi ) = si
ϕ (a) = aמוכתבים מראש ,השאר נקבע מכך ש ϕהומומורפיזם.
P
דוגמה 10.1.6תת־דוגמה.f ∈ R [X, Y ] ,(x0 , y0 ) ∈ R2 :
ϕ : R [X, Y ] → R
) ϕ (f ) = f (x0 , y0
P
דוגמה : 10.1.7
] s1 , s2 ∈ S = R [X, Y
)) ϕ (f ) = f (s1 (X, Y ) , s2 (X, Y
לא ידוע מה הם התנאים על s1 , s2כדי ש ϕתהיה אוטומורפיזם )יש השערות בנידון ,השערת היעקוביאן לדוגמה.
77
פרק .10חוגים
.10.1הומומורפיזמים
P
דוגמה : 10.1.8חוג המטריצות ) .R = Mn (Rתהי )) P ∈ GLn (Rמטריצה הפיכה( נגדיר ϕ : R → R
באופן הבאϕ (A) = P AP −1 :
טענה P :הנו אוטומורפיזם:
P AP −1 ± P BP −1
=
I
)P AP −1 P BP −1 = P ABP −1 = ϕ (AB
ϕ (A ± B) = P (A ± B) P
= )ϕ (I
= )ϕ (A) ϕ (B
מדוע ϕחח"ע ועל? כי קיימת העתקה הפוכה! אם נסמן ψ (A) = P −1 APאזי:
ψ ◦ ϕ (A) = A
וגם:
ϕ ◦ ψ (A) = A
P
ϕ
דוגמה H −→ G : 10.1.9הומומורפיזם של חבורות אזי ניתן להרחיבו להומו ϕ˜ : F [H] → F [G] :של
חוגי החבורה מעל שדה .F
]ah ϕ (h) F [G
X
=
h∈H
!
ah h
X
˜ϕ
h∈H
היות וכל הומומורפיזם ϕ : R → Sשל חוגים הנו בפרט הומומורפיזם של החבורות החיבוריות שלהם אזי:
• {ϕ (r) | r ∈ R} = Im ϕ ≤ S
• {r | ϕ (r) = 0} = ker ϕ ≤ R
תתי חבורות חיבוריות של R, Sבהתאמה.
באופן לא מפתיע ,התמונה והגרעין הם תתי חוגים ,אבל לגבי הגרעין יש לנו "הפתעה" נוספת.
למה 10.1.10
Im ϕ ≤ S .1הנו תת חוג
ker ϕ ≤ R .2סגור תחת הכפל .ויתרה מזאת אם y ∈ R ,x ∈ ker ϕ
כלשהו .xy, yx ∈ ker ϕ ,לעומת זאת ,אם Rחוג עם 1בדרך כלל:
∈ 1אלא אם כן .ϕ ≡ 0
/ ker
הוכחה:
P
ϕ (x) ϕ (y) = ϕ (xy) .1
דוגמה : 10.1.11נשכן ): ϕ : M2 (R) → M3 (R
0
0
0
b
d
0
a
= c
0
a b
c d
ϕ
ϕ (x) = 0 .2
= ϕ (x) ϕ (y) = 0ϕ (y) = 0
= ϕ (y) ϕ (x) = ϕ (y) 0 = 0
78
)ϕ (xy
)ϕ (yx
פרק .10חוגים
.10.2אידיאל
אם 1 ∈ ker ϕאז לכל :
ϕ (x) = ϕ (x · 1) = ϕ (x) ϕ (1) = 0
10.2
אידיאל
הגדרה 10.2.1אידיאל :אידיאל )דו־צדדי( בחוג Rהינו קבוצה Iשהיא:
• תת חבורה חיבורית:
x, y ∈ I ⇒ x ± y ∈ I
• סגורה תחת כפל משני הצדדים בכל איבר מR
x ∈ I, y ∈ R ⇒ x · y, y · x ∈ I
P
האידיאל יסומן גם הוא על ידי I) I ⊳ Rאידיאל ב ( R
דוגמה : 10.2.2לגרעין של הומומורפיזמים.
הדוגמה שראינו קודם.ϕ (f ) = f (1, 2) ,ϕ : R [X, Y ] → R :
P
ker ϕ = {f | f (1, 2) = 0} ⊳ R
דוגמה nZ ⊳ Z : 10.2.3
למה 10.2.4
בחוג קומוטטיבי ,אם a ∈ Rאזי aRאידיאל.
הוכחה:
) ar1 ± ar2 = a (r1 ± r2
)∀s ∈ R ar · s = sa · r = a (rs
הגדרה 10.2.5אידיאל חד צדדי :בחוג כל־שהוא ,אידיאל משמאל Lהנו תת חבורה חיבורית הסגורה לכפל
משמאל באברי :R
yx ∈ L
∀y ∈ R,
∀x ∈ L
ובאופן זהה ימני M ⊆ R :תת חבור
xy ∈ M
∀y ∈ R
∀x ∈ M
בכל חוג אם aR a ∈ Rהנו אידיאל ימני אזי ) Ra (ar) s = a (rsאידיאל שמאלי.
79
פרק .10חוגים
.10.2אידיאל
הגדרה 10.2.6אם a1 , . . . , amאברים של ,Rהאידיאל הנוצר על ידי a1 , . . . , amהנו האידיאל הקטן ביותר
המכיל אותם.
צריך להוכיח שיש כזה:
למה 10.2.7
חיתוך של משפחה כלשהי של אידיאלים )דו צדדיים( הנו אידיאל
T
הוכחה I = Iα :כל Iαאידיאל ⇐ כל Iαתת־חבורה חיבורית ⇐ Iתת חבורה.
α
x ∈ Iα ⇐ x ∈ I, y ∈ Rלכל xy ∈ Iα ⇐ αלכל . xy ∈ I ⇐ α
נסתכל בקבוצת כל האידיאלים המכילים את ) a1 , . . . , amלמשל כל ,(Rונקח חיתוך של כולם ,זהו כמובן האידיאל
המינימלי המכיל את .a1 , . . . , am
לחילופין ,ניתן לבנות אותו מלמטה:
}Rai R = {rai s | r ∈ R, s ∈ R
האידיאל הנוצר על ידי = a1 , . . . , am :כל הסומים הסופיים של איברים מהצורה rai sעבור ,1 ≤ i ≤ m
.r, s ∈ R
אם Rקומוטטיבי זהו האוסף:
}I = {r1 a1 + r2 a2 + . . . + rm am | ri ∈ R
נהוג לסמן:
) I = (a1 , a2 , . . . , am
P
)בחוג קומוטטיבי(
P
דוגמה : 10.2.8ב:Z
(n) = n · Z
דוגמה : 10.2.9
?= )(9, 15
9Z + 15Z = 3Z
ולכן:
)(9, 15) = (3
P
דוגמה ) I = {f | f (0, 0) = 0} = (X, Y ) = RX + RY ,R = R [X, Y ] : 10.2.10זהו אינו סכום ישר(
משפט 10.2.11
I ⊳ Rאם ורק אם Iהנו גרעין של הומומורפיזם של חוגים.
אם I ⊳ Rעל חבורת המנה חיבורת ,R/Iניתן להגדיר ע"י כפל הציגים:
r·s= r·s
ובהגדרה זו R = R/I :הופך להיות חוג וההומומורפיזם הקנוני:
p : R → R/I
80
פרק .10חוגים
.10.2אידיאל
p (r) = r
הופך להיות הומומורפיזם של חוגים שגרעינו בדיוק I
} r = r + I = {r + t | t ∈ Iמחלקה חיבורית של .rהוכחה :ראינו שאם ϕ : R → Sהומומורפיזםker ϕ ,
אידיאל.
בכיוון השני ,יהי Iאידיאל ,חבורת המנה R/Iשאבריה הן המחלקות החיבוריות r = r + Iבתוך Rוחיבור
נעשה על ידי חיבור נציגים r + s = r + sמוגדרת ,והעתקה הקנונית היא:
p : R → R/I
הנו הומומורפיזם של חבורות חיבוריות שגרעינו:
ker P = I
נגדיר כפל ע"י r · s = r · s
זאת הגדרה טובה כי אם r ′ = rזה אומר I .r − r′ ∈ I :סגור תחת כפל מימין באיבר r · s − r′ · s =⇐s
.(r − r′ ) s ∈ I
r′ · s = r · s
כנל אם בוחרים נציג אחר ל .S
החוק האסוציאטיבי והדיסטריבוטיבי מתקיים ב Rבגלל שהם מתקיימים ב.R
(r · s) t = r · s · t = (r · s) t = r (s · t) = r s · t
18/01/2012
לכן Rחוג.
) p (r · s) = p (r) · p (sמההגדרה.
rs = r · sולכן pהומומורפיזם של חוגים.
P
P
דוגמה .I = nZ ⊳ Z : 10.2.12
ראינו ,Zn = Z/nZנראה שזה חוג) 5 · 4 = 8, 3 · 4 = 0 .ב־ .(Z12ידוע שאם pראשוני אז Zp = Z/pZשדה,
אבל בכל מצב אחר יש בחוג מחלקי אפס ולכן הוא בהכרח לא שדה.
דוגמה ,R [x] : 10.2.13וניקח .I = x2 + 1 = R [x] · x2 + 1נשאל למה
ϕ : R[x]/(x2 +1) → Cכך.ϕ f = f (i) :
מתקיים .f = f + x2 + 1נבדוק שזה לא תלוי בבחירת הנציגים ־ = f = f1 =⇒ I ∋ x2 + 1 · h
).f − f1 =⇒ f (i) = f1 (i
.(ϕ
(f
)g
=
ϕ
(f
)
ϕ
)(g
וכן
ϕ
(f
±
)g
=
ϕ
(f
)
±
ϕ
))(g
הומומורפיזם
כמו כל הצבה ϕ ,
ϕעל כי ,ϕ a + bx = a + biונראה כי ϕחח"ע .אם ϕ f = 0 =⇒ f (i) = 0אזי .f = x2 + 1 h
קיימים q, rפולינומים כך ש־f = qg + r
נלמד שבחוג ] R [xיש חילוק עם שארית )כך שלכל f, g 6= 0פולינומים
2
כאשר .r = ax + b
,f
=
x
+
1
h
+
r
כך ש־) deg (r) < deg (g־ חילוק פולינומים עם שארית ,מוכר( ,ולכן
נציב x = iונקבל ,0 = 0 + ai + bומהיות המרוכבים שדה בהכרח ,a = b = 0כלומר ,ker ϕ = x2 + 1 .r = 0
ולכן ϕחח"ע ,ולכן ϕאיזומורפיזם.
R[x]/I
איזומורפי כחוג .נגדיר
הערה 10.2.14אפשר להגדיר גם איזומורפיזם ע"י ) ,f 7→ f (−iואלו שתי הדרכים היחידות.
P
דוגמה F : 10.2.15שדה Γ ,חבורה .נגדיר ϕ : F [Γ] → Fע"י aγ
P
=
γ
) ,ϕ (x ± y) = ϕ (x) ± ϕ (yנבדוק כפל:
P
P
P P
=
)aγ bδ = aγ bδ = ϕ ( aγ γ) ϕ ( bδ δ
γ δ
P
P
} .ker ϕ = I = { aγ γ | aγ = 0אידיאל זה נקרא אידיאל האוגמנטציה.
PP
81
!
!
aγ γ
P
.ϕקל לראות כי
γ∈Γ
P
P
PP
.ϕ ( aγ γ aδ δ) = ϕ
aγ bδ γδ
.10.3משפטי הומומורפיזם
10.3
פרק .10חוגים
משפטי הומומורפיזם
משפט 10.3.1משפט ההומומורפיזם הראשון
∼ .Imϕ
אם ϕ : R → Sהומו' של חוגים ,אזי = R/ker ϕ
הוכחה :נסמן .S ′ = Imϕראינו שהוא תת־חוג של .Sנגדיר ) ϕ (r) = ϕ (rכאשר .r = r+ker ϕ ∈ R/ker ϕ = R
ממשפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות ידוע כי זה מוגדר היטב כאיזומורפיזם של חבורות חיבוריות בין R
ו־ .S ′
אבל ) ,ϕ (r1 · r2 ) = ϕ (r1 r2 ) = ϕ (r1 r2 ) = ϕ (r1 ) ϕ (r2 ) = ϕ (r1 ) ϕ (r2ולכן ϕאיזומורפיזם של חוגים,
וסיימנו.
חח"ע בין חבורות חיבוריות I ≤ J ≤ Rותתי חבורות חיבוריות של
יהי Rחוג .I ⊳ R ,ראינו כבר שיש התאמה
,J ≤ R/Iוההתאמה נתונה על ידי ).J = p−1 J , J = p (J
טענה 10.3.2
בהתאמה הנ"ל J ⊳ R ,אם ורק אם .J ⊳ R
23/01/2012
הוכחה :אם Jאידיאל ,x ∈ J, y ∈ R ,אז .xy = x · y ∈ J =⇒ xy ∈ Jולהיפך ,להיפך.
ניסוח אחר למשפט ההומומורפיזם הראשון:
משפט 10.3.3
∼ ϕ : R/ker ϕ
אם ϕ : R → Sהומומורפיזם של חוגים ,אזי הוא משרה איזומורפיזם = Im ϕ
הערה 10.3.4בתכלס זה אותו דבר.
Im ϕהוא תת חוג של ker ϕ ,Sהוא אידיאל ב.R
).ϕ (r) = ϕ (r
משפט 10.3.5משפט ההתאמה
יהיה .R ⊲ Iנתבונן ב }אידיאלים ב {R/Iאזי יש התאמה חח"ע )משני הכיוונים( ביניהם לבין} :אידיאלים בRהמכילים את {I
נזכור כי משפט ההומומורפיזם השני בתת חבורות אמר כי:
∼
= H/H∩N
HN/N
למה 10.3.6
אם Sתת־חוג של I ,Rאידיאל ב Rאזי S + I = {x + y | x ∈ S, y ∈ I} :גם כן תת־חוג של .R
הערה 10.3.7במקרה של חבורות זה לא תמיד היה נכון:
} HN = {hn | h ∈ H, n ∈ N
הייתה חבורה רק אם Hאו Nהייתה נורמלית.
הוכחה S + I :כמובן תת־חבורה חיבורית .נשאר לבדוק סגירות תחת כפל .יהיו x1 , x2 ∈ Sו y1 , y2 ∈ Iנבחין
כי:
(x1 + y1 ) · (x2 + y2 ) = x1 · x2 + y1 · x2 + x1 y2 + y1 y2
}| {z } | {z } |{z} |{z
∈I
}
∈I
{z
∈I
∈S
∈I
|
מכיוון ש Iאידיאל ,הוא סגור בכפל בכל איברי .S
משפט 10.3.8משפט ההומומורפיזם השני
82
פרק .10חוגים
.10.3משפטי הומומורפיזם
אם S ⊆ Rתת־חגו I ⊳ R .אידיאל אז:
∼
= S/S∩I
(S+I)/I
)ו(S ∩ I ⊳ I :
הוכחה S ∩ I :תת־חבורה חיבורית של Sואם y ∈ S ,x ∈ S ∩ Iאז x · y ∈ S :מסגירות לכפל .וגגם x · y ∈ I
כי x ∈ Iולכן .x · y ∈ S ∩ I
ממשפט ההומומורפיזם השני לחבורות יש איזומורפים של חבורות:
∼ α : S/S∩I
= (S+I)/I
α (s mod S ∩ I) = S mod I
נותר להראות ש αמכבד כפל.
) α (s1 · s2 ) = α (s1 · s2 ) = s1 · s2 = s1 · s2 = α (s1 ) · α (s2
משפט 10.3.9משפט האיזומורפיזם השלישי
I, J ⊳ Rו I ⊆ Jאזי:
∼
) = (R/I )/(J/I
R/J
הוכחה :ראינו )בפרק על חבורות( שההעתקה:
→ R/J
R/I
r mod I 7→ r mod J
מוגדרת היטב ,היא הומומורפיזם על וגרעינה.J/I :
נשים לב שמבקרה שלנו ) Rחוג J ,I ,אידיאלים( זהו גם הומומורפיזם של חוגים )מכבד כפל( ולכןהמשפט
מתקבל ,ממשפט ההומומורפיזם הראשון לחוגים.
83
פרק 11
פריקות בתחומי שלמות
11.1
הקדמה
הדוגמה על Zכחוג.
• יש בו מושגים של חילוק וחילוק עם שארית )האלגוריתם של אוקלידס(
• כל אידיאל ב Zהוא ראשי :כלומר נוצר ע"י איבר אחד.nZ = (n) :
• ישנו מושג של איבר ראשוני )= אי־פריק( וכל n ∈ Zניתן לכתיבה יחידה:
n = ±p1 p2 · . . . · pk
P
כאשר piראשוניים.
דוגמה : 11.1.1
30 = 2 · 3 · 5
−24 = −2 · 2 · 2 · 3
המטרה שלנו היא לבדוק באיזו מידה הנושאים הללו "עובדים" בתחום שלמות כללי .R
מעכשיו =Rתחום־שלמות :חוג קומוטטיבי עם 1כך ש .x · y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0וזה שקלו לכך ש Rהנו
תת־חוג של שדה.
אומרים ש (a, b ∈ R) b | aאם יש c ∈ Rכך ש a = b · c
P
דוגמה : 11.1.2ב 3 | 15 :Zאבל .3 ∤ 8
ב] , X − Y | X 2 − Y 2 ,R [X, Yאבל.X − Y ∤ X 2 + Y 2 :
לכל Dשלם שאינו ריבוע נסמן:
h√ i n
o
√
D = n + m D | n, m ∈ Z ⊆ C
√
√
אם n + m D = n′ + m′ Dואם : m 6= m′
√
n − n′
= D
′
m −m
ואז:
2
n − n′
m′ − m
ריבוע ב Qולכן ריבוע ב.Z
84
=D
Z
פרק .11פריקות בתחומי שלמות
.11.1הקדמה
√
√
iלכן n + m D = n′ + m′ hDאם"ם . n = n′ , m = m′
√
R = Z Dהנו חוג :סיגרות תחת חיבור וחיסור ברורה.
√
√
√
n + m D n′ + m′ D = (nn′ + mm′ D) + (nm′ + n′ m) D
P
דוגמה Z [i] = {n + mi} D = −1 : 11.1.3נקרא חוג השלמים של גאוס.
נשים לב כי:
1 + 2i | 5
כי:
(1 + 2i) (1 − 2i) = 5
וכמו כן גם:
2+i|5
למה 11.1.4
בתחום שלמות a | b ,Rאם"ם )) (b) ⊂ (aתזכורת( (a) = R · a :
הוכחה :אם a | bאזי , b = a · tולכן b · r = a · t · r ∈ (a) :ולכן.(b) ⊂ (a) :
כיוון שני :אם ) (b) ⊂ (aבפרט ) b ∈ (aכלומרb = a · t :
P
הגדרה a, b ∈ R 11.1.5נקראים חברים ) (assoiateאם a | bוגם b | aמסמנים .a ∼ b
דוגמה : 11.1.6ב .5 ∼ (−5) Z
ב]) 1 + 2i ∼ i − 2 : Z [iכפלנו ב (iכיוון ש ) i − 2 = i (1 + 2iוגם.−i (i − 2) = 1 + 2i :
למה 11.1.7
a ∼ b .1לא 0אם"ם a = buכאשר ×. u ∈ R
∼ .2הנו יחס שקילות
הוכחה 2 :נובע מיידית מכך ש ) (a) = (b) ⇐⇒ a ∼ bנובע מהלמה הקודמת(
:1נכתוב ) a = b · uאפשר כי (b | aוכן) b = a · v :אפשרי כי (a | bולכן:
a=b·u =a·v·u
ולכן:
a (1 − vu) = 0
אבל ,a 6= 0אין מחלקי אפס⇐ ,1 = vuולכן .R× ∋ u
P
הערה 11.1.8לא נגיד מצמצמים ,כי בחוג אסור לצמצם .מותר רק בגלל שזה תחום שלמות.
דוגמה : 11.1.9למה 7הוא אי פריק? נשים לב כי:
7·1
)(−7) (−1
= 7
= 7
אנו רוצים להתייחס לזה כאותו פריוק כי .(−7) ∼ 7
3·5
)(−3) (−5
,15כן פריק!
85
= 15
= 15
פרק .11פריקות בתחומי שלמות
.11.2חילוק עם שארית
∈ πוכאשר (x, y ∈ R) π = xyאזי:
הגדרה 11.1.10איבר πבחוג Rיקרא אי־פריק ) (irreduibleאם ×/ R
או .y ∈ R× ,π ∼ x
או .x ∈ R× π ∼ y
P
דוגמה : 11.1.11בחוג ] R [Xפולינום לינארי הנו אי פריק אם ) aX + b = f (x) g (xאזי או ,deg f = 1
∗ g ∈ Rאו ,f ∈ R∗ ,deg g = 1אבל סקלים הם הפיכים.
∈ πומתוך π | x⇐π | x · yאו π | y
הגדרה π 6= 0 11.1.12ב Rנקרא ראשוני אם ×/ R
למה 11.1.13
πראשוני⇐ πאי־פריק
הוכחה :אם πראושני ואם π = x · yאזי מראשוניות π | x⇐π | x · y :πאו π | yנניח ,π | xאז גם x | πולכן
y ∈ R∗ ,π ∼ xלכן πאי פריק.
P
√
דוגמה R = Z −5 : 11.1.14ראינו כי זהו חוג.
√
√
√
√
נתבונן ב .6נשים לב שהוא גם 2·3וגם 2 | 6 . 1 + −5 1 − −5אבל 2 ∤ 1− −5 :וגם .2 ∤ 1+ −5
√
√
√
כי אם למשל 2 | 1 + −5אזי ,1 + −5 = 2 a + b −5 :אבל זו סתירה כי 2⇐.a, b ∈ Zאיננו ראשוני
ב.R
הוא אי פריק .נראה זאת.
2
אבל
√
אם R ∋ z = x + y −5אזי .zz = x2 + 5y 2 ∈ Zנניח 2 = zw :כאשר .z, w ∈ Rנכפיל בצמוד המרוכב
ונקבל:
}4 = |{z
}zz · |{z
ww
} | {z
שלמים ≤ 1
נבחין כי את 4ניתן לפרק רק באופנים הבאים4 = 1 · 4 = 4 · 1 = 2 · 2 :
אם ww = 4 ,zz = 1אז × z ∈ Rואז .2 ∼ wכנ"ל אם ww = 1אזי .2 ∼ z
נבחין כי zz = x2 + 5y 2 6= 2ולכן האפשרות ww = 2 , zz = 2נופלת .מכאן 2 ∼ z⇐2 = zwאו 2 ∼ w
⇐ 2אי־פריק.
11.2חילוק עם שארית
הגדרה 11.2.1חוג אוקלידי :תחום שלמות Rיקרא חוג אוקלידי אם מוגדרת בו פונקציה → }d : R\ {0
} {0, 1, 2, . . .המקיימת:
|
{z
}
Z≥0
.1לכל d (a) ≤ d (ab) a, b 6= 0
P
.2לכל a 6= 0ולכל bישנם q, rכך ש b = q · a + rו r = 0או r 6= 0אבל ).d (r) < d (a
דוגמה |a| ≤ |ab| ,d (a) = |a| ,R = Z : 11.2.2־ חילוק עם שארית ־ ידוע.
)d (8
)d (8
)1 · 8 + 7 = 2 · 8 + (−1
נבחין כי אין יחידות של .q, r
86
< )d (7
< )d (−1
= 15
פרק .11פריקות בתחומי שלמות
.11.2חילוק עם שארית
P
דוגמה F) ,R = F [X] : 11.2.3שדה( = 0, 1, 2, . . . ,דרגת הפולינום = ) .(f 6= 0) d (f ) = deg (fנבחין
כי .d (f g) = d (f ) + d (g) ≥ d (f ) :וכמו כן ,ידוע שאפשר לבצע חילוק עם שארית בפולינומים.
לדוגמה:
x3 − 4x2 + 5x + 5
x − 2x
+ 3x2
5
4
3
− x − 2x − 3x
−x +1
4
5
− 4x4 − 3x3 + 3x2
4x4 + 8x3 + 12x2
5x3 + 15x2 − x
− 5x3 − 10x2 − 15x
5x2 − 16x + 1
− 5x2 − 10x − 15
− 26x − 14
x + 2x + 3
כלומר:
x3 − 4x2 + 5x + 5
−26x − 14
=
=
q
r
ונבחין כי:
d (r) = 1 < 2 = d x2 + 2x + 3
25/01/2012
87
2
12 פרק
חוג אוקלידי
(" עם פונקציה )"נורמה אוקלידיתR תחום שלמות
d : R\ {0} → Z≥0
(i) d (a) ≤ d (ab)
(ii) ∀a 6= 0 ∀b ∃q, r b = qa + r ∨ r = 0 ∨ d (r) < d (a)
P
.d (a) = |a| , Z = R : 12.0.4 דוגמה
d (f ) = deg (f ) , R = F [X]
2
d (x + iy) = x2 + y 2 = |x + iy| , חוג השלמים של גאוסR = Z [i]
z, w 6= 0 | אםzw|2 = |z|2 |w|2 ≥ |z|2 , z, w ∈ Z [i] (i)
z = x + iy x, y ∈ Z (ii)
w = u + iv ־u, v ∈ Z
α, β ∈ Q
z
(x + iy) (u − iv)
= α + iβ =
w
u2 + v 2
.q = m + in .m, n ∈ Z עבורβ − n ≤
| {z }
1
2
ν
x + iy
= (m + in) + (µ + iν)
u + iv
וα − m ≤
| {z }
1
2
נבחר
µ
x + iy = (m + in) (u + iv) + (µ + iν) (u + iv)
| {z } | {z } | {z } |
{z
}
z
q
w
r
r = z − qw ∈ R
2
|r| = |w|
2
µ2 + ν 2 =⇒
µ2 + ν 2 ≤
2
1 1
1
+ = <1
4 4
2
2
|r| = d (r) < |w| = d (w)
Ra1 + Ra2 + זה שווה ל, קומוטטיביR ומכיוון שמדובר בa1 , ..., an ( = האידאל שנוצר ע"יa1 , ..., am ) :סימון
. יקרא אידאל ראשיRa = (a) בפרט,... + Ram
88
פרק .12חוג אוקלידי
הגדרה R 12.0.5חוג ראשי אם כל אידאל של Rהוא ראשי )מהצורה )((a
דוגמא Z :חוג ראשי.
ב ] = I = (X, Y ) ,R [X, Yאידאל הפולינומים המתאפסים בראשית .אינו נוצא ע"י איבר אחד )תרגיל ־
מניחים ש ) .(I = (f
משפט 12.0.6
כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי
הוכחה :תהיה dנורמה אוקלידית על .Rיהיה .I E Rאם I = 0אזי ) .I = (0אם I 6= 0נבחר a ∈ Iכך ש
) d (aמינימלית )אפשרי כי .(d (a) ∈ N
טענה 12.0.7
).I = (a
הוכחה :בודאי .Ra = (a) ⊆ Iלהפך :אם b ∈ Iנחלקו בשארית ב .b = qa + r ,a
,b ∈ (a) ⇐= r = 0סיימנו
אם r = b − qa ∈ I , d (r) < d (a) ⇐=r 6= 0סתירה.
מסקנה 12.0.8
החוג ] F [Xראשי .כל אידאל שלו הינו מהצורה ) f · g g ∈ F [X] = (f
הוכחה⇐⇒ f1 ∼ f2 ⇐⇒ (f1 ) = (f2 ) :
fיחיד עד כדי כפל בסקלר =.0 6
f1 = u · f2
עבור fמסויים.
×
]∃u ∈ F × f1 = u · f2 ⇐⇒ ∃u ∈ F [X
משפט 12.0.9
בחוג ראשי π .Rאי פריק ⇒⇐ πראשוני.
תזכורת π 12.0.10אי פריקπ = xy =⇒ π ∼ x ∨ π ∼ y :
πראשוני.π|xy =⇒ π|x ∨ π|y :
תמיד :ראשוני =⇐ אי פריק.
הגדרה 12.0.11אידאל Pבתחום שלמות נקרא אידאל ראשוני אם מתוך .x ∈ P ∨ y ∈ P ⇐= x, y ∈ P
למה 12.0.12
(π) .1ראשוני ⇒⇐ πראשוני.
P .2ראשוני ⇒⇐ R/Pתחום שלמות.
הוכחהπ|xy ⇐⇒ xy ∈ (π) :
)π|x ⇐⇒ x ∈ (π
)π|y ⇐⇒ y ∈ (π
אז (1נובע מתרגום ההגדרות.
x · y = 0 ⇐⇒ xy ∈ P (2בחוג .R = R/P
x∈P
⇒⇐
x=0
y∈P
⇒⇐
y=0
ואז (2נובע שוב מתרגום ההגדרות ) Rחוג קומוטטיבי עם 1ולכן תח"ש ⇐⇒ .אין מחלקי אפס(
89
.12.1אי־פריקות
12.1
פרק .12חוג אוקלידי
אי־פריקות
הגדרה 12.1.1אידאל Iנקרא אידאל מקסימלי אם I E Rו I & R
ואם I ⊆ J E Rאזי J = Iאו .J = R
P
30/01/2012
דוגמה : 12.1.2ב (3) ,Zו ) (5הם אידאלים מקסימלים 3Z ⊆ J ⊆ Z :אם 3 ∤ x , x ∈ Jיש m, n ∈ Z
כך ש .3m + xn = 1 ∈ Jואז .J = Z
שדה ⊂ Rעד סוף הסמסטר הוא תחום שלמות )חוג קומוטטיבי עם 1ללא מחלק (0
∈ 0 6= πאיבר ראשוני אם"ם ∀x, y π | xy ⇒ π | x ∨ π | y
∗/ R
∈ 0 6= πאי פריק אם"ם π = xy ⇒ π ∼ x ∨ π ∼ y
∗/ R
Rחוג ראשי :כל אידיאל I ⊳ Rנוצר ע"י איבר אחדI = (a) = Ra :
משפט 12.1.3
בחוג ראשי π Rאי פריק אם"ם πראשוני
P
√
√
√
דוגמה −5 1 − −5 , Z −5 : 12.1.4
.6 = 2 · 3 = 1 +
הערה 12.1.5מספיק להראות πאי פריק ⇐ πראשוני.
נזכר קודם במספר הגדרות ולמות:
הגדרה 12.1.6אידיאל Pנקרא ראשוני אם:
y∈P
∨
x·y ∈P ⇒x ∈P
∀x, y
כמו כן ראינו את הלמה:
למה 12.1.7
P .1ראשוני אם"ם R/Pתחום שלמות
(π) .2ראשוני אם"ם πראשוני
הגדרה 12.1.8אידיאל M ⊳ Rיקרא מקסימלי אם לכל אידיאל I = R ,M ⊆ I ⊆ R Iאו .I = M
=6
אידיאל ראשי (a) 6= Rיקרא ראשי מקסימלי אם"ם לכל אידיאל ראשי (a) = (b) (a) ⊆ (b) ⊆ Rאו
(b) = R
P
דוגמה R = R [X, Y ] : 12.1.9האידיאל ) (xהינו ראשי מקסימלי )תרגיל( אך לא מקסימלי:
(x) $ (X, Y ) $ R
למה 12.1.10
M .1מקסימלי אם"ם R/Mשדה
(π) .2ראשי מקסימלי אם"ם פ איבר אי פריק
הוכחה:
⇒⇐
.1בכל תחום שלמות Rראינו כי a k0kהינו הפיך אם"ם a] (a) = Rהפיך
[(a) = (1) = R
= a−1 a =⇐0
לכן R ,שדה ⇒⇐ אין ב Rאידיאלים = R] R ,(0)6שדה ⇐ אם I 6= 0אידיאל6 a ∈ I ,
90
a ∼ 1
⇒⇐
פרק .12חוג אוקלידי
.12.2פריקוח חד־ערכית )פח"ע(
.I = R⇐1 ∈ Iלהפך :אם כל אידיאל = 06הנו ,Rנבחר ,0 6= aאידיאל הראשי ⇐(a) = Rיש b ∈ R
כך ש [b · a = 1
משפט ההתאמה אמר שאידיאלים ב R/Mהם בהתאמה חח"ע עם אידיאלים M ⊆ I ⊆ Rולכן M ,מקסימלי
אם"ם R/Mשדה.
.2נבחין כי ) (πראשי מקסימלי ⇐ אם π = x · yכמובן .(π) ⊂ (y) ,(π) ⊂ (x)⇐y | π, x | πמההנחה:
) R = (xאו ) (πאם ).x ∼ π ,(π) = (x
) R = (yאו ) (πאם ).y ∼ π ,(π) = (y
אם π = xy⇐y ∼ 1 ,x ∼ 1 ,y 6∼ π ,x 6∼ πגם כן יחידה .סתירה.
נניח πאי פריק ונניח π = xy .(π) ⊆ (x) ⊆ Rולכן .(x) = (π)⇐(y ∼ 1) π ∼ xאוπ ∼ y :
)(x) = R⇐(x ∼ 1
כעת נחזור להוכיח את המשפט .כזכור מספיק להראות πאי פריק ⇐ πראשוני .הוכחה :אם Rראשי ) (πראשי
מקסימלי ⇒⇐ ) (πמקסימלי .ולכן מלמה π 2אי פריק ⇒⇐ ) R/(πשדה .ולכן πאי פריק ⇒⇐ )מלמה
השניה( ) R/(πשדה ⇐ ) R/(πתחום שלמות )נשים לב לא דו כיווני ,גרירה חד צדדית( אבל זה ⇒⇐ πראשוני
)מלמה הראשונה( כנדרש.
P
דוגמה : 12.1.11החוג ] F ,R = F [Xשדה.
למה 12.1.12
יהיה f (x) ∈ Rפולינום α ∈ F ,אזי αשורש של X − α | f (X) ⇐⇒ f
הוכחה :מחילוק עם שארית:
f (x) = q (x) (x − α) + r
rסקלר .נציב X = αונקבל f (α) = rולכן r = 0אם"ם ).X − α | f (X
פולינום מדרגה 1־ אי פריק ≡ ראשוני.
f .1 = deg f + deg g ,X − α = f · gאו gלינארי והשני סקלר.
פולינום מדרגה גבוהה יותר ־ תלוי ב .Fאם לכל פולינום לא סקלרי ב] F [Xיש שורש ב ) Fלמשל כש (F = C
אזי הפולינומים האי־פריקים יהיו רק הפולינומים הלינאריים.
f (α) = 0 ⇒ f = (X − α) g
µ
λ
λX − µ = λ X −
ב] C [Xהאיברים האי־פריקים הינם α ∈ C ,X − αועד כדי חברות רק אלה:
)מתבסס על המשפט היסודי של האלגברה ,נוכיח במבנים (2
ב] x2 + 1 ,R [Xפולינום אי פריק אם כי x2 + 1 = f · g :אזי g, fהיו ליניאריים .ואז היה שורש ל x2 + 1 = 0
ב.R
זה לא נכון שאם אין שורשים הפולינום לא פריק .לדומגה:
x2 + 1 x2 + 2 = x4 + 3x2 + 2
פריק ב ] R [xלמרות שאין לו שורשים.
12.2פריקוח חד־ערכית )פח"ע(
הגדרה 12.2.1תחום שלמות Rיקרא חוג עם פח"ע אם לכל 0 6= a ∈ Rיש הצגה a = π1 π2 . . . πnכאשר πiאי
′
π1 π2 . . . πn = π1′ π2′ . . . πmאז n = mואחרי שינוי סדר πi = πi′
פריקים )לאו דווקא שונים( ואם
למה 12.2.2
בחוג עם פח"ע ,איבר πאי־פריק ⇒⇐ πראשוני.
הוכחה :כאמור ראשוני ⇐ אי פריק תמיד.
נניח πאי־פריק x · y = πz .π | x · y ,נפרק את z, y, xלמכפלות גורמים אי פריקים .מיחידות הפח"ע אזי
ינבע ש πחבר של גורם אי פריק של xאו של π | X⇐ .yאו .π | y
91
פרק .12חוג אוקלידי
.12.2פריקוח חד־ערכית )פח"ע(
משפט 12.2.3
חוג ראשי הוא חוג עם פח"ע
הגדרה 12.2.4חוג Rנקרא חוג נטרי )על שם (Emmy Noetherאם לכל סדרה עולה של אידיאלים I1 ⊂ I2 ⊂ . . .
יש n0כך ש In0 = In0 +1 = . . . = In = . . .לכל n ≥ n0
)תנאי השרשרת העולה לאידיאלים(
P
דוגמה : 12.2.5ב (a1 ) ⊂ (a2 ) Zפרושו:
. . . | a3 | a2 | a1
טענה 12.2.6
כל חוג ראשי הנו נטרי
הוכחה :אם I1 ⊂ I2 ⊂ . . .סדרה עולהIn .
a ∈ In0ולכן נובע כי:
S
= Iאידיאל .ניות ו Iראשי אזי ) I = (aאבל יש n0כך ש
In0 ⊆ I = (a) ⊆ In0
ולכן הנדרש.
הערה 12.2.7כל החוגים שפגשנו עד היום הם נטרים .דוגמה לחוג לא נטרי היא חוג פולינומים עם אינסוף משתנים
]R [X1 , X2 , X3 , . . .
נחזור להוכיח את המשפט הוכחה :קיום פריוק:
נניח על דרך השלילה ש Rראשי אך ישנו איבר a ∈ Rשאי־אפשר לכתוב אותו כמכפלת אברים אי־פריקים.
נסתכל בכל האידיאלים ) (aהנוצרים ע"י אברים "רעים" כאלה .במשפחת האידיאלים הזאת צריך להיות
אידיאל גדול ביותר ביחס להכלה ־ אחרת נוכל לבנות שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים
(a1 ) $ (a2 ) $ (a3 ) . . .
בסתירה לנטריות.
נסמן πאיבר כזה ־ שאינו מכפלת אי פריקים .וה ) (πאינו מוכל ממש בשום אידיאל ) (xכאשר גם xאיבר
שאינו מכפלת אי־פריקים.
πעצמו פריק.y 6∼ π ,x 6∼ π ,π = xy(,
)(π) $ (x
לכן y ,xאינם "רעים" ־ הם ניתנים לכתיבה כמכפלת אברים אי־פריקים.
)(π) $ (y
אבל גם πמכפלת אי־פריקים .סתירה.
′
π1 . . . πn = π1′ . . . πmכל πiו πi′אי פריק .לפי משפט קודם
נרצה להראות את חד ערכיות הפירוק .נניח
הם גם ראשוניים ) Rראשי גורר אי פריק ≡ראשוני(
πi | πi′ואחרי שינוי סדר ניתן להניח ש π1′ ,π1′ = π1 · u ,π1 | π1′ :i = 1אי פריק u⇐1 6∼ π1יחידה
. π1 ∼ π1′בה"כ π1 = π1′ואז מחלקים ) Rתחום שלמות( ומקבלים .π2 . . . πn = π2′ . . . πn′
וגומרים באינדוקציה.
92
פרק 13
דוגמה לשימוש בכל מה שלמדנו
P
איזה טבעים nניתנים להצגה כ n = a2 + b2כאשר ?a, b ∈ Z
דוגמה : 13.0.8
13.0.0.2
12 + 42
+
= 17
=7 6
רעיון:
nהנו סכום של שני ריבועים אם"ם n = zz
]) ∃z ∈ Z [iחוג השלמים של גאוס( .כלומר:
(a + bi) (a − bi) = a2 + b2
אם "נכיר" את המבנה הכפלי של ] Z [i־ כלומר את כל המספרים הראשוניים )= אי־פריקים( בו ,סביר שנוכל
לענות על השאלה הנ"ל.
93
