docab - Notes
download 
Report Transcription
ab - Notes
אלגברה לינארית – 1המבחן...
נכתב ונערך ע"י דינה זליגר
מבוסס על הרצאותיו של פרופ' איליה ריפס
סמסטר א' תשס"ו
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
1
תוכן עניינים
.1אלגברה לינארית – הא?? 2 ...............................................................................................
.2שדות 2 .........................................................................................................................
.2.1הגדרת השדה ותכונות בסיסיות 2 ..................................................................................
.2.2שדה המרוכבים 4 ......................................................................................................
.2.3שדה השאריות מודולו 5 ......................................................................................... n
.2.4המציין של שדה 8 .....................................................................................................
.2.5תתי שדות 9 .............................................................................................................
.3מרחבים וקטוריים 11 .......................................................................................................
.3.1הגדרת המרחב הוקטורי 11 .........................................................................................
n
.3.2קוביות ב13 ..................................................................................................... -
.3.3בסיסים ומימד של מרחבים וקטוריים 14 ........................................................................
.3.4תתי מרחבים 18 ........................................................................................................
.4העתקות לינאריות 23 .......................................................................................................
.4.1תכונות כלליות של העתקות 23 ....................................................................................
.4.2העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים 24 ...................................................................
.4.3העתקות לינאריות ומטריצות 28 ...................................................................................
.5מערכות משוואות לינאריות 33 ..........................................................................................
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
2
.1אלגברה לינארית – הא??
מהי אלגברה לינארית? ובכן ,אלגברה היא תחום במתמטיקה שעוסק בפיתרון משוואות .אלגברה לינארית עוסקת בפיתרון
משוואות לינאריות – כלומר משוואות שבהן הנעלמים מופיעים בחזקה ראשונה וגם לא מופיעה בהן מכפלה של נעלמים .בסוף
*
הקורס אנחנו נראה אין פותרים מערכות משוואות .עד אז נפתח את הכלים שמאפשרים לנו לעשות זאת...
נניח שיש לנו מערכת משוואות
a1,1 x1 + ... + a1, n xn = b1
am ,1 x1 + ... + am , n xn = bm
מהם הפתרונות? הפתרונות הם x1 ,..., xnשמקיימים את המשוואת שרשומות למעלה )אם קיימים כאלה כלל( .אבל מאיפה
מביאים את המספרים האלה?
.2שדות
הגדרת השדה ותכונות בסיסיות
.2.1
הגדרה :קבוצה Fעם הפעולות הדו-מקומיות חיבור ) ( + Fוכפל ) †( ⋅Fתיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות אשר
נקראות אקסיומות השדה:
.1אקסיומות החיבור:
.aסגירות :לכל a + F b ∈ F a, b ∈ F
.b
.2
) ( a +F b) +F c = a + F (b + F c
.c
אסוציאטיביות :לכל a, b, c ∈ F
.d
קיום איבר ניטרלי לחיבור :קיים 0 F ∈ Fכך שלכל a + F 0 F = a a ∈ F
‡
.eקיום איבר נגדי לחיבור :לכל a ∈ Fקיים −a ∈ Fכך שa + F ( − a ) = 0 F -
אקסיומות הכפל:
§
.aסגירות :לכל a ⋅F b ∈ F a, b ∈ F
.bקומוטטיביות :לכל a ⋅F b = b ⋅F a a, b ∈ F
) ( a ⋅F b ) ⋅ F c = a ⋅F ( b ⋅F c
.c
אסוציאטיביות :לכל a, b, c ∈ F
.d
קיום איבר ניטרלי לכפל :קיים 0 F ≠ 1F ∈ Fכך שלכל a ⋅F 1F = a a ∈ F
.e
.3
קומוטטיביות :לכל a + F b = b + F a a, b ∈ F
−1
**
−1
קיום איבר הופכי לכפל :לכל a ∈ Fאם a ≠ 0 Fקיים a ∈ Fכך שa ⋅F a = 1F -
דיסטריביוטיביות :לכל a ⋅F ( b + F c ) = a ⋅F c + F b ⋅F c a, b, c ∈ F
נעיר רק שאם לא היינו דורשים ש 1F ≠ 0F -היה יכול להיות קיים שדה עם איבר אחד בלבד } . F = {0זאת לא בעיה אבל
זה גם לא מעניין ולכן מנענו מקרה זה מראש.
* כן ,זה די עצוב ששיא הקורס הוא פתרון מערכת משוואות לינאריות...
† בד"כ נשמיט את סימן השדה ליד הפעולות .נרשום אותו רק לשם הדגשה.
‡ לפעמים נרשום רק 0ולא 0 Fומההקשר תהיה ברורה הכוונה.
§ לפעמים נשמיט את סימן הכפל ואז . ab = a ⋅ bבכל אופן הכוונה תהיה ברורה מן ההקשר.
** לפעמים נרשום רק 1ולא 1Fומההקשר תהיה ברורה הכוונה.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
דוגמאות:
.1
.2
.3
3
הרציונאליים עם הפעולות הרגילות )מושאר לקורא לוודא שאכן מתקיימות האקסיומות(
הממשיים עם הפעולות הרגילות )כנ"ל(
} 2 = {0,1ופעולות שמוגדרות ע"י הטבלאות הבאות:
⋅
+ 0 1
0 1
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 0 1
יש לבדוק שמתקיימות פה אקסיומות השדה .כמעט את כל האקסיומות ניתן להסיק מיידית מהטבלאות .נותר לבדוק
אסוציאטיביות ודיסטריביוטיביות .הבדיקות האלה הן סופיות משום שיש מספר סופי של איברים .לא נעשה זאת
כאן באופן מלא ,אבל נראה שתי דוגמאות:
)( 0 + 1) + 1 = 1 + 1 = 0 = 0 + 0 = 0 + (1 + 1
1 ⋅ (1 + 0 ) = 1 ⋅1 = 1 = 1 + 0 = 1 ⋅1 + 1 ⋅ 0
.4
הקבוצה } { z , uעם הפעולות שמוגדרות לפי הטבלאות:
z u
+
z u
⋅
z u
z
z
z
z u
u
z
u u
z
השדה הזה זהה ל 2 -מלבד שלאיברים בקבוצה קוראים בשם אחד .שדות אלה נקראים שדות איזומורפיים
.5
††
המרוכבים } ∈ = {a + bi : a, bעם הפעולות חיבור וכפל שמוגדרות באופן הבא:
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + bi ) ⋅ ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
גם כאן הבדיקה של קיום האקסיומות הינה שגרתית .נציין רק כי 0 = 0 + 0 ⋅ iו. 1 = 1 + 0 ⋅ i -
בתרגיל מס' 1הוכחנו כל מיני תכונות של שדות שנובעות ישירות מן ההגדרה .לא אוכיח אותן כאן מאחר שהדבר נעשה כבר:
אם Fשדה אזי לכל a, b, c ∈ Fמתקיימות התכונות הבאות:
.1תכונת הצמצום בחיבורa = b ⇐ a + c = b + c :
.2תכונת הצמצום בכפל :אם c ≠ 0מתקיים a = b ⇐ ac = bc
0 ⋅ a = 0 .3
) (a
−1 −1
.4
אם a ≠ 0מתקיים = a
.5
− ( −a ) = a
.6
( −1) a = −a
( −a )( −b ) = ab
) ( −a ) b = a ( −b ) = − ( ab
−1
( ab ) = a −1b −1
.7
.8
.9
.10אם ab = 0אז a = 0או b = 0
כמו כן ניתן להוכיח האיברים הניטרליים לפעולות הן יחידים ושהאיבר הנגדי לחיבור והאיבר ההופכי לכפל יחידים גם הם.
ההוכחה נעשית ע"י הנחה שקימים שניים אשר מקיימים את התכונה הנחוצה והוכחה שהשניים האלה חייבים להיות זהים )ע"י
שימוש בתכונות הצמצום לחיבור ולכפל(.
†† נדבר על איזומורפיזמים עוד בהמשך
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.2.2
4
שדה המרוכבים
נדון באופן מפורט יותר בשדה המספרים המרוכבים .בהגדרה בסעיף הקודם לא נתנו משמעות ל . i -בעצם התייחסנו אליו
כאל סמל בלבד .ננסה בכל זאת להבין מהו iזה .נשים לב ש-
( 0 + 1⋅ i )( 0 + 1 ⋅ i ) = ( 0 ⋅ 0 − 1 ⋅1) + ( 0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 ) i = −1 + 0 ⋅ i
כלומר . i 2 = −1אהא! בממשיים למספרים שליליים לא קיים שורש ממעלה זוגית .מסתבר שבמרוכבים המצב הוא שונה.
בעצם לשם כך הוגדר שדה מרוכבים .שדה המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית – שדה שבו לכל פולינום יש שורש .למשל
נסתכל על . x 2 + 1 = 0ב -אין לפולינום זה שורש ,שכן לכל x 2 ≥ 0 xולכן . x 2 + 1 ≥ 1 > 0אבל ב -דווקא יש
שורש והוא ... i 2 + 1 = −1 + 1 = 0 : i
אגב ,תכונה זו מסבירה את נוסחת הכפל .אם נכפול את המספרים המרוכבים כפי שאנחנו רגילים בממשיים נקבל:
( a + bi ) ⋅ ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci + bd ( −1) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
כמו כן נשים לב שניתן לזהות את הממשיים עם תת קבוצה של המרוכבים . = {a + bi ∈ : b = 0} :נראה שגם הפעולות
מתלכדות:
( a + 0 ⋅ i ) + (c + 0 ⋅ i ) = ( a + c ) + ( 0 + 0) i = ( a + c ) + 0 ⋅ i
( a + 0 ⋅ i ) ⋅ ( c + 0 ⋅ i ) = ( ac − 0 ⋅ 0 ) + ( a ⋅ 0 + 0 ⋅ c ) i = ac + 0 ⋅ i
אפשר לחשוב על המרוכבים גם בצורה גאומטרית נסתכל על מערכת צירים
במישור ] . [ xyלמספר a + biנתאים את הנקודה ) . ( a, bבתיאור זה
y
המספרים הממשיים נמצאים רק על ציר ה. x -
) ( a, b
b
איך נחבר מרוכבים באופן גאומטרי? נשים לב שהנקודה המתאימה ל-
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) iהיא
) . ( a , b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d
x
) ( a + c, b + d
a
) ( 0, 0
y
) ( c, d
) ( a, b
d
b
החיבור מתבצע לפי כלל המקבילית:
הקודקוד הרביעי של המקבילית שנבנית ע"י נקודת הראשית
ונקודות שני המחוברים היא הסכום.
y
x
a
c
) ( 0, 0
) ( a, b
b
ומה עם הכפל? זה קצת מסובך יותר .לשם כך נגדיר את ההצגה הקוטבית
של מספר מרוכב .זאת בעצם ההצגה הקוטבית של המישור ] . [ xyאם
נסתכל של הציור נראה שכל נקודה אפשר גם לאפיין לפי המרחק שלה
מהראשית יחד עם הזווית שנוצרת עם ציר ה. x -
לפי מה שלמדנו בתיכון בטריגו'‡‡ אנחנו יודעים שמתקיים היחס הבא:
r
x
a
θ
r = a2 + b2
b
b
⇒ θ = arctan
a
a
ומצד שני . a = r cos θ , b = r sin θלכן כל מספר מרוכב ניתן לרשום בשתי דרכים:
= tan θ
. a + bi = r cos θ + r sin θ i = r ( cos θ + i sin θ ) ≡ r cis θ
כעת אנחנו יכולים לכפול מספרים מרוכבים בהצגה הקוטבית שלהם.
= ) ( a + bi )( c + di ) = r1 cis θ1 ⋅ r2 cis θ 2 = r1r2 ( cos θ1 + i sin θ1 )( cos θ 2 + i sin θ 2
) = r1r2 ( ( cos θ1 cos θ 2 − sin θ1 sin θ 2 ) + ( cos θ1 sin θ 2 + sin θ1 cos θ 2 ) i ) = r1r2 cis (θ1 + θ 2
‡‡ למעשה בתיכון גם למדנו את כל זה לגבי המספרים המרוכבים ואפילו יותר...
) ( 0, 0
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
5
אז מה אנחנו רואים? כדי לכפול שני מרוכבים בהצגה הקוטבית שלהם יש לכפול את האורכים ולחבר את הזוויות .זה מאפשר
לנו לכפול מספרים באופן גיאומטרי) ...לא בא לי לשרטט את זה(
נגדיר ערך מוחלט של מספר מרוכב a + bi = a 2 + b 2וצמוד של מספר מרוכב . a + bi = a − bi
נציין כמה תכונות של מספרים מרוכבים :לכל ∈ z1 , z2מתקיים:
.1
z1 z2 = z1 z2
.2
z1 = z1
.3
z1 = z1 z1
2
.4
אם z1n = z1 cis nα z1 = r cis θ
.5
אי שיוויון המשולשz1 + z2 ≤ z1 + z 2 :
n
ההוכחות הן ישירות .פשוט מביעים את המספרים בצורה קוטבית או קרטזית ומחשבים .את ) (4מוכיחים באינדוקציה על . n
מה שיותר מעניין הוא שלמשוואה cis α = x nיש במרוכבים nפתרונות שונים...
α + ( i − 1) 2π
§§
xi = cis
, i = 1,..., n
n
.2.3
שדה השאריות מודולו n
נזכור את השדה . 2האם ניתן להגדיר שדה nלכל nבאופן דומה? התשובה היא שלא! לא לכל nמתקבל שדה.
נראה עתה כמה משפטים בנושא...
יהי n ∈ +ויהיו ∈ . k , lנאמר ש k ≡ l ( mod n ) -אם קיים ∈ uכך ש . k − 1 = un -כלומר ההפרש בין המספרים
k , lהוא כפולה שלמה של . nאומרים אז ש k , l -שקולים מודולו . nלמשל שני מספרים חיוביים שקולים מודולו 10
כאשר הם נגמרים באותה הספרה .כל שני מספרים זוגיים וכל שני מספרים איזוגיים שקולים מודולו . 2
טענה :1יהי . n ∈ +לכל ∈ mקיימים ∈ *** q, rכאשר 0 ≤ r ≤ n − 1כך ש. m = qn + r -
הערה :אם r = 0אז n | mכלומר mמתחלק ב n -ללא שארית.
הוכחה :נסתכל בכפולות של המספר ..., −2n, − n, 0, n, 2n,3n,... : n
( q − 1) n
( q + 1) n
qn
2n
n
0
−n
−2 n
m
קיים qnכך ש . qn ≤ m < ( q + 1) n -אז ∈ . m − qn = rברור ש r -זה מקיים את הדרוש .מש"ל ☺
טענה :2יהיו ∈ . m1 , m2אזי ) m1 ≡ m2 ( mod nאמ"מ השארית של m1בחלוקה ב n -שווה לשארית של m2בחלוקה
ב. n -
הוכחה :לפי הטענה הקודמת אפשר לרשום m1 = q1n + r1 , m2 = q2 n + r2כאשר . 0 ≤ r1 , r2 ≤ n − 1
) ⇐ ( נניח ) . m1 ≡ m2 ( mod nאזי קיים ∈ uכך ש . m1 − m2 = un -כלומר
. ( q1n + r1 ) − ( q2 n + r2 ) = ( q1 − q2 ) n + ( r1 − r2 ) = unאזי . r1 − r2 = ( u − q1 + q2 ) nכמו כן
. − ( n − 1) ≤ r1 − r2 ≤ n − 1אבל ) n | ( r1 − r2ולכן . r1 − r2 = 0
§§ נדמה לי שבתיכון קוראים לזה משפט דה-מואבר
*** qל quotient-ו r -לresidue-
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
6
) ⇒ ( נניח ש . r1 = r2 = r -אזי . m1 − m2 = ( q1n + r ) − ( q2 n + r ) = ( q1 − q2 ) nאבל ∈ . q1 − q2לכן
) . m1 ≡ m2 ( mod nמש"ל ☺
נסמן את השארית של mבחלוקה ב n -ע"י . [ m ]nאז תחת סימון זה קיבלנו בטענה הקודמת ש-
) [ m1 ]n = [ m2 ]n ⇔ m1 ≡ m2 ( mod n
נסמן את כל השאריות מודולו . n = {0,1,..., n − 1} : nברור ש) n = n -כלומר בקבוצה זו יש nאיברים n -
שאריות אפשריות(.
כמו כן נגדיר פעולות חיבור מודולו ( + n ) nוכפל מודולו ( ⋅n ) nבאופן הבא:
לכל a + n b = [ a + b ]n a, b ∈ nו.††† a ⋅n b = [ ab ]n -
נשאלת אפוא השאלה ,האם nעם הפעולות הנ"ל הוא שדה?
משפט :3לכל ∈ 1 < nב n -עם הפעולות + n , ⋅nמתקיימות כל אקסיומות השדה מלבד אולי קיום הופכי.
הוכחה :לצורך ההוכחה נצטרך להיעזר במספר טענות עזר.
טענת עזר m ∈ , m ≡ [ m ]n ( mod n ) :1
הוכחה :נניח ש . m = qn + [ m ]n -אזי m − [ m ]n = qnו . q ∈ -מש"ל ☺
טענת עזר :2אם ) k1 ≡ k2 ( mod nו l1 ≡ l2 ( mod n ) -אז ) k1 + l1 ≡ ( k2 + l2 )( mod n
הוכחה k1 ≡ k2 ( mod n ) :לכן l1 ≡ l2 ( mod n ) . k1 − k2 = uk nלכן l1 − l2 = ul nכאשר ∈ . uk , ulאזי
. ( k1 + l1 ) − ( k2 + l2 ) = ( k1 − k2 ) + ( l1 − l2 ) = uk n + ul n = ( uk + ul ) nמש"ל ☺
טענת עזר :3אם ) k1 ≡ k2 ( mod nו l1 ≡ l2 ( mod n ) -אז ) . k1 ⋅ l1 ≡ ( k2 ⋅ l2 )( mod n
הוכחה k1 ≡ k2 ( mod n ) :לכן l1 ≡ l2 ( mod n ) . k1 − k2 = uk nלכן . l1 − l2 = ul nאזי
. ul k1 + uk l2 ∈ . k1l1 − k2 l2 = ( l1 − l2 ) k1 + ( k1 − k2 ) l2 = ul nk1 + uk nl2 = ( ul k1 + uk l2 ) nמש"ל ☺
טענת עזר :4היחס ≡ הוא יחס שקילות.
הוכחה:
רפלקסיביות :ברור ) k ≡ k ( mod nשהרי . k − k = 0 = 0 ⋅ n
סימטריות :אם ) k1 ≡ k2 ( mod nאז . k1 − k2 = unלכן k2 − k1 = ( −u ) nומכאן ש. k2 ≡ k1 ( mod n ) -
טרנזיטיביות :נניח ) k1 ≡ k2 ( mod nו . k2 ≡ k3 ( mod n ) -אזי k1 − k2 = u1nו . k2 − k3 = u2 n -אזי
. k1 − k3 = ( k1 − k2 ) + ( k2 − k3 ) = u1n + u2 n = ( u1 + u2 ) nלכן ) . k1 ≡ k3 ( mod nמש"ל ☺
כעת נחזור להוכחת המשפט .נראה שמתקיימות כל האקסיומות פרט לקיום הופכי כפלי.
סגירות :ברור מהגדרת השארית . 0 ≤ [ m ]n ≤ n − 1 -לכן nסגורה גם תחת חיבור מודלו nוגם תחת כפל מודולו . n
קומוטטיביות :נובע מהקומוטטיביות ב : -יהיו . a, b ∈ nאזי
a + n b = [ a + b ]n = [b + a ]n = b + n a
a ⋅n b = [ ab ]n = [ba ]n = b ⋅n a
אסוציאטיביות :נובע מהאסוציאטיביות בשלמים ומטענות העזר :יהיו . a, b, c ∈ nאזי
. ( a + n b ) + n c = ( a + n b ) + c n = [ a + b ]n + c אבל לפי ט"ע . a + b ≡ [ a + b ]n ( mod n ) 1לפי ט"ע 4
n
)
(
) . c ≡ c ( mod nכעת לפי ט"ע . ( a + b ) + c ≡ [ a + b ]n + c ( mod n ) 2לפי טענה )(2
. ( a + b ) + c n = [ a + b]n + c כלומר . ( a + n b ) + n c = ( a + b ) + c nכעת לפי האסוציאטיביות בשלמים
n
( a + n b ) + n c = ( a + b ) + c n = a + ( b + c ) nבאותו אופן חוזרים לכך ש. a + ( b + c ) n = a + n ( b + n c ) -
בדיוק באותו אופן מראים את האסוציאטיביות של הכפל רק שמקום בט"ע 2משתמשים בט"ע .3
קיום איברים ניטרליים :לכל a + n 0 = [ a + 0]n = [ a ]n = a a ∈ nוכן . a ⋅n 1 = [ a ⋅1]n = [ a ]n = a
קיום איבר נגדי לחיבור :אם a = 0אז − n a = 0ואכן . 0 + n 0 = [ 0 + 0]n = [ 0]n = 0אם a ≠ 0אז
− n a = n − a ∈ nואכן . a + n ( n − a ) = a + ( n − a ) n = [ n ]n = 0
††† ברור שניתן להשתמש בפעולות אלה לכל ∈ k , lאבל כרגע אנחנו מעוניינים רק במקרה של . n
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
7
דיסטריביוטיביות :יהיו . a, b, c ∈ nאזי
a ⋅n ( b + n c ) = a ( b + n c ) n = a [b + c ]n = a ( b + c ) n = [ ab + ac ]n
n
= [ ab ]n + [ ac ]n = [ a ⋅n b + a ⋅n c ]n = a ⋅n b + n a ⋅n c
n
ראינו שמתקיימות כל האקסיומות מלבד אולי קיום הופכי כפלי .מש"ל ☺
נסתכל על } 4 = {0,1, 2,3ונרשום את טבלאות החיבור והכפל לפי ההגדרה:
3
3
0
1
2
2
2
3
0
1
1
1
2
3
0
0
0
1
2
3
+n
0
1
2
3
3
0
3
2
1
2
0
2
0
2
1
0
1
2
3
0
0
0
0
0
⋅n
0
1
2
3
מהטבלאות רואים בבירור שלא קיים הופכי כפלי ל. 2 -
אז באמת לא בהכרח אקסיומה זו מתקיימת בכל . n
משפט :4אם n > 1לא ראשוני אז nאינו שדה.
הוכחה n > 1 :פריק ולכן n = klכאשר . 1 < k , l < nלכן . k , l ∈ nאבל אז . k ⋅n l = [ kl ]n = [ n ]n = 0אבל זו
סתירה כי בשדה אין מחלקי אפס☺ .
משפט :5אם pראשוני אז pשדה.
הוכחה :1ראינו שמתקיימות כל התכונות מלבד אולי קיום הופכי .נראה אם כן שאם pראשוני אז לכל 0 ≠ a ∈ pקיים
איבר הופכי .נסתכל בקבוצה האיברים . {a ⋅ p 0,..., a ⋅ p ( p − 1)} ⊂ pנטען שכל האיברים בקבוצה זו שונים .אם לא ,אז
קיימים k ≠ l k , l ∈ pכך ש . a ⋅ p k = a ⋅ p l -כלומר . [ ak ] p = [ al ] pאזי ) ak ≡ al ( mod pכלומר קיים ∈ u
כך ש . a ( k − l ) = ak − al = up -לכן ) . p | a ( k − lלכן p | aאו .‡‡‡ p | k − lאבל 0 < a ≤ p − 1ולכן . p /| a
כמו כן 0 ≤ k , l ≤ p − 1לכן . − ( p − 1) ≤ k − l ≤ p − 1אבל k ≠ lולכן . k − l ≠ 0לכן ) . p /| ( k − 1וזו סתירה.
לכן לא קיימים k , lכאלה ולכן כל האיברים שונים .בקבוצה זו יש pאיברים ולכן היא בעצם כל . pכלומר בתוכה יש
גם האיבר . 1ולכן יש הופכי ל . a -מש"ל ☺
הוכחה :2ראשית נוכיח טענת עזר.
טענת עזר :אם mהוא המחלק המשותף המקסימלי של 0 < k , lאז קיימים ∈ s, tכך ש. ks + lt = m -
הוכחה :באינדוקציה שלמה§§§ על הסכום : k + l
בסיס האינדוקציה :עבור k = l = 1המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא . 1ניקח s = 1, t = 0ואז
. 1 ⋅1 + 1 ⋅ 0 = 1
הנחת האינדוקציה :נניח הטענה נכונה לכל ' k ', lשמקיימים . k '+ l ' < k + l
שלב האינדוקציה :אם k = lאז המחלק המשותף המקסימלי הוא m = k = lואז . 1 ⋅ k + 0 ⋅ l = m
אחרת נניח בה"כ כי . k < lנטען ש m -הוא המחלק המשותף המקסימלי של kו m . l − k -מחלק את kואת
lולכן כמובן מחלק גם את . l − kניח כעת ש m ' -מחלק גם את kוגם את . l − kלכן הוא מחלק גם את . l
כלומר ' mהוא מחלק משותף של kושל . lלכן . m ' ≤ mלכן ' mהוא המחלק המשותף המקסימלי.
נשים לב ש . k + ( l − k ) = k < l + k -לכן ניתן להשתמש בהנחת האינדוקציה .אז קיימים ∈ ' s ', tכך ש-
. ( s '− t ' ) k + t ' l = s ' k + t ' ( l − k ) = mניקח ' s = s '− t ', t = tונקבל את הטענה עבור . k , l
לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל סכום , k + lכלומר היא נכונה לכל . k , lמש"ל ☺
יהי . 0 ≠ a ∈ pמשום ש p -ראשוני המחלק המשותף שמקסימלי שלו ושל aהוא . 1לפי הטענה קיימים s, tכך ש-
. a ⋅ s + t ⋅ p = 1אזי . a ⋅ p [ s ] p = a ⋅ p s = [ as ] p = [1 − pt ] p = [1] p = 1כלומר ☺ . [ s ] p = a −1
משפט :6לכל pראשוני ולכל m > 0יש שדה עם p mאיברים .למעשה יש שדה יחיד כזה עד כדי איזומורפיזם.
הוכחה :ר' קורס בתורת השדות.
‡‡‡ אם ראשוני מחלק מכפלה של מספרים אזי הוא מחלק אחד מהם )לפחות(
§§§ עיקרון האינדוקציה השלמה :אם הטענה נכונה לכל k < nומוכיחים שהטענה נכונה ל n -אז היא נכונה לכל
.n
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
8
נציין כמה תכונות מעניינות ב: p -
p −1
.1
. ( p − 1) ! = ∏ i = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( p − 1) = p − 1מדוע? נשים לב שבמכפלה זו יש p − 1מוכפלים ולכל אחד
i =1
מהם ,חוץ משאר ל 1 -ול p − 1 -ההופכי שלו מופיע במכפלה .לכן הם כולם מתבטלים ואנחנו נשארים עם
. 1 ⋅ ( p − 1) = p − 1
.2
לכל a ∈ pמתקיים . a = aמדוע? אם a = 0ברור שזה נכון .אחרת נסתכל בקבוצה
p
} . {na : 0 ≠ n ∈ pברור ש 0 -אינו נמצא בקבוצה הזו וגם כל האיברים שונים ,לכן יש בה p − 1איברים
שונים מאפס ,ולכן הקבוצה מכילה את כל איברי pהשונים מאפס .לפי תכונה )(1
) . ( n1a )( n2 a ) ... ( n p −1a ) = a p −1 ( p − 1)! = a p −1 ( p − 1אבל מאחר ששהם כבעצם כל איברי השדה אז גם
. ( n1a )( n2 a ) ... ( n p −1a ) = ( p − 1) ! = p − 1כלורמ . a p −1 ( p − 1) = p − 1אבל p − 1 ≠ 0ולכן
.* a p −1 = 1כלומר . a p = aנעיר רק שכל סימני השוויון שמופיעים כאן הם מודולו . pאת )*( ניתן היה
לרשום למעשה באופן הבא :לכל pראשוני ולכל . a p −1 ≡ 1( mod p ) a ≠ 0
.2.4
המציין של שדה
נגדיר רישום מקוצר של חיבור איבר בשדה לעצמו מספר פעמים :יהי a ∈ Fויהי ∈ . nאזי נגדיר באופן רקורסיבי:
0
n=0
n × a = ( n − 1) × a + a 1 ≤ n
− ( ( −n ) × a ) n < 0
קל להוכיח את השיוויונים הבאים:
n × a + m × a = (n + m) × a
) ( nm ) × a = n × ( m × a ) = ( n × a )( m × a
נעיר רק שיש להיזהר ולא להתבלבל בין ⋅ שהוא כפל בין איברים בשדה לבין × שהוא פעולה בין איברים בשדה לבין
המספרים השלמים .אם ∈ a, b ∈ F , nהביטויים הבאים אינם מוגדרים. a × b, a × n, a ⋅ n, n ⋅ a :
משפט :7יהי שדה . Fאזי מתקיים אחד מהבאים:
.1לכל ∈ m, nכך ש m ≠ n -מתקיים m × 1F ≠ n ×1F
.2קיים ראשוני pכך ש. p × 1F = 0 F -
הוכחה :אם מתקיים ) (1אז סיימנו .אחרת נראה שחייב להתקיים ).(2
יהיו ∈ m, nכך ש . m × 1F = n × 1F -בה"כ נניח כי . m < nאזי . m × 1F + ( n − m ) × 1F = n × 1F = m × 1Fלכן
. ( n − m ) × 1F = 0 Fנסמן ב p -אז המספר הקטן ביותר שמקיים . ( n − m ) × 1F = 0 Fנראה ש p -ראשוני .נניח בשלילה
שקיימים 1 < k , l < pכך ש . kl = p -לכן מתקיים ) . 0 F = p × 1F = ( kl ) × 1F = ( k ×1F ) ⋅ ( l × 1Fלכן k × 1F = 0 F
או k × 1F = 0 Fבסתירה למינימליות של . pמש"ל ☺
****
במקרה הראשון נאמר ש char F = 0 -והשדה הוא עם מציין . 0ואילו אחרת נאמר ש char F = p -והמציין של השדה
הוא . p
**** בהוכחה הראנו שהמינימליות של pגוררת את זה שהוא ראשוני .אבל גם הכיוון ההפוך נכון .לכן ניתן לומר באופן שקול שמציין של שדה הוא המספר
המינימלי ששונה מאפס ומקיים ) p × 1F = 0 Fאם קיים כזה(.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.2.5
9
תתי שדות
הגדרה :יהיו F , Sשדות .נאמר שהם איזומורפיים אם קיים ביניהם איזומורפיזם ,כלומר העתקה f : F → Sחח"ע ועל
כך שלכל a, b ∈ Fהיא שומרת על הפעולות:
) f ( a + F b ) = f ( a ) + S f (b
) f ( a ⋅F b ) = f ( a ) ⋅S f ( b
חשוב לציין שאם שני מבנים איזומורפיים אז הם מקיימים אם אותן התכונות .למשל ,אם הקבוצות F , Sאיזומורפיות וF -
שדה אזי גם Sשדה .זה נובע בקלות מהגדרת האיזומורפיזם .זו תכונה חשובה מאוד של איזומורפיזמים ואנחנו נשתמש בה
גם בהמשך כאשר נלמד על מרחבים וקטוריים.
הגדרה :יהי Fשדה ותהי K ⊂ Fתת קבוצה .נאמר ש K -תת שדה אם היא מקיימת את כל אקסיומות השדה ביחס
לפעולות שמוגדרות על . F
למשל ⊂ ⊂ ,והם תת שדות.
נעיר את תשומת ליבנו לתכונות הבאות:
.1לא קיים שדה Fכך ש F -
.2
.3
}
{
קיימים שדות רבים Fכך ש . F -למשל ∈ 2 = a + 2b : a, bעם הפעולות כמו
בממשיים.
שדה הרציונליים )או שדות איזומורפיים לו( הוא השדה המינימלי בעל מציין . 0מדוע? בכל שדה Fחייבים
להיות איבר היחידה . 1בגלל הסגירות תחת חיבור לכל ∈ nמתקיים גם . n ×1 ∈ Fכך קיבלנו שכל
הטבעיים חייבים להיות בשדה .בגלל קיום האיבר הנגדי נקבל שכל השלמים חייבים להיות בשדה .ובגלל קיום
איבר הופכי וסגירות לכפל נקבל שכל מנה של שלמים חייבת להיות בשדב וזה הרי בדיוק שדה הרציונליים...
משפט :8אם char F = p > 0אז קיים תת שדה Kשל Fאיזומורפי ל. p -
הוכחה :נגדיר } . K = {n × 1F : 0 ≤ n ≤ p − 1בגלל הסגירות ב F -ברור ש. K ⊂ F -
נגדיר העתקה f : p → Kבאופן הבא . f ( a ) = a × 1Fנראה שזהו איזומורפיזם.
חח"ע :יהיו a, b ∈ pכך ש . a × 1F = f ( a ) = f ( b ) = b × 1F -נניח ש . a ≠ b -אזי . a − b ≠ 0כמו במשפט הקודם
. b × 1F + ( a − b ) × 1F = a ×1F = b × 1Fלכן 0 ≤ a, b ≤ p − 1 . ( a − b ) ×1F = 0 Fלכן
− p < − ( p − 1) ≤ a − b ≤ p − 1 < pבסתירה למינימליות של ) pבהיותו המציין( .לכן . a = b
על :יהי k ∈ Kאזי ע"פ הגדרת k = m × 1F Kכאשר 0 ≤ m ≤ p − 1כלומר . m ∈ pלכן . f ( m ) = k
שמירה על חיבור :יהיו . a, b ∈ pנניח ש) a + b = qp + r -חילוק עם שארית( .אזי
= f ( a ) + F f ( b ) = ( a × 1F ) + ( b × 1F ) = ( a + b ) × 1F = ( qp + r ) × 1F = ( qp ) × 1F + r × 1F
) = q × ( p × 1F ) + r × 1F = q × 0 F + r ×1F = 0 F + r × 1F = r × 1F = [ a + b] p ×1F = ( a + p b ) ×1F = f ( a + p b
שמירה על כפל :יהיו . a, b ∈ pנניח ש) ab = qp + r -חילוק עם שארית( .אזי
= f ( a ) ⋅F f ( b ) = ( a × 1F ) ⋅ ( b × 1F ) = ( ab ) × 1F = ( qp + r ) × 1F = ( qp ) × 1F + r × 1F
) = q × ( p × 1F ) + r × 1F = q × 0 F + r ×1F = 0 F + r × 1F = r × 1F = [ a ⋅ b ] p × 1F = ( a ⋅ p b ) × 1F = f ( a ⋅ p b
מצאנו איזומורפיזם בין Kל . p -לפי משפט ) p (5שדה .לכן גם Kשדה ,והוא תת שדה של Fכמובן .מש"ל ☺
משפט :9אם Fשדה ו char F = 0 -אז קיים תת שדה K ⊂ Fכך ש K -איזומורפי ל. -
הערה :זה הניסוח הפורמלי של הערה ) (3קודם לכן.
−1
m
הוכחה :נגדיר העתקה g : → Fבאופן הבא ) . g = ( m ×1F )( n × 1Fנגדיר . K = g ( ) ⊂ F
n
– הסיכומים של דינה1 אלגברה לינארית
10
( וההעתקה מוגדרתn × 1F )
−1
לכן קיים. n ×1F ≠ 0 F charF = 0 - ומאחר שn ≠ 0 .נראה שההעתקה מוגדרת היטב
יהי. כעת נראה שההעתקה פועלת באותו אופן לכל רציונלי ללא תלות בצורת ההצגה שלו. m n לכל מספר רציונלי
m
m
ml
: g = g - נראה ש. l ≠ 0 ∈ ויהי
n
n
nl
−1
−1
ml
g = ( ( ml ) × 1F ) ( ( nl ) × 1F ) = ( ( m ×1F )( l × 1F ) ) ( ( n × 1F )( l ×1F ) ) =
nl
= ( ( m × 1F ) ( l × 1F ) ) ( ( l × 1F )( n × 1F ) ) = ( ( m ×1F )( l ×1F ) ) ( ( l × 1F ) ( n × 1F ) ) =
−1
(
= ( ( m × 1F ) ( l × 1F ) ) ( l × 1F )
−1
( n ×1F )
−1
−1
) = ( m ×1 ) ( ( l × 1
F
F
)( l ×1F ) ) ( n ×1F )
−1
−1
=
−1
−1
m
= ( m × 1F ) 1F ( n × 1F ) = ( m ×1F )( n × 1F ) = g
n
בעצם כפינו על. g אך הטווח שלה מצומצם לתמונה שלg - אשר פועלת בצורה זהה לf : Q → g ( ) כעת נסתכל על
m s
m
s
כלומר. f = f - כך ש, ∈ יהיו: נראה שהיא חח"ע. להיות עלf
n t
n
t
−1
−1
mt
ns
כלומרf = f אבל כמו כן מתקיים. ( m ×1F )( n × 1F ) = ( s × 1F )( t × 1F )
nt
nt
( ( mt ) ×1 ) = ( ( ns ) ×1 ) לכן. ( ( mt ) ×1 ) ( ( nt ) ×1 ) = ( ( ns ) ×1 ) ( ( nt ) ×1 )
. mt − ns = 0 ולכןchar F = 0 אבל. ( mt − ns ) ×1 = ( ( mt ) ×1 ) − ( ( ns ) ×1 ) = 0
−1
כלומר
- ומכאן שmt = ns כלומר
F
F
F
−1
F
F
F
F
F
F
. חח"עf כלומר.
: אזי.
F
m s
=
n t
m s
, ∈ יהיו. שומרת על הפעולותf -נראה ש
n t
−1
−1
m s
mt + ns
f + = f
= ( ( mt + ns ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) = ( ( mt ) × 1F + ( ns ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) =
n
t
nt
−1
−1
mt
ns
m
s
= ( ( mt ) × 1F ) ( ( nt ) × 1F ) + ( ( ns ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) = f + f = f + f
nt
nt
n
t
:ובאופן דומה לגבי הכפל
−1
−1
m s
ms
f ⋅ = f
= ( ( ms ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) = ( ( m ×1F )( s × 1F ) ) ( ( n × 1F )( t × 1F ) ) =
n t
nt
( t ×1 ) ) = ( m ×1 )( s ×1 )( n ×1 )
(
) (( s ×1 )(t ×1 ) ) = f mn ⋅ f st
= ( ( m × 1F )( s × 1F ) ) ( n ×1F )
(( m ×1 )( n ×1 )
F
F
−1
−1
−1
F
F
F
F
−1
( t ×1F )
−1
=
−1
F
F
☺ מש"ל. שדהg ( ) לכן. היא איזומורפיזםf : → g ( ) אז
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
11
.3מרחבים וקטוריים
הגדרת המרחב הוקטורי
.3.1
הגדרה :יהי Fשדה .מרחב וקטורי מעל שדה Fהוא קבוצה של איברים )שנקרא להם וקטורים( שמוגדרות עליה פעולת
חיבור של וקטורים ופעולת כפל באיברי השדה )שנקרא להם סקלרים( ,כך שמתקיימות האקסיומות הבאות :לכל w, u, v ∈ V
ו: a , b ∈ F -
.1אקסיומות חיבור וקטורים
.aסגירות u + v ∈ V
.bחילופיות u + v = v + u
.cקיבוציות ) ( u + v ) + w = u + ( u + w
.d
.2
קיום איבר ניטרלי לחיבור שנמסמנו 0Vכך שv + 0V = v -
.eקיום איבר נגדי לחיבור נסמנו −vומקיים v + ( −v ) = 0V
אקסיומות כפל בסקלר
.aסגירות a ⋅ v ∈ V
1F ⋅ v = v .b
.c
.d
) ( ab ) ⋅ v = a ⋅ ( b ⋅ v
( a + b ) .v = a ⋅ v + b ⋅ v
a ⋅ ( v + w) = a ⋅ v + a ⋅ w
נשים לב לכמה תכונות של מרחבים וקטוריים שנובעות ישירות מן האקסיומות:
יהי Fשדה ויהי Vמרחב וקטורי מעל . Fאזי לכל c ∈ Fולכל u, v, s ∈ Vמתקיימות התכונות הבאות:
.1
− ( −u ) = u
.2
− ( u + v ) = −u − v
.3
0 F ⋅ u = 0V
.4
( −1F ) ⋅ u = −u
.5
.6
אם cu = 0Vאז c = 0 Fאו u = 0V
אם u + s = v + sאז u = v
דוגמה פונדמנטלית ביותר:
יהי שדה Fויהי ∈ . 0 ≤ nנגדיר }) F = {( a1 , a2 ,..., an ) : ai ∈ F ,1 ≤ i ≤ nקבוצה של - nיות של איברי השדה(.
n
נגדיר חיבור וכפל בסקלר:
) ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) = ( a1 + b1 ,..., an + bn
) c ⋅ ( a1 ,..., an ) = ( c ⋅ a1 ,..., c ⋅ an
טענה F n :10מרחב וקטורי מעל . F
הוכחה :נראה את קיום כל אקסיומות השדה:
אקסיומות חיבור וקטורים:
.1סגירות F :שדה ולכן לכל a, b ∈ Fמתקיים . a + b ∈ F .כמו כן ,לפי הגדרת החיבור בחיבור של שתי - nיות
מתקבלת - nיה .לכן אם a = ( a1 ,..., an ) , b = ( b1 ,..., bn ) ∈ F nאזי . a + b = ( a1 + b1 ,..., an + bn ) ∈ F n
.2
חילופיות F :שדה ולכן לכל a, b ∈ Fמתקיים . a + b = b + aלכן בהינתן a, b ∈ F n
= ) a + b = ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) = ( a1 + b1 ,..., an + bn
= ( b1 + a1 ,..., bn + an ) = ( b1 ,..., bn ) + ( a1 ,..., an ) = b + a
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.3
12
קיבוציות :יהיו . a, b, c ∈ F nאזי לפי הגדרת החיבור ב F n -ובגלל ש F -שדה מתקיים:
= ) a + ( b + c ) = ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) + ( c1 ,..., cn ) = ( a1 ,..., an ) + ( b1 + c1 ,..., bn + cn
= ) = ( a1 + ( b1 + c1 ) ,..., an + ( bn + cn ) ) = ( ( a1 + b1 ) + c1 ,..., ( an + bn ) + cn
= ( a1 + b1 ,..., an + bn ) + ( c1 ,..., cn ) = ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) + ( c1 ,..., cn ) = ( a + b ) + c
.4
קיום איבר ניטרלי לחיבור :נגדיר ) 0 F n = ( 0 F ,..., 0 Fונטען שלכל a ∈ F nמתקיים . a + 0F n = aלפי הגדרת
n times
החיבור . a + 0F n = ( a1 ,..., an ) + ( 0F ,..., 0 F ) = ( a1 + 0 F ,..., an + 0 F ) = ( a1 ,..., an ) = aלכן 0 F nכפי
.5
שהגדרנו אותו הוא איבר ניטרלי לחיבור.
קיום איבר נגדי לחיבור :לכל a = ( a1 ,..., an ) ∈ F nנגדיר
) . − a = ( −a1 ,..., −anנראה שזה איבר נגדי לחיבור:
a + ( −a ) = ( a1 ,..., an ) + ( −a1 ,..., − an ) = ( a1 + ( − a1 ) ,..., an + ( −an ) ) = ( 0 F ,..., 0 F ) = 0F n
אקסיומות כפל בסקלר:
.1סגירות F :שדה ולכן לכל c, a ∈ Fמתקיים . c ⋅ a ∈ Fכמו כן ,לפי הגדרת הכפל בסקלר בכפל של - nיה
מתקבלת - nיה .לכן אם a = ( a1 ,..., an ) ∈ F n , c ∈ Fאזי . c ⋅ a = ( c ⋅ a1 ,..., c ⋅ an ) ∈ F n
.2
לפי הגדרת איבר היחידה בשדה נקבל שלכל a ∈ F nמתקיים
1F ⋅ a = 1F ⋅ ( a1 ,..., an ) = (1F ⋅ a1 ,...,1F ⋅ an ) = ( a1 ,..., an ) = a
.3
לפי הגדרת כפל בסקלר ב F n -ובגלל האסוציאטיביות של Fנקבל לכל : a, b ∈ F , v ∈ F n
= ) ( a ⋅ b ) ⋅ v = ( a ⋅ b ) ⋅ ( v1 ,..., vn ) = ( ( a ⋅ b ) ⋅ v1 ,..., ( a ⋅ b ) ⋅ vn
) = ( a ⋅ ( b ⋅ v1 ) ,..., a ⋅ ( b ⋅ vn ) ) = a ⋅ ( b ⋅ v1 ,..., b ⋅ vn ) = a ⋅ ( b ⋅ ( v1 ,..., vn ) ) = a ⋅ ( b ⋅ v
.4
יהיו a, b ∈ Fו . u, v ∈ F n -אזי
= ) ( a + b ) ⋅ v = ( a + b ) ⋅ ( v1 ,..., vn ) = ( ( a + b ) ⋅ v1 ,..., ( a + b ) ⋅ vn ) = ( a ⋅ v1 + b ⋅ v1 ,..., a ⋅ vn + b ⋅ vn
= ( a ⋅ v1 ,..., a ⋅ vn ) + ( b ⋅ v1 ,..., b ⋅ vn ) = a ⋅ ( v1 ,..., vn ) + b ⋅ ( v1 ,..., vn ) = a ⋅ v + b ⋅ v
= ) ) a ⋅ ( v + u ) = a ⋅ ( ( v1 ,..., vn ) + ( u1 ,..., un ) ) = a ⋅ ( v1 + u1 ,..., vn + un ) = ( a ⋅ ( v1 + u1 ) ,..., a ⋅ ( vn + un
= ) = ( a ⋅ v1 + a ⋅ u1 ,..., a ⋅ vn + a ⋅ un ) = ( a ⋅ v1 ,..., a ⋅ vn ) + ( a ⋅ u1 ,..., a ⋅ un
= a ⋅ ( v1 ,..., vn ) + a ⋅ ( u1 ,..., un ) = a ⋅ v + a ⋅ u
הראנו שכל אקסיומות המרחב הווקטורי מתקיימות .לכן F nמרחב וקטורי מעל . Fמש"ל ☺
הערה :המרחב הווקטורי מהדוגמה הוא מרחב חשוב מאוד אך לא כל המרחבים הווקטוריים הם מהצורה הזאת .יש מרחבים
וקטוריים שונים ומשונים .אנחנו עוד נראה דוגמאות רבות בעתיד.
בפרט אם ניקח = Fו n = 2 -נקבל את . 2נגדיר לו מודל גיאומטרי:
לכל ( a, b ) ∈ 2נתאים את הנקודה במישור שהקואורדינטות שלה הן ) : ( a, b
) ( a, b
b
a
כיצד משתקפות הפעולות שהגדרנו על 2במודל הגיאומטרי?
חיבור ע"פ כלל המקבילית :עבור ( a1 , a2 ) , ( b1 , b2 ) ∈ 2בונים מקבילית שקודקוד אחד שלה הוא ) ( 0, 0ושני הקודקודים
האחרים הם ) ( a1 , a2ו . ( b1 , b2 ) -הקודקוד הרביעי הוא ) - ( a1 + b1 , a2 + b2כלומר זה האלכסון של המקבילית:
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
13
) ( a1 + b1 , a2 + b2
a2 + b2
a2
) ( a1 , a2
b2
) ( b1 , b2
a1 + b1
a1
b1
) ( 0, 0
כפל בסקלר ע"י הארכת )או קיצור( הווקטור באופן מכוון )אם הסקלר חיובי הווקטור מוארך באותו הכיוון ואם הוא שלילי
בכיוון ההפוך(.
c >1> 0
) ( ca1 , ca2
ca2
) ( a1 , a2
ca1
a1
a2
) ( 0, 0
מודל גיאומטרי דומה אפשר להתאים למרחב הווקטורי 3מעל .אזי לכל וקטור ) ( a1 , a2 , a3תתאים נקודה במרחב
שהקואורדינטות שלה הן ) . ( a1 , a2 , a3
.3.2
קוביות ב n -
זה לא ממש חשוב אבל זה די מגניב לצייר קוביה בחמישה ממדים אז נעשה את זה:
I1 = {( a1 ) : 0 ≤ a1 ≤ 1} 1
.1קטע היחידה ב: -
I 2 = {( a1 , a2 ) : 0 ≤ a1 , a2 ≤ 1} 2
.2רביע היחידה ב: -
I 3 = {( a1 , a2 , a3 ) : 0 ≤ a1 , a2 , a3 ≤ 1} 3
.3קוביית היחידה ב: -
.4קובייה ב: 5 -
1
0
1
1
1
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.3.3
14
בסיסים ומימד של מרחבים וקטוריים
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fנאמר ש v1 ,..., vn ∈ V -תלויים לינארית אם קיימים סקלרים c1 ,..., cn ∈ F
n
כך שקיים 1 ≤ i ≤ nשעבורו ) ci ≠ 0 Fכלומר לא כולם אפס( ומתקיים . ∑ ci vi = 0Vאחרת v1 ,..., vnנקראים בלתי
i =1
תלויים לינארית )להלן בת"ל(.
הגדרה :יהי Uמרחב וקטורי מעל שדה . Fיהיו u1 ,..., uk ∈ Uויהיו . a1 ,..., ak ∈ Fהווקטור
k
∑a u
i i
נקרא צירוף
i =1
לינארי של u1 ,..., ukעם מקדמים . a1 ,..., akצירוף לינארי טריוויאלי הוא צירוף לינארי עם מקדמים שכולם אפס
. a1 = ... = ak = 0 F
תחת הגדרה זו נאמר שהווקטורים v1 ,..., vn ∈ Vהם תלויים לינארית אם קיים צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס .אחרת
נאמר שהם בלתי תלויים לינארית.
דוגמאות :יהי Vמרחב וקטורי מעל . F
.1ויהי . v ∈ Vאם v = 0Vאזי , 1F v = 0Vכלומר קיים צירוף לינארי לא טריוויאלי של vאשר מתאפס ולכן v
תלוי לינארית.
אם v ≠ 0Vו cv = 0V -אזי . c = 0 Fאחרת קיים c −1ולכן v = 1F v = c −1 ( cv ) = c −1 0V = 0Vוזאת סתירה.
.2
כלומר קיבלנו שעבור וקטור אחד הוא תלוי לינארית אם הוא וקטור האפס ,אחרת הוא בלתי תלוי לינארית.
יהיו . v1 , v2 ∈ Vהווקטורים תלויים לינארית אם קיימים סקלרים c1 , c2 ∈ Fלא כולם 0 Fכך ש-
. c1v1 + c2 v2 = 0Vאזי . c1v1 = −c2 v2
.a
אם c1 ≠ 0Fאזי קיים c1−11ואז נוכל לרשום
( c1v1 ) = c ( −c2 v2 ) = ( −c
c ) v2
−1
1
−1
1
2
v1 = 1F v1 = ( c c ) v1 = c
−1
1
−1
1 1
כלומר v1הוא כפולה סקלרית של . v2
.b
אם c2 ≠ 0 Fאזי קיים c2−1ואז נוכל לרשום
c ) v1
( c2 v2 ) = c ( −c1v1 ) = ( −c
−1
2 1
.3
−1
2
v2 = 1F v2 = ( c c ) v2 = c
−1
2
−1
2 2
כלומר v2הוא כפולה סקלרית של . v1
המסקנה :עבור שני וקטורים הם תלויים לינארית אם אחד מהם הוא כפולה סקלרית של השני.
יהיו . v1 , v2 , v3 ∈ Vבאופן דומה למה שעשינו קודם ניתן לרשום שאם קיימים c1 , c2 , c3לא כולם 0 Fכך ש-
3
∑c v
i i
i =1
.a
אזי מתקיים לפחות אחד מהבאים:
אם c1 ≠ 0Fאזי v1 = ( −c1−1c2 ) v2 + ( −c1−1c3 ) v3
.b
אם c2 ≠ 0 Fאזי v2 = ( −c2−1c1 ) v1 + ( −c2−1c3 ) v3
.c
אם c3 ≠ 0Fאזי v3 = ( −c3−1c1 ) v1 + ( −c3−1c2 ) v2
כלומר ,אם הווקטורים תלויים לינארית אזי אחד מהם הוא צירוף לינארי של השניים האחרים.
נחזור למודל הגיאומטרי של . 2איך תלות לינארית מתבטאת במודל הגיאומטרי?
עבור שני וקטורים ,כפי שנאמר למעלה ,הם תלויים אם אחד הוא כפולה סקלרית של השני .ולכן במודל הגיאומטרי אם שני
וקטורים נמצאים על אותו הישר אזי הוא תלויים.
עבור שלושה וקטורים הם תלויים אם אחד מהם הוא צירוף לינארי של השניים האחרים .מכאן ניתן להסיק שכל שלושה
וקטורים ב 2 -הוא תלויים.
משפט :11יהי ∈ 0 ≤ mויהי Fשדה .יהיו v1 ,..., vn ∈ F mכאשר . m < nאזי v1 ,..., vnתלויים לינארית.
הוכחה :באינדוקציה על . m
בסיס האינדוקציה . m = 0 :אזי
)
( = . v1 = ... = vnלכן
0
})
) = 0F
({ = , F 0בפרט
)
( = . 0 F 0יהי 0 < nויהיו . v1 ,..., vn ∈ F 0ברור ש-
( = ) ( . 1F ( ) + ... + 1F ( ) = ( ) + ... +קיבלנו צירוף לינארי לא טריוויאלי
n times
שמתאפס .לכן הווקטורים תלויים לינארית.
n times
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
15
הנחת האינדוקציה :נניח שעבור mאם v1 ,..., vn ∈ F mו m < n -אזי v1 ,..., vnתלויים לינארית.
שלב האינדוקציה :נוכיח את נכונות הטענה עבור . m + 1יהיו w1 ,..., wl ∈ F m +1כאשר . m + 1 < lנרצה להוכיח ש-
w1 ,..., wlתלויים לינארית.
נרשום את הווקטורים בצורה מפורשת:
) w1 = ( a1,1 ,..., a1, m , a1, m +1
) wl −1 = ( al −1,1 ,..., al −1, m , al −1, m +1
) wl = ( al ,1 ,..., al , m , al , m +1
נסתכל ראשית במקרה הפרטי שבו ai , m +1 = 0 Fלכל . 1 ≤ i ≤ lנגדיר
w1 ' = ( a1,1 ,..., a1, m ) ∈ F m
wl ' = ( al ,1 ,..., al , m ) ∈ F m
m < m + 1 < lולכן לפי הנחת האינדוקציה הווקטורים w1 ',..., wl ' ∈ F mתלויים לינארית .לכן קיימים סקלרים
l
l
l
c1 ,..., cl ∈ Fלא כולם 0 Fכך ש . ∑ ci ai ,1 ,..., ∑ ci ai , m = ∑ ci wi ' = 0 F m = ( 0F ,..., 0 F ) -אזי
i =1
i =1
i =1
l
l
l
l
c
w
=
c
a
,...,
a
,
a
=
c
a
,...,
c
a
,
(
)
∑
∑
∑
i i
i
i ,1
i ,m
i , m +1
= i i , m ∑ ci ai , m +1
∑ i i ,1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
l
l
= 0F ,..., 0 F , ∑ ci 0 F = ( 0 F ,..., 0F , 0F ) = 0 F m+1
i =1
כעת אם לא כל ai , m +1הם אפס אזי קיים 1 ≤ i ≤ lכך ש . ai , m +1 ≠ 0F -בה"כ ) i = lאחרת נשנה את סדר הווקטורים(.
נגדיר
wl
−1
1, m +1 l , m +1
a
u1 = w1 − a
ul −1 = wl −1 − al −1, m +1al−,1m +1 wl
נשים לב שלכל 1 ≤ i ≤ l − 1מתקיים . ai , m +1 − ai , m +1al−,1m +1al , m +1 = ai , m +1 − ai , m +11F = 0 Fולכן נוכל לרשום:
) u1 = ( b1,1 ,..., b1, m , 0 F
) ul −1 = ( bl −1,1 ,..., bl −1, m , 0 F
נגדיר וקטורים חדשים:
u1 ' = ( b1,1 ,..., b1, m ) ∈ F m
ul −1 ' = ( bl −1,1 ,..., bl −1, m ) ∈ F m
l − 1 < m ⇐ l > m + 1ולכן נוכל להשתמש בהנחת האינדוקציה .קיימים d1 ,..., dl −1 ∈ Fלא כולם 0 Fכך ש-
l −1
. ∑ d i ui ' = 0 F m
i =1
אזי כמו קודם
l −1
l −1
l −1
= di ui = ∑ di ( ai ,1 − ai , m +1al−,1m +1al ,1 ),..., ∑ di ( ai , m − ai , m +1al−,1m +1al , m ), ∑ di ( ai , m +1 − ai , m +1al−,1m +1al , m +1 )
∑
i =1
i =1
i =1
i =1
l −1
l −1
= 0F ,..., 0 F , ∑ di 0 F = ( 0 F ,..., 0 F , 0 F ) = 0 F m+1
i =1
l −1
נגדיר dl = −∑ di ai , m +1al−,1m +1ונקבל
i =1
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
16
l −1
= + ai , m +1al−,1m +1 wl ) + − ∑ di ai , m +1al−,1m +1 wl
i =1
l −1
l −1
i =1
i =1
l −1
i
l −1
l
∑ d w = ∑ d w + d w = ∑ d (u
l
i
i
l
i
i
i =1
i =1
i
i =1
l −1
= ∑ ( di ui + di ai , m +1al−,1m +1 wl − di ai , m +1al−,1m +1 wl ) = ∑ ( di ui + 0V ) = ∑ di ui = 0 F m+1
i =1
קיבלנו צירוף לינארי של w1 ,..., wlבמקדמים לא טריויאליים .ולכן הם תלויים לינארית.
מכאן שלפי עיקרון האינדוקציה המשפט נכון לכל ∈ . 0 ≤ mמש"ל ☺
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fנאמר שהווקטורים v1 ,..., vn ∈ Vפורשים )או יוצרים( את Vכאשר כל
וקטור ב V -ניתן להצגה כצירוף לינארי של . v1 ,..., vnבמקרה כזה נאמר ש V -נוצר סופית.
משפט :12יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fויהיו v1 ,..., vm ∈ Vפורשים את . Vאם w1 ,..., wl ∈ Vו m < l -אזי
w1 ,..., wlתלויים לינארית.
הוכחה v1 ,..., vn :פורשים ולכן ניתן לרשום:
w1 = a1,1v1 + ... + a1, m vm
wl = al ,1 + ... + al , m vm
נגדיר לכל . ui = ( ai ,1 ,..., ai , m ) ∈ F m 1 ≤ i ≤ lמכיוון ש m < l -ו u1 ,..., ul ∈ F m -נקבל לפי המשפט הקודם ש-
l
u1 ,..., ulתלויים לינארית .לכן קיימים c1 ,..., cl ∈ Fלא כולם 0 Fכך ש . ∑ ci ui = 0 F m -אזי
i =1
m l
m
v j = ∑ ∑ c j a j ,i vi = ∑ 0 F vi = 0V
i =1 j =1
i =1
ולכן w1 ,..., wlתלויים לינארית .מש"ל ☺
m
l
l
∑c w = ∑c ∑a
i, j
i
j =1
i
i =1
i
i =1
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fקבוצת הווקטורים } v = {v1 ,..., vnתיקרא בסיס אם Vנפרש ע"י vוv -
בלתי תלויה לינארית.
דוגמה F = :וV = 2 -
v2
v1
u1
u2
ברור ש v1 -ו v2 -בלתי תלויים לינארית כי הם לא נמצאים על ישר אחד וגם כל וקטור אפשר להציג כצירוף לינארי שלהם
)ע"י ההיטלים על v1ו .( v2 -ולכן הם מהווים בסיס .בעצם ,ב 2 -כל שני וקטורים שאינם נמצאים על ישר אחד הם בסיס.
מכאן נובע שלמרחב וקטורי יכולים להיות כמה בסיסים .כלומר ,אין הבסיס של המרחב .למשל ,בציור גם } {v1 , v2וגם
} {u1 , u2הם בסיסים ל. 2 -
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
17
משפט :13יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fאם v1 ,..., vn ∈ Vבסיס וגם w1 ,..., wl ∈ Vבסיס אזי . n = l
הסבר :המשפט לא מבטיח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס .אבל אם למרחב וקטורי יש בסיס אזי בכל בסיס יש אותו מספר
איברים.
הוכחה V :נפרש ע"י . v1 ,..., vnנניח ש . n < l -אזי w1 ,..., wlתלויים לינארית .בסתירה לכך שהם בסיס .באותו אופן,
אם נניח ש l < n -נקבל ש v1 ,..., vn -תלויים לינארית שכן Vנפרש ע"י w1 ,..., w2בסתירה להיותם בסיס .האפשרות
היחידה שנשארת היא . l = nמש"ל ☺
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית .מספר האיברים בבסיס של Vנקרא המימד של Vומסומן . dim F V
דוגמה :נטען שלכל שדה Fמתקיים dim F F n = n
הוכחה :אם נמצא בסיס של F nשבו nאיברים נקבל את הטענה משום שלפי המשפט הקודם בכל בסיס של Vיש אותו
מספר איברים.
נסתכל ,אם כן ,על הווקטורים:
) e1 = (1F , 0F ,..., 0 F
ei = 0F ,..., 1F ,..., 0F
i-th place
) en = ( 0 F ,..., 0 F ,1F
נוכיח כי e1 ,..., en ∈ F nבסיס של . F nלשם כך נראה שהוא פורשים ושהם בלתי תלויים לינארית.
n
פורשים :יהי . ( a1 ,..., an ) ∈ F nברור ש . ( a1 ,..., an ) = ∑ ai ei -כלומר כל וקטור ב F n -ניתן להצגה כצירוף לינארי של
i =1
. e1 ,..., enכלומר F nנפרש ע"י . e1 ,..., en
n
אי-תלות :נניח כי עבור סקלרים a1 ,..., an ∈ Fמתקיים . ∑ ai ei = 0 F nברור לפי הגדרת החיבור ש-
i =1
n
) . ∑ ai ei = ( a1 ,..., anולכן ) ( a1 ,..., an ) = ( 0 F ,...,0 Fולכן . a1 = ... = an = 0 Fלכן e1 ,..., enבלתי תלויים
i =1
לינארית.
הראנו שהווקטורים פורשים ובלתי תלויים לינארית .לכן הם בסיס .ומכאן ש . dim F F n = n -מש"ל ☺
הגדרה :הבסיס e1 ,..., enל F n -כפי שהוגדר בדוגמה נקרא הבסיס הסטנדרטי של . F n
משפט :14יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fיהיו . v1 ,..., vn ∈ Vהתנאים הבאים שקולים:
.1
v1 ,..., vnבסיס של V
לכל וקטור v ∈ Vקיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של v1 ,..., vn
.2
הוכחה:
) v1 ,..., vn ( 2 ⇐ 1בסיס .בפרט הם פורשים את . Vלכן לכל וקטור v ∈ Vקיימת הצגה כצירוף לינארי שלהם .נוכיח
m
n
i =1
i =1
שהיא יחידה .יהי v ∈ Vויהיו a1 ,..., an ∈ Fכך ש . ∑ ai vi = v -נניח שקיימים גם b1 ,..., bn ∈ Fכך ש. ∑ bi vi = v -
נסתכל על ההפרש ביניהם:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
0V = v − v = ∑ ai vi − ∑ bi vi = ∑ ( ai − bi ) vi
v1 ,..., vnבסיס .בפרט הם בלתי תלויים לינארית ולכן אם השוויון למעלה נכון חייב להתקיים ai − bi = 0 Fלכל
. 1 ≤ i ≤ nולכן , ai = biכלומר הההצגה כצירוף לינארי של v1 ,..., vnיחידה.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
18
) ( 1 ⇐ 2נניח שלכל v ∈ Vקיימת הצגה יחידה בצירוף לינארי של . v1 ,..., vnבפרט ברור שהם פורשים .נותר לנו להוכיח
n
כי הם בלתי תלויים לינארית .ברור ש . 0V = ∑ 0 F vi -ההצגה הזאת היא יחידה ולכן לכל a1 ,..., an ∈ Fאשר מקיימים
i =1
= 0V
n
∑a v
i i
מתקיים , a1 = ... = an = 0 Fכלומר הווקטורים בלתי תלויים לינארית .לכן נקבל כי v1 ,..., vnבסיס☺ .
i =1
.3.4
תתי מרחבים
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fתת-קבוצה U ⊂ Vנקראת תת-מרחב אם Uמקיימת את כל אקסיומות
המרחב הווקטורי ביחס לפעולות שמוגדרות על . V
משפט :15יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fתהי U ⊂ Vתת קבוצה U .תת מרחב אם ורק אם:
U .1לא ריקה
U .2סגורה תחת חיבור של וקטורים
U .3סגורה תחת כפל בסקלר
הוכחה:
) ⇐ ( הכיוון הזה טריוויאלי ונובע מהגדרת תת מרחב כמרחב וקטורי.
) ⇒ ( נניח שמתקיימים התנאים לעיל ונוכיח כי Uמקיימת את כל אקסיומות המרחב הווקטורי.
אקסיומות חיבור וקטורים:
.1סגירות :נתון בתנאי המשפט.
.2חילופיות :נובע מכך ש U ⊂ V -ומוגדרות עליה אותן פעולות V .מרחב וקטורי ולכן לכל u, v ∈ Vמתקיים
. u + v = v + uבפרט זה נכון לכל . v, u ∈ U ⊂ V
.3קיבוציות :מתקיימת מאותו שיקול כמו ).(2
.4קיום איבר האפס U :לא ריקה ולכן קיים U . v ∈ Uסגורה לכפל בסקלר ולכן U . ( −1F ) v ∈ Uסגורה
תחת חיבור ולכן . v + ( −1F ) v = 1F v + ( −1F ) v = (1F + ( −1F ) ) v = 0F v = 0Vכלומר . 0W = 0Vאגב,
.5
נשים לב שנעשה כאן שימוש בדיסטריביוטיביות שאותה נוכיח תכף...
קיום איבר נגדי :כפי שראינו קודם לכל . −v = ( −1F ) v ∈ U v ∈ U
אקסיומות כפל בסקלר:
.1סגירות :נתון בנתאי המשפט.
.2שאר התכונות של כפל בסקלר נכונות לכל u, v ∈ Vולכל . a, b ∈ Fבפרט הן נכונות לגבי כל . u, v ∈ U ⊂ V
הראנו שמתקיימות כל אקסיומות המרחב הווקטורי .לכן Uתת מרחב וקטורי של . Vמש"ל ☺
דוגמה :נסתכל על המרחב הווקטורי 3מעל .אזי תת המרחבים של 3הם:
.1הראשית }) {( 0, 0
.2
כל הישרים שעוברים דרך הראשית } ∈ lt = {( a, ta ) : a
.3
כל המישורים שעוברים דרך הראשית } ∈ st , p = {( a, ta, sa ) : a
3
קל לבדוק שכל אלה הם תת מרחבים .למעשה אלה הם כל תת המרחבים של אבל לא נוכיח את זה כרגע.
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה . Fיהיו u1 ,..., uk ∈ Vכאשר . 1 ≤ kנגדיר :תת המרחב הנפרש ע"י u1 ,..., uk
k
הוא . Sp ( u1 ,..., uk ) = ∑ ci ui : ci ∈ F עבור k = 0נגדיר
i =1
. Sp ( u1 ,..., uk ) ⊂ V
} ) = {0V
( . Spבכל מקרה ברור ש-
משפט :16יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה Fויהיו . u1 ,..., uk ∈ Vאזי ) Sp ( u1 ,..., unתת מרחב וקטורי של . V
הוכחה :עבור k = 0
ברור ש) = {0V } -
( Spתת מרחב וקטורי.
נסתכל במקרה שבו . 1 ≤ kנראה את קיום 3התנאים מהמשפט הקודם:
.1ברור ש Sp ( u1 ,..., uk ) -לא ריקה ,כי כל צירוף לינארי של u1 ,..., ukנמצא בה.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
19
k
k
i =1
i =1
יהיו ) . v, w ∈ Sp ( u1 ,..., ukאזי קיימים סקלרים c1 ,..., ck , d1 ,..., d k ∈ Fכך ש. v = ∑ ci ui , w = ∑ di ui -
.2
k
k
k
i =1
i =1
i =1
אזי . v + w = ∑ ci ui + ∑ di ui = ∑ ( ci + di ) uiקיבלנו ש v + w -הוא צירוף לינארי של u1 ,..., ukעם
מקדמים ci + di ∈ Fכאשר . 1 ≤ i ≤ kלכן ) . v + w ∈ Sp ( u1 ,..., ukכלומר יש סגירות תחת חיבור.
k
יהי ) v ∈ Sp ( u1 ,..., ukויהי . c ∈ Fקיימים a1 ,..., ak ∈ Fכך ש . v = ∑ ai ui -נסתכל על המכפלה:
.3
i =1
k
k
i =1
i =1
. cv = c ∑ ai ui = ∑ ( cbi ) uiקיבלנו ש cv -הוא צירוף לינארי של u1 ,..., ukעם מקדמים cbi ∈ Fעבור
. 1 ≤ i ≤ kכלומר יש סגירות תחת כפל בסקלר.
לכן לפי משפט קודם ) Sp ( u1 ,..., ukתת מרחב וקטורי של .Vמש"ל ☺
נעיר רק ש Sp ( u1 ,..., uk ) -וא תת המרחב המינימלי שמכיל את . u1 ,..., ukכלומר ,אם S ⊂ Vתת מרחב שמקיים
u1 ,..., uk ∈ Sאז בגלל הסגירות תחת חיבור ותחת כפל בסקלר כל קומבינציה לינארית של u1 ,..., ukחייבת להיות גם היא
ב . S -כלומר . Sp ( u1 ,..., uk ) ⊂ S
הערה :עבור Sp ( u1 ,..., uk ) = V u1 ,..., uk ∈ Vאם ורק אם u1 ,..., ukפורשים את . V
n
הגדרה :יהי Fשדה ו x -משתנה .נגדיר - F [ x ] = ∑ ai x i : ai ∈ F , 0 ≤ n קבוצת כל הפולינומים במשתנה xעם
i=0
מקדמים משדה . Fחיבור פולינומים וכפל בסקלר יתבצעו בצורה המוכרת לנו.
טענה F [ x ] :17מרחב וקטורי מעל . F
הטענה מובאת ללא הוכחה .ההוכחה פשוטה וישירה.
משפט :18ב F [ x ] -אין בסיס סופי.
הוכחה :נניח בשלילה ש v1 ,..., vn ∈ F [ x ] -בסיס של ] . F [ xנניח שלכל vi 1 ≤ i ≤ nהוא פולינום ממעלה . 0 ≤ mi
נגדיר . m = max {mi }i =1אזי כל צירוף לינארי של v1 ,..., vnהוא פולינום שמעלתו קטנה או שווה ל . m -בפרט
n
) . x m +1 ∉ Sp ( v1 ,..., vnכלומר v1 ,..., vn ,אינם פורשים את ] F [ xולכן אינם בסיס .זאת סתירה ולכן לא קיים בסיס סופי
ל . F [ x ] -מש"ל ☺
משפט :19יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה Fשקיים לו בסיס . v1 ,..., vnיהי U ⊂ Vתת מרחב .אזי ל U -קיים בסיס.
הוכחה :לצורך הוכחת המשפט ניעזר בטענת עזר:
טענת עזר :התנאים הבאים שקולים:
w1 ,..., wl ∈ V .1בלתי תלויים לינארית
.2
w1 ≠ 0Vו wi ∉ Sp ( w1 ,..., wi −1 ) -לכל 2 ≤ i ≤ l
הוכחת הטענה:
) ( 2 ⇐ 1נניח ש w1 ,..., wl ∈ V -בלתי תלויים לינארית .אם w1 = 0Vניתן לרשום
. 0V = 1F 0V + 0 F w2 + ... + 0 F wl = 1F w1 + 0 F w2 + ... + 0 F wlכלומר יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של
w1 ,..., wlשמתאפס .כלומר הווקטורים תלויים לינארית בסתירה לנתון .לכן . w1 ≠ 0V
כעת נניח שקיים 2 ≤ i ≤ lכך שמתקיים ) . wi ∈ Sp ( w1 ,..., wi −1כלומר קיימים a1 ,..., ai −1 ∈ Fלא כולם 0 Fכך
ש . wi = a1 w1 + ... + ai −1 wi −1 -אזי מתקיים
0V = wi + ( −a1 w1 ) + ... + ( −ai −1 wi −1 ) = ( −a1 w1 ) + ... + ( −ai −1 wi −1 ) + wi + 0 F wi +1 + ... + 0 F wlכלומר קיים
צירוף לינארי לא טריוויאלי של הווקטורים שמתאפס .ולכן הם תלויים לינארית .בסתירה להנחה .לכן
) wi ∉ Sp ( w1 ,..., wi −1לכל . 2 ≤ i ≤ l
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
20
) ( 1 ⇐ 2נתון ש w1 ≠ 0V -ו wi ∉ Sp ( w1 ,..., wi −1 ) -לכל . 2 ≤ i ≤ lנראה ש w1 ,..., wl -בלתי תלויים לינארית.
l
נניח שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי שמקיים . ∑ ci wi = 0Vיהי kהאינדקס המקסימלי שעבורו . ck ≠ 0 Fאזי
i =1
k
. ck +1 ,..., cl = 0 Fלכן wi = ∑ ci wi
l
F
i =1
l
k
∑ c w = ∑c w + ∑ 0
i
i = k +1
i
i
i =1
i
i = k +1
l
k
. 0V = ∑ ci wi = ∑ ci wi +נעביר אגפים
i =1
i =1
ונקבל . ck wk = −c1 w1 − ... − ck −1 wk −1הנחנו ש ck ≠ 0 F -לכן קיים . ck−1לכן
) wk = ( −ck−1c1 ) w1 + ... + ( −ck−1ck −1 ) wk −1 ∈ Sp ( w1 ,..., wk −1בסתירה לנתון .לכן w1 ,..., wlבלתי תלויים
לינארית .מש"ל ☺
נחזור להוכחת המשפט .אם U = {0V } ⊂ Vאזי קיים ל U -בסיס והוא הקבוצה הריקה.
אחרת קיים וקטור . 0V ≠ w1 ∈ Uלפי טענת העזר w1בלתי תלוי לינארית .אם } U = Sp { w1אזי w1בסיס של . U
אחרת קיים w2 ∈ Uכך ש . w2 ∉ Sp ( w1 ) -לפי טענת העזר w1 , w2בלתי תלויים לינארית .אם ) U = Sp ( w1 , w2אזי
w1 , w2בסיס של . U
כעת נגדיר באינדוקציה :נניח שמצאנו k < n
וקטורים בת"ל ב . w1 ,..., wk U -אם הם פורשים את Uאזי הם בסיס.
אחרת קיים wk +1 ∈ Uכך ש . wk +1 ∉ Sp ( w1 ,..., wk ) -לפי טענת העזר w1 ,..., wk +1בלתי תלויים לינארית .כעת נחזור על
התהליך עד שיתקיים אחד מהבאים:
.1נמצא בסיס של U
.2נקבל nוקטורים בלתי תלויים לינארית .במקרה זה הווקטורים יהיו חייבים להיות פורשים משום ש-
. dim F V = n
בתהליך הזה מצאנו בסיס סופי ל . U -יתר על כן ברור שמתקיים . dim F U ≤ dim F Vמש"ל ☺
משפט :20יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה Fויהי U ⊂ Vתת מרחב .אם dim F V = dim F Uאז . U = V
הוכחה :נניח בשלילה ש . U ≠ V -לפי המשפט הקודם ל U -קיים בסיס .נניח v1 ,..., vnבסיס ל V -ו u1 ,..., un -בסיס ל-
. Uיהי un +1 ∈ Vכך ש) un +1 ∉ U -קיים כזה כי הנחנו ש .( U ≠ V -לפי טענת העזר u1 ,..., un +1בלתי תלויים לינארית.
וזאת סתירה לכך ש V -נפרש ע"י ) v1 ,..., vnמאחר ש n < n + 1 -הוכחנו שחייב להתקיים שכל n + 1וקטורים הם
תלויים( .לכן . U = Vמש"ל ☺
משפט :21יהי ) . V = Sp ( u1 ,..., umאזי הקבוצה }) B = {ui : u1 ≠ 0V ,1 ≤ i ≤ m, ui ∉ Sp ( u1 ,..., ui −1היא בסיס ל. V -
משמעות :המשפט בעצם אומר שבהינתן קבוצה פורשת של וקטורים ניתן לדלל אותה עד כדי בסיס ,כלומר ניתן להוציא ממנה
איברים עד שנקבל קבוצה בלתי תלויה לינארית אך היא עדיין פורשת.
הוכחה :נוכיח ש B -קבוצה פורשת ובלתי תלויה לינארית . u1 ≠ 0V .נניח . B = n ≤ mלפי הגדרת Bלכל 2 ≤ i ≤ m
מתקיים ) ui ∉ Sp ( u1 ,..., ui −1ולכן לפי טענת העזר ממשפט ) u1 ,..., un (19בלתי תלויים לינארית.
נראה שהם פורשים את . Vנסמן ב βi1 ,..., β im−n -את הווקטורים שהושמטו מבין . u1 ,..., umלפי ההגדרה כל וקטור כזה
הוא צירוף לינארי של . u1 ,..., um
למה :יהי Vמרחב וקטורי ויהיו . α1 ,..., α k ∈ Vאם ) α k ∈ Sp (α1 ,..., α k −1אזי
) Sp (α1 ,..., α k ) = Sp (α1 ,..., α k −1
k −1
הוכחה :ברור ש . Sp (α1 ,..., α k −1 ) ⊂ Sp (α1 ,..., α k ) -אם ) α k ∈ Sp (α1 ,..., α k −1אזי . α k = ∑ ciα iיהי
i =1
k
) . v = ∑ diα i ∈ Sp (α1 ,..., akאזי
i =1
k −1
k −1
k −1
k −1
i =1
i =1
i =1
i =1
k −1
) v = ∑ diα i + d k ∑ ciα i = ∑ diα i + ∑ ( d k ci ) α i = ∑ ( di + d k ci ) α i ∈ Sp (α1 ,..., α k −1
i =1
ולכן ) . Sp (α1 ,..., α k −1 ) ⊃ Sp (α1 ,..., α kלכן ) . Sp (α1 ,..., α k ) = Sp (α1 ,..., α k −1מש"ל ☺
כעת נמספר מחדש את הווקטורים u1 ,..., umכך ש βi1 ,..., β im−n -יופיעו בסוף הרשימה .ע"י שימוש בלמה m − nפעמים
נקבל ש . V = Sp ( B ) -לכן Bבסיס ל . V -מש"ל ☺
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
21
משפט :22יהי ) V = Sp ( u1 ,..., umויהיו v1 ,..., vk ∈ Vבלתי תלויים לינארית .ניתן להשלים את v1 ,..., vkלבסיס ע"י
וקטורים מ. {u1 ,..., um } -
משמעות :בהינתן קבוצת וקטורים בלתי תלויה לינארית במרחב נוצר סופית ניתן להרחיב אותה לבסיס של המרחב בשימוש
בוקטורים היוצרים.
הוכחה :ברור ש v1 ,..., vk . V = Sp ( u1 ,..., um ) = Sp ( v1 ,..., vk , u1 ,..., um ) -בלתי תלויים לינארית ולכן כל אחד מהם אינו
צירוף לינארי של קודמיו .לכן על סמך המשפט הקודם נקבל בסיס של Vמהצורה v1 ,..., vk , u j1 ,..., u jlשכן הוקטורים
v1 ,..., vkיעברו את תהליך הסינון שהצגנו .מש"ל ☺
טענה :23יהי Vמרחב וקטורי ותהי } B = {v1 ,..., vnקבוצת וקטורים ב . V -אזי התנאים הבאים שקולים:
Bבסיס של V
Bקבוצה פורשת מינימלית
Bקבוצה בלתי תלויה לינארית מקסימלית
.1
.2
.3
הוכחה:
)א ⇐ ב( אם Bבסיס אזי היא קבוצה פורשת .נוכיח שהיא מינימלית .נניח בשלילה שהיא לא מינימלית .אזי קיים וקטור
vi ∈ Bשניתן להשמיט אותו מ B -ובכל זאת לקבל קבוצה פורשת .כלומר } B ' = {v1 ,..., vi −1 , vi +1 ,..., vnפורשת את . V
ברור ש B ' -בלתי תלויה לינארית .ולכן ' Bבסיס .אבל B ' = n − 1בסתירה לכך שבכל בסיס של Vיש אותו מספר
איברים.
)ב ⇐ א( אם Bקבוצה פורשת מינימלית בפרט היא פורשת .נראה שהיא בלתי תלויה לינארית .נניח שקיימת תלות
לינארית .לפי טענת עזר קודמת קיים 1 ≤ i ≤ nכך ש . vi ∈ Sp ( v1 ,..., vi −1 ) -אזי
) V = Sp ( v1 ,..., vi −1 , vi +1 ,..., vn ) = Sp ( v1 ,..., vi −1 , vi , vi +1 ,..., vnבסתירה למינימליות של . Bלכן Bבלתי תלויה
לינארית ולכן היא בסיס.
)א ⇐ ג( אם Bבסיס אז היא בלתי תלויה לינארית ופורשת .לכן לכל vn +1 ∈ Vמתקיים
) . vn +1 ∈ Sp ( v1 ,..., vnלכן
v1 ,..., vn , vn +1תלויים לינארית .כלומר Bקבוצה בלתי תלויה לינארית מקסימלית.
)ג ⇐ א( אם Bקבוצה בלתי תלויה לינארית מקסימלית אזי היא בפרט בלתי תלויה לינארית .נוכיח שהיא פורשת .נניח
בשלילה ש . V ≠ Sp ( v1 ,..., vn ) -אזי קיים vn +1 ∈ Vכך ש . vn +1 ∉ Sp ( v1 ,..., vn ) -לכן לפי טענת העזר v1 ,..., vn +1בלתי
תלויה לינארית ,בסתירה למקסימליות של . Bמש"ל ☺
טענה :24יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה Fויהיו U ,W ⊂ Vתת מרחבים .אזי החיתוך U ∩ Wגם כן תת מרחב של
.V
הוכחה 0V ∈ U , 0V ∈ W :משום שהם תת מרחבים ולכן 0V ∈ U ∩ Wכלומר ∅ ≠ . U ∩ W
יהיו . u, w ∈ U ∩ Wאזי . u, w ∈ V , u , w ∈ Wלכן u + w ∈ V , u + w ∈ Wומכאן ש u + w ∈ U ∩ W -כלומר יש
סגירות תחת חיבור.
יהיו v ∈ U ∩ Wו . c ∈ F -אזי v ∈ U , v ∈ Wולכן . cv ∈ U , cv ∈ Wמכאן ש cv ∈ U ∩ W -כלומר יש סגירות תחת
כפל בסקלר .לכן U ∩ Wתת מרחב וקטורי של . Vמש"ל ☺
הגדרה :יהי Vמרחב וקטורי ויהיו U ,W ⊂ Vתת מרחבים .נסמן
} U + W = {u + w : u ∈ U , w ∈ W
טענה :25יהי Vמרחב וקטורי ויהיו U ,W ⊂ Vתת מרחבים .אזי U + Wתת מרחב וקטורי של . V
הוכחה 0V ∈ U , 0V ∈ W :משום שהם תת מרחבים ולכן 0V = 0V + 0V ∈ U + Wכלומר ∅ ≠ . U + W
יהיו . v1 , v2 ∈ U + Wאזי v1 = u1 + w1 , v2 = u2 + w2כאשר . u1 , u2 ∈ U , w1 , w2 ∈ Wלכן
u1 + u2 ∈ U , w1 + w2 ∈ Wו v1 + v2 = ( u1 + w1 ) + ( u2 + w2 ) = ( u1 + u2 ) + ( w1 + w2 ) ∈ V + W -ומכאן ש-
v1 + v2 ∈ U + Wכלומר יש סגירות תחת חיבור.
יהיו v ∈ U + Wו . c ∈ F -אזי v = u + wכאשר . u ∈ U , w ∈ Wאזי cu ∈ U , cw ∈ Wולכן
. cv = c ( u + w ) = cu + cw ∈ U + Wמכאן ש cv ∈ U + W -כלומר יש סגירות תחת כפל בסקלר .לכן U + Wתת
מרחב וקטורי של . Vמש"ל ☺
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
22
נעיר רק שאם U ,W ⊂ Vתת מרחבים אזי U ∪ Wאינו בהכרח תת מרחב .למשל אם נסתכל על 3ועל תת המרחבים
שלו – הציר האופקי והציר האנכי – ניווכח שהאיחוד שלהם אינו תת מרחב כמובן .למשל ) ( 0,1) + (1, 0 ) = (1,1ונקודה זו
אינה נמצאת על אף אחד מהצירים .כלומר בדוגמה זו אין סגירות תחת חיבור.
אבל ,אם W ∪ Uתת מרחב אזי בהכרח W ⊂ Uאו . U ⊂ W
משפט :26יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית .יהיו U ,W ⊂ Vתת מרחבים .אזי
) dim F (U + W ) = dim F U + dim F V − dim F (U ∩ W
הוכחה :ראשית נראה ציור סכמטי של המצב:
V
U +W
U ∩W
W
U
U ∩ Wתת מרחב של מרחב וקטורי נוצר סופית Vולכן ניתן לבחור לו בסיס U ∩ W . v1 ,..., vmהוא גם תת מרחב של
Uולכן ניתן להשלים את v1 ,..., vmלבסיס של Uכך . v1 ,..., vm , u1 ,..., uk :אבל U ∩ Wהוא גם תת מרחב של W
ולכן ניתן להשלים את v1 ,..., vmלבסיס של Wכך. v1 ,..., vm , w1 ,..., wl :
נטען שהווקטורים v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wlהם בסיס של . U + W
נראה שהקבוצה פורשת :יהי . v ∈ U + Wאזי קיימים u ∈ U , w ∈ Wכך ש . v = u + w -ניתן לרשום אז
k
m
l
m
i =1
i =1
i =1
i =1
u = ∑ ai vi + ∑ bi uiו w = ∑ ci vi + ∑ di wi -ואז
l
m
i =1
i =1
m
k
= v = u + w = ∑ ai vi + ∑ bi ui + ∑ ci vi + ∑ di wi
i =1
i =1
l
k
i =1
i =1
m
) = ∑ ( ai + ci ) vi + ∑ bi ui + ∑ di wi ∈ Sp ( v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl
i =1
משום ש v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl ∈ U + W -נקבל שהם פורשים את . U + W
נראה שהקבוצה בלתי תלויה לינארית :נניח ש= 0V -
l
m
k
∑a v + ∑b u + ∑d w
i
i i
i
i =1
i i
i =1
ונראה שכל המקדמים הם איבר האפס של
i =1
השדה.
l
m
k
נסמן . z = ∑ ai vi + ∑ bi ui = −∑ di wiלכן z ∈ Uוגם z ∈ Wולכן . z ∈ U ∩ Wלכן נוכל לרשום
i =1
i =1
i =1
k
m
m
i =1
i =1
i =1
z = ∑ ci vi = ∑ ci vi + ∑ 0 F uiכלומר ל z -יש שתי הצגות כצירוף לינארי של הבסיס של . Uבגלל יחידות ההצגה
l
m
i =1
i =1
נקבל . 1 ≤ i ≤ k , bi = 0 Fלכן . ∑ ai vi + ∑ di wi = 0Vאבל v1 ,..., vm , w1 ,..., wlבסיס של Wולכן הם בלתי תלויים
לינארית ולכן נקבל . d1 = ... = dl = a1 = ... = am = 0Fכלומר v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wlבלתי תלויים לינארית.
מכאן נובע ש v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl -הם בסיס.
כעת נקבל:
) dim F (U + W ) = m + k + l = ( m + k ) + ( m + l ) − m = dim F U + dim F W − dim F (U ∩ W
כלומר ) . dim F (U + W ) = dim F U + dim F W − dim F (U ∩ Wמש"ל ☺
לסיכום ,נציין טענה מגניבה :יהי Fשדה בעל מציין . p > 0אזי קיים nכך ש. F = p n -
הוכחה :ראשית נשים לב שאם Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל , pאזי קיים איזומורפיזם בין Vלבין מרחב ה- n -יות
} , {( a1 ,..., an ) : ai ∈ pשהרי כל וקטור ניתן להציג באופן יחיד כצירוף לינארי של איברי הבסיס ,ואז ) ( a1 ,..., anהיא ה-
- nיה שמייצגת את המקדמים בהצגה זו .ברור ש-
n
{( a ,..., a ) : a ∈ } = p
p
i
n
1
ולכן . V = p n
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
23
כעת נחזור לבעיה שלנו .לפי משפט ) (8קיים ל F -תת שדה Kאיזומורפי ל . p -כעת נסתכל על Fכמרחב וקטורי מעל
. Kברור אז ש F -נוצר סופית ,שהרי Fעצמו סופי .נניח שהמימד הוא nואז לפי מה שאמרנו קודם . F = p nמש"ל
☺
.4העתקות לינאריות
.4.1
תכונות כלליות של העתקות
יהיו A, Bקבוצות של איברים כלשהם f : A → B .העתקה מ A -ל B -היא התאמה של איבר אחד ויחיד מ B -לכל
איבר של . Aאם ל a ∈ A -מותאם b ∈ Bמסמנים . f ( a ) = b
על כל קבוצה Aניתן להגדיר העתקה שלא עושה דבר ,והיא נקראת העתקת הזהות Id A : A → Aולכל a ∈ Aמתקיים
. Id A ( a ) = a
נאמר שההעתקה fהיא חד-חד-ערכית )להלן חח"ע( כאשר לכל , a, b ∈ Aאם ) f ( a ) = f ( bאז . a = b
נאמר שההעתקה fהיא על אם לכל b ∈ Bקיים a ∈ Aכך ש. f ( a ) = b -
נשים ♥ שמראש תנאים אלה לא נתונים לנו .ההעתקה מתאימה איבר אחד ויחיד b ∈ Bלכל איבר . a ∈ Aכלומר לא יכול
להיות '' f ( a ) = b ', f ( a ) = bאבל '' b ' ≠ bוכן לא יכול להיות שקיים a ∈ Aשלא מותאם לו איבר ב . B -אבל יכול
להיות ש f ( a ') = f ( a '') -ו a ' ≠ a '' -וכן יכול להיות שיש איזה b ∈ Bשלא קיים a ∈ Aכך ש. f ( a ) = b -
אם העתקה f : A → Bהיא חח"ע ועל קיימת העתקה שנקראת ההעתקה ההפכית שנסמנה f −1 : B → Aוהיא מקיימת ש-
) f ( a ) = b ⇔ f −1 ( b ) = aלא נוכיח זאת במסגרת זו(.
יהיו A, B, Cקבוצות ויהיו f : A → B, g : B → Cהעתקות .נגדיר את ההרכבה g f : A → Cבאופן הבא :לכל
.†††† ( g f )( a ) = g ( f ( a ) ) a ∈ Aכלומר קודם מפעילים את fעל aולאחר מכן מפעילים את gעל התוצאה.
באופן סכמטי:
f
g
B
C
)) g ( f ( a
)f (a
A
a
g f
אם f : A → B, f −1 : B → Aהופכיות אזי . f f −1 = Id B , f −1 f = Id A
נטען שפעולת הרכבת ההעתקות היא אסוציאטיבית .יהיו . f : A → B, g : B → C , h : C → Dאזי לכל a ∈ Aמתקיים
)
(
) . ( h ( gf ) ) ( a ) = h ( ( gf )( a ) ) = h g ( f ( a ) ) = ( hg ) ( f ( a ) ) = ( ( hg ) f ) ( aכלומר ) . ( hg ) f = h ( gf
†††† להבא נשמיט את הסימן .מההקשר יהיה ברור למה הכוונה.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.4.2
24
העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים
אם הקבוצות הן מרחבים וקטוריים אזי ההעתקה היא בין מרחבים וקטוריים )דה!( .אנחנו נתעניין בסוג מסוים של העתקות:
העתקות לינאריות .העתקות אלה מוגדרות על מרחבים וקטוריים רק במקרה ששניהם מוגדרים מעל אותו השדה.
יהי ,אם כן שדה Fויהיו V , Wמרחבים וקטוריים מעל . Fותהי f : V → Wהעתקה ביניהם .נאמר שההעתקה fהיא
לינארית כאשר מתקיימים שני התנאים הבאים:
∀v1 , v2 ∈ V
) f ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2
) f ( cv ) = cf ( v
∀v ∈ V , ∀c ∈ F
ההגדרה מסבירה לנו מדוע קבענו שהמרחבים צריכים להיות מעל אותו השדה .אחרת אין משמעות לביטוי ) . cf ( v
נשים ♥ שהעתקת הזהות על מרחב וקטורי היא לינארית . IdV : V → V :אזי לכל v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ Fמתקיימים התנאים
הנחוצים:
) IdV ( v1 + v2 ) = v1 + v2 = IdV ( v1 ) + IdV ( v2
) IdV ( cv ) = cv = cIdV ( v
טענה :27יהיו V ,U ,Wמרחבים וקטוריים מעל שדה . Fיהיו f : V → Uו g : U → W -העתקות לינאריות .אזי
g f : V → Wלינארית.
הוכחה :נראה שמתקיימים שני התנאים של הגדרת העתקה לינארית .יהיו . v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ Fאזי:
) ( g f )( v1 + v2 ) = g ( f ( v1 + v2 ) ) = g ( f ( v1 ) + f ( v2 ) ) = g ( f ( v1 ) ) + g ( f ( v2 ) ) = ( g f )( v1 ) + ( g f )( v2
) ) ( g f )( cv ) = g ( f ( cv ) ) = g ( cf ( v ) ) = cg ( f ( v ) ) = c ( ( g f )( v
הראינו שמתקיימות שתי התכונות של העתקות לינאריות .לכן g fלינארית .מש"ל ☺
טענה :28אם f : V → Wהעתקה לינארית חח"ע ועל אזי גם f −1 : W → Vלינארית.
הוכחה :יהיו . w1 , w2 , w ∈ W , c ∈ Fנראה שמתקיימים שני התנאים של ההגדרה של העתקה לינארית.
נסמן v1 = f −1 ( w1 ) , v2 = f −1 ( w2 ) ∈ Vכלומר . f ( v1 ) = w1 , f ( v2 ) = w2 ∈ Wכעת
. f ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2 ) = w1 + w2נפעיל את f −1משני האגפים ונקבל
) f −1 ( w1 ) + f −1 ( w2 ) = v1 + v2 = IdV ( v1 + v2 ) = ( f −1 f ) ( v1 + v2 ) = f −1 ( f ( v1 + v2 ) ) = f −1 ( w1 + w2
באופן דומה נסמן ) v = f −1 ( wכלומר ) . w = f ( vאזי . f ( cv ) = cf ( v ) = cwנפעיל את f −1משני האגפים ונקבל
) . cf −1 ( w ) = cv = IdV ( cv ) = ( f −1 f ) ( cv ) = f −1 ( cwמש"ל ☺
טענה :29תהי f : V → Wהעתקה לינארית .אזי . f ( 0V ) = 0W
הוכחה . f ( 0v ) = f ( 0V + 0V ) = f ( 0V ) + f ( 0V ) :נחבר לשני האגפים ) − f ( 0Vונקבל . f ( 0V ) = 0Wמש"ל ☺
תהי f : V → Wהעתקה לינארית .נגדיר:
הגרעין של ההעתקהKer f = {v ∈ V : f ( v ) = 0} :
התמונה של ההעתקהIm f = {w ∈ W : ∃v ∈ V f ( v ) = w} :
טענה :30יהיו V , Wמרחבים וקטוריים מעל Fותהי העתקה לינארית . f : V → Wאזי
א .הגרעין של ההעתקה הוא תת מרחב של V
ב .התמונה של ההעתקה היא תת מרחב של W
הוכחה:
א .לפי טענה ) . 0V ∈ Ker f (29נראה סגירות לחיבור ולכפל בסקלר :יהיו . v1 , v2 , v ∈ Ker f , c ∈ Fאזי
f ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2 ) = 0W + 0W = 0Wוכן . f ( cv ) = cf ( v ) = c ⋅ 0W = 0Wקיבלנו ש-
. v1 + v2 , cv ∈ Ker fלפי משפט קודם Ker fתת מרחב וקטורי.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
ב.
25
לפי טענה ) . 0W ∈ Im f (29נראה סגירות לחיבור ולכפל בסקלר :יהיו . w1 , w2 , w ∈ Im f , c ∈ Fאזי קיימים
v1 , v2 , v ∈ Vכך ש . f ( v1 ) = w1 , f ( v2 ) = w2 , f ( v ) = w -אזי f ( v1 + v2 ) = w1 + w2וכן f ( cv ) = cw
כלומר . w1 + w2 , cw ∈ Im fלפי משפט קודם Im fהוא תת מרחב וקטורי .מש"ל ☺
טענה f : V → W :31חח"ע אמ"מ } Ker f = {0V
הוכחה:
) ⇐ ( לפי טענה ) . f ( 0V ) = 0W (29משום ש f -חח"ע לא קיים אף איבר אחר v ≠ 0Vשעבורו f ( v ) = 0ולכן
} . Ker f = {0V
) ⇒ ( יהיו v1 , v2כך ש . f ( v1 ) = f ( v2 ) -אזי ) . 0W = f ( v1 ) − f ( v2 ) = f ( v1 − v2כלומר v1 − v2 ∈ Ker fאבל
} , Ker f = {0Vכלומר v1 − v2 = 0Vולכן . v1 = v2כלומר fחח"ע .מש"ל ☺
נשים לב שהעתקה חח"ע מעבירה וקטורים בלתי תלויים לינארית לווקטורים בלתי תלויים לינארית .כלומר אם v1 ,..., vk
בת"ל ו f : V → W -חח"ע אז ) f ( v1 ) ,..., f ( vkבת"ל .מדוע? אם v1 ,..., vkבת"ל אז אם = 0V
k
∑a v
i i
אז
i =1
k
k
k
. ai = 0 Fנניח ש . ∑ ci f ( vi ) = 0W -אבל בגלל הלינאריות של . ∑ ci f ( vi ) = f ∑ ci vi fכלומר
i =1
i =1
i =1
k
} . ∑ ci vi ∈ Ker f = {0Vלכן . ci = 0 Fולכן ) f ( v1 ) ,..., f ( vkבת"ל.
i =1
טענה :32יהיו . f : V → W , g : W → Uאזי ) Ker f ⊆ Ker ( gf
הוכחה :יהי . v ∈ Ker fאזי . ( gf )( v ) = g ( f ( v ) ) = g ( 0 ) = 0כלומר ) . v ∈ Ker ( gfמכאן הטענה
) . Ker f ⊆ Ker ( gfמש"ל ☺
משפט ) 32משפט המימדים( :יהי Vמרחב וקטורי נוצר סופית ותהי f : V → Wהעתקה לינארית .אזי
dim F Ker f + dim F Im f = dim F V
הערה :במשפט מובלעות בעצם עוד שתי טענות :שקיים בסיס לגרעין )אבל זה ברור כי הוא תת מרחב של מרחב וקטורי נוצר
סופית ולכן לפי משפט קודם קיים לו בסיס( וקיים בסיס לתמונה )התמונה היא בכלל תת מרחב של Wואנחנו לא יודעים עליו
דבר(.
הוכחה:
למה :אם ) V = Sp ( z1 ,..., zmאזי ) ) . Im f = Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm
הערה :הלמה מסבירה מדוע קיים בסיס לתמונה של fולכן השוויון שלעיל מוגדר היטב.
הוכחה :נוכיח הכלה בשני הכיוונים:
) ⊇ ( f ( z1 ) ∈ Im fשהרי z1 ∈ Vהוא מקור שלו .באותו אופן f ( zi ) ∈ Im fלכל . 2 ≤ i ≤ mוהוכחנו
ש Im f ⊆ W -הוא תת מרחב .לכן הוא סגור לחיבור ולכפל בסקלר .לכן ) ) . Im f ⊇ Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm
) ⊆ ( יהי . w ∈ Im fאזי קיים v ∈ Vכך ש . f ( v ) = w -אבל ) V = Sp ( z1 ,..., zmולכן ניתן לרשום
m
m
m
v = ∑ ai ziכאשר . ai ∈ Fאז ) ) . f ( v ) = f ∑ ai zi = ∑ ai f ( zi ) ∈ Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zmכלומר
i =1
i =1
i =1
) ) . Im f ⊆ Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm
הראנו הכלה בשני היכוונים ומכאן ש☺ . Im f = Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm ) ) -
נעשה ציור סכמטי של המצב:
f
W
V
0W
Im f
Ker f
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
26
נבחר בסיס u1 ,..., ukל) Ker f -זה אפשרי משום ש V -נוצר סופית והגרעין הוא תת מרחב שלו(.
נבחר בסיס w1 ,..., wlל) Im f -זה אפשרי לפי הלמה( .כלומר קיימים v1 ,..., vl ∈ Vכך ש f ( vi ) = wi -לכל . 1 ≤ i ≤ l
אם נראה ש u1 ,..., uk , v1 ,..., vl -הם בסיס של Vנקבל את השוויון הדרוש כי אז
. dim F Ker f + dim F Im f = k + l = dim F Vנראה אם כן ש u1 ,..., uk , v1 ,..., vl -פורשים את Vובת"ל.
פורשים u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ∈ V :ולכן . Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ) ⊆ Vנראה הכלה בכיוון השני :יהי . v ∈ Vנראה ש-
) . v ∈ Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vlנסתכל על . f ( v ) ∈ Im fנפתח את ) f ( vלפי הבסיס : w1 ,..., wl
l
l
l
l
. f ( v ) = ∑ ai wi = ∑ ai f ( vi ) = f ∑ ai vi לכן f ( v ) − f ∑ ai vi = 0כלומר . v − ∑ ai vi ∈ Ker fנפתח
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
l
k
l
i =1
i =1
וקטור זה לפי הבסיס . v − ∑ ai vi = ∑ bi ui ∈ Ker f : u1 ,..., ukנעביר אגפים ונקבל
l
k
) Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ) ⊇ V . v = ∑ ai vi + ∑ bi ui ∈ Sp ( v1 ,..., vl , u1 ,..., ukלכן Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ) = V
i =1
i =1
l
k
אי תלות :נניח ש . ∑ ai vi + ∑ bi ui = 0V -אזי:
i =1
i =1
l
l
0W = f ( 0V ) = f ∑ ai vi + ∑ bi ui = ∑ ai f ( vi ) + ∑ bi f ( ui ) = ∑ ai wi + ∑ bi ⋅ 0W = ∑ ai wi + 0W = ∑ ai wi
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
l
k
l
k
l
k
k
k
k
l
i =1
i =1
i =1
i =1
אבל w1 ,..., wlבסיס ובפרט בת"ל ,לכן . ai = 0כלומר . 0V = ∑ ai vi + ∑ bi ui = 0W + ∑ bi ui = ∑ bi uiאבל
u1 ,..., ukבסיס ובפרט בת"ל ולכן . bi = 0קיבלנו שכל המקדמים הם . 0לכן u1 ,..., uk , v1 ,..., vlבת"ל.
קיבלנו ש u1 ,..., uk , v1 ,..., vl -פורשים ובת"ל ולכן הם בסיס ל V -וכפי שראינו כבר מכאן נובע המשפט .מש"ל ☺
משפט המימדים הוא יעיל מאוד ומשתמשים בו רבות .למשל ,הוכחנו שהעתקה היא חח"ע ועל אמ"מ
. Ker f = {0V } , Im f = Wאז נקבל . dim F V = dim F Ker f + dim F Im f = 0 + dim F W = dim F W
יהיו V , Wמרחבים וקטוריים מעל . Fנסמן } . Hom F (V ,W ) = { f : V → W | f is linearנגדיר על קבוצה זו
)קבוצת כל ההעתקות הלינאריות מ V -ל ( W -מבנה של מרחב וקטורי מעל . F
f
+
g
v
(
חיבור :אם ) f , g ∈ Hom F (V ,Wאז נגדיר לכל )( ) = f ( v ) + g ( v ) v ∈ V
כפל בסקלר :אם f ∈ Hom F (V , W ) , c ∈ Fנגדיר לכל . ( cf )( v ) = cf ( v ) v ∈ V
טענה Hom F (V ,W ) :33עם הפעולות שהגדרנו למעלה הוא מרחב וקטורי מעל . F
הוכחה :נראה שמתקיימות כל אקסיומות המרחב הווקטורי:
אקסיומות החיבור:
.1סגירות :יהיו ) . f , g ∈ Hom F (V ,Wנראה ש: f + g ∈ Hom F (V , W ) -
.i
יהיו . v1 , v2 ∈ Vאזי:
= ) + g )( v1 + v2 ) = f ( v1 + v2 ) + g ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2 ) + g ( v1 ) + g ( v2
(f
) = f ( v1 ) + g ( v1 ) + f ( v2 ) + g ( v2 ) = ( f + g )( v1 ) + ( f + g )( v2
.ii
יהיו . v ∈ V , c ∈ Fאזי:
) ) + g )( cv ) = f ( cv ) + g ( cv ) = cf ( v ) + cg ( v ) = c ( f ( v ) + g ( v ) ) = c ( ( f + g )( v
(f
הראנו שמתקיימות התכונות של העתקה לינארית .לכן ) . f + g ∈ Hom F (V , W
.2
קומוטטיביות :לכל v ∈ Vמתקיים ) . ( f + g )( v ) = f ( v ) + g ( v ) = g ( v ) + f ( v ) = ( g + f )( vלכן
.3
. f +g = g+ f
אסוציאטיביות :לכל v ∈ Vמתקיים
= ) ) ( f + ( g + h ) ) ( v ) = f ( v ) + ( g + h )( v ) = f ( v ) + ( g ( v ) + h ( v
) = ( f ( v ) + g ( v ) ) + h ( v ) = ( f + g )( v ) + h ( v ) = ( ( f + g ) + h ) ( v
לכן . f + ( g + h ) = ( f + g ) + h
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.4
27
קיום אפס :נגדיר העתקה 0V ,W : V → Wבאופן הבא . 0V ,W ( v ) = 0W :ראשית נטען ש-
) . 0V ,W ∈ Hom F (V ,Wיהיו . v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ Fאזי
) 0V ,W ( v1 + v2 ) = 0W = 0W + 0W = 0V ,W ( v1 ) + 0V ,W ( v2
) 0V ,W ( cv ) = 0W = c ⋅ 0W = c ⋅ 0V ,W ( v
כעת נראה שהעתקה זו היא אכן איבר ניטרלי לחיבור ב . Hom F (V ,W ) -תהי ) . f ∈ Hom F (V , Wאזי
) . ( f + 0V ,W ) ( v ) = f ( v ) + 0V ,W ( v ) = f ( v ) + 0W = f ( vלכן , f + 0V ,W = fכלומר ,העתקה זו
.5
ניטרלית לחיבור.
קיום איבר נגדי :לכל
) f ∈ Hom F (V , Wנגדיר − f : V → Wבאופן הבא . ( − f )( v ) = − f ( v ) :ראשית
נראה ש . − f ∈ Hom F (V , W ) -יהיו . v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ Fאזי
) ( − f )( v1 + v2 ) = − f ( v1 + v2 ) = − ( f ( v1 ) + f ( v2 ) ) = − f ( v1 ) + ( − f ( v2 ) ) = ( − f )( v1 ) + ( − f )( v2
) ) ( − f )( cv ) = − f ( cv ) = − ( cf ( v ) ) = c ( − f ( v ) ) = c ( ( − f )( v
לכן ) . − f ∈ Hom F (V , Wנראה כעת שהיא נגדית ל . f -לכל v ∈ Vמתקיים
, ( f + ( − f ) ) ( v ) = f ( v ) + ( − f )( v ) = f ( v ) + ( − ( f ( v ) ) ) = 0Wכנדרש!
אקסיומות כפל בסקלר:
.1סגירות :יהיו ) f ∈ Hom F (V , Wו . c ∈ F -נראה ש: cf ∈ Hom F (V ,W ) -
.i
יהיו . v1 , v2 ∈ Vאזי:
) ( cf )( v1 + v2 ) = cf ( v1 + v2 ) = c ( f ( v1 ) + f ( v2 ) ) = cf ( v1 ) + cf ( v2 ) = ( cf )( v1 ) + ( cf )( v2
.ii
יהיו . v ∈ V , a ∈ Fאזי:
) ) ( cf )( av ) = cf ( av ) = c ( af ( v ) ) = ( ca ) f ( v ) = ( ac ) f ( v ) = a ( cf ( v ) ) = a ( ( cf )( v
הראנו שמתקיימות התכונות של העתקה לינארית .לכן ) . cf ∈ Hom F (V ,W
.2לכל ) f ∈ Hom F (V , Wמתקיים ) (1F f )( v ) = 1F f ( v ) = f ( vולכן . 1F f = f
.3לכל ) f , g ∈ Hom F (V ,Wו a, b ∈ F -מתקיים:
) ( ( a + b ) f ) ( v ) = ( a + b ) f ( v ) = af ( v ) + bf ( v ) = ( af )( v ) + ( bf )( vכלומר ( a + b ) f = af + bf
) ( a ( f + g ) ) ( v ) = a ( ( f + g )( v ) ) + a ( f ( v ) + g ( v ) ) = af ( v ) + ag ( v ) = ( af )( v ) + ( ag )( vכלומר
. a ( f + g ) = af + ag
הוכחנו שמתקיימות כל אקסיומות המרחב הווקטורי .לכן ) Hom F (V ,Wמרחב וקטורי ביחס לפעולות שהגדרנו .מש"ל ☺
משפט :34יהי V , Wמרחבים וקטוריים מעל אותו שדה .יהיו v1 ,..., vn ∈ Vבסיס .אזי לכל w1 ,..., wn ∈ Wקיימת
העתקה לינארית יחידה f : V → Wכך ש f ( vi ) = wi -לכל . 1 ≤ i ≤ n
n
הוכחה :לכל v ∈ Vקיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס . v = ∑ ai viנגדיר f : V → Wבאופן הבא:
i =1
n
. f ( v ) = ∑ ai wiנראה שהעתקה זו מקיימת את התנאים הדרושים:
i =1
.1
f : V → Wלינארית:
.i
n
n
i =1
i =1
יהיו . v ' = ∑ ci ' vi , v '' = ∑ ci '' vi ∈ Vאזי
n
n
n
= f ( v '+ v '') = f ∑ ci ' vi + ∑ ci '' vi = f ∑ ( ci '+ ci '') vi
i =1
i =1
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
) '' = ∑ ( ci '+ ci '') wi = ∑ ci ' wi + ∑ ci '' wi = f ( v ') + f ( v
n
.ii
יהיו v = ∑ ci vi ∈ Vו . a ∈ F -אזי
i =1
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
.2
28
n
n
n
n
) f ( av ) = f a ∑ ci vi = f ∑ aci vi = ∑ aci wi = a ∑ ci wi = af ( w
i =1
i =1
i =1
i =1
לכל : f ( vi ) = wi 1 ≤ i ≤ nברור ש . vi = ∑ 0 ⋅ v j + 1 ⋅ vi -לכן
j ≠i
.3
f ∑ 0 ⋅ v j + 1⋅ vi = ∑ 0 ⋅ w j + 1 ⋅ wi = wi
j ≠i
j ≠i
f : V → Wעם תכונות אלה היא יחידה :תהי g : V → Wהעתקה לינארית שמקיימת . g ( vi ) = wiנראה
n
שלכל v ∈ Vמתקיים ) g ( v ) = f ( vומכאן ינבע כי . f = gנניח כי . v = ∑ ai viמהלינארית של gנקבל
i =1
n
n
n
ש. g ( v ) = g ∑ ai vi = ∑ ai g ( vi ) = ∑ ai wi = f ( v ) -
i =1
i =1
i =1
הראנו את הדרוש .מש"ל ☺
.4.3
העתקות לינאריות ומטריצות
מטריצה היא טבלה של איברים בשדה מסוים .אם מספר השורות במטריצה הוא mומספר העמודות הוא nאומרים
שהמטריצה היא מסדר . m × nמסמנים:
a1,1 … a1, n
A = ( ai , j ) =
a
m,1 am, n
נסמן את האיבר של Aשעומד בשורה iובטור jע"י . [ A]i , j
יהיו V , Wמרחבים וקטוריים מעל שדה Fויהיו A = {v1 ,..., vn } ⊆ Vו B = {w1 ,..., wm } ⊆ W -בסיסים שלהם.
כלומר . dim F V = n, dim F W = mתהי f : V → Wהעתקה לינארית .נבדוק איך היא פועלת על איברי הבסיס של
m
: Vנניח שלכל 1 ≤ j ≤ nמתקיים f ( v j ) = ∑ ai , j wiכאשר . ai , j ∈ F
i =1
נוכל להתאים להעתקה הזו מטריצה שנסמנה ב) Af -או ב ( [ f ]B -מסדר m × nכך . Af = ( ai , j ) :כלומר בטור ה- j -י של
A
המטריצה נרשום את המקדמים בפיתוח של ) f ( v jלפי הבסיס שבחרנו ל . W -ברור שאם היינו בוחרים בסיס אחר
המטריצה הייתה אחרת ,כלומר האיברים היו שונים ,אבל הסדר של המטריצה היה נשאר אותו הסדר .נשים לב שיש משמעות
לסדר הווקטורים בבסיס .כלומר כשאנחנו בוחרים כאן בסיס אנחנו בוחרים בסיס סדור!!! כמובן הדברים לא שונים בצורה
מהותית לכל סדר שנבחר ,אך יש להיות עקביים בחישובים שלנו .מטריצה כזאת כמובן מוגדרת באופן יחיד בהינתן שני
בסיסים ,שהרי כידוע שההצגה של וקטור כצירוף לינארי של בסיס היא יחידה!
דוגמה :נסתכל על f : 3 → 2שמוגדרת כך. f ( x, y, z ) = ( 3x − 2 y + 5 z , − x + 2 y − 10 z ) :
קל להיווכח שזו אכן העתקה לינארית.
כעת נסתכל על הבסיסים הסטנדרטיים של : ,
2
3
) ) . E2 = ( (1, 0 ) , ( 0,1) ) , E3 = ( (1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1נבדוק
איך ההעתקה פועלת על הבסיס : E3
)f (1, 0, 0 ) = ( 3, −1) = 3 (1, 0 ) + ( −1)( 0,1
)f ( 0,1, 0 ) = ( −2, 2 ) = −2 (1, 0 ) + 2 ( 0,1
)f ( 0, 0,1) = ( 5, −10 ) = 5 (1, 0 ) + ( −10 )( 0,1
לכן לפי מה שהגדרנו למעלה המטריצה המתאימה ל f -היא מסדר 2 × 3 = dim 2 × dim 3והיא
3 −2 5
Af =
−1 2 −10
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
29
משפט :35יהי v1 ,..., vn ∈ Vבסיס של Vויהי w1 ,..., wm ∈ Wבסיס של . Wאזי לכל מטריצה Aמסדר m × n
קיימת העתקה לינארית f : V → Wיחידה כך ש. Af = A -
m
הוכחה :נתונה ) A = ( ai , jמסדר . m × nנגדיר u j = ∑ ai , j wi ∈ Wלכל . 1 ≤ j ≤ nלפי משפט ) (9קיימת העתקה
i =1
m
לינארית f : V → Wיחידה כך ש f ( v j ) = u j -לכל . 1 ≤ j ≤ nכלומר . f ( v j ) = ∑ ai , j wiאבל לפי ההגדרה
i =1
. Af = ( ai , j ) = Aמש"ל ☺
נסמן את קבוצת כל המטריצות מסדר m × nשהאיברים שלהן ב F -ע"י ) . M m, n ( Fנגדיר חיבור של מטריצות :יהיו
) . A, B ∈ M n , m ( Fאם ) A = ( ai , j ) , B = ( bi , jנגדיר ) ) A + B = ( ai , j + bi , jכלומר מחברים את כל איברי המטריצה
איבר-איבר(.
נגדיר גם כפל של מטריצה בסקלר .אם ) A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( Fו c ∈ F -נגדיר ) ) cA = ( cai , jכלומר כופלים כל איבר
במטריצה בסקלר(.
טענה :36בהינתן f , g ∈ Hom F (V , W ) , c ∈ Fמתקיים . Af + g = Af + Ag , Acf = cAf
הוכחה :יהיו f , g , cכנ"ל .יהי v1 ,..., vn ∈ Vבסיס של Vויהי w1 ,..., wm ∈ Wבסיס של . Wאם
m
m
i =1
i =1
f ( v j ) = ∑ ai , j wi , g ( v j ) = ∑ bi , j wiאז לפי הגדרה ) . Af = ( ai , j ) , Ag = ( bi , jלכל v jמתקיים
m
m
m
i =1
i =1
i =1
) . ( f + g ) ( v j ) = f ( v j ) + g ( v jלכן ( f + g ) ( v j ) = ∑ ai , j wi + ∑ bi , j wi = ∑ ( ai , j + bi , j ) wiואז לפי ההגדרה
. Af + g = ( ai , j + bi , j ) = Af + Ag
m
m
i =1
i =1
כעת אם ( cf ) ( v j ) = cf ( v j ) = c ∑ ai , j wi = ∑ cai , j wiולכן לפי ההגדרה . Acf = ( cai , j ) = c ( ai , j ) = cAfמש"ל ☺
טענה :37יהיו V , Wמרחבים וקטוריים מעל Fממימד n, mבהתאמה .נגדיר ) ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( Fבאופן
הבא . ϕ ( f ) = Af :אזי ϕאיזומורפיזם.
הוכחה :יש להראות שמתקיימות כל ההגדרות של איזומורפיזם .ההנחה היא כמובן שנתונים בסיסים לשני המרחבים.
ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( F ) .1לינארית:
.2
.i
יהיו ) . f , g ∈ Hom F (V ,Wאזי לפי טענה )ϕ ( f + g ) = Af + g = Af + Ag = ϕ ( f ) + ϕ ( g ) (36
.ii
תהי ) f ∈ Hom F (V , Wויהי . c ∈ Fאזי לפי טענה )ϕ ( cf ) = Acf = cAf = cϕ ( f ) (36
) ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( Fחח"ע :יהיו ) f , g ∈ Hom F (V ,Wכך ש , ϕ ( f ) = ϕ ( g ) -כלומר
. Af = Agנראה שלכל f ( v j ) = g ( v j ) v jומכאן ינבע כי f = gשהרי אם העתקות פועלות באותו אופן על
בסיס הן פועלות באותו אופן לכל וקטור .ובכן ,לפי ההגדרהwi = g ( v j ) :
m
∑b
i, j
i =1
A f = Ag
m
= . f ( v j ) = ∑ ai , j wi
i =1
כלומר f = gולכן ϕחח"ע.
.3
) ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( Fעל :לפי משפט ) (35לכל ) A ∈ M m, n ( Fקיימת ) f ∈ Hom F (V , Wכך
ש A = Af -כלומר . ϕ ( f ) = Af = A
הראנו ש ϕ -לינארית ,חח"ע ועל ,ולכן היא איזומורפיזם .מש"ל ☺
מסקנה M m, n ( F ) :38מרחב וקטורי מעל . F
הוכחה :הראנו איזומורפיזם בין הקבוצה ) M m, n ( Fלבין המרחב הוקטורי ) Hom F (V ,Wולכן גם הקבוצה ) M m, n ( F
היא מרחב וקטורי .מש"ל ☺
הערה :ניתן כמובן גם להוכיח את המסקנה ע"י בדיקה ישירה של קיום אקסיומות המרחב הווקטורי ,אבל אין שום סיבה לעשות
את זה .כבר כשדיברנו על שדות ציינו שאיזומורפיזמים הם העתקות יעילות ביותר!
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
30
משפט dim F M m , n ( F ) = m ⋅ n :39
הוכחה :לכל 1 ≤ j ≤ n,1 ≤ i ≤ mנגדיר ) Eij = ( ek ,l ) ∈ M m, n ( Fכאשר ek ,l = 0לכל k ≠ i, l ≠ jו. ei , j = 1 -
כלומר כל איברי המטריצה עם אפסים מלבד השורה ה i -בטור ה j -ושם יש . 1ברור שיש m ⋅ nמטריצות כאלה .נטען ש-
{ Ei , j }1≤ i ≤ mבסיס של ) . M m, n ( F
1≤ j ≤ n
n
m
נראה שהקבוצה { Ei , j }1≤i ≤ mפורשת :תהי ) . A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( Fברור שEi , j = ∑∑ ai , j Ei , j -
1≤ j ≤ n
∑a
i, j
i =1 j =1
0 0
נראה שהקבוצה { Ei , j }1≤ i ≤ mבת"ל :נניח ש= -
1≤ j ≤ n
0 0
. ai , j = 0 1 ≤ j ≤ n,1 ≤ i ≤ m
n
m
=.A
1≤ i ≤ m
1≤ j ≤ n
n
m
. ∑∑ ai , j Ei , jאבל ) . ∑∑ ai , j Ei , j = ( ai , jלכן לכל
i =1 j =1
i =1 j =1
מצאנו בסיס של ) M m, n ( Fובו m ⋅ nאיברים .מכאן . dim F M m , n ( F ) = m ⋅ nמש"ל ☺
משפט :40יהי Uמרחב וקטורי ממימד . nאזי אם ' f : U → Uאיזומורפיזם של מרחבים וקטוריים אז
' . dim F U = dim F U
הוכחה f :לינארית וחח"ע ולכן לפי טענה ) Ker f = {0V } (31כלומר f . dim F Ker f = 0על ולכן ' . Im f = U
לפי משפט המימדים . dim F V = dim F Ker f + dim F Im fכלומר ' . n = 0 + dim F Im f = dim F Uמש"ל ☺
מסקנה dim F Hom F (V , W ) = dim F V ⋅ dim F W :41
הוכחה :נסמן . dim F V = n, dim F W = mלפי טענה ) M m, n ( F ) (37איזומורפי ל . Hom F (V ,W ) -לכן לפי משפט
) . dim F Hom F (V , W ) = dim F M m, n ( F ) (40לפי משפט ) dim F M m , n ( F ) = m ⋅ n (39ומכאן המסקנה .מש"ל ☺
ראינו שלסכום של העתקות מתאים סכום של מטריצות ולכפל של העתקה בסקלר מתאים כפל של מטריצה בסקלר .נשאלת
אפוא השאלה מהי המטריצה של הרכבה של העתקות?
יהיו V ,W ,Uמרחבים וקטוריים מעל . Fיהיו v1 ,..., vn ∈ V , w1 ,..., wm ∈ W , u1 ,..., ul ∈ Uבסיסים שלהם .יהיו
f : V → W , g : W → Uהעתקות לינאריות .אזי ( g f ) : V → Uלינארית גם היא .נניח ש-
) Af = ( ai , j ) ∈ M m, n ( F ) , Ag = ( bk ,i ) ∈ M l , m ( F ) , Ag f = ( ck , j ) ∈ M l , n ( Fהמטריצות המתאימות להעתקות .מה
הקשר בין Ag fלבין ? Ag , Afנבדוק איך g fפועלת על איברי הבסיס . v1 ,..., vnראשית ,לפי הגדרת המטריצות לכל
l
m
1 ≤ j ≤ nמתקיים f ( v j ) = ∑ ai , j wiולכל 1 ≤ i ≤ mמתקיים . g ( wi ) = ∑ bk ,i uk
k =1
i =1
m
l
m
m
= = g ∑ ai , j wi = ∑ ai , j g ( wi ) = ∑ ai , j ∑ bk ,i uk
i =1
k =1
i =1
i =1
)) ( g f ) ( v j ) = g ( f (v j
m
l
m
l
l
m
l
m
= ∑∑ ai , j bk ,i uk = ∑∑ bk ,i ai , j uk = ∑∑ bk ,i ai , j uk = ∑ ∑ bk ,i ai , j uk
i =1 k =1
i =1 k =1
k =1 i =1
k =1 i =1
l
m
k =1
i =1
לכן אם ( g f ) ( v j ) = ∑ ck , j ukאז . ck , j = ∑ bk ,i ai , jזה הקשר שחיפשנו .על סמך קשר זה מגדירים כפל של
מטריצות .אם ) B = ( bk ,i ) ∈ M l , m ( Fו A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F ) -מגדירים את המכפלה ) BA = ( ck , j ) ∈ M l , n ( F
m
כאשר . ck , j = ∑ bk ,i ai , jנשים לב שמספר העמודות של המטריצה הראשונה צריך להתאים למספר השורות של המטריצה
i =1
השנייה.
משפט Agf = Ag Af :42
הוכחה :פשוט ככה הגדרנו את כפל המטריצות – כדי שתהיה ההתאמה הזאת☺ .
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
31
דוגמה:
1 2 3 4
2 3 1
= 5 6 7 8
1 −1 0
9 10 11 12
2 ⋅1 + 3 ⋅ 5 + 1 ⋅ 9 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 6 + 1 ⋅10 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 7 + 1 ⋅11 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8 + 1 ⋅12
=
=
1 ⋅1 − 1 ⋅ 5 + 0 ⋅ 9 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 6 + 0 ⋅10 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 7 + 0 ⋅11 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 8 + 0 ⋅12
26 32 38 44
=
−4 −4 −4 −4
משפט :43כפל מטריצות ,כאשר הוא מוגדר ,הוא אסוציאטיבי.
הוכחה :יהיו ) A ∈ M p , q ( F ) , B ∈ M q , r ( F ) , C ∈ M r , s ( Fמטריצות .נשים לב שגם ( AB ) Cוגם ) A ( BCמוגדרות
מבחינת התאמת הסדרים של המטריצות.
נראה ש ( AB ) C h , k = A ( BC ) h, k -ומכאן ינבע המשפט.
q
r
r
r
q
( AB ) C h , k = ∑ [ AB ]h, j [ C ] j , k = ∑ ∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k = ∑∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k
j =1
j =1 i =1
j =1 i =1
q
q
q
r
r
A ( BC ) h , k = ∑ [ A]h ,i [ BC ]i , k = ∑ [ A]h ,i ∑ [ B ]i , j [ C ] j , k = ∑∑ [ A]h,i [ B ]i , j [C ] j , k
i =1
i =1
j =1
i =1 j =1
אבל מאחר שמדובר בסכומים סופיים ניתן להחליף את סדר הסכימה ואז
r
q
q
r
. ( AB ) C h , k = ∑∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k = ∑∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k = A ( BC ) h , kמש"ל ☺
j =1 i =1
i =1 j =1
טענה :44כאשר כפל המטריצות מוגדר,
P ( Q1 + Q2 ) = PQ1 + PQ2
+ P2 Q
( P1 + P2 ) Q = PQ
1
הוכחה :נניח ) P1 , P2 , P ∈ M p , q ( Fו . Q1 , Q2 , Q ∈ M q , r ( F ) -אז הכפל מוגדר .כעת נחשב את המטריצות:
(
)
q
q
k =1
k =1
= P ( Q1 + Q2 ) i , j = ∑ [ P ]i , k [Q1 + Q2 ]k , j = ∑ [ P ]i , k [Q1 ]k , j + [ P ]i , k [ Q2 ] j , j
q
q
k =1
k =1
= ∑ [ P ]i , k [Q1 ]k , j + ∑ [ P ]i , k [Q1 ]k , j = [ PQ1 ]i , j + [ PQ2 ]i , j
ובאופן דומה
(
)
q
q
k =1
k =1
= ( P1 + P2 ) Q i , j = ∑ [ P1 + P2 ]i , k [Q ]k , j = ∑ [ P1 ]i , k [Q ]k , j + [ P2 ]i , k [Q ] j , j
q
q
k =1
k =1
= ∑ [ P1 ]i , k [Q ]k , j + ∑ [ P2 ]i , k [Q ]k , j = [ PQ
1 ]i , j + [ P2 Q ]i , j
מכאן שמתקיים הדרוש .מש"ל ☺
טענה :45יהיו ) P ∈ M p , q ( F ) , Q ∈ M q , r ( Fויהי . a ∈ Fאזי ) . ( aP ) Q = P ( aQ ) = a ( PQ
הוכחה :באופן דומה להוכחת הטנות הקודמות.
יהיו V , Wמרחבים וקטוריים מעל Fויהיו A = {v1 ,..., vn } ⊆ V , B = {w1 ,..., wm } ⊆ Wבסיסים .יהיו
A ' = {v1 ',..., vn '} ⊆ V , B ' = {w1 ',..., wm '} ⊆ Wזוג בסיסים נוסף .תהי ) . f ∈ Hom F (V , Wנניח ש-
) [ f ]B = Af = ( ai , jהמטריצה המתאימה ל f -לפי זוג הבסיסים הראשון ואילו )' [ f ]B' = Af ' = ( ai , jהמטריצה לפי זוג
'A
A
הבסיסים השני.
ברור ש . f = IdW f IdV -הוכחנו שהרכבה של העתקות היא פעולה אסוציאטיבית ושהיא מתאימה לכפל של מטריצות.
לכן Af ' = PAf Qכאשר ' P = [ IdW ]Bו P, Q . Q = [ IdV ]A -אינן תלויות ב f -אלא רק בבסיסים שבחרנו ולכן הקשר
B
'A
Af ' = PAf Qנכון לכל העתקה .המטריצות P, Qנקראת מטריצות מעבר בסיס.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
32
משפט :46אם Pמטריצת מעבר בסיס מ A -ל A' -ו Q -מטריצת מעבר בסיס מ A' -ל A -אזי . PQ = I = QP
IdV
IdV
הוכחה :נסתכל על ההעתקה הלינארית . IdV : V → V → Vראינו קודם ש . [ IdV ]A = [ IdV ]A [ IdV ]A' = QP -אבל לכל
A
'A
A
A
'A
A
1
0
=
IdV ( v j ) = v j = ∑ 0 ⋅ vi + 1 ⋅ v j 1 ≤ j ≤ nכאשר . v j ∈ Aולכן
i≠ j
1
0
1
0
IdV
IdV
=
באותו אופן ,אם נסתכל על ' IdV : VA ' → VA → VAנקבל
1
0
QP = [ IdV ]A
A
' . PQ = [ IdV ]Aכלומר ☺ . PQ = I = QP
'A
אם שתי מטריצות A, Bמקיימות ש AB = I = BA -אומרים שהן הופכיות אחת לשנייה ומסמנים . A = B −1 , B = A−1
נסתכל במקרה הפרטי שבו W = Vכלומר . f : V → Vנבחר שני בסיסים ' A, Aל V -ונסתכל על ההעתקה
IdV
IdV
f
. f : V → V → V →Vלפי המשפט שכרגע הוכחנו . Q = P −1ואז . Af ' = PAf P −1
'A
A
A
'A
כעת ,נניח שיש לנו מטריצה Afשל העתקה לינארית
f : V → Wבהתאם לבסיסים כלשהם .איך נדע איך ההעתקה
w1 ,..., wm
v1 ,..., vn
n
פועלת על וקטור? ראישת נציג את הווקטור כצירוף לינארי של איברי הבסיס של התחום . v = ∑ c j v jנסתכל על
j =1
c1
m
- Cv = ∈ F nטור המקדמים של vבפיתוח שלו ביחס לבסיס . v1 ,..., vnנניח ש f ( v ) = w = ∑ di wi -ונסתכל על
i =1
c
n
d1
- C f ( v ) = ∈ F mטור המקדמים של f ( v ) = wבפיתוח שלו לפי הבסיס . w1 ,..., wm
d
m
משפט C f ( v ) = Af Cv :47
d1
c1
m
n
הוכחה :יהי . v = ∑ c j v jונניח . f ( v ) = w = ∑ di wiאז Cv = ו= -
i =1
j =1
d
c
m
n
) . C f ( vאבל
n
n
m
n n
n
n
. f ( v ) = f ∑ c j v j = ∑ c j f ( v j ) = ∑ c j ∑ ai , j wi = ∑ ∑ c j ai , j wiכלומר . di = ∑ ai , j c j
j =1
j =1
i =1
i =1 j =1
j =1
j =1
אז לפי הגדרה של כפל מטריצות נקבל:
n
∑ a1, j c j
a11 … a1n c1 j =1
d1
=
=
a
n
m1 amn cn a c d n
n, j j
∑
j =1
כלומר . C f ( v ) = Af Cvמש"ל ☺
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
33
.5מערכות משוואות לינאריות
נזכור שכשרק התחלנו לדבר על מרחבים וקטוריים דיברנו על דוגמה פונדמנטלית ביותר . F n -אז היה זה מרחב וקטורי של
שורות של איברים של השדה . Fכעת נעשה העמסה לסימון הזה ומעתה F nיסמן טורים בגובה . nאז בעצם ) M n ,1 ( F
זה כמו . F n
בהינתן מטריצה ) A ∈ M m, n ( Fנגדיר העתקה f A : F n → F mשפועלת באופן הבא :לכל . f A ( c ) = Ac c ∈ F nהאם
זו העתקה לינארית? ברור שכן ,אחרת לא היינו מדברים עליה בכלל.
יהיו c ', c '' ∈ F nויהי . a ∈ Fלפי חוק הפילוג שהוכחנו קודם
)'' . f A ( c '+ c '') = A ( c '+ c '') = Ac '+ Ac '' = f A ( c ' ) + f A ( c
ולפי טענה אחרת שלא הוכחנו אבל ההוכחה שלה זהה להוכחה של חוק הפילוג
) ' f A ( ac ' ) = A ( ac ') = a ( Ac ') = af A ( c
אז f Aמשמרת חיבור וכפל בסקלר ולכן היא העתקה לינארית .אם היא העתקה לינארית אפשר לדבר על המטריצה שלה.
טענה :48המטריצה של f Aביחס לבסיסים הסטנדרטיים של ‡‡‡‡ d1 ,..., d m ∈ F m , e1 ,..., en ∈ F n : F m , F nהיא : A
הוכחה :פשוט נחשב איך ההעתקה פועלת על איברי הבסיס של : F n
1
1
0
… a1, n a1,1
0
0
= = a1,1 + ... + am ,1
0
am, n am,1
0
0
1
a1,1
f A ( e1 ) = Ae1 =
a
m,1
1
1
0
a1,1 … a1, n a1, n
0
0
f A ( en ) = Aen = = = a1, n + ... + am, n
0
a
m ,1 am , n 0 am , n
0
1
m
או באופן כללי f A ( e j ) = Ae j = ∑ ai , j diעבור . 1 ≤ j ≤ nכעת נרשום את המקדמים במטריצה ונקבל
i =1
a1,1 … a1, n
= = A
a
m ,1 am , n
} {e
} . [ f A ]{diראו איזה פלא! מש"ל☺ .
i
1
0
.
נסמן ב I k -את המטריצה ) ∈ M k ( F
1
0
משפט :49תהי ) A ∈ M m, n ( Fותהי ) B ∈ M n, m ( Fכך ש . AB = I m , BA = I n -אזי . m = n
הוכחה :נסתכל על ההעתקות הלינאריות f A : F n → F mו . f B : F m → F n -כמו כן שים לב שמתקיים
fB
fA
fA
fB
Id F m : F m
→ F n
Id F n : F n ו→ F m -
→ F m
→ Fn
= ) B ( Ac
= = ( BA ) c
= Inc =c
AC
c
= ) A( Bd
= = ( AB ) d
= Im d = d
Bd
d
כלומר f A , f Bהופכיות זו לזו .אזי הן איזומופרפיזמים של מרחבים וקטוריים .ז"א F nאיזומורפי ל . F m -כבר ראינו
שאם שני מרחבים נוצרים סופית איזומורפיים אז יש להם אותו מימד .ולכן
n = dim F F n = dim F F m = m
שזה מה שרצינו☺ .
המסקנה מהמשפט הזה היא שרק למטריצות ריבועיות יכולה להיות מטריצה הופכית.
‡‡‡‡
dזה בשביל Dinaוחשוב מאוד לזכור את זה אחרת יורדות נקודות במבחן☺ ...
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
34
עכשיו נשתמש בכל מה שאנחנו יודעים כדי לפתור מערכות של משוואות לינאריות .תכינו את עצמכם ,זה הולך להיות מרתק.
או שלא...
נניח שיש לנו מערכת של משוואות לינאריות m -משוואת ב n -נעלמים:
a1,1 x1 + a1,2 x2 + ... + a1, n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
2,1 1 2,2 2
2, n n
2
am,1 x1 + am,2 x2 + ... + am , n xn = bm
הנעלמים הם x1 ,..., xnוהמקדמים הם ai , j ∈ Fבאיזשהו שדה .האיברים החופשיים הם . b1 ,..., bm ∈ Fכשאנחנו אומרים
שמצאנו פיתרון למערכת משוואת ,למה אנחנו מתכוונים? ובכן האיברים α1 ,..., α n ∈ Fהם פיתרון של מערכת המשוואות
למעלה אם כאשר נרשום אותם במקום הנעלמים x1 ,..., xnבהתאמה נקבל שכל השוויונים הם נכונים .כלומר אכן מתקיים:
a1,1α1 + a1,2α 2 + ... + a1, nα n = b1
a2,1α1 + a2,2α 2 + ... + a2, nα n = b2
am ,1α1 + am,2α 2 + ... + am, nα n = bm
באופן טבעי נשאלות כל מיני שאלות :האם תמיד יש פיתרון למערכת משוואות? אם יש ,האם הוא יחיד? האם יש דרך לדעת
אם קיים פיתרון מבלי ממש למצוא אותו? ועוד...
לכל אלה ננסה לתת תשובה במהלך הדיון הבא.
את מערכת המשוואת אפשר לרשום בצורת מטריציונית באופן הבא:
a11 … a1n x1 b1
=
a
amn
xn bm
m1
עמודת
האיברים
החופשיים
עמודת
הנעלמים
מטריצת המקדמים
או בקיצור Ax = bכאשר Aמטריצת המקדמים b ,עמודת האיברים החופשיים ו x -עמודת הנעלמים.
לפני שאנחנו ונכנסים לנושא במלואו נדון במקרה פרטי שבו m = nולמטריצה Aיש מטריצה הופכית . A−1במקרה זה אם
נכפיל משמאל את שני האגפים של Ax = bב A−1 -נקבל . x = Ix = ( A−1 A ) x = A−1 ( Ax ) = A−1bכלומר קיים פיתרון
למערכת המשוואת ויתר על כן הוא יחיד!!
נחזור כעת למקרה הכללי .נניח יש לנו מערכת משוואות Ax = bכאשר . A ∈ M m, n ( F ) , x ∈ F n , b ∈ F m
c ∈ F nהוא פיתרון אם מתקיים . Ac = bאז מציאת פיתרון של המערכת הזו בעצם שקולה למציאת מקור של bתחת
ההעתקה הלינאריות f Aשכזכור הייתה מוגדרת ע"י . f A ( x ) = Ax
Fm
Ac = b
fA
Fn
הפתרונות
c
) f A −1 ( bאוסף המקורות של b
ברור גם שלמערכת Ax = bיש פיתרון אמ"מ ) b ∈ Im ( f Aשהרי אחרת לא נוכל למצוא - xים כך ש. Ax = b -
ראינו שהעתקה לינארית fהיא חח"ע אמ"מ } . Ker f = {0זה אומר שלכל איבר בתמונה יש מקור יחיד .אז מפה נובע
שלמערת Ax = bיש פיתרון יחיד אמ"מ יש פיתרון וגם }. Ker f A = {0
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
35
משפט :50אם f : V → Wהעתקה לינארית ו f ( c ) = b -אז f −1 ( b ) = c + Ker f
הוכחה :כרגיל כאשר יש להוכיח שיוויון בין שתי קבוצות נוכיח הכלה בשני הכיוונים:
) ⊂ ( יהי ) . a ∈ f −1 ( bאזי . f ( a ) = bנרצה להציג את aבצורה ' c + cכאשר . c ' ∈ Ker fברור ש-
) . a = c + ( a − cנראה ש . f ( a − c ) = f ( a ) − f ( c ) = b − b = 0W : a − c ∈ Ker f -לכן . a ∈ c + Ker f
) ⊃ ( יהי . c ' ∈ Ker fאזי . f ( c + c ') = f ( c ) + f ( c ' ) = b + 0W = bכלומר ) . c + c ' ∈ f −1 ( bמש"ל ☺
אם נשתמש במשפט הזה כדי לנתח את המצב שלנו נראה שאם מערכת המשוואת שלנו היא Ax = bאז
f A −1 ( b ) = c + Ker f Aכאשר cהוא פיתרון כלשהו של המערכת .זוהי טענה מאוד חשובה משום שהיא אומרת בעצם
שאם אנחנו יודעים פיתרון יחיד כלשהו של המערכת אז אנחנו יכולים לבטא באמצעותו את כל הפתרונות .זה לא עוזר לנו
למצוא את הפיתרון הזה .אבל אם בטעות מצאנו את הפיתרון אז מצאנו את כולם.
נשים לב רק ,שאם ההעתקה f Aהיא חח"ע ,כלומר } Ker f A = {0אז הפיתרון הוא יחיד!
הגדרה :יהי U ⊂ Vתת מרחב .ויהי . v ∈ Vהקבוצה } v + U = {v + u : u ∈ Uנקראת ישרייה U .נקרא תת המרחב
המכוון של הישרייה.
דוגמה V = 2 :וניקח תת מרחב שהוא איזה ישר העובר דרך הראשית .ניקח . v ∈ Vאז הישרייה v + Uהיא ישר מקביל
ל U -שעובר דרך . v
v +U
U
v
אזהרה v + U :בכלל לא חייב להיות תת מרחב.
טענה v + U :51הוא תת מרחב של Vאמ"מ v ∈ Uואז . v + U = U
הוכחה:
) ⇐ ( נניח ש v + U -תת מרחב של Vונראה ש . v ∈ U -נניח בשלילה כי v + U . v ∉ Uתת מרחב ולכן . 0V ∈ v + U
כלומר קיים u ∈ Uכך ש . 0V = v + u -אבל חייב להתקיים אז . u = −vאבל מכאן ש . v ∈ U -בסתירה להנחה .לכן
. v ∈U
) ⇒ ( נניח כי v ∈ Uונראה כי . v + U = Uברור ש v + U ⊂ U -כי Uסגור לחיבור .מצד שני ,יהי . u ∈ Uברור
ש . u = v + ( u − v ) -אבל מאחר ש v ∈ U -גם −v ∈ Uולכן . u − v ∈ Uלכן . v + U ⊃ Uכלומר . v + U = U
בפרט v + Uתת מרחב .מש"ל ☺
תחת הגדרה זו ברור שאוסף כל הפתרונות של מערכת משוואות לינארית הוא ישרייה שהמרחב המכוון שלה הוא הגרעין של
ההעתקה שנקבעת ע"י המטריצה של המקדמים של המערכת.
טענה :52יהיו U1 ,U 2 ⊂ Vתתי מרחבים ו v1 , v2 ∈ V -כך ש . v1 + U1 = v2 + U 2 -אזי . U1 = U 2
משמעות :הטענה הזאת בעצם אומרת שהמימד המכוון של ישרייה הוא יחיד.
הוכחה :משום ש 0V ∈ U1 -נקבל . v1 = v1 + 0V ∈ v1 + U1 = v2 + U 2כלומר קיים u2 ∈ U 2כך ש . v1 = v2 + u2 -ולכן
. v2 − v1 = −u2 ∈ U 2מהשוויון v1 + U1 = v2 + U 2נובע
☺ U1 = ( −v1 ) + ( v1 + U1 ) = ( −v1 ) + ( v2 + U 2 ) = ( v2 − v1 ) + U 2 = ( −u2 ) + U 2 = U 2
u2 ∈U 2
הגדרה :נאמר שהמימד של הישרייה v + Uהוא . dim F ( v + U ) = dim F Uבגלל הטענה הקודמת המימד מוגדר היטב.
אם ישריית הפתרונות של Ax = bהיא c + Ker f Aנוכל לכתוב . dim F ( c + Ker f A ) = dim F Ker f Aכמו כן לפי
משפט המימדים . n = dim F F n = dim F Im f A + dim F Ker f Aלכן . dim F ( c + Ker f A ) = n − dim F Im f
– הסיכומים של דינה1 אלגברה לינארית
36
: נסמן. A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F ) תהי.נגדיר כמה סימונים חדשים
a1* = ( a1,1 … a1, n )
: A השורות של
am* = ( am,1 … am, n )
a1,1
a1, n
a*1 = ,..., a*n = : A העמודות של
a
a
m ,1
m, n
Im f A = Sp ( a*1 ,..., a*n ) ⊂ F m אזf A ( c ) = Ac מוגדרת ע"יf A : F n → F m אם:53 משפט
זה נובע מהמשפט. A הוא המספר המקסימלי של עמודות בלתי תלויות של המטריצהdim F Sp ( a*1 ,..., a*n ) :הערה
. V -{ היא בסיס לui :1 ≤ i ≤ m, ui ∉ Sp ( u1 ,..., ui −1 )} אזי הקבוצה. V = Sp ( u1 ,..., um ) שהוכחנו שאם
. Im f = Sp ( f ( v1 ) ,..., f ( vn ) ) אזV = Sp ( v1 ,..., vn ) - העתקה לינארית וf : V → W הוכחנו כבר שאם:הוכחה
: פועלת עליהןf A נבדוק איך. ברור שהן פורשות אותו. F n -נסתכל על העמדודות הסטנדרטיות ב
1
1
1
a1,1 … a1, n a1,1
0
0
0
f A = A = = = a*1
am,1 am, n am,1
0
0
0
0
0
0
a1,1 … a1, n a1, n
f A = A = = = a*n
0
0
0
am,1 am, n am, n
1
1
1
1
0
0
☺ מש"ל. Im f A = Sp f A ,..., f A = Sp ( a*1 ,..., a*n ) לכן
0
1
0
rank c A = dim F Sp ( a*1 ,..., a*n ) לפי העמודות היאA ∈ M m, n ( F ) הדרגה של מטריצה
:הגדרה
rank r A = dim F Sp ( a1* ,..., am* ) לפי השורות היאA ∈ M m, n ( F ) הדרגה של מטריצה
rank c C = rank r C C ∈ M n , p ( F ) לכל מטריצה:54 משפט
: נרשום אותה באופן מפורש. AB ∈ M m , p ( F ) אזי מוגדרת המכפלה. B = ( bi , j ) ∈ M n , p ( F ) תהי:הוכחה
a1,1 … a1, n b1,1 … b1, p
AB = =
a
m ,1 am, n bn ,1 bn , p
a1,1b1,1 + ... + a1, n bn ,1 … a1,1b1, p + ... + a1, n bn , p a1,1b1* + ... + a1, n bn*
=
=
a b + ... + a b
a b + ... + a b
a
b
+
...
+
a
b
m
,1
1,1
m
,
n
n
,1
m
,1
1,
p
m
,
n
n
,
p
m
,1
1*
m
,
n
n
*
. A - עם מקדמים מB הן צירופים לינאריים של השורות שלAB כלומר השורות של
אבל אפשר גם לרשום
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
37
a1,1 … a1, n b1,1 … b1, p a1,1b1,1 + ... + a1, n bn ,1 … a1,1b1, p + ... + a1, n bn , p
AB = =
=
a
m ,1 am, n bn ,1 bn , p am,1b1,1 + ... + am, n bn ,1 am ,1b1, p + ... + am , n bn, p
) = ( b1,1a*1 + ... + bn ,1a*n … b1, p a*1 + ... + bn , p a*n
כלומר העמודות של ABהן צירופים לינאריים של העמודות של Aעם מקדמים מ. B -
נסמן . C = ABאזי
) Sp ( c*1 ,..., c* p ) ⊂ Sp ( a*1 ,..., a*n
) *Sp ( c1* ,..., cm* ) ⊂ Sp ( b1* ,..., bn
תהי ) . C ∈ M n , p ( Fנראה ש . dim F Sp ( c*1 ,..., c* p ) = dim F Sp ( c1* ,..., cm* ) -נניח ש. dim F Sp ( c1* ,..., cm* ) = n -
נבנה פירוק של Cלמכפלה ABכאשר ) A ∈ M m, n ( Fו. B ∈ M n, p ( F ) -
לפי ההנחה ל Sp ( c1* ,..., cm* ) -יש בסיס ובו nוקטורים ,כלומר nשורות באורך . pנסמן
*… b1, p ) = b1
(b
1,1
*… bn, p ) = bn
(b
n ,1
נגדיר ) . B = ( bi , j ) ∈ M n , p ( Fבגלל שזה בסיס ) * . Sp ( c1* ,..., cm* ) = Sp ( b1* ,..., bnכמו כן ניתן להציג את *c1* ,..., cm
כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
*c1* = a1,1b1* + ... + a1, n bn
*cm* = am ,1b1* + ... + am, n bn
נגדיר ) . A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( Fברור ש . C = AB -כעת לפי מה שעשינו קודם ) . Sp ( c*1 ,..., c* p ) ⊂ Sp ( a*1 ,..., a*n
ואז !! rank c C = dim F Sp ( c*1 ,..., c* p ) ≤ dim F Sp ( a1* ,..., an* ) ≤ n = rank r C
כעת נניח ש . dim F Sp ( c*1 ,..., c* p ) = n -אזי נסתכל על הבסיס של ) : Sp ( c*1 ,..., c* p
נגדיר ) . A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F
a1,1
a1, n
a*1 = ,..., a*n =
a
m ,1
am , n
נבטא את c*1 ,..., c* pע"י איברי הבסיס:
c*1 = b1,1a*1 + ... + bn ,1a*n
c* p = b1, p a*1 + ... + bn , p a*n
ונגדיר ) . B = ( bi , j ) ∈ M n , p ( Fאזי C = ABוכמו קודם
!! rank r C = dim F Sp ( c1* ,..., cm* ) ≤ dim F Sp ( b1* ,..., bn* ) ≤ n = rank c C
מכאן ש . rank r C = rank c C -מש"ל ☺
נשים לב לשתי תכונות מעניינות .אם Aמייצגת טרנספורמציה לינארית חח"ע אז , rank c A = nכלומר דרגת העמודות היא
המקסימלית שיכולה להיות .ואם Aמייצגת טרנספורמציה לינארית על אז , rank r A = mכלומר דרגת השורות היא
המקסימלית שיכולה להיות .אבל דרגת השורות שווה לדרגת העמודות .לכן מפה נובע שאם מטריצה היא הפיכה )כלומר
ההעתקה שהיא מייצגת היא גם חח"ע וגם על( אז היא חייבת להיות ריבועית!
נגדיר rank A = rank c A = rank r A
למערכת המשוואות Ax = bקיים פיתרון אמ"מ . b ∈ Im f Aאמרנו ש . Im f A = sp ( a*1 ,..., a*n ) -אז למערכת יש
פיתרון אמ"מ ) . b ∈ sp ( a*1 ,..., a*nואפשר לנסח זאת גם כך :יש פיתרון אמ"מ ) . sp ( a*1 ,..., a*n , b ) = sp ( a*1 ,..., a*n
נגדיר את מטריצת המקדמים המורחבת של המערכת . A* = ( a*1 ,..., a*n , b ) = ( A b ) :אז נוכל לסכם את מה שהגענו אליו:
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
38
משפט :55למערכת המשוואת Ax = bיש פיתרון אמ"מ . rank A* = rank A
אז עשכיו אנחנו יודעים מתי יש פיתרון למערכת משוואות .אבל איך מוצאים אותו? באופן כללי השיטה די דומה למה שלמדנו
בתיכון על צמצום משתנים .אנחנו נפתח את זה בצורה פורמלית יותר.
הגדרה :שתי מערכות משוואות Ax = bו A ' x = b ' -נקראות שקולות אם יש להן בדיוק אותם הפיתרונות.
משפט :56תהי Cמטריצה הפיכה מסדר . m × mאזי המערכת Ax = bשקולה למערכת . ( CA ) x = Cb
הוכחה :תהי . B = C −1אם Ac = bאזי . ( CA ) c = C ( Ac ) = Cbלהפך אם ( CA ) c = Cbאזי
☺ . Ac = ( BC )( Ac ) = B ( ( CA ) c ) = B ( Cb ) = ( BC ) b = b
המוטיבציה שלנו תהיה להפוך את Ax = bלמערכת משוואות שקולה לה שקל לנו יותר לפתור .זה ייעשה ע"י סדרה של
הכפלות במטריצות הפיכות.
נגדיר כמה מטריצות:
0 0
לכל 0 ≠ a ∈ Fנגדיר Di ( a ) = a כך ש Di ( a ) i ,i = a -ובכל מקום אחר . 0
0 0
0
1
a
לכל a ∈ Fעבור i ≠ jנסמן
Ei , j ( a ) = כך ש Eij ( a ) = 1, Eij ( a ) = a -ובכל מקום אחר
k ,k
i, j
1
0
.0
0
1
0
1
עבור i ≠ jנסמן
Pi , j = כלומר מטריצת היחידה שבה הוחלפו במקומן שורות iו. j -
1
1
0
0
1
קל לראות שלכל מטריצה Aמתקיים:
a1*
Di ( a ) A = a ⋅ ai*
a
m*
כמו כן מאותה הסיבה ברור ש
*a1
Ei , j ( a ) A = ai* + a ⋅ a j *
a
*m
)
−1
Di ( a ) = Di ( a
−1
) Ei , j ( a ) = Ei , j ( −a
−1
Pi , j −1 = Pi , j
הגדרה :מטריצה Dנקראת מדורגת כאשר צורתה כלהלן:
.1יש בה עמודות סטנדרטיות לפי הסדר שלהן.
.2ניתן להעביר קו מדרגות כאשר כל עמודה סטנדרטית קובעת מדרגה.
.3מתחת לקו המדרגות יש רק אפסים.
a1*
a j*
Pi , j A =
a
i*
a
m*
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
39
משפט :57לכל מטריצה ) A ∈ M m, n ( Fקיימת מטריצה הפיכה ) B ∈ M m ( Fכך ש BA -היא מדורגת.
הוכחה :ההוכחה נעשית באינדוקציה על nובעצם מה שקורה שם זה שכופלים את המטריצה בכל שלב באחת מהמטריצות
שהגדרנו למעלה וככה לאט לאט מאפסים את כל מה שצריך .בגלל שכל המטריצות האלה הן הפיכות אז גם המכפלה שלהן
הפיכה.
שלב ראשון :התבונן בעמודה הראשונה של המטריצה Aאשר אינה כולה אפסים .לשם נוחיות נניח כי זו העמודה הראשונה.
הבא איבר שונה מאפס לראש העמודה ע"י החלפת שורות )מטריצה ( Pi , jוכפול לאחר מכן את השורה הראשונה בהפכי של
איבר זה )מטריצה .( Diע"י כך תתקבל מטריצה חדשה ) B = ( bi , jאשר בה . b1,1 = 1כעת אפס כל איבר ) bi ,1 ≠ 0פרט
ל ( b1,1 -שעוד נותר בעמודה הראשונה ע"י הוספת השורה הראשונה כפולה ב −bi ,1 -לשורה ה) i -מטריצה .( Ei , jע"י כך
תתקבל מטריצה חדשה מהצורה:
1 c1,2 c1, n 1 c1,2 c1, n
c2,2 … c2, n
0 c2,2 c2, n 0
=
C ' = כאשר ) = C ∈ M m −1, n −1 ( F
C
c
m ,2 cm , n
0 cm ,2 cm, n 0
נשים לב שכל הפעולות שבוצעו הן פעולות אלמנטריות על שורות המטריצה.
שלב שני :המשך בפעולות אלמנטריות על השורות 2,..., mשל ' Cעל מנת לאפס איברים בעמודתה השנייה .היות והאפסים
בעמודה הראשונה של ' Cלא "יתקלקלו" ע"י פעולות אלה ,ניתן להעלם מהם ,ולבצע את הפעולות רק על שורות המטריצה
החלקית . Cחזוא על התהליך של השלב הראשון לגבי העמודה הראשונה של . C
השלבים הבאים :ממשיכים כבשלבים הקודמים ,כאשר בשלב ה k + 1 -מבצעים פעולות אלמטריות על n − kהשורות
האחרונות בלבד ,עד שמגיעים למספר rשעבורו n − rהשורות האחרונות מכילות אפסים בלבד )ייתכן גם r = nואז אין
שורות שמכילות אפסים בלבד( .נתאר את המטריצה D = Di , jשהתקבלה בשלב זה :עבור i = 1,..., rקיימים מספרים
טבעיים 1 ≤ t1 < ... < tr ≤ nכך ש di ,1 = ... = di ,ti −1 = 0, di ,ti = 1 -ואילו n − rהשורות האחרונות מכילות אפסים בלבד:
*
*
* ← row r
0
0
D=
t1 t2
tr
↓
↓
↓
* 0 0 1
* 0 1
0
D = 0
* 0 1
0
0
וזואת צורה מדורגת .מש"ל ☺
אז למה זה עזר לנו? מאוד קל לפתור מערכת משוואות שרשומה בצורה מדורגת וחוץ מזה זה גם נותן לנו מידע לגבי מספר
הפתרונות.
נסתכל במטריצת המקדמים המורחבת של מערכת המשוואת . A* = ( A b ) - Ax = bקיימת * Bכך ש B * A * -מדורגת.
כעת ,אם העמודה האחרונה היא סטנדרטית אז אין פיתרון למערכת המשוואת כי אז בעצם נקבל שאחת מהמשוואות היא
מהצורה 0 ⋅ x1 + ... + 0 ⋅ xn = 1וזה כמובן בלתי אפשרי.
אם העמודה האחרונה אינה עמודה סטנדרטית אזי יש פתרונות.
סטנדרטית .נחלק את המשתנים לשתי קבוצות.
הראשונה} ,
נניח ש{ jk }k =1 -
,..., x jr
r
j1
הן העמודות ב B * A * -שבהן יש עמודה
{xוהשנייה }
מהקבוצ הראשונה מופיע במערכת המשוואות פעם אחת בלבד .לכן נוכל לרשום:
) ⇐ x j + ( variables from second set ) = c1
= c2 − ( ) ⇐ x j + ( variables from second set ) = c2
1
2
{
. { x1 ,..., xn } \ x j1 ,..., x jrכל נעלם
( x j1 = c1 −
x j2
) ⇐ x j + ( variables from second set ) = cr
r
( x jr = cr −
לנעלמים מהקבוצה השנייה ניתן לתת ערכים שרירותיים והנעלמים מהקבוצה הראשונה נקבעים באופן חד ערכי ע"י ערכים
אלה.
אלגברה לינארית – 1הסיכומים של דינה
40
משפט :58אם D1 = B1 A, D2 = B2 Aכאשר B1 , B2הפיכות ו D1 , D2 -מדורגות אז . D1 = D2
הוכחה :גם כאן צריך לרשום מלא מטריצות ולא ממש בא לי.
המשפט הזה חשוב כי הוא אומר שהצורה המדורגת של מטריצה היא יחידה .לכן זה לא משנה בפועל באיזה סדר פעולות
ננקוט ,תמיד נגיע לאותה התוצאה! אם זה לא היה כך ,היינו בצרות...
בזאת נגמר החומר למבחן .בהצלחה לכולם.
